Piramit, taban yan nervür yüksekliği. Piramit

• apothem- düzenli bir piramidin tepesinden çizilen yan yüzünün yüksekliği (ek olarak, apothem, normal bir çokgenin ortasından kenarlarının 1'ine indirilen dikeyin uzunluğudur);
• yan yüzler (ASB, BSC, CSD, DSA) - üstte birleşen üçgenler;
• yan kaburga ( GİBİ , BS , CS , DS ) - yan yüzlerin ortak tarafları;
• piramidin tepesi (vs) - yan kenarları birleştiren ve taban düzleminde yer almayan bir nokta;
• yükseklik ( BU YÜZDEN ) - piramidin tepesinden tabanının düzlemine çizilen dikey bir parça (böyle bir parçanın uçları piramidin tepesi ve dikeyin tabanı olacaktır);
• bir piramidin köşegen bölümü- piramidin tepeden ve tabanın köşegeninden geçen bölümü;
• temel (ABCD) piramidin tepesinin ait olmadığı bir çokgendir.

piramit özellikleri.

1. Tüm yan kenarlar aynı boyutta olduğunda:

• piramidin tabanına yakın bir yerde bir daire tanımlamak kolaydır, piramidin tepesi ise bu dairenin merkezine yansıtılacaktır;
• yan nervürler taban düzlemi ile eşit açılar oluşturur;
• ek olarak, sohbet de doğrudur, yani yan kenarlar taban düzlemi ile eşit açılar oluşturduğunda veya piramidin tabanına yakın bir daire tanımlanabildiğinde ve piramidin tepesi bu dairenin merkezine yansıtıldığında, piramidin tüm yan kenarları aynı beden.

2. Yan yüzler taban düzlemiyle aynı değerde bir eğim açısına sahip olduğunda, o zaman:

• piramidin tabanına yakın bir yerde bir daire tanımlamak kolaydır, piramidin tepesi ise bu dairenin merkezine yansıtılacaktır;
• yan yüzlerin yükseklikleri Eşit uzunluk;
• yan yüzeyin alanı, tabanın çevresi ile yan yüzün yüksekliğinin çarpımıdır.

3. Piramidin tabanı, çevresinde bir dairenin tanımlanabileceği bir çokgen ise (gerekli ve yeterli bir koşul), piramidin yakınında bir küre tanımlanabilir. Kürenin merkezi, piramidin kendilerine dik kenarlarının orta noktalarından geçen düzlemlerin kesişme noktası olacaktır. Bu teoremden, herhangi bir üçgen hakkında olduğu gibi ve herhangi bir hakkında olduğu sonucuna varıyoruz. doğru piramit küre tarif edilebilir.

4. Piramidin iç dihedral açılarının açıortay düzlemleri 1. noktada kesişiyorsa (gerekli ve yeterli bir koşul), bir piramidin içine bir küre çizilebilir. Bu nokta kürenin merkezi olacaktır.

En basit piramit.

Piramidin tabanının köşe sayısına göre üçgen, dörtgen vb.

Piramit olacak üçgensel, dörtgen, vb., piramidin tabanı bir üçgen, bir dörtgen vb. olduğunda. Üçgen piramit bir tetrahedrondur - bir tetrahedron. Dörtgen - beş yüzlü vb.

Burada piramitler ve ilgili formüller ve kavramlar hakkında temel bilgiler toplanır. Hepsi sınava hazırlık olarak bir matematik öğretmeni ile çalışılır.

Bir düzlem, bir çokgen düşünün içinde yatan ve içinde olmayan bir S noktası. S'yi çokgenin tüm köşelerine bağlayın. Ortaya çıkan çokyüzlüye piramit denir. Segmentlere yan kenarlar denir. Çokgene taban denir ve S noktasına piramidin tepesi denir. n sayısına bağlı olarak piramit üçgen (n=3), dörtgen (n=4), beşgen (n=5) vb. olarak adlandırılır. Üçgen piramit için alternatif isim - dörtyüzlü. Bir piramidin yüksekliği, tepesinden taban düzlemine çizilen dikeydir.

Bir piramit, eğer doğruysa düzgün çokgen ve piramidin yüksekliğinin tabanı (dikeyin tabanı) merkezidir.

eğitmenin yorumu:
"Düzenli piramit" ve "düzenli tetrahedron" kavramlarını karıştırmayın. Düzenli bir piramitte, yan kenarların tabanın kenarlarına eşit olması gerekmez, ancak düzgün bir dörtyüzlüde, kenarların 6 kenarının tümü eşittir. Bu onun tanımı. Eşitliğin çokgenin merkezi P'yi ima ettiğini kanıtlamak kolaydır. bir taban yüksekliğine sahip olduğundan, düzenli bir dörtyüzlü düzenli bir piramittir.

Apothem nedir?
Bir piramidin özü, yan yüzünün yüksekliğidir. Piramit düzenliyse, tüm apothemleri eşittir. Tersi doğru değil.

Terminolojisi hakkında matematik öğretmeni: piramitlerle çalışmanın %80'i iki tür üçgenle oluşturulmuştur:
1) Apothem SK ve yükseklik SP içeren
2) SA yan kenarını ve bunun PA izdüşümünü içeren

Bu üçgenlere referansları basitleştirmek için, bir matematik öğretmeninin bunlardan ilkini adlandırması daha uygundur. apothemik, ve ikinci kıyı şeridi. Ne yazık ki, bu terminolojiyi hiçbir ders kitabında bulamazsınız ve öğretmen tek taraflı olarak tanıtmak zorundadır.

Piramit hacim formülü:
1) , piramidin tabanının alanı nerede ve piramidin yüksekliği
2) yazılı kürenin yarıçapı ve piramidin toplam yüzey alanıdır.
3) , burada MN, herhangi iki kesişen kenarın mesafesidir ve kalan dört kenarın orta noktalarının oluşturduğu paralelkenarın alanıdır.

Piramit Yüksekliği Taban Özelliği:

Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa P noktası (şekle bakın), piramidin tabanındaki yazılı dairenin merkezi ile çakışır:
1) Tüm apothemler eşittir
2) Tüm yan yüzler tabana eşit olarak eğimlidir
3) Tüm apothemler, piramidin yüksekliğine eşit olarak eğimlidir.
4) Piramidin yüksekliği tüm yan yüzlere eşit eğimlidir.

Matematik öğretmeninin yorumu: tüm noktaların ortak bir özellik tarafından birleştirildiğine dikkat edin: öyle ya da böyle, yan yüzler her yerde yer alır (apothemler onların öğeleridir). Bu nedenle, öğretmen ezber için daha az kesin, ancak daha uygun bir formülasyon sunabilir: P noktası, yan yüzleri hakkında herhangi bir eşit bilgi varsa, yazılı dairenin merkezi, piramidin tabanı ile çakışır. Bunu kanıtlamak için, tüm apothemik üçgenlerin eşit olduğunu göstermek yeterlidir.

Üç koşuldan biri doğruysa, P noktası, piramidin tabanına yakın çevrelenmiş dairenin merkeziyle çakışır:
1) Tüm kenarlar eşittir
2) Tüm yan nervürler tabana doğru eşit eğimlidir
3) Tüm yan nervürler eşit yüksekliğe eğimlidir

Video dersi 2: Piramit mücadelesi. Piramit Hacmi

Video dersi 3: Piramit mücadelesi. Doğru piramit

Ders: Piramit, tabanı, yan kenarları, yüksekliği, yan yüzeyi; Üçgen piramit; sağ piramit

Piramit- Bu, tabanında çokgen olan ve tüm yüzleri üçgenlerden oluşan üç boyutlu bir gövdedir.

Piramidin özel bir durumu, tabanında bir daire bulunan bir konidir.

Piramidin ana unsurlarını göz önünde bulundurun:

Apothem yan yüzün alt kenarının ortası ile piramidin tepesini birleştiren bir segmenttir. Başka bir deyişle, bu piramidin yüzünün yüksekliğidir.

Şekilde ADS, ABS, BCS, CDS üçgenlerini görebilirsiniz. İsimlere yakından bakarsanız, her üçgenin adında ortak bir harf olduğunu görebilirsiniz - S. Bu, tüm yan yüzlerin (üçgenlerin) piramidin tepesi olarak adlandırılan bir noktada birleştiği anlamına gelir.

Tepe noktasını tabanın köşegenlerinin kesişme noktasıyla birleştiren OS segmenti (üçgenler söz konusu olduğunda, yüksekliklerin kesişme noktasında) denir. piramit yüksekliği.

Çapraz bölüm, piramidin tepesinden ve tabanın köşegenlerinden birinden geçen bir düzlemdir.

Piramidin yan yüzeyi üçgenlerden oluştuğu için yan yüzeyin toplam alanını bulmak için her yüzün alanını bulup toplamak gerekir. Yüzlerin sayısı ve şekli, tabanda bulunan çokgenin kenarlarının şekline ve boyutuna bağlıdır.

Bir piramidin tepe noktası olmayan tek düzlemine ne denir? temel piramitler.

Şekilde, tabanın bir paralelkenar olduğunu görüyoruz, ancak herhangi bir çokgen olabilir.

Özellikler:

Aynı uzunlukta kenarları olan bir piramidin ilk durumunu düşünün:

• Böyle bir piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabilir. Böyle bir piramidin tepesini yansıtırsanız, izdüşümü dairenin merkezinde yer alacaktır.
• Piramidin tabanındaki açılar her yüz için aynıdır.
• Aynı zamanda, piramidin tabanı etrafında bir daire tarif edilebilmesi ve ayrıca tüm kenarların farklı uzunluklarda olması, yüzlerin tabanı ile her bir kenarı arasındaki açıların aynı kabul edilebilmesi için yeterli bir koşul olarak kabul edilebilir. .

Yan yüzler ile taban arasındaki açıların eşit olduğu bir piramit ile karşılaşırsanız, aşağıdaki özellikler doğrudur:

• Tepesi tam olarak merkeze yansıtılan piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlayabileceksiniz.
• Her bir yan yüze tabana kadar yükseklik çizerseniz, bunlar eşit uzunlukta olacaktır.
• Böyle bir piramidin yanal yüzey alanını bulmak için, tabanın çevresini bulmak ve bunu yüksekliğin yarısı ile çarpmak yeterlidir.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Piramit türleri.
• Piramidin tabanında hangi çokgenin bulunduğuna bağlı olarak, bunlar üçgen, dörtgen vb.

Düzenli üçgen piramit

Piramit Konsepti

tanım 1

geometrik şekil bir çokgenin oluşturduğu ve bu çokgeni içeren düzlemde yer almayan, çokgenin tüm köşelerine bağlı bir noktanın oluşturduğu piramit olarak adlandırılır (Şekil 1).

Piramidi oluşturan çokgene piramidin tabanı denir, nokta ile birleştirilerek elde edilen üçgenler piramidin yan yüzleridir, üçgenlerin kenarları piramidin kenarlarıdır ve hepsinin ortak noktasıdır. üçgenler piramidin tepesidir.

piramit türleri

Piramidin tabanındaki köşe sayısına bağlı olarak üçgen, dörtgen vb.

Şekil 2.

Başka bir piramit türü, düzenli bir piramittir.

Düzgün bir piramidin özelliğini tanıtalım ve kanıtlayalım.

teorem 1

Düzgün bir piramidin tüm yan yüzleri birbirine eşit ikizkenar üçgenlerdir.

Kanıt.

$S$ tepe noktası $h=SO$ yüksekliğinde olan düzenli bir $n-$gonal piramit düşünün. Tabanın etrafında bir daire çizelim (Res. 4).

Şekil 4

$SOA$ üçgenini ele alalım. Pisagor teoremi ile elde ederiz

Açıkçası, herhangi bir yan kenar bu şekilde tanımlanacaktır. Bu nedenle, tüm yan kenarlar birbirine eşittir, yani tüm yan yüzler ikizkenar üçgenlerdir. Birbirlerine eşit olduklarını kanıtlayalım. Tabanı düzgün çokgen olduğu için tüm yan yüzlerin tabanları birbirine eşittir. Sonuç olarak, tüm yan yüzler, üçgenlerin eşitlik III işaretine göre eşittir.

Teorem kanıtlanmıştır.

Şimdi düzenli piramit kavramıyla ilgili aşağıdaki tanımı sunuyoruz.

Tanım 3

Düzenli bir piramidin özü, yan yüzünün yüksekliğidir.

Açıkçası, Teorem 1'e göre, tüm apothemler eşittir.

teorem 2

Düzenli bir piramidin yanal yüzey alanı, tabanın yarı çevresinin ve apothemin ürünü olarak tanımlanır.

Kanıt.

$n-$kömür piramidinin tabanının kenarını $a$ ve apothemi $d$ olarak gösterelim. Bu nedenle, yan yüzün alanı eşittir

Teorem 1'e göre tüm kenarlar eşit olduğundan, o zaman

Teorem kanıtlanmıştır.

Başka bir piramit türü de tepesi kesik piramittir.

Tanım 4

Sıradan bir piramit içinden tabanına paralel bir düzlem çizilirse, bu düzlem ile tabanın düzlemi arasında oluşan şekle kesik piramit denir (Şekil 5).

Şekil 5. Tepesi kesik piramit

Kesik piramidin yan yüzleri yamuktur.

teorem 3

Düzenli bir kesik piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanların yarı çevrelerinin toplamının ve apothemin ürünü olarak tanımlanır.

Kanıt.

$n-$kömür piramidinin tabanlarının kenarlarını sırasıyla $a\ ve\b$ ile ve apothemi $d$ ile gösterelim. Bu nedenle, yan yüzün alanı eşittir

Tüm kenarlar eşit olduğundan, o zaman

Teorem kanıtlanmıştır.

Görev örneği

örnek 1

Taban tarafı 4 ve apothem 5 olan normal bir piramitten yan yüzlerin orta hattından geçen bir düzlemle kesilerek elde ediliyorsa, kesik bir üçgen piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.

Çözüm.

Medyan çizgi teoremine göre, tepesi kesik piramidin üst tabanının $4\cdot \frac(1)(2)=2$ ve apothemin $5\cdot \frac(1)( 2)=2.5$.

Sonra, Teorem 3'e göre,