Головна › Електроустаткування › Перед тобою три двері. Парадокс Монті Холла — пояснення збільшення ймовірності вибору

Перед тобою три двері. Парадокс Монті Холла — пояснення збільшення ймовірності вибору

Про лотереї

Гра ця давно набула масового характеру і стала невід'ємною частиною сучасного життя. І хоча лотерея все більше розширює свої можливості, багато людей, як і раніше, бачать у ній лише спосіб збагачення. Нехай і не безкоштовний та не надійний. З іншого боку, як зауважив один із героїв Джека Лондона, у азартної грине можна не зважати на факти - людям іноді щастить.

Математика нагоди. Історія теорії ймовірностей

Олександр Буфетов

Стенограма та відеозапис лекції доктора фізико-математичних наук, провідного наукового співробітникаМатематичного інституту імені Стеклова, провідного наукового співробітника ІППД РАН, професора факультету математики Вищої школи економіки, директора досліджень Національного центру наукових дослідженьу Франції (CNRS) Олександра Буфетова, прочитаної у рамках циклу «Публічні лекції "Політ.ру"» 6 лютого 2014 р.

Ілюзія закономірності: чому випадковість здається неприродною

Наші уявлення про випадкове, закономірне і неможливе часто розходяться з даними статистики та теорії ймовірностей. У книзі «Недосконала випадковість. Як випадок керує нашим життям» американський фізик і популяризатор науки Леонард Млодінов розповідає про те, чому випадкові алгоритми виглядають так дивно, в чому підступ «рандомної» тасовки пісень на IPod і від чого залежить успіх біржового аналітика. «Теорії та практики» публікують уривок із книги.

Детермінізм

Детермінізм - загальнонаукове поняття та філософське вченняпро причинність, закономірність, генетичний зв'язок, взаємодію та зумовленість усіх явищ і процесів, що відбуваються у світі.

Бог – це статистика

Дебор Нолан, професор статистики в Університеті Каліфорнії в Берклі, пропонує своїм студентам виконати дуже дивне на перший погляд завдання. Перша група має сто разів підкидати монетку та записувати результат: орел чи решка. Друга має уявити, що підкидає монетку – і теж скласти список із сотні «уявних» результатів.

Що таке детермінізм

Якщо відомі початкові умови системи, можна, використовуючи закони природи, передбачити її кінцевий стан.

Завдання про розбірливу наречену

Гусейн-Заде С. М.

Парадокс Зенона

Чи можна з однієї точки в просторі дістатись іншої? Давньогрецький філософ Зенон Елейський вважав, що переміщення неможливо здійснити взагалі, але як він це аргументував? Колм Келлер розповість про те, як дозволити знаменитий феномен Зенона.

Парадокси нескінченних множин

Представте готель із нескінченним числом номерів. Приїжджає автобус із нескінченним числом майбутніх постояльців. Але розмістити їх усіх – не так просто. Це нескінченна морока, а гості нескінченно втомлені. І якщо впоратися із завданням не вдасться, то можна втратити багато грошей! Що ж робити?

Залежність зростання дитини від зростання батьків

Молодим батькам, звичайно, хочеться знати, якого зростання буде їхня дитина, ставши дорослою. Математична статистика може запропонувати просту лінійну залежність для наближеної оцінки зростання дітей, виходячи тільки зі зростання батька та матері, а також вказати точність такої оцінки.

Парадокс Монті Холла – напевно найвідоміший парадокс у теорії ймовірностей. Існує маса його варіацій, наприклад, феномен трьох в'язнів. І існує маса тлумачень та пояснень цього парадоксу. Але тут я хотів би дати не тільки формальне пояснення, але показати «фізичну» основу того, що відбувається в парадоксі Монті Холла та йому подібних.

Класичне формулювання таке:

Ви учасник гри. Перед вами три двері. За однією із них приз. Ведучий пропонує вам спробувати вгадати, де приз. Ви вказуєте на одну з дверей (навгадки).

Формулювання парадоксу Монті Холла

Ведучий знає, де насправді є приз. Він, поки, не відчиняє ті двері, на які ви показали. Але відкриває вам ще одну з дверей, за якою немає призу. Питання, чи варто вам змінити свій вибір, чи залишитися при колишньому рішенні?»

Виявляється, якщо ви просто зміните вибір, то ваші шанси виграти зростуть!

Парадоксальність ситуації є очевидною. Здається, що все, що відбувається, випадково. Немає жодної різниці, поміняєте ви своє рішення чи ні. Але це не так.

«Фізичне» пояснення природи цього феномена

Давайте, спершу, не вдаватимемося в математичні тонкощі, а просто не упереджено подивимося на ситуацію.

У цій грі ви лише спершу робите випадковий вибір. Потім ведучий повідомляє вам додаткову інформацію яка дозволяє вам збільшити свої шанси на перемогу.

Як ведучий повідомляє вам додаткову інформацію? Дуже просто. Зверніть увагу, що він відкриває не будь-якудвері.

Давайте, для простоти (хоча в цьому і є елемент лукавства), розглянемо вірогіднішу ситуацію: ви показали на двері, за якими немає призу. Тоді, за однією з дверей, що залишилися, приз є. Тобто ведучий не має вибору. Він відчиняє цілком певні двері. (На одну вказали ви, за іншою є приз, залишаються лише одні двері, які може відкрити ведучий.)

Саме в цей момент осмисленого вибору він і повідомляє вам інформацію, якою ви можете скористатися.

У даному випадку, використання інформації полягає в тому, що ви змінюєте рішення.

До речі, ваш другий вибір теж не випадковий(вірніше, не так випадковий, як перший вибір). Адже ви вибираєте із зачинених дверей, а одна вже відкрита і вона не довільна.

Власне, вже після цих міркувань у вас може виникнути відчуття, що краще поміняти рішення. Це дійсно так. Давайте покажемо це формально.

Більше формальне пояснення парадоксу Монті Холла

Насправді ваш перший випадковий вибір розбиває всі двері на дві групи. За тими дверима, які вибрали, ви приз знаходиться з ймовірністю 1/3, за двома іншими - з ймовірністю 2/3. Тепер ведучий вносить зміни: він відчиняє одні двері у другій групі. І тепер вся ймовірність 2/3 стосується тільки закритих дверей з групи з двох дверей.

