Aritmetik ilerlemede gösterimler.  Cebir: Aritmetik ve Geometrik İlerlemeler

aritmetik ve geometrik ilerleme

teorik bilgi

teorik bilgi

	Aritmetik ilerleme	Geometrik ilerleme
Tanım	Aritmetik ilerleme BİR ikinciden başlayarak her üyesi bir önceki üyeye eşit olan ve aynı sayı ile toplanan bir dizi çağrılır D (D- ilerleme farkı)	geometrik ilerleme bn sıfır olmayan bir sayı dizisi çağrılır, her terimi ikinciden başlayarak önceki terime eşit ve aynı sayı ile çarpılır Q (Q- ilerleme paydası)
Tekrarlayan formül	Herhangi bir doğal için N bir n + 1 = bir n + d	Herhangi bir doğal için N b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
n'inci terim formülü	bir n = bir 1 + d (s - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
karakteristik özellik
İlk n terimin toplamı

Yorum içeren görev örnekleri

1. Egzersiz

İÇİNDE aritmetik ilerleme (BİR) bir 1 = -6, bir 2

n'inci terimin formülüne göre:

22 = bir 1+ d (22 - 1) = bir 1+ 21 gün

Koşula göre:

bir 1= -6 yani 22= -6 + 21d.

İlerlemelerin farkını bulmak gerekir:

d= bir 2 – bir 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Cevap : 22 = -48.

Görev 2

Geometrik dizinin beşinci terimini bulun: -3; 6;....

1. yol (n terimli formülü kullanarak)

Bir geometrik dizinin n'inci üyesinin formülüne göre:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Çünkü b 1 = -3,

2. yol (özyinelemeli formülü kullanarak)

İlerlemenin paydası -2 (q = -2) olduğundan, o zaman:

b3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Cevap : b5 = -48.

Görev 3

Aritmetik ilerlemede ( bir n) bir 74 = 34; 76= 156. Bu dizinin yetmiş beşinci terimini bulun.

Aritmetik ilerleme için, karakteristik özellik şu şekildedir: .

Öyleyse:

.

Formüldeki verileri değiştirin:

Cevap: 95.

Görev 4

Aritmetik ilerlemede ( bir n) bir n= 3n - 4. İlk onyedi terimin toplamını bulun.

Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamını bulmak için iki formül kullanılır:

.

hangisinde bu durum kullanımı daha uygun?

Koşullu olarak, orijinal ilerlemenin n'inci üyesinin formülü bilinir ( BİR) BİR= 3n - 4. Hemen bulunabilir ve bir 1, Ve 16 d'yi bulmadan Bu nedenle, ilk formülü kullanıyoruz.

Cevap: 368.

Görev 5

Aritmetik ilerlemede BİR) bir 1 = -6; bir 2= -8. İlerlemenin yirmi ikinci terimini bulun.

n'inci terimin formülüne göre:

bir 22 = bir 1 + d (22 – 1) = bir 1+ 21d.

Koşula göre, eğer bir 1= -6, o zaman 22= -6 + 21d. İlerlemelerin farkını bulmak gerekir:

d= bir 2 – bir 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Cevap : 22 = -48.

Görev 6

Bir geometrik ilerlemenin birkaç ardışık terimi kaydedilir:

X harfi ile gösterilen ilerlemenin terimini bulun.

Çözerken, n'inci terim için formülü kullanırız b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 geometrik ilerlemeler için. İlerlemenin ilk üyesi. İlerleme q'nun paydasını bulmak için, ilerlemenin bu terimlerinden herhangi birini alıp bir öncekine bölmeniz gerekir. Örneğimizde, alabilir ve bölebilirsiniz. Bunu q \u003d 3 elde ederiz. Belirli bir geometrik ilerlemenin üçüncü terimini bulmak gerektiğinden, formülde n yerine 3'ü değiştiririz.

Bulunan değerleri formülde değiştirerek şunu elde ederiz:

.

Cevap : .

Görev 7

n'inci terimin formülü tarafından verilen aritmetik ilerlemelerden, koşulu sağlayanı seçin 27 > 9:

Dizinin 27. terimi için belirtilen koşulun sağlanması gerektiğinden, dört dizinin her birinde n yerine 27'yi koyarız. 4. ilerlemede şunu elde ederiz:

.

Cevap: 4.

Görev 8

Aritmetik ilerlemede bir 1= 3, d = -1.5. Belirtin en yüksek değer n , bunun için eşitsizlik BİR > -6.

Aritmetik ilerleme problemleri eski zamanlardan beri var olmuştur. Ortaya çıktılar ve pratik bir ihtiyaçları olduğu için bir çözüm talep ettiler.

Yani, papirüslerden birinde Antik Mısır matematiksel içeriğe sahip olan - Rhind papirüsü (MÖ XIX yüzyıl) - şu görevi içerir: on ölçü ekmeği on kişiye bölün, her biri arasındaki farkın bir ölçünün sekizde biri olması şartıyla.

Ve eski Yunanlıların matematik eserlerinde aritmetik ilerlemeyle ilgili zarif teoremler vardır. Böylece, birçok ilginç problemi derleyen ve Öklid'in "Elementler"ine on dördüncü kitabı ekleyen İskenderiyeli Hypsikles (2. yüzyıl) şu fikri formüle etti: "Çift sayıda üyeli bir aritmetik dizide, 2. yarının üyelerinin toplamı, miktardan fazlaüye sayısının 1/2 karesinde 1. üye.

an dizisi gösterilir. Dizinin numaraları üyeleri olarak adlandırılır ve genellikle bu üyenin seri numarasını gösteren indeksli harflerle gösterilir (a1, a2, a3 ... okuyun: “a 1”, “a 2”, “a 3” vb.)

Dizi sonsuz veya sonlu olabilir.

Aritmetik ilerleme nedir? Bir önceki terim (n) ile aynı diziliş farkı olan d sayısı toplanarak elde edildiği anlaşılır.

eğer d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, o zaman böyle bir ilerlemenin artan olduğu kabul edilir.

Bir aritmetik ilerlemenin, ilk terimlerinden yalnızca birkaçı dikkate alındığında sonlu olduğu söylenir. Çok sayıda üye ile, bu zaten sonsuz ilerleme.

Herhangi bir aritmetik ilerleme aşağıdaki formülle verilir:

an =kn+b, b ve k ise bazı sayılardır.

Tersi olan ifade kesinlikle doğrudur: dizi benzer bir formülle veriliyorsa, bu tam olarak şu özelliklere sahip bir aritmetik ilerlemedir:

1. İlerlemedeki her üye, bir önceki üyenin ve bir sonraki üyenin aritmetik ortalamasıdır.
2. Tersi: 2. terimden başlayarak, her terim bir önceki ve sonraki terimin aritmetik ortalaması ise, yani. koşul karşılanırsa, verilen dizi aritmetik bir ilerlemedir. Bu eşitlik aynı zamanda bir ilerleme işaretidir, bu nedenle genellikle ilerlemenin karakteristik bir özelliği olarak adlandırılır.
   Aynı şekilde, bu özelliği yansıtan teorem doğrudur: bir dizi, yalnızca bu eşitlik 2.'den başlayarak dizinin herhangi bir üyesi için doğruysa aritmetik bir dizidir.

Bir aritmetik dizideki herhangi bir dört sayı için karakteristik özellik, n + m = k + l ise (m, n, k, dizi sayılarıdır) an + am = ak + al formülü ile ifade edilebilir.

Bir aritmetik ilerlemede, gerekli herhangi bir (N'inci) terim, aşağıdaki formül uygulanarak bulunabilir:

Örneğin: aritmetik ilerlemedeki ilk terim (a1) verilir ve üçe eşittir ve fark (d) dörte eşittir. Bu ilerlemenin kırk beşinci dönemini bulmanız gerekiyor. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) formülü belirlememizi sağlar n. dönem aritmetik ilerleme, bilinmesi koşuluyla k'inci teriminden herhangi biri boyunca.

Bir aritmetik dizinin üyelerinin toplamı (son dizinin 1. n üyesi varsayılarak) şu şekilde hesaplanır:

Sn = (a1+an) n/2.

1. terim de biliniyorsa, hesaplama için başka bir formül uygundur:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n terim içeren bir aritmetik ilerlemenin toplamı şu şekilde hesaplanır:

Hesaplamalar için formül seçimi, görevlerin koşullarına ve ilk verilere bağlıdır.

1,2,3,...,n,...- gibi herhangi bir sayının doğal serisi en basit örnek aritmetik ilerleme.

Aritmetik ilerlemeye ek olarak, kendine has özellikleri ve özellikleri olan geometrik bir dizi de vardır.

ders türü: yeni materyal öğrenmek.

Dersin Hedefleri:

• aritmetik ilerleme kullanılarak çözülen görevler hakkında öğrencilerin fikirlerinin genişletilmesi ve derinleştirilmesi; aritmetik ilerlemenin ilk n üyesinin toplamı için formül türetirken öğrencilerin arama etkinliğinin organizasyonu;
• bağımsız olarak yeni bilgi edinme becerilerinin geliştirilmesi, görevi gerçekleştirmek için önceden edinilmiş bilgileri kullanma;
• elde edilen olguları genelleme isteği ve ihtiyacının gelişmesi, bağımsızlığın gelişmesi.

Görevler:

• “Aritmetik ilerleme” konusundaki mevcut bilgileri genelleştirmek ve sistematik hale getirmek;
• bir aritmetik ilerlemenin ilk n üyesinin toplamını hesaplamak için formüller türetmek;
• elde edilen formüllerin çeşitli problemlerin çözümünde nasıl uygulanacağını öğretmek;
• öğrencilerin dikkatini sayısal bir ifadenin değerini bulma prosedürüne çekin.

Teçhizat:

• gruplar ve çiftler halinde çalışmak için görevleri olan kartlar;
• değerlendirme kağıdı;
• sunum"Aritmetik ilerleme".

I. Temel bilginin gerçekleştirilmesi.

1. Bağımsız işçift ​​halde.

1. seçenek:

Bir aritmetik ilerleme tanımlayın. Bir aritmetik ilerlemeyi tanımlayan özyinelemeli bir formül yazın. Bir aritmetik ilerleme örneği veriniz ve farkını belirtiniz.

2. seçenek:

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formülü yazın. Bir aritmetik ilerlemenin 100. terimini bulun ( BİR}: 2, 5, 8 …
Bu sırada iki öğrenci ters taraf kurullar aynı soruların cevaplarını hazırlar.
Öğrenciler, ortağın çalışmasını tahta ile karşılaştırarak değerlendirir. (Cevapları içeren broşürler teslim edilir).

2. Oyun anı.

1. Egzersiz.

Öğretmen. Bazı aritmetik ilerlemeler tasarladım. Bana sadece iki soru sorun, böylece cevaplardan sonra bu ilerlemenin 7. üyesini hızlı bir şekilde adlandırabilirsiniz. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Öğrencilerden gelen sorular.

1. Dizinin altıncı dönemi nedir ve farkı nedir?
2. Dizinin sekizinci terimi nedir ve farkı nedir?

Başka soru yoksa, öğretmen onları teşvik edebilir - d (fark) için bir “yasak”, yani farkın ne olduğunu sormaya izin verilmez. Soru sorabilirsiniz: ilerlemenin 6. dönemi nedir ve ilerlemenin 8. dönemi nedir?

Görev 2.

Tahtada yazılı 20 sayı vardır: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Öğretmen sırtı tahtaya dönük olarak duruyor. Öğrenciler numaranın numarasını söyler ve öğretmen hemen numarayı kendisi arar. Nasıl yapabilirim açıklar mısınız?

Öğretmen n'inci dönemin formülünü hatırlar. bir n \u003d 3n - 2 ve verilen n değerlerini değiştirerek karşılık gelen değerleri bulur BİR .

II. Eğitim görevinin beyanı.

Mısır papirüslerinde bulunan MÖ 2. binyıla kadar uzanan eski bir sorunu çözmeyi öneriyorum.

Görev:"Size denilsin ki: 10 ölçek arpayı 10 kişiye bölüştürün, her kişi ile komşusu arasındaki fark, ölçünün 1/8'i kadardır."

• Bu problemin aritmetik ilerleme konusuyla nasıl bir ilişkisi var? (Her bir sonraki kişi, ölçümün 1/8'ini daha fazla alır, yani fark d=1/8, 10 kişi, yani n=10.)
• Sizce 10 sayısı ne anlama geliyor? (İlerlemenin tüm üyelerinin toplamı.)
• Arpaları sorunun durumuna göre bölmeyi kolay ve basit hale getirmek için başka ne bilmeniz gerekiyor? (İlerlemenin ilk terimi.)

ders hedefi- ilerlemenin terimlerinin toplamının sayılarına, ilk terime ve farkına bağımlılığının elde edilmesi ve sorunun eski zamanlarda doğru çözülüp çözülmediğinin kontrol edilmesi.

Formülü türetmeden önce, eski Mısırlıların sorunu nasıl çözdüğüne bakalım.

Ve bunu şöyle çözdüler:

1) 10 ölçü: 10 = 1 ölçü - ortalama pay;
2) 1 ölçü ∙ = 2 ölçü - ikiye katlandı ortalama paylaşmak.
ikiye katlandı ortalama pay, 5. ve 6. kişinin paylarının toplamıdır.
3) 2 ölçü - 1/8 ölçü = 1 7/8 ölçü - beşinci kişinin payının iki katı.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - beşincinin payı; vb. her bir önceki ve sonraki kişinin payını bulabilirsiniz.

Sırayı alıyoruz:

III. Görevin çözümü.

1. Gruplar halinde çalışın

1. grup: Ardışık 20 doğal sayının toplamını bulun: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Genel olarak

2. grup: 1'den 100'e kadar doğal sayıların toplamını bulun (Legend of Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Çözüm:

3. grup: 1'den 21'e kadar olan doğal sayıların toplamını bulunuz.

Çözüm: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Çözüm:

IV grubu: 1'den 101'e kadar doğal sayıların toplamını bulun.

Çözüm:

Ele alınan problemleri çözmenin bu yöntemine “Gauss yöntemi” denir.

2. Her grup problemin çözümünü tahtada sunar.

3. Keyfi bir aritmetik ilerleme için önerilen çözümlerin genelleştirilmesi:

bir 1 , bir 2 , bir 3 ,…, bir n-2 , bir n-1 , bir n .
S n \u003d bir 1 + bir 2 + bir 3 + bir 4 + ... + bir n-3 + bir n-2 + bir n-1 + bir n.

Bu toplamı benzer şekilde tartışarak buluruz:

4. Görevi çözdük mü?(Evet.)

IV. Problem çözümünde elde edilen formüllerin birincil olarak kavranması ve uygulanması.

1. Eski bir problemin çözümünün formülle kontrol edilmesi.

2. Formülün çeşitli problemlerin çözümünde uygulanması.

3. Formülü problem çözmede uygulama yeteneğinin oluşumu için alıştırmalar.

A) 613 numara

verildi :( ve n) - aritmetik ilerleme;

(bir n): 1, 2, 3, ..., 1500

Bulmak: S 1500

Çözüm: , ve 1 = 1 ve 1500 = 1500,

B) Verilen: ( ve n) - aritmetik ilerleme;
(ve n): 1, 2, 3, ...
sn = 210

Bulmak: N
Çözüm:

V. Karşılıklı doğrulama ile bağımsız çalışma.

Denis kurye olarak çalışmaya gitti. İlk ayda maaşı 200 rubleydi, sonraki her ay 30 ruble arttı. Bir yılda ne kadar kazandı?

verildi :( ve n) - aritmetik ilerleme;
1 = 200, d=30, n=12
Bulmak: S 12
Çözüm:

Cevap: Denis, yıl boyunca 4380 ruble aldı.

VI. Ev ödevi talimatı.

1. s.4.3 - formülün türetilmesini öğrenin.
2. №№ 585, 623 .
3. Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı formülünü kullanarak çözülecek bir problem oluşturun.

VII. Dersi özetlemek.

1. Skor tablosu

2. Cümlelere devam edin

• Bugün sınıfta öğrendim...
• Öğrenilen Formüller...
• İnanıyorum ki …

3. 1'den 500'e kadar olan sayıların toplamını bulabilir misiniz? Bu sorunu çözmek için hangi yöntemi kullanacaksınız?

Kaynakça.

1. Cebir, 9. sınıf. Eğitim kurumları için ders kitabı. Ed. GV Dorofeeva. Moskova: Aydınlanma, 2009.

Evet, evet: aritmetik ilerleme sizin için bir oyuncak değil :)

Pekala arkadaşlar, eğer bu metni okuyorsanız, içsel sınır kanıtı bana aritmetik ilerlemenin ne olduğunu hala bilmediğinizi, ancak gerçekten (hayır, bunun gibi: ÇOOOOOO!) bilmek istediğinizi söylüyor. Bu nedenle, sizi uzun tanıtımlarla eziyet etmeyeceğim ve hemen işe başlayacağım.

Başlamak için birkaç örnek. Birkaç sayı kümesini göz önünde bulundurun:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Tüm bu setlerin ortak noktası nedir? İlk bakışta, hiçbir şey. Ama aslında bir şey var. Yani: sonraki her eleman bir öncekinden aynı sayı kadar farklıdır.

Kendiniz için yargılayın. İlk küme, her biri bir öncekinden fazla olan ardışık sayılardan oluşur. İkinci durumda, bitişik sayılar arasındaki fark zaten beşe eşittir, ancak bu fark hala sabittir. Üçüncü durumda, genel olarak kökler vardır. Ancak, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ iken, $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yani bu durumda sonraki her öğe basitçe $\sqrt(2)$ artar (ve bu sayının irrasyonel olduğundan korkmayın).

Yani: tüm bu dizilere sadece aritmetik ilerlemeler denir. Kesin bir tanım verelim:

Tanım. Her birinin bir öncekinden tamamen aynı miktarda farklı olduğu bir sayı dizisine aritmetik dizi denir. Sayıların farklı olduğu miktara ilerleme farkı denir ve çoğunlukla $d$ harfiyle gösterilir.

Gösterim: $\left(((a)_(n)) \right)$ ilerlemenin kendisidir, $d$ farkıdır.

Ve sadece birkaç önemli açıklama. İlk olarak, ilerleme sadece kabul edilir düzenli sayı dizisi: kesinlikle yazıldıkları sıraya göre okunmalarına izin verilir - başka hiçbir şeye izin verilmez. Numaraları yeniden düzenleyemez veya değiştiremezsiniz.

İkincisi, dizinin kendisi sonlu veya sonsuz olabilir. Örneğin, (1; 2; 3) kümesi açıkça sonlu bir aritmetik ilerlemedir. Ancak (1; 2; 3; 4; ...) gibi bir şey yazarsanız - bu zaten sonsuz bir ilerlemedir. Dörtten sonraki üç nokta, olduğu gibi, pek çok sayının daha ileri gittiğini ima ediyor. Örneğin sonsuz sayıda. :)

Ayrıca ilerlemelerin arttığını ve azaldığını da belirtmek isterim. Artanları zaten gördük - aynı küme (1; 2; 3; 4; ...). İşte azalan ilerleme örnekleri:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

tamam tamam son örnek fazla karmaşık görünebilir. Ama geri kalanı, bence anlıyorsun. Bu nedenle, yeni tanımlar getiriyoruz:

Tanım. Bir aritmetik ilerleme denir:

1. sonraki her eleman bir öncekinden büyükse artan;
2. aksine, sonraki her öğe bir öncekinden daha azsa azalır.

Ek olarak, sözde "sabit" diziler vardır - bunlar aynı tekrar eden sayıdan oluşur. Örneğin, (3; 3; 3; ...).

Geriye tek bir soru kalıyor: artan bir ilerlemeyi azalan bir ilerlemeden nasıl ayırt edebilirim? Neyse ki, buradaki her şey yalnızca $d$ sayısının işaretine bağlıdır, yani. ilerleme farklılıkları:

1. $d \gt 0$ ise, ilerleme artıyor demektir;
2. $d \lt 0$ ise, ilerleme açıkça azalmaktadır;
3. Son olarak, $d=0$ durumu vardır - bu durumda tüm ilerleme aynı sayılardan oluşan durağan bir diziye indirgenir: (1; 1; 1; 1; ...), vb.

Yukarıdaki üç azalan ilerleme için $d$ farkını hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için, herhangi iki bitişik öğeyi (örneğin, birinci ve ikinci) alıp sağdaki sayıdan soldaki sayıyı çıkarmak yeterlidir. Bunun gibi görünecek:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Gördüğünüz gibi, her üç durumda da fark gerçekten negatif çıktı. Ve şimdi tanımları az çok anladığımıza göre, ilerlemelerin nasıl tanımlandığını ve hangi özelliklere sahip olduklarını anlamanın zamanı geldi.

İlerleme üyeleri ve yinelenen formül

Dizilerimizin öğeleri değiştirilemediğinden, numaralandırılabilirler:

\[\left(((a)_(n)) \sağ)=\left\( ((a)_(1))\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \Sağ\)\]

Bu kümenin bireysel öğelerine ilerlemenin üyeleri denir. Bir sayı yardımıyla bu şekilde belirtilirler: birinci üye, ikinci üye vb.

Ek olarak, zaten bildiğimiz gibi, ilerlemenin komşu üyeleri aşağıdaki formülle ilişkilidir:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kısacası dizinin $n$th terimini bulmak için $n-1$th terimini ve $d$ farkını bilmeniz gerekir. Böyle bir formüle tekrarlayan denir, çünkü onun yardımıyla, yalnızca bir öncekini (ve aslında öncekilerin tümünü) bilerek herhangi bir sayıyı bulabilirsiniz. Bu çok elverişsizdir, dolayısıyla herhangi bir hesaplamayı ilk terime ve farka indirgeyen daha kurnaz bir formül vardır:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \sağ)d\]

Muhtemelen bu formülle daha önce karşılaşmışsınızdır. Her türlü kaynak kitap ve reşebniklerde vermeyi severler. Ve matematikle ilgili herhangi bir mantıklı ders kitabında, ilklerden biridir.

Ancak, biraz pratik yapmanızı öneririm.

Görev numarası 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ ise, $\left(((a)_(n)) \right)$ aritmetik dizinin ilk üç terimini yazın.

Çözüm. Böylece, $((a)_(1))=8$ ilk terimini ve $d=-5$ ilerleme farkını biliyoruz. Biraz önce verilen formülü kullanalım ve $n=1$, $n=2$ ve $n=3$ yerine koyalım:

\[\begin(hizala) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \sağ)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \sağ)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \sağ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(hizala)\]

Cevap: (8; 3; -2)

Bu kadar! İlerlememizin azaldığına dikkat edin.

Elbette, $n=1$ değiştirilemezdi - ilk terimi zaten biliyoruz. Ancak birimi değiştirerek formülümüzün ilk terim için bile çalışmasını sağladık. Diğer durumlarda, her şey banal aritmetiğe indi.

Görev numarası 2. Yedinci terimi -40 ve on yedinci terimi -50 olan bir aritmetik dizinin ilk üç terimini yazın.

Çözüm. Sorunun durumunu olağan terimlerle yazıyoruz:

\[((a)_(7))=-40;\dörtlü ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(hizala) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(hizala) \sağ.\]

\[\left\( \begin(hizala) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(hizala) \Sağ.\]

Bu gereksinimlerin eş zamanlı olarak karşılanması gerektiği için sistemin işaretini koyuyorum. Ve şimdi birinci denklemi ikinci denklemden çıkarırsak (bunu yapmaya hakkımız var, çünkü bir sistemimiz var), şunu elde ederiz:

\[\begin(hizala) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \sağ)=-50-\left(-40 \sağ); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(hizala)\]

Aynen böyle, ilerleme farkını bulduk! Bulunan sayıyı sistemin denklemlerinden herhangi birinde değiştirmek için kalır. Örneğin, ilkinde:

\[\begin(matris) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matris)\]

Şimdi, birinci terimi ve farkı bilerek, ikinci ve üçüncü terimleri bulmaya devam ediyor:

\[\begin(hizala) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(hizala)\]

Hazır! Sorun çözüldü.

Cevap: (-34; -35; -36)

Dizinin keşfettiğimiz ilginç bir özelliğine dikkat edin: $n$th ve $m$th terimlerini alıp birbirinden çıkarırsak, dizilim farkının $n-m$ sayısıyla çarpımını elde ederiz:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Basit ama çok kullanışlı özellik, kesinlikle bilmeniz gereken - onun yardımıyla, ilerlemelerdeki birçok sorunun çözümünü önemli ölçüde hızlandırabilirsiniz. İşte bunun en önemli örneği:

Görev numarası 3. Aritmetik dizinin beşinci terimi 8.4 ve onuncu terimi 14.4'tür. Bu ilerlemenin on beşinci terimini bulun.

Çözüm. $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ olduğundan ve $((a)_(15))$ bulmamız gerektiğinden, şunu not ediyoruz:

\[\begin(hizala) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(hizala)\]

Ancak $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ koşuluna göre, yani $5d=6$, dolayısıyla:

\[\begin(hizala) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(hizala)\]

Cevap: 20.4

Bu kadar! Herhangi bir denklem sistemi oluşturmamıza ve ilk terimi ve farkı hesaplamamıza gerek yoktu - her şeye sadece birkaç satırda karar verildi.

Şimdi başka bir sorun türünü ele alalım - ilerlemenin olumsuz ve olumlu üyelerini aramak. İlerleme artarsa, ilk terimi negatifken, er ya da geç pozitif terimlerin içinde görüneceği bir sır değil. Ve tam tersi: azalan bir ilerlemenin koşulları er ya da geç olumsuz olacaktır.

Aynı zamanda, öğeleri sırayla sıralayarak bu anı "alında" bulmak her zaman mümkün olmaktan uzaktır. Genellikle problemler, formülleri bilmeden hesaplamalar birkaç sayfa alacak şekilde tasarlanır - cevabı bulana kadar uyuyakalırdık. Dolayısıyla bu sorunları daha hızlı çözmeye çalışacağız.

Görev numarası 4. Bir aritmetik ilerlemede kaç tane negatif terim -38.5; -35.8; …?

Çözüm. Yani, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, buradan hemen farkı buluruz:

Farkın pozitif olduğuna dikkat edin, bu nedenle ilerleme artıyor. İlk terim negatiftir, yani gerçekten de bir noktada pozitif sayılara rastlayacağız. Tek soru bunun ne zaman olacağı.

Terimlerin olumsuzluğunun ne kadar süreyle (yani, hangi $n$ doğal sayısına kadar) korunduğunu bulmaya çalışalım:

\[\begin(hizala) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \sağ)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \sağ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \sağ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(hizala)\]

Son satırın açıklığa kavuşturulması gerekiyor. Yani $n \lt 15\frac(7)(27)$ olduğunu biliyoruz. Öte yandan, sayının yalnızca tamsayı değerleri bize uyacaktır (ayrıca: $n\in \mathbb(N)$), bu nedenle izin verilen en büyük sayı tam olarak $n=15$ ve hiçbir durumda 16 değildir.

Görev numarası 5. Aritmetik ilerlemede $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu ilerlemenin ilk pozitif teriminin sayısını bulun.

Bu, bir öncekiyle tamamen aynı problem olurdu, ancak $((a)_(1))$'ı bilmiyoruz. Ancak komşu terimler bilinmektedir: $((a)_(5)$ ve $((a)_(6))$, böylece ilerleme farkını kolayca bulabiliriz:

Ayrıca beşinci terimi birinci terim ve fark cinsinden standart formülü kullanarak ifade etmeye çalışalım:

\[\begin(hizala) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \sağ)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cnokta 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(hizala)\]

Şimdi bir önceki probleme benzeterek ilerliyoruz. Sıralamamızın hangi noktasında pozitif sayıların görüneceğini öğreniyoruz:

\[\begin(hizala) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \sağ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Sağ ok ((n)_(\min ))=56. \\ \end(hizala)\]

Bu eşitsizliğin minimum tamsayı çözümü 56 sayısıdır.

Lütfen dikkat: içinde son ödev her şey katı bir eşitsizliğe indirgenmiştir, dolayısıyla $n=55$ seçeneği bize uymayacaktır.

Artık basit problemleri nasıl çözeceğimizi öğrendiğimize göre, daha karmaşık problemlere geçelim. Ama önce, aritmetik ilerlemelerin bize çok zaman kazandıracak ve gelecekte eşit olmayan hücreler kazandıracak çok yararlı bir özelliğini daha öğrenelim. :)

Aritmetik ortalama ve eşit girintiler

$\left(((a)_(n)) \right)$ artan aritmetik dizinin birkaç ardışık terimini ele alalım. Bunları bir sayı satırında işaretlemeye çalışalım:

Sayı doğrusundaki aritmetik ilerleme üyeleri

$((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ rastgele üyelerini özellikle not ettim ve $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ vb. Çünkü şimdi size anlatacağım kural her "segment" için aynı şekilde işliyor.

Ve kural çok basit. Özyinelemeli formülü hatırlayalım ve tüm işaretli üyeler için yazalım:

\[\begin(hizala) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(hizala)\]

Ancak, bu eşitlikler farklı şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(hizala) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(hizala)\]

Peki ne olmuş? Ancak $((a)_(n-1))$ ve $((a)_(n+1))$ terimlerinin $((a)_(n)) $'dan aynı uzaklıkta olması gerçeği . Ve bu uzaklık $d$'a eşittir. Aynı şey $((a)_(n-2))$ ve $((a)_(n+2))$ terimleri için de söylenebilir - bunlar ayrıca $((a)_(n)'den çıkarılır. )$ aynı mesafe ile $2d$'a eşit. Süresiz olarak devam edebilirsiniz, ancak resim anlamı iyi açıklıyor

İlerleme üyeleri merkezden aynı uzaklıkta bulunur

Bu bizim için ne anlama geliyor? Bu, eğer komşu numaralar biliniyorsa $((a)_(n))$ bulabileceğiniz anlamına gelir:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Muhteşem bir önerme çıkardık: Bir aritmetik dizinin her bir üyesi, komşu üyelerin aritmetik ortalamasına eşittir! Dahası, $((a)_(n))$'den sola ve sağa bir adım değil, $k$ adım sapabiliriz - ve yine de formül doğru olacaktır:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Onlar. $((a)_(100))$ ve $((a)_(200))$'yi bilirsek kolayca $((a)_(150)$ bulabiliriz, çünkü $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200))))(2)$. İlk bakışta, bu gerçek bize yararlı bir şey vermiyor gibi görünebilir. Bununla birlikte, pratikte, birçok görev, aritmetik ortalamanın kullanımı için özel olarak "keskinleştirilmiştir". Bir göz at:

Görev numarası 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ ve $14+4((x)^(2))$ sayıları ardışık üyeler olacak şekilde $x$'ın tüm değerlerini bulun bir aritmetik ilerleme (belirtilen sırada).

Çözüm. Bu sayılar bir ilerlemenin üyeleri olduğundan, aritmetik ortalama koşulu onlar için karşılanır: merkezi öğe $x+1$, komşu öğeler cinsinden ifade edilebilir:

\[\begin(hizala) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(hizala)\]

Klasik çıktı ikinci dereceden denklem. Kökleri: $x=2$ ve $x=-3$ cevaplar.

Cevap: -3; 2.

Görev numarası 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ sayıları bir aritmetik ilerleme oluşturacak şekilde $$ değerlerini bulun (bu sırayla).

Çözüm. Yine orta terimi komşu terimlerin aritmetik ortalaması cinsinden ifade edelim:

\[\begin(hizala) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\sağ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2)-7x+6=0. \\ \end(hizala)\]

Başka bir ikinci dereceden denklem. Ve yine iki kök: $x=6$ ve $x=1$.

Cevap 1; 6.

Bir sorunu çözme sürecinde bazı acımasız sayılar alırsanız veya bulunan cevapların doğruluğundan tam olarak emin değilseniz, o zaman kontrol etmenizi sağlayan harika bir numara vardır: sorunu doğru çözdük mü?

Diyelim ki 6. problemde -3 ve 2 cevaplarını aldık. Bu cevapların doğru olup olmadığını nasıl kontrol edebiliriz? Onları orijinal durumuna takalım ve ne olacağını görelim. Aritmetik bir ilerleme oluşturması gereken üç sayıya ($-6(()^(2))$, $+1$ ve $14+4(()^(2))$) sahip olduğumuzu hatırlatmama izin verin. $x=-3$'ı değiştirin:

\[\begin(hizala) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(hizala)\]

-54 rakamlarını aldık; -2; 52 farkla 50, şüphesiz aritmetik bir dizidir. Aynı şey $x=2$ için de olur:

\[\begin(hizala) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(hizala)\]

Yine bir ilerleme ama 27 farkla. Böylece sorun doğru bir şekilde çözülmüş oluyor. Dileyenler ikinci görevi kendileri kontrol edebilir ama hemen söyleyeceğim: orada da her şey doğru.

Genel olarak, son görevleri çözerken başka birine rastladık. ilginç gerçek, ayrıca hatırlanması gereken:

Üç sayı, ikincisi birinci ve sonuncunun ortalaması olacak şekildeyse, bu sayılar bir aritmetik ilerleme oluşturur.

Gelecekte, bu ifadeyi anlamak, sorunun durumuna bağlı olarak gerekli ilerlemeleri kelimenin tam anlamıyla "inşa etmemize" izin verecektir. Ancak böyle bir "inşaya" girmeden önce, daha önce ele alınanların doğrudan sonucu olan bir gerçeğe daha dikkat etmeliyiz.

Gruplandırma ve öğelerin toplamı

Tekrar sayı doğrusuna dönelim. Orada, belki aralarında, ilerlemenin birkaç üyesini not ediyoruz. diğer birçok üyeye değer:

Sayı doğrusunda işaretlenmiş 6 element

"Sol kuyruk"u $((a)_(n))$ ve $d$ cinsinden ve "sağ kuyruk"u $((a)_(k))$ ve $ cinsinden ifade etmeye çalışalım. d$. Çok basit:

\[\begin(hizala) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(hizala)\]

Şimdi aşağıdaki toplamların eşit olduğuna dikkat edin:

\[\begin(hizala) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(hizala)\]

Basitçe söylemek gerekirse, ilerlemenin toplamda $S$ sayısına eşit olan iki öğesini bir başlangıç ​​olarak ele alırsak ve sonra bu öğelerden zıt yönlerde adım atmaya başlarsak (birbirimize doğru veya tam tersi uzaklaşmak için), Daha sonra rastlayacağımız elementlerin toplamları da eşit olacaktır.$S$. Bu en iyi grafiksel olarak temsil edilebilir:

Aynı girintiler eşit toplamlar verir

Anlamak bu gerçek sorunları temelde daha fazla çözmemize izin verecek yüksek seviye yukarıda tartışılanlardan daha karmaşıktır. Örneğin, bunlar:

Görev numarası 8. Birinci terimi 66 olan ve ikinci ve on ikinci terimlerin çarpımı mümkün olan en küçük olan bir aritmetik dizinin farkını belirleyin.

Çözüm. Bildiğimiz her şeyi yazalım:

\[\begin(hizala) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(hizala)\]

Yani, $d$ ilerlemesinin farkını bilmiyoruz. Aslında, $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ çarpımı aşağıdaki gibi yeniden yazılabileceğinden, tüm çözüm fark etrafında inşa edilecektir:

\[\begin(hizala) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ). \end(hizala)\]

Tanktakiler için: 11 ortak çarpanını ikinci parantezden çıkardım. Böylece istenen ürün, $d$ değişkenine göre ikinci dereceden bir fonksiyondur. Bu nedenle, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ fonksiyonunu düşünün - grafiği dalları yukarı olan bir parabol olacaktır, çünkü parantezleri açarsak şunu elde ederiz:

\[\begin(hizala) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(hizala)\]

Gördüğünüz gibi, en yüksek terimdeki katsayı 11'dir - bu pozitif sayı, bu yüzden gerçekten dalları olan bir parabol ile uğraşıyoruz:

ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiği - parabol

Lütfen dikkat: bu parabol minimum değerini apsis $((d)_(0))$ ile tepe noktasında alır. Elbette bu apsisi standart şemaya göre hesaplayabiliriz ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ formülü vardır), ancak çok daha mantıklı olacaktır. istenen tepe noktasının parabolün eksen simetrisi üzerinde olduğuna dikkat edin, dolayısıyla $((d)_(0))$ noktası $f\left(d \right)=0$ denkleminin köklerinden eşit uzaklıktadır:

\[\begin(hizala) & f\left(d\sağ)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\dörtlü ((d)_(2))=-6. \\ \end(hizala)\]

Bu yüzden köşeli parantezleri açmak için acelem yoktu: orijinal haliyle kökleri bulmak çok ama çok kolaydı. Bu nedenle, apsis -66 ve -6 sayılarının aritmetik ortalamasına eşittir:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Bize keşfedilen sayıyı veren nedir? Bununla birlikte, gerekli ürün alır en küçük değer(Bu arada, $((y)_(\min ))$ hesaplamadık - bunu yapmak zorunda değiliz). Aynı zamanda, bu sayı ilk ilerlemenin farkıdır, yani. cevabı bulduk :)

Cevap: -36

Görev numarası 9. $-\frac(1)(2)$ ve $-\frac(1)(6)$ sayıları arasına üç sayı yerleştirin, böylece verilen sayılarla birlikte aritmetik bir dizi oluştururlar.

Çözüm. Aslında, birinci ve ikinci olmak üzere beş sayıdan oluşan bir dizi oluşturmamız gerekiyor. son numara zaten biliniyor Eksik sayıları $x$, $y$ ve $z$ değişkenleriyle belirtin:

\[\left(((a)_(n)) \sağ)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \sağ\ )\]

$y$ sayısının dizimizin "ortası" olduğuna dikkat edin - $x$ ve $z$ sayılarından ve $-\frac(1)(2)$ ve $-\frac sayılarından eşit uzaklıktadır (1)( 6)$. Ve eğer $x$ ve $z$ sayılarından ise şu an$y$ alamıyoruz, o zaman ilerlemenin sonları ile durum farklı. Aritmetik ortalamayı hatırla:

Şimdi, $y$'ı bilerek kalan sayıları bulacağız. $x$'ın yeni bulunan $-\frac(1)(2)$ ve $y=-\frac(1)(3)$ arasında olduğuna dikkat edin. Bu yüzden

Benzer şekilde tartışarak, kalan sayıyı buluruz:

Hazır! Üç sayıyı da bulduk. Cevapta orijinal sayıların arasına yerleştirilmeleri gereken sırayla yazalım.

Yanıt: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Görev numarası 10. Girilen sayıların birinci, ikinci ve sonuncularının toplamının 56 olduğu biliniyorsa, 2 ile 42 sayıları arasına, verilen sayılarla birlikte aritmetik bir ilerleme oluşturan birkaç sayı girin.

Çözüm. Bununla birlikte, öncekilerle aynı şekilde - aritmetik ortalama yoluyla çözülen daha da zor bir görev. Sorun şu ki, tam olarak kaç sayı ekleyeceğimizi bilmiyoruz. Bu nedenle, kesinlik için, ekleme işleminden sonra tam olarak $n$ sayısı olacağını ve bunlardan ilkinin 2 ve sonuncusunun 42 olduğunu varsayıyoruz. Bu durumda, istenen aritmetik ilerleme şu şekilde temsil edilebilir:

\[\left(((a)_(n)) \sağ)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \sağ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Bununla birlikte, $((a)_(2))$ ve $((a)_(n-1))$ sayılarının, kenarlarda birbirine doğru bir adım duran 2 ve 42 sayılarından elde edildiğine dikkat edin. , yani . dizinin merkezine. Ve bu şu anlama gelir:

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ancak daha sonra yukarıdaki ifade şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(hizala) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \sağ)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(hizala)\]

$((a)_(3)$ ve $((a)_(1))$'yi bilerek, ilerleme farkını kolayca bulabiliriz:

\[\begin(hizala) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \sağ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Sağ ok d=5. \\ \end(hizala)\]

Sadece kalan üyeleri bulmak için kalır:

\[\begin(hizala) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2)=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cnokta 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cnokta 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cnokta 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cnokta 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cnokta 5=42; \\ \end(hizala)\]

Böylece, zaten 9. adımda dizinin sol ucuna geleceğiz - 42 sayısı. Toplamda yalnızca 7 sayının eklenmesi gerekiyordu: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Cevap: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

İlerlemeli metin görevleri

Sonuç olarak, nispeten basit birkaç sorunu ele almak istiyorum. Pekala, basit olanlar: Okulda matematik okuyan ve yukarıda yazılanları okumamış çoğu öğrenci için bu görevler bir jest gibi görünebilir. Bununla birlikte, matematikte OGE ve USE'de tam olarak bu tür görevler karşımıza çıkıyor, bu yüzden onlara aşina olmanızı tavsiye ederim.

Görev numarası 11. Ekip Ocak ayında 62 parça üretti ve sonraki her ay bir öncekinden 14 parça daha fazla üretti. Tugay Kasım ayında kaç parça üretti?

Çözüm. Açıkçası, aya göre boyanmış parça sayısı artan bir aritmetik ilerleme olacaktır. Ve:

\[\begin(hizala) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cnokta 14. \\ \end(hizala)\]

Kasım yılın 11. ayıdır, dolayısıyla $((a)_(11))$'ı bulmamız gerekiyor:

\[((a)_(11))=62+10\cnokta 14=202\]

Bu nedenle Kasım ayında 202 parça üretilecek.

Görev numarası 12. Cilt atölyesi Ocak ayında 216 kitap ciltledi ve her ay bir önceki aya göre 4 kitap daha ciltledi. Atölye Aralık ayında kaç kitap ciltledi?

Çözüm. Hepsi aynı:

$\begin(hizala) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(hizala)$

Aralık yılın son 12. ayıdır, dolayısıyla $((a)_(12))$'ı arıyoruz:

\[((a)_(12))=216+11\cnokta 4=260\]

Cevap bu - Aralık ayında 260 kitap ciltlenecek.

Pekala, buraya kadar okuduysanız, sizi tebrik etmek için acele ediyorum: "genç dövüşçü kursunu" aritmetik ilerlemelerde başarıyla tamamladınız. güvenle gidebilirsiniz gelecek dersİlerleme toplamı formülünü ve bunun önemli ve çok faydalı sonuçlarını inceleyeceğimiz yer.

Veya aritmetik - bu, özellikleri bir okul cebir kursunda incelenen bir tür sıralı sayısal dizidir. Bu makale, bir aritmetik ilerlemenin toplamının nasıl bulunacağı sorusunu ayrıntılı olarak tartışmaktadır.

Bu ilerleme nedir?

Sorunun değerlendirilmesine geçmeden önce (bir aritmetik ilerlemenin toplamı nasıl bulunur), neyin tartışılacağını anlamaya değer.

Önceki her sayıdan bir değer ekleyerek (çıkararak) elde edilen herhangi bir gerçek sayı dizisine cebirsel (aritmetik) ilerleme denir. Matematik diline tercüme edilen bu tanım şu şekli alır:

Burada i, a i serisinin elemanının sıra sayısıdır. Böylece, yalnızca bir ilk sayıyı bilerek, tüm seriyi kolayca geri yükleyebilirsiniz. Formüldeki d parametresine ilerleme farkı denir.

İncelenen sayı dizileri için aşağıdaki eşitliğin geçerli olduğu kolayca gösterilebilir:

bir n \u003d bir 1 + d * (n - 1).

Yani sırayla n'inci elemanın değerini bulmak için ilk elemana d farkını 1 n-1 kez ekleyin.

Bir aritmetik ilerlemenin toplamı nedir: formül

Belirtilen miktar için formülü vermeden önce, basit bir düşünmeye değer. özel durum. Doğal sayıların 1'den 10'a ilerlemesi verildiğinde, toplamlarını bulmanız gerekir. İlerlemede (10) az sayıda terim olduğu için, sorunu kafa kafaya çözmek, yani tüm öğeleri sırayla toplamak mümkündür.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

İlginç bir şeyi dikkate almaya değer: her terim bir sonrakinden aynı d \u003d 1 değeriyle farklı olduğundan, o zaman birincinin onuncu, ikincinin dokuzuncu ile ikili toplamı aynı sonucu verecektir. . Gerçekten mi:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Gördüğünüz gibi bu toplamlardan sadece 5 tane var yani dizideki eleman sayısından tam olarak iki kat daha az. Daha sonra toplam sayısını (5) her toplamın sonucuyla (11) çarparak, ilk örnekte elde edilen sonuca geleceksiniz.

Bu argümanları genelleştirirsek, aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz:

S n \u003d n * (bir 1 + bir n) / 2.

Bu ifade, bir satırdaki tüm elemanları toplamanın hiç gerekli olmadığını, ilk a 1 ve son a n'nin değerini ve ayrıca toplam sayısı terimler

Gauss'un bu eşitliği ilk olarak okul öğretmeni tarafından belirlenen probleme bir çözüm ararken düşündüğüne inanılıyor: ilk 100 tam sayıyı toplamak.

m'den n'ye kadar olan elemanların toplamı: formül

Önceki paragrafta verilen formül, bir aritmetik dizinin (ilk öğelerin) toplamının nasıl bulunacağı sorusuna cevap verir, ancak görevlerde genellikle ilerlemenin ortasında bir dizi sayı toplamak gerekir. Nasıl yapılır?

Bu soruyu cevaplamanın en kolay yolu şu örneği ele almaktır: m'den n'ye kadar olan terimlerin toplamını bulmak gerekli olsun. Problemi çözmek için, ilerlemenin m'den n'ye kadar verilen bir parçası yeni bir sayı serisi olarak temsil edilmelidir. böyle gösterim m-th terim a m ilk olacak ve bir n n-(m-1) olarak numaralandırılacaktır. Bu durumda toplam için standart formül uygulanarak aşağıdaki ifade elde edilir:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Formül kullanma örneği

Bir aritmetik ilerlemenin toplamını nasıl bulacağınızı bilmek, yukarıdaki formülleri kullanmanın basit bir örneğini düşünmeye değer.

Aşağıda verilmiştir sayısal dizi, 5'ten başlayıp 12'ye kadar olan üyelerinin toplamını bulmalısınız:

Verilen sayılar d farkının 3'e eşit olduğunu gösterir. n'inci eleman için ifadeyi kullanarak dizinin 5. ve 12. üyelerinin değerlerini bulabilirsiniz. Anlaşıldı:

5 \u003d 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

12 \u003d 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Söz konusu cebirsel ilerlemenin sonundaki sayıların değerlerini bilmek ve ayrıca dizide hangi sayıları işgal ettiklerini bilmek, önceki paragrafta elde edilen toplamın formülünü kullanabilirsiniz. Elde etmek:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Bu değerin farklı bir şekilde elde edilebileceğini belirtmekte fayda var: önce standart formülü kullanarak ilk 12 elementin toplamını bulun, ardından aynı formülü kullanarak ilk 4 elementin toplamını hesaplayın ve ardından ikinciyi birinci toplamdan çıkarın. .