Lineare Ungleichungen. Systeme linearer Ungleichungen

siehe auch Ein lineares Programmierproblem grafisch lösen, Kanonische Form linearer Programmierprobleme

Das System der Beschränkungen für ein solches Problem besteht aus Ungleichungen in zwei Variablen:
und die Zielfunktion hat die Form F = C 1 X + C 2 j was maximiert werden muss.

Beantworten wir die Frage: Welche Zahlenpaare ( X; j) sind Lösungen für das System der Ungleichungen, d. h. erfüllen sie jede der Ungleichungen gleichzeitig? Mit anderen Worten: Was bedeutet es, ein System grafisch zu lösen?
Zuerst müssen Sie verstehen, was die Lösung für eine lineare Ungleichung mit zwei Unbekannten ist.
Eine lineare Ungleichung mit zwei Unbekannten zu lösen bedeutet, alle Paare unbekannter Werte zu bestimmen, für die die Ungleichung gilt.
Zum Beispiel Ungleichung 3 X – 5j≥ 42 erfüllen Paare ( X , j) : (100, 2); (3, –10) usw. Die Aufgabe besteht darin, alle solchen Paare zu finden.
Betrachten wir zwei Ungleichungen: Axt + von≤ C, Axt + von≥ C. Gerade Axt + von = C teilt die Ebene in zwei Halbebenen, sodass die Koordinaten der Punkte einer von ihnen die Ungleichung erfüllen Axt + von >C und die andere Ungleichung Axt + +von <C.
Nehmen wir tatsächlich einen Punkt mit Koordinaten X = X 0 ; dann ein Punkt, der auf einer Geraden liegt und eine Abszisse hat X 0, hat eine Ordinate

Lassen Sie es zur Gewissheit kommen A< 0, B>0, C>0. Alle Punkte mit Abszisse X 0 oben liegend P(zum Beispiel Punkt M), haben y M>j 0 und alle Punkte unterhalb des Punktes P, mit Abszisse X 0 , haben y N<j 0 . Weil das X 0 ist ein beliebiger Punkt, dann wird es immer Punkte auf einer Seite der Linie geben, für die Axt+ von > C, eine Halbebene bildend, und auf der anderen Seite - Punkte für die Axt + von< C.

Bild 1

Das Ungleichheitszeichen in der Halbebene hängt von den Zahlen ab A, B , C.
Dies impliziert die folgende Methode zur grafischen Lösung von Systemen linearer Ungleichungen in zwei Variablen. Um das System zu lösen, benötigen Sie:

1. Schreiben Sie für jede Ungleichung die dieser Ungleichung entsprechende Gleichung.
2. Konstruieren Sie gerade Linien, die Graphen von durch Gleichungen angegebenen Funktionen sind.
3. Bestimmen Sie für jede Gerade die Halbebene, die durch die Ungleichung gegeben ist. Nehmen Sie dazu einen beliebigen Punkt, der nicht auf einer Geraden liegt, und setzen Sie seine Koordinaten in die Ungleichung ein. Wenn die Ungleichung wahr ist, ist die Halbebene, die den gewählten Punkt enthält, die Lösung der ursprünglichen Ungleichung. Wenn die Ungleichung falsch ist, dann ist die Halbebene auf der anderen Seite der Linie die Lösungsmenge dieser Ungleichung.
4. Um ein System von Ungleichungen zu lösen, ist es notwendig, die Schnittfläche aller Halbebenen zu finden, die die Lösung für jede Ungleichung des Systems darstellen.

Dieser Bereich kann sich als leer erweisen, dann hat das Ungleichungssystem keine Lösungen und ist inkonsistent. Ansonsten gilt das System als konsistent.
Es kann eine endliche Anzahl oder unendlich viele Lösungen geben. Die Fläche kann ein geschlossenes Polygon oder unbegrenzt sein.

Schauen wir uns drei relevante Beispiele an.

Beispiel 1. Lösen Sie das System grafisch:
X + j – 1 ≤ 0;
–2X - 2j + 5 ≤ 0.

• Betrachten Sie die Gleichungen x+y–1=0 und –2x–2y+5=0, die den Ungleichungen entsprechen;
• Konstruieren wir gerade Linien, die durch diese Gleichungen gegeben sind.

Figur 2

Definieren wir die durch die Ungleichungen definierten Halbebenen. Nehmen wir einen beliebigen Punkt, sei (0; 0). Lassen Sie uns überlegen X+ y– 1 0, ersetzen Sie den Punkt (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Das bedeutet, dass in der Halbebene, in der der Punkt (0; 0) liegt, X + j – 1 ≤ 0, d.h. die unter der Geraden liegende Halbebene ist eine Lösung der ersten Ungleichung. Wenn wir diesen Punkt (0; 0) in den zweiten einsetzen, erhalten wir: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, d.h. in der Halbebene, in der der Punkt (0; 0) liegt, –2 X – 2j+ 5≥ 0, und wir wurden gefragt, wo –2 X – 2j+ 5 ≤ 0 also in der anderen Halbebene – in der über der Geraden.
Finden wir den Schnittpunkt dieser beiden Halbebenen. Die Geraden sind parallel, die Ebenen schneiden sich also nirgendwo, was bedeutet, dass das System dieser Ungleichungen keine Lösungen hat und inkonsistent ist.

Beispiel 2. Finden Sie grafisch Lösungen für das Ungleichungssystem:

Figur 3
1. Schreiben wir die Gleichungen auf, die den Ungleichungen entsprechen, und konstruieren wir Geraden.
X + 2j– 2 = 0

X	2	0
j	0	1

j – X – 1 = 0

X	0	2
j	1	3

j + 2 = 0;
j = –2.
2. Nachdem wir den Punkt (0; 0) gewählt haben, bestimmen wir die Vorzeichen der Ungleichungen in den Halbebenen:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, d.h. X + 2j– 2 ≤ 0 in der Halbebene unterhalb der Geraden;
0 – 0 – 1 ≤ 0, d.h. j –X– 1 ≤ 0 in der Halbebene unterhalb der Geraden;
0 + 2 =2 ≥ 0, d.h. j+ 2 ≥ 0 in der Halbebene über der Geraden.
3. Der Schnittpunkt dieser drei Halbebenen ergibt eine Fläche, die einem Dreieck entspricht. Es ist nicht schwierig, die Eckpunkte der Region als Schnittpunkte der entsprechenden Linien zu finden


Auf diese Weise, A(–3; –2), IN(0; 1), MIT(6; –2).

Betrachten wir ein weiteres Beispiel, bei dem der resultierende Lösungsbereich des Systems nicht eingeschränkt ist.

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Es gibt nur „X“ und nur die Abszissenachse, nun kommen aber „Y“ hinzu und das Wirkungsfeld erweitert sich auf die gesamte Koordinatenebene. Weiter unten im Text wird der Ausdruck „lineare Ungleichung“ in einem zweidimensionalen Sinne verstanden, was in Sekundenschnelle klar wird.

Neben der analytischen Geometrie ist der Stoff für eine Reihe von Problemen der mathematischen Analyse sowie der ökonomischen und mathematischen Modellierung relevant, daher empfehle ich das Studium dieser Vorlesung mit aller Ernsthaftigkeit.

Lineare Ungleichungen

Es gibt zwei Arten linearer Ungleichungen:

1) Strikt Ungleichungen: .

2) Lax Ungleichungen: .

Welche geometrische Bedeutung haben diese Ungleichungen? Wenn eine lineare Gleichung eine Linie definiert, dann definiert eine lineare Ungleichung Halbebene.

Um die folgenden Informationen zu verstehen, müssen Sie die Arten von Linien auf einer Ebene kennen und in der Lage sein, gerade Linien zu konstruieren. Wenn Sie in diesem Teil auf Schwierigkeiten stoßen, lesen Sie die Hilfe Graphen und Eigenschaften von Funktionen– Absatz über lineare Funktion.

Beginnen wir mit den einfachsten linearen Ungleichungen. Der Traum eines jeden armen Schülers ist eine Koordinatenebene, auf der es nichts gibt:

Wie Sie wissen, ist die x-Achse durch die Gleichung gegeben: „y“ ist immer (für jeden Wert von „x“) gleich Null

Betrachten wir die Ungleichheit. Wie ist es informell zu verstehen? „Y“ ist immer (für jeden Wert von „x“) positiv. Offensichtlich definiert diese Ungleichung die obere Halbebene – schließlich liegen dort alle Punkte mit positiven „Spielen“.

Für den Fall, dass die Ungleichung nicht streng ist, zur oberen Halbebene zusätzlich die Achse selbst wird hinzugefügt.

Ähnlich: Die Ungleichung wird von allen Punkten der unteren Halbebene erfüllt; eine nicht strikte Ungleichung entspricht der unteren Halbebene + Achse.