Зрозуміло, що тепер вам вигідніше змінити своє рішення.

Хоча, звісно, у вас залишається шанс програти.

Тим не менш, зміна вибору збільшує ваші шанси на виграш.

Парадокс Монті Холла

Парадокс Монті Холла - ймовірнісне завдання, вирішення якого (на думку деяких) суперечить здоровому глузду. Формулювання завдання:

Уявіть, що ви стали учасником гри, в якій вам потрібно вибрати одну з трьох дверей. За одними з дверей знаходиться автомобіль, за двома іншими дверима - кози.
Ви вибираєте одну з дверей, наприклад, номер 1, після цього ведучий, який знає, де знаходиться автомобіль, а де - кози, відкриває одну з дверей, наприклад, номер 3, за якою знаходиться коза.

Парадокс Монті Холла. Найточніша математика

Після цього він запитує вас, чи не хочете змінити свій вибір і вибрати двері номер 2.
Чи збільшаться ваші шанси виграти автомобіль, якщо ви приймете пропозицію ведучого та зміните свій вибір?

При вирішенні завдання часто помилково вважають, що два вибори є незалежними і, отже, ймовірність при зміні вибору не зміниться. Насправді це не так, у чому можна переконатися, згадавши формулу Байєса або подивившись на результати симуляції нижче:

Тут: «стратегія 1» – не змінювати вибір, «стратегія 2» – змінити вибір. Теоретично, для випадку з трьома дверима, розподіл можливостей - 33,(3)% та 66,(6)%. За чисельної симуляції мали б виходити схожі результати.

Посилання

Парадокс Монті Холла- Завдання з розділу теорії ймовірності, у вирішенні якої проглядається протиріччя здоровому глузду.

Історія виникнення[ред. редагувати вікі-текст]

Наприкінці 1963 року в ефір вийшло нове ток-шоупід назвою Let's Make a Deal (Давайте домовимося). За сценарієм вікторини глядачі з аудиторії отримували призи за правильні відповіді, маючи шанс примножити їх, роблячи нові ставки, але ризикуючи виграшем. Засновниками шоу були Стефан Хатосу та Монті Холл, останній з яких став його незмінним ведучим на багато років.

Одним із завдань для учасників став розіграш Головного призу, який був розташований за одним із трьох дверей. За двома залишалися заохочувальні призи, у свою чергу ведучий знав порядок їхнього розташування. Учаснику необхідно було визначити виграшні двері, поставивши на кін весь свій виграш за шоу.

Коли вгадуючий визначався з номером, ведучий відкривав одну з дверей, за якою знаходився заохочувальний приз, і пропонував гравцеві поміняти спочатку обрані двері.

Формулювання[ред. редагувати вікі-текст]

Як конкретне завдання, парадокс вперше сформулював Стів Селвін (Steve Selvin) у 1975 році, який відправив до журналу The American Statistician («Американський статистик»), і ведучому Монті Холу, питання: чи зміняться шанси учасника виграти Головний приз, якщо після відкриття дверей з заохочувальним він змінить свій вибір? Після цього з'явилося поняття «Парадокс Монті Холла».

У 1990 році була в Parade Magazine (Журнал «Парад») опублікована найпоширеніша версія парадоксу з прикладом:

«Уявіть себе на телегрі, де потрібно віддати перевагу одним із трьох дверей: за двома з них кози, а за третім — автомобіль. Коли Ви зробите вибір, припустивши, наприклад, що виграшні двері номер один, ведучий відкриває одну з двох дверей, наприклад, номер три, за якою коза. Потім Вам дається шанс змінити вибір на інші двері? Чи можна збільшити шанси виграти автомобіль, якщо поміняти свій вибір із дверей номер один на двері номер два?»

Це формулювання є спрощеним варіантом, т.к. залишається фактор впливу ведучого, який точно знає, де автомобіль зацікавлений у програші учасника.

Щоб завдання стало суто математичною, потрібно виключити людський чинник, ввівши відкриття дверей з заохочувальним призом і можливість змінити початковий вибір як невід'ємні умови.

Рішення[ред. редагувати вікі-текст]

При порівнянні шансів здавалося б зміна номера дверей не дасть жодних переваг, т.к. всі три варіанти мають шанс на виграш 1/3 (прибл. 33,33% на кожну з трьох дверей). При цьому відкриття однієї з дверей ніяк не позначиться на шансах двох решти, чиї шанси стануть 1/2 до 1/2 (50% на кожну з двох решти дверей). В основу такого судження лягає судження, що вибір дверей гравцем і вибір дверей ведучим – дві незалежні події, що не впливають одна на одну. Насправді необхідно розглядати всю послідовність подій як єдине ціле. Відповідно до теорії ймовірності, у перших обраних дверей шанси з початку і до кінця гри незмінно 1/3 (бл.33,33%), а у двох, що залишилися в сумі 1/3+1/3 = 2/3 (бл. 66,66%). Коли відкривається одна з двох дверей, що залишилися, її шанси стають 0% (за нею захований заохочувальний приз), і як результат шанси закритих невибраних дверей становитимуть 66,66%, тобто. удвічі більше, ніж у обраної спочатку.

Для полегшення розуміння результатів вибору можна розглянути альтернативну ситуацію, в якій кількість варіантів буде більшою, наприклад тисяча. Імовірність вибрати виграшний варіант становитиме 1/1000 (0,1%). За умови, що згодом з дев'ятсот дев'яносто дев'яти варіантів, що залишилися, будуть відкриті дев'ятсот дев'яносто вісім невірних, стає очевидним, що ймовірність однієї решти дверей з дев'ятсот дев'яносто дев'яти невибраних вище, ніж у єдиної, обраної спочатку.

Згадки[ред. редагувати вікі-текст]

Зустріти згадку Парадокса Монті Холла можна в «Двадцять одне» (фільму Роберта Лукетича), «Недотепа» (романі Сергія Лук'яненка), телесеріалі «4ісла» (телесеріал), «Загадкове нічне вбивство собаки» (повісті Марка Хеддо комікс), «Руйнівники легенд» (телешоу).

