Türev 5x 4. e üzeri x'in türevi ve üstel fonksiyon

Bir kuvvet fonksiyonunun (x üzeri a'nın kuvveti) türevi için formülün türetilmesi. Köklerin x'ten türevleri dikkate alınır. Daha yüksek dereceli bir güç fonksiyonunun türevi için formül. Türev hesaplama örnekleri.

x üzeri a'nın türevi, a çarpı x üzeri bir eksi birdir:
(1) .

x'in n'inci kökünün m'inci kuvvete göre türevi:
(2) .

Bir güç fonksiyonunun türevi için formülün türetilmesi

Durum x > 0

a üslü x değişkeninin bir kuvvet fonksiyonunu ele alalım:
(3) .
Burada a keyfi bir gerçek sayıdır. Önce durumu ele alalım.

(3) fonksiyonunun türevini bulmak için, kuvvet fonksiyonunun özelliklerini kullanır ve aşağıdaki forma dönüştürürüz:
.

Şimdi uygulayarak türevi buluyoruz:
;
.
Burada .

Formül (1) kanıtlanmıştır.

x'in n derecesinin kökünün m derecesine türevi için formülün türetilmesi

Şimdi aşağıdaki formun kökü olan bir işlevi düşünün:
(4) .

Türevi bulmak için kökü bir kuvvet fonksiyonuna dönüştürürüz:
.
Formül (3) ile karşılaştırıldığında, görüyoruz ki
.
Daha sonra
.

Formül (1) ile türevi buluruz:
(1) ;
;
(2) .

Uygulamada formül (2)'yi ezberlemeye gerek yoktur. Önce kökleri kuvvet fonksiyonlarına çevirmek ve sonra formül (1)'i kullanarak türevlerini bulmak çok daha uygundur (sayfanın sonundaki örneklere bakın).

Durum x = 0

Eğer , o zaman üstel fonksiyon, x = değişkeninin değeri için de tanımlanır. 0 . x = için (3) fonksiyonunun türevini bulalım. 0 . Bunu yapmak için türev tanımını kullanırız:
.

yerine x = 0 :
.
Bu durumda, türev derken sağdaki limiti kastediyoruz.

Böylece şunları bulduk:
.
Buradan da görülebilir ki , .
, .
, .
Bu sonuç formül (1) ile de elde edilir:
(1) .
Bu nedenle, formül (1) x = için de geçerlidir. 0 .

durum x< 0

(3) işlevini tekrar düşünün:
(3) .
a sabitinin bazı değerleri için, x değişkeninin negatif değerleri için de tanımlanır. Yani a bir rasyonel sayı olsun. O zaman indirgenemez bir kesir olarak temsil edilebilir:
,
burada m ve n ortak böleni olmayan tam sayılardır.

n tek ise, x değişkeninin negatif değerleri için üstel fonksiyon da tanımlanır. Örneğin, n = için 3 ve m = 1 x'in küp köküne sahibiz:
.
Ayrıca x'in negatif değerleri için de tanımlanır.

Tanımlandığı a sabitinin rasyonel değerleri için ve güç fonksiyonunun (3) türevini bulalım. Bunu yapmak için, x'i aşağıdaki biçimde temsil ederiz:
.
Daha sonra ,
.
Sabiti türevin işaretinden çıkararak ve karmaşık bir fonksiyonun türev kuralını uygulayarak türevi buluruz:

.
Burada . Ancak
.
O zamandan beri
.
Daha sonra
.
Yani, formül (1) aşağıdakiler için de geçerlidir:
(1) .

Daha yüksek dereceli türevler

Şimdi güç fonksiyonunun yüksek dereceden türevlerini buluyoruz.
(3) .
Birinci dereceden türevi bulduk:
.

a sabitini türevin işaretinden çıkararak, ikinci dereceden türevi buluruz:
.
Benzer şekilde, üçüncü ve dördüncü derecelerin türevlerini de buluruz:
;

.

Buradan anlaşılıyor ki keyfi bir n'inci mertebenin türevi aşağıdaki forma sahiptir:
.

dikkat et, ki a bir doğal sayı ise, , o zaman n'inci türev sabittir:
.
O zaman sonraki tüm türevler sıfıra eşittir:
,
.

Türev Örnekleri

Örnek

Fonksiyonun türevini bulun:
.

Çözüm

Kökleri kuvvetlere çevirelim:
;
.
Ardından, orijinal işlev şu şekli alır:
.

Derece türevlerini buluruz:
;
.
Bir sabitin türevi sıfırdır:
.

Türevin hesaplanması genellikle şu şekilde bulunur: Ödevleri KULLANIN. Bu sayfa, türevleri bulmak için formüllerin bir listesini içerir.

Farklılaşma kuralları

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi. y=F(u) ve u=u(x) ise, y=f(x)=F(u(x)) fonksiyonuna x'in karmaşık fonksiyonu denir. y′(x)=Fu′⋅ ux′'ye eşittir.
5. Kapalı bir fonksiyonun türevi. y=f(x) işlevi, F(x,f(x))≡0 ise F(x,y)=0 bağıntısı tarafından verilen örtük işlev olarak adlandırılır.
6. Ters fonksiyonun türevi. g(f(x))=x ise, g(x) fonksiyonuna y=f(x) fonksiyonunun ters fonksiyonu denir.
7. Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun türevi. x ve y, t değişkeninin fonksiyonları olarak verilsin: x=x(t), y=y(t). Bu aralıkta x=x(t) denklemi t=t(x) olarak ifade edilebiliyorsa, y=y(x)'in x∈ (a;b) aralığında parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyon olduğu söylenir y=y( t(x))=y(x).
8. Üstel fonksiyonun türevi. Logaritmanın doğal logaritmanın tabanına alınmasıyla bulunur.

Bu tabloya birçok kez ihtiyaç duyulabileceğinden bağlantıyı kaydetmenizi tavsiye ederiz.

