Ev › Soğutma sistemi › Bir sayının logaritmik gösterimi. logaritma

Bir sayının logaritmik gösterimi. logaritma

b (b > 0)'ın a tabanına (a > 0, a ≠ 1) göre logaritması b'yi elde etmek için a sayısını artırmanız gereken üs.

b'nin 10 tabanlı logaritması şu şekilde yazılabilir: günlük(b) ve e tabanına göre logaritma (doğal logaritma) - ln(b).

Genellikle logaritmalarla ilgili problemleri çözerken kullanılır:

Logaritmaların özellikleri

Dört ana var logaritmaların özellikleri.

a > 0, a ≠ 1, x > 0 ve y > 0 olsun.

Özellik 1. Çarpımın logaritması

Çarpımın logaritması logaritmaların toplamına eşittir:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Özellik 2. Bölümün logaritması

bölümün logaritması logaritmaların farkına eşittir:

log a (x / y) = log a x – log a y

Özellik 3. Derecenin logaritması

Derece logaritması derecenin ve logaritmanın ürününe eşittir:

Logaritmanın tabanı üsse ise, başka bir formül uygulanır:

Özellik 4. Kökün logaritması

Bu özellik, derecenin logaritmasının özelliğinden elde edilebilir, çünkü n'inci derecenin kökü 1/n'nin gücüne eşittir:

Bir tabandaki logaritmadan başka bir tabandaki logaritmaya gitme formülü

Bu formül, logaritmalar için çeşitli görevleri çözerken de sıklıkla kullanılır:

Özel durum:

Logaritmaların karşılaştırılması (eşitsizlikler)

Aynı tabanlı logaritmalar altında f(x) ve g(x) olmak üzere 2 fonksiyonumuz olduğunu ve aralarında bir eşitsizlik işareti olduğunu varsayalım:

Bunları karşılaştırmak için önce a logaritmalarının tabanına bakmanız gerekir:

a > 0 ise f(x) > g(x) > 0
0 ise< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Logaritmalarla ilgili problemler nasıl çözülür: örnekler

Logaritma içeren görevler Görev 5 ve görev 7'de 11. sınıf için Matematikte KULLANIM'a dahil edilen görevleri web sitemizde ilgili bölümlerde bulabilirsiniz. Ayrıca logaritmalı görevler, matematikteki görevler bankasında bulunur. Sitede arama yaparak tüm örnekleri bulabilirsiniz.

logaritma nedir

Logaritmalar her zaman dikkate alınmıştır zor konu okul matematiğinde. Logaritmanın pek çok farklı tanımı vardır, ancak nedense çoğu ders kitabı bunların en karmaşık ve talihsiz olanını kullanır.

Logaritmayı basit ve net bir şekilde tanımlayacağız. Bunun için bir tablo oluşturalım:

Yani, ikinin kuvvetlerine sahibiz.

Logaritmalar - özellikler, formüller, nasıl çözülür

Alt satırdaki sayıyı alırsanız, bu sayıyı elde etmek için ikiye yükseltmeniz gereken kuvveti kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, 16 elde etmek için ikinin dördüncü kuvvetini yükseltmeniz gerekir. Ve 64'ü elde etmek için, ikinin altıncı kuvvetini yükseltmeniz gerekir. Bu tablodan görülebilir.

Ve şimdi - aslında, logaritmanın tanımı:

x argümanının a tabanı, x sayısını elde etmek için a sayısının yükseltilmesi gereken kuvvettir.

Gösterim: log a x \u003d b, burada a tabandır, x argümandır, b aslında logaritmanın eşittir.

Örneğin, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8'in 2 tabanlı logaritması üçtür çünkü 2 3 = 8). Log 2 64 = 6 da olabilir, çünkü 2 6 = 64.

Bir sayının belirli bir tabana göre logaritmasını bulma işlemine denir. O halde tablomuza yeni bir satır ekleyelim:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
günlük 2 2 = 1	günlük 2 4 = 2	günlük 2 8 = 3	günlük 2 16 = 4	günlük 2 32 = 5	günlük 2 64 = 6

Ne yazık ki, tüm logaritmalar o kadar kolay kabul edilmiyor. Örneğin, log 2 5'i bulmaya çalışın. 5 sayısı tabloda yoktur, ancak mantık, logaritmanın doğru parçasının herhangi bir yerinde olacağını belirtir. çünkü 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bu tür sayılara irrasyonel denir: ondalık noktadan sonraki sayılar sonsuza kadar yazılabilir ve asla tekrar etmezler. Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, şu şekilde bırakmak daha iyidir: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Logaritmanın iki değişkenli (taban ve bağımsız değişken) bir ifade olduğunu anlamak önemlidir. İlk başta, birçok insan temelin nerede olduğu ve argümanın nerede olduğunu karıştırır. Can sıkıcı yanlış anlamaları önlemek için resme bir bakın:

Önümüzde logaritmanın tanımından başka bir şey yok. Hatırlamak: logaritma güçtür, argümanı almak için tabanı yükseltmeniz gerekir. Bir güce yükseltilen tabandır - resimde kırmızı ile vurgulanmıştır. Tabanın her zaman altta olduğu ortaya çıktı! Öğrencilerime bu harika kuralı daha ilk derste söylüyorum - ve kafa karışıklığı yok.

logaritmalar nasıl sayılır

Tanımı bulduk - logaritmaların nasıl sayılacağını öğrenmeye devam ediyor, yani. "log" işaretinden kurtulun. Başlangıç olarak, tanımdan iki önemli gerçeğin çıktığını not ediyoruz:

Bağımsız değişken ve taban her zaman sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, logaritmanın tanımının indirgendiği rasyonel bir üs tarafından derecenin tanımından çıkar.
Taban birlikten farklı olmalıdır, çünkü herhangi bir kuvvete karşı bir birim hala bir birimdir. Bu nedenle, "iki elde etmek için hangi güce yükseltilmelidir" sorusu anlamsızdır. Böyle bir derece yok!