також[ред. редагувати вікі-текст]

На зображенні процес вибору між двома заритими дверима із трьох запропонованих спочатку

Приклади розв'язування задач з комбінаторики

Комбінаторика— це наука, з якою кожен зустрічається у повсякденному житті: скільки способів вибрати 3 чергові для прибирання класу або скільки способів скласти слово з даних букв.

Загалом комбінаторика дозволяє обчислити, скільки різних комбінацій, згідно з деякими умовами, можна скласти із заданих об'єктів (однакових або різних).

Як наука комбінаторика виникла ще у 16 столітті, а тепер її вивчає кожен студент (і найчастіше навіть школяр). Починають вивчення з понять перестановок, розміщень, поєднань (з повтореннями чи ні), на ці теми ви знайдете завдання і нижче. Найбільш відомі правила комбінаторики - правила суми та твори, які найчастіше застосовуються у типових комбінаторних завданнях.

Нижче ви знайдете кілька прикладів завдань із рішеннями на комбінаторні поняття та правила, які дозволять розібратися з типовими завданнями. Якщо є проблеми із завданнями — замовляйте контрольну по комбінаториці.

Завдання з комбінаторики з рішеннями онлайн

Завдання 1.У мами 2 яблука та 3 груші. Щодня протягом 5 днів поспіль вона видає по одному фрукту. Скільки способами це може бути зроблено?

Розв'язання задачі з комбінаторики 1 (pdf, 35 Кб)

Завдання 2.Підприємство може надати роботу за однією спеціальністю 4 жінками, за іншою — 6 чоловіками, по третій — 3 працівниками незалежно від статі. Скільки способами можна заповнити вакантні місця, якщо є 14 претендентів: 6 жінок та 8 чоловіків?

Розв'язання задачі з комбінаторики 2 (pdf, 39 Кб)

Завдання 3.У пасажирському поїзді 9 вагонів. Скільки способами можна розсадити в поїзді 4 особи, за умови, що всі вони повинні їхати в різних вагонах?

Розв'язання задачі з комбінаторики 3 (pdf, 33 Кб)

Завдання 4.У групі 9 осіб. Скільки можна утворити різних підгруп за умови, що до підгрупи входить щонайменше 2 особи?

Розв'язання задачі з комбінаторики 4 (pdf, 34 Кб)

Завдання 5.Групу з 20 студентів потрібно розділити на 3 бригади, причому до першої бригади повинні входити 3 особи, до другої - 5 і до третьої - 12. Скільки способами це можна зробити.

Розв'язання задачі з комбінаторики 5 (pdf, 37 Кб)

Завдання 6.Для участі в команді тренер відбирає 5 хлопчиків із 10. Скільки способами він може сформувати команду, якщо 2 певні хлопчики повинні увійти в команду?

Завдання з комбінаторики з рішенням 6 (pdf, 33 Кб)

Завдання 7.У шаховому турнірі брали участь 15 шахістів, причому кожен із них зіграв лише одну партію з кожним із решти. Скільки всього партій було зіграно у цьому турнірі?

Завдання з комбінаторики з рішенням 7 (pdf, 37 Кб)

Завдання 8.Скільки різних дробів можна скласти з чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, щоб у кожний дріб входили різних числа? Скільки серед них буде правильних дробів?

Завдання з комбінаторики з рішенням 8 (pdf, 32 Кб)

Завдання 9.Скільки слів можна отримати, переставляючи літери у слові Гора та Інститут?

Завдання з комбінаторики з рішенням 9 (pdf, 32 Кб)

Завдання 10.Яких чисел від 1 до 1 000 000 більше: тих, у записі яких зустрічається одиниця, чи тих, у яких вона не зустрічається?

Завдання з комбінаторики з рішенням 10 (pdf, 39 Кб)

Готові приклади

Чи потрібні вирішені завдання з комбінаторики? Знайди у решінику:

Інші розв'язування задач з теорії ймовірностей

Уявіть, що банкір пропонує вам вибрати одну з трьох закритих коробочок. В одній із них 50 центів, в іншій – один долар, у третій – 10 тисяч доларів. Яку виберете, та вам і дістанеться як приз.

Ви вибираєте навмання, скажімо, коробочку №1. І тут банкір (який, звичайно, знає, де що) прямо на ваших очах відкриває коробочку з одним доларом (припустимо, це №2), після чого пропонує вам поміняти спочатку обрану коробочку №1 на коробочку №3.

Чи варто вам міняти своє рішення? Чи збільшаться ваші шанси отримати 10 тисяч?

Це і є парадокс Монті Холла – завдання теорії ймовірності, вирішення якої, на перший погляд, суперечить здоровому глузду. Над цим завданням люди ламають голови із 1975 року.

Парадокс отримав назву на честь провідного популярного американського телешоу Let's Make a Deal. У цьому телешоу були схожі правила, лише учасники обирали двері, за двома з яких ховалися кози, за третьою – Каділлак.

Більшість гравців міркували, що після того, як закритих дверей залишилося дві і за однією з них знаходиться Каділлак, то шанси його отримати 50-50. нову гру. Поміняєте ви рішення або не поміняєте, ваші шанси все одно дорівнюватимуть 50 відсоткам. Адже так?

Виявляється, що ні. Насправді, змінивши рішення, ви подвоїте шанси на успіх. Чому?

Найбільш просте пояснення цієї відповіді полягає у наступному міркуванні. Для того, щоб виграти автомобіль без зміни вибору, гравець повинен відразу вгадати двері, за якими стоїть автомобіль. Імовірність цього дорівнює 1/3. Якщо ж гравець спочатку потрапляє на двері, за якими стоїть коза (а ймовірність цієї події 2/3, оскільки є дві кози і лише один автомобіль), то він може однозначно виграти автомобіль, змінивши своє рішення, оскільки залишаються автомобіль і одна коза, а двері з козою ведучий уже відчинив.

Таким чином, без зміни вибору гравець залишається при своїй початковій ймовірності виграшу 1/3, а при зміні початкового вибору, гравець обертає собі на користь вдвічі більшу ймовірність того, що на початку він не вгадав.

Також інтуїтивно зрозуміле пояснення можна зробити, помінявши подекуди дві події. Перша подія – ухвалення рішення гравцем про зміну дверей, друга подія – відкриття зайвих дверей. Це припустимо, тому що відкриття зайвих дверей не дає гравцеві ніякої нової інформації(Док-во див. у цій статті). Тоді завдання можна звести до наступного формулювання. У перший момент часу гравець ділить двері на дві групи: у першій групі одні двері (та що він вибрав), у другій групі дві двері, що залишилися. Наступного часу гравець робить вибір між групами. Очевидно, що для першої групи ймовірність виграшу 1/3 для другої групи 2/3. Гравець обирає другу групу. У другій групі він може відчинити обидві двері. Одну відкриває ведучий, а другу – сам гравець.

Спробуємо дати «найзрозуміліше» пояснення. Переформулюємо завдання: Чесний ведучий оголошує гравцю, що за одним із трьох дверей — автомобіль, і пропонує йому спочатку вказати на одне з дверей, а після цього вибрати одну з двох дій: відкрити вказані двері (у старому формулюванні це називається «не змінювати свого вибору ») або відкрити дві інші (у старому формулюванні це якраз і «змінитиме вибір». Подумайте, тут і укладено ключ до розуміння!). Зрозуміло, що гравець вибере другу з двох дій, тому що ймовірність отримання автомобіля в цьому випадку вдвічі вища. А та дрібниця, що ведучий ще до вибору дії «показав козу», ніяк не допомагає і не заважає вибору, адже за одними з двох дверей завжди знайдеться коза і ведучий обов'язково її покаже за будь-якого ходу гри, так що гравець може на цю козу і не дивитися. Справа гравця, якщо він вибрав другу дію - сказати "дякую" ведучому за те, що він позбавив його від праці самому відкривати одну з двох дверей, і відкрити іншу. Ну, чи ще простіше. Уявімо цю ситуацію з погляду ведучого, який робить подібну процедуру з десятками гравців. Оскільки він чудово знає, що знаходиться за дверима, то, в середньому, у двох випадках із трьох, він заздалегідь бачить, що гравець вибрав «не ті» двері. Тому вже для нього точно немає ніякого парадоксу в тому, що правильна стратегія полягає у зміні вибору після відкриття перших дверей: адже тоді в тих же двох випадках із трьох гравець виїжджатиме зі студії на новій машині.

Зрештою, «найнаївніший» доказ. Нехай той, хто стоїть на своєму виборі, називається «Упертим», а той, хто дотримується вказівок ведучого, зветься «Уважним». Тоді впертий виграє, якщо він спочатку вгадав автомобіль (1/3), а уважний — якщо він спочатку промахнувся і потрапив на козу (2/3). Адже тільки в цьому випадку він потім вкаже на двері з автомобілем.

Монті Холл, продюсер та ведучий шоу Let’s Make a Dealз 1963 по 1991 рік.

У 1990 році це завдання та її рішення були опубліковані в американському журналі “Parade”. Публікація викликала шквал обурених відгуків читачів, багато з яких мали наукові ступені.

Головна претензія полягала в тому, що не всі умови завдання було обумовлено, і будь-який нюанс міг вплинути на результат. Наприклад, ведучий міг запропонувати змінити рішення лише в тому випадку, якщо гравець першим ходом вибрав автомобіль. Очевидно, що зміна початкового вибору у такій ситуації призведе до гарантованого програшу.

Проте за весь час існування телешоу Монті Холла люди, які змінювали рішення, справді вигравали вдвічі частіше.

З 30 гравців, які змінили початкове рішення, Каділлак виграли 18 - тобто 60%

З 30 гравців, які залишилися при своєму виборі, Каділлак виграли 11 - тобто приблизно 36%

Тож наведені у вирішенні міркування, хоч би якими нелогічними вони здавалися, підтверджуються практикою.

Збільшення кількості дверей

Для того, щоб легше зрозуміти суть того, що відбувається, можна розглянути випадок, коли гравець бачить перед собою не три двері, а, наприклад, сто. При цьому за одним із дверей знаходиться автомобіль, а за рештою 99 — кози. Гравець обирає одну з дверей, причому в 99% випадків він вибере двері з козою, а шанси відразу вибрати двері з автомобілем дуже малі - вони становлять 1%. Після цього ведучий відкриває 98 дверей з козами і пропонує гравцеві вибрати двері, що залишилися. При цьому в 99% випадків автомобіль перебуватиме за цими дверима, оскільки шанси на те, що гравець відразу вибрав правильні двері, дуже малі. Зрозуміло, що в цій ситуації гравець, що раціонально мислить, повинен завжди приймати пропозицію ведучого.

При розгляді збільшеної кількості дверей нерідко виникає питання: якщо в оригінальному завданні ведучий відкриває одну з трьох (тобто 1/3 від загальної кількості(Дверей), то чому потрібно припускати, що у випадку 100 дверей ведучий відкриє 98 дверей з козами, а не 33? Це міркування зазвичай є однією з істотних причин того, чому парадокс Монті Холла входить у протиріччя з інтуїтивним сприйняттям ситуації. Передбачати відкриття 98 дверей буде правильним тому, що істотною умовоюЗавданням є наявність лише одного альтернативного варіанту вибору для гравця, який і пропонується ведучим. Тому для того, щоб завдання були аналогічними, у випадку 4 дверей ведучий повинен відчиняти 2 двері, у випадку 5 дверей — 3, і так далі, щоб завжди залишалися одні відкриті двері крім тих, які спочатку вибрав гравець. Якщо ведучий буде відкривати меншу кількість дверей, то завдання вже не буде аналогічним до оригінального завдання Монті Холла.

Слід зазначити, що у разі безлічі дверей, навіть якщо ведучий залишатиме зачиненими не одну двері, а кілька, і пропонуватиме гравцеві вибрати одну з них, то при зміні початкового вибору шанси гравця виграти автомобіль все одно будуть збільшуватися, хоча й не так значно. Наприклад, розглянемо ситуацію, коли гравець вибирає одні двері зі ста, і потім ведучий відкриває тільки одну з тих, що залишилися, пропонуючи гравцеві змінити свій вибір. При цьому шанси на те, що автомобіль знаходиться за спочатку обраними гравцем дверима, залишаються колишніми — 1/100, а для інших дверей шанси змінюються: сумарна ймовірність того, що автомобіль знаходиться за одним із дверей (99/100), що залишилися, розподіляється тепер не на 99 дверей, а на 98. Тому ймовірність знаходження автомобіля за кожним з цих дверей дорівнюватиме не 1/100, а 99/9800. Приріст ймовірності складе приблизно 1%.

Дерево можливих рішеньгравця та ведучого, що показує ймовірність кожного результату Більш формально сценарій гри може бути описаний за допомогою дерева прийняття рішень. У перших двох випадках, коли гравець спочатку вибрав двері, за якими знаходиться коза, зміна вибору призводить до виграшу. У двох останніх випадках, коли гравець спочатку вибрав двері з автомобілем, зміна вибору призводить до програшу.

Якщо вам незрозуміло все одно, плюньте на формули і простоперевірте все статистично. Ще один варіант пояснення:

Гравець, чия стратегія полягала б у тому, щоб щоразу змінювати обрані двері, програватиме лише в тому випадку, якщо він спочатку вибирає двері, за якими знаходиться автомобіль.
Оскільки ймовірність вибрати автомобіль з першої спроби становить один до трьох (або 33%), то шанс не вибрати автомобіль, якщо гравець змінюватиме свій вибір, також дорівнює один до трьох (або 33%).
Це означає, що гравець, який використовував стратегію міняти двері, виграє з ймовірністю 66% або два до трьох.
Це подвоїть шанси на виграш гравця, чия стратегія щоразу не змінювати свій вибір.

Досі не вірите? Припустимо, що ви вибрали двері №1. Тут представлені всі можливі варіантитого, що може статися у цьому випадку.

«Існують три види брехні: брехня, Нагла брехнята статистика». Ця фраза, приписана Марком Твеном прем'єр-міністру Великобританії Бенджаміну Дізраелі, непогано відбиває ставлення більшості до математичних закономірностей. Справді, теорія ймовірностей часом підкидає дивовижні факти, в які складно повірити з першого погляду - і які, проте, підтверджені наукою. «Теорії та практики» згадали найвідоміші парадокси.

Проблема Монті Холла

Саме це завдання у фільмі «Двадцять один» запропонував студентам хитрий професор MIT. Давши правильну відповідь, головний геройпотрапляє до команди блискучих молодих математиків, які обіграють казино у Лас-Вегасі.

Класичне формулювання звучить так: «Припустимо, якомусь гравцеві запропонували взяти участь у відомому американському телешоу Let's Make a Deal, яке веде Монті Холл, і йому необхідно вибрати одне з трьох дверей. За двома дверима знаходяться кози, за одними - головний приз, автомобіль, що веде знає розташування призів. Після того, як гравець робить свій вибір, ведучий відкриває одну з дверей, за якою знаходиться коза, і пропонує гравцеві змінити своє рішення. Чи варто гравцеві погодитись чи краще зберегти свій початковий вибір?»

Ось типовий перебіг міркувань: після того, як ведучий відкрив одну з дверей і показав козу, гравцеві залишається вибрати між двома дверима. Машина знаходиться за однією з них, отже, ймовірність її вгадати становить 1/2. Так що немає різниці – міняти свій вибір чи ні. Проте теорія ймовірностей свідчить, що можна збільшити свої шанси на виграш, змінивши рішення. Розберемося, чому це так.

Для цього повернемось на крок назад. У той момент, коли ми зробили свій початковий вибір, ми розділили двері на дві частини: обрана нами та дві інші. Очевидно, що ймовірність того, що автомобіль ховається за «нашими» дверима, становить ⅓ - відповідно, автомобіль знаходиться за однією з двох дверей, що залишилися з ймовірністю ⅔. Коли ведучий показує, що за одним із цих дверей - коза, виходить, що ці ⅔ шанси припадають на другі двері. А це зводить вибір гравця до двох дверей, за однією з яких (спочатку обраною) автомобіль знаходиться з ймовірністю ⅓, а за іншою - з ймовірністю ⅔. Вибір стає очевидним. Що, зрозуміло, не скасовує того факту, що від початку гравець міг вибрати двері з автомобілем.

Завдання трьох в'язнів

Парадокс трьох в'язнів схожий на проблему Монті Холла, хоча дія розгортається в драматичніших умовах. Трьох ув'язнених (А, Б та В) засуджено до страти і поміщено в одиночні камери. Губернатор випадково обирає одного з них і дає йому помилування. Наглядач знає, хто з трьох помилований, але йому наказано тримати це таємно. В'язень A просить стражника сказати йому ім'я другого ув'язненого (крім нього самого), який точно буде страчений: «якщо Б помилуваний, скажи мені, що страчений буде В. Якщо помилуваний В, скажи мені, що страчений буде Б. Якщо вони обоє будуть страчені а помилований я, підкинь монету, і скажи будь-яке з цих двох імен». Наглядач каже, що страчений в'язень Б. Чи варто радіти в'язню А?

Здавалося б, так. Адже до отримання цієї інформації ймовірність смерті в'язня А становила ⅔, а тепер він знає, що один із двох інших в'язнів буде страчений - отже, ймовірність його страти знизилася до 1/2. Але насправді в'язень А не впізнав нічого нового: якщо помилуваний не він, йому назвуть ім'я іншого в'язня, а він і так знав, що когось із двох карають. Якщо йому пощастило, і страту скасували, він почує випадкове ім'яБ або Ст. Тому його шанси на порятунок ніяк не змінилися.

А тепер уявімо, що хтось із в'язнів, що залишилися, дізнається про питання в'язня А і отриману відповідь. Це змінить його уявлення про можливість помилування.

Якщо розмову підслухав в'язень Б, він дізнається, що його точно стратять. А якщо в'язень, то ймовірність його помилування становитиме ⅔. Чому так сталося? В'язень А не отримав жодної інформації, і його шанси на помилування, як і раніше, ⅓. В'язень Б точно не буде помилуваний, і його шанси дорівнюють нулю. Отже, ймовірність того, що на свободу вийде третій в'язень, дорівнює ⅔.

Парадокс двох конвертів

Цей парадокс став відомий завдяки математику Мартіну Гарднеру, і формулюється так: «Припустимо, вам з другом запропонували два конверти, в одному з яких лежить якась сума грошей X, а в іншому - сума вдвічі більша. Ви незалежно один від одного розкриваєте конверти, перераховуєте гроші, після чого можете обмінятись ними. Конверти однакові, тому ймовірність того, що вам дістанеться конверт із меншою сумою, становить ½. Допустимо, ви відкрили конверт і виявили в ньому $10. Отже, в конверті вашого друга може бути рівноймовірно $5 або $20. Якщо ви наважуєтесь на обмін, то можна підрахувати математичне очікування підсумкової суми - тобто, її середнє значення. Вона становить 1/2х $ 5 + 1 / 2 × 20 = $ 12,5. Таким чином обмін вам вигідний. І, швидше за все, ваш друг міркуватиме так само. Але очевидно, що обмін не може бути вигідним обом. У чому ж помилка?

Парадокс полягає в тому, що поки ви не розкрили свій конверт, ймовірності поводяться добропорядно: у вас дійсно 50-відсотковий шанс виявити у своєму конверті суму X і 50-відсотковий - суму 2X. І здоровий глузд підказує, що інформація про наявну у вас суму не може вплинути на вміст другого конверта.

Тим не менш, як тільки ви розкриваєте конверт, ситуація кардинально змінюється (цей парадокс чимось схожий на історію з котом Шредінгера, де сама наявність спостерігача впливає на стан справ). Справа в тому, що для дотримання умов парадоксу ймовірність знаходження у другому конверті більшої чи меншої суми, ніж у вас, має бути однаковою. Але тоді рівноймовірне будь-яке значення цієї суми від нуля до нескінченності. А якщо рівноймовірне нескінченність можливостей, у сумі вони дають нескінченність. А це неможливо.

Для наочності можна припустити, що ви виявляєте у своєму конверті один цент. Вочевидь, що у другому конверті може бути суми вдвічі менше.

Цікаво, що дискусії щодо вирішення парадоксу продовжуються і зараз. При цьому роблять спроби як пояснити парадокс зсередини, так і виробити найкращу стратегіюповедінки у подібній ситуації. Зокрема, професор Томас Кавер запропонував оригінальний підхід до формування стратегії – міняти чи не міняти конверт, керуючись якимось інтуїтивним очікуванням. Скажімо, якщо ви відкрили конверт і виявили в ньому $10 – невелику суму за вашими прикидками – варто його обміняти. А якщо в конверті, скажімо, $1 000, що перевершує ваші найсміливіші очікування, то змінюватися не треба. Ця інтуїтивна стратегія у разі, якщо вам регулярно пропонують вибирати два конверти, дає можливість збільшити сумарний виграш більше, ніж стратегія постійної зміни конвертів.

Парадокс хлопчика та дівчинки

Цей парадокс був запропонований Мартіном Гарднером і формулюється так: «У містера Сміта двоє дітей. Хоча б одна дитина – хлопчик. Яка ймовірність того, що і другий – теж хлопчик?

Здавалося б, завдання просте. Однак якщо почати розбиратися, виявляється цікава обставина: правильна відповідь відрізнятиметься залежно від того, яким чином ми підраховуватимемо ймовірність статі іншої дитини.

Варіант 1

Розглянемо всі можливі комбінації у сім'ях із двома дітьми:

Дівчинка/Дівчинка

Дівчинка хлопчик

Хлопчик/Дівчинка

Хлопчик/Хлопчик

Варіант дівчинка нам не підходить за умовами завдання. Тому для сім'ї містера Сміта можливі три рівноймовірні варіанти - а значить, ймовірність того, що інша дитина теж виявиться хлопчиком, становить ⅓. Саме таку відповідь і давав сам Гарднер спочатку.

Варіант 2

Уявимо, що ми зустрічаємо містера Сміта на вулиці, коли він гуляє із сином. Яка ймовірність того, що друга дитина – теж хлопчик? Оскільки стать другої дитини ніяк не залежить від статі першої, очевидною (і правильною) відповіддю є ½.

Чому так відбувається, адже, начебто, нічого не змінилося?

Все залежить від того, як ми підходимо до підрахунку ймовірності. У першому випадку ми розглядали всі можливі варіанти сім'ї Сміта. У другому – ми розглядали всі сім'ї, які підпадають під обов'язкову умову «має бути один хлопчик». Розрахунок ймовірності статі другої дитини вівся з цією умовою (теоретично ймовірностей це називається «умовна ймовірність»), що і призвело до результату, відмінного від першого.

У грудні 1963 року на американському телеканалі NBCвперше вийшла програма Let’s Make a Deal(«Укладемо угоду!»), в якій учасники, обрані з глядачів у студії, торгувалися один з одним і з ведучим, грали в невеликі ігриабо просто вгадували відповідь на запитання. Наприкінці передачі учасники могли зіграти у угоду дня. Перед ними було три двері, про які було відомо, що за одними з них – Головний Приз (наприклад, автомобіль), а за двома іншими – менш цінні або зовсім абсурдні подарунки (наприклад, живі кози). Після того як гравець робив свій вибір, ведучий програми Монті Холл (Monty Hall) відкривав одну з двох дверей, що залишилися, показуючи, що за нею Приза немає і даючи учаснику порадіти тому, що він зберігає шанси на виграш.

У 1975 році вчений з Каліфорнійського університету Стів Селвін задався питанням про те, що буде, якщо в цей момент, після відкриття дверей без Приза, запропонувати учаснику змінити свій вибір. Чи зміниться у цьому випадку шанси гравця отримати Приз, а якщо так, то в який бік? Він надіслав відповідне питання у вигляді завдання до журналу The American Statistician(«Американський статистик»), а також – самому Монті Холлу, який дав на нього досить цікаву відповідь. Незважаючи на цю відповідь (а може, і завдяки їй) завдання набуло поширення під ім'ям «завдання Монті Холла».

Завдання

Ви опинилися на шоу Монті Холла в ролі учасника – і в останній момент, відчинивши двері з козою, ведучий запропонував вам змінити свій вибір. Чи вплине ваше рішення – погодитися чи ні – на ймовірність виграшу?

Підказка

Спробуйте розглянути людей, які вибрали в тому самому випадку (тобто коли Приз знаходиться, наприклад, за дверима №1) різні двері. Хто буде у виграші від зміни свого вибору, а хто – ні?

Рішення

Як і було запропоновано у підказці, розглянемо людей, які зробили різний вибір. Припустимо, що Приз знаходиться за дверима №1, а за дверима №2 та №3 – кози. Нехай у нас є шестеро людей, причому кожну двері вибрали по дві людини, і з кожної пари одна згодом змінила рішення, а інша - ні.

Зауважимо, що вибравши двері №1 Ведучий відкриє одну з двох дверей на свій смак, при цьому, незалежно від цього, Автомобіль отримає той, хто не змінить свого вибору, а той, що змінив свій початковий вибір, залишиться без Призу. Тепер подивимося на двері №2 і №3, які вибрали. Оскільки за дверима №1 стоїть Автомобіль, відкрити її Ведучий не може, що не залишає йому вибору – він відкриває їм двері №3 та №2 відповідно. При цьому той, хто змінив рішення в кожній парі, в результаті вибере Приз, а не той, хто змінив - залишиться ні з чим. Таким чином, із трьох людей, які змінили рішення, двоє отримають Приз, а один - козу, тоді як із трьох, які залишили свій початковий вибір незмінним, Приз дістанеться лише одному.

Необхідно відзначити, що якби Автомобіль опинився за дверима №2 або №3, результат був би тим самим, чи змінилися б лише конкретні переможці. Таким чином, припускаючи, що спочатку кожні двері вибираються з рівною ймовірністю, ми отримуємо, що міняючі свій вибір виграють приз у два рази частіше, тобто ймовірність виграшу в цьому випадку більша.

Подивимося це завдання з погляду математичної теорії ймовірностей. Припускатимемо, що ймовірність початкового вибору кожної з дверей однакова, так само як і ймовірність знаходження за кожним з дверей Автомобіля. Крім того, корисно зробити застереження, що Ведучий, коли він може відчинити два двері, вибирає кожну з них з рівною ймовірністю. Тоді виявиться, що після першого ухвалення рішення ймовірність того, що Приз за обраними дверима дорівнює 1/3, тоді як ймовірність того, що він - за одним з двох інших дверей, дорівнює 2/3. При цьому, після того як Ведучий відкрив одну з двох «невибраних» дверей, вся ймовірність 2/3 припадає лише на одну з дверей, створюючи тим самим підставу для зміни рішення, яка збільшить ймовірність виграшу в 2 рази. Що, звичайно, його анітрохи не гарантує в одному конкретному випадку, але призведе до вдалих результатів у разі багаторазового повторення експерименту.

Післямова

Завдання Монті Холла - це не перше з відомих формулювань цієї проблеми. Зокрема, 1959 року Мартін Гарднер опублікував у журналі Scientific Americanаналогічне завдання «про трьох в'язнів» (Three Prisoners problem) з наступним формулюванням: « Із трьох в'язнів одного мають помилувати, а двох – страчувати. В'язень A вмовляє стражника назвати йому ім'я того з двох інших, якого стратять (будь-якого, якщо стратять обох), після чого, отримавши ім'я B, вважає, що ймовірність його власного порятунку стала не 1/3, а 1/2. У той же час в'язень C стверджує, що ця ймовірність його порятунку стала 2/3, а для A нічого не змінилося. Хто з них має рацію?»

Проте й Гарднер був першим, оскільки ще 1889 року у своєму «Обчисленні ймовірностей» французький математик Жозеф Бертран (не плутати з англійцем Бертраном Расселом!) пропонує схоже завдання (див. Bertrand's box paradox): « Є три ящики, у кожному з яких лежать дві монети: дві золоті в першій, дві срібні в другій, і дві різні - у третій. З навмання обраної скриньки навмання витягли монету, яка виявилася золотою. Яка ймовірність того, що монета, що залишилася в ящику - золота?»

Якщо зрозуміти рішення всіх трьох завдань, легко помітити схожість їхніх ідей; математично ж їх об'єднує поняття умовної ймовірності, тобто ймовірності події A, якщо відомо, що подія B сталося. Найпростіший приклад: ймовірність того, що на звичайному гральному кубику випала одиниця, що дорівнює 1/6; проте якщо відомо, що число, що випало - непарно, то ймовірність того, що це - одиниця, буде вже 1/3. Завдання Монті Холла, як і дві інші завдання, показують, що поводитися з умовними ймовірностями потрібно акуратно.

Ці завдання також нерідко називають парадоксами: парадокс Монті Холла, парадокс ящиків Бертрана (останній не слід плутати зі справжнім парадоксом Бертрана, наведеним у тій же книзі, який доводив неоднозначність існуючого на той момент поняття ймовірності) - що передбачає деяке протиріччя феномен Лжеца» фраза «це твердження - хибно» суперечить закону виключеного третього). В даному випадку, однак, жодної суперечності із суворими твердженнями немає. Зате є явна суперечність із « громадською думкоюабо просто «очевидним рішенням» завдання. Дійсно, більшість людей, дивлячись на завдання, вважають, що після відкриття одного з дверей ймовірність знаходження Приза за будь-яким із двох, що залишилися закритими, дорівнює 1/2. Тим самим вони стверджують, що немає різниці, чи погоджуватися чи не погоджуватися змінити своє рішення. Більше того, багато людей важко усвідомлюють відповідь, відмінну від цього, навіть після того, як їм було розказано докладне рішення.

У грудні 1963 року на американському телеканалі NBC вперше вийшла програма Let's Make a Deal («Укладемо угоду!»), в якій учасники, обрані з глядачів у студії, торгувалися один з одним і з ведучим, грали в невеликі ігри або просто вгадували відповідь на питання. Наприкінці передачі учасники могли зіграти у угоду дня. Перед ними було три двері, про які було відомо, що за одними з них – Головний Приз (наприклад, автомобіль), а за двома іншими – менш цінні або зовсім абсурдні подарунки (наприклад, живі кози). Після того як гравець робив свій вибір, ведучий програми Монті Холл (Monty Hall) відкривав одну з двох дверей, що залишилися, показуючи, що за нею Приза немає і даючи учаснику порадіти тому, що він зберігає шанси на виграш.

У 1975 році вчений з Каліфорнійського університету Стів Селвін задався питанням про те, що буде, якщо в цей момент, після відкриття дверей без Приза, запропонувати учаснику змінити свій вибір. Чи зміниться у цьому випадку шанси гравця отримати Приз, а якщо так, то в який бік? Він відправив відповідне питання у вигляді завдання до журналу The American Statistician («Американський статистик»), а також – самому Монті Холлу, який дав на нього досить цікаву відповідь. Незважаючи на цю відповідь (а може, і завдяки їй) завдання набуло поширення під ім'ям «завдання Монті Холла».

Найбільш поширене формулювання цього завдання, опубліковане в 1990 році в журналі Parade Magazine, звучить так:

«Уявіть, що ви стали учасником гри, в якій вам потрібно вибрати одну з трьох дверей. За одними з дверей знаходиться автомобіль, за двома іншими дверима - кози. Ви вибираєте одну з дверей, наприклад, номер 1, після цього ведучий, який знає, де знаходиться автомобіль, а де - кози, відкриває одну з дверей, наприклад, номер 3, за якою знаходиться коза. Після цього він запитує вас, чи не бажаєте ви змінити свій вибір і вибрати двері номер 2. Чи збільшаться ваші шанси виграти автомобіль, якщо ви приймете пропозицію ведучого і зміните свій вибір?

Після публікації негайно з'ясувалося, що завдання сформульовано некоректно: не всі умови обумовлено. Наприклад, ведучий може дотримуватися стратегії «пекельний Монті»: пропонувати змінити вибір тоді і лише тоді, коли гравець першим ходом вибрав автомобіль. Очевидно, що зміна початкового вибору вестиме в такій ситуації гарантований програш.

Найбільш популярним є завдання з додатковою умовою - учаснику гри заздалегідь відомі такі правила:

автомобіль рівноймовірно розміщений за будь-який із 3 дверей;
ведучий у будь-якому випадку зобов'язаний відчинити двері з козою (але не ту, яку вибрав гравець) і запропонувати гравцеві змінити вибір;
якщо у ведучого є вибір, яку з двох дверей відчинити, він обирає будь-яку з них з однаковою ймовірністю.

Підказка

Рішення

Післямова

Завдання Монті Холла - це не перше з відомих формулювань цієї проблеми. Зокрема, в 1959 році Мартін Гарднер опублікував у журналі Scientific American аналогічне завдання «про трьох в'язнів» (Three Prisoners problem) з наступним формулюванням: «З трьох в'язнів одного повинні помилувати, а двох - стратити. В'язень A вмовляє стражника назвати йому ім'я того з двох інших, якого стратять (будь-якого, якщо стратять обох), після чого, отримавши ім'я B, вважає, що ймовірність його власного порятунку стала не 1/3, а 1/2. У той же час в'язень C стверджує, що ця ймовірність його порятунку стала 2/3, а для A нічого не змінилося. Хто з них правий?»

Однак і Гарднер був не першим, тому що ще в 1889 році у своєму «Обчисленні ймовірностей» французький математик Жозеф Бертран (не плутати з англійцем Бертраном Расселом!) пропонує схоже завдання (див. Bertrand's box paradox): «Є три ящики, у кожному з яких лежать дві монети: дві золотих у першому, дві срібних у другому, і дві різних - у третьому.З навмання обраної скриньки навмання витягли монету, яка виявилася золотою.

Якщо зрозуміти рішення всіх трьох завдань, легко помітити схожість їхніх ідей; математично ж їх об'єднує поняття умовної ймовірності, тобто ймовірності події A, якщо відомо, що подія B сталося. Найпростіший приклад: ймовірність того, що на звичайному гральному кубику випала одиниця, дорівнює 1/6; проте якщо відомо, що число, що випало - непарно, то ймовірність того, що це - одиниця, буде вже 1/3. Завдання Монті Холла, як і дві інші завдання, показують, що поводитися з умовними ймовірностями потрібно акуратно.

Ці завдання також нерідко називають парадоксами: парадокс Монті Холла, парадокс ящиків Бертрана (останній не слід плутати зі справжнім парадоксом Бертрана, наведеним у тій же книзі, який доводив неоднозначність існуючого на той момент поняття ймовірності) - що передбачає деяке протиріччя феномен Лжеца» фраза «це твердження - хибно» суперечить закону виключеного третього). В даному випадку, однак, жодної суперечності із суворими твердженнями немає. Натомість є явна суперечність із «громадською думкою» чи просто «очевидним вирішенням» завдання. Дійсно, більшість людей, дивлячись на завдання, вважають, що після відкриття одного з дверей ймовірність знаходження Приза за будь-яким із двох, що залишилися закритими, дорівнює 1/2. Тим самим вони стверджують, що немає різниці, чи погоджуватися чи не погоджуватися змінити своє рішення. Більше того, багато людей важко усвідомлюють відповідь, відмінну від цього, навіть після того, як їм було розказано докладне рішення.

Відповідь Монті Холла Стіву Селвіну

Пану Стіву Селвіну,
доценту біостатистики,
Каліфорнійський університет, Берклі.

Шановний Стів,

Дякую Вам за те, що надіслали мені завдання із «Американського статистика».

Хоча я й не вивчав статистику в університеті, я знаю, що цифри завжди можна використовувати на свою користь, якби я хотів ними маніпулювати. Ваші міркування не враховують однієї істотної обставини: після того, як перша скринька виявляється порожньою, учасник уже не може змінити свій вибір. Так що ймовірності залишаються тими самими: один із трьох, чи не так? Ну і, звичайно, після того, як одна з ящиків виявляється порожньою, шанси не стають 50 на 50, а залишаються тими ж - одна з трьох. Учаснику тільки здається, що, позбавившись однієї скриньки, він отримує більше шансів. Зовсім ні. Два до одного проти нього, як було, так і лишилося. І якщо Ви раптом прийдете до мене на шоу, правила залишаться тими самими і для Вас: жодної зміни ящиків після вибору.

Популярне в рубриці: