Hem › elektrisk utrustning › Det finns tre dörrar framför dig. Monty Halls paradox - en förklaring till ökningen av sannolikheten för val

Det finns tre dörrar framför dig. Monty Halls paradox - en förklaring till ökningen av sannolikheten för val

Om lotterier

Detta spel har länge fått en masskaraktär och har blivit en integrerad del av modernt liv. Och även om lotteriet utökar sina möjligheter mer och mer, ser många fortfarande det som bara ett sätt att bli rik. Låt och inte gratis och inte pålitlig. Å andra sidan, som en av Jack Londons hjältar noterade, i spelande man kan inte annat än räkna med fakta - människor har ibland tur.

Matematik i fallet. Sannolikhetsteorins historia

Alexander Bufetov

Avskrift och videoinspelning av en föreläsning av doktor i fysikaliska och matematiska vetenskaper, värd forskare Steklov Matematiska Institutet, ledande forskare, IPTP RAS, Professor, Matematiska fakulteten, Ekonomihögskolan, Forskningschef Nationellt centrum vetenskaplig forskning i Frankrike (CNRS) av Alexander Bufetov, levererad som en del av Polit.ru Public Lectures-serien den 6 februari 2014.

Illusionen om regelbundenhet: Varför slumpmässighet verkar onaturlig

Våra idéer om det slumpmässiga, regelbundna och omöjliga avviker ofta från data från statistik och sannolikhetsteori. I "Ofullkomlig chans. Hur slumpen styr våra liv” Den amerikanske fysikern och vetenskapens populariserare Leonard Mlodinov talar om varför slumpmässiga algoritmer ser så konstiga ut, vad som är fångsten av ”slumpmässig” blandning av låtar på iPod och vad som avgör framgången för en aktieanalytiker. Teorier och praktiker publicerar ett utdrag ur boken.

Determinism

Determinism är ett allmänt vetenskapligt begrepp och filosofi om kausalitet, mönster, genetisk koppling, interaktion och villkorlighet för alla fenomen och processer som förekommer i världen.

Gud är statistik

Deborah Nolan, professor i statistik vid University of California i Berkeley, ber sina studenter att göra en mycket märklig uppgift vid första anblicken. Den första gruppen måste kasta ett mynt hundra gånger och skriva ner resultatet: huvuden eller svansar. Den andra måste föreställa sig att hon kastar ett mynt – och även göra en lista med hundratals "imaginära" resultat.

Vad är determinism

Om de initiala förhållandena för systemet är kända är det möjligt att med hjälp av naturlagarna förutsäga dess slutliga tillstånd.

Problemet med den kräsna bruden

Huseyn-Zade S.M.

Zenons paradox

Är det möjligt att ta sig från en punkt i rymden till en annan? Den antika grekiske filosofen Zeno av Elea trodde att rörelsen inte kunde genomföras alls, men hur argumenterade han för detta? Colm Keller pratar om hur man löser den berömda paradoxen Zeno.

Paradoxer av oändliga mängder

Föreställ dig ett hotell med ett oändligt antal rum. En buss anländer med ett oändligt antal framtida gäster. Men att placera dem alla är inte så lätt. Detta är ett oändligt krångel, och gästerna är oändligt trötta. Och om du inte klarar av uppgiften kan du förlora oändligt mycket pengar! Vad ska man göra?

Barnets längds beroende av föräldrarnas höjd

Unga föräldrar vill förstås veta hur långt deras barn blir som vuxen. Matematisk statistik kan erbjuda ett enkelt linjärt samband för att grovt uppskatta längden på barn, endast baserat på längden på fadern och modern, och även indikera riktigheten av en sådan uppskattning.

Monty Hall-paradoxen är förmodligen den mest kända paradoxen inom sannolikhetsteorin. Det finns många varianter av det, till exempel paradoxen med de tre fångarna. Och det finns många tolkningar och förklaringar av denna paradox. Men här skulle jag vilja ge inte bara en formell förklaring, utan för att visa den "fysiska" grunden för vad som händer i paradoxen Monty Hall och andra som honom.

Den klassiska formuleringen är:

"Du är med i spelet. Det finns tre dörrar framför dig. En av dem har ett pris. Värden uppmanar dig att försöka gissa var priset är. Du pekar på en av dörrarna (slumpmässigt).

Formulering av Monty Hall-paradoxen

Värden vet var priset faktiskt finns. Han öppnar inte den där dörren som du har visat. Men det öppnar ytterligare en av de återstående dörrarna för dig, bakom vilken det inte finns något pris. Frågan är om du ska ändra ditt val eller stanna vid samma beslut?

Det visar sig att om du bara ändrar ditt val så kommer dina chanser att vinna att öka!

Situationens paradox är uppenbar. Allt som händer verkar vara slumpmässigt. Det spelar ingen roll om du ändrar dig eller inte. Men det är inte.

"Fysisk" förklaring av arten av denna paradox

Låt oss först inte gå in på matematiska subtiliteter, utan helt enkelt titta på situationen utan fördomar.

I det här spelet gör du bara först slumpmässigt urval. Värden berättar sedan Ytterligare information , vilket gör att du kan öka dina chanser att vinna.

Hur ger handledaren dig ytterligare information? Väldigt enkelt. Observera att den öppnas inga dörr.

Låt oss, för enkelhetens skull (även om det finns ett inslag av slughet i detta), överväga en mer trolig situation: du har pekat på en dörr som inte har något pris. Sedan, bakom en av de återstående dörrarna, priset Det finns. Det vill säga, ledaren har inget val. Den öppnar en mycket specifik dörr. (Du pekade på den ena, det finns ett pris bakom det andra, det finns bara en dörr kvar som värden kan öppna.)

Det är i detta ögonblick av meningsfulla val som han ger dig information som du kan använda.

I det här fallet, användningen av information är att du ändrar beslutet.

Förresten, ditt andra val är redan det inte av misstag(eller snarare, inte lika slumpmässigt som förstahandsvalet). När allt kommer omkring, du väljer från stängda dörrar, och en är redan öppen och det inte godtycklig.

Redan efter dessa argument kan du faktiskt ha en känsla av att det är bättre att ändra uppfattning. Det är det verkligen. Låt oss visa det mer formellt.

En mer formell förklaring av Monty Hall-paradoxen

Faktum är att ditt första, slumpmässiga val delar upp alla dörrar i två grupper. Bakom dörren som du har valt ligger priset med en sannolikhet på 1/3, bakom de andra två - med en sannolikhet på 2/3. Nu gör värden en förändring: han öppnar en dörr i den andra gruppen. Och nu gäller hela 2/3 sannolikheten bara för den stängda dörren i gruppen med två dörrar.

Det är klart att det nu är mer lönsamt för dig att ändra uppfattning.

Även om du naturligtvis fortfarande har en chans att förlora.

Men om du ändrar ditt val ökar dina chanser att vinna.

Monty Hall-paradoxen

Monty Hall-paradoxen är ett probabilistiskt problem, vars lösning (enligt vissa) strider mot sunt förnuft. Uppgiftsformulering:

Föreställ dig att du har blivit deltagare i ett spel där du måste välja en av tre dörrar. Bakom en av dörrarna står en bil, bakom de två andra dörrarna står getter.
Du väljer en av dörrarna, till exempel nummer 1, efter det öppnar värden som vet var bilen är och var getterna finns en av de återstående dörrarna, till exempel nummer 3, bakom vilken det finns en get.

Monty Hall-paradoxen. Den mest felaktiga matematiken någonsin

Efter det frågar han dig om du vill ändra ditt val och välja dörr nummer 2.
Kommer dina chanser att vinna en bil att öka om du accepterar värdens erbjudande och ändrar ditt val?

När man löser ett problem antar man ofta felaktigt att de två valen är oberoende och därför kommer sannolikheten inte att förändras när valet ändras. I själva verket är detta inte fallet, som du kan se genom att komma ihåg Bayes formel eller titta på simuleringsresultaten nedan:

Här: "strategi 1" - ändra inte valet, "strategi 2" - ändra valet. Teoretiskt, för fallet med 3 dörrar, är sannolikhetsfördelningen 33.(3)% och 66.(6)%. Numeriska simuleringar bör ge liknande resultat.

Länkar

Monty Hall-paradoxen- en uppgift från avsnittet sannolikhetsteorin, i vars lösning det finns en motsägelse till sunt förnuft.

Ursprung[redigera | redigera wikitext]

I slutet av 1963 sändes ny talkshow med titeln "Let's Make a Deal" ("Let's make a deal"). Enligt frågesportens scenario fick tittare från publiken priser för korrekta svar, de hade en chans att multiplicera dem genom att lägga nya satsningar, men riskerade sina befintliga vinster. Grundarna av showen var Stefan Hatosu och Monty Hall, varav den senare blev dess permanenta värd under många år.

En av uppgifterna för deltagarna var dragningen av det stora priset, som låg bakom en av de tre dörrarna. För de återstående två fanns det incitamentspriser, i sin tur visste presentatören ordningen på deras plats. Den tävlande var tvungen att bestämma den vinnande dörren genom att satsa alla sina vinster från showen.

När gissaren bestämde sig för numret öppnade värden en av de återstående dörrarna, bakom vilken det fanns ett incitamentpris, och erbjöd spelaren att ändra den ursprungligen valda dörren.

Formuleringar[redigera | redigera wikitext]

Som ett specifikt problem framställdes paradoxen först av Steve Selvin 1975, som lämnade in frågan till The American Statistician och programledaren Monty Hall: Kommer den tävlandes chanser att vinna Grand Prize förändras om han, efter att ha öppnat dörren med incitament, kommer att förändras. hans val? Efter denna incident dök konceptet "Monty Hall Paradox" upp.

1990 publicerades den vanligaste versionen av paradoxen i Parade Magazine (Magazine "Parade") med ett exempel:

"Föreställ dig själv i ett tv-spel där du måste ge företräde åt en av tre dörrar: getter bakom två av dem och en bil bakom den tredje. När du gör ett val, om du till exempel antar att den vinnande dörren är nummer ett, öppnar värden en av de återstående två dörrarna, till exempel nummer tre, bakom vilken finns en get. Får du då en chans att ändra ditt val till en annan dörr? Kan du öka dina chanser att vinna en bil genom att ändra ditt val från dörr nummer ett till dörr nummer två?”

Denna formulering är en förenklad version, eftersom Det återstår faktorn för inflytande från värden, som vet exakt var bilen är och är intresserad av att förlora deltagaren.

För att problemet ska bli rent matematiskt är det nödvändigt att eliminera den mänskliga faktorn genom att införa öppning av en dörr med ett incitamentpris och möjligheten att ändra det initiala valet som integrerade villkor.

Lösning[redigera | redigera wikitext]

När man jämför oddsen vid första anblicken kommer det inte att ge någon fördel att byta dörrnummer, eftersom. alla tre alternativen har 1/3 chans att vinna (ca 33,33 % på var och en av de tre dörrarna). Samtidigt kommer att öppna en av dörrarna inte att påverka chanserna för de återstående två, vars chanser blir 1/2 till 1/2 (50 % för var och en av de två återstående dörrarna). Denna bedömning är baserad på antagandet att spelarens val av dörr och valet av dörr av värden är två oberoende händelser som inte påverkar varandra. I själva verket är det nödvändigt att överväga hela händelseförloppet som en helhet. I enlighet med sannolikhetsteorin är chanserna för den först valda dörren från början till slutet av spelet undantagslöst 1/3 (ca 33,33%), och de två återstående dörrarna har totalt 1/3 + 1 /3 = 2/3 (ca 66,66%). När en av de två återstående dörrarna öppnas blir dess chanser 0 % (incitamentspriset är gömt bakom det), och som ett resultat kommer chansen för en stängd ovald dörr att vara 66,66 %, dvs. dubbelt så mycket som originalet.

För att göra det lättare att förstå resultatet av valet kan vi överväga en alternativ situation där antalet alternativ blir större, till exempel tusen. Sannolikheten för att välja det vinnande alternativet kommer att vara 1/1000 (0,1%). Förutsatt att niohundranittioåtta felaktiga sedan öppnas av de återstående niohundranittionio alternativen, blir det uppenbart att sannolikheten för att en återstående dörr av niohundranittionio inte väljs är högre än för endast en vald i början.

Omnämnanden[redigera | redigera wikitext]

Du kan möta omnämnandet av Monty Hall Paradox i "Twenty-one" (film av Robert Luketich), "Kluttyop" (roman av Sergei Lukyanenko), TV-serien "4isla" (TV-serie), "The Mysterious Nighttime Killing of a Dog" (romaner av Mark Haddon), "XKCD" (serietidning), MythBusters (TV-program).

Se även[redigera | redigera wikitext]

På bilden, processen att välja mellan två stängda dörrar från de tre som ursprungligen föreslagits

Exempel på lösningar på problem inom kombinatorik

Kombinatorikär en vetenskap som alla möter i Vardagsliv: hur många sätt att välja 3 skötare för att städa klassen eller hur många sätt att göra ett ord från de givna bokstäverna.

I allmänhet låter kombinatorik dig beräkna hur många olika kombinationer, enligt vissa förutsättningar, som kan göras av givna objekt (samma eller olika).

Som en vetenskap uppstod kombinatorik redan på 1500-talet, och nu studerar varje elev (och ofta även en skolpojke) den. De börjar studera med begreppen permutationer, placeringar, kombinationer (med eller utan upprepningar), du hittar problem om dessa ämnen nedan. De mest kända reglerna för kombinatorik är reglerna för summa och produkt, som oftast används i typiska kombinatoriska problem.

Nedan hittar du flera exempel på uppgifter med lösningar för kombinatoriska begrepp och regler som hjälper dig att hantera typiska uppgifter. Om det finns svårigheter med uppgifter, beställ ett kombinatoriktest.

Problem i kombinatorik med lösningar online

Uppgift 1. Mamma har 2 äpplen och 3 päron. Varje dag i 5 dagar i rad ger hon ut en bit frukt. På hur många sätt kan detta göras?

Lösning av problemet i kombinatorik 1 (pdf, 35 Kb)

Uppgift 2. Ett företag kan ge arbete inom en specialitet till 4 kvinnor, i en annan - till 6 män, i en tredje - till 3 anställda, oavsett kön. På hur många sätt kan lediga tjänster tillsättas om det finns 14 sökande: 6 kvinnor och 8 män?

Lösning av problemet i kombinatorik 2 (pdf, 39 Kb)

Uppgift 3. Det finns 9 bilar i ett passagerartåg. På hur många sätt kan fyra personer sitta på ett tåg, förutsatt att alla åker i olika bilar?

Lösning av problemet i kombinatorik 3 (pdf, 33 Kb)

Uppgift 4. Det är 9 personer i gruppen. Hur många olika undergrupper kan bildas, förutsatt att undergruppen omfattar minst 2 personer?

Lösning av problemet i kombinatorik 4 (pdf, 34 Kb)

Uppgift 5. En grupp på 20 elever ska delas in i 3 lag, och det första laget ska innehålla 3 personer, det andra - 5 och det tredje - 12. På hur många sätt kan detta göras.

Lösning av problemet i kombinatorik 5 (pdf, 37 Kb)

Uppgift 6. För att delta i laget väljer tränaren ut 5 killar av 10. På hur många sätt kan han bilda ett lag om 2 vissa killar måste ingå i laget?

Kombinatoriskt problem med lösning 6 (pdf, 33 Kb)

Uppgift 7. 15 schackspelare deltog i schackturneringen, och var och en av dem spelade bara ett parti med var och en av de andra. Hur många matcher spelades i den här turneringen?

Kombinatoriskt problem med lösning 7 (pdf, 37 Kb)

Uppgift 8. Hur många olika bråk kan bildas av siffrorna 3, 5, 7, 11, 13, 17 så att varje bråk innehåller 2 olika nummer? Hur många av dem kommer att vara egentliga bråk?

Kombinatoriskt problem med lösning 8 (pdf, 32 Kb)

Uppgift 9. Hur många ord kan man få genom att ordna om bokstäverna i ordet Horus och Institute?

Kombinatoriskt problem med lösning 9 (pdf, 32 Kb)

Uppgift 10. Vilka siffror från 1 till 1 000 000 är större: de där enheten förekommer, eller de där den inte förekommer?

Kombinatoriskt problem med lösning 10 (pdf, 39 Kb)

Färdiga exempel

Behöver du lösta problem inom kombinatorik? Hitta i guiden:

Andra lösningar på problem inom sannolikhetsteorin

Föreställ dig att en viss bankman erbjuder dig att välja en av tre stängda lådor. I en av dem 50 cent, i den andra - en dollar, i den tredje - 10 tusen dollar. Vilken du än väljer så får du den som pris.

Du väljer slumpmässigt, säg ruta nummer 1. Och sedan öppnar bankiren (som förstås vet var allt finns) mitt framför dina ögon en låda med en dollar (låt oss säga att det här är nr 2), varefter han erbjuder dig att ändra det initialt valda ruta nr. 1 till ruta nr 3.

Bör du ändra dig? Kommer detta att öka dina chanser att få 10 tusen?

Detta är Monty Halls paradox - ett problem med sannolikhetsteorin, vars lösning vid första anblicken strider mot sunt förnuft. Folk har kliat sig i huvudet över detta problem sedan 1975.

Paradoxen fick sitt namn efter programledaren för den populära amerikanska TV-serien Let's Make a Deal. Detta TV-program hade liknande regler, bara deltagarna valde dörrar, varav två gömde getter, och den tredje var en Cadillac.

De flesta av spelarna resonerade att efter att det fanns två stängda dörrar och det fanns en Cadillac bakom en av dem, så var chansen att få den 50-50. Uppenbarligen, när värden öppnar en dörr och uppmanar dig att ändra dig, han startar nytt spel. Oavsett om du ändrar dig eller inte kommer dina chanser fortfarande att vara 50 procent. Så rätt?

Det visar sig att det inte gör det. Faktum är att genom att ändra dig fördubblar du dina chanser att lyckas. Varför?

Den enklaste förklaringen till detta svar är följande övervägande. För att vinna en bil utan att ändra valet måste spelaren omedelbart gissa dörren bakom vilken bilen står. Sannolikheten för detta är 1/3. Om spelaren först slår dörren med en get bakom sig (och sannolikheten för denna händelse är 2/3, eftersom det finns två getter och bara en bil), då kan han definitivt vinna bilen genom att ändra sig, eftersom bilen och en get kvar, och värden har redan öppnat dörren med bocken.

Således, utan att ändra valet, förblir spelaren med sin initiala sannolikhet att vinna 1/3, och när han ändrar det initiala valet, vänder spelaren till sin fördel dubbelt så mycket som den återstående sannolikheten att han inte gissade rätt i början.

En intuitiv förklaring kan också göras genom att byta de två händelserna. Den första händelsen är spelarens beslut att byta dörr, den andra händelsen är öppnandet av en extra dörr. Detta är acceptabelt, eftersom att öppna en extra dörr inte ger spelaren någon ny information(dokument se i denna artikel). Sedan kan problemet reduceras till följande formulering. I det första ögonblicket delar spelaren upp dörrarna i två grupper: i den första gruppen finns det en dörr (den han valde), i den andra gruppen finns det två återstående dörrar. I nästa ögonblick gör spelaren ett val mellan grupperna. Det är uppenbart att för den första gruppen är sannolikheten att vinna 1/3, för den andra gruppen 2/3. Spelaren väljer den andra gruppen. I den andra gruppen kan han öppna båda dörrarna. Den ena öppnas av värden och den andra av spelaren själv.

Låt oss försöka ge den "mest förståeliga" förklaringen. Omformulera problemet: En ärlig värd meddelar för spelaren att det finns en bil bakom en av de tre dörrarna, och föreslår att han först pekar på en av dörrarna och sedan väljer en av två åtgärder: öppna den angivna dörren (i gammal formulering, detta kallas "ändra inte ditt val") eller öppna de andra två (i den gamla formuleringen skulle detta bara vara "ändra valet". Tänk på det, det här är nyckeln till förståelse!). Det är tydligt att spelaren kommer att välja den andra av de två åtgärderna, eftersom sannolikheten att få en bil i det här fallet är dubbelt så hög. Och den lilla sak som värden redan innan han valde åtgärden "visade en get" hjälper inte och stör inte valet, för bakom en av de två dörrarna finns det alltid en get och värden kommer definitivt att visa den när som helst under spelet, så spelaren kan på denna get och inte titta. Spelarens uppgift, om han väljer den andra åtgärden, är att säga "tack" till värden för att han besparat honom besväret att själv öppna en av de två dörrarna och öppna den andra. Tja, eller ännu lättare. Låt oss föreställa oss den här situationen från värdens synvinkel, som gör en liknande procedur med dussintals spelare. Eftersom han mycket väl vet vad som finns bakom dörrarna, så ser han i genomsnitt i två fall av tre i förväg att spelaren har valt "fel" dörr. Därför, för honom, finns det definitivt ingen paradox att den korrekta strategin är att ändra valet efter att ha öppnat den första dörren: trots allt, i samma två fall av tre kommer spelaren att lämna studion i en ny bil.

Slutligen det mest "naiva" beviset. Låt den som står för sitt val kallas "Envis", och den som följer ledarens instruktioner kallas "Uppmärksam". Då vinner den Envisa om han först gissade bilen (1/3), och den Uppmärksamma - om han först missade och träffade geten (2/3). När allt kommer omkring, bara i det här fallet kommer han då att peka på dörren med bilen.

Monty Hall, producent och programledare Låt oss göra affärer från 1963 till 1991.

1990 publicerades detta problem och dess lösning i den amerikanska tidskriften Parade. Publikationen orsakade en uppsjö av indignerade recensioner från läsare, av vilka många hade vetenskapliga examen.

Det huvudsakliga klagomålet var att inte alla villkor för problemet specificerades, och alla nyanser kunde påverka resultatet. Till exempel kan värden erbjuda sig att ändra beslutet endast om spelaren valde en bil vid första draget. Uppenbarligen kommer att ändra det ursprungliga valet i en sådan situation att leda till en garanterad förlust.

Men under hela existensen av Monty Hall TV-show vann människor som ändrade sig dubbelt så ofta:

Av 30 spelare som ändrade sig vann Cadillac 18 - dvs 60 %

Av de 30 spelarna som fick sitt val vann Cadillac 11 - det vill säga cirka 36 %

Så resonemanget i beslutet, hur ologiskt de än kan verka, bekräftas av praxis.

Ökning av antalet dörrar

För att göra det lättare att förstå essensen av vad som händer kan vi överväga fallet när spelaren inte ser tre dörrar framför sig, utan till exempel hundra. Samtidigt står det en bil bakom en av dörrarna, och getter bakom de andra 99. Spelaren väljer en av dörrarna, medan han i 99% av fallen kommer att välja dörren med en get, och chanserna att omedelbart välja dörren med en bil är mycket små - de är 1%. Efter det öppnar värden 98 dörrar med getter och ber spelaren att välja den återstående dörren. I det här fallet, i 99% av fallen, kommer bilen att vara bakom den återstående dörren, eftersom chansen att spelaren omedelbart valde rätt dörr är mycket liten. Det är tydligt att en rationellt tänkande spelare i denna situation alltid bör acceptera ledarens förslag.

När man överväger ett ökat antal dörrar uppstår ofta frågan: om ledaren i det ursprungliga problemet öppnar en dörr av tre (det vill säga 1/3 av total dörrar), varför ska vi anta att i fallet med 100 dörrar kommer värden att öppna 98 dörrar med getter, och inte 33? Denna övervägande är vanligtvis en av de betydande anledningarna till att Monty Halls paradox står i konflikt med den intuitiva uppfattningen av situationen. Förutsatt att öppningen av 98 dörrar kommer att vara korrekt eftersom väsentligt tillstånd Uppgiften är att endast ha ett alternativt val för spelaren, som erbjuds av moderatorn. Därför, för att uppgifterna ska vara likartade, vid 4 dörrar, måste ledaren öppna 2 dörrar, vid 5 dörrar - 3, och så vidare, så att det alltid finns en oöppnad dörr annan än den ena som spelaren först valde. Om handledaren öppnar färre dörrar kommer uppgiften inte längre att likna den ursprungliga Monty Hall-uppgiften.

Det bör noteras att i fallet med många dörrar, även om värden inte lämnar en dörr stängd utan flera, och erbjuder spelaren att välja en av dem, så kommer spelarens chanser att vinna bilen när du ändrar det ursprungliga valet. ökar fortfarande, om än inte så markant. Tänk till exempel på en situation där en spelare väljer en dörr av hundra, och sedan öppnar handledaren bara en av de återstående dörrarna och uppmanar spelaren att ändra sitt val. Samtidigt förblir chanserna att bilen är bakom den dörr som spelaren ursprungligen valt densamma - 1/100, och för de återstående dörrarna ändras chanserna: den totala sannolikheten att bilen är bakom en av de återstående dörrarna ( 99/100) fördelas nu inte på 99 dörrar, utan 98. Därför kommer sannolikheten att hitta en bil bakom var och en av dessa dörrar inte vara 1/100, utan 99/9800. Sannolikheten ökar med cirka 1 %.

Träd möjliga lösningar spelare och värd, som visar sannolikheten för varje resultat Mer formellt kan spelets scenario beskrivas med hjälp av ett beslutsträd. I de två första fallen, när spelaren först valde dörren bakom vilken bocken är, resulterar ett ändrat val i en vinst. I de två sista fallen, när spelaren först valde dörren med bilen, resulterar ett ändrat val i en förlust.

Om du fortfarande inte förstår, spotta på formlerna och barakontrollera allt statistiskt. En annan möjlig förklaring:

En spelare vars strategi skulle vara att ändra den valda dörren varje gång skulle bara förlora om han först väljer dörren bakom vilken bilen är placerad.
Eftersom chansen att välja bil vid första försöket är en av tre (eller 33%), är chansen att inte välja bil om spelaren ändrar sitt val också en av tre (eller 33%).
Det betyder att spelaren som använde strategin för att ändra dörren kommer att vinna med en sannolikhet på 66% eller två till tre.
Detta kommer att fördubbla chanserna att vinna en spelare vars strategi är att inte ändra sitt val varje gång.

Tror du fortfarande inte? Låt oss säga att du väljer dörr #1. Här är alla möjliga alternativ vad som kan hända i detta fall.

"Det finns tre typer av lögner: lögner, uppenbar lögn och statistik. Denna fras, som Mark Twain tillskriver den brittiske premiärministern Benjamin Disraeli, återspeglar väl majoritetens inställning till matematiska lagar. Sannolikhetsteorin kastar faktiskt ibland otroliga fakta, som är svåra att tro vid första anblicken - och som ändå bekräftas av vetenskapen. "Teorier och praktiker" påminde om de mest kända paradoxerna.

Monty Hall problem

Det var denna uppgift som den listiga MIT-professorn erbjöd studenterna i filmen Twenty-One. Att ge rätt svar huvudkaraktär går med i ett team av briljanta unga matematiker som slår kasinon i Las Vegas.

Den klassiska formuleringen lyder så här: "Låt oss säga att en viss spelare erbjöds att delta i den berömda amerikanska TV-serien Let's Make a Deal, med Monty Hall som värd, och han måste välja en av tre dörrar. Bakom två dörrar står getter, bakom en är huvudpriset, en bil, programledaren vet var priserna finns. Efter att spelaren gjort sitt val öppnar handledaren en av de återstående dörrarna, bakom vilken det finns en get, och uppmanar spelaren att ändra sig. Ska spelaren hålla med eller är det bättre att behålla sitt ursprungliga val?”

Här är ett typiskt resonemang: efter att värden har öppnat en av dörrarna och visat geten, måste spelaren välja mellan två dörrar. Bilen står bakom en av dem, så sannolikheten att gissa det är ½. Så det är ingen skillnad - att ändra ditt val eller inte. Och ändå säger sannolikhetsteorin att du kan öka dina chanser att vinna genom att ändra ditt beslut. Låt oss se varför det är så.

För att göra detta, låt oss gå tillbaka ett steg. I det ögonblick vi gjorde vårt första val delade vi upp dörrarna i två delar: den vi valde och de andra två. Uppenbarligen är sannolikheten för att bilen gömmer sig bakom "vår" dörr ⅓ - respektive, bilen är bakom en av de två återstående dörrarna med en sannolikhet på ⅔. När facilitatorn indikerar att det finns en get bakom en av dessa dörrar, visar det sig att dessa ⅔ chanser faller på den andra dörren. Och detta reducerar spelarens val till två dörrar, bakom den ena (ursprungligen vald) bilen är med en sannolikhet på ⅓ och bakom den andra med en sannolikhet på ⅔. Valet blir självklart. Vilket naturligtvis inte förnekar det faktum att spelaren redan från början kunde välja en dörr med en bil.

De tre fångarnas uppgift

The Three Prisoners Paradox liknar Monty Halls problem, även om handlingen utspelar sig i mer dramatiska miljöer. Tre fångar (A, B och C) döms till döden och placeras i isolering. Guvernören väljer slumpmässigt en av dem och ger honom benådning. Vaktmästaren vet vem av de tre som blir benådad, men han blir tillsagd att hålla det hemligt. Fånge A ber vakten att berätta för honom namnet på den andra fången (förutom honom själv) som definitivt kommer att avrättas: "om B blir benådad, säg att C kommer att avrättas. Om C blir benådad, säg att B kommer att avrättas Om de båda avrättas, men jag förbarmar mig, kasta ett mynt och säg något av dessa två namn. Vaktmästaren säger att fånge B kommer att avrättas. Ska fånge A vara lycklig?

Det verkar, ja. När allt kommer omkring, innan han fick denna information, var sannolikheten för döden för fånge A ⅔, och nu vet han att en av de andra två fångarna kommer att avrättas, vilket betyder att sannolikheten för hans avrättning har minskat till ½. Men i själva verket lärde sig fånge A inget nytt: om han inte blev benådad skulle han få veta namnet på en annan fånge, och han visste redan att en av de två kvarvarande skulle avrättas. Om han hade tur, och avrättningen avbröts, kommer han att höra slumpmässigt namn B eller C. Därför har hans chanser till frälsning inte förändrats på något sätt.

Föreställ dig nu att en av de återstående fångarna får reda på frågan om fånge A och svaret som erhållits. Detta kommer att förändra hans idéer om sannolikheten för benådning.

Om fånge B hör samtalet kommer han att veta att han definitivt kommer att avrättas. Och om fången är B, kommer sannolikheten för hans benådning att vara ⅔. Varför hände det? Fånge A har inte fått någon information och hans chanser att bli benådad är fortfarande ⅓. Fånge B kommer definitivt inte att bli benådad, och hans chanser är noll. Det betyder att sannolikheten att den tredje fången kommer att släppas är ⅔.

Paradoxen med två kuvert

Denna paradox blev känd tack vare matematikern Martin Gardner, och formuleras på följande sätt: ”Anta att du och en vän erbjuds två kuvert, varav det ena innehåller en viss summa pengar X, och det andra innehåller ett dubbelt så mycket belopp. Du öppnar kuvert självständigt, räknar pengar, varefter du kan byta dem. Kuverten är likadana, så det finns en ½ chans att du får ett kuvert med en mindre mängd. Låt oss säga att du öppnade ett kuvert och hittade 10 dollar i det. Därför kan det vara lika troligt att din väns kuvert innehåller 5 eller 20 USD. Om du bestämmer dig för att byta kan du beräkna den matematiska förväntningen på det slutliga beloppet - det vill säga dess genomsnittliga värde. Det är 1/2x$5+1/2x20=$12,5. Därför är utbytet fördelaktigt för dig. Och troligen kommer din vän att argumentera på exakt samma sätt. Men det är uppenbart att utbytet inte kan vara fördelaktigt för er båda. Vad är felet?

Paradoxen är att tills du öppnar ditt kuvert så beter sig sannolikheterna rättvist: du har faktiskt 50 procents chans att hitta X i ditt kuvert och 50 procent chans att hitta 2X i ditt kuvert. Och sunt förnuft säger att information om hur mycket du har inte kan påverka innehållet i det andra kuvertet.

Men så fort du öppnar kuvertet förändras situationen dramatiskt (denna paradox liknar något berättelsen med Schrödingers katt, där själva närvaron av en observatör påverkar sakernas tillstånd). Faktum är att för att uppfylla paradoxens villkor måste sannolikheten att hitta ett större eller mindre belopp än ditt i det andra kuvertet vara densamma. Men då är vilket värde som helst av denna summa från noll till oändlighet lika troligt. Och om det finns ett lika troligt antal möjligheter, summeras de till oändlighet. Och detta är omöjligt.

För tydlighetens skull kan du föreställa dig att du hittar en cent i ditt kuvert. Uppenbarligen kan det andra kuvertet inte innehålla halva beloppet.

Det är märkligt att diskussionerna om lösningen av paradoxen fortsätter för närvarande. Samtidigt görs försök både att förklara paradoxen inifrån och att utveckla bästa strategin beteende i en sådan situation. Speciellt föreslog professor Thomas Cover ett originellt tillvägagångssätt för att utforma en strategi - att ändra eller inte ändra höljet, styrt av en intuitiv förväntan. Låt oss säga att om du öppnar ett kuvert och hittar $10 i det - en liten summa enligt dina uppskattningar - är det värt att byta ut det. Och om kuvertet innehåller till exempel 1 000 $, vilket överträffar dina vildaste förväntningar, så finns det ingen anledning att ändra. Denna intuitiva strategi, om du regelbundet erbjuds att välja två kuvert, ger dig möjlighet att öka de totala vinsterna mer än strategin att ständigt byta kuvert.

Pojke och flicka paradox

Denna paradox föreslogs också av Martin Gardner och är formulerad på följande sätt: ”Mr Smith har två barn. Minst ett barn är en pojke. Vad är sannolikheten att den andra också är en pojke?

Det verkar som att uppgiften är enkel. Men om du börjar förstå avslöjas en märklig omständighet: det korrekta svaret kommer att skilja sig beroende på hur vi beräknar sannolikheten för det andra barnets kön.

Alternativ 1

Tänk på alla möjliga kombinationer i familjer med två barn:

Tjej/tjej

Tjej kille

Pojke flicka

Pojke/pojke

Alternativet tjej/tjej passar oss inte enligt förutsättningarna för problemet. För Mr Smiths familj finns det därför tre lika sannolika alternativ - vilket betyder att sannolikheten att det andra barnet också kommer att vara en pojke är ⅓. Detta var svaret som Gardner själv gav från början.

Alternativ 2

Låt oss föreställa oss att vi möter Mr Smith på gatan när han går med sin son. Vad är sannolikheten att det andra barnet också är en pojke? Eftersom det andra barnets kön är oberoende av det förstas kön, är det uppenbara (och korrekta) svaret ½.

Varför händer detta, för det verkar som om ingenting har förändrats?

Allt beror på hur vi ställer oss till frågan om sannolikhetsberäkning. I det första fallet övervägde vi alla möjliga varianter av familjen Smith. I den andra - vi ansåg alla familjer som faller under det obligatoriska villkoret "det måste finnas en pojke." Beräkningen av sannolikheten för det andra barnets kön utfördes med detta tillstånd (i sannolikhetsteorin kallas detta "villkorlig sannolikhet"), vilket ledde till ett resultat som skilde sig från det första.

I december 1963 på den amerikanska TV-kanalen NBC programmet släpptes först Låt oss göra affärer("Let's Make a Deal!"), där deltagare valda från publiken i studion förhandlade med varandra och med programledaren, spelade små spel eller bara gissa svaret på frågan. I slutet av sändningen kunde deltagarna spela ”dagens affär”. Det fanns tre dörrar framför dem, om vilka det var känt att bakom en av dem fanns det stora priset (till exempel en bil), och bakom de andra två var mindre värdefulla eller helt absurda gåvor (till exempel levande getter) . Efter att spelaren hade gjort sitt val öppnade Monty Hall, programvärden, en av de två återstående dörrarna och visade att det inte fanns något pris bakom och lät deltagaren vara glad att han hade en chans att vinna.

1975 frågade UCLA-forskaren Steve Selvin vad som skulle hända om deltagaren i det ögonblicket, efter att ha öppnat dörren utan ett pris, ombads att ändra sitt val. Kommer spelarens chanser att få priset att förändras i detta fall, och i så fall i vilken riktning? Han lämnade in den relevanta frågan som ett nummer till tidskriften Den amerikanska statistikern("The American Statistician"), och även till Monty Hall själv, som gav honom ett ganska nyfiket svar. Trots detta svar (eller kanske på grund av det) blev problemet populärt under namnet "Monty Hall problem".

Uppgift

Du hamnade på Monty Hall-showen som deltagare - och i sista stund, när du öppnade dörren med en get, föreslog programledaren att du skulle ändra ditt val. Kommer ditt beslut – överens eller inte – att påverka sannolikheten att vinna?

Ledtråd

Försök att överväga personer som valt olika dörrar i samma fall (det vill säga när Priset till exempel finns bakom dörr nummer 1). Vem kommer att tjäna på att ändra sitt val, och vem kommer inte att göra det?

Lösning

Som föreslås i verktygstipset, överväg personer som gjort olika val. Låt oss anta att priset är bakom dörr #1, och bakom dörr #2 och #3 är getter. Anta att vi har sex personer, och varje dörr valdes av två personer, och från varje par ändrade den ena beslutet, och den andra gjorde det inte.

Observera att Värden som väljer dörr nr 1 kommer att öppna en av de två dörrarna efter hans smak, medan bilen, oavsett detta, kommer att tas emot av den som inte ändrar sitt val, utan den som ändrade sitt ursprungliga val kommer att förbli utan priset. Låt oss nu titta på de som valde dörr #2 och #3. Eftersom det finns en bil bakom dörr nr 1 kan värden inte öppna den, vilket ger honom inget val - han öppnar dörrar nr 3 respektive nr 2 för dem. Samtidigt kommer den som ändrade beslutet i varje par att välja priset som ett resultat, och den som inte ändrade sig kommer att lämnas med ingenting. Av tre personer som ändrar sig kommer alltså två att få priset, och en kommer att få bocken, medan av de tre som lämnade sitt ursprungliga val oförändrat, kommer bara en att få priset.

Det bör noteras att om bilen var bakom dörr #2 eller #3, skulle resultatet bli detsamma, bara de specifika vinnarna skulle ändras. Om man alltså antar att varje dörr till en början väljs med lika stor sannolikhet, får vi att de som ändrar sitt val vinner Priset dubbelt så ofta, det vill säga sannolikheten att vinna i detta fall är större.

Låt oss titta på detta problem från den matematiska sannolikhetsteorin. Vi kommer att anta att sannolikheten för det initiala valet av var och en av dörrarna är densamma, liksom sannolikheten för att vara bakom var och en av bilens dörrar. Dessutom är det användbart att reservera att ledaren, när han kan öppna två dörrar, väljer var och en av dem med lika stor sannolikhet. Sedan visar det sig att efter det första beslutet är sannolikheten att Priset ligger bakom den valda dörren 1/3, medan sannolikheten att det ligger bakom någon av de två andra dörrarna är 2/3. Samtidigt, efter att Värden öppnat en av de två "ovalda" dörrarna, faller hela sannolikheten på 2/3 på endast en av de återstående dörrarna, vilket skapar underlag för att ändra beslutet, vilket kommer att öka sannolikheten att vinna 2 gånger. Vilket naturligtvis inte garanterar det på något sätt i ett specifikt fall, men kommer att leda till mer framgångsrika resultat vid upprepad upprepning av experimentet.

Efterord

Monty Hall-problemet är inte den första kända formuleringen av detta problem. I synnerhet 1959 publicerade Martin Gardner i tidskriften Scientific American ett liknande problem "om tre fångar" (problem med tre fångar) med följande formulering: " Av de tre fångarna ska en benådas och två ska avrättas. Fånge A övertalar vakten att berätta för honom namnet på den av de andra två som kommer att avrättas (antingen om båda avrättas), varefter han, efter att ha fått namnet B, anser att sannolikheten för hans egen frälsning inte har blivit 1/3, men 1/2. Samtidigt hävdar fånge C att sannolikheten för att han rymmer har blivit 2/3, medan ingenting har förändrats för A. Vem av dem har rätt?»

Gardner var dock inte den första, eftersom den franske matematikern Joseph Bertrand (inte att förväxla med engelsmannen Bertrand Russell!) redan 1889, i sin sannolikhetsräkning, erbjuder ett liknande problem (se Bertrands boxparadox): " Det finns tre lådor, som var och en innehåller två mynt: två guld i den första, två silver i den andra och två olika i den tredje. Ur en slumpmässigt utvald låda drogs ett mynt slumpmässigt ut, som visade sig vara guld. Vad är sannolikheten att det kvarvarande myntet i lådan är guld?»

Om du förstår lösningarna på alla tre problemen är det lätt att märka likheten mellan deras idéer; matematiskt förenas alla av begreppet betingad sannolikhet, det vill säga sannolikheten för händelse A, om det är känt att händelse B har inträffat. Det enklaste exemplet: sannolikheten att en vanlig tärning kastas är 1/6; men om det rullade talet är känt för att vara udda, är sannolikheten att det är ett redan 1/3. Monty Hall-problemet, liksom de andra två citerade problemen, visar att villkorade sannolikheter måste hanteras med försiktighet.

Dessa problem kallas också ofta för paradoxer: Monty Halls paradox, Bertrands lådparadox (den senare ska inte förväxlas med den verkliga Bertrands paradox som ges i samma bok, vilket bevisade tvetydigheten i sannolikhetsbegreppet som fanns på den tiden) - vilket antyder en viss motsägelse (till exempel i "Lögnarens paradox" motsäger frasen "det här påståendet är falskt" lagen om den uteslutna mitten). I detta fall finns det dock ingen motsägelse med rigorösa påståenden. Det finns dock en klar motsägelse med allmän åsikt” eller helt enkelt ”en självklar lösning” på problemet. Faktum är att de flesta, som tittar på problemet, tror att efter att ha öppnat en av dörrarna är sannolikheten att hitta priset bakom någon av de två återstående stängda 1/2. Genom att göra det hävdar de att det inte spelar någon roll om de håller med eller inte håller med om att ändra uppfattning. Dessutom har många människor svårt att förstå ett annat svar än detta, även efter att ha fått veta den detaljerade lösningen.

I december 1963 sände den amerikanska tv-kanalen NBC för första gången programmet Let's Make a Deal ("Let's make a deal!"), där deltagare, utvalda från publiken i studion, förhandlade med varandra och med programledaren, spelade små spel eller helt enkelt gissat svaret på frågan. I slutet av sändningen kunde deltagarna spela ”dagens affär”. Det fanns tre dörrar framför dem, om vilka det var känt att bakom en av dem fanns det stora priset (till exempel en bil), och bakom de andra två var mindre värdefulla eller helt absurda gåvor (till exempel levande getter) . Efter att spelaren hade gjort sitt val öppnade Monty Hall, programvärden, en av de två återstående dörrarna och visade att det inte fanns något pris bakom och lät deltagaren vara glad att han hade en chans att vinna.

1975 frågade UCLA-forskaren Steve Selvin vad som skulle hända om deltagaren i det ögonblicket, efter att ha öppnat dörren utan ett pris, ombads att ändra sitt val. Kommer spelarens chanser att få priset att förändras i detta fall, och i så fall i vilken riktning? Han skickade motsvarande fråga i form av ett problem till The American Statistician ("American Statistician"), såväl som till Monty Hall själv, som gav ett ganska nyfiket svar på den. Trots detta svar (eller kanske på grund av det) blev problemet populärt under namnet "Monty Hall problem".

Den vanligaste formuleringen av detta problem, publicerad 1990 i Parade Magazine, är följande:

”Föreställ dig att du har blivit en deltagare i ett spel där du måste välja en av tre dörrar. Bakom en av dörrarna står en bil, bakom de två andra dörrarna står getter. Du väljer en av dörrarna, till exempel nummer 1, efter det öppnar värden som vet var bilen är och var getterna finns en av de återstående dörrarna, till exempel nummer 3, bakom vilken det finns en get. Efter det frågar han dig om du vill ändra ditt val och välja dörr nummer 2. Kommer dina chanser att vinna bilen att öka om du accepterar värdens erbjudande och ändrar ditt val?

Efter publiceringen stod det genast klart att problemet var felaktigt formulerat: alla villkor var inte stipulerade. Till exempel kan facilitatorn följa den "helvetiska Monty"-strategin: erbjuda sig att ändra valet om och endast om spelaren har valt en bil vid första draget. Uppenbarligen kommer en ändring av det ursprungliga valet att leda till en garanterad förlust i en sådan situation.

Det mest populära är problemet med ett ytterligare villkor - deltagaren i spelet känner till följande regler i förväg:

bilen är lika sannolikt att placeras bakom någon av de tre dörrarna;
i vilket fall som helst är värden skyldig att öppna dörren med bocken (men inte den som spelaren har valt) och erbjuda spelaren att ändra valet;
om ledaren har ett val av vilken av de två dörrarna som ska öppnas, väljer han endera av dem med samma sannolikhet.

Ledtråd

Lösning

Efterord

Monty Hall-problemet är inte den första kända formuleringen av detta problem. I synnerhet publicerade Martin Gardner 1959 i Scientific American ett liknande problem "om tre fångar" (problem med tre fångar) med följande formulering: "Av tre fångar bör en benådas och två ska avrättas. Fånge A övertalar vakten att berätta för honom namnet på den av de andra två som kommer att avrättas (antingen om båda avrättas), varefter han, efter att ha fått namnet B, anser att sannolikheten för hans egen frälsning inte har blivit 1/3, men 1/2. Samtidigt hävdar fånge C att sannolikheten för att han rymmer har blivit 2/3, medan ingenting har förändrats för A. Vilken är rätt?"

Gardner var dock inte den första, eftersom den franske matematikern Joseph Bertrand (inte att förväxla med engelsmannen Bertrand Russell!) redan 1889, i sin sannolikhetsräkning, erbjuder ett liknande problem (se Bertrands rutaparadox): ”Det finns tre askar, som var och en innehåller två mynt: två guld i den första, två silvermynt i den andra och två olika i den tredje.

Om du förstår lösningarna på alla tre problemen är det lätt att märka likheten mellan deras idéer; matematiskt förenas alla av begreppet betingad sannolikhet, det vill säga sannolikheten för händelse A, om det är känt att händelse B har inträffat. Det enklaste exemplet: sannolikheten att en enhet ramlade ut på en vanlig tärning är 1/6; men om det rullade talet är känt för att vara udda, är sannolikheten att det är ett redan 1/3. Monty Hall-problemet, liksom de andra två citerade problemen, visar att villkorade sannolikheter måste hanteras med försiktighet.

Dessa problem kallas också ofta för paradoxer: Monty Halls paradox, Bertrands lådparadox (den senare ska inte förväxlas med den verkliga Bertrands paradox som ges i samma bok, vilket bevisade tvetydigheten i sannolikhetsbegreppet som fanns på den tiden) - vilket antyder en viss motsägelse (till exempel i "Lögnarens paradox" motsäger frasen "det här påståendet är falskt" lagen om den uteslutna mitten). I detta fall finns det dock ingen motsägelse med rigorösa påståenden. Men det finns en tydlig motsägelse med "den allmänna opinionen" eller helt enkelt den "uppenbara lösningen" av problemet. Faktum är att de flesta, som tittar på problemet, tror att efter att ha öppnat en av dörrarna är sannolikheten att hitta priset bakom någon av de två återstående stängda 1/2. Genom att göra det hävdar de att det inte spelar någon roll om de håller med eller inte håller med om att ändra uppfattning. Dessutom har många människor svårt att förstå ett annat svar än detta, även efter att ha fått veta den detaljerade lösningen.

Monty Halls svar på Steve Selwyn

Mr. Steve Selvin,
biträdande professor i biostatistik,
University of California, Berkeley.

Kära Steve,

Tack för att du skickade problemet från American Statistical till mig.

Även om jag inte studerade statistik på universitetet vet jag att siffror alltid kan användas till min fördel om jag vill manipulera dem. Ditt resonemang tar inte hänsyn till en väsentlig omständighet: efter att den första rutan är tom kan deltagaren inte längre ändra sitt val. Så sannolikheterna förblir desamma: en av tre, eller hur? Och naturligtvis, efter att en av lådorna är tom, blir chansen inte 50/50, utan förblir densamma - en av tre. Det verkar bara för deltagaren att genom att göra sig av med en låda får han fler chanser. Inte alls. Två mot en mot honom, som det var, och är kvar. Och om du plötsligt kommer till min föreställning kommer reglerna att förbli desamma för dig: inga byteslådor efter urvalet.

Populär i kategorin: