Doğrusal denklem sistemleri nasıl çözülür? İki değişkenli denklem sistemleri, çözümleri

Öncelikle iki değişkenli bir denklem sisteminin çözümünün tanımını hatırlayalım.

Tanım 1

Bir çift sayı, iki değişkenli bir denklem sisteminin çözümü olarak adlandırılır, eğer bunlar denklemde yerine konulduğunda doğru eşitlik elde edilir.

Aşağıda iki değişkenli iki denklemli sistemleri ele alacağız.

Var olmak Denklem sistemlerini çözmenin dört temel yolu: ikame yöntemi, toplama yöntemi, grafiksel yöntem, yeni değişken yönetimi yöntemi. Gelin bu yöntemlere bir göz atalım somut örnekler. İlk üç yöntemi kullanma ilkesini açıklamak için iki yöntemden oluşan bir sistemi ele alacağız. doğrusal denklemler iki bilinmeyenli:

İkame yöntemi

Değiştirme yöntemi şu şekildedir: Bu denklemlerden herhangi biri alınır ve $y$, $x$ cinsinden ifade edilir, ardından $x.$ değişkeninin bulunduğu sistemin denkleminde $y$ yerine konulur. Bundan sonra $y.$ değişkenini kolaylıkla hesaplayabiliriz.

örnek 1

İkinci denklem $y$'dan $x$ cinsinden ifade edelim:

İlk denklemde yerine koyun, $x$'ı bulun:

\ \ \

$y$'ı bulun:

Cevap: $(-2,\ 3)$

Ekleme yöntemi.

Bu yöntemi bir örnekle düşünün:

Örnek 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

İkinci denklemi 3 ile çarparsak şunu elde ederiz:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Şimdi her iki denklemi birlikte toplayalım:

\ \ \

İkinci denklemden $y$'yi bulun:

\[-6-y=-9\] \

Cevap: $(-2,\ 3)$

Açıklama 1

Bu yöntemde denklemlerden birini veya her ikisini birden, değişkenlerden biri eklenirken "kaybolacak" sayılarla çarpmanın gerekli olduğunu unutmayın.

Grafiksel yol

Grafiksel yöntem şu şekildedir: Sistemin her iki denklemi de koordinat düzleminde görüntülenir ve kesişme noktaları bulunur.

Örnek 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

$y$'yi her iki denklemden de $x$ cinsinden ifade edelim:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Her iki grafiği de aynı düzlemde çizelim:

Resim 1.

Cevap: $(-2,\ 3)$

Yeni değişkenler nasıl tanıtılır

Aşağıdaki örnekte bu yöntemi ele alacağız:

Örnek 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Çözüm.

Bu sistem şu sisteme eşdeğerdir

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ Sağ.\]

$2^x=u\ (u>0)$ ve $3^y=v\ (v>0)$ olsun, şunu elde ederiz:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Ortaya çıkan sistemi toplama yöntemiyle çözüyoruz. Denklemleri ekleyelim:

\ \

Sonra ikinci denklemden şunu elde ederiz:

Değiştirmeye dönersek, şunu elde ederiz: yeni sistemüstel denklemler:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Şunu elde ederiz:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Talimat

Ekleme yöntemi.
Kesinlikle birbirinin altına iki tane yazmanız gerekir:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Rastgele seçilen (sistemden) bir denklemde, halihazırda bulunan "oyun" yerine 11 sayısını ekleyin ve ikinci bilinmeyeni hesaplayın:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Bu denklem sisteminin cevabı: x=116, y=11.

Grafik yolu.
Denklem sisteminde çizgilerin matematiksel olarak yazıldığı noktanın koordinatlarının pratik olarak bulunmasından oluşur. Her iki doğrunun grafiğini ayrı ayrı aynı koordinat sisteminde çizmelisiniz. Genel görünüm: - y \u003d kx + b. Düz bir çizgi oluşturmak için iki noktanın koordinatlarını bulmak yeterlidir ve x keyfi olarak seçilir.
Sistem verilsin: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
İlkine göre düz bir çizgi inşa edilmiştir, kolaylık sağlamak için yazılması gerekir: y \u003d 2x-4. X için (daha kolay) değerler bulun, bunu denklemde yerine koyun, çözün, y'yi bulun. Düz bir çizginin oluşturulduğu iki nokta elde edilir. (resme bakınız)
x 0 1

y -4 -2
İkinci denkleme göre düz bir çizgi inşa edilir: y \u003d -3x + 1.
Ayrıca bir çizgi oluşturun. (resme bakınız)

1-5
Grafikteki iki oluşturulmuş çizginin kesişme noktasının koordinatlarını bulun (eğer çizgiler kesişmiyorsa, denklem sisteminde böyle bir şey yoktur).

İlgili videolar

Yararlı tavsiye

Aynı denklem sistemi üç denklemle çözülürse Farklı yollar, cevap aynı olacaktır (eğer çözüm doğruysa).

Kaynaklar:

• Cebir 8. Sınıf
• iki bilinmeyenli denklemi çevrimiçi çözme
• İkili doğrusal denklem sistemlerini çözme örnekleri

Sistem denklemler her biri belirli sayıda değişken içeren matematiksel kayıtların bir koleksiyonudur. Bunları çözmenin birkaç yolu vardır.

İhtiyacın olacak

• -Cetvel ve kalem;
• -hesap makinesi.

Talimat

Şu formdaki doğrusal denklemlerden oluşan sistemin çözüm sırasını düşünün: a1x + b1y = c1 ve a2x + b2y = c2. Burada x ve y bilinmeyen değişkenlerdir ve b,c serbest üyelerdir. Bu yöntemi uygularken her sistem, her denkleme karşılık gelen noktaların koordinatlarıdır. Öncelikle her durumda bir değişkeni diğerine göre ifade edin. Daha sonra x değişkenini istediğiniz sayıda değere ayarlayın. İki tanesi yeterli. Denklemi yerine koy ve y'yi bul. Bir koordinat sistemi oluşturun, alınan noktaları üzerine işaretleyin ve aralarından düz bir çizgi çizin. Sistemin diğer kısımları için de benzer hesaplamaların yapılması gerekmektedir.

Oluşturulan doğruların kesişmesi ve bir tane olması durumunda sistemin benzersiz bir çözümü vardır. ortak nokta. Birbirine paralel olması tutarsızdır. Ve doğrular birbiriyle birleştiğinde sonsuz sayıda çözümü olur.

Bu yöntemin çok açık olduğu düşünülmektedir. En büyük dezavantajı hesaplanan bilinmeyenlerin yaklaşık değerlere sahip olmasıdır. Daha doğru bir sonuç, sözde cebirsel yöntemlerle verilir.

Bir denklem sisteminin herhangi bir çözümü kontrol edilmeye değerdir. Bunu yapmak için değişkenler yerine elde edilen değerleri değiştirin. Çözümünü çeşitli şekillerde de bulabilirsiniz. Sistemin çözümü doğruysa herkesin aynı çıkması gerekir.

Genellikle terimlerden birinin bilinmediği denklemler vardır. Bir denklemi çözmek için bu sayıları hatırlamanız ve bunlarla belirli bir dizi eylem yapmanız gerekir.

İhtiyacın olacak

• - kağıt;
• - Kalem veya kurşun kalem.

Talimat

Önünüzde 8 tavşanınız olduğunu ve yalnızca 5 havucunuzun olduğunu hayal edin. Her tavşanın bir havuç alması için daha fazla havuç almanız gerektiğini düşünün.

Bu problemi bir denklem şeklinde ifade edelim: 5 + x = 8. x'in yerine 3 sayısını koyalım, aslında 5 + 3 = 8.

X'in yerine bir sayı koyduğunuzda, 8'den 5 çıkarmakla aynı işlemi yapıyordunuz. Bilinmeyen terim, bilinen terimi toplamdan çıkarın.

Diyelim ki 20 tavşanınız ve sadece 5 havucunuz var. Hadi oluşturalım. Denklem, içinde yer alan harflerin yalnızca belirli değerleri için geçerli olan bir eşitliktir. Değerini bulmak istediğiniz harfler çağrılır. Bir bilinmeyenli bir denklem yazın, buna x adını verin. Tavşanlarla ilgili problemimizi çözerken şu denklem elde edilir: 5 + x = 20.

20 ile 5 arasındaki farkı bulalım. Çıkarma yaparken, çıkarıldığı sayı azalır. Çıkarılan sayıya denir ve nihai sonuca fark denir. Yani x = 20 - 5; x = 15. Tavşanlar için 15 adet havuç almanız gerekmektedir.

Bir kontrol yapın: 5 + 15 = 20. Denklem doğrudur. Tabii ne zaman Konuşuyoruz bu kadar basit olanlar için kontrol yapılmasına gerek yoktur. Ancak üç basamaklı, dört basamaklı vb. denklemler söz konusu olduğunda, çalışmanızın sonucundan kesinlikle emin olmak için kontrol etmeniz zorunludur.

İlgili videolar

Yararlı tavsiye

Bilinmeyen eksiyi bulmak için çıkanı farka eklemeniz gerekir.

Bilinmeyen çıkanı bulmak için farkı çıkandan çıkarmak gerekir.

İpucu 4: Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem nasıl çözülür?

Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistemin, yeterli sayıda denklem olmasına rağmen çözümleri olmayabilir. Değiştirme yöntemini veya Cramer yöntemini kullanarak çözmeyi deneyebilirsiniz. Cramer yöntemi, sistemi çözmenin yanı sıra, bilinmeyenlerin değerlerini bulmadan önce sistemin çözülebilir olup olmadığının değerlendirilmesine olanak tanır.

Talimat

İkame yöntemi, sırasıyla bir bilinmeyenden diğer iki bilinmeyene ve elde edilen sonucun sistemin denklemlerinde yerine konulmasından oluşur. Genel olarak üç denklemden oluşan bir sistem verilsin:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

İlk denklemdeki x'i ifade edin: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ve ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyun, ardından ikinci denklemde y'yi ifade edin ve üçüncüde yerine koyun. Sistem denklemlerinin katsayıları aracılığıyla z için doğrusal bir ifade elde edeceksiniz. Şimdi "geri" gidin: z'yi ikinci denklemde yerine koyun ve y'yi bulun, ardından z ve y'yi ilk denklemde yerine koyun ve x'i bulun. z bulunana kadar olan süreç genel olarak şekilde gösterilmektedir. Dahası, genel formdaki kayıt çok hantal olacaktır, pratikte yerine koyarak üç bilinmeyeni de kolayca bulabilirsiniz.

Cramer'in yöntemi, sistemin matrisini derlemek ve bu matrisin determinantının yanı sıra üç yardımcı matrisin daha hesaplanmasından oluşur. Sistemin matrisi denklemlerin bilinmeyen terimlerindeki katsayılardan oluşur. Denklemlerin sağ tarafındaki sayıların bulunduğu sütun, sağ taraftaki sütun. Sistemde kullanılmaz ancak sistem çözümünde kullanılır.

İlgili videolar

Not

Sistemdeki tüm denklemler diğer denklemlerden bağımsız olarak ek bilgi sağlamalıdır. Aksi takdirde sistem eksik belirlenecek ve kesin bir çözüm bulmak mümkün olmayacaktır.

Yararlı tavsiye

Denklem sistemini çözdükten sonra bulunan değerleri orijinal sisteme yerleştirin ve tüm denklemleri karşıladıklarını kontrol edin.

Kendi kendine denklemüç ile Bilinmeyen birçok çözümü vardır, bu nedenle çoğu zaman iki denklem veya koşulla desteklenir. İlk verilerin ne olduğuna bağlı olarak kararın gidişatı büyük ölçüde bağlı olacaktır.

İhtiyacın olacak

• - üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem.

Talimat

Üç sistemden ikisinde üç bilinmeyenden yalnızca ikisi varsa, bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmeyi ve bunları yerine yerleştirmeyi deneyin. denklemüç ile Bilinmeyen. Bununla amacınız bunu normale dönüştürmek denklem bilinmeyenle. Eğer öyleyse, sonraki çözüm oldukça basittir; bulunan değeri diğer denklemlerde yerine koyun ve diğer tüm bilinmeyenleri bulun.

Bazı denklem sistemleri bir denklemden diğerine çıkarılabilir. İki bilinmeyenin aynı anda azaltılması için bir değişkeni veya bir değişkeni çarpmanın mümkün olup olmadığına bakın. Böyle bir fırsat varsa kullanın, büyük olasılıkla sonraki karar zor olmayacaktır. Bir sayıyla çarparken hem sol tarafı hem de sağ tarafı çarpmanız gerektiğini unutmayın. Benzer şekilde denklemlerde çıkarım yaparken sağ tarafın da çıkarılması gerektiğini unutmayın.

Eğer önceki yöntemler yardımcı olmadıysa, üç denklemli denklemleri çözmek için genel yöntemi kullanın. Bilinmeyen. Bunu yapmak için denklemleri a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 biçiminde yeniden yazın. Şimdi x'te katsayılardan oluşan bir matris (A), bilinmeyenlerden oluşan bir matris (X) ve serbest olanlardan oluşan bir matris (B) yapın. Dikkat edin, katsayılar matrisini bilinmeyenler matrisiyle çarparak bir matris, serbest üyelerin bir matrisi, yani A * X \u003d B elde edeceksiniz.

A matrisinin (-1) üssünü bulduktan sonra sıfıra eşit olmaması gerektiğini unutmayın. Bundan sonra, elde edilen matrisi B matrisiyle çarpın, sonuç olarak tüm değerleri gösteren istenen X matrisini elde edeceksiniz.

Cramer yöntemini kullanarak üç denklemli bir sistemin çözümünü de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için sistemin matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinantı ∆ bulun. Daha sonra karşılık gelen sütunların değerleri yerine serbest terimlerin değerlerini değiştirerek art arda üç determinant daha bulun: ∆1, ∆2 ve ∆3. Şimdi x'i bulun: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Kaynaklar:

• üç bilinmeyenli denklemlerin çözümleri

Bir denklem sistemini çözmeye başlayın, bu denklemlerin ne olduğunu bulun. Doğrusal denklemleri çözme yöntemleri iyi incelenmiştir. Doğrusal olmayan denklemler çoğunlukla çözülmez. Her biri pratik olarak bireysel olan yalnızca bir özel durum vardır. Bu nedenle çözüm yöntemlerinin incelenmesi doğrusal denklemlerle başlamalıdır. Bu tür denklemler tamamen algoritmik olarak bile çözülebilir.

bulunan bilinmeyenlerin paydaları tamamen aynıdır. Evet ve paylar, yapılarının bazı kalıplarını görebilir. Denklem sisteminin boyutu ikiden büyük olsaydı, yok etme yöntemi çok hantal hesaplamalara yol açacaktı. Bunlardan kaçınmak için tamamen algoritmik çözümler geliştirilmiştir. Bunlardan en basiti Cramer algoritmasıdır (Cramer formülleri). Çünkü bilmelisin genel sistem n denklemden denklemler.

n bilinmeyenli n doğrusal cebirsel denklem sistemi şu şekle sahiptir (bkz. Şekil 1a). İçinde aij sistemin katsayılarıdır,
хj – bilinmeyenler, bi – serbest üyeler (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Böyle bir sistem kompakt bir şekilde AX=B matris formunda yazılabilir. Burada A sistemin katsayı matrisidir, X bilinmeyenlerin sütun matrisidir, B serbest terimlerin sütun matrisidir (bkz. Şekil 1b). Cramer'in yöntemine göre her bilinmeyen xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Katsayılar matrisinin determinantına ∆ ana determinant, ∆i'ye yardımcı denir. Her bilinmeyen için, ana determinantın i'inci sütununun serbest üyelerden oluşan bir sütunla değiştirilmesiyle bir yardımcı determinant bulunur. İkinci ve üçüncü dereceden sistemler için Cramer yöntemi Şekil 1'de ayrıntılı olarak sunulmaktadır. 2.

Sistem, her biri iki veya daha fazla bilinmeyene sahip iki veya daha fazla eşitliğin birleşimidir. Çerçevede kullanılan doğrusal denklem sistemlerini çözmenin iki ana yolu vardır. Okul müfredatı. Bunlardan birine yöntem denir, diğerine ise toplama yöntemi.

İki denklemli bir sistemin standart formu

Şu tarihte: standart biçim ilk denklem a1*x+b1*y=c1'dir, ikinci denklem a2*x+b2*y=c2'dir vb. Örneğin sistemin her iki bölümünde de verilen a1, a2, b1, b2, c1, c2 gibi bazı sayısal katsayılar belirli denklemlerle sunulmaktadır. Buna karşılık x ve y, değerlerinin belirlenmesi gereken bilinmeyenlerdir. İstenilen değerler her iki denklemi aynı anda gerçek eşitliklere dönüştürür.

Sistemin toplama yöntemiyle çözümü

Sistemi çözmek, yani x ve y'nin onları gerçek eşitliklere dönüştürecek değerlerini bulmak için birkaç basit adım atmanız gerekir. Bunlardan ilki, denklemlerden herhangi birini, her iki denklemdeki x veya y değişkeninin sayısal katsayılarının mutlak değerde çakışacağı ancak işareti farklı olacak şekilde dönüştürmektir.

Örneğin iki denklemden oluşan bir sistem verilsin. Bunlardan birincisi 2x+4y=8 biçiminde, ikincisi ise 6x+2y=6 biçimindedir. Görevi tamamlama seçeneklerinden biri, ikinci denklemi -2 faktörüyle çarpmaktır, bu da onu -12x-4y=-12 formuna götürecektir. Katsayının doğru seçimi, sistemi toplama yöntemiyle çözme sürecindeki kilit görevlerden biridir, çünkü bilinmeyenleri bulma prosedürünün tüm ilerleyişini belirler.

Şimdi sistemin iki denklemini eklemek gerekiyor. Açıkçası, değer olarak eşit fakat işaret katsayıları zıt olan değişkenlerin karşılıklı yok edilmesi onu -10x=-4 formuna götürecektir. Bundan sonra, x=0,4 sonucunun açıkça ortaya çıktığı bu basit denklemi çözmek gerekir.

Son adımÇözme sürecinde değişkenlerden birinin bulunan değerinin sistemde mevcut olan herhangi bir başlangıç ​​​​eşitliklerinde değiştirilmesidir. Örneğin, ilk denklemde x=0,4 yerine 2*0,4+4y=8 ifadesini elde edebilirsiniz; buradan y=1,8 elde edilir. Dolayısıyla x=0,4 ve y=1,8 örnekte gösterilen sistemin kökleridir.

Köklerin doğru bulunduğundan emin olmak için bulunan değerleri sistemin ikinci denkleminde yerine koyarak kontrol etmekte fayda vardır. Örneğin, bu durum 0,4*6+1,8*2=6 biçiminde bir eşitlik elde edilir ki bu doğrudur.

İlgili videolar

Lineer cebirsel denklem sistemlerinin (SLAE) çözümü şüphesiz lineer cebir dersinin en önemli konusudur. Matematiğin tüm dallarından çok sayıda problem, doğrusal denklem sistemlerinin çözümüne indirgenmiştir. Bu faktörler bu makalenin oluşturulma nedenini açıklamaktadır. Makalenin materyali, onun yardımıyla şunları yapabilmeniz için seçilmiş ve yapılandırılmıştır:

• Doğrusal cebirsel denklem sisteminizi çözmek için en uygun yöntemi seçin,
• Seçilen yöntemin teorisini incelemek,
• Tipik örneklerin ve problemlerin çözümlerini ayrıntılı olarak ele alarak doğrusal denklem sisteminizi çözün.

Makalenin malzemesinin kısa açıklaması.

Öncelikle gerekli tüm tanımları, kavramları veriyoruz ve bazı gösterimleri tanıtıyoruz.

Daha sonra, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşit olduğu ve benzersiz bir çözümü olan doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözme yöntemlerini ele alacağız. Öncelikle Cramer yöntemine odaklanalım, ikinci olarak bu tür denklem sistemlerini çözmek için matris yöntemini göstereceğiz ve üçüncü olarak Gauss yöntemini (bilinmeyen değişkenlerin ardışık olarak yok edilmesi yöntemi) analiz edeceğiz. Teoriyi pekiştirmek için kesinlikle birkaç SLAE'yi çeşitli şekillerde çözeceğiz.

Bundan sonra doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin çözümüne geçiyoruz Genel görünüm Denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısıyla çakışmadığı veya sistemin ana matrisinin dejenere olduğu durum. SLAE'nin uyumluluğunu belirlememize olanak tanıyan Kronecker - Capelli teoremini formüle edelim. Bir matrisin temel minör kavramını kullanarak sistemlerin çözümünü (uyumluluk durumunda) analiz edelim. Ayrıca Gauss yöntemini de ele alıp örneklerin çözümlerini ayrıntılı olarak anlatacağız.

Homojen ve homojen olmayan doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin genel çözümünün yapısı üzerinde durduğunuzdan emin olun. Temel çözüm sistemi kavramını verelim ve temel çözüm sisteminin vektörleri kullanılarak SLAE'nin genel çözümünün nasıl yazıldığını gösterelim. Daha iyi anlamak için birkaç örneğe bakalım.

Sonuç olarak, çözümünde SLAE'lerin ortaya çıktığı çeşitli problemlerin yanı sıra doğrusal olanlara indirgenmiş denklem sistemlerini ele alıyoruz.

Sayfada gezinme.

Tanımlar, kavramlar, atamalar.

n bilinmeyen değişkenli (p, n'ye eşit olabilir) p doğrusal cebirsel denklem sistemlerini ele alacağız.

Bilinmeyen değişkenler, - katsayılar (bazı gerçek veya karmaşık sayılar), - serbest üyeler (aynı zamanda gerçek veya karmaşık sayılar).

SLAE'nin bu formuna denir koordinat.

İÇİNDE matris formu bu denklem sistemi şu şekle sahiptir:
Nerede - Sistemin ana matrisi, - Bilinmeyen değişkenlerin matris sütunu, - Serbest üyelerin matris sütunu.

A matrisine (n + 1)'inci sütun olarak serbest terimlerin matris sütununu eklersek, o zaman sözde elde ederiz. genişletilmiş matris Doğrusal denklem sistemleri. Genellikle, genişletilmiş matris T harfiyle gösterilir ve serbest terimler sütunu ile ayrılır. dikey çizgi diğer sütunlardan, yani

Bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözerek sistemin tüm denklemlerini kimliğe dönüştüren, bilinmeyen değişkenlerin değerleri kümesi denir. Bilinmeyen değişkenlerin verilen değerleri için matris denklemi de bir kimliğe dönüşür.

Bir denklem sisteminin en az bir çözümü varsa buna denir. eklem yeri.

Denklem sisteminin çözümü yoksa buna denir. uyumsuz.

Bir SLAE'nin benzersiz bir çözümü varsa buna denir. kesin; birden fazla çözüm varsa o zaman - belirsiz.

Sistemin tüm denklemlerinin serbest terimleri sıfıra eşitse , daha sonra sistem çağrılır homojen, aksi takdirde - heterojen.

Lineer cebirsel denklemlerin temel sistemlerinin çözümü.

Sistem denklemlerinin sayısı bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse ve ana matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse, bu tür SLAE'leri arayacağız temel. Bu tür denklem sistemlerinin benzersiz bir çözümü vardır ve homojen bir sistem durumunda tüm bilinmeyen değişkenler sıfıra eşittir.

Bu tür SLAE'leri incelemeye başladık lise. Bunları çözerken, bir denklemi aldık, bilinmeyen bir değişkeni diğerleri cinsinden ifade ettik ve onu kalan denklemlerde yerine koyduk, sonra bir sonraki denklemi aldık, bir sonraki bilinmeyen değişkeni ifade ettik ve onu diğer denklemlerde yerine koyduk, vb. Veya toplama yöntemini kullandılar, yani bilinmeyen bazı değişkenleri ortadan kaldırmak için iki veya daha fazla denklem eklediler. Bu yöntemler esasen Gauss yönteminin modifikasyonları olduğundan, üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız.

Temel doğrusal denklem sistemlerini çözmenin ana yöntemleri Cramer yöntemi, matris yöntemi ve Gauss yöntemidir. Bunları sıralayalım.

Doğrusal denklem sistemlerinin Cramer yöntemiyle çözülmesi.

Bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözelim

Denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısına eşit olduğu ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfırdan farklı olduğu, yani .

Sistemin ana matrisinin determinantı olsun ve A'dan değiştirilerek elde edilen matrislerin determinantlarıdır 1., 2.,…, n. sütun sırasıyla serbest üyelerin sütununa:

Böyle bir gösterimle, bilinmeyen değişkenler Cramer yönteminin formülleriyle şu şekilde hesaplanır: . Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözümü Cramer yöntemiyle bu şekilde bulunur.

Örnek.

Cramer yöntemi .

Çözüm.

Sistemin ana matrisi şu şekildedir: . Determinantını hesaplayın (gerekirse makaleye bakın):

Sistemin ana matrisinin determinantı sıfırdan farklı olduğundan sistemin Cramer yöntemiyle bulunabilecek tek bir çözümü vardır.

Gerekli belirleyicileri oluşturun ve hesaplayın (Belirleyici, A matrisindeki ilk sütunu serbest üyelerden oluşan bir sütunla değiştirerek elde edilir; determinant - ikinci sütunu serbest üyelerden oluşan bir sütunla değiştirerek, - A matrisinin üçüncü sütununu serbest üyelerden oluşan bir sütunla değiştirerek elde edilir. ):

Formülleri kullanarak bilinmeyen değişkenleri bulma :

Cevap:

Cramer yönteminin ana dezavantajı (eğer dezavantaj olarak adlandırılabilirse), sistem denklemlerinin sayısı üçten fazla olduğunda determinantların hesaplanmasının karmaşıklığıdır.

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin matris yöntemiyle çözülmesi (ters matris kullanılarak).

Doğrusal cebirsel denklemler sistemi matris biçiminde verilmiş olsun; burada A matrisi n'ye n boyutundadır ve determinantı sıfır değildir.

O zamandan beri, A matrisi tersinirdir, yani ters bir matris vardır. Eşitliğin her iki kısmını da soldaki ile çarparsak, bilinmeyen değişkenlerin sütun matrisini bulmak için bir formül elde ederiz. Böylece doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözümünü matris yöntemiyle elde ettik.

Örnek.

Doğrusal Denklem Sistemini Çözme matris yöntemi.

Çözüm.

Denklem sistemini matris biçiminde yeniden yazıyoruz:

Çünkü

daha sonra SLAE matris yöntemiyle çözülebilir. Ters matris kullanılarak bu sistemin çözümü şu şekilde bulunabilir: .

A matrisinin elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarından oluşan bir matris kullanarak ters bir matris oluşturalım (gerekirse makaleye bakın):

Geriye hesaplamak kalıyor - ters matrisi çarparak bilinmeyen değişkenlerin matrisi ücretsiz üyelerin matris sütununda (gerekirse makaleye bakın):

Cevap:

veya başka bir gösterimle x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Lineer cebirsel denklem sistemlerine matris yöntemiyle çözüm bulmadaki temel sorun, özellikle üçüncü mertebeden yüksek mertebeden kare matrisler için ters matris bulmanın karmaşıklığıdır.

Doğrusal denklem sistemlerinin Gauss yöntemiyle çözülmesi.

n bilinmeyen değişkenli n doğrusal denklem sistemine bir çözüm bulmamız gerektiğini varsayalım.
ana matrisin determinantı sıfırdan farklıdır.

Gauss yönteminin özü bilinmeyen değişkenlerin art arda hariç tutulmasından oluşur: ilk önce x 1, ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden hariç tutulur, daha sonra x 2, üçüncüden başlayarak tüm denklemlerden hariç tutulur ve bu şekilde, yalnızca bilinmeyen değişkene kadar devam eder. x n son denklemde kalıyor. Bilinmeyen değişkenlerin ardışık olarak ortadan kaldırılması için sistemin denklemlerini dönüştürme işlemine denir. doğrudan Gauss yöntemi. Gauss yönteminin ileri gidişi tamamlandıktan sonra son denklemden x n bulunur, bu değer kullanılarak sondan bir önceki denklemden x n-1 hesaplanır ve bu şekilde devam ederek ilk denklemden x 1 bulunur. Sistemin son denkleminden birincisine geçerken bilinmeyen değişkenlerin hesaplanması işlemine denir ters Gauss yöntemi.

Bilinmeyen değişkenleri ortadan kaldırmak için kullanılan algoritmayı kısaca açıklayalım.

