Властивості натуральних логарифмів формули. Властивості логарифмів та приклади їх рішень
Функція LN в Excel призначена для розрахунку натурального логарифмучисла та повертає відповідне числове значення. Натуральним логарифмом є логарифм із основою e (число Ейлера, що дорівнює приблизно 2,718).
Функція LOG в Excel використовується для розрахунку логарифму числа, при цьому основа логарифму може бути вказана явно як другий аргумент цієї функції.
Функція LOG10 Excel призначена для розрахунку логарифму числа з основою 10 (десятковий логарифм).
Приклади використання функцій LN, LOG та LOG10 в Excel
Археологи знайшли останки стародавньої тварини. Для визначення їхнього віку було вирішено скористатися методом радіовуглецевого аналізу. В результаті вимірів виявилося, що вміст радіоактивного ізотопу C 14 склало 17% кількості, яка зазвичай міститься в живих організмах. Розрахувати вік останків, якщо період напіврозпаду ізотопу вуглецю 14 становить 5760 років.
Вид вихідної таблиці:
Для вирішення використовуємо таку формулу:
Ця формула була отримана на основі формули x=t*(lgB-lgq)/lgp, де:
- q - кількість ізотопу вуглецю в початковий момент (у момент смерті тварини), виражене одиницею (або 100%);
- B – кількість ізотопу на момент проведення аналізу останків;
- t – період напіврозпаду ізотопу;
- p - числове значення, що вказує, у скільки разів змінюється кількість речовини (ізотопу вуглецю) за період t.
В результаті обчислень отримаємо:
Знайденим останкам майже 15 тис. років.
Депозитний калькулятор зі складним відсотком в Excel
Клієнт банку вніс депозит у сумі 50000 рублів із відсотковою ставкою 14,5% (складні відсотки). Визначити, скільки часу знадобиться на подвоєння вкладеної суми?
Цікавий факт! Для швидкого вирішення цієї задачі можна скористатися емпіричним способом приблизної оцінки термінів (років) на подвоєння інвестицій, вкладених під складний відсоток. Так зване правило 72 (або 70 чи правило 69). Для цього потрібно скористатися простою формулою – число 72 поділити на відсоткову ставку: 72/14,5 = 4,9655 років. Головний недолікправила "магічного" числа 72 полягає в похибці. Чим вища відсоткова ставка, тим вища похибка у правилі 72. Наприклад, при відсотковій ставці 100% річних похибка у роках досягає до 0,72 (а у відсотках це аж 28%!).
Для точного розрахунку термінів подвоєння інвестицій використовуватимемо функцію LOG. За одне та перевіримо величину похибки правила 72 при відсотковій ставці 14,5% річних.
Вид вихідної таблиці:
Для розрахунку майбутньої вартості інвестиції за відомої процентної ставки можна використовувати таку формулу: S=A(100%+n%) t , де:
- S – очікувана сума закінчення терміну;
- A – розмір депозиту;
- n - процентна ставка;
- t – термін зберігання депозитних коштів у банку.
Для цього прикладу цю формулу можна записати як 100000=50000*(100%+14,5%) t або 2=(100%+14,5%) t . Тоді знаходження t можна переписати рівняння як t=log (114,5%) 2 чи t=log 1,1452 .
Для знаходження значення t запишемо таку формулу складного відсотка за депозитом в Excel:
LOG(B4/B2;1+B3)
Опис аргументів:
- B4/B2 – співвідношення очікуваної та початкової сум, що є показником логарифму;
- 1+B3 – приріст відсотків (підстава логарифму).
В результаті розрахунків отримаємо:
Депозит подвоїться трохи більше ніж через 5 років. Для точного визначенняроків та місяців скористаємося формулою:
Функція ВІДБР відкидає в дробовому числі все що після коми подібно до функції ЦІЛОЕ. Різниця між функціями ВІДБР і ЦІЛЕ полягає лише у розрахунках з негативними дробовими числами. Крім того, ОТБР має другий аргумент де можна вказати кількість знаків, що залишаються після коми. Тому в даному випадкуможна скористатися будь-якою із цих двох функцій на вибір користувача.
Вийшло 5 років і 1 місяць та 12 днів. Тепер порівняємо точні результати з правилом 72 та визначимо величину похибки. Для цього прикладу формула, наступна:
Ми повинні помножити значення комірки B3 на 100, оскільки її поточне значення 0,145, яке відображається у процентному форматі. В результаті:
Після скопіюємо формулу з комірки B6 в комірку B8, а в комірці B9:
Порахуємо терміни похибки:
Потім у комірку B10 знову скопіюємо формулу з комірки B6. В результаті отримаємо різницю:
І нарешті порахуємо різницю у відсотках, щоб перевірити як змінюється розмір відхилення та наскільки суттєво впливає зростання відсоткової ставки на рівень розбіжності правила 72 та факту:
Тепер для наочності пропорційної залежності зростання похибки та зростання рівня процентної ставки підвищимо відсоткову ставку до 100% річних:
На перший погляд, різниця похибки не суттєва в порівнянні з 14,5% річних - всього близько двох місяців і 100% річних - в межах 3-х місяців. Але частка похибки у термінах окупності більш як ¼, а точніше 28%.
Складемо простий графік для візуального аналізу як корелюється залежність зміни відсоткової ставки та відсотка похибки правила 72 від факту:
Чим вище відсоткова ставка, тим гірше працює правило 72. У результаті можна зробити такий висновок: до 32,2% відсотків річних можна сміливо користуватися правилом 72. Тоді похибка становить менше 10 відсотків. Цілком зійде якщо не потрібні точні, але складні розрахунки щодо термінів окупності інвестицій у 2 рази.
Інвестиційний калькулятор складних відсотків із капіталізацією в Excel
Клієнту банку запропонували зробити внесок із безперервним зростанням підсумкової суми (капіталізація зі складними відсотками). Процентна ставка становить 13% річних. Визначити, скільки потрібно часу, щоб потроїти початкову суму (250 000 рублів). Наскільки необхідно збільшити відсоткову ставку, щоб зменшити час очікування вдвічі?
Примітка: так як ми в даному прикладітроїмо суму вкладень, то тут уже правило 72 не працює.
Вид вихідної таблиці даних:
Безперервне зростання може бути описане формулою ln(N)=p*t, де:
- N - Відношення кінцевої суми вкладу до початкової;
- p – процентна ставка;
- t - кількість років, що минули з моменту внесення депозиту.
Тоді t=ln(N)/p. Виходячи з цієї рівності, запишемо формулу в Excel:
Опис аргументів:
- B3/B2 – співвідношення кінцевої та початкової сум депозиту;
- B4 – відсоткова ставка.
На потроювання початкової суми вкладу потрібно майже 8,5 років. Для розрахунку ставки, яка дозволить скоротити час очікування вдвічі, використовуємо формулу:
LN(B3/B2)/(0,5*B5)
Отриманий результат:
Тобто необхідно подвоїти початкову відсоткову ставку.
Особливості використання функцій LN, LOG та LOG10 в Excel
Функція LN має наступний синтаксис:
LN(число)
- число – єдиний аргумент, що є обов'язковим для заповнення, який набуває дійсних чисел з діапазону позитивних значень.
Примітки:
- Функція LN є зворотною функцією EXP. Остання повертає значення, отримане внаслідок зведення числа e у вказаний ступінь. Функція LN вказує, на яку міру необхідно звести число e (підстава), щоб отримати показник логарифму (аргумент число).
- Якщо аргумент число задано числом із діапазону негативних значень або нулем, результатом виконання функції LN буде код помилки #ЧИСЛО!.
Синтаксис функції LOG має такий вигляд:
LOG(число ;[основа])
Опис аргументів:
- число - обов'язковий для заповнення аргумент, що характеризує числове значення показника логарифму, тобто число, отримане в результаті зведення основи логарифму в певний ступінь, яка буде обчислена функцією LOG;
- [підстава] – необов'язковий для заповнення аргумент, що характеризує числове значення основи логарифму. Якщо аргумент явно не вказаний, логарифм вважається десятковим (тобто підстава дорівнює 10).
Примітки:
- Незважаючи на те, що результат обчислення функції LOG може бути негативним числом (наприклад, функція = LOG (2; 0,25) поверне значення -0,5), аргументи цієї функції мають бути взяті з діапазону позитивних значень. Якщо хоча б один із аргументів є негативним числом, функція LOGповерне код помилки #ЧИСЛО!
- Якщо в якості аргументу [основа] було передано значення 1, функція LOG поверне код помилки #ДЕЛ/0!, оскільки результат зведення 1 будь-який ступінь завжди буде однаковим і рівним 1.
Функція LOG10 має наступний синтаксичний запис:
LOG10 (число)
- число – єдиний і обов'язковий заповнення аргумент, зміст якого тотожний однойменному аргументу функцій LN і LOG.
Примітка: якщо в якості аргументу число передано від'ємне число або 0, функція LOG10 поверне код помилки #ЧИСЛО!.
