Multiplicação de colchetes. Abertura de colchetes: regras e exemplos (7ª série)
Parênteses são usados para indicar a ordem em que as operações são executadas em números e expressões literais, bem como em expressões com variáveis. É conveniente passar de uma expressão com colchetes para uma expressão identicamente igual sem colchetes. Essa técnica é chamada de abertura de parênteses.
Expandir colchetes significa livrar a expressão desses colchetes.
Outro ponto merece atenção especial, que diz respeito às peculiaridades das soluções de escrita na abertura de colchetes. Podemos escrever a expressão inicial entre colchetes e o resultado obtido após a abertura dos colchetes como igualdade. Por exemplo, após abrir os parênteses, ao invés da expressão
3−(5−7) obtemos a expressão 3−5+7. Podemos escrever ambas as expressões como a igualdade 3−(5−7)=3−5+7.
E mais um ponto importante. Em matemática, para reduzir as entradas, costuma-se não escrever um sinal de mais se for o primeiro em uma expressão ou entre colchetes. Por exemplo, se adicionarmos dois números positivos, por exemplo, sete e três, não escrevemos +7 + 3, mas simplesmente 7 + 3, apesar de sete também ser número positivo. Da mesma forma, se você vir, por exemplo, a expressão (5 + x) - saiba que há um sinal de mais na frente do colchete, que não está escrito, e há um sinal de mais + (+5 + x) na frente do cinco.
Regra de expansão de colchetes para adição
Ao abrir colchetes, se houver um sinal de mais antes dos colchetes, esse sinal de adição será omitido junto com os colchetes.
Exemplo. Abra os colchetes na expressão 2 + (7 + 3) Antes dos colchetes mais, os caracteres na frente dos números entre colchetes não mudam.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
A regra para expandir colchetes ao subtrair
Se houver um sinal de menos antes dos colchetes, esse sinal de menos será omitido junto com os colchetes, mas os termos que estavam entre colchetes mudam de sinal para o oposto. A ausência de um sinal antes do primeiro termo entre parênteses implica um sinal de +.
Exemplo. Abra colchetes na expressão 2 − (7 + 3)
Há um sinal de menos antes dos colchetes, então você precisa alterar os sinais antes dos números dos colchetes. Não há sinal entre parênteses antes do número 7, o que significa que o sete é positivo, considera-se que o sinal + está na frente dele.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Ao abrir os colchetes, removemos o sinal de menos do exemplo, que estava antes dos colchetes, e os próprios colchetes 2 − (+ 7 + 3), e trocamos os sinais que estavam nos colchetes pelos opostos.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Expandindo parênteses ao multiplicar
Se houver um sinal de multiplicação na frente dos colchetes, cada número dentro dos colchetes é multiplicado pelo fator na frente dos colchetes. Ao mesmo tempo, multiplicar menos por menos dá mais, e multiplicar menos por mais, como multiplicar mais por menos, dá menos.
Assim, os parênteses nos produtos são expandidos de acordo com a propriedade distributiva da multiplicação.
Exemplo. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Ao multiplicar parênteses por parênteses, cada termo do primeiro parêntese é multiplicado por cada termo do segundo parêntese.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
De fato, não há necessidade de lembrar todas as regras, basta lembrar apenas uma, esta: c(a−b)=ca−cb. Por que? Porque se substituirmos um em vez de c, obtemos a regra (a−b)=a−b. E se substituirmos menos um, obtemos a regra −(a−b)=−a+b. Bem, se você substituir outro colchete em vez de c, poderá obter a última regra.
Expandir parênteses ao dividir
Se houver um sinal de divisão após os colchetes, cada número dentro dos colchetes é divisível pelo divisor após os colchetes e vice-versa.
Exemplo. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3
Como expandir parênteses aninhados
Se a expressão contiver colchetes aninhados, eles serão expandidos em ordem, começando com externo ou interno.
Ao mesmo tempo, ao abrir um dos colchetes, é importante não tocar nos outros colchetes, apenas reescrevendo-os como estão.
