Знаходження загального кратного двох чисел. Найменше загальне кратне (НОК)
Найбільший спільний дільник
Визначення 2
Якщо натуральне число a ділиться на натуральне число $b$, $b$ називають дільником числа $a$, а число $a$ називають кратним числа $b$.
Нехай $a$ та $b$-натуральні числа. Число $c$ називають спільним дільником і для $a$ і $b$.
Безліч спільних дільників чисел $a$ і $b$ звичайно, оскільки жоден із цих дільників не може бути більшим, ніж $a$. Отже, серед цих дільників є найбільший, який називають найбільшим спільним дільником чисел $a$ і $b$ і для його позначення використовують записи:
$НОД \ (a; b) \ або \ D \ (a; b) $
Щоб знайти найбільший спільний дільник двох, чисел необхідно:
- Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде найбільшим шуканим спільним дільником.
Приклад 1
Знайти НОД чисел $121$ і $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Вибрати числа, які входять до розкладання цих чисел
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде найбільшим шуканим спільним дільником.
$НОД=2\cdot 11=22$
Приклад 2
Знайти НОД одночленів $63$ і $81$.
Будемо знаходити згідно з представленим алгоритмом. Для цього:
Розкладемо числа на прості множники
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Вибираємо числа, які входять до розкладання цих чисел
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Знайдемо добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде найбільшим шуканим спільним дільником.
$НОД=3\cdot 3=9$
Знайти НОД двох чисел можна і по-іншому, використовуючи безліч дільників чисел.
Приклад 3
Знайти НОД чисел $48$ та $60$.
Рішення:
Знайдемо безліч дільників числа $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Тепер знайдемо безліч дільників числа $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Знайдемо перетин цих множин: $ \ left \ (( \ rm 1,2,3,4,6,12) \ right \) $ - це безліч буде визначати безліч спільних дільників чисел $ 48 $ і $ 60 $. Найбільший елемент у даній множині буде число $12$. Значить, найбільший спільний дільник чисел $48$ і $60$ буде $12$.
Визначення НОК
Визначення 3
Загальним кратним натуральних чисел$a$ і $b$ називається натуральне число, яке кратне $a$ і $b$.
Загальними кратними чисел називаються числа які діляться на вихідні без залишку.
Найменше із загальних кратних буде називатися найменшим загальним кратним і позначається НОК$(a;b)$ або K$(a;b).$
Щоб знайти НОК двох чисел, необхідно:
- Розкласти числа на прості множники
- Виписати множники, що входять до складу першого числа та додати до них множники, які входять до складу другого та не ходять до складу першого
Приклад 4
Знайти НОК чисел $99$ та $77$.
Будемо знаходити згідно з представленим алгоритмом. Для цього
Розкласти числа на прості множники
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Виписати множники, що входять до складу першого
додати до них множники, які входять до складу другого та не ходять до складу першого
Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2.Отримане число і буде шуканим найменшим загальним кратним
$НОК=3cdot 3cdot 11cdot 7=693$
Упорядкування списків дільників чисел часто дуже трудомістке заняття. Існує спосіб знаходження НОД, який називається алгоритмом Евкліда.
Твердження, на яких заснований алгоритм Евкліда:
Якщо $a$ і $b$ --натуральні числа, причому $a\vdots b$, то $D(a;b)=b$
Якщо $a$ і $b$ --натуральні числа, такі що $b
Користуючись $D(a;b)= D(a-b;b)$, можна послідовно зменшувати ці цифри до тих пір, поки не дійдемо до такої пари чисел, що одне з них ділиться на інше. Тоді найменше з цих чисел і буде шуканим найбільшим спільним дільником для чисел $a$ і $b$.
Властивості НОД та НОК
- Будь-яке загальне кратне чисел $a$ і $b$ ділиться на K$(a;b)$
- Якщо $a\vdots b$ , то $(a;b)=a$
Якщо К$(a;b)=k$ і $m$-натуральне число, то К$(am;bm)=km$
Якщо $d$-загальний дільник для $a$ і $b$, то К($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) $
Якщо $a\vdots c$ і $b\vdots c$ , то $\frac(ab)(c)$ - загальне кратне чисел $a$ і $b$
Для будь-яких натуральних чисел $a$ і $b$ виконується рівність
$D(a;b)\cdot До(a;b)=ab$
Будь-який спільний дільник чисел $a$ і $b$ є дільником числа $D(a;b)$
Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне – ключові арифметичні поняття, які дозволяють без зусиль оперувати звичайними дробами. НОК і найчастіше використовують для пошуку спільного знаменника кількох дробів.