Bunu her zaman sistemin denklemlerini yeniden düzenleyerek başarabileceğimiz için bunu varsayacağız. Bilinmeyen x 1 değişkenini ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden hariç tutuyoruz. Bunu yapmak için, ilk denklemin çarpımını sistemin ikinci denklemine ekleyin, ilk çarpımı üçüncü denkleme ekleyin ve bu şekilde ilk çarpımı n'inci denkleme ekleyin. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

burada bir .

Sistemin ilk denkleminde x 1'i diğer bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade etsek ve elde edilen ifadeyi diğer tüm denklemlerde yerine koysak aynı sonuca ulaşırdık. Böylece x 1 değişkeni ikinciden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra benzer şekilde davranırız, ancak yalnızca sonuçtaki sistemin şekilde işaretlenmiş olan kısmı ile

Bunu yapmak için, ikinci çarpımı sistemin üçüncü denklemine ekleyin, ikinci çarpımını dördüncü denkleme ekleyin ve bu şekilde devam ederek ikinci çarpımını n'inci denkleme ekleyin. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

burada bir . Böylece x2 değişkeni üçüncüden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra, sistemin şekilde işaretlenen kısmına benzer şekilde hareket ederek bilinmeyen x 3'ü ortadan kaldırmaya devam ediyoruz.

Böylece sistem şu formu alana kadar Gauss yönteminin doğrudan seyrine devam ediyoruz.

Bu andan itibaren Gauss yönteminin tersi yönde ilerlemeye başlarız: son denklemden x n'yi şu şekilde hesaplarız, elde edilen x n değerini kullanarak sondan bir önceki denklemden x n-1'i buluruz ve bu şekilde devam ederek ilk denklemden x 1'i buluruz. denklem.

Örnek.

Doğrusal Denklem Sistemini Çözme Gauss yöntemi.

Çözüm.

Bilinmeyen x 1 değişkenini sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden çıkaralım. Bunu yapmak için, ikinci ve üçüncü denklemlerin her iki kısmına, birinci denklemin karşılık gelen kısımlarını sırasıyla ve ile çarparak ekleriz:

Şimdi, ikinci denklemin sol ve sağ kısımlarını sol ve sağ kısımlarına ekleyerek x 2'yi üçüncü denklemden çıkarıyoruz:

Bunun üzerine Gauss yönteminin ileri gidişi tamamlanır, ters gidişine başlarız.

Ortaya çıkan denklem sisteminin son denkleminden x 3'ü buluyoruz:

İkinci denklemden elde ederiz.

İlk denklemden geri kalan bilinmeyen değişkeni buluyoruz ve bu Gauss yönteminin tersini tamamlıyor.

Cevap:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Genel formdaki lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme.

Genel durumda, p sisteminin denklem sayısı, bilinmeyen değişkenlerin sayısı n ile çakışmaz:

Bu tür SLAE'lerin hiçbir çözümü olmayabilir, tek bir çözümü olabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir. Bu ifade aynı zamanda ana matrisi kare ve dejenere olan denklem sistemleri için de geçerlidir.

Kronecker-Capelli teoremi.

Bir doğrusal denklem sistemine çözüm bulmadan önce uyumluluğunun belirlenmesi gerekir. SLAE'nin ne zaman uyumlu olduğu ve ne zaman uyumsuz olduğu sorusunun cevabı, Kronecker-Capelli teoremi:
n bilinmeyenli (p, n'ye eşit olabilir) p denklemlerden oluşan bir sistemin uyumlu olması için, sistemin ana matrisinin rütbesinin genişletilmiş matrisin rütbesine eşit olması gerekli ve yeterlidir, yani Rank( A)=Sıra(T) .

Örnek olarak bir doğrusal denklem sisteminin uyumluluğunu belirlemek için Kronecker-Cappelli teoreminin uygulanmasını ele alalım.

Örnek.

Doğrusal denklem sisteminin olup olmadığını öğrenin çözümler.

Çözüm.

. Küçükleri sınırlama yöntemini kullanalım. İkinci dereceden küçük sıfırdan farklı. Onu çevreleyen üçüncü dereceden küçüklerin üzerinden geçelim:

Sınırdaki üçüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşit olduğundan, ana matrisin sıralaması ikidir.

Buna karşılık, artırılmış matrisin sıralaması üçüncü dereceden küçük olduğundan üçe eşittir

sıfırdan farklı.

Böylece, Dolayısıyla Rang(A) Kronecker-Capelli teoremine göre orijinal doğrusal denklem sisteminin tutarsız olduğu sonucuna varabiliriz.

Cevap:

Çözüm sistemi yok.

Böylece Kronecker-Capelli teoremini kullanarak sistemin tutarsızlığını kurmayı öğrendik.

Peki uyumluluğu sağlanırsa SLAE'nin çözümü nasıl bulunur?

Bunu yapmak için bir matrisin temel minör kavramına ve matrisin rütbesine ilişkin teoreme ihtiyacımız var.

A matrisinin sıfır dışındaki en yüksek dereceli minörüne denir temel.

Temel minörün tanımından, sırasının matrisin sırasına eşit olduğu sonucu çıkar. Sıfır olmayan bir A matrisi için birkaç temel minör olabilir; her zaman bir temel minör vardır.

Örneğin, matrisi düşünün .

Bu matrisin üçüncü dereceden tüm küçükleri sıfıra eşittir çünkü bu matrisin üçüncü satırının elemanları, birinci ve ikinci satırların karşılık gelen elemanlarının toplamıdır.

İkinci dereceden aşağıdaki küçükler sıfırdan farklı oldukları için temeldir

Küçükler sıfıra eşit oldukları için temel değildirler.

Matris rütbe teoremi.

P'ye n düzeyindeki bir matrisin sıralaması r ise, o zaman matrisin satırlarının (ve sütunlarının) seçilen temel minörü oluşturmayan tüm öğeleri, satırların (ve sütunların) karşılık gelen öğeleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. ) temel minörü oluşturur.

Matris rütbe teoremi bize ne verir?

Kronecker-Capelli teoremine göre sistemin uyumluluğunu belirlediysek, sistemin ana matrisinin herhangi bir temel minörünü seçeriz (sıralaması r'ye eşittir) ve aşağıdakileri sağlamayan tüm denklemleri sistemden çıkarırız: seçilen temel minörü oluşturur. Bu şekilde elde edilen SLAE, atılan denklemler hala gereksiz olduğundan orijinaline eşdeğer olacaktır (matris sıralama teoremine göre bunlar, kalan denklemlerin doğrusal bir birleşimidir).

Sonuç olarak sistemin aşırı denklemleri çıkarıldıktan sonra iki durum mümkündür.

Ortaya çıkan sistemdeki r denklem sayısı bilinmeyen değişken sayısına eşitse bu kesin olacaktır ve tek çözüm Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemiyle bulunabilecektir.

Örnek.

.

Çözüm.

Sistemin ana matrisinin sıralaması ikinci dereceden küçük olduğundan ikiye eşittir sıfırdan farklı. Genişletilmiş matris sıralaması üçüncü dereceden tek küçük sayı sıfıra eşit olduğundan bu da ikiye eşittir

ve yukarıda ele alınan ikinci derecenin minörü sıfırdan farklıdır. Kronecker-Capelli teoremine dayanarak, Rank(A)=Rank(T)=2 olduğundan orijinal doğrusal denklem sisteminin uyumluluğu iddia edilebilir.

Temel yan dal olarak alıyoruz . Birinci ve ikinci denklemlerin katsayılarından oluşur:


Sistemin üçüncü denklemi temel minörün oluşumuna katılmaz, bu nedenle matris rütbe teoremine dayanarak onu sistemden hariç tutuyoruz:


Böylece temel bir doğrusal cebirsel denklem sistemi elde ettik. Cramer yöntemiyle çözelim:


Cevap:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Ortaya çıkan SLAE'deki denklem sayısı r ise sayıdan az bilinmeyen değişkenler n, daha sonra denklemlerin sol tarafında temeli oluşturan terimleri minör olarak bırakıyoruz ve geri kalan terimleri ters işaretli sistemin denklemlerinin sağ tarafına aktarıyoruz.

Denklemin sol tarafında kalan bilinmeyen değişkenlere (bunlardan r adet vardır) denir. ana.

Sağ tarafta biten bilinmeyen değişkenlere (bunlardan n - r tane var) denir özgür.

Şimdi, serbest bilinmeyen değişkenlerin keyfi değerler alabildiğini, ana bilinmeyen değişkenlerin ise benzersiz bir şekilde serbest bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edileceğini varsayıyoruz. İfadeleri, elde edilen SLAE'nin Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemiyle çözülmesiyle bulunabilir.

Bir örnek verelim.

Örnek.

Doğrusal Cebirsel Denklem Sistemini Çözme .

Çözüm.

Sistemin ana matrisinin sıralamasını bulun sınırdaki küçükler yöntemiyle. 1 1 = 1'i sıfır olmayan birinci dereceden küçük olarak alalım. Bu minörü çevreleyen sıfırdan farklı ikinci dereceden bir minörü aramaya başlayalım:


Böylece ikinci dereceden sıfır olmayan bir minör bulduk. Üçüncü dereceden sıfırdan farklı sınırdaki küçükleri aramaya başlayalım:


Böylece ana matrisin rütbesi üç olur. Artırılmış matrisin sıralaması da üçe eşittir, yani sistem tutarlıdır.

Üçüncü dereceden sıfırdan farklı bulunan küçük, temel olarak alınacaktır.

Açıklık sağlamak için, minörün temelini oluşturan unsurları gösteriyoruz:


Temel minöre katılan terimleri sistemin denklemlerinin sol tarafına bırakıp, geri kalanını zıt işaretlerle sağ taraflara aktarıyoruz:


Serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 ve x 5 keyfi değerler veriyoruz, yani alıyoruz , keyfi sayılar nerede. Bu durumda SLAE şu şekli alır:


Elde edilen temel doğrusal cebirsel denklem sistemini Cramer yöntemiyle çözüyoruz:


Buradan, .

Cevapta serbest bilinmeyen değişkenleri belirtmeyi unutmayın.

Cevap:

Rastgele sayılar nerede.

Özetleyin.

Genel formdaki bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmek için önce Kronecker-Capelli teoremini kullanarak uyumluluğunu buluruz. Ana matrisin sıralaması genişletilmiş matrisin sıralamasına eşit değilse sistemin tutarsız olduğu sonucuna varırız.

Ana matrisin rütbesi genişletilmiş matrisin rütbesine eşitse, o zaman temel minörü seçeriz ve seçilen temel minörün oluşumuna katılmayan sistemin denklemlerini atarız.

Temel minörün sırası bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse, o zaman SLAE'nin bildiğimiz herhangi bir yöntemle bulunabilecek benzersiz bir çözümü vardır.

Temelin sırası bilinmeyen değişken sayısından azsa, ana bilinmeyen değişkenlerin bulunduğu terimleri sistemin denklemlerinin sol tarafında bırakır, kalan terimleri sağ taraflara aktarır ve isteğe bağlı değerler atarız ​serbest bilinmeyen değişkenlere. Ortaya çıkan doğrusal denklem sisteminden ana bilinmeyen değişkenleri Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemiyle buluruz.

Genel formdaki doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi.

Gauss yöntemini kullanarak, her türlü doğrusal cebirsel denklem sistemi, uyumluluk için ön inceleme yapılmadan çözülebilir. Bilinmeyen değişkenlerin ardı ardına ortadan kaldırılması süreci, SLAE'nin hem uyumluluğu hem de tutarsızlığı hakkında bir sonuca varılmasını ve bir çözüm varsa bulunmasını mümkün kılar.

Hesaplamalı çalışma açısından Gauss yöntemi tercih edilir.

Onu izle Detaylı Açıklama ve genel formdaki doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi makalesindeki örnekleri analiz ettik.

Temel çözüm sisteminin vektörlerini kullanarak homojen ve homojen olmayan doğrusal cebirsel sistemlerin genel çözümlerinin kaydedilmesi.

Bu bölümde sonsuz sayıda çözümü olan lineer cebirsel denklemlerin birleşik homojen ve homojen olmayan sistemlerine odaklanacağız.

Önce homojen sistemlerle ilgilenelim.

Temel karar sistemi N bilinmeyen değişkenli p doğrusal cebirsel denklemlerden oluşan homojen bir sistem, bu sistemin (n – r) doğrusal olarak bağımsız çözümlerinin bir kümesidir; burada r, sistemin ana matrisinin temel minörünün sırasıdır.

Homojen bir SLAE'nin doğrusal bağımsız çözümlerini X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) olarak belirlersek, n ​​boyutunda matris sütunları olur ile 1 ) , daha sonra bu homojen sistemin genel çözümü, temel çözüm sisteminin vektörlerinin keyfi sabit katsayılara sahip doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir С 1 , С 2 , …, С (n-r), yani, .

Homojen bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin (oroslau) genel çözümü terimi ne anlama gelir?

Anlamı basit: formül her şeyi belirler Muhtemel çözümler orijinal SLAE, başka bir deyişle, herhangi bir rasgele sabit değer kümesini alarak С 1 , С 2 , …, С (n-r) , formüle göre orijinal homojen SLAE'nin çözümlerinden birini elde ederiz.

Dolayısıyla, eğer temel bir çözüm sistemi bulursak, bu homojen SLAE'nin tüm çözümlerini şu şekilde ayarlayabiliriz.

Homojen bir SLAE için temel bir çözüm sistemi oluşturma sürecini gösterelim.

Orijinal doğrusal denklem sisteminin temel minörünü seçiyoruz, diğer tüm denklemleri sistemden çıkarıyoruz ve serbest bilinmeyen değişkenler içeren tüm terimleri zıt işaretli sistemin denklemlerinin sağ tarafına aktarıyoruz. Ücretsiz bilinmeyenler verelim değişken değerler 1,0,0,…,0 ve elde edilen temel doğrusal denklem sistemini herhangi bir şekilde, örneğin Cramer yöntemiyle çözerek ana bilinmeyenleri hesaplayın. Böylece temel sistemin ilk çözümü olan X(1) elde edilecektir. Serbest bilinmeyenlere 0,1,0,0,…,0 değerlerini verirsek ve ana bilinmeyenleri hesaplarsak X (2) elde ederiz. Ve benzeri. Serbest bilinmeyen değişkenlere 0,0,…,0,1 değerlerini verirsek ve ana bilinmeyenleri hesaplarsak X (n-r) elde ederiz. Homojen SLAE'nin temel çözüm sistemi bu şekilde oluşturulacak ve genel çözümü şeklinde yazılabilecektir.

Homojen olmayan doğrusal cebirsel denklem sistemleri için genel çözüm şu şekilde temsil edilir:

Örneklere bakalım.

Örnek.

Temel çözüm sistemini ve homojen bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin genel çözümünü bulun .

Çözüm.

Homojen doğrusal denklem sistemlerinin ana matrisinin sıralaması her zaman genişletilmiş matrisin sıralamasına eşittir. Küçüklerin saçaklanması yöntemiyle ana matrisin rütbesini bulalım. Birinci dereceden sıfır olmayan bir minör olarak sistemin ana matrisinin a 1 1 = 9 öğesini alıyoruz. İkinci dereceden sınırdaki sıfır olmayan küçükleri bulun:

Sıfırdan farklı ikinci dereceden bir minör bulunur. Sıfır olmayan bir tane bulmak için sınırındaki üçüncü dereceden küçükleri inceleyelim:

Üçüncü dereceden tüm sınırlayıcı küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle ana ve genişletilmiş matrisin sırası ikidir. Temel minörü ele alalım. Açıklık sağlamak için, sistemin onu oluşturan unsurlarına dikkat çekiyoruz:

Orijinal SLAE'nin üçüncü denklemi temel minörün oluşumuna katılmaz, bu nedenle hariç tutulabilir:

Ana bilinmeyenleri içeren terimleri denklemlerin sağ taraflarına bırakıp, serbest bilinmeyenli terimleri sağ taraflara aktarıyoruz:

Orijinal homojen doğrusal denklem sisteminin temel çözüm sistemini oluşturalım. Bu SLAE'nin temel çözüm sistemi iki çözümden oluşur, çünkü orijinal SLAE dört bilinmeyen değişken içerir ve temel minörünün sırası ikidir. X (1)'i bulmak için, serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 değerlerini veriyoruz, ardından denklem sisteminden ana bilinmeyenleri buluyoruz
.

1. İkame yöntemi: Sistemin herhangi bir denkleminden bir bilinmeyeni diğerine göre ifade ederiz ve onu sistemin ikinci denkleminde yerine koyarız.

Görev. Denklem sistemini çözün:

Çözüm. Sistemin ilk denkleminden şunu ifade ederiz: en başından sonuna kadar X ve sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım. Sistemi alalım orijinaline eşdeğerdir.

Bu şartları getirdikten sonra sistem şu şekli alacaktır:

İkinci denklemden şunu buluyoruz: . Bu değeri denklemde yerine koymak en = 2 - 2X, alıyoruz en= 3. Dolayısıyla bu sistemin çözümü bir sayı çiftidir.

2. Cebirsel toplama yöntemi: İki denklem toplayarak tek değişkenli bir denklem elde edin.

Görev. Sistem denklemini çözün:

Çözüm.İkinci denklemin her iki tarafını da 2 ile çarparak sistemi elde ederiz. orijinaline eşdeğerdir. Bu sistemin iki denklemini topladığımızda sisteme ulaşıyoruz.

Benzer terimler azaltıldıktan sonra bu sistem şu şekli alacaktır: İkinci denklemden şunu buluyoruz. Bu değeri Denklem 3'te yerine koyarsak X + 4en= 5, şunu elde ederiz , Neresi . Dolayısıyla bu sistemin çözümü bir sayı çiftidir.

3. Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi: Sistemde yeni değişkenlerle göstereceğimiz bazı tekrarlanan ifadeler arıyoruz, böylece sistemin biçimini basitleştiriyoruz.

Görev. Denklem sistemini çözün:

Çözüm. Bu sistemi farklı yazalım:

İzin vermek x + y = sen, hu = v. Daha sonra sistemi alıyoruz.

Yerine koyma yöntemiyle çözelim. Sistemin ilk denkleminden şunu ifade ederiz: sen başından sonuna kadar v ve sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım. Sistemi alalım onlar.

Bulduğumuz sistemin ikinci denkleminden v 1 = 2, v 2 = 3.

Bu değerleri denklemde yerine koymak sen = 5 - v, alıyoruz sen 1 = 3,
sen 2 = 2. O zaman iki sistemimiz var

İlk sistemi çözerek iki çift sayı elde ederiz (1; 2), (2; 1). İkinci sistemin çözümü yoktur.

Bağımsız çalışma için alıştırmalar

1.Denklem sistemlerini yerine koyma yöntemini kullanarak çözebilecektir.

Ders içeriği

İki Değişkenli Doğrusal Denklemler

Öğrencinin okulda öğle yemeği için 200 rublesi var. Bir pasta 25 ruble, bir fincan kahve ise 10 ruble. 200 rubleye kaç tane kek ve fincan kahve satın alabilirsiniz?

Kek sayısını belirtin X ve içilen kahve fincanlarının sayısı sen. Daha sonra keklerin maliyeti 25 ifadesiyle gösterilecektir. X ve kahve fincanlarının maliyeti 10 sen .

25X- fiyat X Kekler
10y- fiyat sen Bardak kahve

Toplam miktar 200 ruble olmalıdır. Sonra iki değişkenli bir denklem elde ederiz X Ve sen

25X+ 10sen= 200

Bu denklemin kaç kökü var?

Her şey öğrencinin iştahına bağlıdır. 6 kek ve 5 fincan kahve alırsa denklemin kökleri 6 ve 5 olacaktır.

6 ve 5 değer çiftinin Denklem 25'in kökleri olduğu söyleniyor X+ 10sen= 200. (6; 5) şeklinde yazılır, ilk sayı değişkenin değeridir X ve ikincisi - değişkenin değeri sen .

Denklem 25'i tersine çeviren tek kök 6 ve 5 değil X+ 10sen= 200'den özdeşliğe kadar. İstenirse aynı 200 ruble karşılığında bir öğrenci 4 kek ve 10 fincan kahve alabilir:

Bu durumda denklem 25'in kökleri X+ 10sen= 200 (4; 10) değer çiftidir.

Üstelik bir öğrenci hiç kahve satın almayabilir, ancak 200 rublenin tamamı için kek satın alabilir. O zaman denklem 25'in kökleri X+ 10sen= 200, 8 ve 0 değerleri olacaktır

Veya tam tersi, kek almayın, 200 rublenin tamamı için kahve alın. O zaman denklem 25'in kökleri X+ 10sen= 200, 0 ve 20 değerleri olacaktır

Denklem 25'in tüm olası köklerini listelemeye çalışalım X+ 10sen= 200. Değerler konusunda hemfikir olalım X Ve sen tam sayılar kümesine aittir. Ve bu değerlerin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmasına izin verin:

X∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Bu yüzden öğrencinin kendisi için uygun olacaktır. Kekleri bütün olarak satın almak, örneğin birkaç bütün kek ve yarım kekten daha uygundur. Kahveyi, örneğin birkaç tam fincan ve yarım fincan yerine bütün fincanları almak daha uygundur.

Tek sayı için şunu unutmayın X eşitliğin hiçbir koşulda sağlanması mümkün değildir sen. Daha sonra değerler Xşu rakamlar olacak: 0, 2, 4, 6, 8. Ve bilerek X kolayca belirlenebilir sen

Böylece aşağıdaki değer çiftlerini elde ettik (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Bu çiftler Denklem 25'in çözümleri veya kökleridir X+ 10sen= 200. Bu denklemi özdeşliğe dönüştürüyorlar.

Denklemi yazın balta + by = c isminde iki değişkenli doğrusal denklem. Bu denklemin çözümü veya kökleri bir değer çiftidir ( X; sen), bu da onu bir kimliğe dönüştürür.

Ayrıca iki değişkenli bir doğrusal denklemin şu şekilde yazıldığını unutmayın: balta + b y = c, sonra bunun yazıldığını söylüyorlar kanonik(normal) biçim.

İki değişkenli bazı doğrusal denklemler kanonik forma indirgenebilir.

Örneğin, denklem 2(16X+ 3y- 4) = 2(12 + 8X − sen) aklıma getirilebilir balta + by = c. Bu denklemin her iki kısmındaki parantezleri açalım, şunu elde ederiz: 32X + 6sen − 8 = 24 + 16X − 2sen . Bilinmeyen içeren terimler denklemin sol tarafında gruplanır, bilinmeyen içermeyen terimler ise sağ tarafta gruplanır. Sonra alırız 32X - 16X+ 6sen+ 2sen = 24 + 8 . Her iki parçaya da benzer terimler getirirsek denklem 16'yı elde ederiz X+ 8sen= 32. Bu denklem şu şekle indirgenir: balta + by = c ve kanoniktir.

Denklem 25 daha önce ele alındı X+ 10sen= 200 aynı zamanda kanonik formda iki değişkenli bir doğrusal denklemdir. Bu denklemde parametreler A , B Ve C sırasıyla 25, 10 ve 200 değerlerine eşittir.

Aslında denklem balta + by = c sonsuz sayıda çözümü vardır. Denklemin Çözülmesi 25X+ 10sen= 200, köklerini yalnızca tamsayılar kümesinde aradık. Sonuç olarak bu denklemi kimliğe dönüştüren birkaç değer çifti elde ettik. Ancak rasyonel sayılar kümesinde denklem 25 X+ 10sen= 200'ün sonsuz sayıda çözümü olacaktır.

Yeni değer çiftleri elde etmek için keyfi bir değer almanız gerekir. X, sonra ifade edin sen. Örnek olarak bir değişken alalım X değer 7. Sonra tek değişkenli bir denklem elde ederiz 25×7 + 10sen= 200 hangisinde ifade edileceği sen

İzin vermek X= 15 . Daha sonra denklem 25X+ 10sen= 200, 25 × 15 olur + 10sen= 200. Buradan bunu buluyoruz sen = −17,5

İzin vermek X= −3 . Daha sonra denklem 25X+ 10sen= 200, 25 × (−3) olur + 10sen= 200. Buradan bunu buluyoruz sen = −27,5

İki değişkenli iki doğrusal denklem sistemi

Denklem için balta + by = c için istediğiniz sayıda keyfi değer alabilirsiniz X ve değerleri bulun sen. Ayrı olarak ele alındığında böyle bir denklemin sonsuz sayıda çözümü olacaktır.

Ama aynı zamanda değişkenler de olur X Ve sen bir değil iki denklemle bağlanır. Bu durumda sözde oluştururlar iki değişkenli doğrusal denklem sistemi. Böyle bir denklem sistemi bir çift değere (veya başka bir deyişle: “tek çözüme”) sahip olabilir.

Sistemin hiçbir çözümü olmadığı da olabilir. Bir doğrusal denklem sisteminin nadir ve istisnai durumlarda sonsuz sayıda çözümü olabilir.

İki doğrusal denklem, değerler aşağıdaki durumlarda bir sistem oluşturur: X Ve sen bu denklemlerin her birine dahil edilmiştir.

İlk denklem 25'e geri dönelim X+ 10sen= 200. Bu denklemin değer çiftlerinden biri (6; 5) çiftiydi. Bu, 200 rublenin 6 kek ve 5 fincan kahve alabileceği durumdur.

Problemi (6; 5) çifti olacak şekilde oluşturalım. tek çözüm Denklem 25 için X+ 10sen= 200. Bunu yapmak için aynı şeyi bağlayacak başka bir denklem oluşturuyoruz. X kekler ve sen Bardak kahve.

Görevin metnini şu şekilde koyalım:

“Bir okul çocuğu 200 rubleye birkaç kek ve birkaç fincan kahve satın aldı. Bir pasta 25 ruble, bir fincan kahve ise 10 ruble. Kek sayısının kahve fincan sayısından bir fazla olduğu biliniyorsa öğrenci kaç tane kek ve fincan kahve satın almıştır?

Zaten ilk denklemimiz var. Bu Denklem 25'tir X+ 10sen= 200. Şimdi bu durum için bir denklem yazalım "Keklerin sayısı kahve fincanlarının sayısından bir birim fazladır" .

Kek sayısı X ve fincan kahve sayısı sen. Bu ifadeyi denklemi kullanarak yazabilirsiniz. x - y= 1. Bu denklem kek ile kahve arasındaki farkın 1 olduğu anlamına gelir.

x=y+ 1 . Bu denklem kek sayısının kahve fincan sayısından bir fazla olduğu anlamına gelir. Bu nedenle eşitliği sağlamak için kahve fincanlarının sayısına bir eklenir. En basit problemleri incelerken dikkate aldığımız ağırlık modelini kullanırsak bu kolayca anlaşılabilir:

İki denklemim var: 25 X+ 10sen= 200 ve x=y+ 1. Değerlerden beri X Ve sen yani 6 ve 5 bu denklemlerin her birine dahil edilir ve birlikte bir sistem oluştururlar. Bu sistemi yazalım. Denklemler bir sistem oluşturuyorsa, sistemin işareti ile çerçevelenirler. Sistem işareti süslü parantezdir:

Bu sistemi çözelim. Bu, 6 ve 5 değerlerine nasıl ulaştığımızı görmemizi sağlayacaktır. Bu tür sistemleri çözmek için birçok yöntem vardır. Bunlardan en popülerlerini düşünün.

İkame yöntemi

Bu yöntemin adı kendisi için konuşur. Bunun özü, daha önce değişkenlerden birini ifade etmiş olan bir denklemi diğerinin yerine koymaktır.

Bizim sistemimizde hiçbir şeyin ifade edilmesine gerek yoktur. İkinci denklemde X = sen+ 1 değişken X zaten ifade edildi. Bu değişken şu ifadeye eşittir: sen+ 1 . Daha sonra bu ifadeyi ilk denklemde değişken yerine kullanabilirsiniz. X

İfadeyi değiştirdikten sonra sen bunun yerine ilk denklemde +1 X denklemi elde ederiz 25(sen+ 1) + 10sen= 200 . Bu tek değişkenli doğrusal bir denklemdir. Bu denklemin çözümü oldukça kolaydır:

Değişkenin değerini bulduk sen. Şimdi bu değeri denklemlerden birinde yerine koyarız ve değeri buluruz. X. Bunun için ikinci denklemi kullanmak uygundur. X = sen+ 1 . Değeri içine koyalım sen

Yani (6; 5) çifti, amaçladığımız gibi denklem sisteminin bir çözümüdür. (6; 5) çiftinin sistemi karşıladığını kontrol edip emin oluyoruz:

Örnek 2

İlk denklemi değiştirin X= 2 + sen ikinci denklem 3'e X - 2sen= 9. İlk denklemde değişken X 2 + ifadesine eşittir sen. Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyarız. X

Şimdi değerini bulalım X. Bunu yapmak için değeri değiştirin sen ilk denklemin içine X= 2 + sen

Yani sistemin çözümü çift değeridir (5; 3)

Örnek 3. Aşağıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözün:

Burada önceki örneklerden farklı olarak değişkenlerden biri açıkça ifade edilmemiştir.

Bir denklemi başka bir denklemle değiştirmek için önce ihtiyacınız var.

Katsayıları bir olan değişkenin ifade edilmesi arzu edilir. Katsayı biriminin değişkeni vardır X ilk denklemde yer alan X+ 2sen= 11. Bu değişkeni ifade edelim.

Değişken ifadeden sonra X sistemimiz şöyle görünecek:

Şimdi ilk denklemi ikincinin yerine koyuyoruz ve değeri buluyoruz sen

Yerine geçmek sen X

Yani sistemin çözümü bir değer çiftidir (3; 4)

Elbette bir değişkeni de ifade edebilirsiniz. sen. Kökler değişmeyecek. Ama eğer ifade edersen sen, sonuç çok basit ve çözümü daha fazla zaman alacak bir denklem değildir. Bunun gibi görünecek:

Bunu görüyoruz bu örnek ifade etmek X ifade etmekten çok daha uygun sen .

Örnek 4. Aşağıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözün:

İlk denklemde ifade edin X. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:

sen

Yerine geçmek sen ilk denkleme girin ve bulun X. Orijinal denklem 7'yi kullanabilirsiniz X+ 9sen= 8 veya değişkenin ifade edildiği denklemi kullanın X. Uygun olduğu için bu denklemi kullanacağız:

Yani sistemin çözümü (5; −3) değer çiftidir.

Ekleme yöntemi

Toplama yöntemi, sistemde yer alan denklemlerin terim terim eklenmesidir. Bu ekleme yeni bir tek değişkenli denklemle sonuçlanır. Ve bu denklemi çözmek oldukça kolaydır.

Aşağıdaki denklem sistemini çözelim:

Birinci denklemin sol tarafını ikinci denklemin sol tarafına ekleyin. Ve birinci denklemin sağ tarafı ile ikinci denklemin sağ tarafı. Aşağıdaki eşitliği elde ederiz:

İşte benzer terimler:

Sonuç olarak en basit denklem 3'ü elde ettik X= 27'nin kökü 9'dur. Değerini Bilmek X değerini bulabilirsin sen. Değeri değiştir X ikinci denkleme x - y= 3 . 9 elde ederiz – sen= 3 . Buradan sen= 6 .

Yani sistemin çözümü bir değer çiftidir (9; 6)

Örnek 2

Birinci denklemin sol tarafını ikinci denklemin sol tarafına ekleyin. Ve birinci denklemin sağ tarafı ile ikinci denklemin sağ tarafı. Ortaya çıkan eşitlikte benzer terimleri sunuyoruz:

Sonuç olarak en basit denklem 5'i elde ettik X= 20, kökü 4'tür. Değerini Bilmek X değerini bulabilirsin sen. Değeri değiştir X ilk denklem 2'ye x+y= 11. Hadi 8 + alalım sen= 11. Buradan sen= 3 .

Yani sistemin çözümü (4;3) değer çiftidir.

Ekleme işlemi ayrıntılı olarak açıklanmamıştır. Bunu akılla yapmak lazım. Ekleme sırasında her iki denklemin de kanonik forma indirgenmesi gerekir. Yani akla ac+by=c .

Ele alınan örneklerden, denklem eklemenin asıl amacının değişkenlerden birinden kurtulmak olduğu görülebilir. Ancak denklem sistemini toplama yöntemiyle hemen çözmek her zaman mümkün değildir. Çoğu zaman sistem, önceden bu sisteme dahil olan denklemlerin eklenmesinin mümkün olduğu bir forma getirilir.

Örneğin, sistem doğrudan ekleme yöntemiyle çözülebilir. Her iki denklemi toplarken terimler sen Ve −y kaybolur çünkü toplamları sıfırdır. Sonuç olarak en basit denklem oluşur 11 X= 22 , kökü 2'dir. O zaman belirlemek mümkün olacaktır. sen 5'e eşittir.

Ve denklem sistemi toplama yöntemi hemen çözülemez çünkü bu durum değişkenlerden birinin kaybolmasına yol açmaz. Toplama Denklem 8 ile sonuçlanacaktır X+ sen= 28 sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Denklemin her iki kısmı da sıfıra eşit olmayan aynı sayı ile çarpılır veya bölünürse, verilene eşdeğer bir denklem elde edilecektir. Bu kural aynı zamanda iki değişkenli doğrusal denklem sistemi için de geçerlidir. Denklemlerden biri (veya her ikisi de) bir sayı ile çarpılabilir. Sonuç, kökleri bir öncekiyle örtüşecek eşdeğer bir sistemdir.

Öğrencinin kaç tane kek ve fincan kahve aldığını açıklayan ilk sisteme dönelim. Bu sistemin çözümü bir değer çiftiydi (6; 5).

Bu sistemde yer alan her iki denklemi de bazı sayılarla çarpıyoruz. Diyelim ki ilk denklemi 2, ikinciyi 3 ile çarpıyoruz.

Sonuç bir sistemdir
Bu sistemin çözümü hala (6; 5) değer çiftidir.

Bu, sistemde yer alan denklemlerin toplama yönteminin uygulanmasına uygun bir forma indirgenebileceği anlamına gelir.

Sisteme geri dön toplama yöntemiyle çözemediğimiz.

İlk denklemi 6 ile, ikincisini -2 ile çarpın

Daha sonra aşağıdaki sistemi elde ederiz:

Bu sistemin içerdiği denklemleri ekliyoruz. Bileşenlerin eklenmesi 12 X ve -12 X sonuç 0, toplama 18 olacak sen ve 4 sen 22 verecek sen 108 ile −20'yi topladığımızda 88 elde ederiz. Sonra 22 denklemini elde ederiz. sen= 88, dolayısıyla sen = 4 .

Denklemleri kafanıza eklemek ilk başta zor geliyorsa, o zaman ilk denklemin sol tarafının ikinci denklemin sol tarafına, birinci denklemin sağ tarafının da denklemin sağ tarafına nasıl toplandığını yazabilirsiniz. ikinci denklem:

Değişkenin değerini bilmek sen 4'tür, değeri bulabilirsiniz X. Yerine geçmek sen denklemlerden birine, örneğin ilk denklem 2'ye X+ 3sen= 18 . Daha sonra tek değişkenli 2 denklemi elde ederiz X+ 12 = 18 . 12'yi sağ tarafa aktarıyoruz, işareti değiştiriyoruz, 2 alıyoruz X= 6, dolayısıyla X = 3 .

Örnek 4. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:

İkinci denklemi -1 ile çarpın. Daha sonra sistem aşağıdaki formu alacaktır:

Her iki denklemi de toplayalım. Bileşenlerin eklenmesi X Ve −x 0 ile sonuçlanır, 5 eklenir sen ve 3 sen 8 verecek sen ve 7 ile 1'in eklenmesi 8 sonucunu verir. Sonuç, denklem 8'dir. sen= 8 , kökü 1'dir. Değerinin bilinmesi sen 1'dir, değeri bulabilirsiniz X .

Yerine geçmek sen ilk denklemde şunu elde ederiz: X+ 5 = 7, dolayısıyla X= 2

Örnek 5. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:

Aynı değişkenleri içeren terimlerin alt alta yer alması arzu edilir. Bu nedenle ikinci denklemde 5 terimi sen ve −2 X yer değiştirmek. Sonuç olarak sistem şu şekli alacaktır:

İkinci denklemi 3 ile çarpın. Sonra sistem şu formu alacaktır:

Şimdi her iki denklemi de toplayalım. Toplama sonucunda denklem 8'i elde ederiz. sen= 16, kökü 2'dir.

Yerine geçmek sen ilk denklemde 6 elde ederiz X- 14 = 40 . −14 terimini sağ tarafa aktarırız, işaretini değiştirirsek 6 elde ederiz X= 54. Buradan X= 9.

Örnek 6. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:

Kesirlerden kurtulalım. İlk denklemi 36 ve ikincisini 12 ile çarpın

Ortaya çıkan sistemde ilk denklem −5 ve ikincisi 8 ile çarpılabilir

Ortaya çıkan sisteme denklemleri ekleyelim. Daha sonra en basit denklem olan −13'ü elde ederiz. sen= −156 . Buradan sen= 12 . Yerine geçmek sen ilk denkleme girin ve bulun X

Örnek 7. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:

Her iki denklemi de normal forma getiriyoruz. Burada her iki denklemde de orantı kuralını uygulamak uygundur. İlk denklemde sağ taraf ile, ikinci denklemin sağ tarafı ise ile temsil edilirse sistem şu şekli alacaktır:

Bizim bir orantımız var. Ekstrem ve orta terimlerini çarpıyoruz. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:

İlk denklemi -3 ile çarpıyoruz ve ikincideki parantezleri açıyoruz:

Şimdi her iki denklemi de toplayalım. Bu denklemlerin eklenmesi sonucunda her iki kısımda da sıfır olacak bir eşitlik elde ederiz:

Sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu ortaya çıktı.

Ancak gökten keyfi değerleri öylece alamayız. X Ve sen. Değerlerden birini belirtebiliriz, diğeri de belirttiğimiz değere bağlı olarak belirlenecektir. Örneğin, izin ver X= 2 . Bu değeri sisteme değiştirin:

Denklemlerden birinin çözümü sonucunda elde edilen değer sen her iki denklemi de sağlayacak olan:

Ortaya çıkan değer çifti (2; −2) sistemi karşılayacaktır:

Başka bir değer çifti bulalım. İzin vermek X= 4. Bu değeri sistemde yerine koyun:

Gözle belirlenebilir sen sıfıra eşittir. Daha sonra sistemimizi karşılayan bir çift değer (4; 0) elde ederiz:

Örnek 8. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:

İlk denklemi 6, ikincisini 12 ile çarpın

Geriye kalanları yeniden yazalım:

İlk denklemi -1 ile çarpın. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:

Şimdi her iki denklemi de toplayalım. Toplama sonucunda denklem 6 oluşur B= 48 , kökü 8'dir. Yerine B ilk denkleme girin ve bulun A

Üç değişkenli doğrusal denklem sistemi

Üç değişkenli bir doğrusal denklem, katsayıları olan üç değişkenin yanı sıra bir kesişme noktasını da içerir. Kanonik formda şu şekilde yazılabilir:

balta + by + cz = d

Bu denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır. İki değişken vermek çeşitli anlamlar, üçüncü değeri bulabilirsiniz. Bu durumda çözüm, değerlerin üçlüsüdür ( X; y; z) denklemi bir kimliğe dönüştürür.

Değişkenler ise x, y, züç denklemle birbirine bağlanır, ardından üç değişkenli üç doğrusal denklemden oluşan bir sistem oluşturulur. Böyle bir sistemi çözmek için iki değişkenli doğrusal denklemlere uygulanan yöntemlerin aynısını uygulayabilirsiniz: yerine koyma yöntemi ve toplama yöntemi.

örnek 1. Aşağıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözün:

Üçüncü denklemde ifade ediyoruz X. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:

Şimdi yerine koyma işlemini yapalım. Değişken X ifadeye eşittir 3 − 2sen − 2z . Bu ifadeyi birinci ve ikinci denklemlerde yerine koyun:

Her iki denklemdeki parantezleri açıp benzer terimleri verelim:

İki değişkenli bir doğrusal denklem sistemine geldik. Bu durumda ekleme yöntemini uygulamak uygundur. Sonuç olarak değişken sen kaybolacak ve değişkenin değerini bulabiliriz z

Şimdi değerini bulalım sen. Bunun için denklemi kullanmak uygundur – sen+ z= 4. Değeri değiştirin z

Şimdi değerini bulalım X. Bunun için denklemi kullanmak uygundur X= 3 − 2sen − 2z . Değerleri bunun içine yerleştirin sen Ve z

Dolayısıyla (3; −2; 2) değer üçlüsü sistemimizin çözümüdür. Kontrol ederek bu değerlerin sistemi karşıladığından emin oluyoruz:

Örnek 2. Sistemi toplama yöntemiyle çözün

İlk denklemi ikinciyi -2 ile çarparak toplayalım.

İkinci denklem -2 ile çarpılırsa şu formu alır: −6X+ 6y- 4z = −4 . Şimdi bunu ilk denkleme ekleyin:

Temel dönüşümler sonucunda değişkenin değerinin belirlendiğini görüyoruz. X. Bire eşittir.

Geri dön ana sistem. Üçüncü denklemi -1 ile çarparak ikinci denklemi ekleyelim. Üçüncü denklem -1 ile çarpılırsa şu formu alır: −4X + 5sen − 2z = −1 . Şimdi bunu ikinci denkleme ekleyin:

Denklemi anladım X - 2sen= −1 . Değeri bunun içine yazın X bunu daha önce bulduk. O zaman değeri belirleyebiliriz sen

Artık değerleri biliyoruz X Ve sen. Bu, değeri belirlemenizi sağlar z. Sistemde yer alan denklemlerden birini kullanıyoruz:

Dolayısıyla (1; 1; 1) değer üçlüsü sistemimizin çözümüdür. Kontrol ederek bu değerlerin sistemi karşıladığından emin oluyoruz:

Doğrusal denklem sistemlerini derleme görevleri

Denklem sistemlerini derleme görevi birkaç değişkenin tanıtılmasıyla çözülür. Daha sonra problemin koşullarına göre denklemler derlenir. Derlenen denklemlerden bir sistem oluşturur ve onu çözerler. Sistemi çözdükten sonra çözümünün problem koşullarını karşılayıp karşılamadığını kontrol etmek gerekir.

Görev 1. Bir Volga arabası kollektif çiftliğe gitmek üzere şehirden ayrıldı. İlkinden 5 km daha kısa olan başka bir yoldan geri döndü. Toplamda, araba her iki yönde de 35 km yol kat etti. Her yol kaç kilometre uzunluğundadır?

Çözüm

İzin vermek X-İlk yolun uzunluğu, sen- saniyenin uzunluğu. Araba her iki yönde de 35 km yol kat ettiyse ilk denklem şu şekilde yazılabilir: X+ sen= 35. Bu denklem her iki yolun uzunluklarının toplamını tanımlamaktadır.

Otomobilin ilk yola göre 5 kilometre daha kısa olan yol boyunca geri döndüğü belirtildi. O zaman ikinci denklem şu şekilde yazılabilir: X− sen= 5. Bu denklem yolların uzunlukları arasındaki farkın 5 km olduğunu göstermektedir.

Veya ikinci denklem şu şekilde yazılabilir: X= sen+ 5. Bu denklemi kullanacağız.

Değişkenlerden beri X Ve sen her iki denklem de aynı sayıyı gösteriyorsa onlardan bir sistem oluşturabiliriz:

Bu sistemi daha önce çalışılan yöntemlerden birini kullanarak çözelim. Bu durumda ikame yöntemini kullanmak uygundur çünkü ikinci denklemde değişken X zaten ifade edildi.

İkinci denklemi birincinin yerine koy ve bul sen

Bulunan değeri değiştir sen ikinci denkleme X= sen+5 ve bul X

İlk yolun uzunluğu değişkenle belirtildi X. Artık anlamını bulduk. Değişken X 20. Yani ilk yolun uzunluğu 20 km.

Ve ikinci yolun uzunluğu şu şekilde belirtildi: sen. Bu değişkenin değeri 15. Yani ikinci yolun uzunluğu 15 km.

Bir kontrol yapalım. Öncelikle sistemin doğru çözüldüğünden emin olalım:

Şimdi çözümün (20; 15) problemin koşullarını karşılayıp karşılamadığını kontrol edelim.

Otomobilin her iki yönde toplamda 35 km yol kat ettiği söylendi. Her iki yolun uzunluğunu topluyoruz ve çözümün (20; 15) karşıladığından emin oluyoruz bu durum: 20 km + 15 km = 35 km

Sonraki koşul: araba ilkinden 5 km daha kısa olan başka bir yoldan geri döndü . 15 km, 20 km x 5 km'den daha kısa olduğundan, (20; 15) çözümünün de bu koşulu sağladığını görüyoruz: 20 km – 15 km = 5 km

Bir sistem derlenirken bu sistemde yer alan tüm denklemlerde değişkenlerin aynı sayıları göstermesi önemlidir.

Yani sistemimiz iki denklem içeriyor. Bu denklemler sırasıyla değişkenleri içerir X Ve sen, her iki denklemde de aynı sayıları, yani 20 km ve 15 km'ye eşit yol uzunluklarını ifade eder.

Görev 2. Meşe ve çam traversleri toplam 300 travers olmak üzere platforma yüklendi. Tüm meşe traverslerinin tüm çam traverslerinden 1 ton daha hafif olduğu bilinmektedir. Her meşe traversin ağırlığı 46 kg ve her çam traversin ağırlığı 28 kg ise, ayrı ayrı kaç meşe ve çam traversinin bulunduğunu belirleyin.

Çözüm

İzin vermek X meşe ve sen Platforma çam traversleri yüklendi. Toplamda 300 uyuyan varsa ilk denklem şu şekilde yazılabilir: x+y = 300 .

Tüm meşe traversler 46 ağırlığındaydı X kg ve çam ağırlığı 28 sen kilogram. Meşe traverslerinin ağırlığı çam traverslerinden 1 ton daha hafif olduğundan ikinci denklem şu şekilde yazılabilir: 28y- 46X= 1000 . Bu denklem meşe ve çam traversleri arasındaki kütle farkının 1000 kg olduğunu göstermektedir.

Meşe ve çam traverslerinin kütlesi kilogram cinsinden ölçüldüğü için tonlar kilograma dönüştürülmüştür.

Sonuç olarak sistemi oluşturan iki denklem elde ederiz.

Bu sistemi çözelim. İlk denklemde ifade edin X. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:

Birinci denklemi ikinciyle değiştirip buluruz sen

Yerine geçmek sen denklemin içine X= 300 − sen ve ne olduğunu öğren X

Bu da platforma 100 meşe ve 200 çam traversinin yüklendiği anlamına geliyor.

Çözümün (100; 200) problemin koşullarını karşılayıp karşılamadığını kontrol edelim. Öncelikle sistemin doğru çözüldüğünden emin olalım:

Toplamda 300 uyuyan olduğu söylendi. Meşe ve çam traverslerinin sayısını topluyoruz ve çözümün (100; 200) bu koşulu karşıladığından emin oluyoruz: 100 + 200 = 300.

Sonraki koşul: tüm meşe traversleri tüm çamlardan 1 ton daha hafifti . 46 × 100 kg meşe traverslerinin 28 × 200 kg çam traverslerinden daha hafif olması nedeniyle çözümün (100; 200) de bu koşulu sağladığını görüyoruz: 5600 kg – 4600 kg = 1000 kg.

Görev 3. Ağırlıkça 2: 1, 3: 1 ve 5: 1 oranlarında üç parça bakır ve nikel alaşımı aldık. Bunlardan 12 kg ağırlığındaki bir parça bakır ve nikel içeriği 4:1 olacak şekilde eritildi. İlk parçanın kütlesi ikincinin kütlesinin iki katı ise, her orijinal parçanın kütlesini bulun.