0'ın doğal logaritması eşittir. logaritma

Logaritma nedir?

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Kesinlikle "çok değil ..." olanlar için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

Logaritma nedir? Logaritmalar nasıl çözülür? Bu sorular birçok mezunun kafasını karıştırıyor. Geleneksel olarak, logaritma konusu karmaşık, anlaşılmaz ve korkutucu kabul edilir. Özellikle - logaritma içeren denklemler.

Bu kesinlikle doğru değil. Kesinlikle! İnanmıyor musun? İyi. Şimdi, yaklaşık 10 - 20 dakika boyunca:

1. Anlayın logaritma nedir.

2. Bütün bir üstel denklem sınıfını çözmeyi öğrenin. Onları duymamış olsanız bile.

3. Basit logaritma hesaplamayı öğrenin.

Üstelik bunun için sadece çarpım tablosunu ve bir sayının nasıl bir kuvvete yükseltildiğini bilmeniz yeterli olacak...

Şüphelendiğini hissediyorum ... Pekala, zaman ayır! Gitmek!

Öncelikle aşağıdaki denklemi aklınızdan çözün:

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

b sayısının a tabanına göre logaritması, b sayısını elde etmek için a sayısını yükseltmeniz gereken üsdür.

Eğer , o zaman .

Logaritma son derece önemli matematiksel nicelik, logaritmik hesap yalnızca çözmeye izin vermediği için üstel denklemler, aynı zamanda göstergelerle çalışır, üstel ve logaritmik fonksiyonları ayırt eder, entegre eder ve hesaplanması için daha kabul edilebilir bir forma götürür.

Temas halinde

Logaritmaların tüm özellikleri doğrudan özelliklerle ilgilidir. üstel fonksiyonlar. Örneğin, şu gerçeği anlamına gelir:

Belirli problemleri çözerken, logaritmaların özelliklerinin kuvvetlerle çalışma kurallarından daha önemli ve yararlı olabileceğine dikkat edilmelidir.

İşte bazı kimlikler:

Başlıca cebirsel ifadeler şunlardır:

;

.

Dikkat! sadece x>0, x≠1, y>0 için var olabilir.

Doğal logaritmaların ne olduğu sorusunu anlamaya çalışalım. Matematiğe ayrı ilgi iki türü temsil eder- ilkinin tabanında "10" rakamı vardır ve " ondalık logaritma". İkincisine doğal denir. Doğal logaritmanın tabanı e sayısıdır. Bu yazıda ayrıntılı olarak konuşacağımız şey onun hakkında.

Tanımlar:

• lg x - ondalık;
• ln x - doğal.

Özdeşliği kullanarak, ln e = 1'in yanı sıra lg 10=1 olduğunu görebiliriz.

doğal günlük grafiği

Doğal logaritmanın bir grafiğini standart klasik şekilde noktalarla oluşturuyoruz. Dilerseniz fonksiyonu inceleyerek doğru bir fonksiyon oluşturup oluşturmadığımızı kontrol edebilirsiniz. Bununla birlikte, logaritmanın nasıl doğru bir şekilde hesaplanacağını bilmek için onu "manuel olarak" nasıl oluşturacağınızı öğrenmek mantıklıdır.

fonksiyon: y = günlük x. Grafiğin içinden geçeceği noktalar tablosunu yazalım:

X argümanının neden bu tür değerleri seçtiğimizi açıklayalım. Her şey kimlikle ilgili: Doğal bir logaritma için bu kimlik şöyle görünecektir:

Kolaylık sağlamak için beş referans noktası alabiliriz:

;

;

.

;

.

Bu nedenle, doğal logaritmaların sayılması oldukça basit bir iştir, üstelik, üslü işlemlerin hesaplanmasını basitleştirir, onları dönüştürür. olağan çarpma

Noktalara göre bir grafik oluşturduktan sonra yaklaşık bir grafik elde ederiz:

Doğal logaritmanın alanı (yani, X bağımsız değişkeninin tüm geçerli değerleri), sıfırdan büyük tüm sayılardır.

Dikkat! Doğal logaritmanın tanım alanı yalnızca şunları içerir: pozitif sayılar! Kapsam x=0'ı içermez. Logaritmanın var olma koşullarına bağlı olarak bu imkansızdır.

Değer aralığı (yani y = ln x fonksiyonunun tüm geçerli değerleri), aralıktaki tüm sayılardır.

doğal günlük sınırı

Grafiği incelerken şu soru ortaya çıkıyor - fonksiyon y olduğunda nasıl davranıyor?<0.

Açıkçası, fonksiyonun grafiği y eksenini geçme eğilimindedir, ancak x'in doğal logaritması olduğundan bunu yapamayacaktır.<0 не существует.

Doğal sınır kayıtşöyle yazılabilir:

Bir logaritmanın tabanını değiştirmek için formül

Doğal bir logaritma ile uğraşmak, rastgele bir tabanı olan bir logaritma ile uğraşmaktan çok daha kolaydır. Bu nedenle, herhangi bir logaritmayı doğal olana nasıl indireceğimizi veya doğal logaritmalar yoluyla keyfi bir tabanda ifade etmeyi öğrenmeye çalışacağız.

Logaritmik kimlikle başlayalım:

O zaman herhangi bir sayı veya değişken y şu şekilde temsil edilebilir:

burada x herhangi bir sayıdır (logaritmanın özelliklerine göre pozitif).

Bu ifade her iki tarafta da logaritmik hale getirilebilir. Bunu keyfi bir z tabanıyla yapalım:

Özelliği kullanalım (sadece "ile" yerine bir ifademiz var):

Buradan evrensel formülü elde ederiz:

.

Özellikle, eğer z=e ise, o zaman:

.

Logaritmayı keyfi bir tabana iki doğal logaritmanın oranıyla temsil etmeyi başardık.

sorunları çözüyoruz

Doğal logaritmalarda daha iyi gezinmek için çeşitli problemlerin örneklerini düşünün.

Görev 1. ln x = 3 denklemini çözmek gerekir.

Çözüm: Logaritmanın tanımını kullanarak: if , o zaman şunu elde ederiz:

Görev 2. (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 denklemini çözün.

Çözüm: Logaritmanın tanımını kullanarak: if , o zaman şunu elde ederiz:

.

Bir kez daha logaritmanın tanımını uyguluyoruz:

.

Böylece:

.

Cevabı yaklaşık olarak hesaplayabilir veya bu formda bırakabilirsiniz.

Görev 3. Denklemi çözün.

Çözüm: Bir ikame yapalım: t = ln x. O zaman denklem aşağıdaki formu alacaktır:

.

İkinci dereceden bir denklemimiz var. Ayırt edicisini bulalım:

Denklemin ilk kökü:

.

Denklemin ikinci kökü:

.

t = ln x yerine koyduğumuzu hatırlayarak şunu elde ederiz:

İstatistik ve olasılık teorisinde, logaritmik nicelikler çok yaygındır. Bu şaşırtıcı değildir, çünkü e sayısı genellikle üstel değerlerin büyüme oranını yansıtır.

Bilgisayar bilimi, programlama ve bilgisayar teorisinde, örneğin bellekte N bit depolamak için logaritmalar oldukça yaygındır.

Fraktallar ve boyutlar teorilerinde, fraktalların boyutları yalnızca onların yardımıyla belirlendiğinden, logaritmalar sürekli olarak kullanılır.

Mekanik ve fizikte logaritmanın kullanılmadığı bölüm yoktur. Barometrik dağılım, istatistiksel termodinamiğin tüm ilkeleri, Tsiolkovsky denklemi ve benzeri, yalnızca logaritmalar kullanılarak matematiksel olarak açıklanabilen süreçlerdir.

Kimyada logaritma, redoks işlemlerinin tanımları olan Nernst denklemlerinde kullanılır.

Şaşırtıcı bir şekilde, müzikte bile bir oktavın bölüm sayısını bulmak için logaritmalar kullanılıyor.

Doğal logaritma Fonksiyon y=ln x onun özellikleri

Doğal logaritmanın ana özelliğinin kanıtı

genellikle bir numara alır e = 2,718281828 . Bu tabandaki logaritmalara denir. doğal. Doğal logaritmalarla hesaplamalar yaparken, işaretiyle işlem yapmak yaygındır. benN, Ama değil kayıt; sayı iken 2,718281828 , tabanı tanımlar, göstermez.

Başka bir deyişle, ifadeler şöyle görünecektir: doğal logaritma sayılar X sayının yükseltileceği üs e, Elde etmek üzere X.

Bu yüzden, ln(7,389...)= 2 çünkü e 2 =7,389... . Sayının kendisinin doğal logaritması e= 1 çünkü e 1 =e ve birliğin doğal logaritması sıfıra eşittir, çünkü e 0 = 1.

Numaranın kendisi e monoton sınırlı bir dizinin sınırını tanımlar

bunu hesapladı e = 2,7182818284... .

Oldukça sık olarak, hafızadaki bir numarayı düzeltmek için, gerekli numaranın haneleri bazı önemli tarihlerle ilişkilendirilir. Bir sayının ilk dokuz hanesini hatırlama hızı e 1828'in Leo Tolstoy'un doğum yılı olduğuna dikkat ederseniz, ondalık noktadan sonra artacaktır!

Bugüne kadar, oldukça eksiksiz doğal logaritma tabloları var.

doğal günlük grafiği(işlevler y=ln x) düz çizgiye göre bir ayna görüntüsü olarak üs grafiğinin bir sonucudur y = x ve şuna benziyor:

Her pozitif gerçek sayı için doğal logaritma bulunabilir. A eğrinin altındaki alan olarak y = 1/X itibaren 1 önce A.

Doğal logaritmanın yer aldığı diğer birçok formülle örtüşen bu formülasyonun temel niteliği, "doğal" adının oluşmasına neden olmuştur.

analiz edersek doğal logaritma, gerçek bir değişkenin gerçek bir fonksiyonu olarak hareket eder ters fonksiyon kimliklere indirgenen üstel bir işleve:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Tüm logaritmalara benzeterek, doğal logaritma çarpmayı toplamaya, bölmeyi çıkarmaya dönüştürür:

ln(xy) = ln(X) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritma, yalnızca bire eşit olmayan her pozitif taban için bulunabilir. e, ancak diğer tabanlar için logaritmalar, doğal logaritmadan yalnızca sabit bir faktörle farklılık gösterir ve genellikle doğal logaritma cinsinden tanımlanır.

analiz ettikten doğal günlük grafiği, değişkenin pozitif değerleri için var olduğunu anlıyoruz X. Tanım alanında monoton bir şekilde artar.

-de X → 0 doğal logaritmanın sınırı eksi sonsuzdur ( -∞ ). x → +∞ doğal logaritmanın sınırı artı sonsuzdur ( + ∞ ). genel olarak X logaritma oldukça yavaş artar. Herhangi bir güç fonksiyonu x bir pozitif bir üs ile A logaritmadan daha hızlı artar. Doğal logaritma monoton olarak artan bir fonksiyondur, bu nedenle ekstremumları yoktur.

Kullanım doğal logaritmalar yüksek matematiğin geçişinde çok mantıklı. Bu nedenle, logaritmanın kullanılması, bilinmeyenlerin bir üs olarak göründüğü denklemlerin cevabını bulmak için uygundur. Hesaplamalarda doğal logaritmaların kullanılması, çok sayıda matematiksel formülü büyük ölçüde kolaylaştırmayı mümkün kılar. temel logaritmalar e önemli sayıda fiziksel problemin çözümünde mevcuttur ve doğal olarak bireysel kimyasal, biyolojik ve diğer süreçlerin matematiksel tanımına dahil edilir. Bu nedenle, bilinen bir yarı ömür için bozunma sabitini hesaplamak veya radyoaktivite problemlerini çözerken bozunma süresini hesaplamak için logaritmalar kullanılır. Matematiğin ve pratik bilimlerin birçok bölümünde öncü bir rol oynarlar, finans alanında bileşik faiz hesaplaması da dahil olmak üzere çok sayıda sorunu çözmek için başvurulurlar.

Konularla ilgili ders ve sunum: "Doğal logaritmalar. Doğal logaritmanın tabanı. Doğal sayının logaritması"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

11. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
9-11 "Trigonometri" sınıfları için etkileşimli el kitabı
10-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Logaritmalar"

doğal logaritma nedir

Beyler, son derste yeni, özel bir sayı öğrendik - e.Bugün bu sayı ile çalışmaya devam edeceğiz.
Logaritmalar üzerinde çalıştık ve logaritmanın tabanının 0'dan büyük sayılar kümesi olabileceğini biliyoruz. Bugün e sayısına dayanan logaritmayı da ele alacağız. Böyle bir logaritma genellikle doğal logaritma olarak adlandırılır. . Kendi notasyonu vardır: $\ln(n)$ doğal logaritmadır. Bu gösterim şuna eşdeğerdir: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Üstel ve logaritmik fonksiyonlar terstir, o zaman doğal logaritma fonksiyonun tersidir: $y=e^x$.
Ters fonksiyonlar, $y=x$ düz doğrusuna göre simetriktir.
Üstel fonksiyonu $y=x$ düz çizgisine göre çizerek doğal logaritmayı çizelim.

$y=e^x$ fonksiyonunun grafiğine (0;1) noktasındaki teğetin eğiminin 45° olduğunu belirtmekte fayda var. O zaman doğal logaritmanın grafiğine (1; 0) noktasındaki teğetin eğimi de 45° olacaktır. Bu teğetlerin ikisi de $y=x$ doğrusuna paralel olacaktır. Teğetleri çizelim:

$y=\ln(x)$ fonksiyonunun özellikleri

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Ne çift ne de tek.
3. Tüm tanım alanında artar.
4. Yukarıdan sınırlı değil, aşağıdan sınırlı değil.
5. Maksimum değer yoktur, minimum değer yoktur.
6. Sürekli.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Dışbükey yukarı.
9. Her yerde türevlenebilir.

Yüksek matematik dersinde kanıtlanmıştır ki bir ters fonksiyonun türevi, verilen fonksiyonun türevinin tersidir.
Kanıta dalmak pek mantıklı değil, sadece şu formülü yazalım: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Örnek.
$x=4$ noktasında $y=\ln(2x-7)$ fonksiyonunun türevinin değerini hesaplayın.
Çözüm.
Genel olarak fonksiyonumuz $y=f(kx+m)$ fonksiyonu ile temsil edilir, bu tür fonksiyonların türevlerini hesaplayabiliriz.
$y"=(\ln((2x-7))"=\frac(2)((2x-7))$.
Gerekli noktadaki türevin değerini hesaplayalım: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Cevap: 2.

Örnek.
$y=ln(x)$ fonksiyonunun grafiğine $x=e$ noktasında bir teğet çizin.
Çözüm.
$x=a$ noktasında fonksiyonun grafiğine teğetin denklemini iyi hatırlıyoruz.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Gerekli değerleri sırayla hesaplayalım.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
$x=e$ noktasındaki teğet denklem, $y=\frac(x)(e)$ işlevidir.
Doğal logaritmayı ve teğeti çizelim.

Örnek.
Fonksiyonu monotonluk ve ekstremum için araştırın: $y=x^6-6*ln(x)$.
Çözüm.
$D(y)=(0;+∞)$ fonksiyonunun alanı.
Verilen fonksiyonun türevini bulun:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Türev, tanım alanından tüm x'ler için mevcuttur, o zaman kritik nokta yoktur. Durağan noktaları bulalım:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
$х=-1$ noktası tanım alanına ait değildir. O zaman bir durağan noktamız var $х=1$. Artış ve azalma aralıklarını bulun:

$x=1$ noktası minimum noktadır, ardından $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Cevap: Fonksiyon doğru parça üzerinde azalıyor (0;1], fonksiyon $ ışını üzerinde artıyor)