Bu tür kısıtlamalar denir geçerli aralık(ODZ). Logaritmanın ODZ'sinin şöyle göründüğü ortaya çıktı: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

B sayısı (logaritmanın değeri) üzerinde herhangi bir kısıtlama bulunmadığına dikkat edin. Örneğin, logaritma negatif olabilir: log 2 0,5 = -1, çünkü 0,5 = 2 −1 .

Ancak, şimdi sadece logaritmanın ODZ'sini bilmenin gerekli olmadığı sayısal ifadeleri ele alıyoruz. Tüm kısıtlamalar, sorunların derleyicileri tarafından zaten dikkate alınmıştır. Ancak logaritmik denklemler ve eşitsizlikler devreye girdiğinde, DHS gereklilikleri zorunlu hale gelecektir. Aslında, temel ve argümanda, yukarıdaki kısıtlamalara mutlaka karşılık gelmeyen çok güçlü yapılar olabilir.

Şimdi düşünün genel şema logaritma hesaplamaları. Üç adımdan oluşur:

a tabanını ve x argümanını mümkün olan en küçük tabanı birden büyük olan bir kuvvet olarak ifade edin. Yol boyunca ondalık kesirlerden kurtulmak daha iyidir;
b değişkeni için denklemi çözün: x = a b ;
Ortaya çıkan b sayısı cevap olacaktır.

Bu kadar! Logaritma irrasyonel çıkarsa, bu zaten ilk adımda görülecektir. Tabanın birden büyük olması gerekliliği çok önemlidir: bu, hata olasılığını azaltır ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. Ondalık kesirlerde de benzer şekilde: onları hemen sıradan kesirlere dönüştürürseniz, birçok kez daha az hata olacaktır.

Bu şemanın belirli örneklerle nasıl çalıştığını görelim:

Görev. Logaritmayı hesapla: günlük 5 25

Tabanı ve argümanı beşin kuvveti olarak gösterelim: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Denklemi oluşturalım ve çözelim:
günlük 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Bir cevap aldı: 2.

Görev. Logaritmayı hesaplayın:

Görev. Logaritmayı hesapla: günlük 4 64

Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak gösterelim: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Denklemi oluşturalım ve çözelim:
günlük 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Bir cevap aldı: 3.

Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 16 1

Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak gösterelim: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Denklemi oluşturalım ve çözelim:
günlük 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Bir yanıt alındı: 0.

Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 7 14

Tabanı ve argümanı yedinin kuvveti olarak gösterelim: 7 = 7 1 ; 14, yedinin kuvveti olarak temsil edilmez, çünkü 7 1< 14 < 7 2 ;
Önceki paragraftan, logaritmanın dikkate alınmadığı sonucu çıkar;
Cevap değişiklik yok: günlük 7 14.

küçük bir not son örnek. Bir sayının başka bir sayının tam kuvveti olmadığından nasıl emin olunur? Çok basit - sadece onu asal çarpanlara ayırın. Genişletmede en az iki farklı faktör varsa, sayı tam bir kuvvet değildir.

Görev. Sayının tam kuvvetlerinin şunlar olup olmadığını öğrenin: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tam derece, çünkü sadece bir çarpan vardır;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 tam bir kuvvet değildir çünkü iki çarpan vardır: 3 ve 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tam derece;
35 = 7 5 - yine kesin bir derece değil;
14 \u003d 7 2 - yine kesin bir derece değil;

Ayrıca, asal sayıların kendilerinin her zaman kendilerinin tam kuvvetleri olduğuna dikkat edin.

ondalık logaritma

Bazı logaritmalar o kadar yaygındır ki, özel bir adları ve atamaları vardır.

x bağımsız değişkeninin 10 tabanlı logaritmasıdır, yani x'i elde etmek için 10'un yükseltilmesi gereken kuvvet. Tanımlama: lgx.

Örneğin, günlük 10 = 1; günlük 100 = 2; lg 1000 = 3 - vb.

Bundan sonra ders kitabında “lg 0.01 Bul” gibi bir ibare göründüğünde bunun bir yazım hatası olmadığını bilin. Bu ondalık logaritmadır. Ancak, böyle bir atamaya alışkın değilseniz, onu her zaman yeniden yazabilirsiniz:
günlük x = günlük 10 x

Sıradan logaritmalar için doğru olan her şey ondalık sayılar için de geçerlidir.

doğal logaritma

Kendi notasyonu olan başka bir logaritma var. Bir anlamda ondalıktan bile daha önemlidir. Hakkında Doğal logaritma hakkında.

x bağımsız değişkeninin e tabanına göre logaritmasıdır, yani x sayısını elde etmek için e sayısının yükseltilmesi gereken kuvvet. Tanımlama: lnx.