Логарифмом числа b на підставі а називається показник ступеня, який потрібно звести число а щоб отримати число b.
Якщо то .
Логарифм - вкрай важлива математична величина, оскільки логарифмічне обчислення дозволяє не лише вирішувати показові рівняння, а й оперувати з показниками, диференціювати показові та логарифмічні функції, інтегрувати їх і призводити до більш прийнятного виду, що підлягає розрахунку.
Вконтакте
Усі властивості логарифмів пов'язані безпосередньо з властивостями показових функцій. Наприклад, той факт, що 
означає, що:
Слід зауважити, що при вирішенні конкретних завдань властивості логарифмів можуть виявитися більш важливими і корисними, ніж правила роботи зі ступенями.
Наведемо деякі тотожності:
Наведемо основні вирази алгебри:
;
.
Увага!може існувати тільки за x>0, x≠1, y>0.
Намагатимемося розібратися з питанням, що таке натуральні логарифми. Окремий інтерес у математиці представляють два види— перший має в основі число «10», і зветься «десятковий логарифм». Другий називається натуральним. Основа натурального логарифму - число "е". Саме про нього ми і детально говоритимемо в цій статті.
Позначення:
- lg x - десятковий;
- ln x - натуральний.
Використовуючи тотожність, можна побачити, що ln e = 1, як і те, що lg 10=1.
Графік натурального логарифму
Побудуємо графік натурального логарифму стандартним класичним способом за точками. За бажання, перевірити, чи правильно ми будуємо функцію, можна за допомогою дослідження функції. Однак, є сенс навчитися будувати його «вручну», щоб знати, як правильно порахувати логарифм.
Функція: y = ln x. Запишемо таблицю точок, якими пройде графік:
Пояснимо, чому ми вибрали саме такі значення аргументу х. Вся річ у тотожності: . Для натурального логарифму ця тотожність виглядатиме таким чином:
Для зручності ми можемо взяти п'ять опорних точок:
;
;
.
;
.
Таким чином, підрахунок натуральних логарифмів - досить нескладне заняття, більше того, він спрощує підрахунки операцій зі ступенями, перетворюючи їх на звичайне множення.
Побудувавши за точками графік, отримуємо приблизний графік:
Область визначення натурального логарифму (тобто всі допустимі значення аргументу Х) — усі числа більші за нуль.
Увага!До області визначення натурального логарифму входять тільки позитивні числа! До області визначення не входить х=0. Це неможливо виходячи з умов існування логарифму.
Область значень (тобто усі допустимі значення функції y = ln x) — усі числа в інтервалі .
Межа натурального log
Вивчаючи графік, виникає питання - як поводиться функція при y<0.
Очевидно, що графік функції прагне перетнути вісь, але не зможе цього зробити, оскільки натуральний логарифм при х<0 не существует.
Межа натуральної logможна записати таким чином:
Формула заміни основи логарифму
Мати справу з натуральним логарифмом набагато простіше, ніж з логарифмом, що має довільну основу. Саме тому спробуємо навчитися приводити будь-який логарифм до натурального, або висловлювати його по довільній основі через натуральні логарифми.
Почнемо з логарифмічної тотожності:
Тоді будь-яке число, або змінну можна представити у вигляді:
де х - будь-яке число (позитивне згідно з властивостями логарифму).
Даний вираз можна прологарифмувати з обох боків. Зробимо це за допомогою довільної основи z:
Скористаємося властивістю (тільки замість «с» у нас вираз):
Звідси отримуємо універсальну формулу:
.
Зокрема, якщо z=e, тоді:
.
Нам вдалося уявити логарифм з довільної основи через відношення двох натуральних логарифмів.
Вирішуємо завдання
Щоб краще орієнтуватися в натуральних логарифмах, розглянемо приклади кількох завдань.
Завдання 1. Необхідно розв'язати рівняння ln x = 3.
Рішення:Використовуючи визначення логарифму: якщо , то отримуємо:
Завдання 2. Розв'яжіть рівняння (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.
Рішення: Використовуючи визначення логарифму: якщо , то отримуємо:
.
Ще раз застосуємо визначення логарифму:
.
Таким чином:
.
Можна приблизно обчислити відповідь, а можна залишити її і в такому вигляді.
Завдання 3.Розв'яжіть рівняння.
Рішення:Зробимо підстановку: t = ln x. Тоді рівняння набуде наступного вигляду:
.
Перед нами квадратне рівняння. Знайдемо його дискримінант:
Перший корінь рівняння:
.
Другий корінь рівняння:
.
Згадуючи про те, що ми робили підстановку t = ln x, отримуємо:
У статистиці та теорії ймовірності логарифмічні величини зустрічаються дуже часто. Це не дивно, адже число е — найчастіше відображає темпи зростання експоненційних величин.
В інформатиці, програмуванні та теорії обчислювальних машин, логарифми зустрічаються досить часто, наприклад, щоб зберегти в пам'яті N знадобиться бітів.
У теоріях фракталів та розмірності логарифми використовуються постійно, оскільки розмірності фракталів визначаються тільки за їх допомогою.
У механіці та фізицінемає такого розділу, де не використовувалися логарифми. Барометричний розподіл, усі принципи статистичної термодинаміки, рівняння Ціолковського та інше — процеси, які математично можна описати лише за допомогою логарифмування.
У хімії логарифмування використовують у рівняннях Нернста, описи окислювально-відновних процесів.
Вражаюче, але навіть у музиці, з метою дізнатися кількість частин октави, використовують логарифми.
Натуральний логарифм Функція y=ln x її властивості
Доказ основної властивості натурального логарифму
Урок та презентація на теми: "Натуральні логарифми. Заснування натурального логарифму. Логарифм натурального числа"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Інтерактивний посібник для 9–11 класів "Тригонометрія"
Інтерактивний посібник для 10–11 класів "Логарифми"
Що таке натуральний логарифм
Хлопці, на минулому уроці ми з вами довідалися про нове, особливе число – е. Сьогодні ми продовжимо працювати з цим числом.Ми з вами вивчили логарифми і знаємо, що в основі логарифму може стояти безліч чисел, які більше 0. Сьогодні ми також розглянемо логарифм, в основі якого стоїть число е. Такий логарифм називається натуральним логарифмом. Він має власний запис: $\ln(n)$ - натуральний логарифм. Такий запис еквівалентний запису: $ \ log_e (n) = \ ln (n) $.
Показові та логарифмічні функції є зворотними, тоді натуральний логарифм є зворотною для функції: $y=e^x$.
Зворотні функції є симетричними щодо прямої $ y = x $.
Давайте збудуємо графік натурального логарифму, відобразивши експоненційну функцію щодо прямої $y=x$.
Варто помітити кут нахилу щодо графіку функції $y=e^x$ у точці (0;1) дорівнює 45°. Тоді кут нахилу дотичної до графіка натурального логарифму в точці (1;0) також дорівнюватиме 45°. Обидві ці дотичні будуть паралельні прямій $y=x$. Давайте схематично зобразимо дотичні: 
Властивості функції $y=\ln(x)$
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Не є ні парною, ні непарною.
3. Зростає по всій області визначення.
4. Не обмежена згори, не обмежена знизу.
5. Найбільше значення немає, найменшого значення немає.
6. Безперервна.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Випукла вгору.
9. Диференційована всюди.
У курсі вищої математики доведено, що похідна зворотної функції є величина, обернена до похідної цієї функції.
Заглиблюватися в доказ не має великого сенсу, просто запишемо формулу: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
приклад.
Обчислити значення похідної функції: $y=\ln(2x-7)$ у точці $х=4$.
Рішення.
У загальному вигляді наша функція є функцією $y=f(kx+m)$, похідні таких функцій ми вміємо обчислювати.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Обчислимо значення похідної у потрібній точці: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Відповідь: 2.
приклад.
Провести дотичну до графіку функції $y=ln(x)$ у точці $х=е$.
Рішення.
Рівняння щодо графіку функції, у точці $х=а$, добре пам'ятаємо.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Послідовно обчислимо необхідні значення.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$ y = 1 + frac (1) (e) (x-e) = 1 + frac (x) (e) - frac (e) (e) = frac (x) (e) $.
Рівняння дотичної у точці $х=е$ є функцією $y=\frac(x)(e)$.
Давайте побудуємо графік натурального логарифму та дотичної. 
приклад.
Дослідити функцію на монотонність та екстремуми: $y=x^6-6*ln(x)$.
Рішення.
Область визначення функції $D(y)=(0;+∞)$.
Знайдемо похідну заданої функції:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Похідна існує при всіх х з області визначення, тоді критичних точок немає. Знайдемо стаціонарні точки:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$ \ frac (6 * x ^ 6-6) (x) = 0 $.
$ 6 * x ^ 6-6 = 0 $.
$ x ^ 6-1 = 0 $.
$x^6=1$.
$ x = ± 1 $.
Точка $х=-1$ не належить області визначення. Тоді маємо одну стаціонарну точку $х=1$. Знайдемо проміжки зростання та спадання: 
Точка $х=1$ – точка мінімуму, тоді $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Відповідь: Функція зменшується на відрізку (0;1], функція зростає на промені $ (\displaystyle ). Простота цього визначення, яке узгоджується з багатьма іншими формулами, в яких застосовується цей логарифм, пояснює походження назви "натуральний".
Якщо розглядати натуральний логарифм як дійсну функцію дійсної змінної, то вона є зворотною функцією до експоненційної функції, що призводить до тотожностей:
e ln a = a (a > 0); (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)Подібно до всіх логарифмів, натуральний логарифм відображає множення до складу:
ln x y = ln x + ln y. (\displaystyle \ln xy=\n x+\ln y.)Це може бути, наприклад, калькулятор із базового набору програм операційної системи Windows. Посилання на його запуск заховано досить у головне меню ОС - розкрийте його клацанням по кнопці «Пуск», потім відкрийте його розділ «Програми», перейдіть в підрозділ «Стандартні», а потім у секцію «Службові» і нарешті клацніть пункт «Калькулятор» ». Можна замість миші та переміщень по меню використовувати клавіатуру та діалог запуску програм - натисніть поєднання клавіш WIN + R, наберіть calc (це ім'я файлу калькулятора, що виконується) і натисніть клавішу Enter.
Переключіть інтерфейс калькулятора на розширений режим, який дозволяє здійснювати . За замовчуванням він відкривається у «звичайному» вигляді, а вам потрібен «інженерний» або «» (залежно від версії ОС). Розкрийте в меню розділ «Вид» та виберіть відповідний рядок.
Введіть аргумент, натуральний, якого потрібно обчислити. Це можна зробити як із клавіатури, так і клацаючи мишкою відповідні кнопки в інтерфейсі калькулятора на екрані.
Клацніть кнопку з написом ln - програма розрахує логарифма на основі e і покаже результат.
Скористайтеся будь-яким із -калькуляторів як альтернативне обчислення значення натурального логарифму. Наприклад, тим, що розміщено за адресою http://calc.org.ua. Його інтерфейс гранично простий - є єдине поле введення, куди вам треба надрукувати значення числа, логарифм від якого треба обчислити. Серед кнопок знайдіть та клацніть ту, на якій написано ln. Скрипт цього калькулятора не вимагає надсилання даних на сервер та відповіді, тому результат обчислення ви отримаєте практично миттєво. Єдина особливість, яку слід враховувати - роздільником між дробовою і цілою частиною числа обов'язково повинна бути точка, а не .
Термін « логарифм» походить від двох грецьких слів, одне з яких означає «число», а інше - «ставлення». Їм позначають математичну операцію обчислення змінної величини (показника ступеня), у яку треба звести постійне значення (основа), щоб отримати число, вказане під знаком логарифма. Якщо основа дорівнює математичній константі, яка називається числом "e", то логарифмназивають «натуральним».
Вам знадобиться
- Доступ до Інтернету, Microsoft Office Excel або калькулятор.
Інструкція
Скористайтеся у багатьох представлених в інтернеті -калькуляторах - це, мабуть, і простий спосіб обчислення натурального а. Пошуком відповідного сервісу вам займатися не доведеться, оскільки багато пошукових систем і самі мають вбудовані калькулятори, цілком придатні для роботи з логарифмамі. Наприклад, перейдіть на головну сторінку найбільшої мережевої пошукової системи - Google. Жодних кнопок для введення значень та вибору функцій тут не потрібно, просто наберіть у полі введення запиту потрібну математичну дію. Скажімо, для обчислення логарифма числа 457 на основі "e" введіть ln 457 - цього буде цілком достатньо, щоб Google відобразив з точністю до восьми знаків після коми (6,12468339) навіть без натискання кнопки відправки запиту на сервер.
Використовуйте відповідну вбудовану функцію, якщо необхідно обчислити значення натурального логарифма виникає під час роботи з даними у популярному табличному редакторі Microsoft Office Excel. Ця функція тут викликається з використанням загальноприйнятого позначення такого логарифма у верхньому регістрі – LN. Виділіть комірку, в якій має бути відображено результат обчислення, і введіть знак рівності - так у цьому табличному редакторі повинні починатися записи в комірках, що містять у розділі "Стандартні" розділу "Всі програми" головного меню. Перемкніть калькулятор у більш функціональний режим, натиснувши клавіші Alt + 2. Потім введіть значення, натуральний логарифмякого потрібно обчислити, та клацніть в інтерфейсі програми кнопку, позначену символами ln. Додаток здійснить обчислення та відобразить результат.
Відео на тему
