Dik üçgen formülündeki yazılı dairenin yarıçapı. Düzgün çokgenlerin yazılı ve çevrelenmiş çemberlerinin yarıçapları için formüller

Çoğu zaman, geometrik problemleri çözerken, yardımcı figürlerle eylemler gerçekleştirmeniz gerekir. Örneğin, çevrelenmiş veya çevrelenmiş bir dairenin vb. yarıçapını bulun. Bu makale size bir üçgeni çevreleyen bir dairenin yarıçapını nasıl bulacağınızı gösterecek. Veya başka bir deyişle, üçgenin çizildiği dairenin yarıçapı.

Bir üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı nasıl bulunur - genel formül

Genel formül aşağıdaki gibidir: R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), burada R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır, p, üçgenin çevresinin 2'ye bölümüdür (yarım çevre). a, b, c üçgenin kenarlarıdır.

a = 3, b = 6, c = 7 ise üçgenin çevrel çemberinin yarıçapını bulun.

Böylece, yukarıdaki formüle dayanarak yarı çevreyi hesaplıyoruz:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Formüldeki değerleri değiştirin ve şunu elde edin:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Cevap: R = 126/16√5

Bir eşkenar üçgenin çevrelediği çemberin yarıçapı nasıl bulunur?

Bir eşkenar üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını bulmak için, oldukça basit formül: R = a/√3, burada a, kenarının değeridir.

Örnek: Bir eşkenar üçgenin kenarı 5'tir. Çevrel çemberin yarıçapını bulunuz.

Bir eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit olduğundan, sorunu çözmek için formüle değerini girmeniz yeterlidir. Şunu elde ederiz: R = 5/√3.

Cevap: R = 5/√3.

Bir dik üçgenin çevrelediği çemberin yarıçapı nasıl bulunur?

Formül şöyle görünür: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, burada a ve b bacaklardır ve c hipotenüstür. Bir dik üçgende bacakların karelerini toplarsak hipotenüsün karesini buluruz. Formülden de görülebileceği gibi bu ifade kökün altındadır. Hipotenüsün karesinin kökünü hesaplayarak uzunluğu elde ederiz. Ortaya çıkan ifadeyi 1/2 ile çarpmak sonunda bizi 1/2 × c = c/2 ifadesine götürür.

Örnek: Üçgenin bacakları 3 ve 4 ise, çevrelenmiş dairenin yarıçapını hesaplayın. Değerleri formülde değiştirin. Şunu elde ederiz: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

Bu ifadede 5, hipotenüsün uzunluğudur.

Cevap: R = 2.5.

Bir ikizkenar üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur

Formül şöyle görünür: R = a² / √ (4a² - b²), burada a, üçgenin uyluğunun uzunluğu ve b, tabanın uzunluğudur.

Örnek: Kalçası = 7 ve tabanı = 8 ise dairenin yarıçapını hesaplayın.

Çözüm: Bu değerleri formülde değiştiriyoruz ve şunu elde ediyoruz: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R = 49/√(196 - 64) = 49/√132. Cevap doğrudan bu şekilde yazılabilir.

Cevap: R = 49/√132

Çemberin Yarıçapını Hesaplamak İçin Çevrimiçi Kaynaklar

Tüm bu formüllerde kafa karıştırmak çok kolaydır. Bu nedenle, gerekirse kullanabilirsiniz çevrimiçi hesap makineleri, yarıçapı bulma ile ilgili sorunları çözmenize yardımcı olacaktır. Bu tür mini programların çalışma prensibi çok basittir. Tarafın değerini uygun alana yerleştirin ve hazır bir cevap alın. Yanıtı yuvarlamak için birkaç seçenek belirleyebilirsiniz: ondalık sayılara, yüzde birliğe, binde bire vb.

Bir üçgenin içine yazılmış daire

Bir üçgenin içine yazılmış bir dairenin varlığı

tanımı hatırla açıortay .

tanım 1 .açıortay açıyı iki eşit parçaya bölen ışına denir.

teorem 1 (Açıortayın temel özelliği) . Açıortayın her noktası, açının kenarlarından aynı uzaklıkta bulunur (Şekil 1).

Pirinç. 1

Kanıt D açıortay üzerinde yatanBAK , Ve Almanya Ve D.F. köşenin kenarlarında (Şek. 1).dik üçgenler ADF Ve ADE eşit çünkü aynı keskin açılara sahiplerDAF Ve DAE ve hipotenüs AD - genel. Buradan,

D.F. = D.E.

Q.E.D.

Teorem 2 (Teorem 1'in ters teoremi) . Eğer bazı , o zaman açıortay üzerinde yer alır (Şek. 2).

Pirinç. 2

Kanıt . Keyfi bir nokta düşününD köşede yatanBAK ve köşe kenarlarından aynı uzaklıkta bulunur. Noktadan bırakD dikeyler Almanya Ve D.F. köşenin kenarlarında (Şek. 2).dik üçgenler ADF Ve ADE eşit , eşit bacaklara sahip olduklarındanD.F. Ve Almanya ve hipotenüs AD - genel. Buradan,

Q.E.D.

Tanım 2 . daire denir bir açıyla yazılmış daire eğer bu açının kenarlarıysa.

teorem 3 . Bir daire bir açıyla çizilirse, açının tepesinden dairenin açının kenarlarıyla temas noktalarına olan mesafeler eşittir.

Kanıt . nokta olsun D bir açıyla yazılmış bir dairenin merkezidirBAK ve noktalar E Ve F - dairenin köşenin kenarlarıyla temas noktaları (Şek. 3).

Şek. 3

A , B , C - bir üçgenin kenarları
 S -kare,

R – yazılı dairenin yarıçapı,
 P - yarı çevre

.

Formül çıktısını görüntüle

A – bir ikizkenar üçgenin yan tarafı , 
 B - temel, R – yazılı daire yarıçapı

A R – yazılı daire yarıçapı

Formül çıktısını görüntüle

,

Nerede

,

sonra, bir ikizkenar üçgen durumunda, ne zaman

alırız

gerekli olan da buydu.

teorem 7 . eşitlik için

Nerede A - bir eşkenar üçgenin kenarıR – yazılı dairenin yarıçapı (Şek. 8).

Pirinç. 8

Kanıt .

,

sonra, bir eşkenar üçgen durumunda, ne zaman

b=a,

alırız

gerekli olan da buydu.

Yorum . Doğrudan bir eşkenar üçgene çizili bir dairenin yarıçapı formülünü bir alıştırma olarak türetmenizi öneririm, yani rastgele bir üçgene veya bir ikizkenar üçgene çizilmiş dairelerin yarıçapları için genel formüller kullanmadan.

teorem 8 . Bir dik üçgen için eşitlik

Nerede A , B - dik üçgenin bacakları, C – hipotenüs , R – yazılı dairenin yarıçapı.

Kanıt . Şekil 9'u düşünün.

Pirinç. 9

Dörtgen olduğundanCDOF dır-dir bitişik kenarları olanYAPMAK Ve İLE İLGİLİ eşittir, o zaman bu dikdörtgen . Buradan,

CB \u003d CF \u003d r,

Teorem 3 sayesinde, eşitlikler

Bu nedenle, ayrıca dikkate alarak, elde ederiz

gerekli olan da buydu.

"Üçgenin içine yazılmış bir daire" konulu bir dizi görev.

1.

Bir ikizkenar üçgen içine çizilmiş bir daire, kenarlardan birini temas noktasında, tabanın karşısındaki tepe noktasından itibaren uzunlukları 5 ve 3'e eşit olan iki parçaya ayırır. Üçgenin çevresini bulun.

2.

3

İÇİNDE ABC üçgeni AC=4, BC=3, C açısı 90º'dir. Yazılı dairenin yarıçapını bulun.

4.

Bir ikizkenar dik üçgenin bacakları 2+'dir. Bu üçgende yazılı dairenin yarıçapını bulun.

5.

İkizkenar içine çizilmiş bir dairenin yarıçapı sağ üçgen, eşittir 2. Bu üçgenin hipotenüs c'sini bulun. Cevabınıza c(-1) yazın.

İşte sınavdan çözümleri olan bir dizi görev.

Bir ikizkenar dik üçgen içine çizili çemberin yarıçapı dır. Bu üçgenin hipotenüs c'sini bulun. Lütfen cevabınızda belirtiniz.

Üçgen dik ve ikizkenar. Yani bacakları aynı. Her bacak eşit olsun. O zaman hipotenüs.

ABC üçgeninin alanını iki şekilde yazıyoruz:

Bu ifadeleri eşitleyerek şunu elde ederiz:. Çünkü, anladık. Daha sonra.

Cevap olarak yaz.

Cevap:.

Görev 2.

1. Herhangi iki kenarda 10cm ve 6cm (AB ve BC). Sınırlı ve yazılı dairelerin yarıçaplarını bulun
Sorun, yorum yaparak bağımsız olarak çözülür.

Çözüm:

İÇİNDE.

1) Bul:
2) Kanıtlayın:ve CK'yi bul
3) Bulun: çevrelenmiş ve yazılı çemberlerin yarıçapları

Çözüm:

Görev 6.

R bir karenin içine çizili dairenin yarıçapı. Bu karenin çevresine çizilen çemberin yarıçapını bulunuz.verilen :

Bulmak: işletim sistemi=?
Çözüm: V bu durum sorun, Pisagor teoremi veya R formülü kullanılarak çözülebilir. İkinci durum daha basittir, çünkü R formülü teoremden türetilmiştir.

Görev 7.

Bir ikizkenar dik üçgen içine çizili çemberin yarıçapı 2'dir. Hipotenüsü bulunİle bu üçgen Lütfen cevabınızda belirtiniz.

S üçgenin alanıdır

Üçgenin kenarlarını da, alanını da bilmiyoruz. Bacakları x olarak gösterelim, o zaman hipotenüs şuna eşit olacaktır:

Üçgenin alanı 0,5x olacaktır 2 .

Araç

Yani hipotenüs şöyle olacaktır:

Cevap yazılmalıdır:

Cevap: 4

Görev 8.

ABC üçgeninde, AC = 4, BC = 3, açı C 90 0'a eşittir. Yazılı dairenin yarıçapını bulun.

Üçgenin içine çizilen dairenin yarıçapı için formülü kullanalım:

burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır

S üçgenin alanıdır

İki taraf biliniyor (bunlar bacaklar), üçüncüyü (hipotenüs) hesaplayabiliriz, alanı da hesaplayabiliriz.

Pisagor teoremine göre:

alanını bulalım:

Böylece:

Cevap 1

Görev 9.

Bir ikizkenar üçgenin kenarları 5, tabanı 6'dır. Yazılı dairenin yarıçapını bulun.

Üçgenin içine çizilen dairenin yarıçapı için formülü kullanalım:

burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır

S üçgenin alanıdır

Tüm kenarlar bilinir ve alan hesaplanır. Heron formülünü kullanarak bulabiliriz:

Daha sonra

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya belirli bir kişiyle iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamızı ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemizi sağlar.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlar için de kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara ifşa

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü taraflara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekli olması durumunda - yasaya, adli düzene uygun olarak, yasal işlemlerde ve / veya kamu taleplerine veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarından gelen taleplere dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için bu tür bir ifşanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek, sizinle ilgili bilgileri de ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefe aktarabiliriz.

kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değiştirme ve imhaya karşı korumak için - idari, teknik ve fiziksel önlemler dahil - önlemler alıyoruz.

Gizliliğinizi şirket düzeyinde korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, gizlilik ve güvenlik uygulamalarını çalışanlarımıza iletiyoruz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Bir eşkenar dörtgen, tüm kenarları eşit olan bir paralelkenardır. Bu nedenle, bir paralelkenarın tüm özelliklerini miras alır. Yani:

• Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri karşılıklı olarak diktir.
• Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri, iç açılarının açıortaylarıdır.

Bir dörtgene ancak ve ancak karşılıklı kenarların toplamları eşitse bir daire çizilebilir.
Bu nedenle, herhangi bir eşkenar dörtgen içine bir daire yazılabilir. Yazılı dairenin merkezi, eşkenar dörtgenin köşegenlerinin kesişme merkezi ile çakışıyor.
Bir eşkenar dörtgendeki yazılı bir dairenin yarıçapı birkaç şekilde ifade edilebilir.

1 yol. Yükseklik boyunca bir eşkenar dörtgen içindeki yazılı dairenin yarıçapı

Bir eşkenar dörtgenin yüksekliği, yazılı dairenin çapına eşittir. Bu, yazılı dairenin çapı ve eşkenar dörtgenin yüksekliği tarafından oluşturulan bir dikdörtgenin özelliğinden kaynaklanır - dikdörtgenin karşıt kenarları eşittir.

Bu nedenle, yükseklikten geçen bir eşkenar dörtgen içindeki yazılı dairenin yarıçapı için formül:

2 yol. Köşegenler boyunca bir eşkenar dörtgen içindeki yazılı bir dairenin yarıçapı

Bir eşkenar dörtgenin alanı, yazılı dairenin yarıçapı cinsinden ifade edilebilir.
, Nerede R eşkenar dörtgenin çevresidir. Çevrenin bir dörtgenin tüm kenarlarının toplamı olduğunu bilerek, P= 4×ha. Daha sonra
Ancak bir eşkenar dörtgenin alanı da köşegenlerinin çarpımının yarısıdır.
Alan formüllerinin doğru kısımlarını eşitleyerek aşağıdaki eşitliği elde ederiz.
Sonuç olarak, bir eşkenar dörtgendeki yazılı dairenin yarıçapını köşegenlerden hesaplamamızı sağlayan bir formül elde ederiz.

Köşegenler biliniyorsa eşkenar dörtgen içine çizilmiş bir dairenin yarıçapını hesaplamaya bir örnek
Köşegenlerin uzunluğunun 30 cm ve 40 cm olduğu biliniyorsa, eşkenar dörtgen içine çizilmiş bir dairenin yarıçapını bulun.
İzin vermek ABCD- eşkenar dörtgen, o zaman AC Ve BD köşegenleri. AC= 30cm , B.D.=40cm
nokta olsun HAKKINDA eşkenar dörtgende yazılı olanın merkezidir ABCD daire, o zaman aynı zamanda köşegenlerinin kesişme noktası olacak ve onları ikiye bölecektir.


Eşkenar dörtgenin köşegenleri dik açılarda kesiştiğinden, o zaman üçgen AOB dikdörtgen. O zaman Pisagor teoremi ile
, daha önce elde edilen değerleri formüle koyarız

AB= 25cm
Çevrelenmiş dairenin yarıçapı için daha önce türetilmiş formülü bir eşkenar dörtgene uygulayarak, şunu elde ederiz:

3 yol. Eşkenar dörtgendeki yazılı dairenin m ve n segmentleri boyunca yarıçapı

Nokta F- dairenin eşkenar dörtgenin kenarı ile temas noktası, onu parçalara böler AF Ve erkek arkadaş. İzin vermek AF=m, BF=n.
Nokta Ö- eşkenar dörtgenin köşegenlerinin kesişme merkezi ve içine yazılan dairenin merkezi.
Üçgen AOB- dikdörtgen, eşkenar dörtgenin köşegenleri dik açılarda kesiştiği için.
, Çünkü çemberin teğet noktasına çizilen yarıçaptır. Buradan İLE İLGİLİ- üçgenin yüksekliği AOB hipotenüse. Daha sonra AF Ve erkek arkadaş bacakların hipotenüs üzerindeki izdüşümleri.
Hipotenüse düşen bir dik üçgendeki yükseklik, bacakların hipotenüs üzerindeki izdüşümleri arasındaki ortalama orantılıdır.

Parçalardan geçen bir eşkenar dörtgendeki yazılı bir dairenin yarıçapının formülü, eşkenar dörtgenin kenarının dairenin teğet noktasıyla bölündüğü bu bölümlerin çarpımının kareköküne eşittir.

Çemberin yarıçapı nasıl bulunur? Bu soru her zaman planimetri okuyan okul çocukları için geçerlidir. Aşağıda, görevle nasıl başa çıkabileceğinize dair birkaç örneğe bakacağız.

Problemin durumuna göre çemberin yarıçapını bu şekilde bulabilirsiniz.

Formül 1: R \u003d L / 2π, burada L ve π 3.141'e eşit bir sabittir ...

Formül 2: R = √(S / π), burada S dairenin alanıdır.

Formül 1: R = B/2, burada B hipotenüstür.

Formül 2: R \u003d M * B, burada B hipotenüs ve M ona çizilen medyandır.

Düzgün bir çokgenin çevrelediği bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur?

Formül: R \u003d A / (2 * sin (360 / (2 * n))), burada A, şeklin kenarlarından birinin uzunluğu ve n, bu geometrik şekildeki kenar sayısıdır.

Yazılı bir çemberin yarıçapı nasıl bulunur?

Çokgenin tüm kenarlarına değdiğinde yazılı daire denir. Birkaç örneğe bakalım.

Formül 1: R \u003d S / (P / 2), burada - S ve P, sırasıyla şeklin alanı ve çevresidir.

Formül 2: R \u003d (P / 2 - A) * tg (a / 2), burada P çevre, A kenarlardan birinin uzunluğu ve bu tarafın karşısındaki açıdır.

Bir dik üçgende yazılmışsa bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur?

formül 1:

Bir eşkenar dörtgen içine yazılmış bir dairenin yarıçapı

Hem eşkenar hem de eşkenar olmayan herhangi bir eşkenar dörtgene bir daire çizilebilir.

Formül 1: R \u003d 2 * H, burada H, geometrik şeklin yüksekliğidir.

Formül 2: R \u003d S / (A * 2), burada S ve A, kenarının uzunluğudur.

Formül 3: R \u003d √ ((S * sin A) / 4), burada S eşkenar dörtgenin alanıdır ve günah A sinüstür dar açı bu geometrik şekil

Formül 4: R \u003d V * G / (√ (V² + G²), burada V ve G, geometrik bir şeklin köşegenlerinin uzunluklarıdır.

Formül 5: R = B * sin (A / 2), burada B, eşkenar dörtgenin köşegenidir ve A, köşegeni birleştiren köşelerdeki açıdır.

Üçgenin içine yazılmış bir dairenin yarıçapı

Problemin durumunda, şeklin tüm kenarlarının uzunluklarının size verilmesi durumunda, önce hesaplayın (P), sonra yarı çevre (p):

P \u003d A + B + C, burada A, B, C, geometrik şeklin kenarlarının uzunluklarıdır.

Formül 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

Ve aynı üç kenarı da biliyorsanız, o zaman istenen yarıçapı aşağıdaki gibi hesaplayabilirsiniz.

Formül 2: R = S * 2(A + B + C)

Formül 3: R \u003d S / p \u003d S / (A + B + C) / 2), burada - p, geometrik şeklin yarı çevresidir.

Formül 4: R \u003d (n - A) * tg (A / 2), burada n üçgenin yarı çevresidir, A kenarlarından biridir ve tg (A / 2) yarının tanjantıdır. bu kenarın karşısındaki açı.

Ve aşağıdaki formül, içine yazılan dairenin yarıçapını bulmanıza yardımcı olacaktır.

Formül 5: R \u003d A * √3/6.

Dik üçgen içine alınmış bir dairenin yarıçapı

Probleme bacakların uzunlukları ve hipotenüs verilirse, yazılı dairenin yarıçapı aşağıdaki gibi bulunur.

Formül 1: R \u003d (A + B-C) ​​​​ / 2, burada A, B bacaklardır, C hipotenüstür.

Size sadece iki bacak verilmesi durumunda, hipotenüsü bulmak ve yukarıdaki formülü kullanmak için Pisagor teoremini hatırlamanın zamanı geldi.

C \u003d √ (A² + B²).

Bir kare içinde yazılı bir dairenin yarıçapı

Karenin içine çizilmiş daire, 4 kenarını da temas noktalarında tam olarak ikiye böler.

Formül 1: R \u003d A / 2, burada A, karenin kenarının uzunluğudur.

Formül 2: R \u003d S / (P / 2), burada S ve P sırasıyla karenin alanı ve çevresidir.