Birçoğu soracak: e sayısı nedir? Bu irrasyonel bir sayıdır Kesin değer bulmak ve kaydetmek imkansızdır. İşte sadece ilk sayılar:
e = 2,718281828459…

Bu sayının ne olduğunu ve neden gerekli olduğunu araştırmayacağız. Sadece e'nin taban olduğunu hatırla doğal logaritma:
ln x = log e x

Böylece ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - vb. Öte yandan ln 2 irrasyonel bir sayıdır. Genel olarak, herhangi bir rasyonel sayının doğal logaritması irrasyoneldir. Elbette birlik hariç: ln 1 = 0.

Doğal logaritmalar için, adi logaritmalar için geçerli olan tüm kurallar geçerlidir.

Ayrıca bakınız:

logaritma. Logaritmanın özellikleri (logaritmanın gücü).

Bir sayıyı logaritma olarak nasıl temsil edebilirim?

Bir logaritmanın tanımını kullanıyoruz.

Logaritma, logaritmanın işareti altındaki sayıyı elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken gücün bir göstergesidir.

Bu nedenle, belirli bir c sayısını a tabanına logaritma olarak temsil etmek için, logaritmanın işaretinin altına logaritmanın tabanı ile aynı tabana sahip bir derece koymanız ve bu sayıyı c'yi üsse yazmanız gerekir:

Bir logaritma biçiminde, kesinlikle herhangi bir sayıyı temsil edebilirsiniz - pozitif, negatif, tamsayı, kesirli, rasyonel, irrasyonel:

Bir sınav veya sınavın stresli koşullarında a ve c'yi karıştırmamak için aşağıdaki kuralı hatırlamak için kullanabilirsiniz:

aşağıda olan aşağı iner, yukarıda olan yukarı çıkar.

Örneğin, 2 sayısını 3 tabanına göre bir logaritma olarak göstermek istiyorsunuz.

İki sayımız var - 2 ve 3. Bu sayılar, logaritma işareti altına yazacağımız taban ve üs. Geriye, bu sayılardan hangisinin derece bazında ve hangisinin üs olarak yazılacağını belirlemek kalır.

Logaritma kaydındaki 3 tabanı en altta yani ikiliyi 3'ün tabanına logaritma olarak gösterdiğimizde tabana da 3 yazacağız.

2, 3'ten yüksektir. Ve derece notasyonunda, üçün üstüne iki, yani üste yazıyoruz:

Logaritmalar. İlk seviye.

logaritmalar

logaritma pozitif sayı B Sebeple A, Nerede bir > 0, bir ≠ 1, sayının yükseltilmesi gereken üsdür. A, Elde etmek üzere B.

logaritmanın tanımı kısaca şöyle yazılabilir:

Bu eşitlik için geçerlidir. b > 0, a > 0, a ≠ 1. O genellikle denir logaritmik özdeşlik.
Bir sayının logaritmasını bulma işlemine denir. logaritma.

Logaritmaların özellikleri:

Çarpımın logaritması:

Bölümden bölümün logaritması:

Logaritmanın tabanını değiştirmek:

Derece logaritması:

kök logaritması:

Kuvvet tabanlı logaritma:

Ondalık ve doğal logaritmalar.

ondalık logaritma sayılar o sayının 10 tabanındaki logaritmasını çağırır ve lg yazar B
doğal logaritma sayılar bu sayının logaritmasını tabana çağırır e, Nerede e irrasyonel bir sayıdır, yaklaşık olarak 2,7'ye eşittir. Aynı zamanda, ln yazıyorlar B.

Cebir ve Geometri Üzerine Diğer Notlar

Logaritmaların temel özellikleri

Herhangi bir sayı gibi logaritmalar da mümkün olan her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar pek sıradan sayılar olmadığı için, burada logaritma adı verilen kurallar vardır. Temel özellikler.

Bu kurallar bilinmelidir - onlarsız hiçbir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca, çok azı var - her şey bir günde öğrenilebilir. Öyleyse başlayalım.

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması

Aynı tabana sahip iki logaritmayı ele alalım: log a x ve log a y. Sonra eklenebilir ve çıkarılabilirler ve:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta - aynı gerekçeler. Bazlar farklı ise bu kurallar işlemez!

Bu formüller hesaplamanıza yardımcı olacaktır logaritmik ifade bireysel parçaları dikkate alınmadığında bile ("Logaritma nedir" dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve görün:

günlük 6 4 + günlük 6 9.

Logaritmaların tabanları aynı olduğu için toplam formülünü kullanırız:
günlük 6 4 + günlük 6 9 = günlük 6 (4 9) = günlük 6 36 = 2.

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 2 48 - log 2 3.

Bazlar aynıdır, fark formülünü kullanırız:
günlük 2 48 - günlük 2 3 = günlük 2 (48: 3) = günlük 2 16 = 4.

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 3 135 - log 3 5.

Yine, tabanlar aynı, yani elimizde:
günlük 3 135 - günlük 3 5 = günlük 3 (135: 5) = günlük 3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı düşünülmeyen "kötü" logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra oldukça normal sayılar ortaya çıkıyor. Bu gerçeğe dayanarak birçok test kağıtları. Evet, kontrol - sınavda tüm ciddiyetiyle (bazen - neredeyse hiç değişiklik olmadan) benzer ifadeler sunulur.

Üssü logaritmadan çıkarma

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya logaritmanın tabanında veya argümanında bir derece varsa? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

bunu görmek kolay son kural ilk ikisini takip eder. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Tabii ki, ODZ logaritması gözlenirse tüm bu kurallar mantıklıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, tersi de uygulamayı öğrenin, yani. logaritmanın işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz.

logaritma nasıl çözülür

En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 7 49 6 .

İlk formüle göre argümandaki dereceden kurtulalım:
günlük 7 49 6 = 6 günlük 7 49 = 6 2 = 12

Görev. İfadenin değerini bulun:

Paydanın, tabanı ve bağımsız değişkeni tam üsler olan bir logaritma olduğuna dikkat edin: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Sahibiz:

Son örneğin açıklığa kavuşturulması gerektiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece payda ile çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın tabanını ve argümanını derece şeklinde sundular ve göstergeleri çıkardılar - "üç katlı" bir kesir elde ettiler.

Şimdi ana kesire bakalım. Pay ve payda aynı sayıya sahiptir: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 olduğundan, kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dört, yapılan paya aktarılabilir. Sonuç cevap: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsetmişken, bunların sadece aynı tabanlarla çalıştıklarını özellikle vurguladım. Ya tabanlar farklıysa? Ya aynı sayının tam kuvvetleri değilse?

Yeni bir üsse geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Onları bir teorem şeklinde formüle ediyoruz:

Logaritma log a x verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle c = x koyarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanını ve argümanını değiştirmenin mümkün olduğu sonucu çıkar, ancak bu durumda tüm ifade "ters çevrilir", yani. logaritma paydadadır.

Bu formüller, sıradan sayısal ifadelerde nadiren bulunur. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak, yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyecek görevler var. Bunlardan birkaçını ele alalım:

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 5 16 log 2 25.

Her iki logaritmanın bağımsız değişkenlerinin tam üsler olduğuna dikkat edin. Göstergeleri çıkaralım: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; günlük 2 25 = günlük 2 5 2 = 2log 2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı çevirelim:

Çarpım, faktörlerin permütasyonundan değişmediği için, sakince dört ve ikiyi çarptık ve sonra logaritmaları bulduk.

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 9 100 lg 3.

Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam güçlerdir. Bunu yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Genellikle çözme sürecinde, bir sayıyı belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil etmek gerekir.

Bu durumda, formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı bağımsız değişkendeki üs haline gelir. n sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu sadece logaritmanın değeridir.

İkinci formül aslında başka sözcüklerle ifade edilmiş bir tanımdır. Bunun gibi denir:

Gerçekten de b sayısı, bu derecede b sayısı a sayısını verecek kadar yükseltilirse ne olur? Bu doğru: bu aynı a sayısıdır. Bu paragrafı tekrar dikkatlice okuyun - birçok kişi buna "asılır".

Yeni bir üsse taşınmanın formülleri gibi, ana logaritmik kimlik bazen tek olası çözümdür.

Görev. İfadenin değerini bulun:

Log 25 64 = log 5 8 - sadece kareyi tabandan ve logaritmanın argümanından çıkardık. Aynı tabana sahip kuvvetleri çarpma kuralları göz önüne alındığında, şunu elde ederiz:

Birisi bilmiyorsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi 🙂

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması zor olan iki özdeşlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritma tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak problemlerde bulunurlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri" öğrenciler için bile problem yaratırlar.

log a a = 1'dir. Bir kez ve herkes için hatırlayın: o tabandan herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
günlük bir 1 = 0'dır. a tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak bağımsız değişken bir ise, logaritma sıfırdır! Çünkü 0 = 1, tanımın doğrudan bir sonucudur.

Tüm özellikler bu. Bunları uygulamaya koyarak pratik yaptığınızdan emin olun! Dersin başında kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.

Logaritmik ifadeler, örnek çözüm. Bu yazıda logaritma çözme ile ilgili problemleri ele alacağız. Görevler, ifadenin değerini bulma sorusunu gündeme getirir. Unutulmamalıdır ki logaritma kavramı birçok görevde kullanılmaktadır ve anlamını anlamak son derece önemlidir. KULLANIM'a gelince, logaritma denklem çözmede, uygulamalı problemlerde ve ayrıca fonksiyonların incelenmesiyle ilgili görevlerde kullanılır.

Logaritmanın anlamını anlamak için örnekler:

Temel logaritmik kimlik:

Her zaman hatırlamanız gereken logaritmaların özellikleri:

* Çarpımın logaritması, faktörlerin logaritmalarının toplamına eşittir.

* * *

* Bölümün (kesrin) logaritması, çarpanların logaritmalarının farkına eşittir.

* * *

* Derecenin logaritması, üssün çarpımı ile tabanının logaritmasına eşittir.

* * *

*Yeni üsse geçiş

* * *

Daha fazla özellik:

* * *

Logaritmaların hesaplanması, üslerin özelliklerinin kullanılmasıyla yakından ilgilidir.

Bazılarını listeliyoruz:

Bu özelliğin özü, payı paydaya aktarırken ve bunun tersi de, üssün işaretinin tersine değişmesidir. Örneğin:

Bu özelliğin sonucu:

* * *

Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken, taban aynı kalır, ancak üsler çarpılır.

* * *

Gördüğünüz gibi, logaritma kavramı basittir. Önemli olan, belirli bir beceri kazandıran iyi bir uygulamaya ihtiyaç duyulmasıdır. Kesinlikle formül bilgisi zorunludur. Temel logaritmaları dönüştürme becerisi oluşmamışsa, basit görevleri çözerken kolayca hata yapılabilir.

Pratik yapın, önce matematik dersindeki en basit örnekleri çözün, ardından daha karmaşık örneklere geçin. İleride “çirkin” logaritmaların nasıl çözüldüğünü mutlaka göstereceğim, sınavda böyle logaritmalar olmayacak ama ilgi çekici, kaçırmayın!

Bu kadar! Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh

Not: Siteden sosyal ağlarda bahsederseniz minnettar olurum.

Logaritmaları incelemeye devam ediyoruz. Bu yazıda hakkında konuşacağız logaritmaların hesaplanması, bu işlem denir logaritma. İlk olarak, tanımı gereği logaritmaların hesaplanmasını ele alacağız. Ardından, özellikleri kullanılarak logaritma değerlerinin nasıl bulunduğunu düşünün. Bundan sonra, diğer logaritmaların başlangıçta verilen değerleri üzerinden logaritmaların hesaplanması üzerinde duracağız. Son olarak, logaritma tablolarının nasıl kullanılacağını öğrenelim. Tüm teori, ayrıntılı çözümlerle birlikte örneklerle sağlanır.

Sayfa gezintisi.

Tanım gereği logaritmaların hesaplanması

En basit durumlarda, hızlı ve kolay bir şekilde gerçekleştirmek mümkündür tanım gereği logaritmayı bulma. Gelin bu sürecin nasıl gerçekleştiğine daha yakından bakalım.

Özü, b sayısını a c şeklinde temsil etmektir, bu nedenle logaritmanın tanımı gereği c sayısı logaritmanın değeridir. Yani, tanım gereği, logaritmayı bulmak şu eşitlik zincirine karşılık gelir: log a b=log a a c =c .

Dolayısıyla, logaritmanın hesaplanması, tanım gereği, öyle bir c sayısı bulmaya gelir ki a c \u003d b ve c sayısının kendisi logaritmanın istenen değeridir.

Önceki paragrafların bilgileri göz önüne alındığında, logaritmanın işareti altındaki sayı, logaritmanın tabanının bir derecesi tarafından verildiğinde, logaritmanın neye eşit olduğunu hemen belirtebilirsiniz - üsse eşittir. Örnekler gösterelim.

Örnek.

log 2 2 −3'ü bulun ve ayrıca e 5.3'ün doğal logaritmasını hesaplayın.

Çözüm.

Logaritmanın tanımı, log 2 2 −3 = −3 olduğunu hemen söylememizi sağlar. Aslında, logaritmanın işareti altındaki sayı, 2 üssü -3 kuvvetine eşittir.

Benzer şekilde ikinci logaritmayı da buluyoruz: satır 5.3 =5.3.

Cevap:

log 2 2 −3 = −3 ve satır 5.3 =5.3 .

Logaritmanın işareti altındaki b sayısı, logaritmanın tabanının gücü olarak verilmemişse, b sayısının a c biçiminde bir gösterimini bulmanın mümkün olup olmadığını dikkatlice düşünmeniz gerekir. Genellikle bu temsil oldukça açıktır, özellikle logaritmanın işareti altındaki sayı, 1 veya 2 veya 3'ün üssüne eşit olduğunda ...

Örnek.

Logaritma günlüklerini hesaplayın 5 25 , ve .

Çözüm.

25=5 2 olduğunu görmek kolaydır, bu, ilk logaritmayı hesaplamanıza izin verir: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

İkinci logaritmanın hesaplanmasına geçiyoruz. Bir sayı 7'nin kuvveti olarak temsil edilebilir: (gerekirse bakın). Buradan, .

Üçüncü logaritmayı aşağıdaki biçimde yeniden yazalım. Şimdi bunu görebilirsin , buradan şu sonuca varıyoruz . Bu nedenle, logaritmanın tanımı gereği .

Kısaca çözüm şu şekilde yazılabilir:

Cevap:

günlük 5 25=2 , Ve .

Yeterince büyük bir doğal sayı logaritmanın işareti altında olduğunda, onu asal çarpanlara ayırmak zarar vermez. Çoğu zaman, böyle bir sayıyı logaritma tabanının bir kuvveti olarak temsil etmeye ve dolayısıyla bu logaritmayı tanım gereği hesaplamaya yardımcı olur.

Örnek.

Logaritmanın değerini bulun.

Çözüm.

Logaritmaların bazı özellikleri, logaritmaların değerini hemen belirtmenize izin verir. Bu özellikler, birin logaritmasının özelliğini ve tabana eşit bir sayının logaritmasının özelliğini içerir: log 1 1=log a a 0 =0 ve log a a=log a a 1 =1 . Yani, 1 sayısı veya a sayısı logaritmanın işareti altında olduğunda, logaritmanın tabanına eşitse, bu durumlarda logaritmalar sırasıyla 0 ve 1'dir.

Örnek.

Logaritmalar ve lg10 nedir?

Çözüm.

Çünkü , logaritmanın tanımından çıkar. .

İkinci örnekte, logaritmanın işareti altındaki 10 sayısı tabanıyla çakışıyor, yani onun ondalık logaritması bire eşit, yani lg10=lg10 1 =1 .

Cevap:

VE lg10=1 .

Logaritmaların hesaplanmasının (önceki paragrafta tartıştığımız) tanımı gereği, logaritmaların özelliklerinden biri olan log a a p =p eşitliğinin kullanılmasını gerektirdiğine dikkat edin.

Pratikte, logaritmanın işareti altındaki sayı ve logaritmanın tabanı kolayca bir sayının kuvveti olarak temsil edildiğinde, formülü kullanmak çok uygundur. , logaritmaların özelliklerinden birine karşılık gelir. Bu formülün kullanımını gösteren bir logaritmayı bulma örneğini ele alalım.

Örnek.

logaritmasını hesaplayınız.

Çözüm.

Cevap:

Hesaplamada yukarıda belirtilmeyen logaritmaların özellikleri de kullanılır, ancak bundan sonraki paragraflarda bundan bahsedeceğiz.

Bilinen diğer logaritmalar açısından logaritma bulma

Bu paragraftaki bilgiler, hesaplamalarında logaritmaların özelliklerini kullanma konusuna devam etmektedir. Ancak burada temel fark, logaritmaların özelliklerinin, orijinal logaritmayı değeri bilinen başka bir logaritma cinsinden ifade etmek için kullanılmasıdır. Açıklama için bir örnek verelim. Diyelim ki log 2 3≈1.584963 olduğunu biliyoruz, o zaman örneğin logaritmanın özelliklerini kullanarak küçük bir dönüşüm yaparak log 2 6'yı bulabiliriz: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Yukarıdaki örnekte çarpımın logaritma özelliğini kullanmamız yeterliydi. Bununla birlikte, orijinal logaritmayı verilenler açısından hesaplamak için çok daha sık olarak daha geniş bir logaritma özellikleri cephaneliği kullanmanız gerekir.

Örnek.

log 60 2=a ve log 60 5=b olduğu biliniyorsa, 27'nin 60 tabanına göre logaritmasını hesaplayın.

Çözüm.

Bu yüzden log 60 27'yi bulmamız gerekiyor. 27=3 3 olduğunu görmek kolaydır ve orijinal logaritma, derecenin logaritmasının özelliği nedeniyle 3·log 60 3 olarak yeniden yazılabilir.

Şimdi log 60 3'ün bilinen logaritmalar cinsinden nasıl ifade edilebileceğini görelim. Tabana eşit bir sayının logaritmasının özelliği log 60 60=1 eşitliğini yazmanıza izin verir. Öte yandan, günlük 60 60=log60(2 2 3 5)= günlük 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 günlük 60 2+günlük 60 3+günlük 60 5 . Böylece, 2 günlük 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Buradan, günlük 60 3=1−2 günlük 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Son olarak orijinal logaritmayı hesaplıyoruz: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Cevap:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Ayrı olarak, formun logaritmasının yeni bir tabanına geçiş için formülün anlamından bahsetmeye değer. . Herhangi bir tabanlı logaritmalardan, değerleri bilinen veya bulunması mümkün olan belirli bir tabanlı logaritmalara geçmenizi sağlar. Genellikle, geçiş formülüne göre orijinal logaritmadan, 2, e veya 10 tabanlarından birinde logaritmalara geçerler, çünkü bu tabanlar için belirli bir doğruluk derecesi ile hesaplanmalarına izin veren logaritma tabloları vardır. Bir sonraki bölümde, bunun nasıl yapıldığını göstereceğiz.

Logaritma tabloları, kullanımları

Logaritmaların değerlerinin yaklaşık olarak hesaplanması için kullanılabilir logaritma tabloları. En sık kullanılanlar 2 tabanlı logaritma tablosu, doğal logaritma tablosu ve ondalık logaritma tablosudur. Ondalık sayı sisteminde çalışırken, on tabanına göre bir logaritma tablosu kullanmak uygundur. Onun yardımıyla logaritmaların değerlerini bulmayı öğreneceğiz.

Sunulan tablo, on binde bir doğrulukla, 1.000 ila 9.999 arasındaki sayıların ondalık logaritmalarının değerlerini (üç ondalık basamakla) bulmanızı sağlar. Ondalık logaritma tablosunu kullanarak logaritmanın değerini bulma ilkesi şu bölümde incelenecektir: özel örnek- çok daha net. lg1,256'yı bulalım.

