Hem › Chassi › Monty Hall paradox. Den mest felaktiga matematiken

Monty Hall paradox. Den mest felaktiga matematiken

Vars lösning vid första anblicken strider mot sunt förnuft.

Encyklopedisk YouTube

1 / 5

Problemet är formulerat som en beskrivning av ett spel baserat på det amerikanska spelprogrammet Let's Make a Deal, och är uppkallat efter programledaren för den showen. Den vanligaste formuleringen av detta problem, publicerad 1990 i tidskriften Paradtidningen, låter så här:

Föreställ dig att du har blivit deltagare i ett spel där du måste välja en av tre dörrar. Bakom en av dörrarna står en bil, bakom de två andra dörrarna står getter. Du väljer en av dörrarna, till exempel nummer 1, varefter ledaren, som vet var bilen är och var getterna är, öppnar en av de återstående dörrarna, till exempel nummer 3, bakom vilken det finns en get. Efter det frågar han dig om du vill ändra ditt val och välja dörr nummer 2? Kommer dina chanser att vinna en bil att öka om du accepterar programledarens erbjudande och ändrar ditt val?

Efter publiceringen stod det omedelbart klart att uppgiften var felaktigt formulerad: alla villkor var inte specificerade. Till exempel kan presentatören följa "Monty from Hell"-strategin: erbjuda ett byte av val om och endast om spelaren valde en bil som sitt första drag. Uppenbarligen kommer att ändra det ursprungliga valet att leda till en garanterad förlust i en sådan situation (se nedan).

Den mest populära är en uppgift med ett extra villkor - deltagaren i spelet känner till följande regler i förväg:

bilen är lika sannolikt placerad bakom någon av de tre dörrarna;
I vilket fall som helst är presentatören skyldig att öppna dörren med bocken (men inte den som spelaren valde) och bjuda in spelaren att ändra valet;
Om ledaren har ett val av vilken av två dörrar som ska öppnas, väljer han endera av dem med lika stor sannolikhet.

Följande text diskuterar Monty Hall-problemet i just denna formulering.

Analys

För den vinnande strategin är följande viktigt: om du ändrar valet av dörr efter ledarens handlingar, så vinner du om du först valde den förlorande dörren. Detta kommer sannolikt att hända 2 ⁄ 3 , eftersom du initialt kan välja en förlorad dörr på 2 av 3 sätt.

Men ofta när de löser det här problemet resonerar de ungefär så här: ledaren slutar alltid med att ta bort en förlorad dörr, och då blir sannolikheten för att en bil dyker upp bakom två oöppnade lika med ½, oavsett det ursprungliga valet. Men detta är inte sant: även om det verkligen finns två valmöjligheter, är dessa möjligheter (med hänsyn till bakgrunden) inte lika sannolika! Detta är sant eftersom alla dörrar från början hade lika stor chans att vinna, men sedan hade olika sannolikheter att bli eliminerade.

För de flesta människor motsäger denna slutsats den intuitiva uppfattningen av situationen, och på grund av den resulterande diskrepansen mellan den logiska slutsatsen och svaret som den intuitiva åsikten lutar åt, kallas problemet Monty Hall paradox.

Situationen med dörrar blir ännu tydligare om du föreställer dig att det inte finns 3 dörrar, utan säg 1000, och efter spelarens val tar presentatören bort 998 extra och lämnar 2 dörrar: den som spelaren valde och en till. Det verkar mer uppenbart att sannolikheten för att hitta ett pris bakom dessa dörrar är olika och inte lika med ½. Om vi byter dörr förlorar vi bara om vi valde prisdörren först, vars sannolikhet är 1:1000. Vi vinner om vårt första val var Inte korrekt, och sannolikheten för detta är 999 av 1000. Vid 3 dörrar finns logiken kvar, men sannolikheten för vinst vid ändring av beslutet är motsvarande lägre, nämligen 2 ⁄ 3 .

Ett annat sätt att resonera är att ersätta villkoret med ett likvärdigt. Låt oss föreställa oss att istället för att spelaren gör det första valet (låt det alltid vara dörr nr 1) och sedan ledaren öppnar dörren med bocken bland de återstående (det vill säga alltid bland nr 2 och nr 3), föreställ dig att spelaren behöver gissa dörren vid första försöket, men han har tidigare informerats om att det kan finnas en bil bakom dörr nr 1 med initial sannolikhet (33%), och bland de återstående dörrarna anges vilken av de dörrar det finns definitivt ingen bil bakom (0%). Följaktligen kommer den sista dörren alltid att stå för 67%, och strategin för att välja den är att föredra.

Annat programledarebeteende

Klassisk version Monty Halls paradox säger att värden definitivt kommer att erbjuda spelaren att byta dörr, oavsett om han valde bilen eller inte. Men mer komplext beteende hos ledaren är också möjligt. Den här tabellen beskriver kortfattat flera beteenden.

Eventuellt beteende hos presentatören
Presentatörens beteende	Resultat
"Hell Monty": Värden föreslår att du byter om dörren är rätt.	En förändring kommer alltid att producera en get.
"Angel Monty": värden föreslår att du byter om dörren är fel.	En förändring kommer alltid att ge dig en bil.
"Okunnig Monty" eller "Monty Buh": presentatören faller av misstag, dörren öppnas och det visar sig att det inte finns någon bil bakom den. Med andra ord, programledaren själv vet inte vad som finns bakom dörrarna, han öppnar dörren helt på måfå, och bara av en slump fanns det ingen bil bakom.	Förändringen ger en vinst i ½ av fallen. Det är exakt så den amerikanska showen "Deal or No Deal" fungerar - dock öppnas en slumpmässig dörr av spelaren själv, och om det inte finns någon bil bakom den erbjuder värden att ändra den.
Värden väljer en av getterna och öppnar den om spelaren väljer en annan dörr.	Förändringen ger en vinst i ½ av fallen.
Ledaren öppnar alltid bocken. Om en bil väljs öppnar den vänstra bocken med sannolikheten sid och rätt med sannolikhet q=1−sid.	Om ledaren öppnade den vänstra dörren ger skiftet en vinst med sannolikheten 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Om rätt - 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). Ämnet kan dock inte på något sätt påverka sannolikheten att rätt dörr öppnas - oavsett hans val kommer detta att ske med sannolikhet 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))).
Det samma, sid=q= ½ (klassiskt fall).	Bytet ger en vinst med sannolikhet 2 ⁄ 3 .
Det samma, sid=1, q=0 (“powerless Monty” - den trötta presentatören står vid vänster dörr och öppnar geten som är närmare).	Om ledaren öppnar rätt dörr ger bytet en garanterad vinst. Om vänster - sannolikhet ½.
Presentatören öppnar alltid geten om en bil väljs, och med en sannolikhet på ½ annars.	Förändringen ger en vinst med en sannolikhet på ½.
Allmänt fall: spelet upprepas många gånger, sannolikheten för att gömma en bil bakom en eller annan dörr, såväl som att öppna en eller annan dörr är godtycklig, men ledaren vet var bilen är och erbjuder alltid en förändring, öppnar en av getterna.	Nash-jämvikt: ledaren drar mest nytta av Monty Hall-paradoxen i dess klassiska form (sannolikhet att vinna 2 ⁄ 3 ). Bilen gömmer sig bakom någon av dörrarna med sannolikhet ⅓; om det finns ett val öppnar vi valfri get på måfå.
Samma sak, men presentatören kanske inte öppnar dörren alls.	Nash-jämvikt: det är lönsamt för ledaren att inte öppna dörren, sannolikheten att vinna är ⅓.

se även

Anteckningar

Tierney, John (21 juli 1991), "Behind Monty's Hall"s Doors: Puzzle, Debate and Answer? ", The New York Times, . Hämtad 18 januari 2008.

I december 1963 sände den amerikanska tv-kanalen NBC för första gången programmet Let's Make a Deal ("Let's make a deal!"), där deltagare utvalda från publiken i studion förhandlade med varandra och med programledaren, spelade små spel eller helt enkelt gissat svaret på en fråga. I slutet av showen kunde deltagarna spela "dagens affär". Framför dem fanns tre dörrar, om vilka det var känt att bakom en av dem fanns huvudpriset (till exempel en bil), och bakom de andra två var mindre värdefulla eller helt absurda gåvor (till exempel levande getter). Efter att spelaren gjort sitt val skulle programmets värd, Monty Hall, öppna en av de två återstående dörrarna, visa att det inte fanns något pris bakom det och ge deltagaren tillfredsställelsen att han fortfarande hade en chans att vinna.

1975 undrade forskaren från University of California, Steve Selvin, vad som skulle hända om deltagaren i det ögonblicket, efter att dörren öppnats utan ett pris, ombads att ändra sitt val. Kommer spelarens chanser att ta emot priset att ändras i detta fall, och i så fall i vilken riktning? Han skickade motsvarande fråga i form av ett problem till tidningen The American Statistician, liksom till Monty Hall själv, som gav honom ett ganska intressant svar. Trots detta svar (eller kanske på grund av det) blev problemet populärt under namnet "Monty Hall problem."

Den vanligaste formuleringen av detta problem, publicerad 1990 i Parade Magazine, är följande:

”Föreställ dig att du blir deltagare i ett spel där du måste välja en av tre dörrar. Bakom en av dörrarna står en bil, bakom de två andra dörrarna står getter. Du väljer en av dörrarna, till exempel nummer 1, varefter ledaren, som vet var bilen är och var getterna är, öppnar en av de återstående dörrarna, till exempel nummer 3, bakom vilken det finns en get. Efter det frågar han dig om du vill ändra ditt val och välja dörr nummer 2. Kommer dina chanser att vinna bilen att öka om du accepterar programledarens erbjudande och ändrar ditt val?

Efter publiceringen stod det omedelbart klart att uppgiften var felaktigt formulerad: alla villkor var inte specificerade. Till exempel kan presentatören följa "Hell Monty"-strategin: erbjuda ett byte av val om och endast om spelaren valde en bil som sitt första drag. Uppenbarligen kommer en ändring av det ursprungliga valet att leda till en garanterad förlust i en sådan situation.

Den mest populära är en uppgift med ett extra villkor - deltagaren i spelet känner till följande regler i förväg:

bilen är lika sannolikt placerad bakom någon av de tre dörrarna;
I vilket fall som helst är presentatören skyldig att öppna dörren med bocken (men inte den som spelaren valde) och bjuda in spelaren att ändra valet;
Om ledaren har ett val av vilken av två dörrar som ska öppnas, väljer han endera av dem med lika stor sannolikhet.

Ledtråd

Försök att överväga personer som valt olika dörrar i samma fall (det vill säga när Priset till exempel finns bakom dörr nr 1). Vem kommer att tjäna på att ändra sina val och vem kommer inte att göra det?

Lösning

Som föreslås i uppmaningen, låt oss titta på personer som gjort olika val. Låt oss anta att priset är bakom dörr #1, och bakom dörr #2 och #3 är getter. Låt oss ha sex personer, och två personer valde varje dörr, och från varje par ändrade den ena sitt beslut, och den andra gjorde det inte.

Observera att för de som väljer dörr nr 1 kommer presentatören att öppna en av två dörrar efter sin smak, och oavsett detta kommer bilen att tas emot av de som inte ändrar sitt val, medan de som ändrar sitt ursprungliga val kommer att förbli utan pris. Låt oss nu titta på de som valde dörr nr 2 och nr 3. Eftersom det finns en bil bakom dörr nr 1 kan ledaren inte öppna den, vilket ger honom inget val - han öppnar dörrar nr 3 respektive nr 2 för dem. I det här fallet kommer den som ändrade beslutet i varje par i slutändan att välja priset, och den som inte ändrade sig kommer att lämnas med ingenting. Av de tre personer som ändrade sina beslut kommer alltså två att få priset, och en kommer att få bocken, medan av de tre som lämnade sitt ursprungliga val oförändrat, kommer bara en att få priset.

