Hem › Diverse › Log 1 bas 4. Definition av logaritmen och dess egenskaper: teori och problemlösning

Log 1 bas 4. Definition av logaritmen och dess egenskaper: teori och problemlösning

Ett av delarna i primitiv nivåalgebra är logaritmen. Namnet kom från grekisk från ordet "tal" eller "power" och betyder den potens till vilken det är nödvändigt att höja numret vid basen för att hitta det slutliga talet.

Typer av logaritmer

log a b är logaritmen för talet b till basen a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
lg b - decimallogaritm (logaritmbas 10, a = 10);
ln b - naturlig logaritm (logaritmbas e, a = e).

Hur löser man logaritmer?

Logaritmen för talet b till basen a är en exponent, vilket kräver att basen a höjs till talet b. Resultatet uttalas så här: "logaritm av b till basen av a". Lösningen på logaritmiska problem är att du måste bestämma den givna graden av talen med de angivna talen. Det finns några grundläggande regler för att bestämma eller lösa logaritmen, samt att transformera själva notationen. Med hjälp av dem löses logaritmiska ekvationer, hittas derivator, integraler löses och många andra operationer utförs. I grund och botten är lösningen på själva logaritmen dess förenklade notation. Nedan är huvudformlerna och egenskaperna:

För alla a ; a > 0; a ≠ 1 och för valfritt x ; y > 0.

a log a b = b - grundläggande logaritmisk identitet
log a 1 = 0
log a a = 1
log a (x y ) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x , för k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x \u003d log b x / log b a - formel för övergången till en ny bas
log a x = 1/log x a

Hur man löser logaritmer - steg för steg instruktioner för att lösa

Skriv först ner den nödvändiga ekvationen.

Observera: om baslogaritmen är 10, så förkortas posten, en decimallogaritm erhålls. Om det finns ett naturligt tal e, så skriver vi ner och reducerar till en naturlig logaritm. Det betyder att resultatet av alla logaritmer är den potens till vilken bastalet höjs för att erhålla talet b.

Direkt ligger lösningen i beräkningen av denna grad. Innan man löser ett uttryck med en logaritm måste det förenklas enligt regeln, det vill säga med hjälp av formler. Du kan hitta huvudidentiteterna genom att gå tillbaka lite i artikeln.

Addera och subtrahera logaritmer med två olika nummer, men med samma baser, ersätt med en logaritm med produkten eller divisionen av talen b respektive c. I det här fallet kan du tillämpa övergångsformeln på en annan bas (se ovan).

Om du använder uttryck för att förenkla logaritmen finns det några begränsningar att vara medveten om. Och det vill säga: basen för logaritmen a är bara ett positivt tal, men inte lika med ett. Talet b, liksom a, måste vara större än noll.

Det finns fall när du, efter att ha förenklat uttrycket, inte kommer att kunna beräkna logaritmen i numerisk form. Det händer att ett sådant uttryck inte är vettigt, eftersom många grader är irrationella tal. Under detta villkor, lämna potensen av talet som en logaritm.

grundläggande egenskaper.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

samma grunder

log6 4 + log6 9.

Låt oss nu komplicera uppgiften lite.

Exempel på att lösa logaritmer

Vad händer om det finns en grad i basen eller argumentet för logaritmen? Sedan kan exponenten för denna grad tas ut ur logaritmens tecken enligt följande regler:

Naturligtvis är alla dessa regler vettiga om ODZ-logaritmen observeras: a > 0, a ≠ 1, x >

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Övergång till en ny stiftelse

Låt logaritmen logax ges. Sedan för vilket tal c som helst så att c > 0 och c ≠ 1, är likheten sann:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Se även:

Grundläggande egenskaper hos logaritmen

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponenten är 2,718281828…. För att komma ihåg exponenten kan du studera regeln: exponenten är 2,7 och två gånger Leo Tolstojs födelseår.

Grundläggande egenskaper hos logaritmer

Genom att känna till denna regel kommer du att veta och exakt värde utställare och Leo Tolstojs födelsedatum.

Exempel på logaritmer

Ta logaritmen av uttryck

Exempel 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Med egenskaper 3,5 beräknar vi

4. Var .

Exempel 2 Hitta x if

Exempel 3. Låt värdet på logaritmer anges

Beräkna log(x) if

Grundläggande egenskaper hos logaritmer

Logaritmer, som alla tal, kan läggas till, subtraheras och konverteras på alla möjliga sätt. Men eftersom logaritmer inte är helt vanliga tal finns det regler här som kallas grundläggande egenskaper.

Dessa regler måste vara kända - inga allvarliga logaritmiska problem kan lösas utan dem. Dessutom är det väldigt få av dem – allt går att lära sig på en dag. Så låt oss börja.

Addition och subtraktion av logaritmer

Betrakta två logaritmer med samma bas: logax och logay. Sedan kan de adderas och subtraheras, och:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Så summan av logaritmerna är lika med produktens logaritm, och skillnaden är logaritmen för kvoten. Observera: nyckelpunkten här är - samma grunder. Om grunderna är olika fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hjälper dig att beräkna logaritmiskt uttryckäven när dess individuella delar inte beaktas (se lektionen "Vad är en logaritm"). Ta en titt på exemplen och se:

Eftersom logaritmernas baser är desamma använder vi summaformeln:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log2 48 − log2 3.

Baserna är desamma, vi använder skillnadsformeln:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log3 135 − log3 5.

Återigen, baserna är desamma, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se är de ursprungliga uttrycken uppbyggda av "dåliga" logaritmer, som inte betraktas separat. Men efter omvandlingar visar sig ganska normala siffror. Baserat på detta faktum, många testpapper. Ja, kontroll - liknande uttryck på fullt allvar (ibland - med praktiskt taget inga förändringar) erbjuds vid tentamen.

Ta bort exponenten från logaritmen

Det är lätt att se det sista regeln följer de två första. Men det är bättre att komma ihåg det ändå - i vissa fall kommer det att minska mängden beräkningar avsevärt.

Naturligtvis är alla dessa regler vettiga om ODZ-logaritmen observeras: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Och en sak till: lär dig att tillämpa alla formler inte bara från vänster till höger, utan också vice versa, d.v.s. du kan ange siffrorna före logaritmens tecken i själva logaritmen. Detta är vad som oftast krävs.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log7 496.

Låt oss bli av med graden i argumentet enligt den första formeln:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Observera att nämnaren är en logaritm vars bas och argument är exakta potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jag tror att sista exemplet förtydligande krävs. Var har logaritmerna tagit vägen? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren.

Formler för logaritmer. Logaritmer är exempel på lösningar.

De presenterade basen och argumentet för logaritmen som stod där i form av grader och tog ut indikatorerna - de fick en "tre våningar" bråkdel.

Låt oss nu titta på huvudfraktionen. Täljaren och nämnaren har samma nummer: log2 7. Eftersom log2 7 ≠ 0 kan vi minska bråket - 2/4 blir kvar i nämnaren. Enligt aritmetikens regler kan de fyra överföras till täljaren, vilket gjordes. Resultatet är svaret: 2.

Övergång till en ny stiftelse

På tal om reglerna för att addera och subtrahera logaritmer, betonade jag specifikt att de bara fungerar med samma baser. Vad händer om grunderna är olika? Vad händer om de inte är exakta potenser av samma tal?

Formler för övergång till en ny bas kommer till undsättning. Vi formulerar dem i form av ett teorem:

Låt logaritmen logax ges. Sedan för vilket tal c som helst så att c > 0 och c ≠ 1, är likheten sann:

I synnerhet, om vi sätter c = x, får vi:

Det följer av den andra formeln att det är möjligt att växla basen och argumentet för logaritmen, men i det här fallet "vänds hela uttrycket om", dvs. logaritmen är i nämnaren.

Dessa formler finns sällan i vanliga numeriska uttryck. Det är möjligt att utvärdera hur bekväma de är endast när man löser logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som inte alls går att lösa förutom genom att flytta till en ny stiftelse. Låt oss överväga ett par av dessa:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log5 16 log2 25.

Observera att argumenten för båda logaritmerna är exakta exponenter. Låt oss ta ut indikatorerna: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Låt oss nu vända den andra logaritmen:

Eftersom produkten inte ändras från permutation av faktorer multiplicerade vi lugnt fyra och två och räknade sedan ut logaritmerna.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log9 100 lg 3.

Basen och argumentet för den första logaritmen är exakta potenser. Låt oss skriva ner det och bli av med indikatorerna:

Nu ska vi bli av med decimallogaritm, flyttar till en ny bas:

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta i processen för att lösa det krävs att representera ett tal som en logaritm till en given bas. I det här fallet kommer formlerna att hjälpa oss:

I det första fallet blir talet n exponenten i argumentet. Talet n kan vara absolut vad som helst, eftersom det bara är värdet på logaritmen.

