Kenarları eşit olan üçgen piramit. Doğru piramidin ana özellikleri

Burada piramitler ve ilgili formüller ve kavramlar hakkında temel bilgiler toplanır. Hepsi sınava hazırlık olarak bir matematik öğretmeni ile çalışılır.

Bir düzlem, bir çokgen düşünün içinde yatan ve içinde olmayan bir S noktası. S'yi çokgenin tüm köşelerine bağlayın. Ortaya çıkan çokyüzlüye piramit denir. Segmentlere yan kenarlar denir. Çokgene taban denir ve S noktasına piramidin tepesi denir. n sayısına bağlı olarak piramit üçgen (n=3), dörtgen (n=4), beşgen (n=5) vb. olarak adlandırılır. Üçgen piramit için alternatif isim - dörtyüzlü. Bir piramidin yüksekliği, tepesinden taban düzlemine çizilen dikeydir.

Bir piramit, eğer doğruysa düzgün çokgen ve piramidin yüksekliğinin tabanı (dikeyin tabanı) merkezidir.

eğitmenin yorumu:
"Düzenli piramit" ve "düzenli tetrahedron" kavramlarını karıştırmayın. Sağdaki piramit yan kaburga mutlaka tabanın kenarlarına eşit değildir, ancak düzgün bir dörtyüzlüde kenarların 6 kenarının tümü eşittir. Bu onun tanımı. Eşitliğin çokgenin merkezi P'yi ima ettiğini kanıtlamak kolaydır. bir taban yüksekliğine sahip olduğundan, düzenli bir dörtyüzlü düzenli bir piramittir.

Apothem nedir?
Bir piramidin özü, yan yüzünün yüksekliğidir. Piramit düzenliyse, tüm apothemleri eşittir. Tersi doğru değil.

Terminolojisi hakkında matematik öğretmeni: piramitlerle çalışmanın %80'i iki tür üçgenle oluşturulmuştur:
1) Apothem SK ve yükseklik SP içeren
2) SA yan kenarını ve bunun PA izdüşümünü içeren

Bu üçgenlere referansları basitleştirmek için, bir matematik öğretmeninin bunlardan ilkini adlandırması daha uygundur. apothemik, ve ikinci kıyı şeridi. Ne yazık ki, bu terminolojiyi hiçbir ders kitabında bulamazsınız ve öğretmen tek taraflı olarak tanıtmak zorundadır.

Piramit hacim formülü:
1) , piramidin tabanının alanı nerede ve piramidin yüksekliği
2) yazılı kürenin yarıçapı ve piramidin toplam yüzey alanıdır.
3) , burada MN, herhangi iki kesişen kenarın mesafesidir ve kalan dört kenarın orta noktalarının oluşturduğu paralelkenarın alanıdır.

Piramit Yüksekliği Taban Özelliği:

Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa P noktası (şekle bakın), piramidin tabanındaki yazılı dairenin merkezi ile çakışır:
1) Tüm apothemler eşittir
2) Tüm yan yüzler tabana eşit olarak eğimlidir
3) Tüm apothemler, piramidin yüksekliğine eşit olarak eğimlidir.
4) Piramidin yüksekliği tüm yan yüzlere eşit eğimlidir.

Matematik öğretmeninin yorumu: tüm noktaların ortak bir özellik tarafından birleştirildiğine dikkat edin: öyle ya da böyle, yan yüzler her yerde yer alır (apothemler onların öğeleridir). Bu nedenle, öğretmen ezber için daha az kesin, ancak daha uygun bir formülasyon sunabilir: P noktası, yan yüzleri hakkında herhangi bir eşit bilgi varsa, yazılı dairenin merkezi, piramidin tabanı ile çakışır. Bunu kanıtlamak için, tüm apothemik üçgenlerin eşit olduğunu göstermek yeterlidir.

Üç koşuldan biri doğruysa, P noktası, piramidin tabanına yakın çevrelenmiş dairenin merkeziyle çakışır:
1) Tüm kenarlar eşittir
2) Tüm yan nervürler tabana doğru eşit eğimlidir
3) Tüm yan nervürler eşit yüksekliğe eğimlidir

• apothem- düzenli bir piramidin tepesinden çizilen yan yüzünün yüksekliği (ek olarak, apothem, normal bir çokgenin ortasından kenarlarının 1'ine indirilen dikeyin uzunluğudur);
• yan yüzler (ASB, BSC, CSD, DSA) - üstte birleşen üçgenler;
• yan kaburga ( GİBİ , BS , CS , DS ) - yan yüzlerin ortak tarafları;
• piramidin tepesi (vs) - yan kenarları birleştiren ve taban düzleminde yer almayan bir nokta;
• yükseklik ( BU YÜZDEN ) - piramidin tepesinden tabanının düzlemine çizilen dikey bir parça (böyle bir parçanın uçları piramidin tepesi ve dikeyin tabanı olacaktır);
• bir piramidin köşegen bölümü- piramidin tepeden ve tabanın köşegeninden geçen bölümü;
• temel (ABCD) piramidin tepesinin ait olmadığı bir çokgendir.

piramit özellikleri.

1. Tüm yan kenarlar aynı boyutta olduğunda:

• piramidin tabanına yakın bir yerde bir daire tanımlamak kolaydır, piramidin tepesi ise bu dairenin merkezine yansıtılacaktır;
• yan nervürler taban düzlemi ile eşit açılar oluşturur;
• ek olarak, sohbet de doğrudur, yani yan kenarlar taban düzlemi ile eşit açılar oluşturduğunda veya piramidin tabanına yakın bir daire tanımlanabildiğinde ve piramidin tepesi bu dairenin merkezine yansıtıldığında, piramidin tüm yan kenarları aynı beden.

2. Yan yüzler taban düzlemiyle aynı değerde bir eğim açısına sahip olduğunda, o zaman:

• piramidin tabanına yakın bir yerde bir daire tanımlamak kolaydır, piramidin tepesi ise bu dairenin merkezine yansıtılacaktır;
• yan yüzlerin yükseklikleri Eşit uzunluk;
• yan yüzeyin alanı, tabanın çevresi ile yan yüzün yüksekliğinin çarpımıdır.

3. Piramidin tabanı, çevresinde bir dairenin tanımlanabileceği bir çokgen ise (gerekli ve yeterli bir koşul), piramidin yakınında bir küre tanımlanabilir. Kürenin merkezi, piramidin kendilerine dik kenarlarının orta noktalarından geçen düzlemlerin kesişme noktası olacaktır. Bu teoremden, hem herhangi bir üçgenin hem de herhangi bir düzenli piramidin çevresinde bir kürenin tanımlanabileceği sonucuna varıyoruz.

4. Piramidin iç dihedral açılarının açıortay düzlemleri 1. noktada kesişiyorsa (gerekli ve yeterli bir koşul), bir piramidin içine bir küre çizilebilir. Bu nokta kürenin merkezi olacaktır.

En basit piramit.

Piramidin tabanının köşe sayısına göre üçgen, dörtgen vb.

Piramit olacak üçgensel, dörtgen, vb., piramidin tabanı bir üçgen, bir dörtgen vb. olduğunda. Üçgen piramit bir tetrahedrondur - bir tetrahedron. Dörtgen - beş yüzlü vb.

Video dersi 2: Piramit mücadelesi. Piramit Hacmi

Video dersi 3: Piramit mücadelesi. Doğru piramit

Ders: Piramit, tabanı, yan kenarları, yüksekliği, yan yüzeyi; Üçgen piramit; sağ piramit

Piramit- Bu, tabanında çokgen olan ve tüm yüzleri üçgenlerden oluşan üç boyutlu bir gövdedir.

Piramidin özel bir durumu, tabanında bir daire bulunan bir konidir.

Piramidin ana unsurlarını göz önünde bulundurun:

Apothem yan yüzün alt kenarının ortası ile piramidin tepesini birleştiren bir segmenttir. Başka bir deyişle, bu piramidin yüzünün yüksekliğidir.

Şekilde ADS, ABS, BCS, CDS üçgenlerini görebilirsiniz. İsimlere yakından bakarsanız, her üçgenin adında ortak bir harf olduğunu görebilirsiniz - S. Bu, tüm yan yüzlerin (üçgenlerin) piramidin tepesi olarak adlandırılan bir noktada birleştiği anlamına gelir.

Tepe noktasını tabanın köşegenlerinin kesişme noktasıyla birleştiren OS segmenti (üçgenler söz konusu olduğunda, yüksekliklerin kesişme noktasında) denir. piramit yüksekliği.

Çapraz bölüm, piramidin tepesinden ve tabanın köşegenlerinden birinden geçen bir düzlemdir.

Piramidin yan yüzeyi üçgenlerden oluştuğu için yan yüzeyin toplam alanını bulmak için her yüzün alanını bulup toplamak gerekir. Yüzlerin sayısı ve şekli, tabanda bulunan çokgenin kenarlarının şekline ve boyutuna bağlıdır.

Bir piramidin tepe noktası olmayan tek düzlemine ne denir? temel piramitler.

Şekilde, tabanın bir paralelkenar olduğunu görüyoruz, ancak herhangi bir çokgen olabilir.

Özellikler:

Aynı uzunlukta kenarları olan bir piramidin ilk durumunu düşünün:

• Böyle bir piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabilir. Böyle bir piramidin tepesini yansıtırsanız, izdüşümü dairenin merkezinde yer alacaktır.
• Piramidin tabanındaki açılar her yüz için aynıdır.
• Aynı zamanda, piramidin tabanı etrafında bir daire tarif edilebilmesi ve ayrıca tüm kenarların farklı uzunluklarda olması, yüzlerin tabanı ile her bir kenarı arasındaki açıların aynı kabul edilebilmesi için yeterli bir koşul olarak kabul edilebilir. .

Yan yüzler ile taban arasındaki açıların eşit olduğu bir piramit ile karşılaşırsanız, aşağıdaki özellikler doğrudur:

• Tepesi tam olarak merkeze yansıtılan piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlayabileceksiniz.
• Her bir yan yüze tabana kadar yükseklik çizerseniz, bunlar eşit uzunlukta olacaktır.
• Böyle bir piramidin yanal yüzey alanını bulmak için, tabanın çevresini bulmak ve bunu yüksekliğin yarısı ile çarpmak yeterlidir.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Piramit türleri.
• Piramidin tabanında hangi çokgenin bulunduğuna bağlı olarak, bunlar üçgen, dörtgen vb.

Düzenli üçgen piramit

Büyük Mısır piramitlerinin çok iyi farkındayız, herkes onların neye benzediğini hayal edebilir. Bu temsil, bu tür özellikleri anlamamıza yardımcı olacaktır. geometrik şekil bir piramit gibi.

Bir piramit, düz bir çokgenden - piramidin tabanı, tabanın düzleminde uzanmayan bir nokta - piramidin tepesi ve tepeyi tabanın noktalarına bağlayan tüm parçalardan oluşan bir çokyüzlüdür. Piramidin tepesini tabanın tepesiyle birleştiren parçalara yan kenarlar denir. Şek. Şekil 1, SABCD piramidini göstermektedir. ABCD dörtgeni piramidin tabanını, S noktası piramidin tepesini, SA, SB, SC ve SD segmentleri piramidin kenarlarıdır.

Piramidin yüksekliği, piramidin tepesinden taban düzlemine düşen dikeydir. Şek. 1 SO, piramidin yüksekliğidir.

Tabanı n-gon olan bir piramit n-gonal olarak adlandırılır. Şekil 1 dörtgen bir piramidi göstermektedir. Üçgen piramit tetrahedron olarak adlandırılır.

Tabanı düzgün bir çokgen ise ve yüksekliğin tabanı bu çokgenin merkeziyle çakışıyorsa, bir piramit düzenli olarak adlandırılır. Düzenli bir piramidin yan kenarları eşittir ve bu nedenle yan yüzler ikizkenar üçgenlerdir. Düzenli bir piramitte, piramidin tepesinden çizilen yan yüzün yüksekliğine apothem denir.

Piramidin bir dizi özelliği vardır.

Bir piramidin tüm köşegenleri yüzlerine aittir.

Tüm yan kenarlar eşitse, o zaman:

• piramidin tabanının yakınında bir daire tanımlanabilir ve piramidin tepesi merkezine yansıtılır;
• yan kenarlar taban düzlemi ile eşit açılar oluşturuyorsa ve bunun tersine, yan kenarlar taban düzlemi ile eşit açılar oluşturuyorsa veya piramidin tabanına yakın bir daire tanımlanabiliyorsa ve piramidin tepesi içine yansıtılıyorsa merkezi, o zaman piramidin tüm yan kenarları eşittir.

Yan yüzler taban düzlemine bir açıyla eğimliyse, o zaman:

• piramidin tabanına bir daire çizilebilir ve piramidin tepesi, merkezine yansıtılır;
• yan yüzlerin yükseklikleri eşittir;
• yan yüzeyin alanı, tabanın çevresi ile yan yüzün yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir.

Piramidin hacmini, yüzey alanını bulmak için formülleri düşünün.

Piramidin hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

burada S taban alanı ve h yüksekliktir.

Bir piramidin toplam yüzey alanını bulmak için aşağıdaki formülü kullanın:

S p \u003d S b + S o,

burada S p toplam yüzey alanı, S b yan yüzey alanı, S o taban alanıdır.

Kesik bir piramit, piramidin tabanı ile tabanına paralel bir kesme düzlemi arasında çevrelenmiş bir çokyüzlüdür. Paralel düzlemlerde uzanan kesik piramidin yüzlerine kesik piramidin tabanları, kalan yüzlere yan yüzler denir. Kesik bir piramidin tabanları benzer çokgenler, yan yüzleri yamuklardır. Düzenli bir piramitten elde edilen kesik bir piramit, düzenli kesik piramit olarak adlandırılır. Düzenli bir kesik yamuğun yan yüzleri eşit ikizkenar yamuklardır, yüksekliklerine apothem denir.

site, malzemenin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.