Det bör noteras att om Bilen hade hamnat bakom dörr nr 2 eller nr 3 hade resultatet blivit detsamma, bara de specifika vinnarna skulle ha ändrats. Om man antar att varje dörr till en början väljs med lika stor sannolikhet, finner vi att de som ändrar sitt val vinner priset dubbelt så ofta, det vill säga sannolikheten att vinna i detta fall är större.

Låt oss titta på detta problem utifrån matematisk sannolikhetsteori. Vi kommer att anta att sannolikheten för att initialt välja var och en av dörrarna är densamma, liksom sannolikheten att hitta en bil bakom var och en av dörrarna. Dessutom är det användbart att göra förbehållet att GM, när han kan öppna två dörrar, väljer var och en av dem med lika stor sannolikhet. Sedan visar det sig att efter det första beslutet är sannolikheten att Priset ligger bakom den valda dörren är 1/3, medan sannolikheten att det är bakom en av de andra två dörrarna är 2/3. Dessutom, efter att ledaren har öppnat en av de två "ovalda" dörrarna, faller hela 2/3 sannolikheten på endast en av de återstående dörrarna, vilket skapar grunden för att ändra beslutet, vilket kommer att öka sannolikheten att vinna med 2 gånger . Vilket naturligtvis inte alls garanterar det i ett specifikt fall, men kommer att leda till mer framgångsrika resultat om experimentet upprepas många gånger.

Efterord

Monty Hall-problemet är inte den första kända formuleringen av detta problem. Speciellt 1959 publicerade Martin Gardner ett liknande "Three Prisoners problem" i tidskriften Scientific American med följande formulering: "Av tre fångar bör en benådas och två bör avrättas. Fånge A övertalar vakten att berätta för honom namnet på den av de andra två som kommer att avrättas (endera, om båda avrättas), varefter han, efter att ha fått namnet B, tror att sannolikheten för hans egen frälsning har blir inte 1/3, utan 1/2. Samtidigt hävdar fånge C att sannolikheten för hans frälsning har blivit 2/3, men för A har ingenting förändrats. Vilken är rätt?

Gardner var dock inte den första, sedan den franske matematikern Joseph Bertrand (inte att förväxla med engelsmannen Bertrand Russell!) redan 1889, i sin "Sannolikhetsanalys", föreslog ett liknande problem (se Bertrands boxparadox): " Det finns tre lådor som var och en innehåller två mynt: två guld i den första, två silver i den andra och två olika i den tredje. Från en slumpmässigt vald låda drogs ett mynt ut på måfå, vilket visade sig vara guld. Vad är sannolikheten att det återstående myntet i lådan är guld?"

Om du förstår lösningarna på alla tre problemen är det lätt att märka likheten mellan deras idéer; matematiskt förenas de alla av begreppet betingad sannolikhet, det vill säga sannolikheten för händelse A om det är känt att händelse B inträffade. Det enklaste exemplet: sannolikheten att en vanlig tärning slår en etta är 1/6; men om det är känt att det dragna talet är udda, kommer sannolikheten att det är ett redan att vara 1/3. Monty Hall-problemet, liksom de andra två problemen som ges ovan, visar att villkorade sannolikheter måste hanteras försiktigt.

Dessa problem kallas också ofta paradoxer: Monty Hall-paradoxen, Bertrand-box-paradoxen (den senare ska inte förväxlas med den verkliga Bertrand-paradoxen, som ges i samma bok, som bevisade tvetydigheten i det då existerande sannolikhetsbegreppet) - vilket innebär en viss motsägelse (till exempel i "Liar's Paradox" motsäger frasen "det här påståendet är falskt" lagen om den uteslutna mitten). I I detta fall, men det finns ingen motsägelse med strikta uttalanden. Men det finns en tydlig motsägelse med " allmän åsikt” eller helt enkelt en ”uppenbar lösning” på problemet. Faktum är att de flesta, som tittar på problemet, tror att efter att ha öppnat en av dörrarna, är sannolikheten att hitta ett pris för någon av de två som är stängda 1/2. Således hävdar de att det inte spelar någon roll om du håller med eller inte håller med om att ändra ditt beslut. Dessutom har många människor svårt att inse ett annat svar än detta, även efter att ha fått veta den detaljerade lösningen.

Monty Halls svar på Steve Selwyn

Mr Steve Selwyn,
Docent i biostatistik,
University of California, Berkeley.

Kära Steve,

Tack för att du skickade mig problemet från The American Statistician.

Även om jag inte studerade statistik på universitetet vet jag att siffror alltid kan användas till min fördel om jag vill manipulera dem. Ditt resonemang tar inte hänsyn till en väsentlig omständighet: efter att den första rutan är tom kan deltagaren inte längre ändra sitt val. Så sannolikheterna förblir desamma: en av tre, eller hur? Och, naturligtvis, efter att en av lådorna visar sig vara tom, blir chansen inte 50/50, utan förblir densamma - en av tre. Det verkar bara för deltagaren att genom att göra sig av med en låda får han fler chanser. Inte alls. Två mot en mot honom, som det var, förblir så. Och om du plötsligt kommer till min show kommer reglerna att förbli desamma för dig: inga byteslådor efter att ha valt.

Föreställ dig att en bankman erbjuder dig att välja en av tre stängda lådor. I en av dem finns 50 cent, i den andra - en dollar, i den tredje - 10 tusen dollar. Vilken du än väljer får du den som ett pris.

Du väljer slumpmässigt, säg, ruta nr 1. Och sedan öppnar banken (som naturligtvis vet var allt är) mitt framför dina ögon en låda med en dollar (låt oss säga att det här är nr 2), varefter han inbjuder dig att ändra den ursprungligen valda ruta nr 1 till box Nr 3.

Bör du ändra dig? Kommer detta att öka dina chanser att få 10 tusen?

Detta är Monty Hall-paradoxen - ett problem inom sannolikhetsteorin, vars lösning vid första anblicken motsäger sunt förnuft. Folk har undrat över detta problem sedan 1975.

Paradoxen fick sitt namn efter programledaren för den populära amerikanska TV-serien "Let's Make a Deal". Detta TV-program hade liknande regler, bara deltagarna valde dörrar, bakom två av dem gömde sig getter, bakom den tredje - en Cadillac.

De flesta spelare resonerade att efter att det fanns två stängda dörrar och det fanns en Cadillac bakom en av dem, så var chansen att få den 50-50. Uppenbarligen, när värden öppnar en dörr och uppmanar dig att ändra ditt beslut, börjar han nytt spel. Oavsett om du ändrar ditt beslut eller inte kommer dina chanser fortfarande att vara 50 procent. Höger?

Det visar sig inte. Faktum är att genom att ändra dig kan du fördubbla dina chanser att lyckas. Varför?

Den enklaste förklaringen till detta svar är följande övervägande. För att vinna en bil utan att ändra valet måste spelaren omedelbart gissa dörren bakom vilken bilen är placerad. Sannolikheten för detta är 1/3. Om spelaren först landar på en dörr bakom vilken det finns en get (och sannolikheten för denna händelse är 2/3, eftersom det finns två getter och bara en bil), så kan han definitivt vinna bilen genom att ändra sitt beslut, eftersom bilen och en get är kvar, och programledaren hade redan öppnat dörren med bocken.

Utan att ändra valet förblir spelaren alltså kvar med sin initiala sannolikhet att vinna 1/3, och när man ändrar det initiala valet drar spelaren nytta av dubbelt så stor sannolikhet att han gissade fel i början.

En intuitiv förklaring kan också göras genom att byta de två händelserna. Den första händelsen är spelaren som fattar ett beslut att byta dörr, den andra händelsen är öppnandet av en extra dörr. Detta är acceptabelt, eftersom att öppna en extra dörr inte ger spelaren någon ny information(se den här artikeln för dokumentation). Sedan kan problemet reduceras till följande formulering. I det första ögonblicket delar spelaren upp dörrarna i två grupper: i den första gruppen finns det en dörr (den han valde), i den andra gruppen finns det två återstående dörrar. I nästa ögonblick gör spelaren ett val mellan grupperna. Självklart är sannolikheten att vinna 1/3 för den första gruppen, för den andra gruppen är den 2/3. Spelaren väljer den andra gruppen. I den andra gruppen kan han öppna båda dörrarna. Den ena öppnas av presentatören och den andra av spelaren själv.

Låt oss försöka ge den "mest förståeliga" förklaringen. Låt oss omformulera problemet: En ärlig presentatör tillkännager för spelaren att det finns en bil bakom en av de tre dörrarna och uppmanar honom att först peka på en av dörrarna och sedan välja en av två åtgärder: öppna den angivna dörren (i den gamla formuleringen kallas detta "ändra inte ditt val ") eller öppna de andra två (i den gamla formuleringen skulle detta bara vara "ändra valet". Tänk, här ligger nyckeln till förståelse!). Det är tydligt att spelaren kommer att välja den andra av de två åtgärderna, eftersom sannolikheten att ta emot en bil i det här fallet är dubbelt så hög. Och den lilla sak som presentatören "visade geten" redan innan han valde en åtgärd hjälper eller hindrar inte valet, för bakom en av de två dörrarna finns det alltid en get och presentatören kommer definitivt att visa den när som helst i spelet , så att spelaren kan använda den här geten ser inte ut. Det är upp till spelaren, om han väljer den andra åtgärden, att säga "tack" till ledaren för att han besparat honom besväret att själv öppna en av de två dörrarna och öppna den andra. Tja, eller ännu enklare. Låt oss föreställa oss den här situationen från en presentatörs synvinkel som utför en liknande procedur med dussintals spelare. Eftersom han mycket väl vet vad som finns bakom dörrarna, så ser han i genomsnitt i två fall av tre i förväg att spelaren har valt "fel" dörr. Därför finns det för honom definitivt ingen paradox i det faktum att den korrekta strategin är att ändra valet efter att ha öppnat den första dörren: trots allt, i samma två fall av tre kommer spelaren att lämna studion för ny bil.

Slutligen det mest "naiva" beviset. Låt den som står för sitt val kallas "Envis" och den som följer ledarens instruktioner kallas "uppmärksam". Sedan vinner Stubborn om han initialt gissade bilen (1/3), och Attentive vinner om han initialt missade och träffade geten (2/3). När allt kommer omkring, bara i det här fallet kommer han då att peka på dörren med bilen.

Monty Hall, producent och programledare Låt oss göra affärer från 1963 till 1991.

1990 publicerades detta problem och dess lösning i den amerikanska tidskriften Parade. Publikationen orsakade en uppsjö av indignerade recensioner från läsare, av vilka många hade vetenskapliga examen.

Det huvudsakliga klagomålet var att inte alla villkor för uppgiften var specificerade, och alla nyanser kunde påverka resultatet. Till exempel kan presentatören erbjuda sig att ändra beslutet endast om spelaren valde en bil som första drag. Uppenbarligen kommer att ändra det ursprungliga valet i en sådan situation att leda till en garanterad förlust.

Men under hela existensen av Monty Hall TV-show vann människor som ändrade sig faktiskt dubbelt så ofta:

Av de 30 spelarna som ändrade sitt ursprungliga beslut vann Cadillac 18 – det vill säga 60 %

Av de 30 spelarna som stod kvar med sitt val vann Cadillac 11 - det vill säga cirka 36 %

Så resonemanget i beslutet, hur ologiskt det än kan verka, bekräftas av praxis.

Öka antalet dörrar

För att lättare förstå essensen av vad som händer kan vi överväga fallet när spelaren inte ser tre dörrar framför sig, utan till exempel hundra. Dessutom, bakom en av dörrarna finns en bil, och bakom de andra 99 finns det getter. Spelaren väljer en av dörrarna, och i 99% av fallen kommer han att välja dörren med en get, och chanserna att omedelbart välja dörren med en bil är mycket små - de är 1%. Efter detta öppnar presentatören 98 dörrar med getter och uppmanar spelaren att välja den återstående dörren. Men i 99% av fallen kommer bilen att stå bakom denna återstående dörr, eftersom chansen att spelaren omedelbart valde rätt dörr är mycket liten. Det är klart att en rationellt tänkande spelare i det här läget alltid bör acceptera ledarens erbjudande.

När man överväger ett ökat antal dörrar uppstår ofta frågan: om ledaren i den ursprungliga uppgiften öppnar en dörr av tre (det vill säga 1/3 av Totala numret dörrar), varför ska vi då anta att i fallet med 100 dörrar kommer presentatören att öppna 98 dörrar med getter, och inte 33? Detta övervägande är vanligtvis en av de betydande anledningarna till att Monty Hall-paradoxen står i konflikt med den intuitiva uppfattningen av situationen. Det skulle vara korrekt att anta att 98 dörrar öppnas pga väsentligt tillstånd Uppgiften är att endast ha ett alternativt val för spelaren, vilket föreslås av presentatören. Därför, för att uppgifterna ska vara likartade, måste ledaren vid 4 dörrar öppna 2 dörrar, vid 5 dörrar - 3 och så vidare, så att det alltid finns en oöppnad dörr annan än den som spelaren valde från början. Om presentatören öppnar färre dörrar kommer uppgiften inte längre att likna den ursprungliga Monty Hall-uppgiften.

Det bör noteras att i fallet med många dörrar, även om presentatören inte lämnar en dörr stängd utan flera, och uppmanar spelaren att välja en av dem, så kommer spelarens chanser att vinna en bil när du ändrar det ursprungliga valet ökar fortfarande, om än inte så markant. Tänk till exempel på en situation där en spelare väljer en dörr av hundra, och sedan öppnar värden bara en av de återstående dörrarna och uppmanar spelaren att ändra sitt val. Samtidigt förblir chanserna att bilen ligger bakom den dörr som spelaren ursprungligen valt densamma - 1/100, och för de återstående dörrarna ändras chanserna: den totala sannolikheten att bilen är bakom en av de återstående dörrarna ( 99/100) fördelas nu inte över Det finns 99 dörrar, men 98. Därför kommer sannolikheten att hitta en bil bakom var och en av dessa dörrar inte vara 1/100, utan 99/9800. Sannolikheten ökar med cirka 1 %.

Träd möjliga lösningar spelare och presentatör, som visar sannolikheten för varje utfall Mer formellt kan spelscenariot beskrivas med hjälp av ett beslutsträd. I de två första fallen, där spelaren först valde dörren bakom vilken bocken är placerad, resulterar en ändring av valet i en vinst. I de två sista fallen, när spelaren först valde dörren med bilen, resulterar ett ändrat val i en förlust.

Om det ändå inte är klart för dig, spotta på formlerna och barakontrollera allt statistiskt. En annan möjlig förklaring:

En spelare vars strategi skulle vara att ändra den valda dörren varje gång skulle förlora endast om han först valde dörren som hade bilen bakom sig.
Eftersom sannolikheten att välja bil vid första försöket är en av tre (eller 33%), är chansen att inte välja bil om spelaren ändrar sitt val också en av tre (eller 33%).
Det betyder att spelaren som använde strategin att byta dörr skulle vinna med en sannolikhet på 66 % eller två till tre.
Detta kommer att fördubbla vinstchanserna för en spelare vars strategi är att inte ändra sitt val varje gång.

Tror du mig fortfarande inte? Låt oss anta att du valde dörr #1. Alla presenteras här möjliga alternativ vad som kan hända i detta fall.

Jag träffade den under namnet "The Monty Hall Paradox", och wow, löst det annorlunda, nämligen: bevisat att detta är en pseudoparadox.

Vänner, jag kommer med glädje att lyssna på kritik av mitt vederläggande av denna paradox (pseudo-paradox, om jag har rätt). Och då ska jag se med egna ögon att min logik är halt, jag ska sluta föreställa mig mig själv som en tänkare och fundera på att ändra min typ av aktivitet till en mer lyrisk sådan :o). Så här är innehållet i uppgiften. Den föreslagna lösningen och mitt motbevis finns nedan.

Föreställ dig att du är en deltagare i ett spel där du står framför tre dörrar. Programledaren, som är känd för att vara ärlig, placerade en bil bakom en av dörrarna, och en get vardera bakom de andra två dörrarna. Du har ingen information om vad som finns bakom vilken dörr.

Värden säger till dig: "Först måste du välja en av dörrarna. Efter det kommer jag att öppna en av de återstående dörrarna, bakom vilken finns en get. Jag kommer då att låta dig ändra ditt ursprungliga val och välja den återstående stängda dörren istället för den du först valde. Du kan följa mitt råd och välja en annan dörr, eller bekräfta ditt ursprungliga val. Efter det kommer jag att öppna dörren du valde och du kommer att vinna allt som finns bakom den dörren.”

Du väljer dörr nummer 3. Värden öppnar dörr nummer 1 och visar att det finns en get bakom. Då ber värden dig att välja dörr nummer 2.