Den andra formeln är faktiskt en omskriven definition. Det heter så här:

Ja, vad händer om talet b höjs till en sådan grad att talet b i denna grad ger talet a? Det stämmer: det här är samma nummer a. Läs det här stycket noggrant igen - många människor "hänger" på det.

Liksom de nya basomvandlingsformlerna är den grundläggande logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Observera att log25 64 = log5 8 - tog bara ut kvadraten från basen och logaritmens argument. Givet reglerna för att multiplicera potenser med samma bas får vi:

Om någon inte är insatt var detta en riktig uppgift från Unified State Examination 🙂

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Avslutningsvis kommer jag att ge två identiteter som är svåra att kalla egenskaper – snarare är dessa konsekvenser från definitionen av logaritmen. De återfinns ständigt i problem och skapar överraskande problem även för "avancerade" elever.

logaa = 1 är. Kom ihåg en gång för alla: logaritmen till valfri bas a från själva basen är lika med ett.
loga 1 = 0 är. Basen a kan vara vad som helst, men om argumentet är ett är logaritmen noll! Eftersom a0 = 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla egenskaper. Se till att träna på att omsätta dem i praktiken! Ladda ner fuskbladet i början av lektionen, skriv ut det och lös problemen.

Se även:

Logaritmen för talet b till basen a betecknar uttrycket. Att beräkna logaritmen innebär att hitta en sådan potens x () vid vilken likheten är sann

Grundläggande egenskaper hos logaritmen

Ovanstående egenskaper måste vara kända, eftersom nästan alla problem och exempel på grundval av dem löses baserat på logaritmer. De återstående exotiska egenskaperna kan härledas genom matematiska manipulationer med dessa formler

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Vid beräkning av formlerna för summan och skillnaden av logaritmer (3.4) påträffas ganska ofta. Resten är något komplext, men i ett antal uppgifter är de oumbärliga för att förenkla komplexa uttryck och beräkna deras värden.

Vanliga fall av logaritmer

Några av de vanliga logaritmerna är de där basen till och med är tio, exponentiell eller deuce.
Bas tio logaritmen brukar kallas för bas tio logaritmen och betecknas helt enkelt lg(x).

Av journalen framgår att grunderna inte finns inskrivna i journalen. Till exempel

Den naturliga logaritmen är den logaritm vars grund är exponenten (betecknad ln(x)).

Exponenten är 2,718281828…. För att komma ihåg exponenten kan du studera regeln: exponenten är 2,7 och två gånger Leo Tolstojs födelseår. Genom att känna till denna regel kommer du att veta både det exakta värdet på exponenten och Leo Tolstojs födelsedatum.

Och en annan viktig bas två-logaritm är

Derivatan av funktionens logaritm är lika med en dividerad med variabeln

Integral- eller antiderivatlogaritmen bestäms av beroendet

Ovanstående material är tillräckligt för att du ska lösa en bred klass av problem relaterade till logaritmer och logaritmer. För att förstå materialet kommer jag bara att ge några vanliga exempel från Läroplanen och universitet.

Exempel på logaritmer

Ta logaritmen av uttryck

Exempel 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Med egenskaper 3,5 beräknar vi

2.
Genom skillnadsegenskapen hos logaritmer har vi

3.
Med hjälp av egenskaper 3.5 hittar vi

4. Var .

Ett till synes komplext uttryck som använder en serie regler förenklas till formen

Hitta logaritmvärden

Exempel 2 Hitta x if

Lösning. För beräkningen tillämpar vi fastigheterna 5 och 13 fram till sista terminen

Ersättare i protokollet och sörja

Eftersom baserna är lika likställer vi uttrycken

Logaritmer. Första nivån.

Låt värdet på logaritmerna anges

Beräkna log(x) if

Lösning: Ta variabelns logaritm för att skriva logaritmen genom summan av termerna

Detta är bara början på bekantskapen med logaritmer och deras egenskaper. Öva beräkningar, berika dina praktiska färdigheter - du kommer snart att behöva de förvärvade kunskaperna för att lösa logaritmiska ekvationer. Efter att ha studerat de grundläggande metoderna för att lösa sådana ekvationer kommer vi att utöka dina kunskaper för ett annat lika viktigt ämne - logaritmiska ojämlikheter ...