Başvuru

Öğrenciler ve okul çocukları tarafından kapsanan materyali birleştirmek için türevin siteye çözümü. Çevrimiçi problem çözme hizmetimizi kullanıyorsanız, bir fonksiyonun türevini birkaç saniye içinde hesaplamak zor değildir. Yol göstermek detaylı analiz her üç öğrenciden biri uygulamalı bir derste kapsamlı bir şekilde çalışabilecektir. Genellikle ilgili bölümün bölümü tarafından matematiğin tanıtımı için bize başvurulur. Eğitim Kurumlarıülkeler. Bu durumda türevin çevrimiçi çözümünden nasıl bahsetmeye gerek yok? kapalı alan sayı dizileri. Birçok varlıklı bireyin şaşkınlıklarını ifade etmesine izin verilir. Ancak bu arada matematikçiler de boş durmaz ve çok çalışırlar. Doğrusal özelliklere göre giriş parametrelerindeki değişiklik, esas olarak küplerin azalan konumlarının üst değeri nedeniyle türev hesaplayıcı tarafından kabul edilecektir. Sonuç yüzeysel olarak kaçınılmazdır. İlk veri olarak, çevrimiçi türev, gereksiz adımlar atma ihtiyacını ortadan kaldırır. Hayali ödevler hariç. Çevrimiçi olarak türev çözmenin matematik öğrenmenin gerekli ve önemli bir yönü olmasına ek olarak, öğrenciler genellikle geçmişteki sorunları hatırlamazlar. Öğrenci, tembel bir yaratık gibi bunu anlar. Ama öğrenciler eğlenceli insanlar! Ya kurallara göre yapın ya da fonksiyonun eğimli bir düzlemdeki türevi maddesel bir noktaya ivme verebilir. Alçalan uzamsal ışının vektörünü bir yere yönlendirelim. İstenen cevapta türevi bulmak soyut görünmektedir. teorik yön matematiksel sistemin istikrarsızlığından kaynaklanır. Sayıların oranını kullanılmayan seçenekler dizisi olarak düşünün. İletişim kanalı, küpün kapalı çatallanma noktasından alçalan vektör boyunca beşinci çizgi ile dolduruldu. Eğri uzaylar düzleminde, türevi çevrimiçi olarak çözmek, bizi geçen yüzyılda düşündüren bir sonuca götürür. en büyük beyinler gezegenler Matematik alanından olaylar sırasında temel olarak beş önemli faktörler, değişkenin seçim konumunun iyileştirilmesine katkıda bulunur. Yani puan yasası, çevrimiçi türevin her durumda ayrıntılı olarak hesaplanmadığını, yalnızca sadık bir şekilde ilerleyen bir anın bir istisna olabileceğini söylüyor. Tahmin bizi yönlendirdi yeni tur gelişim. Bir sonuca ihtiyacımız var. Yüzeyin altından geçen matematiksel eğim doğrusunda, mod türevlerinin hesaplayıcısı çarpımların bükme setindeki kesişim alanındadır. Geriye epsilon komşuluğu yakınındaki bağımsız noktasında fonksiyonun farklılaşmasını analiz etmek kalır. Bunu pratikte herkes görebilir. Sonuç olarak, programlamanın bir sonraki aşamasında karar verilecek bir şey olacaktır. Öğrenci, uygulanan hayali çalışmalardan bağımsız olarak, her zaman olduğu gibi çevrimiçi türevlere ihtiyaç duyar. Bir sabitle çarpılan fonksiyonun çevrimiçi türevin çözümünü değiştirmediği ortaya çıktı. Genel yön malzeme noktasının hareketi, ancak düz bir çizgide hızdaki artışı karakterize eder. Bu anlamda türev hesaplayıcımızı uygulamak ve bir fonksiyonun tüm değerlerini tanım kümesinin tamamı üzerinde hesaplamak faydalı olacaktır. Yerçekimi alanının kuvvet dalgalarını incelemeye gerek yok. Çevrimiçi türev çözümü hiçbir durumda giden ışının eğimini göstermez, ancak yalnızca nadir durumlarda, gerçekten gerekli olduğunda, üniversite öğrencileri bunu hayal edebilir. Müdürü soruşturuyoruz. En küçük rotorun değeri tahmin edilebilir. Topu tanımlayan sağa bakan çizgileri sonuca uygulayın, ancak cevrimici hesap makinesi türevler, bu, özel güç ve doğrusal olmayan bağımlılık rakamlarının temelidir. Matematik proje raporu hazır. Kişisel özellikler farkı en küçük sayılar ve fonksiyonun y ekseni boyunca türevi, aynı fonksiyonun içbükeyliğini yüksekliğe getirecektir. Bir yön var - bir sonuç var. Teoriyi pratiğe dökmek daha kolaydır. Çalışmanın başlama zamanlaması konusunda öğrencilerden bir öneri var. Bir öğretmenin cevabına ihtiyacınız var. Yine bir önceki pozisyonda olduğu gibi matematiksel sistem türevi bulmaya yardımcı olacak bir eylem bazında düzenlenmemiştir.Alt yarı-doğrusal versiyonda olduğu gibi, çevrimiçi türev de çözüme göre çözümün tanımlanmasını ayrıntılı olarak gösterecektir. yozlaşmış koşullu yasa. Sadece formülleri hesaplama fikrini ortaya koyun. Bir fonksiyonun doğrusal türevi, basitçe ilgisiz pozitif varyasyonları ortaya koyarak çözümün doğruluğunu reddeder. Karşılaştırma işaretlerinin önemi, fonksiyonun eksen boyunca sürekli kırılması olarak kabul edilecektir. Öğrenciye göre bu, çevrimiçi türevin matematiksel analizin sadık bir örneğinden başka bir şey olduğu en bilinçli sonucun önemidir. Öte yandan, Öklid uzayında eğri bir dairenin yarıçapı, türev hesaplayıcısına kararlılık için belirleyici problemlerin mübadelesinin doğal bir temsilini veriyordu. En iyi yöntem bulundu. Görevi yükseltmek daha kolaydı. Bağımsız fark oranının uygulanabilirliği, türevlerin çevrimiçi çözümüne yol açsın. Çözüm, bir daire şeklini tanımlayarak x ekseni etrafında döner. Bir çıkış yolu var ve herkesin öğrendiği teorik olarak üniversite öğrencileri tarafından desteklenen araştırmalara dayanıyor ve zamanın o anlarında bile fonksiyonun bir türevi var. İlerleme için bir yol bulduk ve öğrenciler bunu onayladı. Matematiksel sistemi dönüştürmek için doğal olmayan bir yaklaşımın ötesine geçmeden türevi bulmayı göze alabiliriz. Sol orantı işareti, sonsuz y ekseni üzerindeki doğrusal faktörlerin bilinmeyen durumu nedeniyle çevrimiçi türev hesaplayıcının matematiksel temsili olarak katlanarak büyür. Dünyanın dört bir yanındaki matematikçiler olağanüstü