Kommer dina chanser att vinna en bil att öka om du följer hans råd?
Monty Hall-paradoxen är ett av de välkända problemen inom sannolikhetsteorin, vars lösning vid första anblick strider mot sunt förnuft.
När de löser detta problem brukar de resonera ungefär så här: efter att ledaren har öppnat dörren bakom vilken bocken är, kan bilen bara vara bakom en av de två återstående dörrarna. Eftersom spelaren inte kan ta emot några ytterligare information om vilken dörr bilen står bakom, då är sannolikheten att hitta en bil bakom varje dörr densamma, och att ändra det initiala valet av dörr ger inte spelaren någon fördel. Detta resonemang är dock felaktigt.
Om värden alltid vet vilken dörr som är bakom vad som är, alltid öppnar den av de återstående dörrarna bakom som bocken är och alltid uppmanar spelaren att ändra sitt val, då är sannolikheten att bilen är bakom dörren som spelaren valt är 1/3, och följaktligen är sannolikheten att bilen är bakom den återstående dörren 2/3. Att ändra det ursprungliga valet ökar alltså spelarens chanser att vinna bilen med 2 gånger. Denna slutsats motsäger de flesta människors intuitiva uppfattning om situationen, varför det beskrivna problemet kallas Monty Hall-paradoxen.

Det verkar för mig att chanserna inte kommer att förändras, d.v.s. det finns ingen paradox.

Och här är varför: det första och andra dörrvalet är oberoende evenemang. Det är som att kasta ett mynt två gånger: vad som kommer upp andra gången beror inte på något sätt på vad som kommer upp första gången.

Så det är här: efter att ha öppnat dörren med bocken, hamnar spelaren i ny situation, när den har 2 dörrar och sannolikheten för att välja bil eller get är 1/2.

Återigen: efter att ha öppnat en dörr av tre är sannolikheten att bilen är bakom den återstående dörren inte lika med 2/3, därför att 2/3 är sannolikheten att bilen står bakom två dörrar. Det är felaktigt att tillskriva denna sannolikhet till en oöppnad dörr eller en öppen. Innan att öppna dörrarna var en sådan avvägning av sannolikheter, men efteröppna en dörr, alla dessa sannolikheter blir obetydlig, eftersom situationen har förändrats och därför behövs en ny sannolikhetsberäkning, som vanligt folk korrekt, svara att ändra valet inte kommer att förändra någonting.

Tillägg: 1) resonemang att:

a) sannolikheten att hitta en bil bakom den valda dörren är 1/3,

b) sannolikheten att bilen står bakom två andra ovalda dörrar är 2/3,

c) därför att ledaren öppnade dörren med bocken, sedan går sannolikheten på 2/3 helt till en ovald (och oöppnad) dörr,

och därför är det nödvändigt att ändra valet till en annan dörr så att sannolikheten från 1/3 blir 2/3, inte sant, men falskt, nämligen: i stycke "c", eftersom sannolikheten för 2/3 från början gäller två valfria dörrar, inklusive de 2 som inte är öppna, och eftersom en dörr öppnades, kommer denna sannolikhet att delas lika mellan de 2 som inte är öppna, dvs. sannolikheten kommer att vara lika, och att välja en annan dörr kommer inte att öka den.

2) villkorade sannolikheter beräknas om det finns 2 eller fler slumpmässiga händelser, och för varje händelse beräknas sannolikheten separat, och först då beräknas sannolikheten för att 2 eller fler händelser ska inträffa tillsammans. Här var sannolikheten att gissa först 1/3, men för att beräkna sannolikheten att bilen inte står bakom den dörr som valdes, utan bakom den andra som inte är öppen, behöver du inte beräkna den villkorade sannolikhet, men du måste beräkna den enkla sannolikheten, som är lika med 1 av 2, de. 1/2.

3) Detta är alltså inte en paradox, utan en vanföreställning! (2009-11-19)

Bilaga 2: Igår kom jag på den enklaste förklaringen att omvalsstrategin är fortfarande mer fördelaktig(paradoxen är sann!): med det första valet är det 2 gånger mer sannolikt att komma in i en get än i en bil, eftersom det finns två getter, och därför, med det andra valet, måste du ändra valet. Det är så uppenbart :o)

Eller med andra ord: du behöver inte markera getterna i bilen, utan avliva getterna, och även ledaren hjälper till med detta genom att öppna geten. Och i början av spelet, med en sannolikhet på 2 av 3, kommer spelaren att lyckas, så efter att ha avlivat getterna måste du ändra valet. Och detta blev också plötsligt väldigt uppenbart:o)

Så allt jag har skrivit hittills har varit ett pseudo-bestridande. Tja, här är ytterligare en illustration av det faktum att du måste vara mer blygsam, respektera någon annans synvinkel och inte lita på försäkringarna från din logik om att dess beslut är kristallologiska.

Monty Hall-paradoxen är ett av de välkända problemen inom sannolikhetsteorin, vars lösning vid första anblick strider mot sunt förnuft. Problemet är formulerat som en beskrivning av ett hypotetiskt spel baserat på den amerikanska tv-serien "Let's Make a Deal", och är uppkallad efter programledaren. Den vanligaste formuleringen av detta problem, publicerad 1990 i Parade Magazine, är följande:

Föreställ dig att du är en deltagare i ett spel där du måste välja en av tre dörrar. Bakom en av dörrarna står en bil, bakom de två andra dörrarna står getter. Du väljer en av dörrarna, till exempel nummer 1, varefter ledaren, som vet var bilen är och var getterna är, öppnar en av de återstående dörrarna, till exempel nummer 3, bakom vilken det finns en get. Han frågar dig sedan om du vill ändra ditt val och välja dörr nummer 2. Kommer dina chanser att vinna bilen att öka om du accepterar värdens erbjudande och ändrar ditt val?

Även om denna formulering av problemet är den mest kända, är den något problematisk eftersom den lämnar några viktiga villkor för problemet odefinierade. Nedan finns en mer komplett formulering.

När de löser detta problem brukar de resonera ungefär så här: efter att ledaren har öppnat dörren bakom vilken bocken är, kan bilen bara vara bakom en av de två återstående dörrarna. Eftersom spelaren inte kan få någon ytterligare information om vilken dörr bilen står bakom är sannolikheten att hitta en bil bakom varje dörr densamma och att ändra spelarens ursprungliga dörrval ger inte spelaren någon fördel. Detta resonemang är dock felaktigt. Om värden alltid vet vilken dörr som är bakom vad som är, alltid öppnar den av de återstående dörrarna bakom som bocken är och alltid uppmanar spelaren att ändra sitt val, då är sannolikheten att bilen är bakom dörren som spelaren valt är 1/3, och följaktligen är sannolikheten att bilen är bakom den återstående dörren 2/3. Att ändra det ursprungliga valet ökar alltså spelarens chanser att vinna bilen med 2 gånger. Denna slutsats motsäger de flesta människors intuitiva uppfattning om situationen, varför det beskrivna problemet kallas Monty Hall-paradoxen.

Verbal lösning

Det korrekta svaret på detta problem är följande: ja, chanserna att vinna en bil ökar med 2 gånger om spelaren följer råd från presentatören och ändrar sitt ursprungliga val.

Sedan kan problemet reduceras till följande formulering. I det första ögonblicket delar spelaren upp dörrarna i två grupper: i den första gruppen finns det en dörr (den han valde), i den andra gruppen finns det två återstående dörrar. I nästa ögonblick gör spelaren ett val mellan grupperna. Självklart är sannolikheten att vinna 1/3 för den första gruppen, för den andra gruppen är den 2/3. Spelaren väljer den andra gruppen. I den andra gruppen kan han öppna båda dörrarna. Den ena öppnas av presentatören och den andra av spelaren själv.

Låt oss försöka ge den "mest förståeliga" förklaringen. Låt oss omformulera problemet: En ärlig presentatör tillkännager för spelaren att det finns en bil bakom en av de tre dörrarna och uppmanar honom att först peka på en av dörrarna och sedan välja en av två åtgärder: öppna den angivna dörren (i den gamla formuleringen kallas detta "ändra inte ditt val ") eller öppna de andra två (i den gamla formuleringen skulle detta vara "ändra valet". Tänk, här ligger nyckeln till förståelse!). Det är tydligt att spelaren kommer att välja den andra av de två åtgärderna, eftersom sannolikheten att ta emot en bil i det här fallet är dubbelt så hög. Och den lilla sak som presentatören "visade geten" redan innan han valde en åtgärd hjälper eller hindrar inte valet, för bakom en av de två dörrarna finns det alltid en get och presentatören kommer definitivt att visa den när som helst i spelet , så att spelaren kan använda den här geten ser inte ut. Spelarens uppgift, om han väljer den andra åtgärden, är att säga "tack" till ledaren för att han besparat honom besväret att själv öppna en av de två dörrarna och öppna den andra. Tja, eller ännu enklare. Låt oss föreställa oss den här situationen från en presentatörs synvinkel som utför en liknande procedur med dussintals spelare. Eftersom han mycket väl vet vad som finns bakom dörrarna, så ser han i genomsnitt i två fall av tre i förväg att spelaren har valt "fel" dörr. Därför finns det för honom definitivt ingen paradox i det faktum att den korrekta strategin är att ändra valet efter att ha öppnat den första dörren: trots allt kommer spelaren i samma två fall av tre att lämna studion i en ny bil.

Nycklar till förståelse

Trots enkelheten i förklaringen till detta fenomen tror många intuitivt att sannolikheten att vinna inte förändras när spelaren ändrar sitt val. Vanligtvis är omöjligheten att ändra sannolikheten att vinna motiverad av det faktum att när man beräknar sannolikheten spelar händelser som hänt i det förflutna ingen roll, vilket till exempel händer när man kastar ett mynt - sannolikheten för att huvuden eller svansarna faller gör inte beror på hur många gånger huvuden eller svansar har fallit tidigare. Därför tror många att för tillfället spelaren väljer en dörr av två spelar det inte längre någon roll att det tidigare fanns ett val av en dörr av tre, och sannolikheten för att vinna en bil är densamma både när man byter dörr. val och när man lämnar det ursprungliga valet.

Men även om sådana överväganden är sanna i fallet med myntkast, är de inte sanna för alla spel. I det här fallet bör värdens öppning av dörren ignoreras. Spelaren väljer i huvudsak mellan den ena dörren de först valde och de andra två - att öppna en av dem tjänar bara till att distrahera spelaren. Det är känt att det finns en bil och två getter. Spelarens initiala val av en av dörrarna delar upp spelets möjliga resultat i två grupper: antingen står bilen bakom den dörr som spelaren valt (sannolikheten för detta är 1/3), eller bakom en av de andra två ( sannolikheten för detta är 2/3). Samtidigt är det redan känt att det i alla fall finns en get bakom en av de två återstående dörrarna, och när den öppnar den här dörren ger presentatören inte spelaren någon ytterligare information om vad som finns bakom dörren som valts av spelare. Ledaren som öppnar dörren med bocken ändrar alltså inte sannolikheten (2/3) att bilen står bakom en av de återstående dörrarna. Och sedan redan öppen dörr spelaren inte väljer, då visar sig all denna sannolikhet vara koncentrerad i händelse av att bilen står bakom den återstående stängda dörren.

Mer intuitivt resonemang: Låt spelaren använda strategin "ändra val". Då kommer han att förlora bara om han först väljer bilen. Och sannolikheten för detta är en tredjedel. Därför är sannolikheten att vinna: 1-1/3=2/3. Om spelaren följer strategin "ändra inte val" kommer han att vinna om och bara om han först valde bilen. Och sannolikheten för detta är en tredjedel.

Låt oss föreställa oss den här situationen från en presentatörs synvinkel som utför en liknande procedur med dussintals spelare. Eftersom han mycket väl vet vad som finns bakom dörrarna, så ser han i genomsnitt i två fall av tre i förväg att spelaren har valt "fel" dörr. Därför finns det för honom definitivt ingen paradox i det faktum att den korrekta strategin är att ändra valet efter att ha öppnat den första dörren: trots allt kommer spelaren i samma två fall av tre att lämna studion i en ny bil.

En annan vanlig orsak till svårigheten att förstå lösningen på detta problem är att folk ofta föreställer sig ett lite annorlunda spel – när det inte är känt på förhand om programledaren kommer att öppna dörren med en get och bjuda in spelaren att ändra sitt val. I det här fallet känner spelaren inte till ledarens taktik (det vill säga känner i princip inte till alla spelets regler) och kan inte göra det optimalt val. Till exempel, om presentatören erbjuder ett byte av alternativ endast om spelaren först valde dörren med bilen, så bör spelaren naturligtvis alltid lämna det ursprungliga beslutet oförändrat. Det är därför det är viktigt att komma ihåg den exakta formuleringen av Monty Hall-problemet. (med det här alternativet kan ledaren med olika strategier uppnå vilken sannolikhet som helst mellan dörrarna, i det allmänna (genomsnittliga) fallet blir det 1/2 till 1/2).

Öka antalet dörrar

När man överväger ett ökat antal dörrar uppstår ofta frågan: om ledaren i det ursprungliga problemet öppnar en dörr av tre (det vill säga 1/3 av det totala antalet dörrar), varför ska vi då anta att i fallet av 100 dörrar kommer ledaren att öppna 98 dörrar med getter, och inte 33? Detta övervägande är vanligtvis en av de betydande anledningarna till att Monty Hall-paradoxen står i konflikt med den intuitiva uppfattningen av situationen. Det skulle vara korrekt att anta att 98 dörrar kommer att öppnas eftersom en väsentlig förutsättning för uppgiften är närvaron av endast ett alternativt val för spelaren, vilket föreslås av presentatören. Därför, för att uppgifterna ska vara likartade, måste ledaren vid 4 dörrar öppna 2 dörrar, vid 5 dörrar - 3 och så vidare, så att det alltid finns en oöppnad dörr annan än den som spelaren valde från början. Om presentatören öppnar färre dörrar kommer uppgiften inte längre att likna den ursprungliga Monty Hall-uppgiften.

Beslutsträd

Ett träd med möjliga beslut av spelaren och presentatören, som visar sannolikheten för varje resultat

Mer formellt kan spelscenariot beskrivas med hjälp av ett beslutsträd.

I de två första fallen, där spelaren först valde dörren bakom vilken bocken är placerad, resulterar en ändring av valet i en vinst. I de två sista fallen, när spelaren först valde dörren med bilen, resulterar ett ändrat val i en förlust.

Den totala sannolikheten att en förändring i val kommer att leda till en vinst är ekvivalent med summan av sannolikheterna för de två första utfallen, dvs.

Följaktligen är sannolikheten att vägran att ändra valet leder till en vinst lika med

Utföra liknande experiment

Det finns ett enkelt sätt att verifiera att en ändring av ditt första val resulterar i en vinst två av tre gånger i genomsnitt. För att göra detta kan du simulera spelet som beskrivs i Monty Hall-problemet med hjälp av Spelar kort. En person (som delar ut korten) spelar rollen som värd Monty Hall, och den andra spelar rollen som spelaren. För spelet tas tre kort, varav ett visar en dörr med en bil (till exempel ett spaderess), och de andra två, identiska (till exempel två röda tvåor) representerar dörrar med getter.

Presentatören lägger ut tre kort med framsidan nedåt och uppmanar spelaren att ta ett av korten. Efter att spelaren valt ett kort tittar ledaren på de två återstående korten och avslöjar en röd tvåa. Efter detta öppnas de kort som återstår för spelaren och presentatören, och om kortet som spelaren valt är spader ess, registreras en poäng till förmån för alternativet när spelaren inte ändrar sitt val, och om spelaren visar sig ha en röd tvåa, och ledaren förblir med spader ess, sedan registreras en poäng till förmån för alternativet när spelaren ändrar sitt val. Om många sådana omgångar av spelet spelas, kommer förhållandet mellan poäng till förmån för två alternativ ganska väl att återspegla förhållandet mellan sannolikheterna för dessa alternativ. Det visar sig att antalet poäng till förmån för att ändra det ursprungliga valet är ungefär dubbelt så stort.

Ett sådant experiment gör att vi inte bara kan verifiera att sannolikheten att vinna när vi byter val är dubbelt så stor, utan illustrerar också bra varför detta händer. I det ögonblick då spelaren väljer ett kort är det redan bestämt om spader ess är i hans hand eller inte. Ytterligare öppning av ledaren av ett av hans kort förändrar inte situationen - spelaren håller redan kortet i sin hand, och det förblir där oavsett ledarens handlingar. Sannolikheten för en spelare att välja spaderess från tre kortär uppenbarligen 1/3, och därmed är sannolikheten för att inte välja honom (och då spelaren skulle vinna om han ändrade sitt ursprungliga val) 2/3.

Nämna

I filmen Twenty-One ber läraren Miki Rosa huvudpersonen Ben att lösa ett pussel: bakom tre dörrar finns två skotrar och en bil, du måste gissa dörren för att vinna bilen. Efter första valet föreslår Miki att du ändrar valet. Ben håller med och argumenterar matematiskt för sitt beslut. Så han klarar ofrivilligt testet för Mikas team.

I Sergei Lukyanenkos roman "The Klutz" använder huvudkaraktärerna denna teknik för att vinna en vagn och möjligheten att fortsätta sin resa.

I tv-serien "4isla" (avsnitt 13 av säsong 1 "Man Hunt"), förklarar en av huvudkaraktärerna, Charlie Epps, Monty Hall-paradoxen vid en populär föreläsning om matematik och illustrerar den visuellt med hjälp av markeringstavlor, på nackdelar varav getter och en bil dras. Charlie hittar faktiskt bilen efter att ha ändrat sitt val. Det bör dock noteras att han endast utför ett experiment, medan fördelen med valbytestrategin är statistisk, och en serie experiment bör utföras för att korrekt illustrera det.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146

Populär i kategorin: