Det som kallas sinus för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel. Rätt triangel
Instruktioner
Om du behöver hitta cosinus vinkel i en godtycklig triangel måste du använda cosinussatsen:
om vinkeln är spetsig: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
om vinkel: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), där a, b är längden på sidorna som gränsar till hörnet, c är längden på sidan mittemot hörnet.
Den matematiska notationen för cosinus är cos.
Cosinusvärdet får inte vara större än 1 och mindre än -1.
Källor:
- hur man beräknar cosinus för en vinkel
- Trigonometriska funktioner på enhetscirkeln
Cosinusär en grundläggande trigonometrisk funktion av vinkel. Förmågan att bestämma cosinus är användbar i vektoralgebra när man bestämmer projektioner av vektorer på olika axlar.
Instruktioner
сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)
Det finns en triangel med sidorna a, b, c lika med 3, 4, 5 mm respektive.
Hitta cosinus vinkeln mellan de större sidorna.
Låt oss beteckna vinkeln motsatt sida a med ?, då, enligt formeln härledd ovan, har vi:
сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8
Svar: 0,8.
Om triangeln är rätvinklig, då för att hitta cosinus och för en vinkel räcker det att känna till längden på vilka två sidor som helst ( cosinus rät vinkel är 0).
Låt det finnas en rätvinklig triangel med sidorna a, b, c, där c är hypotenusan.
Låt oss överväga alla alternativ:
Hitta cos?, om längderna på sidorna a och b (i triangeln) är kända
Låt oss dessutom använda Pythagoras sats:
сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)
För att säkerställa att den resulterande formeln är korrekt, ersätter vi i den från exempel 1, dvs.
Efter att ha gjort några grundläggande beräkningar får vi:
Hittade likadant cosinus i en rektangulär triangel i andra fall:
Kända a och c (hypotenusa och motsatt sida), hitta cos?
сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.
Genom att ersätta värdena a=3 och c=5 från exemplet får vi:
Kända b och c (hypotenus och intilliggande ben).
Hitta cos?
Efter att ha gjort liknande transformationer (visas i exempel 2 och 3) får vi det i detta fall cosinus V triangel beräknas med en mycket enkel formel:
Enkelheten i den härledda formeln kan enkelt förklaras: faktiskt intill hörnet? benet är en projektion av hypotenusan, dess längd är lika med hypotenusans längd multiplicerat med cos?.
Genom att ersätta värdena b=4 och c=5 från det första exemplet får vi:
Det betyder att alla våra formler är korrekta.
Tips 5: Hur man hittar en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel
Direkt kolsyra triangeln är förmodligen en av de mest kända ur en historisk synvinkel, geometriska former. Pythagoras "byxor" kan bara konkurrera med "Eureka!" Arkimedes.
Du kommer behöva
- - ritning av en triangel;
- - linjal;
- - gradskiva
Instruktioner
Summan av vinklarna i en triangel är 180 grader. I en rektangulär triangel en vinkel (rak) kommer alltid att vara 90 grader, och resten är spetsig, dvs. mindre än 90 grader vardera. För att bestämma vilken vinkel som är i en rektangulär triangelär rak, använd en linjal för att mäta triangelns sidor och bestämma den största. Det är hypotenusan (AB) och ligger mittemot den räta vinkeln (C). De återstående två sidorna bildar en rät vinkel och ben (AC, BC).
När du har bestämt vilken vinkel som är spetsig kan du antingen använda en gradskiva för att beräkna vinkeln med hjälp av matematiska formler.
För att bestämma vinkeln med en gradskiva, rikta in dess topp (låt oss beteckna den med bokstaven A) med ett speciellt märke på linjalen i mitten av gradskivan; benet AC ska sammanfalla med dess övre kant. Markera på den halvcirkelformade delen av gradskivan den punkt genom vilken hypotenusan AB. Värdet vid denna punkt motsvarar vinkeln i grader. Om det finns 2 värden indikerade på gradskivan, då för spetsig vinkel du måste välja den mindre, för den dumma - den större.
Hitta det resulterande värdet i Bradis referensböcker och bestäm vilken vinkel det resulterande numeriska värdet motsvarar. Våra mormödrar använde denna metod.
I vår räcker det att ta med funktionen att beräkna trigonometriska formler. Till exempel den inbyggda Windows-kalkylatorn. Starta applikationen "Kalkylator", i menyalternativet "Visa", välj "Engineering". Beräkna sinus för önskad vinkel, till exempel sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5
Växla räknaren till omvänt funktionsläge genom att klicka på INV-knappen på räknarens display, klicka sedan på bågfunktionsknappen (indikeras på displayen som sin minus första potensen). Följande meddelande visas i beräkningsfönstret: asind (0,5) = 30. Dvs. värdet på den önskade vinkeln är 30 grader.
Källor:
- Bradis-bord (sinus, kosinus)
Cosinussatsen i matematik används oftast när det är nödvändigt att hitta den tredje sidan av en vinkel och två sidor. Men ibland ställs problemets tillstånd omvänt: du måste hitta en vinkel med givna tre sidor.
Instruktioner
Föreställ dig att du får en triangel där längden på två sidor och värdet på en vinkel är kända. Alla vinklarna i denna triangel är inte lika med varandra, och dess sidor är också olika i storlek. Vinkeln γ ligger mittemot sidan av triangeln, betecknad AB, vilket är denna figur. Genom denna vinkel, såväl som genom de återstående sidorna AC och BC, kan du hitta den sida av triangeln som är okänd med hjälp av cosinussatsen, som härleder formeln nedan:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, där a=BC, b=AB, c=AC
Cosinussatsen kallas annars för den generaliserade Pythagoras sats.
Föreställ dig nu att alla tre sidorna av figuren är givna, men dess vinkel γ är okänd. Genom att veta att formen a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, transformera detta uttryck så att det önskade värdet blir vinkeln γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Sätt sedan ovanstående ekvation i en något annan form: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Detta uttryck ska sedan konverteras till det nedan: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Allt som återstår är att ersätta siffror i formeln och utföra beräkningarna.
För att hitta cosinus, betecknad γ, måste den uttryckas i termer av inversen av trigonometri, kallad bågcosinus. Bågcosinus för talet m är värdet på vinkeln γ för vilken cosinus för vinkeln γ är lika med m. Funktionen y=arccos m minskar. Föreställ dig till exempel att cosinus för vinkeln γ är lika med hälften. Då kan vinkeln γ definieras genom bågcosinus enligt följande:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, där m = 1/2.
På liknande sätt kan du hitta de återstående vinklarna i triangeln med dess andra två okända sidor.
Sinus och cosinus är två trigonometriska funktioner som kallas "direkt". Det är de som måste beräknas oftare än andra, och för att lösa detta problem idag har var och en av oss ett stort urval av alternativ. Nedan är några av de mest enkla sätt.
Instruktioner
Använd en gradskiva, en penna och ett papper om inga andra beräkningsmetoder finns tillgängliga. En av definitionerna av cosinus ges i termer av spetsiga vinklar i en rätvinklig triangel - den är lika med förhållandet mellan längden på benet mitt emot denna vinkel och längden. Rita en triangel där en av vinklarna är rät (90°) och den andra är den vinkel du vill beräkna. Längden på sidorna spelar ingen roll - rita dem på det sätt som är bekvämare för dig att mäta. Mät längden på det önskade benet och hypotenusan och dela det första med det andra på något lämpligt sätt.
Utnyttja möjligheten till mening trigonometriska funktioner använda den inbyggda kalkylatorn i Nigmas sökmotor, om du har tillgång till Internet. Till exempel, om du behöver beräkna cosinus för en vinkel på 20°, då genom att ladda startsida service http://nigma.ru, skriv "cosine 20" i sökfrågefältet och klicka på knappen "Sök!". Du kan utelämna "grader" och ersätta ordet "cosinus" med cos - i vilket fall som helst kommer sökmotorn att visa resultatet exakt med 15 decimaler (0,939692620785908).
Öppna standardprogrammet som är installerat med operativsystemet Windows-system, om det inte finns någon tillgång till Internet. Du kan till exempel göra detta genom att samtidigt trycka på tangenterna win och r, sedan ange kommandot calc och klicka på OK-knappen. För att beräkna trigonometriska funktioner, här är ett gränssnitt som heter "teknik" eller "vetenskapligt" (beroende på OS-versionen) - välj önskat objekt i avsnittet "Visa" i kalkylatormenyn. Efter detta anger du vinkelvärdet och klickar på cos-knappen i programgränssnittet.
Video om ämnet
Tips 8: Hur man bestämmer vinklar i en rät triangel
Rektangulär kännetecknas av vissa relationer mellan hörn och sidor. Genom att känna till värdena för några av dem kan du beräkna andra. För detta ändamål används formler som i sin tur bygger på geometrins axiom och satser.
Referensdata för tangent (tg x) och cotangens (ctg x). Geometrisk definition, egenskaper, grafer, formler. Tabell över tangenter och cotangenter, derivator, integraler, serieexpansion. Uttryck genom komplexa variabler. Anslutning till hyperboliska funktioner.
Geometrisk definition
|BD| - längden på cirkelbågen med centrum i punkt A.
α är vinkeln uttryckt i radianer.
Tangent ( tan α) är en trigonometrisk funktion beroende på vinkeln α mellan hypotenusan och benet i en rätvinklig triangel, lika med förhållandet mellan längden på det motsatta benet |BC| till längden av det intilliggande benet |AB| .
Cotangens ( ctg α) är en trigonometrisk funktion beroende på vinkeln α mellan hypotenusan och benet i en rätvinklig triangel, lika med förhållandet mellan längden på det intilliggande benet |AB| till längden av det motsatta benet |BC| .
Tangent
Var n- hel.
I västerländsk litteratur betecknas tangent på följande sätt:
.
;
;
.
Graf över tangentfunktionen, y = tan x
Cotangens
Var n- hel.
I västerländsk litteratur betecknas cotangens enligt följande:
.
Följande notationer accepteras också:
;
;
.
Graf över cotangensfunktionen, y = ctg x
Egenskaper för tangent och cotangens
Periodicitet
Funktioner y = tg x och y = ctg xär periodiska med period π.
Paritet
Tangent- och cotangensfunktionerna är udda.
Definitionsområden och värderingar, ökar, minskar
Tangent- och cotangensfunktionerna är kontinuerliga i sin definitionsdomän (se bevis på kontinuitet). Huvudegenskaperna för tangent och cotangens presenteras i tabellen ( n- hela).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Omfattning och kontinuitet | ||
| Värdeintervall | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Ökande | - | |
| Nedåtgående | - | |
| Extremer | - | - |
| Nollor, y = 0 | ||
| Skär punkter med ordinataaxeln, x = 0 | y = 0 | - |
Formler
Uttryck med sinus och cosinus
;
;
;
;
;
Formler för tangent och cotangens från summa och skillnad
Resterande formler är till exempel lätta att få fram
Produkt av tangenter
Formel för summan och skillnaden av tangenter
Den här tabellen presenterar värdena för tangenter och cotangenter för vissa värden i argumentet. 
Uttryck som använder komplexa tal
Uttryck genom hyperboliska funktioner
;
;
Derivat
; .
.
Derivata av n:e ordningen med avseende på variabeln x för funktionen:
.
Härleda formler för tangent > > > ; för cotangens > > >
Integraler
Serieutvidgningar
För att erhålla expansionen av tangenten i potenser av x måste du ta flera termer av expansionen i en potensserie för funktionerna synd x Och för x och dividera dessa polynom med varandra, . Detta ger följande formler.
Kl.
kl.
Var Bn- Bernoullis siffror. De bestäms antingen från återfallsrelationen:
;
;
Var .
Eller enligt Laplaces formel: 
Omvända funktioner
Omvända funktioner till tangent och cotangens är arctangent respektive arccotangens.
Arctangens, arctg
, Var n- hel.
Arccotangent, arcctg
, Var n- hel.
Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter, "Lan", 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.
Sinus är en av de grundläggande trigonometriska funktionerna, vars användning inte är begränsad till enbart geometri. Tabeller för beräkning av trigonometriska funktioner, som tekniska miniräknare, finns inte alltid till hands, och beräkning av sinus behövs ibland för att lösa olika problem. I allmänhet kommer beräkning av sinus att hjälpa till att konsolidera ritfärdigheter och kunskap om trigonometriska identiteter.
Spel med linjal och penna
En enkel uppgift: hur hittar man sinus för en vinkel ritad på papper? För att lösa behöver du en vanlig linjal, en triangel (eller kompass) och en penna. Det enklaste sättet att beräkna sinus för en vinkel är genom att dividera det bortre benet av en triangel med en rät vinkel med långsidan - hypotenusan. Således måste du först slutföra den spetsiga vinkeln till formen av en rätvinklig triangel genom att rita en linje vinkelrät mot en av strålarna på ett godtyckligt avstånd från vinkelns spets. Vi kommer att behöva bibehålla en vinkel på exakt 90°, för vilken vi behöver en kontorstriangel.
Att använda en kompass är lite mer exakt, men det tar längre tid. På en av strålarna måste du markera 2 punkter på ett visst avstånd, ställa in en radie på kompassen ungefär lika med avståndet mellan punkterna och rita halvcirklar med mittpunkter på dessa punkter tills skärningspunkterna mellan dessa linjer erhålls. Genom att koppla samman skärningspunkterna för våra cirklar med varandra får vi en strikt vinkelrät mot vår vinkelstråle; allt som återstår är att förlänga linjen tills den skär en annan stråle.
I den resulterande triangeln måste du använda en linjal för att mäta sidan mittemot hörnet och långsidan på en av strålarna. Förhållandet mellan den första dimensionen och den andra kommer att vara det önskade värdet på sinus för den spetsiga vinkeln.