olduklarını kanıtladılar üretim süreci. Teorinin açıklamasına göre dairenin içinde en küçük kare vardır. Yine, çevrimiçi türev, ilk etapta teorik olarak rafine edilmiş görüşü neyin etkilemiş olabileceğine dair tahminimizi detaylandıracaktır. İncelediğimiz rapordan farklı nitelikte görüşler vardı. Fakültelerimizin öğrencilerine ayrı bir ilgi olmayabilir, ancak bir fonksiyonun türevini yalnızca bir bahane olarak gören akıllı ve ileri matematikçilere olmayabilir. Türevin mekanik anlamı çok basittir. Kaldırma kuvveti, zaman içinde aşağı doğru eğimli sabit uzaylar için çevrimiçi bir türev olarak hesaplanır. Açıkçası, türev hesaplayıcı, yapay bir dönüşümün yozlaşma problemini şekilsiz bir cisim olarak tanımlamanın titiz bir sürecidir. İlk türev, maddi bir noktanın hareketindeki bir değişiklikten bahseder. Üç boyutlu uzay, türevleri çevrim içi çözmek için özel olarak eğitilmiş teknolojiler bağlamında açık bir şekilde gözlemlenmektedir, aslında bu, matematik disiplini konulu her kolokyumda görülmektedir. İkinci türev, bir malzeme noktasının hızındaki değişimi karakterize eder ve ivmeyi belirler. Afin dönüşüm kullanımına dayanan meridyen yaklaşımı, bir fonksiyonun bir noktadaki türevini bu fonksiyonun tanım alanından yeni bir seviyeye taşır. Çevrimiçi bir türev hesaplayıcısı, görevdeki şeylerin dönüştürülebilir düzenlemesi dışında, bazı durumlarda doğru yürütülebilir anda sayılar ve sembolik gösterimler olmadan olamaz. Şaşırtıcı bir şekilde, maddi bir noktanın ikinci bir ivmesi vardır, bu ivmedeki değişikliği karakterize eder. Kısa bir süre sonra türevin çözümünü online olarak çalışmaya başlayacağız ancak bilgide belirli bir dönüm noktasına ulaşılır ulaşılmaz öğrencimiz bu süreci durduracaktır. Ağ oluşturmanın en iyi yolu, matematiksel bir konuda canlı sohbet etmektir. Görev ne kadar zor olursa olsun, hiçbir koşulda ihlal edilmemesi gereken ilkeler vardır. Türevi online olarak zamanında ve hatasız bulmakta fayda var. Bu, matematiksel ifadenin yeni bir konumuna yol açacaktır. Sistem kararlı. fiziksel anlam türev, mekanik kadar popüler değildir. Çevrimiçi türevin, fonksiyonun çizgilerinin ana hatlarını x eksenine bitişik üçgenden normale doğru düzlemde nasıl ayrıntılı olarak ortaya çıkardığını kimsenin hatırlaması pek olası değildir. İnsan, geçen yüzyılın araştırmalarında büyük bir rolü hak ediyor. Fonksiyonun hem tanım alanından hem de sonsuzda noktalarda farklılaşmasını üç temel aşamada gerçekleştirelim. içinde olacak yazı sadece çalışma alanında, ancak matematikte ve sayı teorisinde ana vektörün yerini alabilir, ne olur olmaz çevrimiçi türev hesaplayıcı problemle bağlantı kuracaktır. Bir sebep olurdu, ama bir denklem oluşturmak için bir sebep olacak. Tüm giriş parametrelerini akılda tutmak çok önemlidir. En iyisi her zaman alından alınmaz, bunun arkasında muazzam miktarda emek vardır. en iyi beyinlerçevrimiçi türevin uzayda nasıl hesaplandığını kim bilebilirdi. O zamandan beri dışbükeylik, sürekli bir fonksiyonun bir özelliği olarak kabul edildi. Yine de, mümkün olan en kısa sürede çevrimiçi olarak türevleri çözme görevini belirlemek daha iyidir. Böylece çözüm tamamlanmış olacaktır. Karşılanmayan normlara ek olarak, bu yeterli görülmemektedir. Başlangıçta hemen hemen her öğrenci, bir fonksiyonun türevinin nasıl tartışmalı bir büyüme algoritmasına yol açtığına dair basit bir yöntem ortaya koymayı teklif eder. Yükselen ışın yönünde. olarak mantıklı genel pozisyon. Daha önce, belirli bir matematiksel eylemin tamamlanmasının başlangıcını işaretlediler, ancak bugün tam tersi olacak. Belki türevin çevrimiçi çözümü konuyu tekrar gündeme getirecek ve öğretmenler toplantısındaki tartışmada korunması konusunda ortak bir görüş kabul edeceğiz. Toplantı katılımcılarının her tarafından anlayış göstermesini umuyoruz. Mantıksal anlam, geçen yüzyılda dünyanın büyük bilim adamları tarafından cevaplanan problem düşüncesinin sunum sırası hakkındaki sayıların rezonansındaki türev hesap makinesinin açıklamasında yer almaktadır. Dönüştürülen ifadeden karmaşık bir değişkenin çıkarılmasına ve aynı türde büyük bir eylem gerçekleştirmek için türevinin çevrimiçi olarak bulunmasına yardımcı olacaktır. Gerçek, tahminden çok daha iyidir. En düşük değer trendde. Ayrıntılı olarak çevrimiçi bir türevi olan en doğru konum için benzersiz bir hizmet kullandığınızda sonuç uzun sürmeyecek. Dolaylı olarak, ama noktaya kadar, bir bilge adamın dediği gibi, birliğin farklı şehirlerinden birçok öğrencinin talebi üzerine bir çevrimiçi türev hesap makinesi oluşturuldu. Bir fark varsa, o zaman neden iki kez karar verin. Belirtilen vektör normalle aynı tarafta yer alır. Geçen yüzyılın ortalarında bir fonksiyonun farklılaşması hiçbir şekilde bugünkü gibi algılanmıyordu. Devam eden gelişme sayesinde çevrimiçi matematik ortaya çıktı. Zamanla, öğrenciler matematiksel disiplinlere kredi vermeyi unuturlar. Çevrimiçi türevin çözümü, haklı olarak teorinin uygulanmasına dayanan ve pratik bilgiyle desteklenen tezimize meydan okuyacaktır. Sunum faktörünün mevcut değerinin ötesine geçecek ve formülü işlev için açık bir biçimde yazacaktır. Herhangi bir hesap makinesi kullanmadan türevi hemen şimdi çevrimiçi bulmanız gerekiyor, ancak her zaman öğrencinin numarasına başvurabilir ve yine de web sitesi gibi bir hizmeti kullanabilirsiniz. Böylece öğrenci, taslak bir defterden örnekleri son forma kopyalamak için çok zaman kazanacaktır. Çelişki yoksa, bu tür karmaşık örnekler için adım adım çözüm hizmetini kullanın.

İlk seviye

Fonksiyon türevi. Kapsamlı rehber (2019)

Dağlık bir alandan geçen düz bir yol hayal edin. Yani yukarı ve aşağı gider ama sağa veya sola dönmez. Eksen yol boyunca yatay ve dikey olarak yönlendirilirse, yol çizgisi bazı sürekli fonksiyonların grafiğine çok benzer olacaktır:

Eksen belli bir sıfır yükseklik seviyesidir, hayatta deniz seviyesini onun gibi kullanırız.

Böyle bir yolda ilerlerken, aynı zamanda yukarı veya aşağı hareket ediyoruz. Şunu da söyleyebiliriz: argüman değiştiğinde (apsis ekseni boyunca hareket ederek), fonksiyonun değeri değişir (ordinat ekseni boyunca hareket ederek). Şimdi yolumuzun "dikliğini" nasıl belirleyeceğimizi düşünelim. Bu değer ne olabilir? Çok basit: Belli bir mesafe ilerlediğinde yükseklik ne kadar değişecek? Aslında, yolun farklı bölümlerinde, (apsis boyunca) bir kilometre ilerleyerek, deniz seviyesine göre (ordinat boyunca) farklı sayıda metre yükselecek veya alçalacağız.

İlerlemeyi belirtiyoruz ("delta x" okuyun).

Yunanca harf (delta) matematikte yaygın olarak "değişim" anlamına gelen bir önek olarak kullanılır. Yani - bu, büyüklükteki bir değişikliktir, - bir değişikliktir; o zaman ne? Bu doğru, boyutta bir değişiklik.

Önemli: ifade tek bir varlık, bir değişkendir. "X" veya başka herhangi bir harften "delta"yı asla ayırmamalısınız! Yani, örneğin, .

Böylece, yatay olarak ilerledik. Yolun çizgisini bir fonksiyonun grafiğiyle karşılaştırırsak, yükselişi nasıl gösteririz? Kesinlikle, . Yani, ilerlerken daha da yükseliriz.

Değeri hesaplamak kolaydır: başlangıçta yüksekteysek ve hareket ettikten sonra yükseklikteysek, o zaman. Bitiş noktasının başlangıç ​​noktasından daha düşük olduğu ortaya çıkarsa, negatif olacaktır - bu, yükseldiğimiz değil, alçaldığımız anlamına gelir.

"Dikliğe" geri dön: bu, birim mesafe başına ileri doğru hareket ederken yüksekliğin ne kadar (dik) arttığını gösteren bir değerdir:

Yolun bir bölümünde km ile ilerlerken yolun km yükseldiğini varsayalım. O zaman bu yerdeki diklik eşittir. Ve eğer yol m ilerlerken km batarsa? O zaman eğim eşittir.

Şimdi bir tepenin zirvesini düşünün. Bölümün başlangıcını yarım kilometre yukarıya ve bitişi - yarım kilometre sonra alırsanız, yüksekliğin neredeyse aynı olduğunu görebilirsiniz.

Yani mantığımıza göre buradaki eğimin neredeyse sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor ki bu açıkça doğru değil. Sadece birkaç mil ötede çok şey değişebilir. Dikliğin daha yeterli ve doğru bir tahmini için daha küçük alanların dikkate alınması gerekir. Örneğin, bir metre ilerlerken yükseklik değişimini ölçerseniz, sonuç çok daha doğru olacaktır. Ancak bu doğruluk bile bizim için yeterli olmayabilir - sonuçta, yolun ortasında bir direk varsa, içinden kolayca geçebiliriz. O zaman hangi mesafeyi seçmeliyiz? Santimetre? Milimetre? Daha azı daha iyidir!

İÇİNDE gerçek hayat mesafeyi en yakın milimetreye kadar ölçmek fazlasıyla yeterlidir. Ancak matematikçiler her zaman mükemmellik için çabalarlar. Bu nedenle, kavram şuydu: sonsuz küçük, yani modulo değeri adlandırabileceğimiz herhangi bir sayıdan küçüktür. Örneğin, diyorsunuz ki: bir trilyonda bir! Ne kadar az? Ve bu sayıyı - ile bölersiniz ve daha da az olur. Ve benzeri. Değerin sonsuz küçük olduğunu yazmak istersek şöyle yazarız: (“x sıfıra eğilimlidir” okuruz). anlamak çok önemli ki bu sayı sıfıra eşit değil! Ama ona çok yakın. Bu, bölünebileceği anlamına gelir.

Sonsuz küçüğün zıttı kavram sonsuz büyüktür (). Muhtemelen eşitsizlikler üzerinde çalışırken bununla zaten karşılaşmışsınızdır: bu sayı, modül olarak aklınıza gelebilecek tüm sayılardan daha büyüktür. Mümkün olan en büyük sayıyı bulursanız, sadece iki ile çarpın ve daha fazlasını elde edin. Ve sonsuzluk olandan bile daha fazlasıdır. Aslında, sonsuz büyük ve sonsuz küçük birbirinin tersidir, yani at ve tersi: at.

Şimdi yolumuza geri dönelim. İdeal olarak hesaplanan eğim, yolun sonsuz küçük bir bölümü için hesaplanan eğimdir, yani:

Sonsuz küçük bir yer değiştirme ile yükseklikteki değişimin de sonsuz küçük olacağını unutmayın. Ama sonsuz küçüğün sıfıra eşit anlamına gelmediğini hatırlatmama izin verin. Örneğin sonsuz küçük sayıları birbirine bölerseniz tamamen sıradan bir sayı elde edebilirsiniz. Yani, küçük bir değer diğerinden tam olarak iki kat daha büyük olabilir.

Bütün bunlar neden? Yol, yokuş... Bir ralliye gitmiyoruz ama matematik öğreniyoruz. Ve matematikte her şey tamamen aynıdır, sadece farklı şekilde adlandırılır.

Türev kavramı

Bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun artışının argümanın sonsuz küçük artışındaki argümanın artışına oranıdır.

artış matematikte değişim denir. Eksen boyunca hareket ederken argümanın () ne kadar değiştiği denir. bağımsız değişken artışı ve ile gösterilir Eksen boyunca bir mesafe ileri hareket ederken fonksiyonun (yüksekliğin) ne kadar değiştiği denir fonksiyon artışı ve işaretlenir.

Yani, bir fonksiyonun türevi, ne zaman ile olan ilişkisidir. Türevi, işlevle aynı harfle, yalnızca sağ üstten bir vuruşla gösteririz: veya basitçe. Öyleyse, bu notasyonları kullanarak türev formülünü yazalım:

Yol benzetmesinde olduğu gibi burada da fonksiyon arttığında türev pozitif, azaldığında ise negatiftir.

Ama türev sıfıra eşit mi? Kesinlikle. Örneğin düz bir yatay yolda ilerliyorsak diklik sıfırdır. Aslında, yükseklik hiç değişmez. Yani türev ile: sabit bir fonksiyonun (sabit) türevi sıfıra eşittir:

çünkü böyle bir fonksiyonun artışı herhangi biri için sıfırdır.

Tepe örneğini ele alalım. Segmentin uçlarını, uçlardaki yükseklik aynı olacak, yani segment eksene paralel olacak şekilde tepe noktasının karşıt taraflarına yerleştirmenin mümkün olduğu ortaya çıktı:

Ancak büyük segmentler, yanlış ölçümün bir işaretidir. Segmentimizi kendisine paralel yukarı kaldıracağız, sonra uzunluğu azalacaktır.

Sonunda, zirveye sonsuz yaklaştığımızda, parçanın uzunluğu sonsuzca küçülecektir. Ancak aynı zamanda eksene paralel kalmıştır, yani uçlarındaki yükseklik farkı sıfıra eşittir (eğilmez, ancak eşittir). Yani türev

Bu şu şekilde anlaşılabilir: En tepede dururken sağa veya sola küçük bir kayma, boyumuzu önemsiz ölçüde değiştirir.

Tamamen cebirsel bir açıklama da var: üst kısmın solunda fonksiyon artıyor ve sağında azalıyor. Daha önce öğrendiğimiz gibi, fonksiyon arttığında türev pozitif, azaldığında ise negatiftir. Ancak, atlamalar olmadan sorunsuz bir şekilde değişir (çünkü yol hiçbir yerde eğimini keskin bir şekilde değiştirmez). Bu nedenle, negatif ve pozitif değerler arasında olmalıdır. Tepe noktasında, fonksiyonun ne arttığı ne de azaldığı yer olacaktır.

Aynısı vadi için de geçerlidir (fonksiyonun solda azalıp sağda arttığı alan):

Artımlar hakkında biraz daha.

Böylece argümanı bir değere çeviriyoruz. Hangi değerden değişiriz? O (argüman) şimdi ne hale geldi? Herhangi bir noktayı seçebiliriz ve şimdi ondan dans edeceğiz.

Koordinatlı bir nokta düşünün. İçindeki fonksiyonun değeri eşittir. Sonra aynı artışı yapıyoruz: koordinatı artırıyoruz. Şimdi argüman nedir? Çok kolay: . Şimdi fonksiyonun değeri nedir? Argüman nereye giderse, işlev oraya gider: . Peki ya fonksiyon artışı? Yeni bir şey yok: Bu, işlevin değiştirdiği miktardır:

Artımları bulma alıştırması yapın:

1. Argüman artışının eşit olduğu bir noktada fonksiyonun artışını bulun.
2. Bir noktada bir fonksiyon için aynı.

Çözümler:

İÇİNDE farklı noktalar bağımsız değişkenin aynı artışıyla, işlevin artışı farklı olacaktır. Bu, her noktadaki türevin kendine ait olduğu anlamına gelir (bunu en başta tartıştık - yolun farklı noktalardaki dikliği farklıdır). Bu nedenle, bir türev yazarken, hangi noktada belirtmeliyiz:

Güç işlevi.

Güç işlevi, argümanın bir dereceye kadar (mantıksal, değil mi?) olduğu bir işlev olarak adlandırılır.

Ve - herhangi bir ölçüde: .

En basit durumüs olduğunda:

Bir noktadaki türevini bulalım. Bir türevin tanımını hatırlayın:

Böylece bağımsız değişken ile arasında değişir. fonksiyon artışı nedir?

Artış Ancak herhangi bir noktada işlev, bağımsız değişkenine eşittir. Bu yüzden:

Türev:

türevi:

b) Şimdi ikinci dereceden işlevi ele alalım (): .

Şimdi bunu hatırlayalım. Bu, sonsuz küçük olduğu ve bu nedenle başka bir terimin arka planına karşı önemsiz olduğu için artışın değerinin ihmal edilebileceği anlamına gelir:

Yani, başka bir kuralımız var:

c) Mantıksal diziye devam ediyoruz: .

Bu ifade farklı şekillerde basitleştirilebilir: toplamın küpünün kısaltılmış çarpımı için formülü kullanarak ilk parantezi açın veya küplerin farkı için formülü kullanarak tüm ifadeyi çarpanlara ayırın. Önerilen yollardan herhangi biriyle kendiniz yapmaya çalışın.

Böylece, aşağıdakileri aldım:

Ve tekrar hatırlayalım. Bu, aşağıdakileri içeren tüm terimleri ihmal edebileceğimiz anlamına gelir:

Biz: .

d) Büyük güçler için benzer kurallar elde edilebilir:

e) Bu kuralın, bir tamsayı bile değil, keyfi bir üslü bir kuvvet fonksiyonu için genelleştirilebileceği ortaya çıktı:

(2)

Kuralı şu sözlerle formüle edebilirsiniz: "derece bir katsayı olarak öne alınır ve sonra azalır".

