บ้าน › ระบบทำความเย็น › ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ ijk ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัด

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ ijk ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัด

ก่อนที่จะให้แนวคิดเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ให้เราหันไปที่คำถามเกี่ยวกับการวางแนวของเวกเตอร์สามตัวที่เรียงลำดับ a → , b → , c → ในพื้นที่สามมิติ

ในการเริ่มต้น ให้แยกเวกเตอร์ a → , b → , c → จากจุดหนึ่ง ทิศทางของทริปเปิล a → , b → , c → อยู่ทางขวาหรือซ้าย ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ c → จากทิศทางที่เลี้ยวสั้นที่สุดจากเวกเตอร์ a →ถึง b →จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ c → , รูปแบบของสาม a → , b → , c → จะถูกกำหนด

หากการหมุนที่สั้นที่สุดคือทวนเข็มนาฬิกา จะเรียกเวกเตอร์สามตัว a → , b → , c → ขวาถ้าตามเข็มนาฬิกา - ซ้าย.

ต่อไป ใช้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่เส้นตรงสองตัว a → และ b → ให้เราเลื่อนเวกเตอร์ A B → = a → และ AC → = b → จากจุด A ให้เราสร้างเวกเตอร์ AD → = c → ซึ่งตั้งฉากกับทั้ง AB → และ AC → พร้อมกัน ดังนั้น เมื่อสร้างเวกเตอร์ AD → = c → เราสามารถทำได้สองอย่าง โดยให้มันเป็นทิศทางเดียวหรือตรงกันข้ามก็ได้ (ดูภาพประกอบ)

เวกเตอร์สามตัวที่เรียงลำดับ a → , b → , c → สามารถเป็นได้ตามที่เราค้นพบ ขวาหรือซ้ายขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์

จากข้างต้น เราสามารถแนะนำคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้ คำนิยามนี้กำหนดให้กับเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ

คำจำกัดความ 1

ผลคูณเวกเตอร์ของสองเวกเตอร์ a → และ b → เราจะเรียกเวกเตอร์ดังกล่าวในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติว่า:

ถ้าเวกเตอร์ a → และ b → เป็นเส้นตรง มันจะมีค่าเป็นศูนย์
มันจะตั้งฉากกับทั้งเวกเตอร์ a → และเวกเตอร์ b → นั่นคือ ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
ความยาวถูกกำหนดโดยสูตร: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
ทริปเล็ตของเวกเตอร์ a → , b → , c → มีทิศทางเดียวกันกับระบบพิกัดที่กำหนด

สินค้าเวกเตอร์เวกเตอร์ a → และ b → มีสัญกรณ์ต่อไปนี้: a → × b → .

ข้ามพิกัดสินค้า

เนื่องจากเวกเตอร์ใดๆ มีพิกัดที่แน่นอนในระบบพิกัด จึงเป็นไปได้ที่จะแนะนำคำจำกัดความที่สองของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ซึ่งจะช่วยให้คุณหาพิกัดของมันจากพิกัดที่กำหนดของเวกเตอร์ได้

คำจำกัดความ 2

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ ผลคูณเวกเตอร์ของสองเวกเตอร์ a → = (a x ; a y ; a z) และ b → = (b x ; b y ; b z) เรียกเวกเตอร์ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → โดยที่ i → , j → , k → เป็นเวกเตอร์พิกัด

ผลคูณของเวกเตอร์สามารถแสดงเป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่สาม โดยที่แถวแรกคือเวกเตอร์ออร์ตา i → , j → , k → , แถวที่สองมีพิกัดของเวกเตอร์ a → และแถวที่สาม คือพิกัดของเวกเตอร์ b → ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด เมทริกซ์ดีเทอร์มีแนนต์มีลักษณะดังนี้: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

เมื่อขยายดีเทอร์มีแนนต์เหนือองค์ประกอบของแถวแรก เราจะได้รับความเท่าเทียมกัน: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

ข้ามคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์

เป็นที่ทราบกันว่าผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในพิกัดแสดงเป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z แล้วบนฐาน คุณสมบัติของปัจจัยกำหนดเมทริกซ์ต่อไปนี้ คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

การต่อต้านการสื่อสาร a → × b → = - b → × a → ;
การกระจาย a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → หรือ a → × b (1) → + b (2) → = a → × ข (1) → + ก → × ข (2) → ;
การเชื่อมโยง λ a → × b → = λ a → × b → หรือ a → × (λ b →) = λ a → × b → โดยที่ λ เป็นจำนวนจริงตามอำเภอใจ

คุณสมบัติเหล่านี้มีข้อพิสูจน์ที่ไม่ซับซ้อน

ตัวอย่างเช่น เราสามารถพิสูจน์คุณสมบัติต้านการสลับสับเปลี่ยนของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้

หลักฐานการต่อต้านการสื่อสาร

ตามนิยาม a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z และ b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . และถ้าเมทริกซ์สองแถวสับเปลี่ยนกัน ค่าของดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ควรเปลี่ยนไปตรงกันข้าม ดังนั้น a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → ซึ่งพิสูจน์การต่อต้านการสลับสับเปลี่ยนของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ - ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

ในกรณีส่วนใหญ่ มีงานสามประเภท

ในปัญหาประเภทแรกมักจะกำหนดความยาวของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างพวกมัน แต่คุณต้องหาความยาวของผลคูณไขว้ ในกรณีนี้ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้ c → = a → b → sin ∠ a → , b →

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาความยาวของผลคูณของเวกเตอร์ a → และ b → ถ้า a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 เป็นที่รู้จัก

สารละลาย

ใช้คำจำกัดความของความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → และ b → เราแก้ปัญหานี้: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

คำตอบ: 15 2 2 .

งานประเภทที่สองมีการเชื่อมต่อกับพิกัดของเวกเตอร์, พวกเขามีผลิตภัณฑ์เวกเตอร์, ความยาวของมัน, ฯลฯ ถูกค้นหาผ่านพิกัดที่ทราบของเวกเตอร์ที่กำหนด ก → = (ก x ; ก y ; ก z) และ ข → = (ข x ; ข ย ; ข z) .

สำหรับงานประเภทนี้ คุณสามารถแก้ไขตัวเลือกมากมายสำหรับงาน ตัวอย่างเช่น ไม่ใช่พิกัดของเวกเตอร์ a → และ b → แต่เป็นการขยายในเวกเตอร์พิกัดของแบบฟอร์ม b → = b x i → + b y j → + b z k → และ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , หรือเวกเตอร์ a → และ b → สามารถกำหนดได้จากพิกัดของพวกเขา จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2

เวกเตอร์สองตัวถูกตั้งค่าในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของพวกเขา

สารละลาย

ตามนิยามที่สอง เราพบผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวในพิกัดที่กำหนด: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 กิโล → .

หากเราเขียนผลคูณเชิงซ้อนในรูปของเมทริกซ์ดีเทอร์มีแนนต์ ก็จะได้คำตอบ ตัวอย่างนี้มีลักษณะดังนี้: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →

คำตอบ: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาความยาวของผลคูณของเวกเตอร์ i → - j → และ i → + j → + k → โดยที่ i → , j → , k → - orts ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สารละลาย

อันดับแรก มาหาพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่กำหนด i → - j → × i → + j → + k → ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด

เป็นที่ทราบกันว่าเวกเตอร์ i → - j → และ i → + j → + k → มีพิกัด (1 ; - 1 ; 0) และ (1 ; 1 ; 1) ตามลำดับ หาความยาวของผลคูณเวกเตอร์โดยใช้เมทริกซ์ดีเทอร์มีแนนต์ จากนั้นเราจะได้ i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 กิโล → .

ดังนั้น ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ i → - j → × i → + j → + k → มีพิกัด (- 1 ; - 1 ; 2) ในระบบพิกัดที่กำหนด

เราหาความยาวของเวกเตอร์ผลคูณตามสูตร (ดูหัวข้อการหาความยาวของเวกเตอร์): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

คำตอบ: ผม → - j → × ผม → + j → + k → = 6 . .

ตัวอย่างที่ 4

พิกัดของจุดสามจุด A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) , C (1 , 4 , 2) ถูกกำหนดให้อยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ AB → และ AC → พร้อมกัน

สารละลาย

เวกเตอร์ AB → และ AC → มีพิกัดดังนี้ (- 1 ; 2 ; 2) และ (0 ; 4 ; 1) ตามลำดับ เมื่อพบผลคูณของเวกเตอร์ของเวกเตอร์ AB → และ AC → แล้ว เห็นได้ชัดว่ามันเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากตามนิยามของทั้ง AB → และ AC → นั่นคือมันเป็นวิธีแก้ปัญหาของเรา ค้นหา A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →

คำตอบ: - 6 i → + j → - 4 k → . เป็นหนึ่งในเวกเตอร์ตั้งฉาก

โจทย์ประเภทที่ 3 เน้นการใช้คุณสมบัติของเวกเตอร์ผลคูณของเวกเตอร์ หลังจากสมัครแล้วเราจะได้วิธีแก้ปัญหาที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 5

เวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉากและมีความยาว 3 และ 4 ตามลำดับ จงหาความยาวของผลคูณของกากบาท 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 ก → × - 2 ข → + - ข → × ก → + - ข → × - 2 ข →

สารละลาย

จากคุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราสามารถเขียนได้ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 ก → × ก → + 3 ก → × - 2 ข → + - ข → × ก → + - ข → × - 2 ข →

ด้วยคุณสมบัติของการเชื่อมโยง เราจะนำค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่อยู่นอกเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ออกมาในนิพจน์สุดท้าย: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 ก → × ก → - 6 ก → × ข → - ข → × ก → + 2 ข → × ข →

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ a → × a → และ b → × b → เท่ากับ 0 เนื่องจาก a → × a → = a → a → sin 0 = 0 และ b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , แล้ว 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → .

จากปฏิกริยาต่อต้านการกลายพันธุ์ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เป็นไปตาม - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

เมื่อใช้คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เราจะได้ความเท่าเทียมกัน 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

ตามเงื่อนไข เวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉาก นั่นคือ มุมระหว่างพวกมันเท่ากับ π 2 . ตอนนี้เหลือเพียงการแทนที่ค่าที่พบในสูตรที่เกี่ยวข้อง: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → บาป (a →, b →) = 5 3 4 บาป π 2 = 60.

คำตอบ: 3 ก → - ข → × ก → - 2 ข → = 60 .

ความยาวของผลคูณของเวกเตอร์ตามนิยามคือ a → × b → = a → · b → · บาป ∠ a → , b → เนื่องจากเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว (จากหลักสูตรของโรงเรียน) ว่าพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านทั้งสองคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านี้ ดังนั้นความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน - สามเหลี่ยมสองเท่ากล่าวคือผลคูณของด้านในรูปของเวกเตอร์ a → และ b → , ปลดออกจากจุดหนึ่งโดยไซน์ ของมุมระหว่างพวกเขา บาป ∠ a → , b → .

นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ในกลศาสตร์ ซึ่งเป็นหนึ่งในสาขาของฟิสิกส์ ต้องขอบคุณผลคูณเวกเตอร์ คุณสามารถกำหนดโมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับจุดในอวกาศได้

นิยาม 3

ภายใต้โมเมนต์ของแรง F → ใช้กับจุด B เทียบกับจุด A เราจะเข้าใจผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ต่อไปนี้ AB → × F → .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

เดอะ เครื่องคิดเลขออนไลน์คำนวณผลคูณของเวกเตอร์ มีการแก้ปัญหาโดยละเอียด ในการคำนวณผลคูณของเวกเตอร์ ให้ป้อนพิกัดของเวกเตอร์ในเซลล์แล้วคลิก "คำนวณ"

คำเตือน

ล้างเซลล์ทั้งหมดหรือไม่

ปิด ล้าง

คำแนะนำในการป้อนข้อมูลตัวเลขจะป้อนเป็นจำนวนเต็ม (เช่น 487, 5, -7623 เป็นต้น) เลขฐานสิบ (เช่น 67., 102.54 เป็นต้น) หรือเศษส่วน เศษส่วนต้องพิมพ์ในรูปแบบ a/b โดยที่ a และ b (b>0) เป็นจำนวนเต็มหรือทศนิยม ตัวอย่าง 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 เป็นต้น

ผลคูณของเวกเตอร์

ก่อนที่จะดำเนินการตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ ให้พิจารณาแนวคิด สั่งเวกเตอร์สามตัว, เวกเตอร์สามตัวทางซ้าย, เวกเตอร์สามตัวทางขวา.

คำจำกัดความ 1. เรียกเวกเตอร์สามตัว สั่งสามอย่าง(หรือสามเท่า) หากมีการระบุว่าเวกเตอร์ใดเป็นเวกเตอร์แรก ซึ่งคือตัวที่สองและตัวใดคือตัวที่สาม

การบันทึก ซีบีเอ- หมายถึง - ตัวแรกคือเวกเตอร์ คอันที่สองคือเวกเตอร์ ขและอันที่สามคือเวกเตอร์ ก.

