Encontrar um múltiplo comum de dois números. Mínimo Múltiplo Comum (MCM)
Máximo Divisor Comum
Definição 2
Se um número natural a é divisível por um número natural $b$, então $b$ é chamado de divisor de $a$, e o número $a$ é chamado de múltiplo de $b$.
Sejam $a$ e $b$ números naturais. O número $c$ é chamado de divisor comum para $a$ e $b$.
O conjunto dos divisores comuns dos números $a$ e $b$ é finito, pois nenhum desses divisores pode ser maior que $a$. Isso significa que entre esses divisores existe o maior, que é chamado de máximo divisor comum dos números $a$ e $b$, e a notação é usada para denotá-lo:
$gcd \ (a;b) \ ou \ D \ (a;b)$
Para encontrar o máximo divisor comum de dois números:
- Encontre o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o maior divisor comum desejado.
Exemplo 1
Encontre o mdc dos números $121$ e $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Escolha os números que estão incluídos na expansão desses números
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Encontre o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o maior divisor comum desejado.
$gcd=2\cdot 11=22$
Exemplo 2
Encontre o MDC dos monômios $63$ e $81$.
Vamos encontrar de acordo com o algoritmo apresentado. Por esta:
Vamos decompor números em fatores primos
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Selecionamos os números que estão incluídos na expansão desses números
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Vamos encontrar o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o maior divisor comum desejado.
$gcd=3\cdot 3=9$
Você pode encontrar o MDC de dois números de outra maneira, usando o conjunto de divisores de números.
Exemplo 3
Encontre o mdc dos números $48$ e $60$.
Solução:
Encontre o conjunto de divisores de $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Agora vamos encontrar o conjunto de divisores de $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Vamos encontrar a interseção desses conjuntos: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - esse conjunto determinará o conjunto dos divisores comuns dos números $48$ e $60 $. O maior elemento deste conjunto será o número $12$. Portanto, o máximo divisor comum de $48$ e $60$ é $12$.
Definição de NOC
Definição 3
múltiplo comum de números naturais$a$ e $b$ é um número natural múltiplo de $a$ e $b$.
Múltiplos comuns de números são números divisíveis pelo original sem deixar resto. Por exemplo, para os números $25$ e $50$, os múltiplos comuns serão os números $50.100.150.200$, etc.
O mínimo múltiplo comum será chamado de mínimo múltiplo comum e denotado por LCM$(a;b)$ ou K$(a;b).$
Para encontrar o MMC de dois números, você precisa:
- Decompor números em fatores primos
- Escreva os fatores que fazem parte do primeiro número e some a eles os fatores que fazem parte do segundo e não vão para o primeiro
Exemplo 4
Encontre o MMC dos números $99$ e $77$.
Vamos encontrar de acordo com o algoritmo apresentado. Por esta
Decompor números em fatores primos
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Escreva os fatores incluídos no primeiro
adicione a eles fatores que fazem parte do segundo e não vão para o primeiro
Encontre o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o mínimo múltiplo comum desejado
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Compilar listas de divisores de números geralmente consome muito tempo. Existe uma maneira de encontrar o GCD chamado algoritmo de Euclides.
Declarações nas quais o algoritmo de Euclides se baseia:
Se $a$ e $b$ são números naturais, e $a\vdots b$, então $D(a;b)=b$
Se $a$ e $b$ são números naturais tais que $b
Usando $D(a;b)= D(a-b;b)$, podemos diminuir sucessivamente os números em consideração até chegarmos a um par de números tal que um deles seja divisível pelo outro. Então o menor desses números será o maior divisor comum desejado para os números $a$ e $b$.
Propriedades de GCD e LCM
- Qualquer múltiplo comum de $a$ e $b$ é divisível por K$(a;b)$
- Se $a\vdots b$ , então K$(a;b)=a$
Se K$(a;b)=k$ e $m$-número natural, então K$(am;bm)=km$
Se $d$ é um divisor comum para $a$ e $b$, então K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Se $a\vdots c$ e $b\vdots c$ , então $\frac(ab)(c)$ é um múltiplo comum de $a$ e $b$
Para quaisquer números naturais $a$ e $b$ a igualdade
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Qualquer divisor comum de $a$ e $b$ é um divisor de $D(a;b)$
O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum são conceitos aritméticos importantes que permitem que você opere sem esforço frações ordinárias. LCM e são usados com mais frequência para encontrar o denominador comum de várias frações.
