İki sayının ortak katını bulma. En küçük ortak kat (EKOK)
En büyük ortak böleni
Tanım 2
Bir a doğal sayısı $b$ doğal sayısıyla bölünebiliyorsa, $b$'a $a$'ın böleni, $a$ sayısına da $b$'ın katı denir.
$a$ ve $b$ doğal sayılar olsun. $c$ sayısına hem $a$ hem de $b$ için ortak bölen denir.
$a$ ve $b$ sayılarının ortak bölenleri kümesi sonludur, çünkü bu bölenlerin hiçbiri $a$'dan büyük olamaz. Bu, bu bölenler arasında $a$ ve $b$ sayılarının en büyük ortak böleni olarak adlandırılan en büyüğü olduğu anlamına gelir ve bunu belirtmek için notasyon kullanılır:
$gcd \ (a;b) \ veya \ D \ (a;b)$
İki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için:
- 2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en büyük ortak bölen olacaktır.
örnek 1
$121$ ve $132.$ sayılarının gcd'sini bulun.
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Bu sayıların açılımına dahil olan sayıları seçin
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en büyük ortak bölen olacaktır.
$gcd=2\cdot 11=22$
Örnek 2
$63$ ve $81$ monomlarının GCD'sini bulun.
Sunulan algoritmaya göre bulacağız. Bunun için:
Sayıları asal çarpanlara ayıralım
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Bu sayıların açılımına dahil olan sayıları seçiyoruz.
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulalım. Ortaya çıkan sayı istenen en büyük ortak bölen olacaktır.
$gcd=3\cdot 3=9$
Sayı bölenleri kümesini kullanarak iki sayının GCD'sini başka bir şekilde bulabilirsiniz.
Örnek 3
$48$ ve $60$ sayılarının gcd'sini bulun.
Çözüm:
$48$'ın bölenleri kümesini bulun: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Şimdi $60$'ın bölenleri kümesini bulalım:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Bu kümelerin kesişimini bulalım: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - bu küme, $48$ ve $60 sayılarının ortak bölenleri kümesini belirleyecektir $. Bu kümedeki en büyük eleman $12$ sayısı olacaktır. Yani 48$ ve 60$'ın en büyük ortak böleni 12$'dır.
NOC'un tanımı
Tanım 3
doğal sayıların ortak katı$a$ ve $b$, hem $a$ hem de $b$'ın katı olan bir doğal sayıdır.
Sayıların ortak katları, aslına kalansız bölünebilen sayılardır. Örneğin, $25$ ve $50$ sayıları için, ortak katlar $50,100,150,200$ vb. olacaktır.
En küçük ortak kat, en küçük ortak kat olarak adlandırılır ve LCM$(a;b)$ veya K$(a;b)$ ile gösterilir.
İki sayının LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:
- Sayıları asal çarpanlara ayırma
- Birinci sayının parçası olan çarpanları yazın ve onlara ikincinin parçası olan ve birinciye gitmeyen çarpanları ekleyin.
Örnek 4
$99$ ve $77$ sayılarının LCM'sini bulun.
Sunulan algoritmaya göre bulacağız. Bunun için
Sayıları asal çarpanlara ayırma
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Birinci maddede yer alan faktörleri yazınız.
onlara ikincinin parçası olan ve birinciye gitmeyen faktörleri ekleyin
2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en küçük ortak kat olacaktır.
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Sayıların bölen listelerini derlemek genellikle çok zaman alır. Öklid algoritması adı verilen GCD'yi bulmanın bir yolu var.
Euclid'in algoritmasının dayandığı ifadeler:
$a$ ve $b$ doğal sayılarsa ve $a\vdots b$ ise, $D(a;b)=b$
$a$ ve $b$ doğal sayılarsa, $b
$D(a;b)= D(a-b;b)$ kullanarak, biri diğerine bölünebilen bir sayı çiftine ulaşana kadar incelenen sayıları art arda azaltabiliriz. O zaman bu sayılardan küçük olanı, $a$ ve $b$ sayıları için istenen en büyük ortak bölen olacaktır.
GCD ve LCM'nin Özellikleri
- $a$ ve $b$'ın herhangi bir ortak katı K$(a;b)$ ile bölünebilir
- $a\vdots b$ ise, K$(a;b)=a$
K$(a;b)=k$ ve $m$-doğal sayı ise, K$(am;bm)=km$
$d$, $a$ ve $b$ için ortak bir bölen ise, K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $
$a\vdots c$ ve $b\vdots c$ ise, $\frac(ab)(c)$, $a$ ve $b$'ın ortak katıdır
$a$ ve $b$ herhangi bir doğal sayı için eşitlik
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
$a$ ve $b$'ın herhangi bir ortak böleni, $D(a;b)$'ın bölenidir
En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat, zahmetsizce işlem yapmanızı sağlayan temel aritmetik kavramlardır. sıradan kesirler. LCM ve çoğunlukla birkaç fraksiyonun ortak paydasını bulmak için kullanılır.
Temel konseptler
Bir X tamsayısının böleni, X'in kalansız bölünebildiği başka bir Y tamsayıdır. Örneğin, 4'ün böleni 2'dir ve 36, 4, 6, 9'dur. X tamsayısının katı, X ile kalansız bölünebilen bir Y sayısıdır. Örneğin, 3, 15'in katıdır ve 6, 12'nin katıdır.
Herhangi bir sayı çifti için ortak bölenlerini ve katlarını bulabiliriz. Örneğin, 6 ve 9 için ortak kat 18'dir ve ortak bölen 3'tür. Açıkçası, çiftlerin birkaç böleni ve katı olabilir, bu nedenle hesaplamalarda OBEB'in en büyük böleni ve LCM'nin en küçük katı kullanılır. .
En küçük bölen bir anlam ifade etmez, çünkü herhangi bir sayı için her zaman birdir. En büyük kat da anlamsızdır, çünkü katların dizisi sonsuza gitme eğilimindedir.
GCD'yi bulma
En büyük ortak böleni bulmak için birçok yöntem vardır ve bunlardan en ünlüsü şunlardır:
- bölenlerin sıralı sayımı, bir çift için ortak olanların seçimi ve en büyüğünün aranması;
- sayıların bölünemez çarpanlara ayrıştırılması;
- Öklid'in algoritması;
- ikili algoritma
Bugün Eğitim Kurumları en popüler olanları asal çarpanlara ayırma yöntemleri ve Öklid'in algoritmasıdır. İkincisi, sırayla, Diophantine denklemlerini çözmede kullanılır: denklemi tamsayılarda çözme olasılığı açısından kontrol etmek için GCD'yi aramak gerekir.
NOC'yi bulma
En küçük ortak kat, yinelemeli numaralandırma veya bölünemez çarpanlara ayırma ile tam olarak belirlenir. Ayrıca, en büyük bölen zaten belirlenmişse, LCM'yi bulmak kolaydır. X ve Y sayıları için, LCM ve OBEB aşağıdaki ilişki ile ilişkilidir:
EKOK(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
Örneğin, ebob(15,18) = 3 ise, bu durumda EKOK(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. EKOK'nin en bariz kullanımı ortak paydayı bulmaktır, bu da en küçük ortak kattır. verilen kesirler.
asal sayılar
Bir sayı çiftinin ortak böleni yoksa, böyle bir çifte eş asal denir. Bu tür çiftler için GCM her zaman bire eşittir ve bölenlerin ve katların bağlantısına bağlı olarak, eş asal için GCM bunların çarpımına eşittir. Örneğin, 25 ve 28 sayıları aralarında asaldır çünkü ortak bölenleri yoktur ve çarpımına karşılık gelen EKOK(25, 28) = 700'dür. Herhangi iki bölünemez sayı her zaman aralarında asal olacaktır.
Ortak Bölen ve Çoklu Hesap Makinesi
Hesaplayıcımızla, aralarından seçim yapabileceğiniz herhangi bir sayıda sayı için GCD ve LCM'yi hesaplayabilirsiniz. Ortak bölenleri ve katları hesaplama görevleri, 5., 6. derecelerin aritmetiğinde bulunur, ancak, GCD ve LCM - Anahtar kavramlar matematik ve sayı teorisi, planimetri ve iletişimsel cebirde kullanılır.
Gerçek hayattan örnekler
Kesirlerin ortak paydası
Birkaç kesrin ortak paydasını bulurken en küçük ortak kat kullanılır. Bir aritmetik probleminde 5 kesrin toplamının gerekli olduğunu varsayalım:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Kesirleri toplamak için, ifadenin ortak bir paydaya indirgenmesi gerekir, bu da EKOK'yi bulma problemine indirgenir. Bunu yapmak için hesap makinesinde 5 sayı seçin ve payda değerlerini uygun hücrelere girin. Program EKOK'yi (8, 9, 12, 15, 18) = 360 olarak hesaplayacaktır. Şimdi her kesir için EKOK'nin paydaya oranı olarak tanımlanan ek çarpanları hesaplamanız gerekir. Böylece ekstra çarpanlar şöyle görünür:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Bundan sonra, tüm kesirleri karşılık gelen ek faktörle çarparız ve şunu elde ederiz:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Bu tür kesirleri kolayca toplayabilir ve sonucu 159/360 şeklinde elde edebiliriz. Kesri 3 azaltıyoruz ve son cevabı görüyoruz - 53/120.
Doğrusal Diophantine denklemlerinin çözümü
Doğrusal Diophantine denklemleri, ax + by = d biçimindeki ifadelerdir. d / gcd(a, b) oranı bir tam sayı ise, denklem tamsayılarda çözülebilir. Bir tamsayı çözümün olasılığı için birkaç denklemi kontrol edelim. Önce 150x + 8y = 37 denklemini kontrol edin. Bir hesap makinesi kullanarak ebob (150.8) = 2 buluruz. 37/2 = 18.5'e bölün. Sayı bir tam sayı değildir, bu nedenle denklemin tam sayı kökleri yoktur.
1320x + 1760y = 10120 denklemini kontrol edelim. Hesap makinesini kullanarak ebob(1320, 1760) = 440'ı bulun. 10120/440 = 23'e bölün. .
Çözüm
OBEB ve LCM sayı teorisinde önemli bir rol oynar ve kavramların kendileri matematiğin çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Herhangi bir sayıda sayının en büyük bölenlerini ve en küçük katlarını hesaplamak için hesap makinemizi kullanın.
İki sayının en küçük ortak katı, bu sayıların en büyük ortak böleniyle doğrudan ilişkilidir. Bu GCD ve NOC arasındaki bağlantı aşağıdaki teorem ile tanımlanır.
teorem.
a ve b iki pozitif tam sayısının en küçük ortak katı, a ve b'nin çarpımının a ve b'nin en büyük ortak bölenine bölünmesine eşittir, yani, EKOK(a, b)=a b: EKOK(a, b).
Kanıt.
İzin vermek M, a ve b sayılarının bazı katlarıdır. Yani M, a ile bölünebilir ve bölünebilirlik tanımına göre, M=a.k eşitliğinin doğru olduğu bir k tamsayısı vardır. Ancak M, b'ye de bölünebilir, o zaman a k, b'ye bölünebilir.
gcd(a, b)'yi d olarak göster. Sonra a=a 1 ·d ve b=b 1 ·d eşitliklerini yazabiliriz ve a 1 =a:d ve b 1 =b:d eş asal sayılar olacaktır. Bu nedenle, önceki paragrafta elde edilen a k'nin b'ye bölünebilir olması koşulu şu şekilde yeniden formüle edilebilir: a 1 d k, b 1 d ile bölünebilir ve bu, bölünebilirlik özelliklerinden dolayı, a 1 k koşuluna eşdeğerdir. b 1 ile bölünebilir.
Ayrıca, ele alınan teoremden çıkan iki önemli sonucu da yazmamız gerekiyor.
İki sayının ortak katları, en küçük ortak katlarının katları ile aynıdır.
Bu doğrudur, çünkü a ve b M sayılarının herhangi bir ortak katı, bir t tamsayı değeri için M=EKOK(a, b) t eşitliği ile tanımlanır.
eş asalın en küçük ortak katı pozitif sayılar a ve b çarpımlarına eşittir.
Bu gerçeğin gerekçesi oldukça açıktır. a ve b birlikte asal olduğundan, o zaman gcd(a, b)=1 , dolayısıyla, EKOK(a, b)=a b: OBEB(a, b)=a b:1=a b.
Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı
Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını bulmak, iki sayının EKOK'sini art arda bulmaya indirgenebilir. Bunun nasıl yapıldığı aşağıdaki teoremde gösterilmektedir: a 1 , a 2 , …, a k, m k-1 sayılarının ortak katları ile örtüşür ve bu nedenle a k, m k'nin katları ile çakışır. Ve mk sayısının en küçük pozitif katı mk sayısının kendisi olduğundan, a 1 , a 2 , …, a k sayılarının en küçük ortak katı mk'dir.
Kaynakça.
- Vilenkin N.Ya. vb. Matematik. 6. Sınıf: eğitim kurumları için ders kitabı.
- Vinogradov I.M. Sayı teorisinin temelleri.
- Mikhelovich Sh.Kh. Sayı teorisi.
- Kulikov L.Ya. ve diğerleri Cebir ve sayı teorisindeki problemlerin toplanması: Öğretici fizik ve matematik öğrencileri için. pedagojik enstitülerin özellikleri.
LCM'nin nasıl hesaplanacağını anlamak için önce "çoklu" teriminin anlamını belirlemelisiniz.
A'nın katı, A ile kalansız bölünebilen bir doğal sayıdır.Bu nedenle, 15, 20, 25 vb. 5'in katı olarak kabul edilebilir.
Belirli bir sayının sınırlı sayıda böleni olabilir, ancak sonsuz sayıda katları vardır.
Doğal sayıların ortak katı, onlara kalansız bölünebilen bir sayıdır.
Sayıların en küçük ortak katı nasıl bulunur?
Sayıların (iki, üç veya daha fazla) en küçük ortak katı (EKOK), tüm bu sayılarla eşit olarak bölünebilen en küçük doğal sayıdır.
NOC'yi bulmak için birkaç yöntem kullanabilirsiniz.
Küçük sayılar için, aralarında ortak bir sayı bulunana kadar bu sayıların tüm katlarını bir satıra yazmak uygundur. Katları kayıtta belirtir büyük harfİLE.
Örneğin, 4'ün katları şu şekilde yazılabilir:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Böylece 4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katının 24 sayısı olduğunu görebilirsiniz. Bu giriş şu şekilde yapılır:
EKOK(4, 6) = 24
Sayılar büyükse, üç veya daha fazla sayının ortak katını bulun, o zaman EKOK'yi hesaplamak için başka bir yol kullanmak daha iyidir.
Görevi tamamlamak için önerilen sayıları asal çarpanlara ayırmak gerekir.
Öncelikle, sayıların en büyüğünün açılımını bir satırda ve altında - gerisini yazmanız gerekir.
Her sayının açılımında farklı sayıda çarpan olabilir.
Örneğin, 50 ve 20 sayılarını asal çarpanlara ayıralım.
Küçük sayının açılımında birinci sayının açılımında olmayan unsurlar vurgulanmalıdır. Büyük bir sayı ve sonra onları buna ekleyin. Sunulan örnekte, bir ikili eksik.
Şimdi 20 ve 50'nin en küçük ortak katını hesaplayabiliriz.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Böylece, büyük sayının ayrıştırılmasına dahil olmayan, büyük sayının asal çarpanları ile ikinci sayının çarpanlarının çarpımı en küçük ortak kat olacaktır.
Üç veya daha fazla sayının EKOK'sini bulmak için önceki durumda olduğu gibi hepsinin asal çarpanlara ayrıştırılması gerekir.
Örnek olarak 16, 24, 36 sayılarının en küçük ortak katını bulabilirsiniz.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Bu nedenle, on altının ayrıştırılmasından yalnızca iki ikili, daha büyük bir sayının çarpanlara ayrılmasına dahil edilmemiştir (biri yirmi dört ayrıştırmasındadır).
Bu nedenle, daha büyük bir sayının ayrıştırılmasına eklenmeleri gerekir.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
En küçük ortak katı belirlemenin özel durumları vardır. Yani, sayılardan biri diğerine kalansız bölünebiliyorsa, bu sayılardan büyük olanı en küçük ortak kat olacaktır.
Örneğin, on iki ve yirmi dört olan NOC'ler yirmi dört olacaktır.
Bölenleri aynı olmayan eş asal sayıların en küçük ortak katını bulmak gerekirse, EKOK'leri çarpımlarına eşit olacaktır.
Örneğin, EKOK(10, 11) = 110.
LCM - En Küçük Ortak Kat, Tanım, Örnekler bölümünde başlattığımız en küçük ortak kat tartışmasına devam edelim. Bu konuda, üç veya daha fazla sayı için EKOK bulma yollarına bakacağız, negatif bir sayının EKOK'u nasıl bulunur sorusunu inceleyeceğiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
gcd aracılığıyla en küçük ortak katın (LCM) hesaplanması
En küçük ortak kat ile en büyük ortak bölen arasındaki ilişkiyi zaten kurmuştuk. Şimdi LCM'yi GCD aracılığıyla nasıl tanımlayacağımızı öğrenelim. İlk olarak, bunu pozitif sayılar için nasıl yapacağımızı bulalım.
tanım 1
LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) formülünü kullanarak en büyük ortak bölen aracılığıyla en küçük ortak katı bulabilirsiniz.
örnek 1
126 ve 70 sayılarının EKOK'sini bulmak gerekiyor.
Çözüm
a = 126 , b = 70 alalım. En büyük ortak bölen LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) aracılığıyla en küçük ortak katı hesaplamak için formüldeki değerleri değiştirin.
70 ve 126 sayılarının OBEB'ini bulur. Bunun için Öklid algoritmasına ihtiyacımız var: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , dolayısıyla gcd (126 , 70) = 14 .
LCM'yi hesaplayalım: LCM (126, 70) = 126 70: OBEB (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Cevap: LCM (126, 70) = 630.
Örnek 2
68 ve 34 sayılarının köşesini bulun.
Çözüm
GCD girişi bu durum 68 sayısı 34'e tam bölünebildiği için bulmak kolaydır. Aşağıdaki formülü kullanarak en küçük ortak katı hesaplayın: EKOK (68, 34) = 68 34: OBEB (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Cevap: EKOK(68, 34) = 68.
Bu örnekte, a ve b pozitif tamsayılarının en küçük ortak katını bulma kuralını kullandık: eğer ilk sayı ikinciye bölünebiliyorsa, bu sayıların EKOKEM'i ilk sayıya eşit olacaktır.
Sayıları Asal Faktörlere Ayırarak LCM'yi Bulma
Şimdi sayıların asal çarpanlara ayrıştırılmasına dayanan EKOK'yi bulmanın bir yoluna bakalım.
Tanım 2
En küçük ortak katı bulmak için birkaç basit adım uygulamamız gerekir:
- EKOK'yi bulmamız gereken sayıların tüm asal çarpanlarının çarpımını oluşturuyoruz;
- elde edilen ürünlerden tüm asal faktörleri hariç tutuyoruz;
- ortak asal çarpanlar çıkarıldıktan sonra elde edilen ürün, verilen sayıların EKOK'sine eşit olacaktır.
En küçük ortak katı bulmanın bu yolu, LCM (a , b) = a b: OBEB (a , b) eşitliğine dayanır. Formüle bakarsanız, netleşecektir: a ve b sayılarının çarpımı, bu iki sayının genişlemesinde yer alan tüm faktörlerin ürününe eşittir. Bu durumda, iki sayının OBEB'i, bu iki sayının çarpanlarına ayrılmasında aynı anda bulunan tüm asal çarpanların çarpımına eşittir.
Örnek 3
İki sayımız var 75 ve 210 . Bunları şu şekilde çarpanlara ayırabiliriz: 75 = 3 5 5 Ve 210 = 2 3 5 7. İki orijinal sayının tüm faktörlerinin çarpımını yaparsanız, şunu elde edersiniz: 2 3 3 5 5 5 7.
Hem 3 hem de 5 sayıları için ortak olan faktörleri hariç tutarsak, aşağıdaki formun bir çarpımını elde ederiz: 2 3 5 5 7 = 1050. Bu ürün 75 ve 210 numaraları için LCM'miz olacak.
Örnek 4
Sayıların LCM'sini bulun 441 Ve 700 , her iki sayıyı da asal çarpanlara ayrıştırmak.
Çözüm
Koşulda verilen sayıların tüm asal çarpanlarını bulalım:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
İki sayı zinciri elde ederiz: 441 = 3 3 7 7 ve 700 = 2 2 5 5 7 .
Bu sayıların genişlemesine katılan tüm faktörlerin ürünü şöyle görünecektir: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ortak çarpanları bulalım. Bu sayı 7'dir. Bunu hariç tutalım ortak ürün: 2 2 3 3 5 5 7 7. Görünüşe göre NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Cevap: LCM (441 , 700) = 44 100 .
Sayıları asal çarpanlara ayrıştırarak EKOK'yi bulma yönteminin bir formülünü daha verelim.
Tanım 3
Daha önce, her iki sayı için ortak olan toplam faktör sayısını hariç tuttuk. Şimdi farklı yapacağız:
- Her iki sayıyı da asal çarpanlara ayıralım:
- birinci sayının asal çarpanlarının çarpımına ikinci sayının eksik çarpanlarını ekleyin;
- iki sayının istenen LCM'si olacak ürünü alıyoruz.
Örnek 5
Önceki örneklerden birinde zaten LCM'yi aradığımız 75 ve 210 sayılarına geri dönelim. Bunları basit faktörlere ayıralım: 75 = 3 5 5 Ve 210 = 2 3 5 7. 3 , 5 çarpanlarının çarpımına ve 5 75 numara eksik faktörleri topla 2 Ve 7 sayılar 210 . Biz: 2 3 5 5 7 . Bu, 75 ve 210 sayılarının LCM'sidir.
Örnek 6
84 ve 648 sayılarının LCM'sini hesaplamak gerekir.
Çözüm
Koşuldaki sayıları asal çarpanlara ayıralım: 84 = 2 2 3 7 Ve 648 = 2 2 2 3 3 3 3. 2 , 2 , 3 faktörlerinin çarpımına ekleyin ve 7
sayılar 84 eksik çarpanlar 2 , 3 , 3 ve
3
648 numara ürünü aldık 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Bu, 84 ve 648'in en küçük ortak katıdır.
Cevap: LCM (84, 648) = 4536.
Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma
Kaç sayıyla uğraştığımıza bakılmaksızın, eylemlerimizin algoritması her zaman aynı olacaktır: tutarlı bir şekilde iki sayının LCM'sini bulacağız. Bu durum için bir teorem var.
teorem 1
Diyelim ki tamsayılarımız var bir 1 , bir 2 , … , bir k. NOK m k bu sayıların sıralı hesaplamasında bulunur m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k - 1 , a k) .
Şimdi teoremin belirli problemlere nasıl uygulanabileceğine bakalım.
Örnek 7
Dört sayının en küçük ortak katını hesaplamanız gerekir 140 , 9 , 54 ve 250 .
Çözüm
Gösterimi tanıtalım: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.
m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) hesaplayarak başlayalım. 140 ve 9 sayılarının GCD'sini hesaplamak için Öklid algoritmasını kullanalım: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Şunu elde ederiz: OBEB(140, 9) = 1, EKOK(140, 9) = 140 9: OBEB(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Bu nedenle, m 2 = 1 260 .
Şimdi aynı algoritmaya göre hesaplayalım m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Hesaplamalar sırasında m 3 = 3 780 elde ederiz.
Geriye m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) hesaplamak kalıyor. Aynı algoritmaya göre hareket ediyoruz. m 4 \u003d 94 500 elde ederiz.
Örnek koşuldaki dört sayının LCM'si 94500'dür.
Cevap: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.
Gördüğünüz gibi hesaplamalar basit ama oldukça zahmetli. Zaman kazanmak için diğer yöne gidebilirsiniz.
Tanım 4
Size aşağıdaki eylem algoritmasını sunuyoruz:
- tüm sayıları asal çarpanlara ayırın;
- birinci sayının çarpanlarının çarpımına, ikinci sayının çarpımından eksik çarpanları ekleyin;
- önceki aşamada elde edilen ürüne üçüncü sayının eksik çarpanlarını ekleyin, vb.;
- elde edilen ürün, koşuldaki tüm sayıların en küçük ortak katı olacaktır.
Örnek 8
Beş sayının (84, 6, 48, 7, 143) EKOK'sini bulmak gerekir.
Çözüm
Beş sayıyı da asal çarpanlara ayıralım: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . asal sayılar 7 sayısı olan , asal çarpanlara ayrılamaz. Bu tür sayılar, asal çarpanlara ayrışmalarıyla çakışır.
Şimdi 84 sayısının asal çarpanları 2, 2, 3 ve 7'nin çarpımını alalım ve bunlara ikinci sayının eksik çarpanlarını ekleyelim. 6 sayısını 2 ve 3'e ayırdık. Bu faktörler zaten ilk sayının çarpımındadır. Bu nedenle, onları atlıyoruz.
Eksik çarpanları eklemeye devam ediyoruz. 2 ve 2'yi aldığımız asal çarpanların çarpımından 48 sayısına dönüyoruz. Sonra dördüncü sayıdan basit bir 7 çarpanı ve beşinci sayının 11 ve 13 çarpanlarını ekliyoruz. 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048 elde ederiz. Bu, beş orijinal sayının en küçük ortak katıdır.
Cevap: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.
Negatif Sayıların En Küçük Ortak Katını Bulma
Negatif sayıların en küçük ortak katını bulmak için önce bu sayıların yerine ters işaretli sayılar konulmalı ve daha sonra yukarıdaki algoritmalara göre hesaplamalar yapılmalıdır.
Örnek 9
EKOK(54, -34) = EKOK(54, 34) ve EKOK(-622,-46, -54,-888) = EKOK(622, 46, 54, 888) .
Kabul edildiği takdirde bu tür eylemler caizdir. A Ve - bir- zıt sayılar
sonra katlar kümesi A bir sayının katları kümesiyle çakışıyor - bir.
Örnek 10
Negatif sayıların LCM'sini hesaplamak gereklidir − 145 Ve − 45 .
Çözüm
sayıları değiştirelim − 145 Ve − 45 zıt sayılarına 145 Ve 45 . Şimdi, algoritmayı kullanarak, daha önce Öklid algoritmasını kullanarak GCD'yi belirledikten sonra, LCM'yi (145 , 45) = 145 45: OBEB (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 hesaplıyoruz.
Sayıların LCM'sinin - 145 olduğunu ve − 45 eşittir 1 305 .
Cevap: EKOK (- 145 , - 45) = 1 305 .
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