คำจำกัดความ 2 เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบร่วมสามตัว เอบีซีเรียกว่า ขวา (ซ้าย) ถ้าเมื่อย่อเป็นจุดเริ่มต้นทั่วไป เวกเตอร์เหล่านี้จะถูกจัดเรียงตามที่มีขนาดใหญ่ตามลำดับ ดัชนีไม่โค้งงอ และ นิ้วกลางมือขวา (ซ้าย)

คำจำกัดความ 2 สามารถกำหนดได้อีกทางหนึ่ง

คำจำกัดความ 2 เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบร่วมสามตัว เอบีซีเรียกว่า ขวา (ซ้าย) ถ้าเมื่อลดขนาดลงเป็นเวกเตอร์ร่วม คซึ่งอยู่อีกด้านหนึ่งของระนาบที่กำหนดโดยเวกเตอร์ กและ ขซึ่งเลี้ยวสั้นที่สุดจากที่ใด กถึง ขดำเนินการทวนเข็มนาฬิกา (ตามเข็มนาฬิกา)

เว็กเตอร์ทรีโอ เอบีซีแสดงในรูป 1 ถูกต้องและสามเท่า เอบีซีแสดงในรูป เหลือ 2 อัน

ถ้าเวกเตอร์สามส่วนสองตัวอยู่ทางขวาหรือซ้าย แสดงว่าพวกมันมีทิศทางเดียวกัน มิฉะนั้นจะกล่าวกันว่ามีทิศทางตรงกันข้าม

คำนิยาม 3 ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนหรือเทียบเคียงเรียกว่า ขวา (ซ้าย) ถ้าเวกเตอร์พื้นฐานสามตัวก่อตัวเป็นสามทางขวา (ซ้าย)

เพื่อความชัดเจน ต่อไปนี้เราจะพิจารณาเฉพาะระบบพิกัดทางขวามือเท่านั้น

ความหมาย 4. ศิลปะเวกเตอร์เวกเตอร์ กต่อเวกเตอร์ ขเรียกว่าเวกเตอร์ กับ, แสดงโดยสัญลักษณ์ ค=[ab] (หรือ ค=[ก ข], หรือ ค=ก×ข) และเป็นไปตามข้อกำหนดสามประการต่อไปนี้:

ความยาวเวกเตอร์ กับเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ กและ ขถึงไซน์ของมุม φ ระหว่างพวกเขา:

|ค|=|[ab]|=|ก||ข|บาปφ;

(1)

เวกเตอร์ กับตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัว กและ ข;
เวกเตอร์ คกำกับเพื่อให้ทั้งสาม เอบีซีถูกต้อง

ผลคูณของเวกเตอร์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

[ab]=−[บ้า] (ความสามารถในการป้องกันการซึมผ่านของสารปัจจัย);
[(เล)ข]=λ [ab] (ความเข้ากันได้สัมพันธ์กับปัจจัยที่เป็นตัวเลข);
[(เอ+บี)ค]=[กค]+[ขค] (การกระจายเทียบกับผลรวมของเวกเตอร์);
[อ่า]=0 สำหรับเวกเตอร์ใดๆ ก.

สมบัติทางเรขาคณิตของผลคูณของเวกเตอร์

ทฤษฎีบท 1. สำหรับเวกเตอร์สองตัวที่สัมพันธ์กัน มันจำเป็นและเพียงพอที่ผลคูณเวกเตอร์ของพวกมันจะเท่ากับศูนย์

การพิสูจน์. ความจำเป็น. ให้เวกเตอร์ กและ ขคอลิเนียร์ จากนั้นมุมระหว่างพวกมันคือ 0 หรือ 180° และ บาปφ=บาป180=บาป 0=0. ดังนั้นโดยคำนึงถึงนิพจน์ (1) ความยาวของเวกเตอร์ คเท่ากับศูนย์ แล้ว คเวกเตอร์ว่าง

ความเพียงพอ ให้ผลคูณของเวกเตอร์ กและ ขนำทางเป็นศูนย์: [ ab]=0 ให้เราพิสูจน์ว่าเวกเตอร์ กและ ขคอลิเนียร์ ถ้าเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัว กและ ข 0 แล้วเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นเชิงเส้นตรง (เนื่องจากเวกเตอร์ศูนย์มีทิศทางไม่แน่นอนและอาจพิจารณาได้ว่าอยู่ในแนวเดียวกันกับเวกเตอร์ใดๆ)

ถ้าเวกเตอร์ทั้งสอง กและ ขไม่ใช่ศูนย์ จากนั้น | ก|>0, |ข|>0. จากนั้นจาก [ ab]=0 และจาก (1) ก็เป็นไปตามนั้น บาปφ=0. ดังนั้นเวกเตอร์ กและ ขคอลิเนียร์

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2 ความยาว (โมดูลัส) ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ [ ab] เท่ากับพื้นที่ สสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ลดลงเป็นจุดกำเนิดร่วมกัน กและ ข.

การพิสูจน์. อย่างที่คุณทราบ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับผลคูณของด้านประชิดของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้และไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน เพราะฉะนั้น:

จากนั้นผลคูณของเวกเตอร์เหล่านี้มีรูปแบบ:

การขยายดีเทอร์มีแนนต์เหนือองค์ประกอบของแถวแรก เราได้การสลายตัวของเวกเตอร์ ก × ขพื้นฐาน ฉัน, เจ, เคซึ่งเทียบเท่ากับสูตร (3)

การพิสูจน์ทฤษฎีบท 3. เขียนคู่ของเวกเตอร์พื้นฐานที่เป็นไปได้ทั้งหมด ฉัน, เจ, เคและคำนวณผลคูณของเวกเตอร์ ควรคำนึงว่าเวกเตอร์พื้นฐานมีมุมฉากร่วมกัน สร้างสามเท่าทางด้านขวา และมีความยาวหน่วย (อีกนัยหนึ่ง เราสามารถสันนิษฐานได้ว่า ฉัน={1, 0, 0}, เจ={0, 1, 0}, เค=(0, 0, 1)). จากนั้นเรามี:

จากความเสมอภาคและความสัมพันธ์สุดท้าย (4) เราได้รับ:

เขียนเมทริกซ์ขนาด 3×3 แถวแรกเป็นเวกเตอร์พื้นฐาน ฉัน, เจ, เค,และแถวที่เหลือจะเต็มไปด้วยองค์ประกอบของเวกเตอร์ กและ ข:

ดังนั้น ผลคูณของเวกเตอร์ กและ ขจะเป็นเวกเตอร์:

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ [ ab] โดยที่เวกเตอร์ กแทนด้วยจุดสองจุด จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ a: , จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ก: , เวกเตอร์ ขมีแบบฟอร์ม .

วิธีแก้ปัญหา ย้ายเวกเตอร์แรกไปที่จุดกำเนิด ในการทำเช่นนี้ให้ลบออกจากพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดสิ้นสุดด้วยพิกัดของจุดเริ่มต้น:

เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์นี้โดยขยายในแถวแรก จากการคำนวณเหล่านี้ เราได้ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ กและ ข.