Exemplo. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Entre as várias expressões consideradas na álgebra, as somas dos monômios ocupam um lugar importante. Aqui estão exemplos de tais expressões:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
A soma dos monômios é chamada de polinômio. Os termos em um polinômio são chamados membros do polinômio. Mononômios também são referidos como polinômios, considerando um monômio como um polinômio que consiste em um membro.
Por exemplo, polinômio
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
pode ser simplificado.
Representamos todos os termos na forma de monômios modo de exibição padrão:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Damos termos semelhantes no polinômio resultante:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
O resultado é um polinômio, todos os membros dos quais são monômios da forma padrão, e entre eles não há semelhantes. Esses polinômios são chamados polinômios de forma padrão.
Atrás grau polinomial forma padrão toma o maior dos poderes de seus membros. Assim, o binômio \(12a^2b - 7b \) tem o terceiro grau, e o trinômio \(2b^2 -7b + 6 \) tem o segundo.
Normalmente, os termos de polinômios de forma padrão contendo uma variável são arranjados em ordem decrescente de seus expoentes. Por exemplo:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
A soma de vários polinômios pode ser convertida (simplificada) em um polinômio de forma padrão.
Às vezes, os membros de um polinômio precisam ser divididos em grupos, colocando cada grupo entre parênteses. Como os parênteses são o oposto dos parênteses, é fácil formular regras de abertura de parênteses:
Se o sinal + for colocado antes dos colchetes, os termos entre colchetes serão escritos com os mesmos sinais.
Se um sinal "-" for colocado na frente dos colchetes, os termos entre colchetes serão escritos com sinais opostos.
Transformação (simplificação) do produto de um monômio e um polinômio
Usando a propriedade distributiva da multiplicação, pode-se transformar (simplificar) o produto de um monômio e um polinômio em um polinômio. Por exemplo:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
O produto de um monômio e um polinômio é identicamente igual à soma dos produtos deste monômio e cada um dos termos do polinômio.
Este resultado é geralmente formulado como uma regra.
Para multiplicar um monômio por um polinômio, deve-se multiplicar esse monômio por cada um dos termos do polinômio.
Usamos repetidamente essa regra para multiplicar por uma soma.
O produto de polinômios. Transformação (simplificação) do produto de dois polinômios
Em geral, o produto de dois polinômios é identicamente igual à soma do produto de cada termo de um polinômio e cada termo do outro.
Normalmente, use a seguinte regra.
Para multiplicar um polinômio por um polinômio, você precisa multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo do outro e somar os produtos resultantes.
Fórmulas de multiplicação abreviadas. Quadrados de Soma, Diferença e Diferença
Algumas expressões em transformações algébricas precisam ser tratadas com mais frequência do que outras. Talvez as expressões mais comuns sejam \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) e \(a^2 - b^2 \), ou seja, o quadrado da soma, o quadrado da diferença e diferença quadrada. Você notou que os nomes dessas expressões parecem estar incompletos, então, por exemplo, \((a + b)^2 \) é, obviamente, não apenas o quadrado da soma, mas o quadrado da soma de a e b. Porém, o quadrado da soma de a e b não é tão comum, via de regra, ao invés das letras a e b, contém várias expressões, às vezes bastante complexas.
As expressões \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) são fáceis de converter (simplificar) em polinômios da forma padrão; na verdade, você já se deparou com essa tarefa ao multiplicar polinômios :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
As identidades resultantes são úteis para lembrar e aplicar sem cálculos intermediários. Formulações verbais curtas ajudam nisso.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - o quadrado da soma é igual à soma dos quadrados e do produto duplo.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - o quadrado da diferença é a soma dos quadrados sem dobrar o produto.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - a diferença de quadrados é igual ao produto da diferença e a soma.
Essas três identidades permitem nas transformações substituir suas partes esquerdas pelas direitas e vice-versa - as partes direitas pelas esquerdas. O mais difícil neste caso é ver as expressões correspondentes e entender o que as variáveis aeb são substituídas nelas. Vejamos alguns exemplos do uso de fórmulas de multiplicação abreviadas.
Essa parte da equação é a expressão entre colchetes. Para abrir parênteses, observe o sinal na frente dos parênteses. Se houver um sinal de mais, nada mudará ao expandir os colchetes no registro da expressão: basta remover os colchetes. Se houver sinal de menos, ao abrir os parênteses, é necessário trocar todos os sinais que inicialmente estão entre parênteses pelos opostos. Por exemplo, -(2x-3)=-2x+3.
Multiplicando dois parênteses.
Se a equação contiver o produto de dois parênteses, expanda os parênteses de acordo com a regra padrão. Cada termo do primeiro parêntese é multiplicado por cada termo do segundo parêntese. Os números resultantes são somados. Nesse caso, o produto de dois "mais" ou dois "menos" dá ao termo um sinal de "mais" e, se os fatores tiverem sinais diferentes, então recebe um sinal de menos.
Considere.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Ao expandir parênteses, às vezes elevando uma expressão para . As fórmulas para quadratura e cubagem devem ser conhecidas de cor e lembradas.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
As fórmulas para elevar uma expressão maior que três podem ser feitas usando o triângulo de Pascal.
Fontes:
- fórmula de abertura de parênteses
As operações matemáticas entre colchetes podem conter variáveis e expressões de vários graus de complexidade. Para multiplicar tais expressões, será preciso buscar uma solução em visão geral, expandindo os colchetes e simplificando o resultado. Se os colchetes contiverem operações sem variáveis, apenas com valores numéricos, não é necessário abrir os colchetes, pois se um computador estiver disponível para seu usuário, recursos de computação muito significativos estarão disponíveis - é mais fácil usá-los do que simplificar o expressão.
Instrução
Multiplique sucessivamente cada (ou reduzido de) contido em um parêntese pelo conteúdo de todos os outros parênteses se quiser obter um resultado geral. Por exemplo, deixe a expressão original ser escrita assim: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Então a multiplicação sucessiva (isto é, expandindo os colchetes) dará o seguinte resultado: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Simplifique após o resultado encurtando as expressões. Por exemplo, a expressão obtida no passo anterior pode ser simplificada da seguinte forma: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Use uma calculadora se precisar multiplicar x igual a 4,75, ou seja, (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Para calcular esse valor, acesse o site do mecanismo de busca Google ou Nigma e digite a expressão no campo de consulta em seu formato original (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). O Google mostrará 82.265625 imediatamente sem pressionar um botão, enquanto o Nigma precisa enviar os dados para o servidor pressionando um botão.
Nesta lição, você aprenderá como transformar uma expressão que contém parênteses em uma expressão que não contém parênteses. Você aprenderá como abrir colchetes precedidos por um sinal de mais e um sinal de menos. Lembraremos como abrir colchetes usando a lei distributiva da multiplicação. Os exemplos considerados permitirão unir material novo e previamente estudado em um único todo.
Tópico: Resolução de Equações
Lição: expansão de parênteses
Como abrir colchetes precedidos por um sinal "+". Uso da lei associativa da adição.
Se você precisar adicionar a soma de dois números a um número, poderá adicionar o primeiro termo a esse número e depois o segundo.
À esquerda do sinal de igual está uma expressão com parênteses e à direita está uma expressão sem parênteses. Isso significa que ao passar do lado esquerdo da igualdade para o lado direito, os parênteses foram abertos.
Considere exemplos.
Exemplo 1 
Expandindo os colchetes, mudamos a ordem das operações. A contagem tornou-se mais conveniente.
Exemplo 2 
Exemplo 3
Observe que em todos os três exemplos, simplesmente removemos os parênteses. Vamos formular a regra:
Comente.
Se o primeiro termo entre parênteses não for assinado, deve ser escrito com um sinal de mais.
Você pode seguir o exemplo passo a passo. Primeiro, adicione 445 a 889. Essa ação mental pode ser executada, mas não é muito fácil. Vamos abrir os colchetes e ver que a alteração da ordem das operações simplificará bastante os cálculos.
Se você seguir a ordem de ações indicada, deverá primeiro subtrair 345 de 512 e, a seguir, adicionar 1345 ao resultado.Ao expandir os colchetes, alteraremos a ordem das ações e simplificaremos bastante os cálculos.
Exemplo ilustrativo e regra.
Veja um exemplo: . Você pode encontrar o valor da expressão adicionando 2 e 5 e, em seguida, obtendo o número resultante com o sinal oposto. Obtemos -7.
Por outro lado, o mesmo resultado pode ser obtido adicionando os números opostos.
Vamos formular a regra:
Exemplo 1 
Exemplo 2
A regra não muda se não houver dois, mas três ou mais termos entre colchetes.
Exemplo 3 
Comente. Os sinais são invertidos apenas na frente dos termos.
Para abrir parênteses, este caso Lembre-se da propriedade distributiva.
Primeiro, multiplique o primeiro colchete por 2 e o segundo por 3.
O primeiro colchete é precedido por um sinal “+”, o que significa que os sinais devem ser deixados inalterados. A segunda é precedida por um sinal “-”, portanto, todos os sinais devem ser invertidos
Bibliografia
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemática 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matemática 6º ano. - Ginásio, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Por trás das páginas de um livro de matemática. - Iluminismo, 1989.
- Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tarefas para o curso de matemática 5-6 série - ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matemática 5-6. Um manual para alunos do 6º ano da escola por correspondência do MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matemática: livro didático do Interlocutor para as séries 5-6 ensino médio. Biblioteca do professor de matemática. - Iluminismo, 1989.
- Testes de matemática online ().
- Você pode baixar os especificados na cláusula 1.2. livros().
Trabalho de casa
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemática 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (ver link 1.2)
- Lição de casa: nº 1254, nº 1255, nº 1256 (b, d)
- Outras atribuições: Nº 1258(c), Nº 1248
Neste artigo, consideraremos em detalhes as regras básicas para um tópico tão importante em um curso de matemática como a abertura de colchetes. Você precisa conhecer as regras para abrir colchetes para resolver corretamente as equações nas quais eles são usados.
Como abrir parênteses corretamente ao adicionar
Expanda os colchetes precedidos pelo sinal "+"
Este é o caso mais simples, pois se houver um sinal de adição na frente dos colchetes, quando os colchetes são abertos, os sinais dentro deles não mudam. Exemplo:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Como abrir colchetes precedidos por um sinal "-"
Nesse caso, você precisa reescrever todos os termos sem colchetes, mas ao mesmo tempo alterar todos os sinais dentro deles para os opostos. Os sinais mudam apenas para os termos daqueles colchetes que foram precedidos pelo sinal “-”. Exemplo:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Como abrir colchetes ao multiplicar
Os parênteses são precedidos por um multiplicador
Nesse caso, você precisa multiplicar cada termo por um fator e abrir os colchetes sem trocar os sinais. Se o multiplicador tiver o sinal "-", ao multiplicar, os sinais dos termos são invertidos. Exemplo:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Como abrir dois colchetes com um sinal de multiplicação entre eles
Nesse caso, você precisa multiplicar cada termo dos primeiros colchetes por cada termo dos segundos colchetes e depois somar os resultados. Exemplo:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Como abrir colchetes em um quadrado
Se a soma ou a diferença de dois termos for elevada ao quadrado, os colchetes devem ser expandidos de acordo com a seguinte fórmula:
(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.
No caso de um menos dentro dos colchetes, a fórmula não muda. Exemplo:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Como abrir parênteses em um grau diferente
Se a soma ou diferença dos termos for elevada, por exemplo, à 3ª ou 4ª potência, basta quebrar o grau do colchete em “quadrados”. As potências dos mesmos fatores são somadas e, ao dividir, o grau do divisor é subtraído do grau do dividendo. Exemplo:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Como abrir 3 colchetes
Existem equações nas quais 3 colchetes são multiplicados de uma só vez. Nesse caso, você deve primeiro multiplicar os termos dos dois primeiros colchetes entre si e depois multiplicar a soma dessa multiplicação pelos termos do terceiro colchete. Exemplo:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Essas regras de abertura de colchetes se aplicam igualmente a equações lineares e trigonométricas.
