Bir denklem sisteminin çözümü nasıl yazılır? Doğrusal denklem sistemleri
Talimat
Ekleme yöntemi.
Kesinlikle birbirinin altına iki tane yazmanız gerekir:
549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Rastgele seçilen (sistemden) bir denklemde, zaten bulunan "oyun" yerine 11 sayısını girin ve ikinci bilinmeyeni hesaplayın:
X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Bu denklem sisteminin cevabı: x=116, y=11.
Grafik yol.
Doğruların denklem sisteminde matematiksel olarak yazıldığı noktanın koordinatlarının pratik olarak bulunmasından oluşur. Aynı koordinat sisteminde her iki çizginin grafiğini ayrı ayrı çizmelisiniz. Genel görünüm: - y \u003d kx + b. Düz bir çizgi oluşturmak için iki noktanın koordinatlarını bulmak yeterlidir ve x keyfi olarak seçilir.
Sistem verilsin: 2x - y \u003d 4
Y \u003d -3x + 1.
İlkine göre düz bir çizgi inşa edilir, kolaylık olması için yazılması gerekir: y \u003d 2x-4. X için (daha kolay) değerler bulun, denklemde yerine koyun, çözün, y'yi bulun. Düz bir çizginin inşa edildiği iki nokta elde edilir. (resme bakın.)
x 0 1
y -4 -2
İkinci denkleme göre düz bir çizgi oluşturulur: y \u003d -3x + 1.
Ayrıca bir hat oluşturun. (resme bakın.)
1-5
Grafikte iki inşa edilmiş çizginin kesişme noktasının koordinatlarını bulun (çizgiler kesişmezse, o zaman denklem sistemi yoktur - yani).
İlgili videolar
Aynı denklem sistemi üç ile çözülürse Farklı yollar, cevap aynı olacaktır (çözüm doğruysa).
kaynaklar:
- Cebir 8. Sınıf
- iki bilinmeyenli bir denklemi çevrimiçi çözme
- İkili lineer denklem sistemlerini çözme örnekleri
sistem denklemler her biri belirli sayıda değişken içeren bir matematiksel kayıtlar koleksiyonudur. Onları çözmenin birkaç yolu var.
İhtiyacın olacak
- -Cetvel ve kalem;
- -hesap makinesi.
Talimat
Aşağıdaki forma sahip doğrusal denklemlerden oluşan sistemi çözme sırasını düşünün: a1x + b1y = c1 ve a2x + b2y = c2. Burada x ve y bilinmeyen değişkenler ve b,c serbest üyelerdir. Bu yöntemi uygularken, her sistem her denkleme karşılık gelen noktaların koordinatlarıdır. İlk olarak, her durumda, bir değişkeni diğeri cinsinden ifade edin. Ardından, x değişkenini istediğiniz sayıda değere ayarlayın. İki yeterli. Denklemi takın ve y'yi bulun. Bir koordinat sistemi oluşturun, üzerinde elde edilen noktaları işaretleyin ve içlerinden düz bir çizgi çizin. Sistemin diğer bölümleri için de benzer hesaplamalar yapılmalıdır.
Oluşturulan doğrular kesişirse ve bir ortak nokta. Birbirlerine paralel olmaları tutarsızdır. Ve çizgiler birbiriyle birleştiğinde sonsuz sayıda çözümü vardır.
Bu yöntemin çok açık olduğu kabul edilir. Ana dezavantaj, hesaplanan bilinmeyenlerin yaklaşık değerlere sahip olmasıdır. Sözde cebirsel yöntemlerle daha doğru bir sonuç verilir.
Bir denklem sisteminin herhangi bir çözümü kontrol edilmeye değer. Bunu yapmak için değişkenler yerine elde edilen değerleri değiştirin. Çözümünü de birkaç şekilde bulabilirsiniz. Sistemin çözümü doğruysa herkes aynı sonuca varmalıdır.
Genellikle terimlerden birinin bilinmediği denklemler vardır. Bir denklemi çözmek için, bu sayıları hatırlamanız ve belirli bir dizi eylemi yapmanız gerekir.
İhtiyacın olacak
- - kağıt;
- - Kalem veya kurşun kalem.
Talimat
Önünüzde 8 tavşan olduğunu ve sadece 5 havuç olduğunu hayal edin. Her tavşanın bir havuç alması için daha fazla havuç almanız gerektiğini düşünün.
Bu problemi denklem şeklinde gösterelim: 5 + x = 8. x yerine 3 yazalım, gerçekten 5 + 3 = 8.
x'in yerine bir sayı koyduğunuzda, 8'den 5 çıkarmakla aynı işlemi yapıyordunuz. Bilinmeyen terim, bilinen terimi toplamdan çıkarın.
Diyelim ki 20 tavşanınız ve sadece 5 havucunuz var. Hadi beste yapalım. Denklem, yalnızca içinde bulunan harflerin belirli değerleri için geçerli olan bir eşitliktir. Değerlerini bulmak istediğiniz harfler çağrılır. Bir bilinmeyenli bir denklem yazın, buna x diyelim. Tavşanlarla ilgili problemimizi çözerken aşağıdaki denklem elde edilir: 5 + x = 20.
20 ile 5 arasındaki farkı bulalım. Çıkarma yapılırken çıkarıldığı sayı azalır. Çıkarılan sayıya denir ve nihai sonuca fark denir. Yani, x = 20 - 5; x = 15. Tavşan için 15 adet havuç almanız gerekiyor.
Kontrol edin: 5 + 15 = 20. Denklem doğrudur. Tabii ki, ne zaman Konuşuyoruz bu kadar basit olanlar hakkında bir kontrol yapmak gerekli değildir. Ancak üç basamaklı, dört basamaklı ve benzeri denklemler söz konusu olduğunda, çalışmanızın sonucundan kesinlikle emin olmak için mutlaka kontrol etmeniz gerekir.
İlgili videolar
Yararlı tavsiye
Bilinmeyen eksiyi bulmak için, çıkanı farka eklemeniz gerekir.
Bilinmeyen çıkanı bulmak için eksilen değerden farkı çıkarmak gerekir.
İpucu 4: Üç bilinmeyenli üç denklemli bir sistem nasıl çözülür?
Üç bilinmeyenli üç denklemli bir sistemin, yeterli sayıda denklem olmasına rağmen çözümü olmayabilir. Yerine koyma yöntemini veya Cramer yöntemini kullanarak çözmeyi deneyebilirsiniz. Cramer'in yöntemi, sistemi çözmenin yanı sıra, bilinmeyenlerin değerlerini bulmadan önce sistemin çözülebilir olup olmadığını değerlendirmeye olanak tanır.
Talimat
İkame yöntemi, sırayla bir bilinmeyenden iki diğerinden oluşur ve elde edilen sonucu sistemin denklemlerinde değiştirir. Üç denklemli bir sistem verilsin Genel görünüm:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Birinci denklemden x'i ifade edin: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ve ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyun, ardından ikinci denklemden y'yi ifade edin ve üçüncü denklemde yerine koyun. Sistemin denklemlerinin katsayıları aracılığıyla z için doğrusal bir ifade elde edeceksiniz. Şimdi "geri" gidin: z'yi ikinci denkleme koyun ve y'yi bulun, sonra z ve y'yi birinci denkleme koyun ve x'i bulun. z bulunana kadar olan süreç genel olarak şekilde gösterilmiştir. Ayrıca, genel formdaki kayıt çok hantal olacaktır, pratikte ikame ederek üç bilinmeyeni de kolayca bulabilirsiniz.
Cramer'in yöntemi, sistemin matrisinin derlenmesinden ve bu matrisin determinantının yanı sıra üç yardımcı matrisin daha hesaplanmasından oluşur. Sistemin matrisi, denklemlerin bilinmeyen terimlerindeki katsayılardan oluşur. Denklemlerin sağ tarafındaki sayıları içeren sütun, sağ taraftaki sütun. Sistemde kullanılmaz, ancak sistem çözülürken kullanılır.
İlgili videolar
Not
Sistemdeki tüm denklemler, diğer denklemlerden bağımsız olarak ek bilgi sağlamalıdır. Aksi takdirde sistem eksik belirlenecek ve kesin bir çözüm bulmak mümkün olmayacaktır.
Yararlı tavsiye
Denklem sistemini çözdükten sonra, bulunan değerleri orijinal sisteme yerleştirin ve tüm denklemleri sağlayıp sağlamadıklarını kontrol edin.
Kendi kendine denklemüç ile Bilinmeyen birçok çözümü vardır, bu nedenle çoğu zaman iki denklem veya koşulla desteklenir. İlk verilerin ne olduğuna bağlı olarak, kararın seyri büyük ölçüde bağlı olacaktır.
İhtiyacın olacak
- - üç bilinmeyenli üç denklem sistemi.
Talimat
Üç sistemden ikisinde üç bilinmeyenden yalnızca ikisi varsa, bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmeyi ve bunları denklemüç ile Bilinmeyen. Bununla amacınız, onu normal hale getirmektir. denklem bilinmeyenle. Bu ise, diğer çözüm oldukça basittir - bulunan değeri diğer denklemlerle değiştirin ve diğer tüm bilinmeyenleri bulun.
Bazı denklem sistemleri bir denklemden diğeriyle çıkarılabilir. Birini veya bir değişkeni çarpmanın mümkün olup olmadığına bakın, böylece iki bilinmeyen aynı anda azaltılır. Böyle bir fırsat varsa, onu kullanın, büyük olasılıkla sonraki karar zor olmayacaktır. Bir sayı ile çarparken hem sol tarafı hem de sağ tarafı çarpmanız gerektiğini unutmayın. Benzer şekilde, denklemleri çıkarırken, sağ tarafın da çıkarılması gerektiğini unutmayın.
Eğer önceki yollar yardımcı olmadı, herhangi bir denklemi üç ile çözmek için genel yöntemi kullanın Bilinmeyen. Bunu yapmak için denklemleri a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 biçiminde yeniden yazın. Şimdi x'teki katsayılardan oluşan bir matris (A), bir bilinmeyenler matrisi (X) ve bir serbest olanlar matrisi (B) yapın. Dikkat edin, katsayılar matrisini bilinmeyenler matrisiyle çarparak, bir matris, bir serbest üyeler matrisi, yani A * X \u003d B elde edeceksiniz.
A üzeri matrisi (-1) bulduktan sonra sıfıra eşit olmaması gerektiğine dikkat edin. Bundan sonra, elde edilen matrisi B matrisiyle çarpın, sonuç olarak tüm değerleri gösteren istenen X matrisini elde edeceksiniz.
Cramer yöntemini kullanarak üç denklemli bir sistemin çözümünü de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için, sistemin matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinantı ∆ bulun. Ardından, karşılık gelen sütunların değerleri yerine serbest terimlerin değerlerini değiştirerek art arda üç belirleyici ∆1, ∆2 ve ∆3 bulun. Şimdi x'i bulun: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
kaynaklar:
- üç bilinmeyenli denklemlerin çözümleri
Bir denklem sistemini çözmeye başlayarak, bu denklemlerin ne olduğunu bulun. Doğrusal denklemleri çözme yöntemleri iyi çalışılmıştır. Doğrusal olmayan denklemler çoğunlukla çözülmez. Her biri pratik olarak bireysel olan yalnızca bir özel durum vardır. Bu nedenle, çözüm yöntemlerinin incelenmesi doğrusal denklemlerle başlamalıdır. Bu tür denklemler tamamen algoritmik olarak bile çözülebilir.
bulunan bilinmeyenlerin paydaları tamamen aynıdır. Evet ve paylar, yapılarının bazı kalıplarını görebilir. Denklem sisteminin boyutu ikiden büyük olsaydı, yok etme yöntemi çok hantal hesaplamalara yol açardı. Onlardan kaçınmak için tamamen algoritmik çözümler geliştirilmiştir. Bunların en basiti Cramer'in algoritmasıdır (Cramer'in formülleri). çünkü bilmelisin genel sistem n denklemden denklemler.
n bilinmeyenli n doğrusal cebirsel denklem sistemi şu şekildedir (bkz. Şekil 1a). Burada aij sistemin katsayılarıdır,
хj – bilinmeyenler, bi – serbest üyeler (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Böyle bir sistem kompakt bir şekilde AX=B matris formunda yazılabilir. Burada A, sistemin katsayı matrisidir, X, bilinmeyenlerin sütun matrisidir, B, serbest terimlerin sütun matrisidir (bkz. Şekil 1b). Cramer'in yöntemine göre her bilinmeyen xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Katsayılar matrisinin determinantı ∆ ana determinant, ∆i ise yardımcı olarak adlandırılır. Her bilinmeyen için, ana determinantın i'inci sütunu bir serbest üye sütunu ile değiştirilerek bir yardımcı determinant bulunur. İkinci ve üçüncü dereceden sistemler için Cramer'in yöntemi, Şekil 1'de ayrıntılı olarak sunulmaktadır. 2.
Bir sistem, her biri iki veya daha fazla bilinmeyene sahip iki veya daha fazla eşitliğin birleşimidir. Çerçevede kullanılan doğrusal denklem sistemlerini çözmenin iki ana yolu vardır. Okul müfredatı. Bunlardan biri yöntem, diğeri ise toplama yöntemi olarak adlandırılır.
İki denklem sisteminin standart formu
-de standart biçim birinci denklem a1*x+b1*y=c1'dir, ikinci denklem a2*x+b2*y=c2'dir, vb. Örneğin, sistemin iki parçası olması durumunda her ikisinde de verilen a1, a2, b1, b2, c1, c2 bazı sayısal katsayılar belirli denklemlerde sunulur. Buna karşılık, x ve y değerlerinin belirlenmesi gereken bilinmeyenlerdir. İstenen değerler, her iki denklemi aynı anda gerçek eşitliklere dönüştürür.Toplama yöntemiyle sistemin çözümü
Sistemi çözmek, yani x ve y'nin onları gerçek eşitliklere dönüştürecek değerlerini bulmak için birkaç basit adım atmanız gerekir. Bunlardan ilki, denklemlerden herhangi birini, her iki denklemdeki x veya y değişkeninin sayısal katsayıları mutlak değerde çakışacak, ancak işaret olarak farklı olacak şekilde dönüştürmektir.Örneğin iki denklemden oluşan bir sistem verilsin. Birincisi 2x+4y=8, ikincisi 6x+2y=6 şeklindedir. Görevi tamamlamak için seçeneklerden biri, ikinci denklemi -12x-4y=-12 biçimine götürecek olan -2 çarpanı ile çarpmaktır. Katsayının doğru seçimi, bilinmeyenleri bulma prosedürünün tüm ilerleyişini belirlediği için, sistemi toplama yöntemiyle çözme sürecindeki temel görevlerden biridir.
Şimdi sistemin iki denklemini eklemek gerekiyor. Açıkça, eşit değerde ancak zıt işaret katsayılarına sahip değişkenlerin karşılıklı olarak yok edilmesi onu -10x=-4 biçimine götürecektir. Bundan sonra, x=0.4'ü açık bir şekilde takip eden bu basit denklemi çözmek gerekir.
Son adımçözme sürecinde, değişkenlerden birinin bulunan değerinin sistemde mevcut olan başlangıç eşitliklerinden herhangi birinde ikame edilmesidir. Örneğin, ilk denklemde x=0,4'ü değiştirerek 2*0,4+4y=8 ifadesini elde edebilirsiniz, buradan y=1,8 olur. Böylece x=0.4 ve y=1.8 örnekte gösterilen sistemin kökleridir.
Köklerin doğru bulunduğundan emin olmak için bulunan değerleri sistemin ikinci denkleminde yerine koyarak kontrol etmekte fayda var. Örneğin, içinde bu durum 0.4*6+1.8*2=6 şeklinde bir eşitlik elde edilir ki bu doğrudur.
İlgili videolar
Bu matematiksel programla, iki değişkenli iki lineer denklem sistemini, yerine koyma yöntemini ve toplama yöntemini kullanarak çözebilirsiniz.
Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm adımlarının açıklamalarıyla birlikte iki şekilde detaylı bir çözüm sunuyor: yerine koyma yöntemi ve toplama yöntemi.
Bu program lise öğrencileri için faydalı olabilir genel eğitim okulları hazırlık aşamasında kontrol işi ve sınavlar, sınav öncesi bilgiyi test ederken, ebeveynler matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol eder. Ya da belki bir öğretmen tutmak veya yeni ders kitapları almak sizin için çok pahalı? Yoksa bir an önce halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematik mi cebir mi? Bu durumda detaylı çözümlü programlarımızı da kullanabilirsiniz.
Böylece işlemlerinizi gerçekleştirebilirsiniz. kendi eğitimi ve/veya küçük erkek veya kız kardeşlerinin eğitimi, çözülmesi gereken görevler alanındaki eğitim düzeyi yükseltilir.
Denklem Girme Kuralları
Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) vb.
Denklem girerken parantez kullanabilirsin. Bu durumda, denklemler önce basitleştirilir. Sadeleştirmelerden sonraki denklemler doğrusal olmalıdır, yani ax+by+c=0 biçiminde, elemanların sırasının doğruluğu ile.
Örneğin: 6x+1 = 5(x+y)+2
Denklemlerde sadece tamsayıları değil, ondalık ve adi kesirler şeklinde kesirli sayıları da kullanabilirsiniz.
Ondalık kesirleri girme kuralları.
Ondalık kesirlerde tamsayı ve kesirli kısımlar nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin: 2,1n + 3,5m = 55
Adi kesirleri girme kuralları.
Bir kesrin pay, payda ve tamsayı kısmı olarak yalnızca bir tam sayı işlev görebilir.
Payda negatif olamaz.
Sayısal bir kesir girerken, pay paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Tamsayı kısmı kesirden bir ve işaretiyle ayrılır: &
Örnekler.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)
Denklem sistemini çözme
Bu görevi çözmek için gereken bazı komut dosyalarının yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği bulundu.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda, devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.
Çözümün görünmesi için JavaScript etkinleştirilmelidir.
Burada, tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatlar verilmiştir.
Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye sonra çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...
Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görev olduğunu belirt ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.
Oyunlarımız, bulmacalarımız, öykünücülerimiz:
Biraz teori.
Doğrusal denklem sistemlerini çözme. İkame yöntemi
Bir doğrusal denklem sistemini ikame yöntemiyle çözerken eylem sırası:
1) sistemin bazı denklemlerinden bir değişkeni başka bir değişken cinsinden ifade edin;
2) elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin;
$$ \left\( \begin(dizi)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(dizi) \sağ. $$
İlk denklemden y'den x'e kadar ifade edelim: y = 7-3x. İkinci denklemde y yerine 7-3x ifadesini yazarsak, sistemi elde ederiz:
$$ \left\( \begin(dizi)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(dizi) \sağ. $$
Birinci ve ikinci sistemlerin aynı çözümlere sahip olduğunu göstermek kolaydır. İkinci sistemde, ikinci denklem sadece bir değişken içerir. Bu denklemi çözelim:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Sağ Ok -5x+14-6x=3 \Sağ Ok -11x=-11 \Sağ Ok x=1 $$
y=7-3x denkleminde x yerine 1 sayısını yerine koyarsak, y'nin karşılık gelen değerini buluruz:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Çift (1;4) - sistemin çözümü
Çözümleri aynı olan iki değişkenli denklem sistemlerine ne ad verilir? eş değer. Çözümü olmayan sistemler de eşdeğer kabul edilir.
Lineer denklem sistemlerini ekleyerek çözme
Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin başka bir yolunu düşünün - toplama yöntemi. Sistemleri bu şekilde çözerken ve ayrıca ikame yöntemiyle çözerken, belirli bir sistemden ona eşdeğer olan ve denklemlerden birinin yalnızca bir değişken içerdiği başka bir sisteme geçiyoruz.
Toplama yöntemiyle bir doğrusal denklem sistemini çözerken eylem sırası:
1) sistem denklemlerini terim terimle çarpın, değişkenlerden birinin katsayıları zıt sayılar olacak şekilde faktörleri seçin;
2) sistem denklemlerinin sol ve sağ kısımlarını terim terim ekleyin;
3) elde edilen denklemi bir değişkenle çözün;
4) ikinci değişkenin karşılık gelen değerini bulun.
Örnek. Denklem sistemini çözelim:
$$ \left\( \begin(dizi)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(dizi) \sağ. $$
Bu sistemin denklemlerinde y'nin katsayıları zıt sayılardır. Denklemlerin sol ve sağ kısımlarını terim terim ekleyerek, tek değişkenli 3x=33 denklemini elde ederiz. Sistemin denklemlerinden birini, örneğin birincisini, 3x=33 denklemiyle değiştirelim. Gelelim sisteme
$$ \left\( \begin(dizi)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(dizi) \sağ. $$
3x=33 denkleminden x=11 olduğunu buluruz. Bu x değerini \(x-3y=38 \) denkleminde yerine koyarsak, y: \(11-3y=38 \) değişkenli bir denklem elde ederiz. Bu denklemi çözelim:
\(-3y=27 \Sağ ok y=-9 \)
Böylece denklem sisteminin çözümünü \(x=11; y=-9 \) veya \((11; -9) \) ekleyerek bulduk.
Sistemin denklemlerindeki y'nin katsayılarının zıt sayılar olduğu gerçeğinden yararlanarak, çözümünü (orijinal simetrinin denklemlerinin her birinin her iki parçasını toplayarak) eşdeğer bir sistemin çözümüne indirgedik. Denklemlerin yalnızca bir değişkeni vardır.
Kitaplar (ders kitapları) Birleşik Devlet Sınavının Özetleri ve çevrimiçi OGE testleri Oyunlar, bulmacalar İşlev grafiklerinin inşası Rus Dili Yazım Sözlüğü Gençlik argo sözlüğü Rus okulları dizini Rusya'daki ortaokullar kataloğu Rus üniversiteleri kataloğu Görev listesiİki tür denklem çözme sistemini analiz edeceğiz:
1. Sistemin ikame yöntemiyle çözümü.
2. Sistemin denklemlerinin terim terim toplanması (çıkarılması) ile sistemin çözümü.
Denklem sistemini çözmek için ikame yöntemi basit bir algoritma izlemeniz gerekir:
1. İfade ederiz. Herhangi bir denklemden bir değişken ifade ediyoruz.
2. İkame. Başka bir denklemde, ifade edilen değişkenin yerine sonuçtaki değeri koyarız.
3. Ortaya çıkan denklemi bir değişkenle çözüyoruz. Sisteme bir çözüm buluyoruz.
Çözmek için terim terim toplama (çıkarma) ile sistem gerek:
1. Aynı katsayıları yapacağımız bir değişken seçin.
2. Denklemleri toplar veya çıkarırız, sonuç olarak tek değişkenli bir denklem elde ederiz.
3. Ortaya çıkan lineer denklemi çözüyoruz. Sisteme bir çözüm buluyoruz.
Sistemin çözümü, fonksiyonun grafiklerinin kesişme noktalarıdır.
Örnekler kullanarak sistemlerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alalım.
Örnek 1:
Yerine koyma yöntemiyle çözelim
Denklem sistemini ikame yöntemiyle çözme2x+5y=1 (1 denklem)
x-10y=3 (2. denklem)
1. Ekspres
Görüldüğü gibi ikinci denklemde katsayısı 1 olan bir x değişkeni vardır, dolayısıyla x değişkenini ikinci denklemden ifade etmenin en kolay yol olduğu ortaya çıkmaktadır.
x=3+10y
2. İfade ettikten sonra birinci denklemde x değişkeni yerine 3 + 10y yazıyoruz.
2(3+10y)+5y=1
3. Ortaya çıkan denklemi bir değişkenle çözüyoruz.
2(3+10y)+5y=1 (açık parantez)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2
Denklem sisteminin çözümü grafiklerin kesişme noktalarıdır bu nedenle x ve y'yi bulmamız gerekiyor çünkü kesişme noktası x ve y'den oluşuyor x'i bulalım ilk paragrafta ifade ettiğimiz yerde y yerine y koyuyoruz.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
İlk etapta noktaları yazmak adettendir, x değişkenini ve ikinci olarak y değişkenini yazarız.
Cevap: (1; -0.2)
Örnek 2:
Terim terim toplama (çıkarma) ile çözelim.
Bir denklem sistemini toplama yöntemiyle çözme3x-2y=1 (1 denklem)
2x-3y=-10 (2. denklem)
1. Bir değişken seçin, x'i seçtiğimizi varsayalım. İlk denklemde x değişkeninin katsayısı 3, ikincisinde - 2'dir. Katsayıları aynı yapmamız gerekiyor, bunun için denklemleri çarpma veya herhangi bir sayı ile bölme hakkımız var. İlk denklemi 2, ikinciyi 3 ile çarparız ve toplam 6 katsayı elde ederiz.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. x değişkeninden kurtulmak için ilk denklemden ikinciyi çıkarın.Doğrusal denklemi çözün.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. x'i bulun. Bulunan y'yi herhangi bir denklemde, diyelim ki ilk denklemde yerine koyarız.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12.8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6
Kesişim noktası x=4.6 olacaktır; y=6.4
Cevap: (4.6; 6.4)
Sınavlara ücretsiz hazırlanmak ister misiniz? çevrimiçi öğretmen ücretsiz. Şaka yapmıyorum.
Önce iki değişkenli bir denklem sisteminin çözümünün tanımını hatırlayalım.
tanım 1
Bir çift sayı, denklemde yerine konduklarında doğru eşitlik elde ediliyorsa, iki değişkenli bir denklem sisteminin çözümü olarak adlandırılır.
Aşağıda, iki değişkenli iki denklemli sistemleri ele alacağız.
Var olmak denklem sistemlerini çözmenin dört temel yolu: ikame yöntemi, toplama yöntemi, grafik yöntemi, yeni değişken yönetimi yöntemi. Gelin bu yöntemlere bir göz atalım somut örnekler. İlk üç yöntemi kullanma ilkesini açıklamak için, iki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemini ele alacağız:
İkame yöntemi
Yerine koyma yöntemi şu şekildedir: bu denklemlerden herhangi biri alınır ve $y$, $x$ cinsinden ifade edilir, ardından $y$, $x.$ değişkeninin bulunduğu sistemin denkleminde değiştirilir. Bundan sonra $y.$ değişkenini kolayca hesaplayabiliriz.
örnek 1
İkinci denklemden $y$'ı $x$ cinsinden ifade edelim:
İlk denklemde yerine koyun, $x$'ı bulun:
\ \ \
$y$'ı bulun:
Cevap: $(-2,\ 3)$
Ekleme yöntemi.
Bu yöntemi bir örnekle düşünün:
Örnek 2
\[\left\( \begin(dizi)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(dizi) \sağ.\]
İkinci denklemi 3 ile çarparsak şunu elde ederiz:
\[\left\( \begin(dizi)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(dizi) \sağ.\]
Şimdi her iki denklemi birlikte ekleyelim:
\ \ \
İkinci denklemden $y$'ı bulun:
\[-6-y=-9\] \
Cevap: $(-2,\ 3)$
1. açıklama
Bu yöntemde, denklemlerden birini veya her ikisini, değişkenlerden biri eklenirken "kaybolan" sayılarla çarpmanın gerekli olduğuna dikkat edin.
grafik yol
Grafiksel yöntem şu şekildedir: sistemin her iki denklemi de koordinat düzleminde gösterilir ve kesişme noktaları bulunur.
Örnek 3
\[\left\( \begin(dizi)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(dizi) \sağ.\]
$y$'ı her iki denklemden de $x$ cinsinden ifade edelim:
\[\left\( \begin(dizi)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(dizi) \sağ.\]
Her iki grafiği de aynı düzlemde çizelim:
Resim 1.
Cevap: $(-2,\ 3)$
Yeni değişkenler nasıl tanıtılır
Bu yöntemi aşağıdaki örnekte ele alacağız:
Örnek 4
\[\left\( \begin(dizi)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(dizi) \sağ .\]
Çözüm.
Bu sistem sisteme eşdeğerdir.
\[\left\( \begin(dizi)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(dizi) \ Sağ.\]
$2^x=u\ (u>0)$ ve $3^y=v\ (v>0)$ olsun, şunu elde ederiz:
\[\left\( \begin(dizi)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(dizi) \sağ.\]
Ortaya çıkan sistemi toplama yöntemiyle çözüyoruz. Denklemleri ekleyelim:
\ \
Sonra ikinci denklemden şunu elde ederiz
Değiştirmeye geri dönersek, şunu elde ederiz: yeni sistemüstel denklemler:
\[\left\( \begin(dizi)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(dizi) \sağ.\]
Biz:
\[\left\( \begin(dizi)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(dizi) \sağ.\]
ders içeriğiİki Değişkenli Doğrusal Denklemler
Öğrencinin okulda öğle yemeği yemesi için 200 rublesi var. Bir pasta 25 ruble, bir fincan kahve ise 10 ruble. 200 rubleye kaç tane kek ve kahve alabilirsin?
üzerinden kek sayısını belirtin X ve içilen kahve sayısı y. Daha sonra keklerin maliyeti 25 ifadesiyle gösterilecektir. X ve bir fincan kahvenin maliyeti 10 y .
25X- fiyat X Kekler
10y- fiyat y Bardak kahve
Toplam miktar 200 ruble olmalıdır. Sonra iki değişkenli bir denklem elde ederiz. X Ve y
25X+ 10y= 200
Bu denklemin kaç kökü vardır?
Her şey öğrencinin iştahına bağlıdır. 6 kek ve 5 fincan kahve alırsa, denklemin kökleri 6 ve 5 olacaktır.
6 ve 5 değer çiftinin Denklem 25'in kökleri olduğu söylenir. X+ 10y= 200 (6; 5) şeklinde yazılır, ilk sayı değişkenin değeridir. X ve ikincisi - değişkenin değeri y .
Denklem 25'i tersine çeviren tek kökler 6 ve 5 değildir. X+ 10y= 200'den özdeşliğe. İstenirse, aynı 200 ruble için bir öğrenci 4 kek ve 10 fincan kahve alabilir:
Bu durumda, denklem 25'in kökleri X+ 10y= 200 değer çiftidir (4; 10) .
Üstelik bir öğrenci hiç kahve almayabilir, ancak 200 ruble için kek alabilir. O zaman denklem 25'in kökleri X+ 10y= 200, 8 ve 0 değerleri olacaktır
Veya tam tersi, kek almayın, 200 ruble için kahve satın alın. O zaman denklem 25'in kökleri X+ 10y= 200, 0 ve 20 değerleri olacaktır.
Denklem 25'in tüm olası köklerini listelemeye çalışalım X+ 10y= 200 Değerleri kabul edelim X Ve y tamsayılar kümesine aittir. Ve bu değerlerin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmasına izin verin:
X∈z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
Bu yüzden öğrencinin kendisi için uygun olacaktır. Kekleri bütün olarak satın almak, örneğin birkaç bütün kek ve yarım kek almaktan daha uygundur. Kahve ayrıca, örneğin birkaç tam fincan ve yarım fincan yerine bütün fincanlarda almak daha uygundur.
Dikkat edin, garip X hiçbir koşulda eşitliği sağlamak imkansızdır. y. Daha sonra değerler X aşağıdaki sayılar olacak 0, 2, 4, 6, 8. Ve bilmek X kolayca belirlenebilir y
Böylece, aşağıdaki değer çiftlerini elde ettik. (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Bu çiftler, Denklem 25'in çözümleri veya kökleridir. X+ 10y= 200. Bu denklemi bir özdeşliğe dönüştürürler.
Tip denklemi balta + ile = c isminde iki değişkenli lineer denklem. Bu denklemin çözümü veya kökleri bir çift değerdir ( X; y), bu da onu bir kimliğe dönüştürür.
Ayrıca, iki değişkenli doğrusal bir denklem şu şekilde yazılırsa, balta + by y = c , sonra yazıldığını söylüyorlar kanonik(normal) biçim.
İki değişkenli bazı lineer denklemler kanonik forma indirgenebilir.
Örneğin, denklem 2(16X+ 3y- 4) = 2(12 + 8X − y) akla getirilebilir balta + ile = c. Bu denklemin her iki kısmındaki parantezleri açalım, elde ederiz 32X + 6y − 8 = 24 + 16X − 2y . Bilinmeyenleri içeren terimler denklemin sol tarafında, bilinmeyen içermeyen terimler ise sağ tarafında gruplandırılmıştır. Sonra alırız 32X - 16X+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Her iki kısımda da benzer terimleri getiriyoruz, denklem 16'yı elde ediyoruz. X+ 8y= 32. Bu denklem forma indirgenir balta + tarafından = c ve kanoniktir.
Denklem 25 daha önce ele alındı X+ 10y= 200 ayrıca kanonik formda iki değişkenli doğrusal bir denklemdir. Bu denklemde, parametreler A , B Ve C sırasıyla 25, 10 ve 200 değerlerine eşittir.
Aslında denklem balta + ile = c sonsuz sayıda çözümü vardır. Denklemi Çözmek 25X+ 10y= 200, köklerini yalnızca tamsayılar kümesinde aradık. Sonuç olarak, bu denklemi bir kimliğe dönüştüren birkaç değer çifti elde ettik. Ama rasyonel sayılar kümesinde denklem 25 X+ 10y= 200'ün sonsuz sayıda çözümü olacaktır.
Yeni değer çiftleri elde etmek için, rastgele bir değer almanız gerekir. X, sonra ifade et y. Örneğin, bir değişken alalım X değer 7. Sonra tek değişkenli bir denklem elde ederiz. 25×7 + 10y= 200 hangisinde ifade y
İzin vermek X= 15 O zaman denklem 25X+ 10y= 200, 25 × 15 olur + 10y= 200. Buradan şunu buluyoruz y = −17,5
İzin vermek X= -3 . O zaman denklem 25X+ 10y= 200, 25 × (−3) olur + 10y= 200. Buradan şunu buluyoruz y = −27,5
İki değişkenli iki lineer denklem sistemi
denklem için balta + tarafından = c için istediğiniz sayıda rasgele değer alabilirsiniz. X ve için değerleri bulun y. Ayrı ayrı ele alındığında, böyle bir denklemin sonsuz sayıda çözümü olacaktır.
Ama aynı zamanda olur ki değişkenler X Ve y bir değil, iki denklemle bağlantılı. Bu durumda, sözde oluştururlar iki değişkenli lineer denklem sistemi. Böyle bir denklem sisteminin bir çift değeri olabilir (veya başka bir deyişle: "tek çözüm").
Sistemin hiç çözümü olmadığı da olabilir. Bir doğrusal denklem sistemi, nadir ve istisnai durumlarda sonsuz sayıda çözüme sahip olabilir.
Değerler değiştiğinde iki lineer denklem bir sistem oluşturur. X Ve y bu denklemlerin her birine dahil edilir.
İlk denkleme geri dönelim 25 X+ 10y= 200 Bu denklem için değer çiftlerinden biri (6; 5) çiftiydi. 200 ruble 6 kek ve 5 fincan kahve alabildiğinde durum budur.
Problemi (6; 5) çifti olacak şekilde oluşturalım. tek çözüm Denklem 25 için X+ 10y= 200 Bunu yapmak için, aynı bağlayacak başka bir denklem oluşturuyoruz. X kekler ve y Bardak kahve.
Görevin metnini şu şekilde koyalım:
“Bir okul çocuğu 200 rubleye birkaç kek ve birkaç fincan kahve satın aldı. Bir pasta 25 ruble, bir fincan kahve ise 10 ruble. Kek sayısının kahve fincan sayısından bir fazla olduğu biliniyorsa öğrenci kaç tane kek ve kahve almıştır?
Zaten ilk denklemimiz var. Bu Denklem 25 X+ 10y= 200 Şimdi koşul için bir denklem yazalım "kek sayısı kahve fincan sayısından bir birim fazladır" .
kek sayısı X ve kahve fincanlarının sayısı y. Bu ifadeyi denklemi kullanarak yazabilirsiniz. x - y= 1. Bu denklem, kek ve kahve arasındaki farkın 1 olduğu anlamına gelir.
x=y+ 1 . Bu denklem, kek sayısının kahve fincan sayısından bir fazla olduğu anlamına gelir. Bu nedenle eşitlik elde etmek için kahve fincan sayısına bir eklenir. En basit problemleri incelerken göz önünde bulundurduğumuz ağırlık modelini kullanırsak bu kolayca anlaşılabilir:
İki denklemim var: 25 X+ 10y= 200 ve x=y+ 1. Değerlerden beri X Ve y, yani 6 ve 5 bu denklemlerin her birine dahil edilir, sonra birlikte bir sistem oluştururlar. Bu sistemi yazalım. Denklemler bir sistem oluşturuyorsa, sistemin işareti ile çerçevelenirler. Sistem işareti kaşlı ayraçtır:
Bu sistemi çözelim. Bu, 6 ve 5 değerlerine nasıl ulaştığımızı görmemizi sağlayacaktır. Bu tür sistemleri çözmek için birçok yöntem vardır. Bunların en popülerini düşünün.
İkame yöntemi
Bu yöntemin adı kendisi için konuşur. Özü, daha önce değişkenlerden birini ifade ettikten sonra bir denklemi diğeriyle değiştirmektir.
Bizim sistemimizde hiçbir şeyin ifade edilmesi gerekmez. ikinci denklemde X = y+ 1 değişken X zaten ifade edildi. Bu değişken ifadeye eşittir y+ 1 . O zaman bu ifadeyi ilk denklemde değişken yerine koyabilirsiniz. X
ifadeyi değiştirdikten sonra y+ 1 yerine ilk denkleme X, denklemi elde ederiz 25(y+ 1) + 10y= 200 . Bu tek değişkenli lineer bir denklemdir. Bu denklemi çözmek oldukça kolaydır:
değişkenin değerini bulduk y. Şimdi bu değeri denklemlerden birinde yerine koyuyoruz ve değeri buluyoruz. X. Bunun için ikinci denklemi kullanmak uygundur. X = y+ 1 . İçine değer katalım y
Yani (6; 5) çifti, amaçladığımız gibi denklem sisteminin bir çözümüdür. Çiftin (6; 5) sistemi karşıladığını kontrol edip emin oluyoruz:
Örnek 2
İlk denklemi değiştir X= 2 + y ikinci denklemde 3 X - 2y= 9 Birinci denklemde, değişken X 2 + ifadesine eşittir y. Bu ifadeyi yerine ikinci denklemde yerine koyarız. X
şimdi değerini bulalım X. Bunu yapmak için değeri değiştirin y ilk denklemde X= 2 + y
Yani sistemin çözümü ikili değerdir (5; 3)
Örnek 3. Aşağıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözün:
Burada önceki örneklerden farklı olarak değişkenlerden biri açıkça ifade edilmemiştir.
Bir denklemi başka bir denklemle değiştirmek için önce .
Katsayısı bir olan değişkeni ifade etmek istenir. Katsayı biriminin bir değişkeni vardır X, ilk denklemde bulunan X+ 2y= 11 Bu değişkeni ifade edelim.
Değişken ifadeden sonra X, sistemimiz şöyle görünecek:
Şimdi birinci denklemi ikinci denklemin yerine koyuyoruz ve değeri buluyoruz. y
Yerine geçmek y X
Yani sistemin çözümü bir çift değerdir (3; 4)
Elbette bir değişkeni de ifade edebilirsiniz. y. Kökler değişmeyecek. Ama ifade edersen y, sonuç, çözümü daha fazla zaman alacak çok basit bir denklem değildir. Bunun gibi görünecek:
Bunu görüyoruz bu örnek ifade etmek X ifade etmekten çok daha uygun y .
Örnek 4. Aşağıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözün:
İlk denklemde ifade edin X. Ardından sistem şu şekli alacaktır:
y
Yerine geçmek y ilk denkleme girin ve bulun X. Orijinal denklem 7'yi kullanabilirsiniz. X+ 9y= 8 veya değişkenin ifade edildiği denklemi kullanın X. Uygun olduğu için bu denklemi kullanacağız:
Yani sistemin çözümü değer çiftidir (5; −3)
ekleme yöntemi
Toplama yöntemi, sistemde yer alan denklemleri terim terim eklemektir. Bu ekleme, yeni bir tek değişkenli denklemle sonuçlanır. Ve bu denklemi çözmek oldukça kolaydır.
Aşağıdaki denklem sistemini çözelim:
Birinci denklemin sol tarafını ikinci denklemin sol tarafına ekleyin. Ve birinci denklemin sağ tarafı ile ikinci denklemin sağ tarafı. Aşağıdaki eşitliği elde ederiz:
İşte benzer terimler:
Sonuç olarak, en basit denklemi elde ettik 3 X= Kökü 9 olan 27. Değerini bilmek X değeri bulabilirsin y. değeri değiştir X ikinci denklemde x - y= 3 9 alırız - y= 3 Buradan y= 6 .
Yani sistemin çözümü bir çift değerdir (9; 6)
Örnek 2
Birinci denklemin sol tarafını ikinci denklemin sol tarafına ekleyin. Ve birinci denklemin sağ tarafı ile ikinci denklemin sağ tarafı. Ortaya çıkan eşitlikte, benzer terimleri sunuyoruz:
Sonuç olarak, en basit denklemi elde ettik 5 X= 20, kökü 4'tür. Değerini bilmek X değeri bulabilirsin y. değeri değiştir X ilk denklem 2'ye x+y= 11 hadi 8+ yapalım y= 11 Buradan y= 3 .
Yani sistemin çözümü değer çiftidir (4;3)
Ekleme işlemi ayrıntılı olarak açıklanmamıştır. Akılla yapılmalıdır. Toplarken, her iki denklem de kanonik forma indirgenmelidir. Yani, akla ac+tarafından=c .
Ele alınan örneklerden, denklem eklemenin asıl amacının değişkenlerden birinden kurtulmak olduğu görülebilir. Ancak denklem sistemini toplama yöntemiyle hemen çözmek her zaman mümkün değildir. Çoğu zaman, sistem önceden bu sisteme dahil olan denklemleri eklemenin mümkün olduğu bir forma getirilir.
Örneğin, sistem 
doğrudan toplama yöntemiyle çözülebilir. Her iki denklemi toplarken, terimler y Ve -y toplamları sıfır olduğu için yok olurlar. Sonuç olarak, en basit denklem oluşur 11 X= 22 , kökü 2'dir. O zaman belirlemek mümkün olacaktır. y 5'e eşittir.
Ve denklem sistemi 
toplama yöntemi hemen çözülemez, çünkü bu değişkenlerden birinin kaybolmasına yol açmaz. Toplama, Denklem 8 ile sonuçlanacaktır. X+ y= 28 , sonsuz sayıda çözümü vardır.
Denklemin her iki kısmı da sıfıra eşit olmayan aynı sayı ile çarpılırsa veya bölünürse, verilene eşdeğer bir denklem elde edilir. Bu kural, iki değişkenli bir lineer denklem sistemi için de geçerlidir. Denklemlerden biri (veya her ikisi de) bir sayı ile çarpılabilir. Sonuç, kökleri bir öncekiyle çakışacak olan eşdeğer bir sistemdir.
Öğrencinin kaç tane kek ve kahve aldığını açıklayan ilk sisteme geri dönelim. Bu sistemin çözümü bir çift değerdi (6; 5) .
Bu sistemde yer alan her iki denklemi de bazı sayılarla çarpıyoruz. Diyelim ki birinci denklemi 2, ikinciyi 3 ile çarpıyoruz.
sonuç bir sistem 
Bu sistemin çözümü hala değer çiftidir (6; 5)
Bu, sistemde yer alan denklemlerin toplama yöntemini uygulamaya uygun bir forma indirgenebileceği anlamına gelir.
Sisteme geri dön Toplama yöntemiyle çözemediğimiz .
İlk denklemi 6 ile ve ikinciyi -2 ile çarpın
Ardından aşağıdaki sistemi elde ederiz:
Bu sistemde yer alan denklemleri ekliyoruz. Bileşenlerin eklenmesi 12 X ve -12 X 0, ek 18 ile sonuçlanacak y ve 4 y 22 verecek y ve 108 ile -20'nin eklenmesi 88'i verir. Sonra 22 denklemini elde edersiniz. y= 88 , dolayısıyla y = 4 .
Denklem toplamak ilk başta kafanızda zor geliyorsa, birinci denklemin sol tarafının ikinci denklemin soluna, birinci denklemin sağ tarafının sağ tarafına nasıl eklendiğini yazabilirsiniz. ikinci denklem:
Değişkenin değerini bilmek y 4, değeri bulabilirsiniz X. Yerine geçmek y denklemlerden birine, örneğin ilk denklem 2'ye X+ 3y= 18 Sonra tek değişkenli bir denklem elde ederiz 2 X+ 12 = 18 . 12'yi sağ tarafa aktarıyoruz, işareti değiştiriyoruz, 2 alıyoruz X= 6 , dolayısıyla X = 3 .
Örnek 4. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:
İkinci denklemi -1 ile çarpın. Ardından sistem aşağıdaki formu alacaktır:
Her iki denklemi de ekleyelim. bileşenlerin eklenmesi X Ve -x 0, ek 5 ile sonuçlanacak y ve 3 y 8 verecek y 7 ve 1'in eklenmesi 8'i verir. Sonuç denklem 8'dir. y= 8 , kökü 1'dir. y 1'dir, değeri bulabilirsiniz X .
Yerine geçmek y ilk denklemde, elde ederiz X+ 5 = 7 , dolayısıyla X= 2
Örnek 5. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:
Aynı değişkenleri içeren terimlerin alt alta yerleştirilmesi arzu edilir. Bu nedenle, ikinci denklemde terimler 5 y ve -2 X yer değiştirmek. Sonuç olarak, sistem şu şekli alacaktır:
İkinci denklemi 3 ile çarpın. Ardından sistem şu şekli alacaktır:
Şimdi her iki denklemi de ekleyelim. Eklemenin bir sonucu olarak, denklem 8'i elde ederiz. y= 16 , kökü 2'dir.
Yerine geçmek y ilk denklemde 6 elde ederiz X- 14 = 40 . −14 terimini sağ tarafa aktarıyoruz, işareti değiştiriyoruz, 6 elde ediyoruz X= 54 Buradan X= 9.
Örnek 6. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:
Kesirlerden kurtulalım. İlk denklemi 36 ve ikinciyi 12 ile çarpın
Ortaya çıkan sistemde 
ilk denklem -5 ile ve ikincisi 8 ile çarpılabilir
Ortaya çıkan sistemdeki denklemleri ekleyelim. Sonra en basit denklemi elde ederiz -13 y= -156 Buradan y= 12 Yerine geçmek y ilk denkleme girin ve bulun X
Örnek 7. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:
Her iki denklemi de normal forma getiriyoruz. Burada orantı kuralını her iki denklemde uygulamak uygundur. Birinci denklemde sağ taraf olarak ve ikinci denklemin sağ tarafı olarak temsil edilirse, sistem şu şekli alacaktır:
bir oranımız var. Uç ve orta terimlerini çarpıyoruz. Ardından sistem şu şekli alacaktır:
İlk denklemi -3 ile çarpıyoruz ve ikinci denklemde parantezleri açıyoruz:
Şimdi her iki denklemi de ekleyelim. Bu denklemleri toplamanın bir sonucu olarak, her iki kısımda da sıfır olacak bir eşitlik elde ederiz:
Sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu ortaya çıktı.
Ancak gökten rastgele değerler alamayız. X Ve y. Değerlerden birini belirtebiliriz, diğeri ise belirttiğimiz değere bağlı olarak belirlenir. Örneğin, izin ver X= 2 Bu değeri sisteme yerleştirin:
Denklemlerden birinin çözülmesi sonucunda, y, her iki denklemi de tatmin edecek:
Ortaya çıkan değer çifti (2; −2) sistemi tatmin edecektir:
Başka bir değer çifti bulalım. İzin vermek X= 4. Bu değeri sisteme yerleştirin:
Gözle belirlenebilir y sıfıra eşittir. Ardından, sistemimizi karşılayan bir çift değer (4; 0) alırız:
Örnek 8. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:
İlk denklemi 6 ile, ikinciyi 12 ile çarpın
Geriye kalanları yeniden yazalım:
İlk denklemi -1 ile çarpın. Ardından sistem şu şekli alacaktır:
Şimdi her iki denklemi de ekleyelim. Eklemenin bir sonucu olarak, denklem 6 oluşur B= 48 , kökü 8'dir. B ilk denkleme girin ve bulun A
Üç değişkenli lineer denklem sistemi
Üç değişkenli doğrusal bir denklem, katsayılı üç değişkenin yanı sıra bir kesişme noktası içerir. Kanonik formda, aşağıdaki gibi yazılabilir:
balta + by + cz = d
Bu denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır. İki değişken verilmesi çeşitli anlamlar, üçüncü değeri bulabilirsiniz. Bu durumda çözüm, değerlerin üçlüsüdür ( X; y; z) denklemi bir kimliğe dönüştürür.
eğer değişkenler x, y, züç denklemle birbirine bağlanır, ardından üç değişkenli üç lineer denklem sistemi oluşturulur. Böyle bir sistemi çözmek için, iki değişkenli doğrusal denklemlere uygulanan yöntemleri uygulayabilirsiniz: ikame yöntemi ve toplama yöntemi.
örnek 1. Aşağıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözün:
Üçüncü denklemde ifade ediyoruz X. Ardından sistem şu şekli alacaktır:
Şimdi ikameyi yapalım. Değişken X ifadeye eşittir 3 − 2y − 2z . Bu ifadeyi birinci ve ikinci denklemlerde yerine koyun:
Her iki denklemdeki parantezleri açalım ve benzer terimler verelim:
İki değişkenli bir doğrusal denklem sistemine ulaştık. Bu durumda toplama yöntemini uygulamak uygundur. Sonuç olarak, değişken y kaybolacak ve değişkenin değerini bulabiliriz z
şimdi değerini bulalım y. Bunun için denklemi kullanmak uygundur - y+ z= 4. Değeri değiştirin z
şimdi değerini bulalım X. Bunun için denklemi kullanmak uygundur. X= 3 − 2y − 2z . İçindeki değerleri değiştirin y Ve z
Böylece, üçlü değerler (3; −2; 2) sistemimizin çözümüdür. Kontrol ederek, bu değerlerin sistemi karşıladığından emin oluruz:
Örnek 2. Sistemi toplama yöntemiyle çözün
İkinci denklemi -2 ile çarparak ilk denklemi ekleyelim.
İkinci denklem -2 ile çarpılırsa, o zaman şeklini alacaktır. −6X+ 6y- 4z = −4 . Şimdi bunu ilk denkleme ekleyin:
Temel dönüşümler sonucunda değişkenin değerinin belirlendiğini görüyoruz. X. Bire eşittir.
geri dön ana sistem. Üçüncü denklemi -1 ile çarparak ikinci denklemi ekleyelim. Üçüncü denklem -1 ile çarpılırsa, o zaman şeklini alacaktır. −4X + 5y − 2z = −1 . Şimdi bunu ikinci denkleme ekleyin:
Denklemi aldım X - 2y= -1 . Değeri yerine koy X ki daha önce bulduk. O zaman değeri belirleyebiliriz y
Artık değerleri biliyoruz. X Ve y. Bu, değeri belirlemenizi sağlar z. Sistemde bulunan denklemlerden birini kullanıyoruz:
Böylece, değer üçlüsü (1; 1; 1) sistemimizin çözümüdür. Kontrol ederek, bu değerlerin sistemi karşıladığından emin oluruz:
Doğrusal denklem sistemlerini derleme görevleri
Denklem sistemlerini derleme görevi, birkaç değişkenin tanıtılmasıyla çözülür. Daha sonra, denklemler problemin koşullarına göre derlenir. Derlenen denklemlerden bir sistem oluştururlar ve onu çözerler. Sistemi çözdükten sonra, çözümünün sorunun koşullarını karşılayıp karşılamadığını kontrol etmek gerekir.
Görev 1. Kollektif çiftliğe gitmek üzere şehirden bir Volga arabası ayrıldı. İlkinden 5 km daha kısa olan başka bir yoldan geri döndü. Toplamda, araba her iki yönde 35 km sürdü. Her yol kaç kilometre uzunluğundadır?
Çözüm
İzin vermek X- ilk yolun uzunluğu, y- saniyenin uzunluğu. Araba her iki yönde 35 km gittiyse, ilk denklem şu şekilde yazılabilir: X+ y= 35. Bu denklem, her iki yolun uzunluklarının toplamını tanımlar.
Arabanın ilkinden 5 km daha kısa olan yoldan geri döndüğü söyleniyor. O zaman ikinci denklem şu şekilde yazılabilir: X− y= 5. Bu denklem yolların uzunlukları arasındaki farkın 5 km olduğunu göstermektedir.
Veya ikinci denklem şu şekilde yazılabilir: X= y+ 5 . Bu denklemi kullanacağız.
Değişkenler olduğundan X Ve y her iki denklemde de aynı sayıyı gösteriyorsa, onlardan bir sistem oluşturabiliriz:
Bu sistemi daha önce çalışılan yöntemlerden birini kullanarak çözelim. Bu durumda, ikame yöntemini kullanmak uygundur, çünkü ikinci denklemde değişken X zaten ifade edildi.
İkinci denklemi birincinin yerine koy ve bul y
Bulunan değeri değiştirin y ikinci denklemde X= y+5 ve bul X
İlk yolun uzunluğu değişkenle gösterildi. X. Şimdi anlamını bulduk. Değişken X 20'dir. Yani ilk yolun uzunluğu 20 km'dir.
Ve ikinci yolun uzunluğu ile belirtildi y. Bu değişkenin değeri 15'tir. Yani ikinci yolun uzunluğu 15 km'dir.
Bir kontrol yapalım. Öncelikle sistemin doğru çözüldüğünden emin olalım:
Şimdi çözümün (20; 15) problemin şartlarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Toplamda arabanın çift yönlü 35 km gittiği söylendi. Her iki yolun uzunluklarını toplarız ve çözümün (20; 15) tatmin edici olduğundan emin oluruz. bu durum: 20 km + 15 km = 35 km
Sonraki koşul: araba ilkinden 5 km daha kısa olan başka bir yoldan geri döndü . 15 km, 20 km'ye 5 km'den daha kısa olduğu için (20; 15) çözümünün de bu koşulu karşıladığını görüyoruz: 20 km - 15 km = 5 km
Bir sistem derlenirken bu sistemde yer alan tüm denklemlerde değişkenlerin aynı sayıları göstermesi önemlidir.
Yani sistemimiz iki denklem içeriyor. Bu denklemler sırayla değişkenleri içerir X Ve y, her iki denklemde de aynı sayıları, yani 20 km ve 15 km'ye eşit yol uzunluklarını ifade eder.
Görev 2. Meşe ve çam traversler platforma yüklendi, toplam 300 travers. Tüm meşe traverslerin, tüm çam traverslerden 1 ton daha hafif olduğu bilinmektedir. Her meşe travers 46 kg ve her çam travers 28 kg ağırlığındaysa, ayrı ayrı kaç tane meşe ve çam travers olduğunu belirleyin.
Çözüm
İzin vermek X meşe ve y platforma çam traversleri yüklendi. Toplamda 300 uyuyan varsa, o zaman ilk denklem şu şekilde yazılabilir: x+y = 300 .
Tüm meşe traversler 46 ağırlığındaydı X kg ve çam 28 ağırlığında y kilogram. Meşe traversler, çam traverslerden 1 ton daha hafif olduğundan, ikinci denklem şu şekilde yazılabilir: 28y- 46X= 1000 . Bu denklem meşe ve çam traversler arasındaki kütle farkının 1000 kg olduğunu göstermektedir.
Meşe ve çam traverslerinin kütlesi kilogramla ölçüldüğü için tonlar kilograma dönüştürülmüştür.
Sonuç olarak, sistemi oluşturan iki denklem elde ederiz.
Bu sistemi çözelim. İlk denklemde ifade edin X. Ardından sistem şu şekli alacaktır:
Birinci denklemi ikinci denklemle değiştir ve bul y
Yerine geçmek y denklemin içine X= 300 − y ve ne olduğunu öğren X
Bu, platforma 100 meşe ve 200 çam traversin yüklendiği anlamına gelir.
Çözümün (100; 200) problemin koşullarını karşılayıp karşılamadığını kontrol edelim. Öncelikle sistemin doğru çözüldüğünden emin olalım:
Toplamda 300 uyuyan olduğu söylendi. Meşe ve çam traverslerin sayısını topluyoruz ve çözümün (100; 200) bu koşulu sağladığından emin oluyoruz: 100 + 200 = 300.
Sonraki koşul: tüm meşe traversler tüm çam ağaçlarından 1 ton daha hafifti . 46 × 100 kg meşe traversler 28 × 200 kg çam traverslerden daha hafif olduğu için (100; 200) çözümünün de bu koşulu karşıladığını görüyoruz: 5600 kg - 4600 kg = 1000 kg.
Görev 3. Ağırlıkça 2: 1, 3: 1 ve 5: 1 oranlarında üç parça bakır ve nikel alaşımı aldık. Bunlardan 12 kg ağırlığındaki bir parça, bakır ve nikel içeriği 4: 1 oranında eritildi. İlk parçanın kütlesi ikincinin kütlesinin iki katı ise, her orijinal parçanın kütlesini bulun.