สินค้าเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ปลอมที่ตั้งฉากกับระนาบที่สร้างขึ้นโดยปัจจัยสองประการ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของการดำเนินการเลขฐานสอง "การคูณเวกเตอร์" บนเวกเตอร์ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ผลคูณของเวกเตอร์ไม่มีคุณสมบัติของการสลับที่และการเชื่อมโยง (มันเป็นการสลับขั้ว) และไม่เหมือนกับผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์ คือเวกเตอร์ ใช้กันอย่างแพร่หลายในการใช้งานด้านเทคนิคและทางกายภาพ ตัวอย่างเช่น โมเมนตัมเชิงมุมและแรงลอเรนซ์ถูกเขียนทางคณิตศาสตร์ว่าเป็นผลคูณไขว้ ครอสโปรดัคมีประโยชน์ในการ "วัด" ความตั้งฉากของเวกเตอร์ - โมดูลัสของครอสโปรดัคของเวกเตอร์สองตัวจะเท่ากับผลคูณของโมดูลัสหากพวกมันตั้งฉากกัน และจะลดลงเป็นศูนย์หากเวกเตอร์ขนานกันหรือต้านขนานกัน

คุณสามารถกำหนดผลคูณของเวกเตอร์ได้หลายวิธี และในทางทฤษฎี ในช่องว่างของขนาด n ใดๆ คุณสามารถคำนวณผลคูณของเวกเตอร์ n-1 ในขณะที่ได้เวกเตอร์เดียวที่ตั้งฉากกับพวกมันทั้งหมด แต่ถ้าผลิตภัณฑ์ถูกจำกัดไว้ที่ผลิตภัณฑ์ไบนารีที่ไม่สำคัญกับผลลัพธ์ของเวกเตอร์ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ดั้งเดิมจะถูกกำหนดในช่องว่างสามมิติและเจ็ดมิติเท่านั้น ผลลัพธ์ของผลคูณเวกเตอร์ เช่น ผลคูณสเกลาร์ ขึ้นอยู่กับเมตริกของปริภูมิแบบยุคลิด

ต่างจากสูตรสำหรับคำนวณผลคูณสเกลาร์จากพิกัดของเวกเตอร์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสามมิติ สูตรสำหรับผลคูณเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับทิศทางของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม หรืออีกนัยหนึ่งคือ "chirality"

คำนิยาม:
ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a และเวกเตอร์ b ในปริภูมิ R 3 เรียกว่าเวกเตอร์ c ซึ่งเป็นไปตามข้อกำหนดต่อไปนี้:
ความยาวของเวกเตอร์ c เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ a และ b และไซน์ของมุม φ ระหว่างพวกมัน:
|ค|=|ก||ข|บาป φ;
เวกเตอร์ c ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b แต่ละตัว
เวกเตอร์ c ถูกกำกับเพื่อให้เวกเตอร์ abc สามตัวนั้นถูกต้อง
ในกรณีของสเปซ R7 จำเป็นต้องมีการเชื่อมโยงของเวกเตอร์สามตัว a,b,c
กำหนด:
ค===ก×ข

ข้าว. 1. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับโมดูลัสของผลิตภัณฑ์ข้าม

คุณสมบัติทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์ข้าม:
เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความสัมพันธ์เชิงเส้นของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวคือความเท่าเทียมกันของผลคูณเวกเตอร์ของพวกมันกับศูนย์

ข้ามโมดูลผลิตภัณฑ์ เท่ากับพื้นที่ สสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ลดลงเป็นจุดกำเนิดร่วมกัน กและ ข(ดูรูปที่ 1)

ถ้า อี- เวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับเวกเตอร์ กและ ขและเลือกเพื่อให้เป็นสาม ก ข อี- ใช่และ ส- พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้น (ลดลงเป็นจุดกำเนิดทั่วไป) จากนั้นสูตรต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
=เอส อี

รูปที่ 2 ปริมาตรของเส้นขนานเมื่อใช้เวกเตอร์และผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ เส้นประแสดงเส้นโครงของเวกเตอร์ c บน a × b และเวกเตอร์ a บน b × c ขั้นตอนแรกคือการหาผลคูณภายใน

ถ้า ค- เวกเตอร์ใดๆ π - ระนาบใด ๆ ที่มีเวกเตอร์นี้ อี- เวกเตอร์หน่วยที่อยู่ในระนาบ π และมุมฉากถึง ค,ก- เวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับระนาบ π และกำกับเพื่อให้เวกเตอร์สามตัว คลื่นไฟฟ้าหัวใจถูกต้องแล้วสำหรับการนอนในเครื่องบิน π เวกเตอร์ กสูตรที่ถูกต้องคือ:
=Pr e a |ค|ก
โดยที่ Pr e a คือการฉายภาพของเวกเตอร์ e ไปยัง a
|c|-โมดูลัสของเวกเตอร์ c

เมื่อใช้ผลคูณของเวกเตอร์และสเกลาร์ คุณสามารถคำนวณปริมาตรของผลคูณขนานที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ที่ลดลงจนเหลือจุดกำเนิดร่วมได้ ก ขและ ค. ผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์สามตัวนั้นเรียกว่าผสม
V=|ก (ข×ค)|
รูปนี้แสดงให้เห็นว่าสามารถหาปริมาตรนี้ได้สองวิธี: ผลลัพธ์ทางเรขาคณิตจะถูกรักษาไว้แม้ว่าผลคูณของ "สเกลาร์" และ "เวกเตอร์" จะสลับกัน:
V=a×b c=a b×c

ค่าของครอสโปรดัคขึ้นอยู่กับไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ดั้งเดิม ดังนั้นครอสโปรดักส์จึงถูกมองว่าเป็นดีกรีของ "ความตั้งฉาก" ของเวกเตอร์ เช่นเดียวกับที่ดอทโปรดัคคิดเป็นดีกรีของ "ความเท่าเทียม". ผลคูณของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยเท่ากับ 1 (เวกเตอร์หนึ่งหน่วย) ถ้าเวกเตอร์เริ่มต้นตั้งฉาก และเท่ากับ 0 (เวกเตอร์ศูนย์) ถ้าเวกเตอร์ขนานกันหรือตรงกันข้าม

การแสดงออกข้ามผลิตภัณฑ์ในพิกัดคาร์ทีเซียน
ถ้าเวกเตอร์สองตัว กและ ขถูกกำหนดโดยพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม หรือให้แม่นยำกว่านั้น พวกมันแสดงในรูปแบบออร์โทนอร์มัล
ก=(ก x ,ก y ,ก z)
b=(ขx ,ขย ,ขซ)
และระบบพิกัดถูกต้อง แล้วผลคูณเวกเตอร์ก็มีรูปแบบ
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y ข x)
ในการจำสูตรนี้:
i =∑ε ijk a j bk
ที่ไหน ε อิจ- สัญลักษณ์ของ Levi-Civita

ในบทเรียนนี้ เราจะดูการดำเนินการกับเวกเตอร์อีกสองรายการ: ผลคูณข้ามของเวกเตอร์และ ผลคูณของเวกเตอร์ (ลิงค์ทันทีสำหรับผู้ที่ต้องการ). ไม่เป็นไรบางครั้งมันก็เกิดขึ้นเพื่อความสุขที่สมบูรณ์นอกเหนือไปจาก ดอทโปรดัคของเวกเตอร์จำเป็นมากขึ้นเรื่อยๆ นั่นคือการติดเวกเตอร์ เราอาจรู้สึกว่าเรากำลังเข้าสู่ป่าแห่งเรขาคณิตวิเคราะห์ นี่เป็นสิ่งที่ผิด ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูงส่วนนี้ โดยทั่วไปมีฟืนเพียงเล็กน้อย ยกเว้นบางทีอาจเพียงพอสำหรับพิน็อคคิโอ ในความเป็นจริงเนื้อหาเป็นเรื่องธรรมดาและเรียบง่าย - แทบจะไม่ยากไปกว่าสิ่งเดียวกัน ผลิตภัณฑ์สเกลาร์แม้จะมีงานทั่วไปน้อยลงก็ตาม สิ่งสำคัญในเรขาคณิตวิเคราะห์อย่างที่หลาย ๆ คนจะเห็นหรือเคยเห็นแล้วคืออย่าทำการคำนวณผิด ทำซ้ำเหมือนต้องมนต์สะกด แล้วคุณจะมีความสุข =)

หากเวกเตอร์ส่องประกายในที่ห่างไกล เช่น ฟ้าแลบที่ขอบฟ้า ก็ไม่เป็นไร เริ่มบทเรียนได้เลย เวกเตอร์สำหรับหุ่นเพื่อฟื้นฟูหรือได้รับความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์อีกครั้ง ผู้อ่านที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถทำความคุ้นเคยกับข้อมูลโดยคัดเลือกฉันพยายามรวบรวมตัวอย่างที่สมบูรณ์ที่สุดซึ่งมักพบใน งานจริง

อะไรจะทำให้คุณมีความสุข? เมื่อฉันยังเด็ก ฉันสามารถปาลูกบอลสองหรือสามลูกได้ มันทำงานได้ดี ตอนนี้ไม่จำเป็นต้องเล่นกลเลยเนื่องจากเราจะพิจารณา เวกเตอร์อวกาศเท่านั้นและเวกเตอร์แฟลตที่มีสองพิกัดจะถูกตัดออก ทำไม นี่คือที่มาของการกระทำเหล่านี้ - เวกเตอร์และผลคูณของเวกเตอร์ถูกกำหนดและทำงานในพื้นที่สามมิติ ง่ายขึ้นแล้ว!

ในการดำเนินการนี้ เช่นเดียวกับในผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เวกเตอร์สองตัว. ปล่อยให้มันเป็นตัวอักษรที่ไม่มีวันตาย

การกระทำนั้นเอง แสดงด้วยวิธีการดังต่อไปนี้ . มีตัวเลือกอื่น แต่ฉันคุ้นเคยกับการกำหนดครอสโปรดัคของเวกเตอร์ด้วยวิธีนี้ ในวงเล็บเหลี่ยมที่มีเครื่องหมายกากบาท

และทันที คำถาม: ถ้าเข้า ดอทโปรดัคของเวกเตอร์เวกเตอร์สองตัวเกี่ยวข้องกัน และตรงนี้ เวกเตอร์สองตัวก็คูณด้วย อะไรคือความแตกต่าง? ความแตกต่างที่ชัดเจน ประการแรก ในผลลัพธ์:

ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์คือ NUMBER:

ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์ข้ามของเวกเตอร์คือเวกเตอร์: นั่นคือเราคูณเวกเตอร์และรับเวกเตอร์อีกครั้ง คลับปิด. ตามจริงแล้ว ชื่อว่าปฏิบัติการ. ในหลากหลาย วรรณกรรมเพื่อการศึกษาสัญกรณ์อาจแตกต่างกันไป ฉันจะใช้ตัวอักษร

ความหมายของผลิตภัณฑ์ข้าม

ก่อนอื่นจะมีคำจำกัดความพร้อมรูปภาพจากนั้นแสดงความคิดเห็น

คำนิยาม: สินค้าข้าม ไม่ใช่แนวร่วมเวกเตอร์ , ดำเนินการตามลำดับนี้เรียกว่าเวกเตอร์ ความยาวซึ่งเป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน, สร้างขึ้นจากเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์และกำกับเพื่อให้พื้นฐานมีทิศทางที่ถูกต้อง:

เราวิเคราะห์คำนิยามโดยกระดูก มีสิ่งที่น่าสนใจมากมาย!

ดังนั้นเราจึงสามารถเน้นประเด็นสำคัญต่อไปนี้:

1) เวกเตอร์แหล่งที่มา ระบุด้วยลูกศรสีแดงตามคำจำกัดความ ไม่เป็นเส้นตรง. มันจะเหมาะสมที่จะพิจารณากรณีของเวกเตอร์ collinear ในภายหลัง

2) ถ่ายเวกเตอร์ อย่างเคร่งครัด คำสั่งบางอย่าง : – "a" คูณด้วย "be"ไม่ใช่ "เป็น" เป็น "ก" ผลลัพธ์ของการคูณเวกเตอร์คือ VECTOR ซึ่งแสดงด้วยสีน้ำเงิน หากเวกเตอร์ถูกคูณในลำดับย้อนกลับ เราจะได้เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม (สีแดงเข้ม) นั่นคือความเท่าเทียมกัน .

3) ตอนนี้มาทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ นี่เป็นจุดที่สำคัญมาก! ความยาวของเวกเตอร์สีน้ำเงิน (และดังนั้น เวกเตอร์สีแดงเข้ม ) มีค่าเท่ากับ AREA ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ ในรูปนี้ สี่เหลี่ยมด้านขนานนี้แรเงาด้วยสีดำ

บันทึก : การวาดเป็นแผนผังและแน่นอนความยาวที่ระบุของผลิตภัณฑ์ข้ามไม่เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เราจำสูตรทางเรขาคณิตได้: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของด้านที่อยู่ติดกันและไซน์ของมุมระหว่างกัน. ดังนั้น จากที่กล่าวมาข้างต้น สูตรการคำนวณความยาวของผลคูณของเวกเตอร์จึงใช้ได้:

ฉันเน้นว่าในสูตรเรากำลังพูดถึงความยาวของเวกเตอร์และไม่เกี่ยวกับเวกเตอร์ ความหมายเชิงปฏิบัติคืออะไร? และความหมายก็คือในปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานมักพบผ่านแนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

เราได้สูตรสำคัญที่สอง เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เส้นประสีแดง) แบ่งมันออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากัน ดังนั้นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ (แรเงาสีแดง) สามารถพบได้ในสูตร:

4) ไม่ต่ำกว่า ความจริงที่สำคัญคือเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ นั่นคือ . แน่นอน เวกเตอร์ที่กำกับตรงกันข้าม (ลูกศรสีแดงเข้ม) ก็ตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมเช่นกัน

5) เวกเตอร์กำกับดังนั้น พื้นฐานมันมี ขวาปฐมนิเทศ. ในบทเรียนเกี่ยวกับ เปลี่ยนไปสู่พื้นฐานใหม่ฉันได้พูดในรายละเอียดเกี่ยวกับ การวางแนวระนาบและตอนนี้เราจะเข้าใจว่าการวางแนวของอวกาศคืออะไร ฉันจะอธิบายด้วยนิ้วของคุณ มือขวา. รวมจิตใจ นิ้วชี้ ด้วยเวกเตอร์และ นิ้วกลางด้วยเวกเตอร์ . นิ้วนางและนิ้วก้อยกดลงบนฝ่ามือของคุณ ผลที่ตามมา นิ้วหัวแม่มือ- ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะค้นหา นี่คือพื้นฐานเชิงขวา (ในรูป) ตอนนี้สลับเวกเตอร์ ( นิ้วชี้และนิ้วกลาง) ในบางแห่ง นิ้วหัวแม่มือจะหันกลับมา และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะมองลง นี่เป็นพื้นฐานที่มุ่งเน้นที่ถูกต้อง บางทีคุณอาจมีคำถาม: การวางแนวด้านซ้ายมีพื้นฐานอะไรบ้าง? "กำหนด" นิ้วเดียวกัน มือซ้ายเวกเตอร์ และได้รับการวางแนวด้านซ้ายและช่องว่างด้านซ้าย (ในกรณีนี้ นิ้วหัวแม่มือจะอยู่ในทิศทางของเวกเตอร์ล่าง). พูดโดยนัยว่าฐานเหล่านี้ "บิด" หรือปรับทิศทางพื้นที่ในทิศทางต่างๆ และแนวคิดนี้ไม่ควรถือเป็นสิ่งที่เกินจริงหรือเป็นนามธรรม - ตัวอย่างเช่น กระจกธรรมดาที่สุดจะเปลี่ยนทิศทางของพื้นที่ และถ้าคุณ "ดึงวัตถุที่สะท้อนออกมาจากกระจก" โดยทั่วไปแล้ว จะไม่สามารถ รวมกับ "ต้นฉบับ" โดยวิธีการนำสามนิ้วไปที่กระจกและวิเคราะห์การสะท้อน ;-)

... ดีแค่ไหนแล้วที่ตอนนี้คุณรู้เรื่องนี้แล้ว ไปทางขวาและซ้ายฐานเนื่องจากคำกล่าวของอาจารย์บางคนเกี่ยวกับการเปลี่ยนแนวนั้นแย่มาก =)

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์เชิงเส้น

คำจำกัดความได้รับการอธิบายอย่างละเอียดแล้ว ยังคงต้องหาว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน หากเวกเตอร์เป็นเส้นตรง พวกมันสามารถวางบนเส้นตรงหนึ่งเส้น และสี่เหลี่ยมด้านขนานของเราจะ "พับ" เป็นเส้นตรงเส้นเดียว พื้นที่ดังกล่าวตามที่นักคณิตศาสตร์กล่าวว่า เสื่อมสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นศูนย์ เหมือนกันตามสูตร - ไซน์ของศูนย์หรือ 180 องศาเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าพื้นที่เป็นศูนย์

ดังนั้น ถ้า , แล้ว และ . โปรดทราบว่าผลิตภัณฑ์ข้ามนั้นมีค่าเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ แต่ในทางปฏิบัติสิ่งนี้มักถูกละเลยและเขียนว่ามีค่าเท่ากับศูนย์ด้วย

กรณีพิเศษเป็นผลคูณของเวกเตอร์และตัวมันเอง:

เมื่อใช้ผลิตภัณฑ์ข้าม คุณสามารถตรวจสอบความสอดคล้องกันของเวกเตอร์สามมิติ และเราจะวิเคราะห์ปัญหานี้รวมถึงปัญหาอื่นๆ ด้วย

ในการแก้ปัญหาตัวอย่างที่ใช้งานได้จริงอาจจำเป็น ตารางตรีโกณมิติเพื่อหาค่าของไซน์จากมัน

มาจุดไฟกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 1

ก) ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ผลคูณของเวกเตอร์ ถ้า

b) ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ if

สารละลาย: ไม่ นี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด ฉันตั้งใจทำให้ข้อมูลเริ่มต้นในรายการเงื่อนไขเหมือนกัน เพราะการออกแบบโซลูชั่นจะแตกต่างกัน!

ก) ตามเงื่อนไข จำเป็นต้องค้นหา ความยาวเวกเตอร์ (ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์) ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

เนื่องจากถูกถามเกี่ยวกับความยาว เราจึงระบุมิติ - หน่วยในคำตอบ

b) ตามเงื่อนไข จำเป็นต้องค้นหา สี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้มีค่าเท่ากับความยาวของผลคูณไขว้:

คำตอบ:

โปรดทราบว่าในคำตอบเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่มีการพูดคุยเลย เราถูกถามเกี่ยวกับ พื้นที่รูปตามลำดับ มิติคือตารางหน่วย

เรามักจะมองหาสิ่งที่จำเป็นต้องพบตามเงื่อนไข และจากสิ่งนี้ เราจึงกำหนดขึ้น ชัดเจนคำตอบ. อาจดูเหมือนวรรณกรรม แต่มีนักเขียนวรรณกรรมเพียงพอในหมู่ครู และงานที่มีโอกาสดีจะถูกส่งกลับไปแก้ไข แม้ว่านี่จะไม่ใช่ nitpick ที่ทำให้เครียดโดยเฉพาะ - หากคำตอบไม่ถูกต้อง บุคคลนั้นจะได้รับความประทับใจว่าบุคคลนั้นไม่เข้าใจสิ่งง่ายๆ และ / หรือไม่เข้าใจสาระสำคัญของงาน ช่วงเวลานี้ควรอยู่ภายใต้การควบคุมเสมอ การแก้ปัญหาใด ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูง และในวิชาอื่น ๆ ด้วย

ตัวอักษรตัวใหญ่ "en" หายไปไหน? โดยหลักการแล้วฉันอาจติดอยู่กับโซลูชันเพิ่มเติม แต่ฉันไม่ได้ทำเพื่อบันทึกให้สั้นลง ฉันหวังว่าทุกคนจะเข้าใจสิ่งนั้นและเป็นการกำหนดของสิ่งเดียวกัน

ตัวอย่างยอดนิยมสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ if

สูตรสำหรับการค้นหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมผ่านผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มีให้ในความคิดเห็นของคำจำกัดความ เฉลยและเฉลยท้ายบทเรียน.

ในทางปฏิบัติงานเป็นเรื่องปกติมากโดยทั่วไปรูปสามเหลี่ยมสามารถถูกทรมานได้

ในการแก้ปัญหาอื่น ๆ เราต้องการ:

คุณสมบัติของผลคูณของเวกเตอร์

เราได้พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แล้ว อย่างไรก็ตาม ฉันจะรวมไว้ในรายการนี้

สำหรับเวกเตอร์ตามอำเภอใจและจำนวนตามอำเภอใจ คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง:

1) ในแหล่งข้อมูลอื่น รายการนี้มักจะไม่แตกต่างกันในคุณสมบัติ แต่มีความสำคัญมากในแง่ปฏิบัติ ช่างมันเถอะ

2) - คุณสมบัติที่กล่าวถึงข้างต้นบางครั้งเรียกว่า การต่อต้านการสับเปลี่ยน. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับของเวกเตอร์มีความสำคัญ

3) - การรวมกันหรือ เชื่อมโยงกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ค่าคงที่สามารถดึงออกมาจากขีดจำกัดของผลคูณเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย จริง ๆ พวกเขาไปทำอะไรที่นั่น?

4) - การกระจายหรือ การกระจายกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ไม่มีปัญหาในการเปิดวงเล็บเช่นกัน

เพื่อเป็นการสาธิต ลองพิจารณาตัวอย่างสั้นๆ:

ตัวอย่างที่ 3

หา

สารละลาย:ตามเงื่อนไข จำเป็นต้องหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์อีกครั้ง มาระบายสีของจิ๋วกันเถอะ:

(1) ตามกฎหมายที่เกี่ยวข้อง เราจะนำค่าคงที่ที่เกินขีดจำกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ออก

(2) เรานำค่าคงที่ออกจากโมดูล ในขณะที่โมดูล "กิน" เครื่องหมายลบ ความยาวไม่สามารถเป็นค่าลบได้

(3) สิ่งต่อไปนี้ชัดเจน

คำตอบ:

ได้เวลาโยนฟืนลงบนกองไฟ:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ ถ้า

สารละลาย: หาพื้นที่สามเหลี่ยมโดยใช้สูตร . อุปสรรค์คือเวกเตอร์ "ce" และ "te" นั้นแสดงเป็นผลรวมของเวกเตอร์ อัลกอริทึมที่นี่เป็นมาตรฐานและค่อนข้างชวนให้นึกถึงตัวอย่างหมายเลข 3 และ 4 ของบทเรียน ดอทโปรดัคของเวกเตอร์. ขอแบ่งออกเป็นสามขั้นตอนเพื่อความชัดเจน:

1) ในขั้นตอนแรก เราแสดงผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ผ่านผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ อันที่จริง แสดงเวกเตอร์ในรูปของเวกเตอร์. ยังไม่มีคำอธิบายความยาว!

(1) เราแทนนิพจน์ของเวกเตอร์

(2) ใช้กฎการกระจาย เราเปิดวงเล็บตามกฎการคูณของพหุนาม

(3) การใช้กฎหมายเชื่อมโยง เราจะเอาค่าคงที่ทั้งหมดนอกเหนือจากผลคูณของเวกเตอร์ออก ด้วยประสบการณ์เพียงเล็กน้อย การกระทำ 2 และ 3 สามารถทำได้พร้อมกัน

(4) พจน์แรกและพจน์สุดท้ายมีค่าเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์) เนื่องจากสมบัติที่น่าพอใจ ในเทอมที่สอง เราใช้คุณสมบัติต้านการสลับสับเปลี่ยนของผลคูณเวกเตอร์:

(5) เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน

เป็นผลให้เวกเตอร์แสดงออกมาผ่านเวกเตอร์ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องทำให้สำเร็จ:

2) ในขั้นตอนที่สอง เราจะหาความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่เราต้องการ การกระทำนี้คล้ายกับตัวอย่างที่ 3:

3) ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ต้องการ:

สามารถจัดเรียงขั้นตอนที่ 2-3 ของการแก้ปัญหาในบรรทัดเดียว

คำตอบ:

ปัญหาที่พบได้บ่อยใน ควบคุมการทำงานต่อไปนี้คือตัวอย่างโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 5

หา

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบท้ายบทเรียน มาดูกันว่าคุณตั้งใจเรียนแค่ไหนเมื่อศึกษาตัวอย่างก่อนหน้านี้ ;-)

ผลคูณของเวกเตอร์ในพิกัด

, กำหนดโดยวิธีออร์โทนอร์มัล , แสดงโดยสูตร:

สูตรนั้นง่ายมาก: เราเขียนเวกเตอร์พิกัดในบรรทัดบนสุดของดีเทอร์มีแนนต์ เรา "รวม" พิกัดของเวกเตอร์ในบรรทัดที่สองและสาม และเราใส่ อย่างเคร่งครัด- อันดับแรก พิกัดของเวกเตอร์ "ve" จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์ "double-ve" หากจำเป็นต้องคูณเวกเตอร์ในลำดับอื่น ก็ควรสลับเส้นด้วย:

ตัวอย่างที่ 10

ตรวจสอบว่าเวกเตอร์อวกาศต่อไปนี้เป็นแนวร่วมหรือไม่:
ก)
ข)

สารละลาย: การทดสอบขึ้นอยู่กับหนึ่งในข้อความในบทเรียนนี้: ถ้าเวกเตอร์เป็นเส้นตรง ผลคูณของพวกมันจะเป็นศูนย์ (เวกเตอร์เป็นศูนย์): .

ก) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

เวกเตอร์จึงไม่เรียงตัวกัน

b) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

คำตอบ: a) ไม่ collinear, b)

นี่อาจเป็นข้อมูลพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์

ส่วนนี้จะไม่ใหญ่มาก เนื่องจากมีปัญหาเล็กน้อยในการใช้ผลคูณของเวกเตอร์ อันที่จริงแล้ว ทุกอย่างจะขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ ความหมายทางเรขาคณิต และสูตรการทำงานสองสามสูตร

ผลคูณของเวกเตอร์คือ ผลิตภัณฑ์ของสามเวกเตอร์:

นี่คือวิธีที่พวกเขาเข้าแถวเหมือนรถไฟและรอ พวกเขาไม่สามารถรอจนกว่าจะมีการคำนวณ

ก่อนอื่นคำจำกัดความและรูปภาพ:

คำนิยาม: สินค้าคละกัน ไม่ใช่ระนาบเดียวกันเวกเตอร์ , ดำเนินการตามลำดับนี้, ถูกเรียก ปริมาณของขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์เหล่านี้ โดยมีเครื่องหมาย "+" หากพื้นฐานถูกต้อง และเครื่องหมาย "-" หากพื้นฐานอยู่ด้านซ้าย

มาวาดรูปกันเถอะ เส้นที่เรามองไม่เห็นนั้นวาดด้วยเส้นประ:

มาดูคำจำกัดความกัน:

2) ถ่ายเวกเตอร์ ในลำดับที่แน่นอนนั่นคือการเรียงสับเปลี่ยนของเวกเตอร์ในผลิตภัณฑ์อย่างที่คุณคาดเดาไม่ได้โดยไม่มีผล

3) ก่อนที่จะแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิต ฉันจะทราบข้อเท็จจริงที่ชัดเจน: ผลคูณของเวกเตอร์คือ NUMBER: . ในเอกสารการศึกษา การออกแบบอาจแตกต่างกันบ้าง ฉันเคยกำหนดผลิตภัณฑ์แบบผสมผ่าน และผลลัพธ์ของการคำนวณด้วยตัวอักษร "pe"

A-ไพรมารี ผลิตภัณฑ์ผสมคือปริมาตรของขนาน, สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ (ร่างถูกวาดด้วยเวกเตอร์สีแดงและเส้นสีดำ) นั่นคือ ตัวเลขเท่ากับปริมาตรของขนานที่กำหนด

บันทึก : ภาพวาดเป็นแผนผัง

4) ไม่ต้องกังวลกับแนวคิดการวางแนวของฐานและพื้นที่อีกต่อไป ความหมายของส่วนสุดท้ายคือสามารถเพิ่มเครื่องหมายลบลงในปริมาณได้ ด้วยคำพูดง่ายๆ, ผลิตภัณฑ์ผสมสามารถเป็นค่าลบได้: .

สูตรสำหรับการคำนวณปริมาตรของขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ดังต่อไปนี้โดยตรงจากคำจำกัดความ

มุมระหว่างเวกเตอร์

เพื่อให้เราแนะนำแนวคิดของผลิตภัณฑ์ข้ามของเวกเตอร์สองตัว ก่อนอื่นเราต้องจัดการกับแนวคิดเช่นมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้

ให้เราได้รับเวกเตอร์สองตัว $\overline(α)$ และ $\overline(β)$ ให้เราหาจุด $O$ ในอวกาศและแยกเวกเตอร์ $\overline(α)=\overline(OA)$ และ $\overline(β)=\overline(OB)$ ออกจากจุดนั้น แล้วมุม $AOB $ จะเรียกว่ามุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ (รูปที่ 1)

สัญลักษณ์: $∠(\overline(α),\overline(β))$

แนวคิดเกี่ยวกับผลคูณไขว้ของเวกเตอร์และสูตรการหา

คำจำกัดความ 1

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวคือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองที่ให้มา และความยาวของมันจะเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ และเวกเตอร์นี้ที่มีตัวเริ่มต้นสองตัวจะเท่ากัน การวางแนวเป็นระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

สัญกรณ์: $\overline(α)x\overline(β)$.

ในทางคณิตศาสตร์ดูเหมือนว่า:

$|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
$\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
$(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ และ $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ คือ เชิงเดียวกัน (รูปที่ 2)

แน่นอน ผลคูณภายนอกของเวกเตอร์จะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ในสองกรณี:

ถ้าความยาวของเวกเตอร์หนึ่งหรือทั้งสองเป็นศูนย์
ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับ $180^\circ$ หรือ $0^\circ$ (เพราะในกรณีนี้ ไซน์เท่ากับศูนย์)

หากต้องการดูอย่างชัดเจนว่าพบผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ได้อย่างไร ให้พิจารณาตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ $\overline(δ)$ ซึ่งจะเป็นผลจากผลคูณของเวกเตอร์ที่มีพิกัด $\overline(α)=(0,4,0)$ และ $\overline(β) =(3,0,0 )$.

สารละลาย.

ลองพรรณนาเวกเตอร์เหล่านี้ในปริภูมิพิกัดคาร์ทีเซียน (รูปที่ 3):

รูปที่ 3 เวกเตอร์ในปริภูมิพิกัดคาร์ทีเซียน Author24 - การแลกเปลี่ยนเอกสารของนักเรียนออนไลน์

เราเห็นว่าเวกเตอร์เหล่านี้อยู่บนแกน $Ox$ และ $Oy$ ตามลำดับ ดังนั้น มุมระหว่างมุมทั้งสองจะเท่ากับ $90^\circ$ ลองหาความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้กัน:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

จากนั้น ตามคำจำกัดความ 1 เราได้รับโมดูล $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

คำตอบ: $12$

การคำนวณผลคูณด้วยพิกัดของเวกเตอร์

นิยาม 1 บอกเป็นนัยถึงวิธีการค้นหาผลคูณของเวกเตอร์สองตัวในทันที เนื่องจากเวกเตอร์ นอกจากค่าแล้ว ยังมีทิศทางด้วย จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะค้นหาเวกเตอร์โดยใช้ค่าสเกลาร์เท่านั้น แต่นอกเหนือจากนั้น มีวิธีอื่นในการหาเวกเตอร์ที่กำหนดให้เราโดยใช้พิกัด

ให้เราได้รับเวกเตอร์ $\overline(α)$ และ $\overline(β)$ ซึ่งจะมีพิกัด $(α_1,α_2,α_3)$ และ $(β_1,β_2,β_3)$ ตามลำดับ จากนั้นเวกเตอร์ของผลิตภัณฑ์ข้าม (กล่าวคือพิกัด) สามารถพบได้ในสูตรต่อไปนี้:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

มิฉะนั้น เมื่อขยายดีเทอร์มีแนนต์ เราจะได้พิกัดต่อไปนี้

$\overline(α)x\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาเวกเตอร์ของครอสโปรดัคของเวกเตอร์คอลลิเนียร์ $\overline(α)$ และ $\overline(β)$ ด้วยพิกัด $(0,3,3)$ และ $(-1,2,6)$

สารละลาย.

ลองใช้สูตรด้านบน รับ

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$

คำตอบ: $(12,-3,3)$.

คุณสมบัติของผลคูณของเวกเตอร์

สำหรับการผสมเวกเตอร์สามตัวโดยพลการ $\overline(α)$, $\overline(β)$ และ $\overline(γ)$ รวมถึง $r∈R$ คุณสมบัติต่อไปนี้จะคงอยู่:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่จุดยอดมีพิกัด $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ and $(3,8,0) $.

สารละลาย.

ขั้นแรก วาดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในพื้นที่พิกัด (รูปที่ 5):

รูปที่ 5 สี่เหลี่ยมด้านขนานในพื้นที่พิกัด Author24 - การแลกเปลี่ยนเอกสารของนักเรียนออนไลน์

เราเห็นว่าด้านทั้งสองของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้สร้างโดยใช้เวกเตอร์คอลลิเนียร์ที่มีพิกัด $\overline(α)=(3,0,0)$ และ $\overline(β)=(0,8,0)$ เมื่อใช้คุณสมบัติที่สี่ เราได้รับ:

$S=|\โอเวอร์ไลน์(α)x\โอเวอร์ไลน์(β)|$

ค้นหาเวกเตอร์ $\overline(α)x\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

เพราะฉะนั้น

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

เป็นที่นิยมในหมวดหมู่: