ผลคูณของเวกเตอร์กับตัวมันเอง ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัด

ภาษาอังกฤษ:วิกิพีเดียกำลังทำให้ไซต์มีความปลอดภัยมากขึ้น คุณกำลังใช้เว็บเบราว์เซอร์รุ่นเก่าที่จะไม่สามารถเชื่อมต่อกับวิกิพีเดียได้ในอนาคต โปรดอัปเดตอุปกรณ์ของคุณหรือติดต่อผู้ดูแลระบบไอทีของคุณ

中文: 维基在使更加您正，， 在无法。。。。，，，英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语

เอสปันญ่อล: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte su administrador informático. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

ฟรานซิส: Wikipedia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigationur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. ข้อมูลเสริมและเทคนิคต่าง ๆ เป็นภาษาอังกฤษ

日本語: ウィキペディアはをめめてブラウザバージョン古く、 ウィキペディアウィキペディアウィキペディアウィキペディアウィキペディアウィキペディアウィキペディアウィキペディア以下に英語で提供しています。

ภาษาเยอรมัน: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (และรายละเอียดด้านเทคนิค) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

อิตาเลี่ยน:วิกิพีเดีย sta rendendo il sito più sicuro. ใช้งานเว็บเบราเซอร์โดยไม่ใช้เบราว์เซอร์ใน grado di connettersi และ Wikipedia ใน futuro ตามความโปรดปราน aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico ในภาษาอังกฤษ

แมกยาร์: Biztonságosabb ในวิกิพีเดีย A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (อังโกลุล)

สวีเดน:วิกิพีเดีย gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

เรากำลังยกเลิกการสนับสนุนเวอร์ชันโปรโตคอล TLS ที่ไม่ปลอดภัย โดยเฉพาะ TLSv1.0 และ TLSv1.1 ซึ่งซอฟต์แวร์เบราว์เซอร์ของคุณใช้เพื่อเชื่อมต่อกับไซต์ของเรา ซึ่งมักเกิดจากเบราว์เซอร์ที่ล้าสมัยหรือสมาร์ทโฟน Android รุ่นเก่า หรืออาจเป็นการรบกวนจากซอฟต์แวร์ "Web Security" ของบริษัทหรือส่วนบุคคล ซึ่งจริงๆ แล้วลดระดับความปลอดภัยในการเชื่อมต่อ

คุณต้องอัปเกรดเว็บเบราว์เซอร์ของคุณหรือแก้ไขปัญหานี้เพื่อเข้าถึงไซต์ของเรา ข้อความนี้จะคงอยู่จนถึงวันที่ 1 มกราคม 2020 หลังจากวันที่ดังกล่าว เบราว์เซอร์ของคุณจะไม่สามารถเชื่อมต่อกับเซิร์ฟเวอร์ของเราได้

คำนิยาม. ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a (ตัวคูณ) โดยเวกเตอร์ (ตัวคูณ) ที่ไม่เรียงตัวกันคือเวกเตอร์ตัวที่สาม c (ผลคูณ) ซึ่งสร้างได้ดังนี้:

1) โมดูลัสของมันคือตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานในรูปที่ 155) สร้างจากเวกเตอร์ กล่าวคือ เท่ากับทิศทางที่ตั้งฉากกับระนาบของสี่เหลี่ยมด้านขนานดังกล่าว

3) ในกรณีนี้ ทิศทางของเวกเตอร์ c ถูกเลือก (จากสองทิศทางที่เป็นไปได้) เพื่อให้เวกเตอร์ c สร้างระบบมือขวา (§ 110)

การกำหนด: หรือ

ภาคผนวกของคำจำกัดความ ถ้าเวกเตอร์เป็นเส้นตรง ถ้าพิจารณาจากรูปเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (แบบมีเงื่อนไข) เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดพื้นที่เป็นศูนย์ นั่นเป็นเหตุผล สินค้าเวกเตอร์เวกเตอร์คอลลิเนียร์ถือว่าเท่ากับเวกเตอร์ว่าง

เนื่องจากเวกเตอร์ว่างสามารถกำหนดทิศทางใดก็ได้ ข้อตกลงนี้จึงไม่ขัดแย้งกับข้อ 2 และ 3 ของคำจำกัดความ

หมายเหตุ 1. ในคำว่า "ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์" คำแรกระบุว่าผลลัพธ์ของการกระทำคือเวกเตอร์ (ตรงข้ามกับผลิตภัณฑ์สเกลาร์; เปรียบเทียบ § 104, หมายเหตุ 1)

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาผลคูณเวกเตอร์โดยที่เวกเตอร์หลักของระบบพิกัดที่ถูกต้อง (รูปที่ 156)

1. เนื่องจากความยาวของเวกเตอร์หลักเท่ากับหน่วยมาตราส่วน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) จึงมีค่าเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นโมดูลัสของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงเท่ากับหนึ่ง

2. เนื่องจากตั้งฉากกับระนาบเป็นแกน ผลคูณของเวกเตอร์ที่ต้องการจึงเป็นเวกเตอร์ที่เรียงกันเป็นเส้นตรงกับเวกเตอร์ k และเนื่องจากทั้งคู่มีโมดูลัส 1 ผลิตภัณฑ์ข้ามที่ต้องการจึงเป็น k หรือ -k

3. จากเวกเตอร์ที่เป็นไปได้สองตัวนี้ ต้องเลือกตัวแรก เนื่องจากเวกเตอร์ k สร้างระบบที่ถูกต้อง (และเวกเตอร์สร้างระบบทางซ้าย)

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาผลิตภัณฑ์ข้าม

สารละลาย. ดังตัวอย่างที่ 1 เราสรุปได้ว่าเวกเตอร์นั้นเป็น k หรือ -k อย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ตอนนี้เราต้องเลือก -k เนื่องจากเวกเตอร์สร้างระบบที่ถูกต้อง (และเวกเตอร์สร้างจากระบบซ้าย) ดังนั้น,

ตัวอย่างที่ 3 เวกเตอร์มีความยาว 80 และ 50 ซม. ตามลำดับ และสร้างมุม 30° ใช้หนึ่งเมตรเป็นหน่วยของความยาว จงหาความยาวของผลคูณของเวกเตอร์ a

สารละลาย. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์เท่ากับ ความยาวของผลคูณเวกเตอร์ที่ต้องการเท่ากับ

ตัวอย่างที่ 4 หาความยาวของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์เดียวกัน โดยใช้หน่วยเป็นเซนติเมตร

สารละลาย. เนื่องจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์เท่ากับความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์คือ 2,000 ซม. นั่นคือ

การเปรียบเทียบตัวอย่างที่ 3 และ 4 แสดงให้เห็นว่าความยาวของเวกเตอร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของปัจจัยเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับการเลือกหน่วยความยาวด้วย

ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จากปริมาณทางกายภาพจำนวนมากที่แสดงโดยผลคูณของเวกเตอร์ เราจะพิจารณาเฉพาะโมเมนต์ของแรงเท่านั้น

ให้ A เป็นจุดบังคับ โมเมนต์ของแรงเทียบกับจุด O เรียกว่าผลคูณเวกเตอร์ เนื่องจากโมดูลของผลคูณเวกเตอร์นี้มีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 157) โมดูลของโมเมนต์เท่ากับผลคูณของฐานตามความสูง นั่นคือ แรงคูณด้วยระยะทางจากจุด O ถึงเส้นตรงที่แรงนั้นกระทำ

ในกลศาสตร์ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสมดุลของวัตถุแข็งนั้นมีความจำเป็นที่ไม่เพียงแต่ผลรวมของเวกเตอร์ที่เป็นตัวแทนของแรงที่กระทำกับวัตถุเท่านั้น แต่ยังรวมถึงผลรวมของโมเมนต์ของแรงที่ต้องมีค่าเท่ากับศูนย์ด้วย ในกรณีที่แรงทั้งหมดขนานกับระนาบเดียวกัน การบวกเวกเตอร์แทนโมเมนต์สามารถแทนที่ได้ด้วยการบวกและการลบโมดูลี แต่สำหรับทิศทางของกองกำลังโดยพลการการแทนที่นั้นเป็นไปไม่ได้ ตามนี้ ผลิตภัณฑ์ข้ามถูกกำหนดอย่างแม่นยำเป็นเวกเตอร์ ไม่ใช่ตัวเลข

เดอะ เครื่องคิดเลขออนไลน์คำนวณผลคูณของเวกเตอร์ มีการแก้ปัญหาโดยละเอียด ในการคำนวณผลคูณของเวกเตอร์ ให้ป้อนพิกัดของเวกเตอร์ในเซลล์แล้วคลิก "คำนวณ"

×

คำเตือน

ล้างเซลล์ทั้งหมดหรือไม่

ปิด ล้าง

คำแนะนำในการป้อนข้อมูลตัวเลขจะป้อนเป็นจำนวนเต็ม (เช่น 487, 5, -7623 เป็นต้น) เลขฐานสิบ (เช่น 67., 102.54 เป็นต้น) หรือเศษส่วน เศษส่วนต้องพิมพ์ในรูปแบบ a/b โดยที่ a และ b (b>0) เป็นจำนวนเต็มหรือทศนิยม ตัวอย่าง 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 เป็นต้น

ผลคูณของเวกเตอร์

ก่อนที่จะดำเนินการตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ ให้พิจารณาแนวคิด สั่งเวกเตอร์สามตัว, เวกเตอร์สามตัวทางซ้าย, เวกเตอร์สามตัวทางขวา.

คำจำกัดความ 1. เรียกเวกเตอร์สามตัว สั่งสามอย่าง(หรือสามเท่า) หากมีการระบุว่าเวกเตอร์ใดเป็นเวกเตอร์แรก ซึ่งคือตัวที่สองและตัวใดคือตัวที่สาม

การบันทึก ซีบีเอ- หมายถึง - ตัวแรกคือเวกเตอร์ คอันที่สองคือเวกเตอร์ ขและอันที่สามคือเวกเตอร์ ก.

คำจำกัดความ 2 เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบร่วมสามตัว เอบีซีเรียกว่า ขวา (ซ้าย) ถ้าเมื่อย่อเป็นจุดเริ่มต้นทั่วไป เวกเตอร์เหล่านี้จะถูกจัดเรียงตามที่มีขนาดใหญ่ตามลำดับ ดัชนีไม่โค้งงอ และ นิ้วกลางมือขวา (ซ้าย)

คำจำกัดความ 2 สามารถกำหนดได้อีกทางหนึ่ง

คำจำกัดความ 2 เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบร่วมสามตัว เอบีซีเรียกว่า ขวา (ซ้าย) ถ้าเมื่อลดขนาดลงเป็นเวกเตอร์ร่วม คซึ่งอยู่อีกด้านหนึ่งของระนาบที่กำหนดโดยเวกเตอร์ กและ ขซึ่งเลี้ยวสั้นที่สุดจากที่ใด กถึง ขดำเนินการทวนเข็มนาฬิกา (ตามเข็มนาฬิกา)

เว็กเตอร์ทรีโอ เอบีซีแสดงในรูป 1 ถูกต้องและสามเท่า เอบีซีแสดงในรูป เหลือ 2 อัน

ถ้าเวกเตอร์สามส่วนสองตัวอยู่ทางขวาหรือซ้าย แสดงว่าพวกมันมีทิศทางเดียวกัน มิฉะนั้นจะกล่าวกันว่ามีทิศทางตรงกันข้าม

คำนิยาม 3 ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนหรือเทียบเคียงเรียกว่า ขวา (ซ้าย) ถ้าเวกเตอร์พื้นฐานสามตัวก่อตัวเป็นสามทางขวา (ซ้าย)

เพื่อความชัดเจน ต่อไปนี้เราจะพิจารณาเฉพาะระบบพิกัดทางขวามือเท่านั้น

ความหมาย 4. ศิลปะเวกเตอร์เวกเตอร์ กต่อเวกเตอร์ ขเรียกว่าเวกเตอร์ กับ, แสดงโดยสัญลักษณ์ ค=[ab] (หรือ ค=[ก ข], หรือ ค=ก×ข) และเป็นไปตามข้อกำหนดสามประการต่อไปนี้:

• ความยาวเวกเตอร์ กับเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ กและ ขถึงไซน์ของมุม φ ระหว่างพวกเขา:

|ค|=|[ab]|=|ก||ข|บาปφ;

(1)

• เวกเตอร์ กับตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัว กและ ข;
• เวกเตอร์ คกำกับเพื่อให้ทั้งสาม เอบีซีถูกต้อง

ผลคูณของเวกเตอร์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• [ab]=−[บ้า] (ความสามารถในการป้องกันการซึมผ่านของสารปัจจัย);
• [(เล)ข]=λ [ab] (ความเข้ากันได้สัมพันธ์กับปัจจัยที่เป็นตัวเลข);
• [(เอ+บี)ค]=[กค]+[ขค] (การกระจายเทียบกับผลรวมของเวกเตอร์);
• [อ่า]=0 สำหรับเวกเตอร์ใดๆ ก.

สมบัติทางเรขาคณิตของผลคูณของเวกเตอร์

ทฤษฎีบท 1. สำหรับเวกเตอร์สองตัวที่สัมพันธ์กัน มันจำเป็นและเพียงพอที่ผลคูณเวกเตอร์ของพวกมันจะเท่ากับศูนย์

การพิสูจน์. ความจำเป็น. ให้เวกเตอร์ กและ ขคอลิเนียร์ จากนั้นมุมระหว่างพวกมันคือ 0 หรือ 180° และ บาปφ=บาป180=บาป 0=0. ดังนั้นโดยคำนึงถึงนิพจน์ (1) ความยาวของเวกเตอร์ คเท่ากับศูนย์ แล้ว คเวกเตอร์ว่าง

ความเพียงพอ ให้ผลคูณของเวกเตอร์ กและ ขนำทางเป็นศูนย์: [ ab]=0 ให้เราพิสูจน์ว่าเวกเตอร์ กและ ขคอลิเนียร์ ถ้าเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัว กและ ข 0 แล้วเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นเชิงเส้นตรง (เนื่องจากเวกเตอร์ศูนย์มีทิศทางไม่แน่นอนและอาจพิจารณาได้ว่าอยู่ในแนวเดียวกันกับเวกเตอร์ใดๆ)

ถ้าเวกเตอร์ทั้งสอง กและ ขไม่ใช่ศูนย์ จากนั้น | ก|>0, |ข|>0. จากนั้นจาก [ ab]=0 และจาก (1) ก็เป็นไปตามนั้น บาปφ=0. ดังนั้นเวกเตอร์ กและ ขคอลิเนียร์

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2 ความยาว (โมดูลัส) ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ [ ab] เท่ากับพื้นที่ สสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ลดลงเป็นจุดกำเนิดร่วมกัน กและ ข.

การพิสูจน์. อย่างที่คุณทราบ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับผลคูณของด้านประชิดของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้และไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน เพราะฉะนั้น:

จากนั้นผลคูณของเวกเตอร์เหล่านี้มีรูปแบบ:

การขยายดีเทอร์มีแนนต์เหนือองค์ประกอบของแถวแรก เราได้การสลายตัวของเวกเตอร์ ก × ขพื้นฐาน ฉัน, เจ, เคซึ่งเทียบเท่ากับสูตร (3)

การพิสูจน์ทฤษฎีบท 3. เขียนคู่ของเวกเตอร์พื้นฐานที่เป็นไปได้ทั้งหมด ฉัน, เจ, เคและคำนวณผลคูณของเวกเตอร์ ควรคำนึงว่าเวกเตอร์พื้นฐานมีมุมฉากร่วมกัน สร้างสามเท่าทางด้านขวา และมีความยาวหน่วย (อีกนัยหนึ่ง เราสามารถสันนิษฐานได้ว่า ฉัน={1, 0, 0}, เจ={0, 1, 0}, เค=(0, 0, 1)). จากนั้นเรามี:

จากความเสมอภาคและความสัมพันธ์สุดท้าย (4) เราได้รับ:

เขียนเมทริกซ์ขนาด 3×3 แถวแรกเป็นเวกเตอร์พื้นฐาน ฉัน, เจ, เค,และแถวที่เหลือจะเต็มไปด้วยองค์ประกอบของเวกเตอร์ กและ ข.

ก่อนที่จะให้แนวคิดเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ให้เราหันไปที่คำถามเกี่ยวกับการวางแนวของเวกเตอร์สามตัวที่เรียงลำดับ a → , b → , c → ในพื้นที่สามมิติ

ในการเริ่มต้น ให้แยกเวกเตอร์ a → , b → , c → จากจุดหนึ่ง ทิศทางของทริปเปิล a → , b → , c → อยู่ทางขวาหรือซ้าย ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ c → จากทิศทางที่เลี้ยวสั้นที่สุดจากเวกเตอร์ a →ถึง b →จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ c → , รูปแบบของสาม a → , b → , c → จะถูกกำหนด

หากการหมุนที่สั้นที่สุดคือทวนเข็มนาฬิกา จะเรียกเวกเตอร์สามตัว a → , b → , c → ขวาถ้าตามเข็มนาฬิกา - ซ้าย.

ต่อไป ใช้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่เส้นตรงสองตัว a → และ b → ให้เราเลื่อนเวกเตอร์ A B → = a → และ AC → = b → จากจุด A ให้เราสร้างเวกเตอร์ AD → = c → ซึ่งตั้งฉากกับทั้ง AB → และ AC → พร้อมกัน ดังนั้น เมื่อสร้างเวกเตอร์ AD → = c → เราสามารถทำได้สองอย่าง โดยให้มันเป็นทิศทางเดียวหรือตรงกันข้ามก็ได้ (ดูภาพประกอบ)

เวกเตอร์สามตัวที่เรียงลำดับ a → , b → , c → สามารถเป็นได้ตามที่เราค้นพบ ขวาหรือซ้ายขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์

จากข้างต้น เราสามารถแนะนำคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้ คำนิยามนี้กำหนดให้กับเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ

คำจำกัดความ 1

ผลคูณเวกเตอร์ของสองเวกเตอร์ a → และ b → เราจะเรียกเวกเตอร์ดังกล่าวในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติว่า:

• ถ้าเวกเตอร์ a → และ b → เป็นเส้นตรง มันจะมีค่าเป็นศูนย์
• มันจะตั้งฉากกับทั้งเวกเตอร์ a →​ และเวกเตอร์ b → นั่นคือ ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• ความยาวถูกกำหนดโดยสูตร: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• ทริปเล็ตของเวกเตอร์ a → , b → , c → มีทิศทางเดียวกันกับระบบพิกัดที่กำหนด

ผลคูณของเวกเตอร์ a → และ b → มีรูปแบบดังนี้ a → × b →

ข้ามพิกัดสินค้า

เนื่องจากเวกเตอร์ใดๆ มีพิกัดที่แน่นอนในระบบพิกัด จึงเป็นไปได้ที่จะแนะนำคำจำกัดความที่สองของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ซึ่งจะช่วยให้คุณหาพิกัดของมันจากพิกัดที่กำหนดของเวกเตอร์ได้

คำจำกัดความ 2

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ ผลคูณเวกเตอร์ของสองเวกเตอร์ a → = (a x ; a y ; a z) และ b → = (b x ; b y ; b z) เรียกเวกเตอร์ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → โดยที่ i → , j → , k → เป็นเวกเตอร์พิกัด

ผลคูณของเวกเตอร์สามารถแสดงเป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่สาม โดยที่แถวแรกคือเวกเตอร์ออร์ตา i → , j → , k → , แถวที่สองมีพิกัดของเวกเตอร์ a → และแถวที่สาม คือพิกัดของเวกเตอร์ b → ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด เมทริกซ์ดีเทอร์มีแนนต์มีลักษณะดังนี้: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

เมื่อขยายดีเทอร์มีแนนต์เหนือองค์ประกอบของแถวแรก เราจะได้รับความเท่าเทียมกัน: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

ข้ามคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์

เป็นที่ทราบกันว่าผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในพิกัดแสดงเป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z แล้วบนฐาน คุณสมบัติของปัจจัยกำหนดเมทริกซ์ต่อไปนี้ คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

1. การต่อต้านการสื่อสาร a → × b → = - b → × a → ;
2. การกระจาย a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → หรือ a → × b (1) → + b (2) → = a → × ข (1) → + ก → × ข (2) → ;
3. การเชื่อมโยง λ a → × b → = λ a → × b → หรือ a → × (λ b →) = λ a → × b → โดยที่ λ เป็นจำนวนจริงตามอำเภอใจ

คุณสมบัติเหล่านี้มีข้อพิสูจน์ที่ไม่ซับซ้อน

ตัวอย่างเช่น เราสามารถพิสูจน์คุณสมบัติต้านการสลับสับเปลี่ยนของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้

หลักฐานการต่อต้านการสื่อสาร

ตามนิยาม a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z และ b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . และถ้าเมทริกซ์สองแถวสับเปลี่ยนกัน ค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ควรเปลี่ยนไปตรงกันข้าม ดังนั้น a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → ซึ่งพิสูจน์การต่อต้านการสลับสับเปลี่ยนของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ - ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

ในกรณีส่วนใหญ่ มีงานสามประเภท

ในปัญหาประเภทแรกมักจะกำหนดความยาวของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างพวกมัน แต่คุณต้องหาความยาวของผลคูณไขว้ ในกรณีนี้ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้ c → = a → b → sin ∠ a → , b →

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาความยาวของผลคูณของเวกเตอร์ a → และ b → ถ้า a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 เป็นที่รู้จัก

สารละลาย

ใช้คำจำกัดความของความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → และ b → เราแก้ปัญหานี้: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

คำตอบ: 15 2 2 .

งานประเภทที่สองมีการเชื่อมต่อกับพิกัดของเวกเตอร์, พวกเขามีผลิตภัณฑ์เวกเตอร์, ความยาวของมัน, ฯลฯ ค้นหาผ่านพิกัดที่รู้จัก เวกเตอร์ที่กำหนด ก → = (ก x ; ก y ; ก z) และ ข → = (ข x ; ข ย ; ข z) .

สำหรับงานประเภทนี้ คุณสามารถแก้ไขตัวเลือกมากมายสำหรับงาน ตัวอย่างเช่น ไม่ใช่พิกัดของเวกเตอร์ a → และ b → แต่เป็นการขยายในเวกเตอร์พิกัดของแบบฟอร์ม b → = b x i → + b y j → + b z k → และ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , หรือเวกเตอร์ a → และ b → สามารถกำหนดได้จากพิกัดของพวกเขา จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2

เวกเตอร์สองตัวถูกตั้งค่าในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของพวกเขา

สารละลาย

ตามนิยามที่สอง เราพบผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวในพิกัดที่กำหนด: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 กิโล → .

หากเราเขียนผลคูณเชิงซ้อนในรูปของเมทริกซ์ดีเทอร์มีแนนต์ ก็จะได้คำตอบ ตัวอย่างนี้มีลักษณะดังนี้: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →

คำตอบ: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาความยาวของผลคูณของเวกเตอร์ i → - j → และ i → + j → + k → โดยที่ i → , j → , k → - orts ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สารละลาย

อันดับแรก มาหาพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่กำหนด i → - j → × i → + j → + k → ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด

เป็นที่ทราบกันว่าเวกเตอร์ i → - j → และ i → + j → + k → มีพิกัด (1 ; - 1 ; 0) และ (1 ; 1 ; 1) ตามลำดับ หาความยาวของผลคูณเวกเตอร์โดยใช้เมทริกซ์ดีเทอร์มีแนนต์ จากนั้นเราจะได้ i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 กิโล → .

ดังนั้น ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ i → - j → × i → + j → + k → มีพิกัด (- 1 ; - 1 ; 2) ในระบบพิกัดที่กำหนด

เราหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ตามสูตร (ดูหัวข้อการหาความยาวของเวกเตอร์): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

คำตอบ: ผม → - j → × ผม → + j → + k → = 6 . .

ตัวอย่างที่ 4

พิกัดของจุดสามจุด A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​, C (1 , 4 , 2) ถูกกำหนดให้อยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ AB → และ AC → พร้อมกัน

สารละลาย

เวกเตอร์ AB → และ AC → มีพิกัดดังนี้ (- 1 ; 2 ; 2) และ (0 ; 4 ; 1) ตามลำดับ เมื่อพบผลคูณของเวกเตอร์ของเวกเตอร์ AB → และ AC → แล้ว เห็นได้ชัดว่ามันเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากตามนิยามของทั้ง AB → และ AC → นั่นคือมันเป็นวิธีแก้ปัญหาของเรา ค้นหา A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →

คำตอบ: - 6 i → + j → - 4 k → . เป็นหนึ่งในเวกเตอร์ตั้งฉาก

โจทย์ประเภทที่ 3 เน้นการใช้คุณสมบัติของเวกเตอร์ผลคูณของเวกเตอร์ หลังจากสมัครแล้วเราจะได้วิธีแก้ปัญหาที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 5

เวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉากและมีความยาว 3 และ 4 ตามลำดับ จงหาความยาวของผลคูณของกากบาท 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 ก → × - 2 ข → + - ข → × ก → + - ข → × - 2 ข →

สารละลาย

จากคุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราสามารถเขียนได้ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 ก → × ก → + 3 ก → × - 2 ข → + - ข → × ก → + - ข → × - 2 ข →

ด้วยคุณสมบัติของการเชื่อมโยง เราจะนำค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่อยู่นอกเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ออกมาในนิพจน์สุดท้าย: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 ก → × ก → - 6 ก → × ข → - ข → × ก → + 2 ข → × ข →

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ a → × a → และ b → × b → เท่ากับ 0 เนื่องจาก a → × a → = a → a → sin 0 = 0 และ b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , แล้ว 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → .

จากปฏิกริยาต่อต้านการกลายพันธุ์ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เป็นไปตาม - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

เมื่อใช้คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เราจะได้ความเท่าเทียมกัน 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

ตามเงื่อนไข เวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉาก นั่นคือ มุมระหว่างพวกมันเท่ากับ π 2 . ตอนนี้เหลือเพียงการแทนที่ค่าที่พบในสูตรที่เกี่ยวข้อง: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → บาป (a →, b →) = 5 3 4 บาป π 2 = 60.

คำตอบ: 3 ก → - ข → × ก → - 2 ข → = 60 .

ความยาวของผลคูณของเวกเตอร์ตามนิยามคือ a → × b → = a → · b → · บาป ∠ a → , b → เนื่องจากเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว (จากหลักสูตรของโรงเรียน) ว่าพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านทั้งสองคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านี้ ดังนั้นความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน - สามเหลี่ยมสองเท่ากล่าวคือผลคูณของด้านในรูปของเวกเตอร์ a → และ b → , ปลดออกจากจุดหนึ่งโดยไซน์ ของมุมระหว่างพวกเขา บาป ∠ a → , b → .

นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ในกลศาสตร์ ซึ่งเป็นหนึ่งในสาขาของฟิสิกส์ ต้องขอบคุณผลคูณเวกเตอร์ คุณสามารถกำหนดโมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับจุดในอวกาศได้

นิยาม 3

ภายใต้โมเมนต์ของแรง F → ใช้กับจุด B เทียบกับจุด A เราจะเข้าใจผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ต่อไปนี้ AB → × F → .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

คุณสมบัติของดอทโปรดักส์

ดอทโปรดัคของเวกเตอร์ นิยาม คุณสมบัติ

การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์

เวกเตอร์ แนวคิดพื้นฐาน คำจำกัดความ การดำเนินการเชิงเส้นกับพวกมัน

เวกเตอร์บนระนาบเป็นคู่อันดับของจุด ในขณะที่จุดแรกเรียกว่าจุดเริ่มต้น และจุดที่สองเรียกว่าจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

เวกเตอร์สองตัวเรียกว่าเท่ากันหากเท่ากันและมีทิศทางร่วม

เวกเตอร์ที่อยู่ในเส้นเดียวกันเรียกว่า codirectional ถ้าพวกมันเป็น codirectional กับเวกเตอร์เดียวกันที่ไม่ได้อยู่บนเส้นนี้

เวกเตอร์ที่อยู่ในเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนานเรียกว่า collinear และ collinear แต่ไม่ใช่ codirectional เรียกว่าทิศตรงกันข้าม

เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตั้งฉากเรียกว่ามุมฉาก

คำจำกัดความ 5.4. ผลรวม เอ+บี เวกเตอร์ ก และ ข เรียกว่าเวกเตอร์ที่มาจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ ก ถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ข ถ้าจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ ข ตรงกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ก .

คำจำกัดความ 5.5. ความแตกต่าง เอ - บี เวกเตอร์ ก และ ข เวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่า กับ ซึ่งร่วมกับเวกเตอร์ ข ให้เวกเตอร์ ก .

คำจำกัดความ 5.6 งานเค ก เวกเตอร์ ก ต่อหมายเลข เคเรียกว่าเวกเตอร์ ข , เวกเตอร์คอลลิเนียร์ ก ซึ่งมีโมดูลเท่ากับ | เค||ก |, และทิศทางที่เหมือนกับทิศทาง ก ที่ เค>0 และตรงกันข้าม ก ที่ เค<0.

คุณสมบัติของการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข:

คุณสมบัติ 1. เค(เอ+บี ) = ฎ ก+ ฎ ข.

ทรัพย์สิน 2. (ก+ม)ก = เค ก+ ม ก.

ทรัพย์สิน3. k(ม ก) = (กม.)ก .

ผลที่ตามมา ถ้าเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ ก และ ข เป็นเส้นตรงแล้วมีตัวเลข เค, อะไร ข= เค ก.

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว กและ ขเรียกว่าจำนวน (สเกลาร์) เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุม φ ระหว่างพวกมัน ผลิตภัณฑ์สเกลาร์สามารถแสดงได้หลายวิธี เช่น ab, ก · ข, (ก , ข), (ก · ข). ดังนั้นดอทโปรดัคคือ:

ก · ข = |ก| · | ข| cos φ

ถ้าเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ ผลคูณของสเกลาร์จะเท่ากับศูนย์

คุณสมบัติการเปลี่ยนรูป: ก · ข = ข · ก(ผลคูณของสเกลาร์ไม่เปลี่ยนแปลงจากการเรียงสับเปลี่ยนของปัจจัย)

คุณสมบัติการจัดจำหน่าย: ก · ( ข · ค) = (ก · ข) · ค(ผลลัพธ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของการคูณ);

คุณสมบัติการรวมกัน (สัมพันธ์กับปัจจัยสเกลาร์): (λ ก) · ข = λ ( ก · ข).

คุณสมบัติของมุมฉาก (ตั้งฉาก): ถ้าเวกเตอร์ กและ ขไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นดอตโปรดัคของพวกมันจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากกัน (ตั้งฉากกัน) ก ┴ ข;

คุณสมบัติสแควร์: ก · ก = ก 2 = |ก| 2 (ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์กับตัวเองเท่ากับกำลังสองของโมดูลัส);

ถ้าพิกัดของเวกเตอร์ ก=(x 1 , y 1 , z 1 ) และ ข=(x 2 , y 2 , z 2 ) แล้วผลคูณสเกลาร์คือ ก · ข= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

เวกเตอร์ถือเวกเตอร์ คำนิยาม: ผลคูณเวกเตอร์ของสองเวกเตอร์และเข้าใจว่าเป็นเวกเตอร์ที่:

โมดูลนี้เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้ เช่น , มุมระหว่างเวกเตอร์และ

เวกเตอร์นี้ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่คูณกัน นั่นคือ

ถ้าเวกเตอร์ไม่เป็นเส้นตรง มันจะสร้างเวกเตอร์สามตัวที่ถูกต้อง

ข้ามคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์:

1. เมื่อลำดับของปัจจัยเปลี่ยนไป ผลคูณเวกเตอร์จะเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม โดยคงโมดูลไว้ เช่น

2 .Vector square เท่ากับ zero-vector เช่น

3 . สามารถนำปัจจัยสเกลาร์ออกจากเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้ เช่น

4 .สำหรับเวกเตอร์สามตัวใด ๆ ความเท่าเทียมกัน

5 เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความสัมพันธ์เชิงเส้นของสองเวกเตอร์และ :