Основні поняття
Дільник цілого числа X - це інше ціле число Y, яке X поділяється без залишку. Наприклад, дільник 4 - це 2, а 36 - 4, 6, 9. Кратне цілого X - це число Y, яке ділиться на X без залишку. Наприклад, 3 кратно 15, а 6 - 12.
Для будь-якої пари чисел ми можемо знайти їхні спільні дільники та кратні. Наприклад, для 6 і 9 загальним кратним є 18, а загальним дільником - 3. Очевидно, що дільників і кратних пар може бути кілька, тому при розрахунках використовується найбільший дільник НОД і найменше кратне НОК.
Найменший дільник немає сенсу, оскільки будь-якого числа це завжди одиниця. Найбільше кратне також безглуздо, оскільки послідовність кратних спрямовується у нескінченність.
Знаходження НІД
Для пошуку найбільшого спільного дільника існує безліч методів, найвідоміші з яких:
- послідовний перебір дільників, вибір спільних для пари та пошук найбільшого з них;
- розкладання чисел на неподільні множники;
- алгоритм Евкліда;
- бінарний алгоритм.
Сьогодні в навчальних закладахНайбільш популярними є методи розкладання на прості множники та алгоритм Евкліда. Останній у свою чергу використовується при розв'язанні діофантових рівнянь: пошук НОД потрібний для перевірки рівняння на можливість розв'язання в цілих числах.
Знаходження НОК
Найменше загальне кратне також визначається послідовним перебором або розкладанням на неподільні множники. Крім того, легко знайти НОК, якщо вже визначено найбільшого дільника. Для чисел X і Y НОК і НОД пов'язані наступним співвідношенням:
НОК (X, Y) = X × Y / НОД (X, Y).
Наприклад, якщо НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Найбільш очевидний приклад використання НОК - пошук спільного знаменника, який є найменшим загальним кратним для заданих дробів.
Взаємно прості числа
Якщо в пари чисел немає спільних дільників, то така пара називається взаємно простою. НОД для таких пар завжди дорівнює одиниці, а виходячи із зв'язку дільників та кратних, НОК для взаємно простих дорівнює їхньому твору. Наприклад, числа 25 і 28 взаємно прості, адже вони немає спільних дільників, а НОК(25, 28) = 700, що їх твору. Два будь-які неподільні числа завжди будуть взаємно простими.
Калькулятор загального дільника та кратного
За допомогою нашого калькулятора ви можете визначити НОД і НОК для довільної кількості чисел на вибір. Завдання на обчислення спільних дільників та кратних зустрічаються в арифметиці 5, 6 класу, проте НОД та НОК - ключові поняттяматематики і використовуються в теорії чисел, планіметрії та комунікативної алгебри.
Приклади із реального життя
Загальний знаменник дробів
Найменше загальне кратне використовується для пошуку спільного знаменника кількох дробів. Нехай в арифметичній задачі потрібно підсумувати 5 дробів:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Для складання дробів вираз необхідно привести до спільного знаменника, що зводиться до завдання знаходження НОК. Для цього виберіть у калькуляторі 5 чисел та введіть значення знаменників у відповідні комірки. Програма обчислить НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Тепер необхідно обчислити додаткові множники кожного дробу, які визначаються як співвідношення НОК до знаменника. Таким чином, додаткові множники будуть виглядати як:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Після цього множимо всі дроби на відповідний додатковий множник і отримуємо:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Такі дроби ми можемо легко підсумовувати та отримати результат у вигляді 159/360. Скорочуємо дріб на 3 і бачимо остаточну відповідь – 53/120.
Розв'язання лінійних діофантових рівнянь
Лінійні діофантові рівняння – це вирази виду ax + by = d. Якщо відношення d / НОД (a, b) є ціле число, то рівняння можна розв'язати в цілих числах. Давайте перевіримо пару рівнянь на можливість цілого рішення. Спочатку перевіримо рівняння 150x + 8y = 37. За допомогою калькулятора знаходимо НОД (150,8) = 2. Ділимо 37/2 = 18,5. Число не ціле, отже, рівняння не має цілих коренів.
Перевіримо рівняння 1320x + 1760y = 10120. Використовуємо калькулятор для знаходження НОД(1320, 1760) = 440. Розділимо 10120/440 = 23. У результаті отримуємо ціле число, отже, діофантово врівно.
Висновок
НОД і НОК відіграють велику роль у теорії чисел, а самі поняття широко використовуються в різних областях математики. Використовуйте наш калькулятор для розрахунку найбільших дільників та найменших кратних будь-якої кількості чисел.
Найменше загальне кратне двох чисел безпосередньо з найбільшим загальним дільником цих чисел. Ця зв'язок між НОД та НОКвизначається наступною теоремою.
Теорема.
Найменше загальне кратне двох позитивних цілих чисел a і b дорівнює добутку чисел a і b, поділеному на найбільший спільний дільник чисел a і b, тобто, НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).
Доведення.
Нехай М - якесь кратне чисел a і b . Тобто, М ділиться на a і за визначенням ділимості існує деяке ціле число k таке, що справедлива рівність M = a · k . Але М ділиться і b , тоді a k ділиться на b .
Позначимо НОД(a, b) як d. Тоді можна записати рівності a = a 1 · d і b = b 1 · d, причому a 1 = a: d і b 1 = b: d будуть взаємно простими числами. Отже, отримана в попередньому абзаці умова, що a k ділиться на b можна переформулювати так: a 1 d k ділиться на b 1 d, а це в силу властивостей ділимості еквівалентно умові, що a 1 k ділиться на b 1 .
Також потрібно записати два важливі наслідки з розглянутої теореми.
Загальні кратні двох чисел збігаються з кратними їх найменшого загального кратного.
Це дійсно так, оскільки будь-яке загальне кратне M чисел a і b визначається рівністю M = НОК (a, b) · t при деякому цілому значенні t.
Найменше загальне кратне взаємно простих позитивних чисел a і b дорівнює їхньому твору.
Обґрунтування цього факту є досить очевидним. Оскільки a і b взаємно прості, то НОД(a, b)=1 , отже, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b.
Найменша загальна кратна трьох і більшої кількості чисел
Знаходження найменшого загального кратного трьох чи більшої кількості чисел можна звести до послідовного знаходження НОК двох чисел. Як це робиться, зазначено в наступній теоремі.a 1 , a 2 , …, ak збігаються із загальними кратними чисел m k-1 і ak , отже, збігаються з кратними числа m k . Оскільки найменшим позитивним кратним числа m k є саме число m k , то найменшим загальним кратним чисел a 1 , a 2 , …, ak є m k .
Список літератури.
- Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.
- Виноградов І.М. Основи теорії чисел.
- Михелович Ш.Х. Теорія чисел.
- Куликов Л.Я. та ін. Збірник завдань з алгебри та теорії чисел: Навчальний посібникдля студентів фіз.-мат. спеціальностей педагогічних інститутів
Щоб зрозуміти, як обчислювати НОК, слід визначитися насамперед із значенням терміна "кратне".
Кратним числу А називають таке натуральне число, яке без залишку ділиться на А. Так, кратними числами 5 можна вважати 15, 20, 25 і так далі.
Дільників конкретного числа може бути обмежена кількість, а ось кратних безліч.
Загальне кратне натуральних чисел – число, яке ділиться на них без залишку.
Як знайти найменше загальне кратне чисел
Найменше загальне кратне (НОК) чисел (двох, трьох або більше) - це найменше натуральне число, яке ділиться на ці цифри націло.
Щоб знайти НОК, можна використати кілька способів.
Для невеликих чисел зручно виписати в рядок усі кратні цих чисел доти, доки серед них не знайдеться загальне. Кратні позначають у записі великою літероюДо.
Наприклад, кратні числа 4 можна записати так:
До (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
До (6) = (12, 18, 24, ...)
Так, можна побачити, що найменшим загальним кратним чисел 4 і 6 є число 24. Цей запис виконують таким чином:
НОК (4, 6) = 24
Якщо числа великі, знайти загальне кратне трьох чи більше чисел, краще використовувати інший спосіб обчислення НОК.
Для виконання завдання потрібно розкласти запропоновані числа на прості множники.
Спочатку треба виписати в рядок розкладання найбільшого з чисел, а під ним – інших.
У розкладанні кожного числа може бути різна кількість множників.
Наприклад, розкладемо на прості множники числа 50 та 20.
У розкладанні меншого числа слід підкреслити множники, які відсутні в розкладанні першого самого великої кількості, а потім додати до нього. У наведеному прикладі не вистачає двійки.
Тепер можна обчислити найменше загальне кратне 20 та 50.
НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Так, добуток простих множників більшого числа та множників другого числа, які не увійшли до розкладання більшого, буде найменшим загальним кратним.
Щоб знайти НОК трьох чисел і більше, слід їх розкласти на прості множники, як і в попередньому випадку.
Як приклад можна знайти найменше загальне кратне чисел 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Так, у розкладання більшого числа на множники не увійшли лише дві двійки з розкладання шістнадцяти (одна є в розкладі двадцяти чотирьох).
Таким чином, їх потрібно додати до розкладання більшого числа.
НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Існують окремі випадки визначення найменшого загального кратного. Так, якщо одне з чисел можна поділити без залишку на інше, то більше з цих чисел буде найменшим загальним кратним.
Наприклад, НОК дванадцяти та двадцяти чотирьох буде двадцять чотири.
Якщо необхідно знайти найменше загальне кратне взаємно простих чисел, які мають однакових дільників, їх НОК дорівнюватиме їх твору.
Наприклад, НОК (10, 11) = 110.
Продовжимо розмову про найменше спільне кратне, яке ми розпочали у розділі «НОК – найменше загальне кратне, визначення, приклади». У цій темі ми розглянемо способи знаходження НОК для трьох чисел і більше, розберемо питання, як знайти НОК негативного числа.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Обчислення найменшого загального кратного (НОК) через НОД
Ми вже встановили зв'язок найменшого загального кратного із найбільшим спільним дільником. Тепер навчимося визначати НОК через НОД. Спочатку розберемося, як це робити для позитивних чисел.
Визначення 1
Знайти найменше загальне кратне через найбільший спільний дільник можна за формулою НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).
Приклад 1
Необхідно знайти НОК чисел 126 та 70 .
Рішення
Приймемо a = 126, b = 70. Підставимо значення у формулу обчислення найменшого загального кратного через найбільший спільний дільник НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).
Знайде НОД чисел 70 та 126 . Для цього нам знадобиться алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 + 56, 70 = 56 · 1 + 14, 56 = 14 · 4, отже, НОД (126 , 70) = 14 .
Обчислимо НОК: НОК (126, 70) = 126 · 70: НОД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630.
Відповідь:НОК (126, 70) = 630 .
Приклад 2
Знайдіть число 68 і 34 .
Рішення
НІД в даному випадкуйти нескладно, тому що 68 ділиться на 34 . Обчислимо найменше загальне кратне за формулою: НОК (68, 34) = 68 · 34: НОД (68, 34) = 68 · 34: 34 = 68.
Відповідь:НОК (68, 34) = 68 .
У цьому прикладі ми використовували правило знаходження найменшого загального кратного для цілих позитивних чисел a і b: якщо перше число ділиться на друге, що НОК цих чисел дорівнюватиме першому числу.
Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники
Тепер давайте розглянемо спосіб знаходження НОК, який ґрунтується на розкладанні чисел на прості множники.
Визначення 2
Для знаходження найменшого загального кратного нам знадобиться виконати низку нескладних дій:
- складаємо добуток всіх простих множників чисел, для яких нам потрібно знайти НОК;
- виключаємо їх отриманих творів усі прості множники;
- отриманий після виключення загальних простих множників твір дорівнюватиме НОК даних чисел.
Цей спосіб знаходження найменшого загального кратного заснований на рівні НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Якщо подивитися на формулу, то стане зрозуміло: добуток чисел a та b дорівнює добутку всіх множників, які беруть участь у розкладанні цих двох чисел. При цьому НОД двох чисел дорівнює добутку всіх простих множників, які одночасно присутні в розкладах на множники цих двох чисел.
Приклад 3
У нас є два числа 75 та 210 . Ми можемо розкласти їх на множники так: 75 = 3 · 5 · 5і 210 = 2 · 3 · 5 · 7. Якщо скласти добуток всіх множників двох вихідних чисел, то вийде: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7.
Якщо виключити загальні для обох чисел множники 3 і 5 ми отримаємо твір наступного виду: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050. Цей твір буде нашим НОК для чисел 75 і 210 .
Приклад 4
Знайдіть НОК чисел 441 і 700 , розклавши обидва числа на прості множники
Рішення
Знайдемо всі прості множники чисел, даних за умови:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Отримуємо два ланцюжки чисел: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .
Добуток усіх множників, які брали участь у розкладанні даних чисел, матиме вигляд: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Знайдемо спільні множники. Це число 7. Виключимо його з загального твору: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7. Виходить, що НОК (441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.
Відповідь:НОК (441, 700) = 44 100 .
Дамо ще одне формулювання методу знаходження НОК шляхом розкладання чисел на прості множники.
Визначення 3
Раніше ми виключали з усієї кількості множників спільні для обох чисел. Тепер ми зробимо інакше:
- розкладемо обидва числа на прості множники:
- додамо до твору простих множників першого числа відсутні множники другого числа;
- отримаємо твір, який і буде шуканий НОК двох чисел.
Приклад 5
Повернемося до числа 75 і 210, для яких ми вже шукали НОК в одному з попередніх прикладів. Розкладемо їх на прості множники: 75 = 3 · 5 · 5і 210 = 2 · 3 · 5 · 7. До твору множників 3 , 5 5 числа 75 додамо відсутні множники 2 і 7 числа 210 . Отримуємо: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Це і є НОК чисел 75 та 210 .
Приклад 6
Необхідно обчислити НОК чисел 84 та 648 .
Рішення
Розкладемо числа із умови на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3. Додамо до твору множників 2 , 2 , 3 7
числа 84 множники 2 , 3 , 3 і
3
числа 648 . Отримуємо твір 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 = 4536 .Це і є найменше загальне кратне чисел 84 і 648.
Відповідь:НОК (84, 648) = 4536.
Знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел
Незалежно від того, з якою кількістю чисел ми маємо справу, алгоритм наших дій завжди буде однаковим: ми будемо послідовно знаходити НОК двох чисел. На цей випадок є теорема.
Теорема 1
Припустимо, що ми маємо цілі числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК m kцих чисел перебуває при послідовному обчисленні m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k − 1 , a k) .
Тепер розглянемо, як можна застосовувати теорему на вирішення конкретних завдань.
Приклад 7
Необхідно обчислити найменше загальне кратне чотирьох чисел 140, 9, 54 та 250 .
Рішення
Введемо позначення: a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .
Почнемо з того, що обчислимо m 2 = НОК (a 1, a 2) = НОК (140, 9). Застосуємо алгоритм Евкліда для обчислення НОД чисел 140 і 9: 140 = 9 · 15 + 5, 9 = 5 · 1 + 4, 5 = 4 · 1 + 1, 4 = 1 · 4. Отримуємо: НОД (140, 9) = 1, НОК (140, 9) = 140 · 9: НОД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1260. Отже, m 2 = 1260 .
Тепер обчислимо за тим алгоритмом m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260 , 54) . У результаті обчислень отримуємо m 3 = 3 780 .
Нам залишилося обчислити m4 = НОК (m3, a4) = НОК (3780, 250). Діємо за тим самим алгоритмом. Отримуємо m 4 = 94500 .
НОК чотирьох чисел із умови прикладу дорівнює 94500 .
Відповідь:НОК (140, 9, 54, 250) = 94500.
Як бачите, обчислення виходять нескладними, але досить трудомісткими. Щоб заощадити час, можна йти іншим шляхом.
Визначення 4
Пропонуємо вам наступний алгоритм дій:
- розкладаємо всі числа на прості множники;
- до твору множників першого числа додаємо множники, що відсутні, з твору другого числа;
- до отриманого на попередньому етапі твору додаємо множники третього числа, що бракують, і т.д.;
- отриманий твір буде найменшим загальним кратним усіх чисел з умови.
Приклад 8
Необхідно знайти НОК п'яти чисел 84, 6, 48, 7, 143.
Рішення
Розкладемо всі п'ять чисел на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7, 6 = 2 · 3, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 7, 143 = 11 · 13 . Прості числа, Яким є число 7 на прості множники не розкладаються. Такі числа збігаються зі своїми розкладанням на прості множники.
Тепер візьмемо добуток простих множників 2 , 2 , 3 і 7 числа 84 і додамо до них множники другого числа. Ми розклали число 6 на 2 та 3 . Ці множники вже є у творі першого числа. Отже, їх опускаємо.
Продовжуємо додавати відсутні множники. Переходимо до 48 , з добутку простих множників якого беремо 2 і 2 . Потім додаємо простий множник 7 від четвертого числа та множники 11 і 13 п'ятого. Отримуємо: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48 048 . Це і є найменша загальна кратність п'яти вихідних чисел.
Відповідь:НОК (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Знаходження найменшого загального кратного негативних чисел
Для того, щоб знайти найменше загальне кратне негативних чисел, ці числа необхідно спочатку замінити на числа з протилежним знаком, а потім провести обчислення за наведеними вище алгоритмами.
Приклад 9
НОК (54, -34) = НОК (54, 34), а НОК (-622, -46, -54, -888) = НОК (622, 46, 54, 888).
Такі дії допустимі у зв'язку з тим, що якщо прийняти, що aі − a- Протилежні числа,
то безліч кратних числа aзбігається з безліччю кратних числа − a.
Приклад 10
Необхідно обчислити НОК негативних чисел − 145 і − 45 .
Рішення
Зробимо заміну чисел − 145 і − 45 на протилежні їм числа 145 і 45 . Тепер за алгоритмом обчислимо НОК (145, 45) = 145 · 45: НОД (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1305, попередньо визначивши НОД за алгоритмом Евкліда.
Отримаємо, що НОК чисел – 145 та − 45 одно 1 305 .
Відповідь:НОК (− 145 , − 45) = 1 305 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