Hitta sinus för en vinkel större än 90°
För en trubbig vinkel är uppgiften inte mycket svårare. Vi måste rita en stråle från spetsen i motsatt riktning med hjälp av en linjal för att bilda en rak linje med en av strålarna i vinkeln vi är intresserade av. Den resulterande spetsiga vinkeln bör behandlas enligt beskrivningen ovan, sinusen för intilliggande vinklar som tillsammans bildar en omvänd vinkel på 180° är lika.
Beräkna sinus med andra trigonometriska funktioner
Det är också möjligt att beräkna sinus om värdena för andra trigonometriska funktioner i vinkeln eller åtminstone längderna på triangelns sidor är kända. Trigonometriska identiteter kommer att hjälpa oss med detta. Låt oss titta på vanliga exempel.
Hur hittar man sinus med en känd cosinus i en vinkel? Den första trigonometriska identiteten, baserad på Pythagoras sats, säger att summan av kvadraterna av sinus och cosinus i samma vinkel är lika med ett.
Hur hittar man sinus med en känd tangens av en vinkel? Tangenten erhålls genom att dividera bortre sidan med närsida eller dividera sinus med cosinus. Således kommer sinus att vara produkten av cosinus och tangent, och kvadraten av sinus kommer att vara kvadraten av denna produkt. Vi ersätter den kvadratiska cosinus med skillnaden mellan enhet och kvadratsinus enligt den första trigonometriska identiteten och genom enkla manipulationer reducerar vi ekvationen till beräkningen av kvadratsinus genom tangenten; för att beräkna sinus, kommer du följaktligen att måste extrahera roten till det erhållna resultatet.
Hur hittar man sinus med en känd cotangens av en vinkel? Värdet på cotangens kan beräknas genom att dividera längden på benet närmast vinkeln med längden på den bortre, samt dividera cosinus med sinus, det vill säga cotangens är en funktion invers till tangenten relativ till talet 1. För att beräkna sinus kan du beräkna tangenten med formeln tg α = 1 / ctg α och använda formeln i det andra alternativet. Du kan också härleda en direkt formel i analogi med tangent, som kommer att se ut så här.
Hur man hittar sinus för tre sidor i en triangel
Det finns en formel för att hitta längden på den okända sidan av en triangel, inte bara en rätvinklig triangel, från två kända sidor med hjälp av den trigonometriska funktionen av cosinus i den motsatta vinkeln. Hon ser ut så här.
Begreppen sinus, cosinus, tangent och cotangens är huvudkategorierna för trigonometri, en gren av matematiken, och är oupplösligt förbundna med definitionen av vinkel. Att behärska denna matematiska vetenskap kräver memorering och förståelse av formler och teorem, samt utvecklat rumsligt tänkande. Det är därför trigonometriska beräkningar ofta orsakar svårigheter för skolbarn och elever. För att övervinna dem bör du bli mer bekant med trigonometriska funktioner och formler.
Begrepp i trigonometri
För att förstå de grundläggande begreppen trigonometri måste du först förstå vad en rätvinklig triangel och en vinkel i en cirkel är, och varför alla grundläggande trigonometriska beräkningar är förknippade med dem. En triangel där en av vinklarna mäter 90 grader är rektangulär. Historiskt sett användes denna figur ofta av människor inom arkitektur, navigation, konst och astronomi. Följaktligen, genom att studera och analysera egenskaperna hos denna figur, kom människor att beräkna motsvarande förhållande mellan dess parametrar.
Huvudkategorierna förknippade med räta trianglar är hypotenusan och benen. Hypotenusan är sidan av en triangel mitt emot den räta vinkeln. Benen är de återstående två sidorna. Summan av vinklarna för alla trianglar är alltid 180 grader.
Sfärisk trigonometri är ett avsnitt av trigonometri som inte studeras i skolan, men inom tillämpade vetenskaper som astronomi och geodesi använder forskare det. Det speciella med en triangel i sfärisk trigonometri är att den alltid har en summa av vinklar som är större än 180 grader.
Vinklar i en triangel
I en rätvinklig triangel är en vinkels sinus förhållandet mellan benet mitt emot den önskade vinkeln och triangelns hypotenusa. Följaktligen är cosinus förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan. Båda dessa värden har alltid en magnitud mindre än ett, eftersom hypotenusan alltid är längre än benet.
Tangensen för en vinkel är ett värde lika med förhållandet mellan den motsatta sidan och den intilliggande sidan av den önskade vinkeln, eller sinus till cosinus. Cotangens är i sin tur förhållandet mellan den intilliggande sidan av den önskade vinkeln och den motsatta sidan. Cotangensen för en vinkel kan också erhållas genom att dividera en med tangentvärdet.
Enhetscirkel
En enhetscirkel i geometri är en cirkel vars radie är lika med en. En sådan cirkel är konstruerad i ett kartesiskt koordinatsystem, där cirkelns mittpunkt sammanfaller med utgångspunkten, och radievektorns initiala position bestäms längs X-axelns positiva riktning (abskissaxeln). Varje punkt på cirkeln har två koordinater: XX och YY, det vill säga koordinaterna för abskissan och ordinaten. Genom att välja valfri punkt på cirkeln i XX-planet och släppa en vinkelrät från den till abskissaxeln får vi en rätvinklig triangel som bildas av radien till den valda punkten (betecknad med bokstaven C), vinkelrät ritad till X-axeln (skärningspunkten betecknas med bokstaven G), och segmentet abskissaxeln är mellan origo för koordinater (punkten betecknas med bokstaven A) och skärningspunkten G. Den resulterande triangeln ACG är en rätvinklig triangel inskriven i en cirkel, där AG är hypotenusan och AC och GC är benen. Vinkeln mellan radien för cirkeln AC och segmentet av abskissaxeln med beteckningen AG definieras som α (alfa). Så, cos α = AG/AC. Med tanke på att AC är radien för enhetscirkeln, och den är lika med ett, visar det sig att cos α=AG. Likaså sin α=CG.
Genom att känna till dessa data kan du dessutom bestämma koordinaten för punkt C på cirkeln, eftersom cos α=AG och sin α=CG, vilket betyder att punkt C har givna koordinater(cos α;sin α). Genom att veta att tangenten är lika med förhållandet mellan sinus och cosinus kan vi bestämma att tan α = y/x och cot α = x/y. Genom att betrakta vinklar i ett negativt koordinatsystem kan du beräkna att sinus- och cosinusvärdena för vissa vinklar kan vara negativa.
Beräkningar och grundläggande formler
Trigonometriska funktionsvärden
Efter att ha övervägt essensen av trigonometriska funktioner genom enhetscirkeln, kan vi härleda värdena för dessa funktioner för vissa vinklar. Värdena listas i tabellen nedan.
De enklaste trigonometriska identiteterna
Ekvationer där det finns ett okänt värde under den trigonometriska funktionens tecken kallas trigonometriska. Identiteter med värdet sin x = α, k - vilket heltal som helst:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
- sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, inga lösningar.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * båge a + πk.
Identiteter med värdet cos x = a, där k är vilket heltal som helst:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, inga lösningar.
- cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.
Identiteter med värdet tg x = a, där k är vilket heltal som helst:
- tan x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = arctan α + πk.
Identiteter med värdet ctg x = a, där k är vilket heltal som helst:
- barnsäng x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Reduktionsformler
Denna kategori av konstantformler betecknar metoder med vilka du kan flytta från trigonometriska funktioner i formen till funktioner i ett argument, det vill säga reducera sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel av vilket värde som helst till motsvarande indikatorer för vinkeln på intervallet från 0 till 90 grader för större bekvämlighet vid beräkningar.
Formler för att reducera funktioner för sinus för en vinkel ser ut så här:
- sin(900 - a) = a;
- sin(900 + a) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
För vinkelns cosinus:
- cos(900 - a) = sin a;
- cos(900 + a) = -sin a;
- cos(1800 - a) = -cos a;
- cos(1800 + a) = -cos a;
- cos(2700 - a) = -sin a;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - a) = cos a;
- cos(3600 + α) = cos α.
Användningen av ovanstående formler är möjlig med förbehåll för två regler. För det första, om vinkeln kan representeras som ett värde (π/2 ± a) eller (3π/2 ± a), ändras värdet på funktionen:
- från synd till cos;
- från cos till synd;
- från tg till ctg;
- från ctg till tg.
Funktionens värde förblir oförändrat om vinkeln kan representeras som (π ± a) eller (2π ± a).
För det andra ändras inte tecknet på den reducerade funktionen: om det från början var positivt förblir det så. Samma sak med negativa funktioner.
Tilläggsformler
Dessa formler uttrycker värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens av summan och skillnaden mellan två rotationsvinklar genom deras trigonometriska funktioner. Typiskt betecknas vinklarna som α och β.
Formlerna ser ut så här:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(a ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(a ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Dessa formler är giltiga för alla vinklar α och β.
Dubbel- och trippelvinkelformler
De trigonometriska formlerna med dubbel- och trippelvinkel är formler som relaterar funktionerna för vinklarna 2a respektive 3α till de trigonometriska funktionerna för vinkeln α. Härledd från additionsformler:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tga / (1 - tan^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tga - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Övergång från summa till produkt
Med tanke på att 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), för att förenkla denna formel, får vi identiteten sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. På liknande sätt sina - sinp = 2sin(a - p)/2 * cos(a + p)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + p) / cosα * cosβ; tga - tgp = sin(a - p) / cosa * cosp; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Övergång från produkt till summa
Dessa formler följer av identiteterna för övergången av en summa till en produkt:
- sina * sinp = 1/2*;
- cosa * cosp = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Formler för gradminskning
I dessa identiteter kan kvadrat- och kubikpotenserna av sinus och cosinus uttryckas i termer av sinus och cosinus av den första potensen av en multipel vinkel:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Universell substitution
Formler för universell trigonometrisk substitution uttrycker trigonometriska funktioner i termer av tangenten för en halv vinkel.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), med x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), där x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), där x = π + 2πn;
- barnsäng x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), med x = π + 2πn.
Speciella fall
Specialfall av de enklaste trigonometriska ekvationerna ges nedan (k är vilket heltal som helst).
Kvotienter för sinus:
| Sin x-värde | x-värde |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk eller 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk eller -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk eller 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk eller -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk eller 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk eller -2π/3 + 2πk |
Kvotienter för cosinus:
| cos x värde | x-värde |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Kvotienter för tangent:
| tg x värde | x-värde |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kvotienter för cotangens:
| ctg x-värde | x-värde |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Satser
Sinussats
Det finns två versioner av satsen - enkel och utökad. Enkel sinussats: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. I detta fall är a, b, c triangelns sidor och α, β, γ är de motsatta vinklarna.
Utökat sinussats för en godtycklig triangel: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. I denna identitet betecknar R radien för cirkeln i vilken den givna triangeln är inskriven.
Cosinussats
Identiteten visas enligt följande: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. I formeln är a, b, c triangelns sidor och α är vinkeln motsatt sida a.
Tangentsats
Formeln uttrycker förhållandet mellan tangenterna för två vinklar och längden på sidorna mitt emot dem. Sidorna är märkta a, b, c, och motsvarande motstående vinklar är α, β, γ. Tangentsatsens formel: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Cotangenssats
Kopplar samman radien av en cirkel inskriven i en triangel med längden på dess sidor. Om a, b, c är triangelns sidor och A, B, C respektive är vinklarna mittemot dem, r är radien för den inskrivna cirkeln och p är triangelns halvomkrets, följande identiteter är giltiga:
- barnsäng A/2 = (p-a)/r;
- barnsäng B/2 = (p-b)/r;
- barnsäng C/2 = (p-c)/r.
Ansökan
Trigonometri - inte bara teoretisk vetenskap förknippas med matematiska formler. Dess egenskaper, teorem och regler används i praktiken av olika branscher. mänsklig aktivitet— astronomi, flyg- och sjönavigering, musikteori, geodesi, kemi, akustik, optik, elektronik, arkitektur, ekonomi, maskinteknik, mätarbete, Datorgrafik, kartografi, oceanografi och många andra.
Sinus, cosinus, tangent och cotangens är trigonometrins grundbegrepp, med vars hjälp man matematiskt kan uttrycka sambanden mellan vinklarna och längderna på sidorna i en triangel, och hitta de erforderliga storheterna genom identiteter, satser och regler.
Vad som är sinus, cosinus, tangens, cotangens av en vinkel hjälper dig att förstå en rätvinklig triangel.
Vad kallas sidorna i en rätvinklig triangel? Det stämmer, hypotenusan och benen: hypotenusan är den sida som ligger mitt emot den räta vinkeln (i vårt exempel är detta sidan \(AC\)); ben är de två återstående sidorna \(AB\) och \(BC\) (de som gränsar till den rätta vinkeln), och om vi betraktar benen i förhållande till vinkeln \(BC\), så är benet \(AB\) det intilliggande benet, och benet \(BC\) är motsatt. Så låt oss nu svara på frågan: vad är sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel?
Sinus av vinkel– detta är förhållandet mellan det motsatta (avlägsna) benet till hypotenusan.
I vår triangel:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Cosinus av vinkel– detta är förhållandet mellan det intilliggande (nära) benet och hypotenusan.
I vår triangel:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangent av vinkeln– detta är förhållandet mellan den motsatta (avlägsna) sidan till den intilliggande (nära).
I vår triangel:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Cotangens av vinkel– detta är förhållandet mellan det intilliggande (nära) benet och det motsatta (långt).
I vår triangel:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Dessa definitioner är nödvändiga kom ihåg! För att göra det lättare att komma ihåg vilket ben du ska dela upp i vad måste du tydligt förstå det i tangent Och cotangens bara benen sitter, och hypotenusan visas bara i sinus Och cosinus. Och så kan man komma på en kedja av associationer. Till exempel denna:
Cosinus→touch→touch→intilliggande;
Cotangens→touch→touch→intill.
Först och främst måste du komma ihåg att sinus, cosinus, tangent och cotangens eftersom förhållandena mellan sidorna i en triangel inte beror på längden på dessa sidor (i samma vinkel). Tro inte? Se sedan till genom att titta på bilden:
Betrakta till exempel cosinus för vinkeln \(\beta \) . Per definition, från en triangel \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), men vi kan beräkna cosinus för vinkeln \(\beta \) från triangeln \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Du ser, längderna på sidorna är olika, men värdet på cosinus för en vinkel är detsamma. Således beror värdena på sinus, cosinus, tangent och cotangens enbart på vinkelns storlek.
Om du förstår definitionerna, gå vidare och konsolidera dem!
För triangeln \(ABC \) som visas i figuren nedan finner vi \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
Nåväl, fick du det? Prova sedan själv: beräkna samma sak för vinkeln \(\beta \) .
Svar: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Enhet (trigonometrisk) cirkel
För att förstå begreppen grader och radianer betraktade vi en cirkel med en radie lika med \(1\) . En sådan cirkel kallas enda. Det kommer att vara mycket användbart när du studerar trigonometri. Låt oss därför titta på det lite mer detaljerat.
Som du kan se är denna cirkel konstruerad i det kartesiska koordinatsystemet. Cirkelns radie är lika med en, medan cirkelns centrum ligger vid koordinaternas ursprung, radievektorns initiala position är fixerad längs den positiva riktningen av \(x\)-axeln (i vårt exempel, detta är radien \(AB\)).
Varje punkt på cirkeln motsvarar två tal: koordinaten längs \(x\)-axeln och koordinaten längs \(y\)-axeln. Vilka är dessa koordinatnummer? Och i allmänhet, vad har de att göra med det aktuella ämnet? För att göra detta måste vi komma ihåg om den betraktade räta triangeln. I figuren ovan kan du se två hela räta trianglar. Betrakta triangeln \(ACG\) . Den är rektangulär eftersom \(CG\) är vinkelrät mot \(x\)-axeln.
Vad är \(\cos \ \alpha \) från triangeln \(ACG \)? Det är rätt \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Dessutom vet vi att \(AC\) är radien för enhetscirkeln, vilket betyder \(AC=1\) . Låt oss ersätta detta värde i vår formel för cosinus. Så här händer:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Vad är \(\sin \ \alpha \) från triangeln \(ACG \) lika med? Jo, naturligtvis, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Ersätt värdet på radien \(AC\) i denna formel och få:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Så, kan du säga vilka koordinater punkten \(C\) som hör till cirkeln har? Nåväl, inget sätt? Vad händer om du inser att \(\cos \ \alpha \) och \(\sin \alpha \) bara är siffror? Vilken koordinat motsvarar \(\cos \alpha \)? Jo, naturligtvis, koordinaten \(x\)! Och vilken koordinat motsvarar \(\sin \alpha \)? Just det, koordinera \(y\)! Så poängen \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Vad är då \(tg \alpha \) och \(ctg \alpha \) lika med? Det stämmer, låt oss använda motsvarande definitioner av tangent och cotangens och få det \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Vad händer om vinkeln är större? Till exempel, som på den här bilden:
Vad har förändrats i i detta exempel? Låt oss ta reda på det. För att göra detta, låt oss vända igen till en rätvinklig triangel. Betrakta en rätvinklig triangel \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : vinkel (som intill vinkeln \(\beta \) ). Vad är värdet av sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Det stämmer, vi följer motsvarande definitioner av trigonometriska funktioner:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\vinkel ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\vinkel ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
Tja, som du kan se, motsvarar värdet på vinkelns sinus fortfarande koordinaten \(y\) ; värdet på cosinus för vinkeln - koordinat \(x\) ; och värdena för tangent och cotangens till motsvarande förhållanden. Således gäller dessa relationer för varje rotation av radievektorn.
Det har redan nämnts att startpositionen för radievektorn är längs den positiva riktningen för \(x\)-axeln. Hittills har vi roterat denna vektor moturs, men vad händer om vi roterar den medurs? Inget extraordinärt, du kommer också att få en vinkel med ett visst värde, men bara den kommer att vara negativ. Således, när vi roterar radievektorn moturs, får vi positiva vinklar, och när du roterar medurs – negativ.
Så vi vet att radievektorns hela varv runt cirkeln är \(360()^\circ \) eller \(2\pi \) . Är det möjligt att rotera radievektorn med \(390()^\circ \) eller \(-1140()^\circ \)? Jo, självklart kan du det! I det första fallet, \(390()^\cirkel =360()^\cirkel +30()^\cirkel \), alltså kommer radievektorn att göra ett helt varv och stanna vid positionen \(30()^\circ \) eller \(\dfrac(\pi )(6) \) .
I det andra fallet, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), det vill säga radievektorn kommer att göra tre hela varv och stanna vid positionen \(-60()^\circ \) eller \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Från exemplen ovan kan vi alltså dra slutsatsen att vinklar som skiljer sig åt med \(360()^\circ \cdot m \) eller \(2\pi \cdot m \) (där \(m \) är vilket heltal som helst ), motsvarar samma position för radievektorn.
Bilden nedan visar vinkeln \(\beta =-60()^\cirkel \) . Samma bild motsvarar hörnet \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Denna lista kan fortsätta på obestämd tid. Alla dessa vinklar kan skrivas med den allmänna formeln \(\beta +360()^\circ \cdot m\) eller \(\beta +2\pi \cdot m \) (där \(m \) är vilket heltal som helst)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Nu, genom att känna till definitionerna av de grundläggande trigonometriska funktionerna och använda enhetscirkeln, försök att svara på vad värdena är:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Här är en enhetscirkel som hjälper dig:
Har du svårigheter? Låt oss sedan ta reda på det. Så vi vet att:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array)\)
Härifrån bestämmer vi koordinaterna för punkterna som motsvarar vissa vinkelmått. Nåväl, låt oss börja i ordning: hörnet in \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) motsvarar en punkt med koordinaterna \(\left(0;1 \right) \) , därför:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Högerpil \text(tg)\ 90()^\circ \)- existerar inte;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Vidare, genom att hålla fast vid samma logik, får vi reda på att hörnen in \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) motsvarar punkter med koordinater \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0) ;1 \höger) \), respektive. Genom att veta detta är det lätt att bestämma värdena för trigonometriska funktioner vid motsvarande punkter. Prova själv först och kontrollera sedan svaren.
Svar:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Högerpil \text(ctg)\ \pi \)- existerar inte
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Högerpil \text(tg)\ 270()^\circ \)- existerar inte
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Högerpil \text(ctg)\ 2\pi \)- existerar inte
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Högerpil \text(tg)\ 450()^\circ \)- existerar inte
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Därför kan vi göra följande tabell:
Det finns ingen anledning att komma ihåg alla dessa värden. Det räcker med att komma ihåg överensstämmelsen mellan koordinaterna för punkterna på enhetscirkeln och värdena för trigonometriska funktioner:
\(\vänster. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Du måste komma ihåg eller kunna visa den!! \) !}
Men värdena för de trigonometriska funktionerna för vinklar i och \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) anges i tabellen nedan måste du komma ihåg:
Var inte rädd, nu ska vi visa dig ett exempel på en ganska enkel memorering av motsvarande värden:
För att använda denna metod är det viktigt att komma ihåg sinusvärdena för alla tre vinkelmått ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), samt värdet på vinkelns tangent i \(30()^\circ \) . Genom att känna till dessa \(4\) värden är det ganska enkelt att återställa hela tabellen - cosinusvärdena överförs i enlighet med pilarna, det vill säga:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), med att veta detta kan du återställa värdena för \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Täljaren "\(1 \)" kommer att motsvara \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) och nämnaren "\(\sqrt(\text(3)) \)" kommer att motsvara \(\text (tg)\ 60()^\cirkel \ \) . Kotangensvärden överförs i enlighet med pilarna som anges i figuren. Om du förstår detta och kommer ihåg diagrammet med pilarna, räcker det med att bara komma ihåg \(4\) värden från tabellen.
Koordinater för en punkt på en cirkel
Är det möjligt att hitta en punkt (dess koordinater) på en cirkel, med kännedom om koordinaterna för cirkelns centrum, dess radie och rotationsvinkel? Jo, självklart kan du det! Låt oss härleda en generell formel för att hitta koordinaterna för en punkt. Till exempel, här är en cirkel framför oss:
Vi får den poängen \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- cirkelns mittpunkt. Cirkelns radie är \(1,5\) . Det är nödvändigt att hitta koordinaterna för punkten \(P\) som erhålls genom att rotera punkten \(O\) med \(\delta \) grader.
Som framgår av figuren motsvarar koordinaten \(x\) för punkten \(P\) längden på segmentet \(TP=UQ=UK+KQ\) . Längden på segmentet \(UK\) motsvarar koordinaten \(x\) för cirkelns mittpunkt, det vill säga den är lika med \(3\) . Längden på segmentet \(KQ\) kan uttryckas med definitionen av cosinus:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Högerpil KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Då har vi det för punkten \(P\) koordinaten \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
Med samma logik hittar vi värdet på y-koordinaten för punkten \(P\) . Således,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Så, in allmän syn koordinater för punkter bestäms av formlerna:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Var
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinater för cirkelns centrum,
\(r\) - cirkelns radie,
\(\delta \) - rotationsvinkel för vektorradien.
Som du kan se, för enhetscirkeln vi överväger, reduceras dessa formler avsevärt, eftersom koordinaterna för mitten är lika med noll och radien är lika med en:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
JavaScript är avaktiverat i din webbläsare.För att utföra beräkningar måste du aktivera ActiveX-kontroller!