Conceitos Básicos
O divisor de um inteiro X é outro inteiro Y pelo qual X é divisível sem deixar resto. Por exemplo, o divisor de 4 é 2 e 36 é 4, 6, 9. Um múltiplo do inteiro X é um número Y que é divisível por X sem deixar resto. Por exemplo, 3 é um múltiplo de 15 e 6 é um múltiplo de 12.
Para qualquer par de números, podemos encontrar seus divisores e múltiplos comuns. Por exemplo, para 6 e 9, o múltiplo comum é 18 e o divisor comum é 3. Obviamente, os pares podem ter vários divisores e múltiplos, então o maior divisor do GCD e o menor múltiplo do LCM são usados nos cálculos .
O menor divisor não faz sentido, pois para qualquer número é sempre um. O maior múltiplo também não tem sentido, pois a sequência de múltiplos tende ao infinito.
Encontrando o GCD
Existem muitos métodos para encontrar o máximo divisor comum, os mais famosos são:
- enumeração sequencial de divisores, seleção dos comuns para um par e busca do maior deles;
- decomposição de números em fatores indivisíveis;
- algoritmo de Euclides;
- algoritmo binário.
Hoje às instituições educacionais os mais populares são os métodos de fatoração de primos e o algoritmo de Euclides. Este último, por sua vez, é utilizado na resolução de equações diofantinas: a busca pelo GCD é necessária para verificar a equação quanto à possibilidade de resolvê-la em números inteiros.
Encontrando o NOC
O mínimo múltiplo comum também é exatamente determinado por enumeração iterativa ou fatoração em fatores indivisíveis. Além disso, é fácil encontrar o LCM se o maior divisor já tiver sido determinado. Para os números X e Y, LCM e GCD estão relacionados pela seguinte relação:
LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
Por exemplo, se mdc(15,18) = 3, então LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. O uso mais óbvio de LCM é encontrar o denominador comum, que é o mínimo múltiplo comum do frações dadas.
números primos
Se um par de números não tiver divisores comuns, esse par é chamado de primo primo. O GCM para esses pares é sempre igual a um e, com base na conexão de divisores e múltiplos, o GCM para coprime é igual ao produto deles. Por exemplo, os números 25 e 28 são coprimos, pois não possuem divisores comuns, e LCM(25, 28) = 700, que corresponde ao seu produto. Quaisquer dois números indivisíveis sempre serão primos primos.
Divisor comum e calculadora múltipla
Com nossa calculadora, você pode calcular GCD e LCM para qualquer número de números para escolher. Tarefas para calcular divisores e múltiplos comuns são encontradas na aritmética dos graus 5, 6, no entanto, GCD e LCM - conceitos chave matemática e são usados em teoria dos números, planimetria e álgebra comunicativa.
Exemplos da vida real
Denominador comum de frações
O mínimo múltiplo comum é usado para encontrar o denominador comum de várias frações. Suponha que em um problema de aritmética seja necessário somar 5 frações:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Para somar frações, a expressão deve ser reduzida a um denominador comum, o que reduz o problema de encontrar o MMC. Para fazer isso, selecione 5 números na calculadora e insira os valores do denominador nas células apropriadas. O programa calculará LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Agora você precisa calcular fatores adicionais para cada fração, que são definidos como a razão de LCM para o denominador. Portanto, os multiplicadores extras seriam:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Depois disso, multiplicamos todas as frações pelo fator adicional correspondente e obtemos:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Podemos adicionar facilmente essas frações e obter o resultado na forma de 159/360. Reduzimos a fração em 3 e vemos a resposta final - 53/120.
Solução de equações diofantinas lineares
As equações diofantinas lineares são expressões da forma ax + by = d. Se a razão d / mdc(a, b) for um número inteiro, então a equação pode ser resolvida em números inteiros. Vamos verificar algumas equações para a possibilidade de uma solução inteira. Primeiro, verifique a equação 150x + 8y = 37. Usando uma calculadora, encontramos mdc (150,8) = 2. Divida 37/2 = 18,5. O número não é inteiro, portanto, a equação não possui raízes inteiras.
Vamos verificar a equação 1320x + 1760y = 10120. Use a calculadora para encontrar gcd(1320, 1760) = 440. Divida 10120/440 = 23. Como resultado, obtemos um número inteiro, portanto, a equação diofantina pode ser resolvida em coeficientes inteiros .
Conclusão
GCD e LCM desempenham um papel importante na teoria dos números, e os próprios conceitos são amplamente utilizados em várias áreas da matemática. Use nossa calculadora para calcular os maiores divisores e os menores múltiplos de qualquer número de números.
O mínimo múltiplo comum de dois números está diretamente relacionado ao máximo divisor comum desses números. Esse ligação entre GCD e NOCé definida pelo seguinte teorema.
Teorema.
O mínimo múltiplo comum de dois inteiros positivos a e b é igual ao produto de a e b dividido pelo máximo divisor comum de a e b, ou seja, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).
Prova.
Deixar M é algum múltiplo dos números a e b. Ou seja, M é divisível por a, e pela definição de divisibilidade, existe algum inteiro k tal que a igualdade M=a·k é verdadeira. Mas M também é divisível por b, então a k é divisível por b.
Denote mdc(a, b) como d . Então podemos escrever as igualdades a=a 1 ·d e b=b 1 ·d, e a 1 =a:d e b 1 =b:d serão números coprimos. Portanto, a condição obtida no parágrafo anterior de que a k é divisível por b pode ser reformulada da seguinte forma: a 1 d k é divisível por b 1 d , e isso, devido às propriedades de divisibilidade, equivale à condição de que a 1 k é divisível por b 1 .
Também precisamos escrever dois corolários importantes do teorema considerado.
Múltiplos comuns de dois números são iguais aos múltiplos de seus mínimos múltiplos comuns.
Isso é verdade, pois qualquer múltiplo comum de M números aeb é definido pela igualdade M=LCM(a, b) t para algum valor inteiro t .
Mínimo múltiplo comum de coprime números positivos a e b é igual ao seu produto.
A justificativa para esse fato é bastante óbvia. Como a e b são primos primos, então gcd(a, b)=1 , portanto, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
Mínimo múltiplo comum de três ou mais números
Encontrar o mínimo múltiplo comum de três ou mais números pode ser reduzido a encontrar sucessivamente o MMC de dois números. Como isso é feito é indicado no seguinte teorema: a 1 , a 2 , …, a k coincidem com múltiplos comuns de números m k-1 e a k , portanto, coincidem com múltiplos de m k . E como o mínimo múltiplo positivo do número m k é o próprio número m k, então o mínimo múltiplo comum dos números a 1 , a 2 , …, a k é m k .
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya. etc. Matemática. Grau 6: livro didático para instituições de ensino.
- Vinogradov I.M. Fundamentos da teoria dos números.
- Mikhelovich Sh.Kh. Teoria dos Números.
- Kulikov L.Ya. e outros Coleção de problemas de álgebra e teoria dos números: Tutorial para estudantes de física e matemática. especialidades dos institutos pedagógicos.
Para entender como calcular o LCM, você deve primeiro determinar o significado do termo "múltiplo".
Um múltiplo de A é um número natural que é divisível por A sem deixar resto. Portanto, 15, 20, 25 e assim por diante podem ser considerados múltiplos de 5.
Pode haver um número limitado de divisores de um determinado número, mas há um número infinito de múltiplos.
Um múltiplo comum de números naturais é um número que é divisível por eles sem deixar resto.
Como encontrar o mínimo múltiplo comum de números
O mínimo múltiplo comum (MCM) de números (dois, três ou mais) é o menor número natural que é divisível por todos esses números.
Para encontrar o NOC, você pode usar vários métodos.
Para números pequenos, é conveniente escrever em uma linha todos os múltiplos desses números até que um comum seja encontrado entre eles. Múltiplos denotam no registro letra maiúscula PARA.
Por exemplo, múltiplos de 4 podem ser escritos assim:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Assim, você pode ver que o mínimo múltiplo comum dos números 4 e 6 é o número 24. Esta entrada é realizada da seguinte forma:
LCM(4, 6) = 24
Se os números forem grandes, encontre o múltiplo comum de três ou mais números, então é melhor usar outra forma de calcular o LCM.
Para completar a tarefa, é necessário decompor os números propostos em fatores primos.
Primeiro você precisa escrever a expansão do maior dos números em uma linha e abaixo dela - o resto.
Na expansão de cada número, pode haver um número diferente de fatores.
Por exemplo, vamos fatorar os números 50 e 20 em fatores primos.
Na expansão do número menor, devem ser enfatizados fatores ausentes na expansão do primeiro. um grande número e, em seguida, adicioná-los a ele. No exemplo apresentado, falta um duque.
Agora podemos calcular o mínimo múltiplo comum de 20 e 50.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Assim, o produto dos fatores primos do maior número e os fatores do segundo número, que não entram na decomposição do maior número, será o mínimo múltiplo comum.
Para encontrar o MMC de três ou mais números, todos eles devem ser decompostos em fatores primos, como no caso anterior.
Como exemplo, você pode encontrar o mínimo múltiplo comum dos números 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Assim, apenas dois duques da decomposição de dezesseis não foram incluídos na fatoração de um número maior (um está na decomposição de vinte e quatro).
Assim, eles precisam ser adicionados à decomposição de um número maior.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Existem casos especiais de determinação do mínimo múltiplo comum. Portanto, se um dos números puder ser dividido sem deixar resto por outro, o maior desses números será o menor múltiplo comum.
Por exemplo, NOCs de doze e vinte e quatro seriam vinte e quatro.
Se for necessário encontrar o mínimo múltiplo comum de números coprimos que não possuem os mesmos divisores, seu LCM será igual ao produto.
Por exemplo, LCM(10, 11) = 110.
Vamos continuar a discussão sobre o mínimo múltiplo comum que começamos na seção LCM - Mínimo Múltiplo Comum, Definição, Exemplos. Neste tópico, veremos maneiras de encontrar o LCM para três números ou mais, analisaremos a questão de como encontrar o LCM de um número negativo.
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Cálculo do mínimo múltiplo comum (MCM) por meio de gcd
Já estabelecemos a relação entre o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum. Agora vamos aprender como definir o LCM através do GCD. Primeiro, vamos descobrir como fazer isso para números positivos.
Definição 1
Você pode encontrar o mínimo múltiplo comum por meio do máximo divisor comum usando a fórmula LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .
Exemplo 1
É necessário encontrar o LCM dos números 126 e 70.
Solução
Vamos considerar a = 126 , b = 70 . Substitua os valores na fórmula para calcular o mínimo múltiplo comum através do máximo divisor comum LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Encontra o MDC dos números 70 e 126. Para isso, precisamos do algoritmo de Euclides: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , portanto mdc (126 , 70) = 14 .
Vamos calcular o LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Responder: LCM (126, 70) = 630.
Exemplo 2
Encontre o nok dos números 68 e 34.
Solução
GCD em este caso Encontrá-lo é fácil, pois 68 é divisível por 34. Calcule o mínimo múltiplo comum usando a fórmula: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Responder: LCM(68, 34) = 68.
Neste exemplo, usamos a regra para encontrar o mínimo múltiplo comum de inteiros positivos a e b: se o primeiro número for divisível pelo segundo, então o MMC desses números será igual ao primeiro número.
Encontrando o LCM fatorando números em fatores primos
Agora vamos ver uma maneira de encontrar o LCM, que é baseado na decomposição de números em fatores primos.
Definição 2
Para encontrar o mínimo múltiplo comum, precisamos executar uma série de etapas simples:
- fazemos o produto de todos os fatores primos dos números para os quais precisamos encontrar o LCM;
- excluímos todos os fatores primos de seus produtos obtidos;
- o produto obtido após a eliminação dos fatores primos comuns será igual ao MMC dos números dados.
Esta forma de encontrar o mínimo múltiplo comum é baseada na igualdade LCM (a , b) = a b: MDC (a , b) . Se você observar a fórmula, ficará claro: o produto dos números a e b é igual ao produto de todos os fatores envolvidos na expansão desses dois números. Nesse caso, o MDC de dois números é igual ao produto de todos os fatores primos que estão presentes simultaneamente nas fatorações desses dois números.
Exemplo 3
Temos dois números 75 e 210 . Podemos fatorá-los assim: 75 = 3 5 5 E 210 = 2 3 5 7. Se você fizer o produto de todos os fatores dos dois números originais, obterá: 2 3 3 5 5 5 7.
Se excluirmos os fatores comuns aos números 3 e 5, obtemos um produto da seguinte forma: 2 3 5 5 7 = 1050. Este produto será nosso LCM para os números 75 e 210.
Exemplo 4
Encontre o MMC dos números 441 E 700 , decompondo ambos os números em fatores primos.
Solução
Vamos encontrar todos os fatores primos dos números dados na condição:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Obtemos duas cadeias de números: 441 = 3 3 7 7 e 700 = 2 2 5 5 7 .
O produto de todos os fatores que participaram da expansão desses números ficará assim: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Vamos encontrar os fatores comuns. Este número é 7. Vamos excluí-lo de produto comum: 2 2 3 3 5 5 7 7. Acontece que NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Responder: LCM (441 , 700) = 44 100 .
Vamos dar mais uma formulação do método para encontrar o LCM decompondo números em fatores primos.
Definição 3
Anteriormente, excluímos do número total de fatores comuns a ambos os números. Agora faremos diferente:
- Vamos decompor os dois números em fatores primos:
- adicione ao produto dos fatores primos do primeiro número os fatores que faltam do segundo número;
- obtemos o produto, que será o LCM desejado de dois números.
Exemplo 5
Voltemos aos números 75 e 210 , para os quais já procuramos o LCM em um dos exemplos anteriores. Vamos dividi-los em fatores simples: 75 = 3 5 5 E 210 = 2 3 5 7. Ao produto dos fatores 3 , 5 e 5 número 75 adicione os fatores que faltam 2 E 7 números 210 . Nós temos: 2 3 5 5 7 . Este é o LCM dos números 75 e 210.
Exemplo 6
É necessário calcular o LCM dos números 84 e 648.
Solução
Vamos decompor os números da condição em fatores primos: 84 = 2 2 3 7 E 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Adicione ao produto dos fatores 2 , 2 , 3 e 7
números 84 faltando fatores 2 , 3 , 3 e
3
números 648 . Recebemos o produto 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Este é o mínimo múltiplo comum de 84 e 648.
Responder: LCM (84, 648) = 4536.
Encontrando o MMC de três ou mais números
Independentemente de quantos números estamos lidando, o algoritmo de nossas ações será sempre o mesmo: encontraremos consistentemente o LCM de dois números. Existe um teorema para este caso.
Teorema 1
Suponha que temos números inteiros a 1 , a 2 , ... , a k. NOC m k desses números é encontrado no cálculo sequencial m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .
Agora vamos ver como o teorema pode ser aplicado a problemas específicos.
Exemplo 7
Você precisa calcular o mínimo múltiplo comum dos quatro números 140 , 9 , 54 e 250 .
Solução
Vamos introduzir a notação: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.
Vamos começar calculando m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Vamos usar o algoritmo euclidiano para calcular o GCD dos números 140 e 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Obtemos: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Portanto, m 2 = 1 260 .
Agora vamos calcular de acordo com o mesmo algoritmo m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Durante os cálculos, obtemos m 3 = 3 780.
Resta-nos calcular m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Agimos de acordo com o mesmo algoritmo. Obtemos m 4 \u003d 94 500.
O LCM dos quatro números da condição de exemplo é 94500 .
Responder: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.
Como você pode ver, os cálculos são simples, mas bastante trabalhosos. Para economizar tempo, você pode ir para o outro lado.
Definição 4
Oferecemos o seguinte algoritmo de ações:
- decompor todos os números em fatores primos;
- ao produto dos fatores do primeiro número, some os fatores que faltam do produto do segundo número;
- adicionar os fatores que faltam do terceiro número ao produto obtido na etapa anterior, etc.;
- o produto resultante será o mínimo múltiplo comum de todos os números da condição.
Exemplo 8
É necessário encontrar o LCM de cinco números 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Solução
Vamos decompor todos os cinco números em fatores primos: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . números primos, que é o número 7 , não pode ser fatorado em fatores primos. Tais números coincidem com sua decomposição em fatores primos.
Agora vamos pegar o produto dos fatores primos 2, 2, 3 e 7 do número 84 e somar a eles os fatores que faltam do segundo número. Decompusemos o número 6 em 2 e 3. Esses fatores já estão no produto do primeiro número. Portanto, nós os omitimos.
Continuamos a adicionar os multiplicadores que faltam. Voltamo-nos para o número 48, do produto de fatores primos dos quais tomamos 2 e 2. Em seguida, adicionamos um fator simples de 7 do quarto número e fatores de 11 e 13 do quinto. Obtemos: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Este é o mínimo múltiplo comum dos cinco números originais.
Responder: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.
Encontrando o Mínimo Múltiplo Comum de Números Negativos
Para encontrar o mínimo múltiplo comum de números negativos, esses números devem primeiro ser substituídos por números com o sinal oposto e, em seguida, os cálculos devem ser realizados de acordo com os algoritmos acima.
Exemplo 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) e LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Tais ações são permitidas devido ao fato de que se for aceito que a E − um- números opostos
então o conjunto dos múltiplos a coincide com o conjunto dos múltiplos de um número − um.
Exemplo 10
É necessário calcular o MMC dos números negativos − 145 E − 45 .
Solução
Vamos mudar os números − 145 E − 45 aos seus números opostos 145 E 45 . Agora, usando o algoritmo, calculamos o LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , tendo previamente determinado o GCD usando o algoritmo de Euclides.
Obtemos que o MMC dos números − 145 e − 45 é igual a 1 305 .
Responder: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
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