Grundläggande egenskaper hos logaritmer

Dessa regler måste vara kända - inga allvarliga logaritmiska problem kan lösas utan dem. Dessutom är det väldigt få av dem – allt går att lära sig på en dag. Så låt oss börja.

Addition och subtraktion av logaritmer

Betrakta två logaritmer med samma bas: logax och logay. Sedan kan de adderas och subtraheras, och:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Dessa formler hjälper till att beräkna det logaritmiska uttrycket även när dess enskilda delar inte beaktas (se lektionen "Vad är en logaritm"). Ta en titt på exemplen och se:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log6 4 + log6 9.

Eftersom logaritmernas baser är desamma använder vi summaformeln:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log2 48 − log2 3.

Baserna är desamma, vi använder skillnadsformeln:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log3 135 − log3 5.

Återigen, baserna är desamma, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se är de ursprungliga uttrycken uppbyggda av "dåliga" logaritmer, som inte betraktas separat. Men efter omvandlingar visar sig ganska normala siffror. Många tester är baserade på detta faktum. Ja, kontroll - liknande uttryck på fullt allvar (ibland - med praktiskt taget inga förändringar) erbjuds vid tentamen.

Ta bort exponenten från logaritmen

Låt oss nu komplicera uppgiften lite. Vad händer om det finns en grad i basen eller argumentet för logaritmen? Sedan kan exponenten för denna grad tas ut ur logaritmens tecken enligt följande regler:

Det är lätt att se att den sista regeln följer deras två första. Men det är bättre att komma ihåg det ändå - i vissa fall kommer det att minska mängden beräkningar avsevärt.

Hur man löser logaritmer

Detta är vad som oftast krävs.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log7 496.

Låt oss bli av med graden i argumentet enligt den första formeln:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Observera att nämnaren är en logaritm vars bas och argument är exakta potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jag tror att det sista exemplet behöver förtydligas. Var har logaritmerna tagit vägen? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren. De presenterade basen och argumentet för logaritmen som stod där i form av grader och tog ut indikatorerna - de fick en "tre våningar" bråkdel.

Övergång till en ny stiftelse

Formler för övergång till en ny bas kommer till undsättning. Vi formulerar dem i form av ett teorem:

Låt logaritmen logax ges. Sedan för vilket tal c som helst så att c > 0 och c ≠ 1, är likheten sann:

I synnerhet, om vi sätter c = x, får vi:

Det följer av den andra formeln att det är möjligt att växla basen och argumentet för logaritmen, men i det här fallet "vänds hela uttrycket om", dvs. logaritmen är i nämnaren.

Dessa formler finns sällan i vanliga numeriska uttryck. Det är möjligt att utvärdera hur bekväma de är endast när man löser logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som inte alls går att lösa förutom genom att flytta till en ny stiftelse. Låt oss överväga ett par av dessa:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log5 16 log2 25.

Observera att argumenten för båda logaritmerna är exakta exponenter. Låt oss ta ut indikatorerna: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Låt oss nu vända den andra logaritmen:

Eftersom produkten inte ändras från permutation av faktorer multiplicerade vi lugnt fyra och två och räknade sedan ut logaritmerna.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log9 100 lg 3.

Basen och argumentet för den första logaritmen är exakta potenser. Låt oss skriva ner det och bli av med indikatorerna:

Låt oss nu bli av med decimallogaritmen genom att flytta till en ny bas:

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta i processen för att lösa det krävs att representera ett tal som en logaritm till en given bas. I det här fallet kommer formlerna att hjälpa oss:

I det första fallet blir talet n exponenten i argumentet. Talet n kan vara absolut vad som helst, eftersom det bara är värdet på logaritmen.

Den andra formeln är faktiskt en omskriven definition. Det heter så här:

Liksom de nya basomvandlingsformlerna är den grundläggande logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Observera att log25 64 = log5 8 - tog bara ut kvadraten från basen och logaritmens argument. Givet reglerna för att multiplicera potenser med samma bas får vi:

Om någon inte är insatt var detta en riktig uppgift från Unified State Examination 🙂

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

logaa = 1 är. Kom ihåg en gång för alla: logaritmen till valfri bas a från själva basen är lika med ett.
loga 1 = 0 är. Basen a kan vara vad som helst, men om argumentet är ett är logaritmen noll! Eftersom a0 = 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla egenskaper. Se till att träna på att omsätta dem i praktiken! Ladda ner fuskbladet i början av lektionen, skriv ut det och lös problemen.