Ondalık logaritma tablosunun sol sütununda 1.256 sayısının ilk iki hanesini, yani 1.2'yi buluyoruz (bu sayı netlik için mavi daire içine alınmıştır). 1.256 sayısının üçüncü basamağı (5 sayısı), çift satırın solundaki ilk veya son satırda bulunur (bu sayı kırmızı daire içine alınmıştır). Orijinal sayı olan 1.256'nın dördüncü basamağı (6 sayısı), çift satırın sağındaki ilk veya son satırda bulunur (bu sayı yeşil daire içine alınmıştır). Şimdi, logaritma tablosunun hücrelerinde, işaretli satır ve işaretli sütunların kesişme noktasındaki sayıları buluyoruz (bu sayılar vurgulanmıştır). turuncu). İşaretli sayıların toplamı, dördüncü ondalık basamağa kadar istenen ondalık logaritma değerini verir, yani, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Yukarıdaki tabloyu kullanarak, virgülden sonra üç basamaktan fazla olan ve ayrıca 1'den 9.999'a kadar olan sınırların ötesine geçen sayıların ondalık logaritmalarının değerlerini bulmak mümkün müdür? Evet yapabilirsin. Bunun nasıl yapıldığını bir örnekle gösterelim.

lg102.76332'yi hesaplayalım. önce yazman lazım numara standart biçim : 102.76332=1.0276332 10 2 . Bundan sonra, mantis üçüncü ondalık basamağa yuvarlanmalı, elimizde 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, orijinal ondalık logaritma yaklaşık olarak elde edilen sayının logaritmasına eşittir, yani lg102.76332≈lg1.028·10 2 alırız. Şimdi logaritmanın özelliklerini uygulayın: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Son olarak lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 ondalık logaritmalar tablosuna göre lg1.028 logaritmasının değerini buluyoruz. Sonuç olarak, logaritmayı hesaplama sürecinin tamamı şöyle görünür: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sonuç olarak, ondalık logaritma tablosunu kullanarak herhangi bir logaritmanın yaklaşık değerini hesaplayabileceğinizi belirtmekte fayda var. Bunu yapmak için geçiş formülünü kullanarak ondalık logaritmalara gitmek, tablodaki değerlerini bulmak ve kalan hesaplamaları yapmak yeterlidir.

Örneğin, log 2 3'ü hesaplayalım. Logaritmanın yeni tabanına geçiş formülüne göre elimizde . Ondalık logaritma tablosundan lg3≈0.4771 ve lg2≈0.3010'u buluruz. Böylece, .

Kaynakça.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Cebir ve Analizin Başlangıcı: Genel Eğitim Kurumları 10-11. Sınıflar İçin Bir Ders Kitabı.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir kılavuz).

Bugün hakkında konuşacağız logaritma formülleri ve gösteri yapmak çözüm örnekleri.

Kendi başlarına, logaritmaların temel özelliklerine göre çözüm kalıplarını ifade ederler. Logaritma formüllerini çözüme uygulamadan önce, sizin için tüm özellikleri hatırlıyoruz:

Şimdi, bu formüllere (özelliklere) dayanarak, logaritma çözme örnekleri.

Formüllere dayalı logaritma çözme örnekleri.

logaritma a tabanındaki pozitif bir b sayısı (log a b olarak gösterilir), b > 0, a > 0 ve 1 ile b'yi elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken üsdür.

a x = b'ye eşdeğer olan log a b = x tanımına göre, log a a x = x.

logaritmalar, örnekler:

günlük 2 8 = 3, çünkü 2 3 = 8

günlük 7 49 = 2 çünkü 7 2 = 49

günlük 5 1/5 = -1, çünkü 5 -1 = 1/5

ondalık logaritma tabanı 10 olan sıradan bir logaritmadır. lg ile gösterilir.

günlük 10 100 = 2 çünkü 10 2 = 100

doğal logaritma- ayrıca normal logaritma logaritması, ancak e tabanıyla (e \u003d 2.71828 ... - irrasyonel bir sayı). ln olarak anılır.

Logaritmaların formüllerini veya özelliklerini hatırlamak arzu edilir, çünkü bunlara daha sonra logaritma, logaritmik denklemler ve eşitsizlikleri çözerken ihtiyacımız olacak. Örneklerle her formül üzerinde yeniden çalışalım.

Temel logaritmik kimlik
bir günlük bir b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Çarpımın logaritması, logaritmaların toplamına eşittir.
log a (bc) = log a b + log a c
günlük 3 8,1 + günlük 3 10 = günlük 3 (8,1*10) = günlük 3 81 = 4
Bölümün logaritması, logaritmaların farkına eşittir
log a (b/c) = log a b - log a c
9 günlük 5 50 /9 günlük 5 2 = 9 günlük 5 50- günlük 5 2 = 9 günlük 5 25 = 9 2 = 81
Logaritma yapılabilir bir sayının derecesinin ve logaritmanın tabanının özellikleri
Bir logaritma sayısının üssü log a b m = mlog a b

baz üs logaritma günlüğü a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

m = n ise, log a n b n = log a b elde ederiz

günlük 4 9 = günlük 2 2 3 2 = günlük 2 3
Yeni bir temele geçiş
log a b = log c b / log c a,
c = b ise log b b = 1 elde ederiz

o zaman log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Gördüğünüz gibi logaritma formülleri göründüğü kadar karmaşık değil. Şimdi, logaritma çözme örneklerini inceledikten sonra, logaritmik denklemlere geçebiliriz. Logaritmik denklemleri çözme örneklerini "" makalesinde daha ayrıntılı olarak ele alacağız. Kaçırma!

Çözümle ilgili hala sorularınız varsa, bunları makalenin yorumlarına yazın.

Not: Seçenek olarak yurt dışında başka bir sınıf eğitimi almaya karar verdim.

Bu makalenin odak noktası logaritma. Burada logaritmanın tanımını vereceğiz, kabul edilen notasyonu göstereceğiz, logaritma örnekleri vereceğiz, doğal ve ondalık logaritmalardan bahsedeceğiz. Bundan sonra, temel logaritmik özdeşliği düşünün.

Sayfa gezintisi.

logaritmanın tanımı

Logaritma kavramı, bir problemi çözerken ortaya çıkar. belli bir anlamda Tersi, derecenin bilinen bir değerinden ve bilinen bir tabandan üssü bulmanız gerektiğinde.

Ama yeterince önsöz, "logaritma nedir" sorusunu cevaplamanın zamanı geldi mi? Uygun bir tanım verelim.

Tanım.

b'nin a tabanına göre logaritması, burada a>0 , a≠1 ve b>0 sonuç olarak b'yi elde etmek için a sayısını artırmanız gereken üsdür.

Bu aşamada, konuşulan "logaritma" kelimesinin hemen ardından gelen iki soruyu gündeme getirmesi gerektiğini not ediyoruz: "hangi sayı" ve "neye dayanarak". Başka bir deyişle, basitçe logaritma yoktur, ancak bazı tabanlarda bir sayının sadece logaritması vardır.

hemen tanıtacağız logaritma gösterimi: b sayısının a tabanına göre logaritması genellikle log a b olarak gösterilir. B sayısının e tabanına göre logaritması ve 10 tabanına göre logaritması, sırasıyla kendi özel atamalarına sahiptir lnb ve lgb, yani log e b değil lnb ve log 10b değil lgb yazıyorlar.

Şimdi şunları getirebilirsiniz: .
Ve kayıtlar mantıklı değil, çünkü birincisinde logaritma işaretinin altında negatif bir sayı var, ikincisinde - tabanda negatif bir sayı ve üçüncüsünde - hem logaritma işaretinin altında negatif bir sayı var hem de tabanda bir birim.

Şimdi hakkında konuşalım logaritma okuma kuralları. Giriş günlüğü a b "b'nin a tabanına göre logaritması" olarak okunur. Örneğin, log 2 3, üçün 2 tabanına göre logaritmasıdır ve iki virgül üçte ikinin tabanına göre logaritmasıdır Kare kök beş üzerinden e tabanına göre logaritma denir doğal logaritma ve lnb gösterimi "b'nin doğal logaritması" olarak okunur. Örneğin, ln7, yedinin doğal logaritmasıdır ve bunu pi'nin doğal logaritması olarak okuyacağız. 10 tabanına göre logaritmanın da özel bir adı vardır - ondalık logaritma ve lgb gösterimi "ondalık logaritma b" olarak okunur. Örneğin, lg1, birin ondalık logaritmasıdır ve lg2.75, iki virgül yetmiş beşin ondalık logaritmasıdır.

Logaritma tanımının verildiği a>0, a≠1 ve b>0 koşulları üzerinde ayrı ayrı durmakta fayda var. Bu kısıtlamaların nereden geldiğini açıklayalım. Bunu yapmak için, yukarıda verilen logaritma tanımını doğrudan takip eden, adı verilen formun eşitliği bize yardımcı olacaktır.

a≠1 ile başlayalım. Bir, bir üzeri herhangi bir kuvvete eşit olduğundan, eşitlik yalnızca b=1 için doğru olabilir, ancak log 1 1 herhangi bir gerçek sayı olabilir. Bu belirsizliği önlemek için a≠1 kabul edilir.

a>0 koşulunun uygunluğunu kanıtlayalım. a=0 ile, logaritmanın tanımı gereği, sadece b=0 ile mümkün olan eşitlik elde ederiz. Ancak log 0 0, sıfır olmayan herhangi bir gerçek sayı olabilir, çünkü sıfırdan sıfır olmayan herhangi bir güce sıfırdır. Bu belirsizlik, a≠0 koşuluyla önlenebilir. Ve bir<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Son olarak, a>0 eşitsizliğinden b>0 koşulu çıkar, çünkü , ve a pozitif tabanlı derecenin değeri her zaman pozitiftir.

Bu paragrafın sonunda, logaritmanın sesli tanımının, logaritmanın işaretinin altındaki sayı belirli bir taban derecesi olduğunda, logaritmanın değerini hemen belirtmenize izin verdiğini söylüyoruz. Aslında, logaritmanın tanımı, eğer b=a p ise, b sayısının a tabanına göre logaritmasının p'ye eşit olduğunu iddia etmemizi sağlar. Yani logaritmik a a p = p doğrudur. Örneğin, 2 3 =8 , ardından log 2 8=3 olduğunu biliyoruz. Makalede bunun hakkında daha fazla konuşacağız.

Kategoride popüler: