Aulas de matemática: a multiplicação por zero é a regra principal. O algoritmo da calculadora online com exemplos
Quais dessas somas você acha que podem ser substituídas pelo produto?
Vamos argumentar assim. Na primeira soma, os termos são iguais, o número cinco é repetido quatro vezes. Então podemos substituir a adição pela multiplicação. O primeiro fator mostra qual termo se repete, o segundo fator mostra quantas vezes esse termo se repete. Substituímos a soma pelo produto.
Vamos anotar a solução.
Na segunda soma, os termos são diferentes, portanto não pode ser substituído por um produto. Adicionamos os termos e obtemos a resposta 17.
Vamos anotar a solução.
O produto pode ser substituído pela soma dos mesmos termos?
Considere as obras.
Vamos agir e tirar uma conclusão.
1*2=1+1=2
1*4=1+1+1+1=4
1*5=1+1+1+1+1=5
Podemos concluir: sempre o número de termos unitários é igual ao número pelo qual a unidade é multiplicada.
Significa, multiplicar o número um por qualquer número dá o mesmo número.
1 * a = a
Considere as obras.
Esses produtos não podem ser substituídos por uma soma, pois a soma não pode ter um termo.
Os produtos da segunda coluna diferem dos produtos da primeira coluna apenas na ordem dos fatores.
Isso significa que, para não violar a propriedade comutativa da multiplicação, seus valores também devem ser iguais, respectivamente, ao primeiro fator.
Vamos concluir: Quando qualquer número é multiplicado pelo número um, obtém-se o número que foi multiplicado.
Escrevemos esta conclusão como uma igualdade.
a * 1 = a
Resolver exemplos.
Dica: não se esqueça das conclusões que tiramos na aula.
Teste-se.
Agora vamos observar os produtos, onde um dos fatores é zero.
Considere produtos onde o primeiro fator é zero.
Substituamos os produtos pela soma de termos idênticos. Vamos agir e tirar uma conclusão.
0*3=0+0+0=0
0*6=0+0+0+0+0+0=0
0*4=0+0+0+0=0
O número de termos nulos é sempre igual ao número pelo qual o zero é multiplicado.
Significa, Quando você multiplica zero por um número, você obtém zero.
Escrevemos esta conclusão como uma igualdade.
0 * a = 0
Considere produtos onde o segundo fator é zero.
Esses produtos não podem ser substituídos por uma soma, pois a soma não pode ter termos zero.
Vamos comparar as obras e seus significados.
0*4=0
Os produtos da segunda coluna diferem dos produtos da primeira coluna apenas na ordem dos fatores.
Isso significa que, para não violar a propriedade comutativa da multiplicação, seus valores também devem ser iguais a zero.
Vamos concluir: Multiplicar qualquer número por zero resulta em zero.
Escrevemos esta conclusão como uma igualdade.
a * 0 = 0
Mas você não pode dividir por zero.
Resolver exemplos.
Dica: não se esqueça das conclusões tiradas na lição. Ao calcular os valores da segunda coluna, tenha cuidado ao determinar a ordem das operações.
Teste-se.
Hoje, na lição, conhecemos casos especiais de multiplicação por 0 e 1, multiplicados por 0 e 1.
Bibliografia
- MI. MORO, M. A. Bantova e outros Matemática: Livro didático. Grau 3: em 2 partes, parte 1. - M.: "Iluminismo", 2012.
- MI. MORO, M. A. Bantova e outros Matemática: Livro didático. Grau 3: em 2 partes, parte 2. - M.: "Iluminismo", 2012.
- MI. Moreau. Aulas de matemática: Diretrizes para o professor. Grau 3 - M.: Educação, 2012.
- Documento regulamentar. Acompanhamento e avaliação dos resultados da aprendizagem. - M.: "Iluminismo", 2011.
- "Escola da Rússia": Programas para escola primária. - M.: "Iluminismo", 2011.
- SI. Volkov. Matemática: Trabalho de verificação. Grau 3 - M.: Educação, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Testes. - M.: "Exame", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Trabalho de casa
1. Encontre o significado das expressões.
2. Encontre o significado das expressões.
3. Compare valores de expressão.
(56-54)*1 … (78-70)*1
4. Faça uma tarefa sobre o tema da aula para seus camaradas.
Calculadora de matemática online v.1.0
A calculadora executa as seguintes operações: adição, subtração, multiplicação, divisão, trabalho com decimais, extração da raiz, elevação a uma potência, cálculo de porcentagens e outras operações.
Solução:
Como usar a calculadora matemática
| Chave | Designação | Explicação |
|---|---|---|
| 5 | números 0-9 | Algarismos arábicos. Digite inteiros naturais, zero. Para obter um inteiro negativo, pressione a tecla +/- |
| . | ponto e vírgula) | Um separador decimal. Se não houver nenhum dígito antes do ponto (vírgula), a calculadora substituirá automaticamente um zero antes do ponto. Por exemplo: 0,5 - 0,5 será escrito |
| + | sinal de mais | Adição de números (inteiros, frações decimais) |
| - | Sinal de menos | Subtração de números (inteiros, frações decimais) |
| ÷ | sinal de divisão | Divisão de números (inteiros, frações decimais) |
| x | sinal de multiplicação | Multiplicação de números (inteiros, decimais) |
| √ | raiz | Extraindo a raiz de um número. Quando você pressiona o botão "raiz" novamente, a raiz é calculada a partir do resultado. Por exemplo: raiz quadrada de 16 = 4; raiz quadrada de 4 = 2 |
| x2 | quadratura | Quadratura de um número. Quando você pressiona o botão "quadrado" novamente, o resultado é elevado ao quadrado, por exemplo: quadrado 2 = 4; quadrado 4 = 16 |
| 1/x | fração | Saída para decimais. No numerador 1, no denominador o número de entrada |
| % | por cento | Obter uma porcentagem de um número. Para funcionar, você deve inserir: o número a partir do qual a porcentagem será calculada, o sinal (mais, menos, dividir, multiplicar), quantos por cento na forma numérica, o botão "%" |
| ( | colchete aberto | Um parêntese aberto para definir a prioridade de avaliação. Um parêntese fechado é necessário. Exemplo: (2+3)*2=10 |
| ) | colchete fechado | Um parêntese fechado para definir a prioridade de avaliação. colchete aberto obrigatório |
| ± | Mais menos | Muda o sinal para o oposto |
| = | é igual a | Exibe o resultado da solução. Além disso, os cálculos intermediários e o resultado são exibidos acima da calculadora no campo "Solução". |
| ← | excluindo um personagem | Exclui o último caractere |
| COM | reiniciar | Botão de reset. Redefine completamente a calculadora para "0" |
O algoritmo da calculadora online com exemplos
Adição.
Adição de números naturais inteiros ( 5 + 7 = 12 )
Adição de números inteiros naturais e negativos ( 5 + (-2) = 3 )
Adição de números fracionários decimais ( 0,3 + 5,2 = 5,5 )
Subtração.
Subtração de números naturais inteiros ( 7 - 5 = 2 )
Subtração de números inteiros naturais e negativos ( 5 - (-2) = 7 )
Subtração de números fracionários decimais ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )
Multiplicação.
Produto de números naturais inteiros ( 3 * 7 = 21 )
Produto de números inteiros naturais e negativos ( 5 * (-3) = -15 )
Produto de números fracionários decimais ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )
Divisão.
Divisão de números naturais inteiros ( 27 / 3 = 9 )
Divisão de números inteiros naturais e negativos ( 15 / (-3) = -5 )
Divisão de números fracionários decimais ( 6,2 / 2 = 3,1 )
Extraindo a raiz de um número.
Extraindo a raiz de um inteiro ( root(9) = 3 )
Extraindo a raiz de decimais ( root(2.5) = 1.58 )
Extraindo a raiz da soma dos números ( root(56 + 25) = 9 )
Extraindo a raiz da diferença em números ( root (32 - 7) = 5 )
Quadratura de um número.
Quadratura de um inteiro ( (3) 2 = 9 )
Elevação de decimais ( (2,2) 2 = 4,84 )
Converter para frações decimais.
Calculando porcentagens de um número
Aumente 230 em 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )
Diminua o número 510 em 35% ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )
18% do número 140 é ( 140 * 0,18 = 25,2 )
Pela primeira vez com uma operação aritmética como a multiplicação, os alunos são apresentados a banco da escola. O professor de matemática entre as inúmeras regras levanta o tema "multiplicar por zero". Apesar da inequívoca redação, os alunos têm muitas dúvidas. Vejamos o que acontece se multiplicarmos por 0.
A regra de que não se pode multiplicar por zero gera muitas disputas entre professores e seus alunos. É importante entender que a multiplicação por zero é um aspecto controverso devido à sua ambiguidade.
Em primeiro lugar, a atenção está voltada para a falta de um nível de conhecimento suficiente entre os alunos do ensino médio. Ensino Médio. Cruzando o limiar instituição educacional, um participante do processo educacional na maioria das vezes não pensa no objetivo principal que deve ser perseguido.
Durante o treinamento, o professor aborda vários assuntos. Isso inclui a situação, o que acontece se você multiplicar por 0. No esforço de antecipar a narração do professor, alguns alunos entram em polêmica. Eles provam, pelo menos tentam, que a multiplicação por 0 é válida. Mas, infelizmente, este não é o caso. Multiplicar qualquer número por 0 resulta em nada. Em alguns fontes literárias inclusive há uma menção de que qualquer número multiplicado por zero forma um vazio.
Importante! Os ouvintes atentos percebem imediatamente que, se o número for multiplicado por 0, o resultado será 0. Um desenvolvimento diferente dos eventos pode ser traçado no caso dos alunos que faltam sistematicamente às aulas. Alunos desatentos ou sem escrúpulos são mais propensos do que outros a pensar em quanto será se multiplicarem por zero.
Em decorrência da falta de conhecimento sobre o tema, o professor e o aluno negligente se encontram em lados opostos de uma situação contraditória.
A diferença de pontos de vista sobre o tema da disputa está no grau de instrução sobre se é possível multiplicar por 0 ou ainda não. A única maneira aceitável de sair dessa situação é tentar apelar para o pensamento lógico para encontrar a resposta certa.
Não é recomendado usar o exemplo a seguir para explicar a regra. Vanya tem 2 maçãs em sua bolsa para um lanche. Na hora do almoço, pensou em colocar mais maçãs na pasta. Mas naquele momento não havia uma única fruta por perto. Vanya não colocou nada. Em outras palavras, ele colocou 0 maçãs em 2 maçãs.
Em termos de aritmética este exemplo Acontece que se 2 for multiplicado por 0, não haverá vazio. A resposta neste caso é clara. Para este exemplo, a regra da multiplicação por zero não é relevante. A decisão certaé somatório. É por isso que a resposta correta é 2 maçãs.
Caso contrário, o professor não tem escolha a não ser compor uma série de tarefas. A última medida é redefinir a passagem do tópico e pesquisar exceções na multiplicação.
essência da ação
É aconselhável começar a estudar o algoritmo de ações ao multiplicar por zero, indicando a essência da operação aritmética.
A essência da ação de multiplicar foi originalmente determinada exclusivamente para um número natural. Se o mecanismo de ação for revelado, um certo número envolvido no cálculo é adicionado a si mesmo.
É importante considerar o número de adições. Dependendo deste critério, diferentes resultados são obtidos. A adição de um número em relação a si mesmo determina uma propriedade dele como naturalidade.
Vejamos um exemplo. É necessário multiplicar o número 15 por 3. Quando multiplicado por 3, o número 15 aumenta três vezes em seu valor. Em outras palavras, a ação se parece com 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Com base no mecanismo de cálculo, torna-se óbvio que, se um número for multiplicado por outro número natural, haverá uma aparência de adição de forma simplificada .
É aconselhável iniciar o algoritmo de ações ao multiplicar por 0, fornecendo uma característica por zero.
Observação! De acordo com a sabedoria convencional, zero representa todo o nada. Para vacuidade desse tipo, uma designação é fornecida em aritmética. Apesar de dado fato, um valor nulo não carrega nada.
Deve-se notar que tal opinião na sociedade científica do mundo moderno difere do ponto de vista dos antigos cientistas orientais. De acordo com a teoria que sustentavam, o zero era igual ao infinito.
Em outras palavras, se você multiplicar por zero, terá uma variedade de opções. No valor zero, os cientistas consideraram uma espécie de profundidade do universo.
Como confirmação da possibilidade de multiplicar por 0, os matemáticos citaram o seguinte fato. Se você colocar 0 ao lado de qualquer número natural, obterá um valor dez vezes maior que o original.
O exemplo dado é um dos argumentos. Além de provas desse tipo, há muitos outros exemplos. São eles que fundamentam as disputas em curso ao se multiplicar pelo vazio.
A viabilidade de tentar
Entre os alunos com bastante frequência no início da masterização material educacional há tentativas de multiplicar um número por 0. Tal ação é um erro grosseiro.
Em essência, nada acontecerá com essas tentativas, mas também não haverá benefício. Se você multiplicar por um valor zero, obtém uma nota insatisfatória no diário.
O único pensamento que deve surgir ao multiplicar pelo vazio é a impossibilidade de ação. memorização em este caso Tem um papel importante. Tendo aprendido a regra de uma vez por todas, o aluno evita o surgimento de situações polêmicas.
Como exemplo a ser usado na multiplicação por zero, pode-se usar a seguinte situação. Sasha decidiu comprar maçãs. Enquanto ela estava no supermercado, ela escolheu 5 maçãs grandes e maduras. Indo para o departamento de laticínios, ela sentiu que isso não seria suficiente para ela. A menina colocou mais 5 peças em sua cesta.
Depois de pensar um pouco mais, ela pegou mais 5. Como resultado, no caixa, Sasha obteve: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 maçãs. Se ela colocasse 5 maçãs apenas 2 vezes, seria 5 * 2 = 5 + 5 = 10. Caso Sasha não colocasse 5 maçãs na cesta, seria 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Em outras palavras, comprar maçãs 0 vezes significa não comprar nenhuma.
Mesmo na escola, os professores tentavam martelar a regra mais simples em nossas cabeças: "Qualquer número multiplicado por zero é igual a zero!", - mas ainda há muita controvérsia em torno dele. Alguém acabou de memorizar a regra e não se incomoda com a pergunta “por quê?”. “Aqui não dá para fazer tudo, porque na escola já diziam, regra é regra!” Alguém pode encher meio caderno de fórmulas, comprovando essa regra ou, ao contrário, sua ilogicidade.
Em contato com
Quem está certo no final
Durante essas disputas, as duas pessoas, tendo pontos de vista opostos, se olham como um carneiro e provam com todas as suas forças que estão certas. Embora, se você olhar para eles de lado, poderá ver não um, mas dois carneiros descansando um contra o outro com seus chifres. A única diferença entre eles é que um é um pouco menos educado que o outro.
Na maioria das vezes, aqueles que consideram esta regra errada tentam apelar para a lógica desta forma:
Tenho duas maçãs na minha mesa, se eu colocar zero maçãs nelas, ou seja, não colocar nenhuma, então minhas duas maçãs não vão desaparecer disso! A regra é ilógica!
Na verdade, as maçãs não vão desaparecer em lugar nenhum, mas não porque a regra seja ilógica, mas porque uma equação ligeiramente diferente é usada aqui: 2 + 0 \u003d 2. Portanto, descartaremos imediatamente tal conclusão - é ilógica, embora tenha o objetivo oposto - chamar à lógica.
o que é multiplicação
A regra de multiplicação original foi definido apenas para números naturais: a multiplicação é um número adicionado a si mesmo um certo número de vezes, o que implica a naturalidade do número. Assim, qualquer número com multiplicação pode ser reduzido a esta equação:
- 25x3=75
- 25 + 25 + 25 = 75
- 25x3 = 25 + 25 + 25
A partir desta equação segue a conclusão, que a multiplicação é uma adição simplificada.
o que é zero
Qualquer pessoa sabe desde a infância: zero é vazio, apesar de esse vazio ter uma designação, ele não carrega nada. Cientistas do antigo Oriente pensavam de outra forma - eles abordaram a questão filosoficamente e traçaram alguns paralelos entre o vazio e o infinito e viram significado profundo neste número. Afinal, o zero, que tem o valor do vazio, estando ao lado de qualquer número natural, o multiplica dez vezes. Daí toda a polêmica sobre a multiplicação - esse número carrega tanta inconsistência que fica difícil não se confundir. Além disso, o zero é constantemente usado para determinar dígitos vazios em frações decimais, isso é feito antes e depois do ponto decimal.
É possível multiplicar pelo vazio
É possível multiplicar por zero, mas é inútil, porque, diga-se o que se diga, mas mesmo multiplicando números negativos, o zero ainda será obtido. Basta lembrar esta regra mais simples e nunca mais fazer esta pergunta. Na verdade, tudo é mais simples do que parece à primeira vista. Não há significados ocultos e mistérios, como os antigos estudiosos acreditavam. A explicação mais lógica será dada a seguir de que essa multiplicação é inútil, pois ao multiplicar um número por ele, ainda se obterá a mesma coisa - zero.
Voltando ao início, o argumento sobre duas maçãs, 2 vezes 0 se parece com isso:
- Se você comer duas maçãs cinco vezes, então comeu 2 × 5 = 2+2+2+2+2 = 10 maçãs
- Se você comer dois deles três vezes, então comeu 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 maçãs
- Se você comer duas maçãs zero vezes, nada será comido - 2x0 = 0x2 = 0+0 = 0
Afinal, comer uma maçã 0 vezes significa não comer nenhuma. vai ficar claro mesmo para uma criança pequena. Goste ou não, sairá 0, dois ou três podem ser substituídos por absolutamente qualquer número e sairá absolutamente a mesma coisa. E, para simplificar, zero não é nada e quando você tiver não há nada, então não importa o quanto você multiplique - é tudo a mesma coisa será zero. Não existe mágica e nada fará uma maçã, mesmo que você multiplique 0 por um milhão. Esta é a explicação mais simples, compreensível e lógica da regra da multiplicação por zero. Para uma pessoa que está longe de todas as fórmulas e matemática, tal explicação será suficiente para que a dissonância na cabeça se resolva e tudo se encaixe.
Divisão
De tudo o que foi dito acima segue outra regra importante:
Você não pode dividir por zero!
Essa regra também foi teimosamente martelada em nossas cabeças desde a infância. Só sabemos que é impossível e pronto, sem encher a cabeça com informações desnecessárias. Se de repente você fizer a pergunta, por que motivo é proibido dividir por zero, a maioria ficará confusa e não será capaz de responder com clareza a pergunta mais simples de currículo escolar, porque não há tanta polêmica e polêmica em torno dessa regra.
Todos apenas memorizaram a regra e não dividem por zero, sem suspeitar que a resposta está na superfície. Adição, multiplicação, divisão e subtração são desiguais, apenas a multiplicação e a adição estão cheias do que foi dito acima, e todas as outras manipulações com números são construídas a partir delas. Ou seja, a entrada 10: 2 é uma abreviação da equação 2 * x = 10. Portanto, a entrada 10: 0 é a mesma abreviação de 0 * x = 10. Acontece que a divisão por zero é uma tarefa para encontrar um número, multiplicando por 0, você obtém 10 E já descobrimos que tal número não existe, o que significa que esta equação não tem solução e será a priori incorreta.
Deixe-me dizer-lhe
Para não dividir por 0!
Corte 1 como quiser, junto,
Só não divida por 0!
Quais dessas somas você acha que podem ser substituídas pelo produto?
Vamos argumentar assim. Na primeira soma, os termos são iguais, o número cinco é repetido quatro vezes. Então podemos substituir a adição pela multiplicação. O primeiro fator mostra qual termo se repete, o segundo fator mostra quantas vezes esse termo se repete. Substituímos a soma pelo produto.
Vamos anotar a solução.
Na segunda soma, os termos são diferentes, portanto não pode ser substituído por um produto. Adicionamos os termos e obtemos a resposta 17.
Vamos anotar a solução.
O produto pode ser substituído pela soma dos mesmos termos?
Considere as obras.
Vamos agir e tirar uma conclusão.
1*2=1+1=2
1*4=1+1+1+1=4
1*5=1+1+1+1+1=5
Podemos concluir: sempre o número de termos unitários é igual ao número pelo qual a unidade é multiplicada.
Significa, multiplicar o número um por qualquer número dá o mesmo número.
1 * a = a
Considere as obras.
Esses produtos não podem ser substituídos por uma soma, pois a soma não pode ter um termo.
Os produtos da segunda coluna diferem dos produtos da primeira coluna apenas na ordem dos fatores.
Isso significa que, para não violar a propriedade comutativa da multiplicação, seus valores também devem ser iguais, respectivamente, ao primeiro fator.
Vamos concluir: Quando qualquer número é multiplicado pelo número um, obtém-se o número que foi multiplicado.
Escrevemos esta conclusão como uma igualdade.
a * 1 = a
Resolver exemplos.
Dica: não se esqueça das conclusões que tiramos na aula.
Teste-se.
Agora vamos observar os produtos, onde um dos fatores é zero.
Considere produtos onde o primeiro fator é zero.
Substituamos os produtos pela soma de termos idênticos. Vamos agir e tirar uma conclusão.
0*3=0+0+0=0
0*6=0+0+0+0+0+0=0
0*4=0+0+0+0=0
O número de termos nulos é sempre igual ao número pelo qual o zero é multiplicado.
Significa, Quando você multiplica zero por um número, você obtém zero.
Escrevemos esta conclusão como uma igualdade.
0 * a = 0
Considere produtos onde o segundo fator é zero.
Esses produtos não podem ser substituídos por uma soma, pois a soma não pode ter termos zero.
Vamos comparar as obras e seus significados.
0*4=0
Os produtos da segunda coluna diferem dos produtos da primeira coluna apenas na ordem dos fatores.
Isso significa que, para não violar a propriedade comutativa da multiplicação, seus valores também devem ser iguais a zero.
Vamos concluir: Multiplicar qualquer número por zero resulta em zero.
Escrevemos esta conclusão como uma igualdade.
a * 0 = 0
Mas você não pode dividir por zero.
Resolver exemplos.
Dica: não se esqueça das conclusões tiradas na lição. Ao calcular os valores da segunda coluna, tenha cuidado ao determinar a ordem das operações.
Teste-se.
Hoje, na lição, conhecemos casos especiais de multiplicação por 0 e 1, multiplicados por 0 e 1.
Bibliografia
- MI. MORO, M. A. Bantova e outros Matemática: Livro didático. Grau 3: em 2 partes, parte 1. - M.: "Iluminismo", 2012.
- MI. MORO, M. A. Bantova e outros Matemática: Livro didático. Grau 3: em 2 partes, parte 2. - M.: "Iluminismo", 2012.
- MI. Moreau. Aulas de matemática: orientações para professores. Grau 3 - M.: Educação, 2012.
- Documento regulamentar. Acompanhamento e avaliação dos resultados da aprendizagem. - M.: "Iluminismo", 2011.
- "Escola da Rússia": Programas para o ensino fundamental. - M.: "Iluminismo", 2011.
- SI. Volkov. Matemática: Trabalho de teste. Grau 3 - M.: Educação, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Testes. - M.: "Exame", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Trabalho de casa
1. Encontre o significado das expressões.
2. Encontre o significado das expressões.
3. Compare valores de expressão.
(56-54)*1 … (78-70)*1
4. Faça uma tarefa sobre o tema da aula para seus camaradas.