Huvudegenskaperna för den naturliga logaritmen, graf, definitionsdomän, värdeuppsättning, grundläggande formler, derivata, integral, expansion i en potensserie och representation av funktionen ln x med hjälp av komplexa tal ges.

Definition

naturlig logaritmär funktionen y = ln x, invers till exponenten, x \u003d e y , och som är logaritmen till basen av talet e: ln x = log e x.

Den naturliga logaritmen används ofta i matematik eftersom dess derivata har den enklaste formen: (ln x)′ = 1/ x.

Baserad definitioner, basen för den naturliga logaritmen är talet e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf över funktionen y = ln x.

Graf över den naturliga logaritmen (funktionerna y = ln x) erhålls från exponentdiagrammet spegelreflektion i förhållande till den räta linjen y = x .

Den naturliga logaritmen definieras för positiva värden på x . Den ökar monotont på sin definitionsdomän.

Som x → 0 gränsen för den naturliga logaritmen är minus oändlighet ( - ∞ ).

Som x → + ∞ är gränsen för den naturliga logaritmen plus oändlighet ( + ∞ ). För stort x ökar logaritmen ganska långsamt. Varje potensfunktion x a med en positiv exponent a växer snabbare än logaritmen.

Egenskaper för den naturliga logaritmen

Definitionsdomän, värdeuppsättning, extrema, ökning, minskning

Den naturliga logaritmen är en monotont ökande funktion, så den har inga extrema. Huvudegenskaperna för den naturliga logaritmen presenteras i tabellen.

ln x värden

log 1 = 0

Grundformler för naturliga logaritmer

Formler som härrör från definitionen av den inversa funktionen:

Den huvudsakliga egenskapen hos logaritmer och dess konsekvenser

Formel för basersättning

Vilken logaritm som helst kan uttryckas i termer av naturliga logaritmer med basändringsformeln:

Bevisen för dessa formler presenteras i avsnittet "Logarithm".

Omvänd funktion

Det reciproka av den naturliga logaritmen är exponenten.

Om då

Om då .

Derivat ln x

Derivata av den naturliga logaritmen:
.
Derivat av den naturliga logaritmen för modulo x:
.
Derivat av n:e ordningen:
.
Härledning av formler > > >

Väsentlig

Integralen beräknas genom integration av delar:
.
Så,

Uttryck i termer av komplexa tal

Betrakta en funktion av en komplex variabel z :
.
Låt oss uttrycka den komplexa variabeln z via modul r och argument φ :
.
Med hjälp av logaritmens egenskaper har vi:
.
Eller
.
Argumentet φ är inte unikt definierat. Om vi sätter
, där n är ett heltal,
då blir det samma nummer för olika n.

Därför är den naturliga logaritmen, som funktion av en komplex variabel, inte en funktion med ett värde.

Power serie expansion

För utbyggnaden sker:

Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter vid högre utbildningsinstitutioner, Lan, 2009.

\(a^(b)=c\) \(\vänsterpil\) \(\log_(a)(c)=b\)

Låt oss förklara det lättare. Till exempel är \(\log_(2)(8)\) lika med makten \(2\) måste höjas till för att få \(8\). Av detta är det tydligt att \(\log_(2)(8)=3\).

Exempel:	\(\log_(5)(25)=2\)	därför att \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	därför att \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	därför att \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument och bas för logaritmen

Vilken logaritm som helst har följande "anatomi":

Argumentet för logaritmen skrivs vanligtvis på dess nivå, och basen skrivs i sänkt skrift närmare logaritmens tecken. Och denna post läses så här: "logaritmen av tjugofem till basen av fem."

Hur räknar man ut logaritmen?

För att beräkna logaritmen måste du svara på frågan: i vilken grad ska basen höjas för att få argumentet?

Till exempel, beräkna logaritmen: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Till vilken effekt måste \(4\) höjas för att få \(16\)? Uppenbarligen den andra. Det är därför:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Till vilken effekt måste \(\sqrt(5)\) höjas för att få \(1\)? Och vilken grad gör ett tal till en enhet? Noll såklart!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Till vilken effekt måste \(\sqrt(7)\) höjas för att få \(\sqrt(7)\)? I den första - vilket tal som helst i den första graden är lika med sig själv.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Till vilken effekt måste \(3\) höjas för att få \(\sqrt(3)\)? Från vi vet att det är en bråkdel, vilket betyder Roten urär graden \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exempel : Beräkna logaritmen \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lösning :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Vi måste hitta värdet på logaritmen, låt oss beteckna det som x. Låt oss nu använda definitionen av logaritmen: \(\log_(a)(c)=b\) \(\vänsterpil\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Vad länkar \(4\sqrt(2)\) och \(8\)? Två, eftersom båda talen kan representeras av tvåor: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Till vänster använder vi gradegenskaperna: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) och \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Baserna är lika, vi fortsätter till indikatorernas jämlikhet
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multiplicera båda sidor av ekvationen med \(\frac(2)(5)\)
		Den resulterande roten är värdet på logaritmen

Svar : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Varför uppfanns logaritmen?

För att förstå detta, låt oss lösa ekvationen: \(3^(x)=9\). Matcha bara \(x\) för att få jämställdheten att fungera. Naturligtvis \(x=2\).

Lös nu ekvationen: \(3^(x)=8\) Vad är x lika med? Det är poängen.

Den mest geniala kommer att säga: "X är lite mindre än två." Hur exakt ska detta nummer skrivas? För att svara på denna fråga kom de fram till logaritmen. Tack vare honom kan svaret här skrivas som \(x=\log_(3)(8)\).

Jag vill betona att \(\log_(3)(8)\), liksom vilken logaritm som helst är bara ett tal. Ja, det ser ovanligt ut, men det är kort. För om vi ville skriva det som en decimal skulle det se ut så här: \(1.892789260714.....\)

Exempel : Lös ekvationen \(4^(5x-4)=10\)

Lösning :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) och \(10\) kan inte reduceras till samma bas. Så här kan du inte klara dig utan logaritmen. Låt oss använda definitionen av logaritmen: \(a^(b)=c\) \(\vänsterpil\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Vänd på ekvationen så att x är till vänster
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Före oss. Flytta \(4\) åt höger. Och var inte rädd för logaritmen, behandla den som ett normalt tal.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Dividera ekvationen med 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Här är vår rot. Ja, det ser ovanligt ut, men svaret är inte valt.

Svar : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimala och naturliga logaritmer

Som anges i definitionen av logaritmen kan dess bas vara vilket positivt tal som helst utom ett \((a>0, a\neq1)\). Och bland alla möjliga baser finns det två som förekommer så ofta att en speciell kort notation uppfanns för logaritmer med dem:

Naturlig logaritm: en logaritm vars bas är Eulertalet \(e\) (lika med ungefär \(2,7182818...\)), och logaritmen skrivs som \(\ln(a)\).

Det är, \(\ln(a)\) är samma som \(\log_(e)(a)\)

Decimallogaritm: En logaritm vars bas är 10 skrivs \(\lg(a)\).

Det är, \(\lg(a)\) är samma som \(\log_(10)(a)\), där \(a\) är ett tal.

Grundläggande logaritmisk identitet

Logaritmer har många egenskaper. En av dem kallas "Basic logaritmisk identitet" och ser ut så här:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Denna egenskap följer direkt av definitionen. Låt oss se hur exakt denna formel såg ut.

Låt oss komma ihåg kort anteckning logaritmdefinitioner:

om \(a^(b)=c\), då \(\log_(a)(c)=b\)

Det vill säga \(b\) är detsamma som \(\log_(a)(c)\). Då kan vi skriva \(\log_(a)(c)\) istället för \(b\) i formeln \(a^(b)=c\) . Det visade sig \(a^(\log_(a)(c))=c\) - den huvudsakliga logaritmiska identiteten.

Du kan hitta resten av egenskaperna hos logaritmer. Med deras hjälp kan du förenkla och beräkna värdena för uttryck med logaritmer, som är svåra att beräkna direkt.

Exempel : Hitta värdet för uttrycket \(36^(\log_(6)(5))\)

Lösning :

Svar : \(25\)

Hur skriver man ett tal som en logaritm?

Som nämnts ovan är vilken logaritm som helst bara ett tal. Det omvända är också sant: vilket tal som helst kan skrivas som en logaritm. Till exempel vet vi att \(\log_(2)(4)\) är lika med två. Då kan du skriva \(\log_(2)(4)\) istället för två.

Men \(\log_(3)(9)\) är också lika med \(2\), så du kan också skriva \(2=\log_(3)(9)\) . På samma sätt med \(\log_(5)(25)\), och med \(\log_(9)(81)\), etc. Det vill säga, det visar sig

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Således, om vi behöver, kan vi skriva de två som en logaritm med vilken bas som helst var som helst (även i en ekvation, även i ett uttryck, även i en olikhet) - vi skriver bara den kvadratiska basen som ett argument.

Det är samma sak med en trippel - den kan skrivas som \(\log_(2)(8)\), eller som \(\log_(3)(27)\), eller som \(\log_(4)( 64) \) ... Här skriver vi basen i kuben som ett argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Och med fyra:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Och med minus ett:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Och med en tredjedel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Alla tal \(a\) kan representeras som en logaritm med basen \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exempel : Hitta värdet på ett uttryck \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7)))\)

Lösning :

Svar : \(1\)

I relation med

uppgiften att hitta något av de tre numren från de andra två, givna, kan ställas in. Givet a och sedan hittas N genom exponentiering. Om N ges och sedan a hittas genom att extrahera roten av potensen x (eller exponentiering). Betrakta nu fallet när, givet a och N, det krävs att hitta x.

Låt talet N vara positivt: talet a är positivt och inte lika med ett: .

Definition. Logaritmen för talet N till basen a är exponenten till vilken du behöver höja a för att få talet N; logaritmen betecknas med

Således, i likhet (26.1), hittas exponenten som logaritmen av N till basen a. Inlägg

har samma betydelse. Jämlikhet (26.1) kallas ibland den grundläggande identiteten för logaritmteorin; i själva verket uttrycker det definitionen av begreppet logaritm. Förbi denna definition basen för logaritmen a är alltid positiv och skiljer sig från enhet; det logaritmerbara talet N är positivt. Negativa tal och noll har inga logaritmer. Det kan bevisas att vilket tal som helst med en given bas har en väldefinierad logaritm. Därför innebär jämställdhet. Observera att villkoret är väsentligt här, annars skulle slutsatsen inte vara motiverad, eftersom likheten är sann för alla värden på x och y.

Exempel 1. Hitta

Lösning. För att få numret måste du höja bas 2 till potensen Därför.

Du kan spela in när du löser sådana exempel i följande form:

Exempel 2. Hitta .

Lösning. Vi har

I exempel 1 och 2 hittade vi enkelt den önskade logaritmen genom att representera det logaritmbara talet som en basgrad med en rationell exponent. I det allmänna fallet, till exempel för etc., kan detta inte göras, eftersom logaritmen har ett irrationellt värde. Låt oss uppmärksamma en fråga relaterad till detta uttalande. I avsnitt 12 introducerade vi konceptet med möjligheten att definiera vilken verklig makt som helst hos en given Positivt nummer. Detta var nödvändigt för införandet av logaritmer, som i allmänhet kan vara irrationella tal.

Betrakta några egenskaper hos logaritmer.

Egenskap 1. Om talet och basen är lika, då är logaritmen lika med ett, och omvänt, om logaritmen är lika med ett, då är talet och basen lika.

Bevis. Låt Enligt definitionen av logaritmen har vi och varifrån

Omvänt, låt sedan per definition

Egenskap 2. Logaritmen av enhet till valfri bas är lika med noll.

Bevis. Enligt definitionen av logaritmen (nollpotensen för en positiv bas är lika med ett, se (10.1)). Härifrån

Q.E.D.

Det omvända påståendet är också sant: om , då N = 1. Vi har faktiskt .

Innan vi anger följande egenskap hos logaritmer, låt oss komma överens om att säga att två tal a och b ligger på samma sida av ett tredje tal c om de båda är antingen större än c eller mindre än c. Om ett av dessa tal är större än c och det andra är mindre än c, så säger vi att de ligger på motsatta sidor av c.

Egenskap 3. Om talet och basen ligger på samma sida av enheten är logaritmen positiv; om talet och basen ligger på motsatta sidor av enheten är logaritmen negativ.

Beviset för egenskap 3 bygger på det faktum att graden av a är större än ett om basen är större än en och exponenten är positiv, eller basen är mindre än en och exponenten är negativ. Graden är mindre än en om basen är större än en och exponenten är negativ, eller basen är mindre än en och exponenten är positiv.

Det finns fyra fall att överväga:

Vi begränsar oss till analysen av den första av dem, läsaren kommer att överväga resten på egen hand.

Låt då exponenten i likhet varken vara negativ eller lika med noll, därför är den positiv, d.v.s. vilket krävdes för att bevisas.

Exempel 3. Ta reda på vilka av följande logaritmer som är positiva och vilka som är negativa:

Lösning, a) eftersom siffran 15 och basen 12 är placerade på samma sida av enheten;

b) eftersom 1000 och 2 är placerade på samma sida av enheten; samtidigt är det inte nödvändigt att basen är större än det logaritmiska talet;

c), eftersom 3.1 och 0.8 ligger på motsatta sidor av enheten;

G); Varför?

e) ; Varför?

Följande egenskaper 4-6 kallas ofta logaritmreglerna: de tillåter att, genom att känna till logaritmerna för vissa tal, hitta logaritmerna för deras produkt, kvot, grad av var och en av dem.

Egenskap 4 (regeln för produktens logaritm). Logaritmen av produkten av flera positiva tal i en given bas är lika med summan av logaritmerna för dessa tal i samma bas.

Bevis. Låt positiva tal ges.

För logaritmen för deras produkt skriver vi likheten (26.1) som definierar logaritmen:

Härifrån finner vi

Genom att jämföra exponenterna för det första och sista uttrycket får vi den erforderliga likheten:

Observera att tillståndet är väsentligt; logaritmen av produkten av två negativa tal är vettig, men i det här fallet får vi

I allmänhet, om produkten av flera faktorer är positiv, är dess logaritm lika med summan av logaritmerna för modulerna av dessa faktorer.

Egenskap 5 (kvotlogaritmregel). Logaritmen för en kvot av positiva tal är lika med skillnaden mellan logaritmerna för utdelningen och divisorn, taget i samma bas. Bevis. Konsekvent hitta

Q.E.D.

Egenskap 6 (regeln för gradens logaritm). Logaritmen för potensen av ett positivt tal är lika med logaritmen för det talet gånger exponenten.

Bevis. Vi skriver igen huvudidentiteten (26.1) för numret:

Q.E.D.

Följd. Logaritmen för roten av ett positivt tal är lika med logaritmen för rottalet dividerat med exponenten för roten:

Vi kan bevisa giltigheten av denna följd genom att presentera hur och använda egenskap 6.

Exempel 4. Logaritm för att basera a:

a) (det antas att alla värden b, c, d, e är positiva);

b) (det antas att ).

Lösning, a) Det är lämpligt att i detta uttryck övergå till bråkpotenser:

Baserat på jämlikheter (26.5)-(26.7) kan vi nu skriva:

Vi märker att enklare operationer utförs på siffrors logaritmer än på själva talen: när man multiplicerar siffror läggs deras logaritmer till, när de divideras subtraheras de, etc.

Det är därför logaritmer har använts i beräkningspraxis (se avsnitt 29).

Åtgärden invers till logaritmen kallas potentiering, nämligen: potentiering är den åtgärd genom vilken detta tal i sig hittas av den givna logaritmen för ett tal. Potentiering är i huvudsak inte någon speciell handling: det handlar om att höja basen till en makt ( lika med logaritmen tal). Termen "potentiering" kan anses synonymt med termen "exponentiering".

Vid potentiering är det nödvändigt att använda reglerna som är inversa till logaritmreglerna: ersätt summan av logaritmerna med produktens logaritm, skillnaden mellan logaritmerna med kvotens logaritm, etc. I synnerhet om det finns någon faktor framför logaritmens tecken, då måste den under potentieringen överföras till indikatorgraderna under logaritmens tecken.

Exempel 5. Hitta N om det är känt att

Lösning. I samband med den nyss angivna potentieringsregeln kommer faktorerna 2/3 och 1/3, som ligger framför logaritmernas tecken på högra sidan av denna likhet, att överföras till exponenterna under dessa logaritmers tecken; vi får

Nu ersätter vi skillnaden mellan logaritmer med logaritmen för kvoten:

för att erhålla den sista bråkdelen i denna kedja av likheter befriade vi den föregående bråkdelen från irrationalitet i nämnaren (avsnitt 25).

Egenskap 7. Om basen är större än ett, så har det större talet en större logaritm (och det mindre har en mindre), om basen är mindre än ett, så har det större talet en mindre logaritm (och det mindre en har en större).

Denna egenskap är också formulerad som en regel för logaritmen av ojämlikheter, vars båda delar är positiva:

När man tar logaritmen för ojämlikheter med en bas större än ett, bevaras olikhetstecknet, och när man tar en logaritm med en bas mindre än ett, omkastas olikhetens tecken (se även punkt 80).

Beviset är baserat på egenskaperna 5 och 3. Betrakta fallet när If , then och, med logaritmen, vi får

(a och N/M ligger på samma sida av enheten). Härifrån