Bu kuralı daha sonra ispatlayacağız (neredeyse en sonunda). Şimdi birkaç örneğe bakalım. Fonksiyonların türevini bulun:

1. (iki şekilde: formülle ve türevin tanımını kullanarak - fonksiyonun artışını sayarak);

1. . İster inanın ister inanmayın, bu bir güç işlevidir. “Nasıl? Ve derece nerede? ”,“ ”Konusunu hatırla!
   Evet, evet, kök de bir derecedir, sadece kesirlidir:.
   Böylece biz Kare kök sadece üslü bir derecedir:
   .
   Yakın zamanda öğrenilen formülü kullanarak türevi arıyoruz:

   Bu noktada yine belirsizleşirse, "" konusunu tekrarlayın !!! (negatif göstergeli bir derece hakkında)

2. . Şimdi üs:

   Ve şimdi tanım yoluyla (henüz unuttunuz mu?):
   ;
   .
   Şimdi, her zamanki gibi, aşağıdakileri içeren terimi ihmal ediyoruz:
   .

3. . Önceki vakaların kombinasyonu: .

trigonometrik fonksiyonlar.

Burada yüksek matematikten bir gerçeği kullanacağız:

Ne zaman ifade.

İspatı enstitünün ilk yılında öğreneceksiniz (ve oraya ulaşmak için sınavı iyi geçmeniz gerekiyor). Şimdi grafiksel olarak göstereceğim:

Fonksiyon olmadığında - grafikteki noktanın delindiğini görüyoruz. Ancak değere ne kadar yakınsa, fonksiyon o kadar yakındır.Bu tam da “çabalar”.

Ek olarak, bu kuralı bir hesap makinesiyle de kontrol edebilirsiniz. Evet, evet, çekinme, hesap makinesi al, henüz sınava girmedik.

Hadi deneyelim: ;

Hesap makinesini Radyan moduna geçirmeyi unutmayın!

vesaire. Görüyoruz ki, ne kadar küçükse daha yakın anlam ile ilişkili.

a) Bir fonksiyon düşünün. Her zamanki gibi, artışını buluyoruz:

Sinüs farkını bir çarpıma çevirelim. Bunu yapmak için formülü kullanıyoruz ("" konusunu hatırlayın):.

Şimdi türev:

Bir ikame yapalım: . O halde, sonsuz küçük için, aynı zamanda sonsuz küçüktür: . for ifadesi şu şekli alır:

Ve şimdi bunu ifade ile hatırlıyoruz. Ve ayrıca, toplamda ihmal edilebilecek kadar küçük bir değer varsa (yani at).

Böylece aşağıdaki kuralı elde ederiz: sinüsün türevi kosinüs'e eşittir:

Bunlar temel (“tablo”) türevlerdir. İşte bir listedeler:

Daha sonra bunlara birkaç tane daha ekleyeceğiz, ancak bunlar en sık kullanıldıkları için en önemlileridir.

Pratik:

1. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun;
2. Fonksiyonun türevini bulun.

Çözümler:

1. Önce türevi buluruz Genel görünüm, ve ardından onun değerini değiştirin:
   ;
   .
2. Burada bir güç fonksiyonuna benzer bir şeyimiz var. onu getirmeye çalışalım
   Normal görünüm:
   .
   Tamam, şimdi formülü kullanabilirsiniz:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Bu nedir????

Tamam, haklısın, bu tür türevleri nasıl bulacağımızı hala bilmiyoruz. Burada birkaç fonksiyon türünün bir kombinasyonuna sahibiz. Onlarla çalışmak için birkaç kural daha öğrenmeniz gerekir:

Üs ve doğal logaritma.

Matematikte öyle bir fonksiyon vardır ki, herhangi biri için türevi, kendisi için fonksiyonun kendisinin değerine eşittir. Buna "üs" denir ve üstel bir fonksiyondur

Bu işlevin temeli - bir sabit - sonsuz bir ondalık kesirdir, yani irrasyonel bir sayıdır (örneğin). "Euler sayısı" olarak adlandırılır, bu nedenle bir harfle gösterilir.

Yani kural şudur:

Hatırlaması çok kolay.

Pekala, uzağa gitmeyeceğiz, hemen ters işlevi ele alacağız. Üstel fonksiyonun tersi nedir? Logaritma:

Bizim durumumuzda, taban bir sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani, tabanı olan bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir gösterim kullanırız: bunun yerine yazarız.

Neye eşittir? Elbette, .

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

1. Fonksiyonun türevini bulun.
2. Fonksiyonun türevi nedir?

Yanıtlar: Katılımcı ve doğal logaritma- fonksiyonlar, türev açısından benzersiz bir şekilde basittir. Başka herhangi bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır, bunu daha sonra türev alma kurallarını inceledikten sonra analiz edeceğiz.

Farklılaşma kuralları

Ne kuralları? Yine yeni bir terim mi?!...

farklılaşma türevi bulma işlemidir.

Sadece ve her şey. Bu süreç için başka bir kelime nedir? Proizvodnovanie değil... Matematiğin diferansiyeli, işlevin çok artışı olarak adlandırılır. Bu terim Latin farklılığından gelir - fark. Burada.

Tüm bu kuralları türetirken, iki işlev kullanacağız, örneğin ve. Artımları için formüllere de ihtiyacımız olacak:

Toplam 5 kural vardır.

Sabit, türevin işaretinden çıkarılır.

Eğer - bazı sabit sayılar (sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural şu ​​fark için de işe yarar: .

Hadi kanıtlayalım. Bırak ya da daha kolay.

Örnekler.

Fonksiyonların türevlerini bulun:

1. noktada;
2. noktada;
3. noktada;
4. noktada.

Çözümler:

1. (türev her noktada aynıdır, çünkü doğrusal fonksiyon, Unutma?);

Bir ürünün türevi

Burada her şey benzer: yeni bir fonksiyon tanıtıyoruz ve artışını buluyoruz:

Türev:

Örnekler:

1. Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
2. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun.

Çözümler:

üstel fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, sadece üssü değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterli (henüz ne olduğunu unuttunuz mu?).

Peki bir numara nerede?

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, bu yüzden fonksiyonumuzu yeni bir tabana getirmeye çalışalım:

Bunun için kullanıyoruz basit kural: . Daha sonra:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.

Olmuş?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün üssün türevine çok benzer olduğu ortaya çıktı: olduğu gibi kaldı, sadece bir sayı olan ancak bir değişken olmayan bir faktör ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Yanıtlar:

Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayacak bir sayı, yani daha fazlasını yazmanın bir yolu yok. basit biçim. Bu nedenle cevapta bu formda bırakılmıştır.

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

İşte benzer: doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, logaritmadan farklı bir tabana sahip bir keyfi bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana getirmemiz gerekiyor. Bir logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Sadece şimdi bunun yerine yazacağız:

Paydanın sadece bir sabit olduğu ortaya çıktı (değişkensiz sabit bir sayı). Türev çok basit:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri sınavda neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

"Karmaşık işlev" nedir? Hayır, bu bir logaritma veya bir yay teğeti değil. Bu işlevleri anlamak zor olabilir (logaritma size zor geliyorsa, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve her şey yoluna girecek), ancak matematik açısından "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir konveyör hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, birincisi bir çikolatayı bir pakete sarar ve ikincisi onu bir kurdele ile bağlar. Böyle bir bileşik nesne ortaya çıkıyor: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata. Bir çikolata yemek için ters adımları ters sırayla uygulamanız gerekir.

Benzer bir matematiksel boru hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız ve sonra elde edilen sayının karesini alacağız. Böylece bize bir sayı (çikolata) veriyorlar, ben onun kosinüsünü (sarmalayıcı) buluyorum ve sonra sen elimdekinin karesini alıyorsun (bir kurdeleyle bağlıyorsun). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir fonksiyon örneğidir: değerini bulmak için, ilk eylemi doğrudan değişkenle yaptığımızda ve ardından birincinin sonucunda olanlarla başka bir ikinci eylemi yaptığımızda.

Aynı işlemleri ters sırayla da yapabiliriz: önce karesini alırsın, sonra ben çıkan sayının kosinüsünü ararım:. Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Önemli özellik karmaşık işlevler: eylemlerin sırasını değiştirdiğinizde işlev değişir.

Başka bir deyişle, Karmaşık bir işlev, bağımsız değişkeni başka bir işlev olan bir işlevdir.: .

İlk örnek için, .

İkinci örnek: (aynı). .

Yaptığımız son eylem çağrılacak "dış" işlev ve sırasıyla ilk gerçekleştirilen eylem "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, bunları yalnızca materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi işlevin harici ve hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Yanıtlar:İç ve dış fonksiyonların ayrılması, değişen değişkenlere çok benzer: örneğin, fonksiyonda

1. İlk olarak hangi işlemi yapacağız? Önce sinüsü hesaplıyoruz ve ancak o zaman onu bir küp haline getiriyoruz. Yani bu dahili bir fonksiyondur, harici değil.
   Ve orijinal işlev, bunların bileşimidir: .
2. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
3. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
4. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
5. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .

değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ederiz.

Pekala, şimdi çikolatamızı çıkaracağız - türevini arayacağız. Prosedür her zaman tersine çevrilir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnek için şöyle görünür:

Başka bir örnek:

O halde, nihayet resmi kuralı formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

Her şey basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

Çözümler:

1) Dahili: ;

Harici: ;

2) Dahili: ;

(şimdiye kadar düşürmeye çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkmadı, unuttunuz mu?)

3) Dahili: ;

Harici: ;

Burada üç seviyeli karmaşık bir fonksiyon olduğu hemen anlaşılıyor: Sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir fonksiyon ve yine de ondan kökü çıkarıyoruz, yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (çikolatayı bir paketleyiciye koyuyoruz) ve evrak çantasında bir kurdele ile). Ancak korkmak için bir neden yok: Her neyse, bu işlevi her zamanki sırayla "ambalajından çıkaracağız": sondan.

Yani önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi ayırt ederiz. Ve sonra hepsini çarpıyoruz.

Bu gibi durumlarda, eylemleri numaralandırmak uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla gerçekleştireceğiz? Bir örneğe bakalım:

Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, karşılık gelen işlev o kadar "dışsal" olacaktır. İşlem sırası - daha önce olduğu gibi:

Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Eylem rotasını belirleyelim.

1. Radikal ifade. .

2. Kök. .

3. Sinüs. .

4. Kare. .

5. Hepsini bir araya getirmek:

TÜREV. ANA KONU HAKKINDA KISACA

fonksiyon türevi- işlevin artışının, bağımsız değişkenin sonsuz küçük artışıyla bağımsız değişkenin artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaştırma kuralları:

Sabit, türevin işaretinden çıkarılır:

Toplamın türevi:

Türev ürün:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

1. "İç" işlevi tanımlar, türevini buluruz.
2. "Dış" işlevi tanımlar, türevini buluruz.
3. Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.

Tarih: 20.11.2014

Türev nedir?

Türev tablosu.

Türev, yüksek matematiğin temel kavramlarından biridir. Bu dersimizde bu kavramı tanıtacağız. Katı matematiksel formülasyonlar ve kanıtlar olmadan tanışalım.

Bu tanıtım size şunları sağlayacaktır:

Bir türev ile basit görevlerin özünü anlayın;

Bunları en çok başarıyla çöz zor görevler;

Daha ciddi türev derslerine hazırlanın.

İlk olarak, hoş bir sürpriz.

Türevin kesin tanımı, limitler teorisine dayanmaktadır ve bu durum oldukça karmaşıktır. Üzücü. Ancak türevin pratik uygulaması, kural olarak, bu kadar kapsamlı ve derin bilgi gerektirmez!

Okuldaki ve üniversitedeki çoğu görevi başarıyla tamamlamak için bilmek yeterlidir. sadece birkaç terim- görevi anlamak ve sadece birkaç kural- çözmek için. Ve bu kadar. Bu beni mutlu ediyor.

Tanışalım mı?)

Terimler ve atamalar.

İlköğretim matematiğinde birçok matematiksel işlem vardır. Toplama, çıkarma, çarpma, üs alma, logaritma vb. Bu işlemlere bir işlem daha eklenirse temel matematik yükselir. Bu yeni operasyon isminde farklılaşma. Bu işlemin tanımı ve anlamı ayrı derslerde ele alınacaktır.

Burada, farklılaşmanın bir fonksiyon üzerinde sadece matematiksel bir işlem olduğunu anlamak önemlidir. Herhangi bir işlevi alıyoruz ve belirli kurallara göre dönüştürüyoruz. sonuç olacak yeni özellik. Bu yeni işlevin adı: türev.

farklılaşma- bir işlev üzerinde eylem.

Türev bu eylemin sonucudur.

Mesela, toplam eklemenin sonucudur. Veya özel bölünmesinin sonucudur.

Terimleri bilerek, en azından görevleri anlayabilirsiniz.) İfadeler şu şekildedir: bir fonksiyonun türevini bulun; türevi alın; işlevi ayırt etmek; türevi hesapla ve benzeri. Hepsi bu Aynı. Elbette, türevi bulmanın (türev alma) görevi çözmenin adımlarından sadece biri olacağı daha karmaşık görevler de vardır.

Türev, fonksiyonun sağ üst tarafında bir çizgi ile gösterilir. Bunun gibi: sen" veya f"(x) veya S"(t) ve benzeri.

Okumak y vuruşu, x'ten ef vuruşu, te'den es vuruşu, iyi anladın...)

Bir asal, belirli bir fonksiyonun türevini de gösterebilir, örneğin: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" vesaire. Genellikle türev, diferansiyeller kullanılarak gösterilir, ancak bu derste böyle bir gösterimi ele almayacağız.

Görevleri anlamayı öğrendiğimizi varsayalım. Geriye hiçbir şey kalmadı - onları nasıl çözeceğimizi öğrenmek.) Size tekrar hatırlatmama izin verin: türevi bulmak bir fonksiyonun belirli kurallara göre dönüşümü. Bu kurallar şaşırtıcı derecede azdır.

Bir fonksiyonun türevini bulmak için sadece üç şeyi bilmeniz gerekir. Tüm farklılaşmanın dayandığı üç sütun. İşte üç balina:

1. Türev tablosu (farklılaştırma formülleri).

3. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

Sırayla başlayalım. Bu dersimizde türev tablosunu inceleyeceğiz.

Türev tablosu.

Dünyanın sonsuz sayıda işlevi vardır. Bu set arasında en önemli olan fonksiyonlar vardır. pratik uygulama. Bu işlevler tüm doğa yasalarında yer alır. Bu işlevlerden, tuğlalardan olduğu gibi, diğerlerini de inşa edebilirsiniz. Bu işlev sınıfına denir temel işlevler. Okulda incelenen bu işlevlerdir - doğrusal, ikinci dereceden, hiperbol vb.

İşlevlerin "sıfırdan" farklılaştırılması, yani. türevin tanımına ve limit teorisine dayanarak - oldukça zaman alan bir şey. Ve matematikçiler de insan, evet, evet!) Böylece hayatlarını (ve bizi) basitleştirdiler. Temel fonksiyonların türevlerini bizden önce hesapladılar. Sonuç, her şeyin hazır olduğu bir türev tablosudur.)

İşte en popüler işlevler için bu plaka. Sol - temel işlev, sağ - türevi.

	İşlev y	y fonksiyonunun türevi sen"
1	C (sabit)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n herhangi bir sayıdır)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	günah x	(sinx)" = cosx
	çünkü x	(cos x)" = - günah x
	tg x
	ctg x
5	yay x
	arkcos x
	yay x
	yay x
4	A X
	e X
5	kayıt A X
	ln x ( bir = e)

Bu türev tablosundaki üçüncü fonksiyon grubuna dikkat etmenizi tavsiye ederim. Bir güç fonksiyonunun türevi, en yaygın formüllerden biri değilse de en yaygın olanıdır! İpucu açık mı?) Evet, türev tablosunu ezbere bilmek arzu edilir. Bu arada, göründüğü kadar zor değil. Daha fazla örnek çözmeye çalışın, tablonun kendisi hatırlanacaktır!)

Türevin tablo değerini bulmak, anladığınız gibi, en zor iş değil. Bu nedenle, çoğu zaman bu tür görevlerde ek çipler bulunur. Ya görevin formülasyonunda ya da tabloda görünmeyen orijinal işlevde ...

Birkaç örneğe bakalım:

1. y = x fonksiyonunun türevini bulun 3

Tabloda böyle bir fonksiyon yoktur. Ancak güç fonksiyonunun (üçüncü grup) genel bir türevi vardır. Bizim durumumuzda n=3. Bu yüzden n yerine üçlüyü yerine koyuyoruz ve sonucu dikkatlice yazıyoruz:

(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Hepsi bu kadar.

Cevap: y" = 3x 2

2. y = sinx fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevinin değerini bulunuz.

Bu görev, önce sinüsün türevini bulmanız ve ardından değeri yerine koymanız gerektiği anlamına gelir. x = 0 bu aynı türev için. Bu sırada! Aksi takdirde, orijinal fonksiyona hemen sıfır koyarlar ... Bizden orijinal fonksiyonun değerini değil, değerini bulmamız istenir. türevi. Türev, hatırlatayım, zaten yeni bir fonksiyon.

Plakada sinüsü ve karşılık gelen türevi buluyoruz:

y" = (sinx)" = cosx

Türevde sıfırı yerine koy:

y"(0) = çünkü 0 = 1

Cevap bu olacak.

3. İşlevi ayırt edin:

Ne ilham verir?) Türevler tablosunda böyle bir fonksiyona yakın bile yoktur.

Bir fonksiyonun türevini almanın basitçe bu fonksiyonun türevini bulmak olduğunu hatırlatmama izin verin. Temel trigonometriyi unutursanız, fonksiyonumuzun türevini bulmak oldukça zahmetlidir. Tablo yardımcı olmuyor...

Ama fonksiyonumuzun olduğunu görürsek çift ​​açının kosinüsü, o zaman her şey hemen daha iyi olur!

Evet evet! Orijinal fonksiyonun dönüşümünün olduğunu unutmayın farklılaşmadan önce oldukça kabul edilebilir! Ve hayatı çok daha kolaylaştırıyor. Çift açının kosinüs formülüne göre:

Onlar. zor fonksiyonumuz başka bir şey değil y = cox. Ve bu bir tablo fonksiyonudur. Hemen alıyoruz:

Cevap: y" = - günah x.

İleri düzey mezunlar ve öğrenciler için örnek:

4. Bir fonksiyonun türevini bulun:

Türev tablosunda böyle bir fonksiyon yok elbette. Ancak temel matematiği hatırlarsanız, güçlü eylemler... O zaman bu işlevi basitleştirmek oldukça mümkündür. Bunun gibi:

Ve x üzeri onda bir zaten bir tablo işlevidir! Üçüncü grup, n=1/10. Doğrudan formüle göre yazın ve şunu yazın:

Bu kadar. Cevap bu olacak.

Umarım ilk farklılaşma balinasıyla - türev tablosu - her şey açıktır. Kalan iki balinayla uğraşmaya devam ediyor. Bir sonraki dersimizde türev alma kurallarını öğreneceğiz.