Die gleiche prosaische Geschichte gilt für die y-Achse:

– die Ungleichung gibt die rechte Halbebene an;
– die Ungleichung gibt die rechte Halbebene einschließlich der Ordinatenachse an;
– die Ungleichung gibt die linke Halbebene an;
– Die Ungleichung gibt die linke Halbebene einschließlich der Ordinatenachse an.

Im zweiten Schritt betrachten wir Ungleichungen, bei denen eine der Variablen fehlt.

Fehlendes „Y“:

Oder es gibt kein „x“:

Mit diesen Ungleichheiten kann auf zwei Arten umgegangen werden: Bitte berücksichtigen Sie beide Ansätze. Erinnern wir uns nebenbei an schulische Maßnahmen mit Ungleichheiten, die bereits im Unterricht besprochen wurden, und festigen wir sie Funktionsdomäne.

Beispiel 1

Lineare Ungleichungen lösen:

Was bedeutet es, eine lineare Ungleichung zu lösen?

Um eine lineare Ungleichung zu lösen, muss man eine Halbebene finden, deren Punkte diese Ungleichung erfüllen (plus die Gerade selbst, wenn die Ungleichung nicht streng ist). Lösung, allgemein, Grafik.

Es ist bequemer, die Zeichnung sofort auszuführen und dann alles auskommentieren:

a) Lösen Sie die Ungleichung

Methode eins

Die Methode erinnert stark an die Geschichte mit Koordinatenachsen, die wir oben besprochen haben. Die Idee besteht darin, die Ungleichung zu transformieren – eine Variable auf der linken Seite ohne Konstanten zu belassen, in diesem Fall die Variable „x“.

Regel: Bei einer Ungleichung werden die Terme mit einem Vorzeichenwechsel von Teil zu Teil übertragen, während das Vorzeichen der Ungleichung SELBST ändert sich nicht(Wenn es beispielsweise ein „Kleiner als“-Zeichen gab, bleibt es „Kleiner als“).

Wir verschieben die „Fünf“ mit einem Vorzeichenwechsel auf die rechte Seite:

Regel POSITIV ändert sich nicht.

Zeichnen Sie nun eine gerade Linie (blaue gepunktete Linie). Aufgrund der Ungleichung wird die Gerade als gepunktete Linie gezeichnet strikt, und Punkte, die zu dieser Linie gehören, werden sicherlich nicht in die Lösung einbezogen.

Was bedeutet Ungleichheit? „X“ ist immer (für jeden Wert von „Y“) kleiner als . Offensichtlich wird diese Aussage von allen Punkten der linken Halbebene erfüllt. Diese Halbebene kann grundsätzlich schattiert werden, ich beschränke mich jedoch auf kleine blaue Pfeile, um die Zeichnung nicht in eine künstlerische Palette zu verwandeln.

Methode zwei

Dies ist eine universelle Methode. SEHR SORGFÄLTIG LESEN!

Zuerst zeichnen wir eine gerade Linie. Aus Gründen der Übersichtlichkeit empfiehlt es sich übrigens, die Gleichung in der Form darzustellen.

Wählen Sie nun einen beliebigen Punkt auf der Ebene aus. gehört nicht zu direkt. In den meisten Fällen ist es natürlich der Sweet Spot. Setzen wir die Koordinaten dieses Punktes in die Ungleichung ein:

Erhalten falsche Ungleichheit(in einfachen Worten, das kann nicht sein), das bedeutet, dass der Punkt die Ungleichung nicht erfüllt.

Die Schlüsselregel unserer Aufgabe:
befriedigt nicht Ungleichheit also ALLE Punkte einer gegebenen Halbebene nicht befriedigen diese Ungleichheit.
– Wenn ein beliebiger Punkt der Halbebene (nicht zu einer Geraden gehörend) befriedigt Ungleichheit also ALLE Punkte einer gegebenen Halbebene erfüllen diese Ungleichheit.

Sie können testen: Kein Punkt rechts von der Linie erfüllt die Ungleichung.

Was ist die Schlussfolgerung aus dem Experiment mit dem Punkt? Es gibt keinen Weg dorthin, die Ungleichung wird durch alle Punkte der anderen - linken Halbebene erfüllt (Sie können dies auch überprüfen).

b) Lösen Sie die Ungleichung

Methode eins

Lassen Sie uns die Ungleichung transformieren:

Regel: Beide Seiten der Ungleichung können mit multipliziert (dividiert) werden NEGATIV Zahl, mit dem Ungleichheitszeichen ÄNDERN ins Gegenteil (wenn es beispielsweise ein „größer als oder gleich“-Zeichen gab, wird es zu „kleiner als oder gleich“).

Wir multiplizieren beide Seiten der Ungleichung mit:

Zeichnen wir eine gerade Linie (rot) und eine durchgezogene Linie, da wir Ungleichheit haben nicht streng, und die Gerade gehört offensichtlich zur Lösung.

Nachdem wir die resultierende Ungleichung analysiert haben, kommen wir zu dem Schluss, dass ihre Lösung die untere Halbebene (+ die Gerade selbst) ist.

Wir schattieren oder markieren die entsprechende Halbebene mit Pfeilen.

Methode zwei

Zeichnen wir eine gerade Linie. Wählen wir zum Beispiel einen beliebigen Punkt auf der Ebene (der nicht zu einer Linie gehört) und setzen seine Koordinaten in unsere Ungleichung ein:

Erhalten wahre Ungleichheit, was bedeutet, dass der Punkt die Ungleichung erfüllt und im Allgemeinen ALLE Punkte der unteren Halbebene diese Ungleichung erfüllen.

Hier „treffen“ wir mit dem Versuchspunkt die gewünschte Halbebene.

Die Lösung des Problems wird durch eine rote Linie und rote Pfeile angezeigt.

Persönlich bevorzuge ich die erste Lösung, da die zweite formeller ist.

Beispiel 2

Lineare Ungleichungen lösen:

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Versuchen Sie, das Problem auf zwei Arten zu lösen (dies ist übrigens eine gute Möglichkeit, die Lösung zu überprüfen). Die Antwort am Ende der Lektion enthält nur die endgültige Zeichnung.

Ich denke, dass Sie nach all den Aktionen, die in den Beispielen ausgeführt wurden, sie heiraten müssen; es wird nicht schwierig sein, die einfachste Ungleichung wie usw. zu lösen.

Betrachten wir nun den dritten, allgemeinen Fall, bei dem beide Variablen in der Ungleichung vorhanden sind:

Alternativ kann der freie Term „ce“ Null sein.

Beispiel 3

Finden Sie Halbebenen, die den folgenden Ungleichungen entsprechen:

Lösung: Hier wird die universelle Lösungsmethode mit Punktsubstitution verwendet.

a) Stellen wir eine Gleichung für die gerade Linie auf, und die Linie sollte als gepunktete Linie gezeichnet werden, da die Ungleichung streng ist und die gerade Linie selbst nicht in die Lösung einbezogen wird.

Wir wählen beispielsweise einen experimentellen Punkt der Ebene aus, der nicht zu einer bestimmten Linie gehört, und setzen seine Koordinaten in unsere Ungleichung ein:

Erhalten falsche Ungleichheit, was bedeutet, dass der Punkt und ALLE Punkte einer gegebenen Halbebene die Ungleichung nicht erfüllen. Die Lösung der Ungleichung wird eine weitere Halbebene sein, wir bewundern den blauen Blitz:

b) Lösen wir die Ungleichung. Konstruieren wir zunächst eine gerade Linie. Das ist nicht schwer; wir haben die kanonische direkte Proportionalität. Wir ziehen die Linie kontinuierlich, da die Ungleichung nicht streng ist.

Wählen wir einen beliebigen Punkt der Ebene, der nicht zur Geraden gehört. Ich würde den Ursprung gerne wieder verwenden, aber leider ist er jetzt nicht geeignet. Daher müssen Sie mit einem anderen Freund zusammenarbeiten. Es ist vorteilhafter, einen Punkt mit kleinen Koordinatenwerten zu nehmen, zum Beispiel . Setzen wir seine Koordinaten in unsere Ungleichung ein:

Erhalten wahre Ungleichheit, was bedeutet, dass der Punkt und alle Punkte einer gegebenen Halbebene die Ungleichung erfüllen. Die gewünschte Halbebene ist mit roten Pfeilen markiert. Darüber hinaus umfasst die Lösung die Gerade selbst.

Beispiel 4

Finden Sie Halbebenen, die den Ungleichungen entsprechen:

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung, ein ungefähres Muster des endgültigen Entwurfs und die Antwort am Ende der Lektion.

Schauen wir uns das umgekehrte Problem an:

Beispiel 5

a) Gegeben sei eine Gerade. Definieren die Halbebene, in der sich der Punkt befindet, während die Gerade selbst in die Lösung einbezogen werden muss.

b) Gegeben sei eine Gerade. Definieren Halbebene, in der sich der Punkt befindet. Die Gerade selbst ist nicht in der Lösung enthalten.

Lösung: Hier ist keine Zeichnung erforderlich und die Lösung wird analytisch sein. Nichts Schwieriges:

a) Lassen Sie uns ein Hilfspolynom zusammenstellen und seinen Wert an der Stelle berechnen:
. Somit hat die gewünschte Ungleichung ein „Kleiner als“-Zeichen. Aufgrund der Bedingung geht die Gerade in die Lösung ein, sodass die Ungleichung nicht streng ist:

b) Lassen Sie uns ein Polynom zusammenstellen und seinen Wert am Punkt berechnen:
. Somit hat die gewünschte Ungleichung ein „Größer als“-Zeichen. Aufgrund der Bedingung ist die Gerade nicht in der Lösung enthalten, daher ist die Ungleichung streng: .

Antwort:

Kreatives Beispiel zum Selbststudium:

Beispiel 6

Gegebene Punkte und eine gerade Linie. Finden Sie unter den aufgelisteten Punkten diejenigen, die zusammen mit dem Koordinatenursprung auf derselben Seite der angegebenen Linie liegen.

Kleiner Hinweis: Zuerst müssen Sie eine Ungleichung erstellen, die die Halbebene bestimmt, in der der Koordinatenursprung liegt. Analytische Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Systeme linearer Ungleichungen

Ein System linearer Ungleichungen ist, wie Sie verstehen, ein System, das aus mehreren Ungleichungen besteht. Lol, nun ja, ich habe die Definition verraten =) Ein Igel ist ein Igel, ein Messer ist ein Messer. Aber es stimmt – es ist einfach und zugänglich geworden! Nein, im Ernst, ich möchte keine allgemeinen Beispiele nennen, also kommen wir gleich zu den drängenden Fragen:

Was bedeutet es, ein System linearer Ungleichungen zu lösen?

Lösen Sie ein System linearer Ungleichungen- das heisst Finden Sie die Menge der Punkte auf der Ebene, die befriedigen zu jedem Ungleichheit des Systems.

Betrachten Sie als einfachste Beispiele die Ungleichungssysteme, die die Koordinatenviertel eines rechteckigen Koordinatensystems bestimmen („Das Bild der armen Schüler“ steht ganz am Anfang der Lektion):

Das Ungleichungssystem definiert das erste Koordinatenviertel (oben rechts). Koordinaten eines beliebigen Punktes im ersten Viertel, zum Beispiel usw. erfüllen zu jedem Ungleichheit dieses Systems.

Ebenfalls:
– das Ungleichungssystem gibt das zweite Koordinatenviertel an (oben links);
– das Ungleichungssystem definiert das dritte Koordinatenviertel (unten links);
– Das Ungleichungssystem definiert das vierte Koordinatenviertel (unten rechts).

Ein System linearer Ungleichungen kann keine Lösungen haben, das heißt, sein nicht gelenkig. Wieder das einfachste Beispiel: . Es liegt auf der Hand, dass „x“ nicht gleichzeitig mehr als drei und weniger als zwei sein kann.

Die Lösung des Ungleichungssystems kann eine Gerade sein, zum Beispiel: . Ein Schwan, ein Krebs, ohne Hecht, der den Karren in zwei verschiedene Richtungen zieht. Ja, es ist immer noch so – die Lösung für dieses System ist die gerade Linie.

Der häufigste Fall ist jedoch, dass die Lösung für das System einige ist Ebene Bereich. Lösungsbereich kann sein nicht limitiert(z. B. Koordinatenquartiere) oder begrenzt. Der begrenzte Lösungsbereich heißt Polygonlösungssystem.

Beispiel 7

Lösen Sie ein System linearer Ungleichungen

In der Praxis haben wir es in den meisten Fällen mit schwachen Ungleichungen zu tun, sodass diese für den Rest der Lektion die Reigentänze bestimmen werden.

Lösung: Die Tatsache, dass es zu viele Ungleichheiten gibt, sollte nicht beängstigend sein. Wie viele Ungleichheiten kann es im System geben? Ja, so viel Sie möchten. Die Hauptsache besteht darin, einen rationalen Algorithmus zur Konstruktion eines Lösungsbereichs einzuhalten:

1) Zunächst beschäftigen wir uns mit den einfachsten Ungleichungen. Die Ungleichungen definieren das erste Koordinatenviertel, einschließlich der Grenze der Koordinatenachsen. Es ist schon viel einfacher, da der Suchbereich deutlich eingegrenzt wurde. In der Zeichnung markieren wir sofort die entsprechenden Halbebenen mit Pfeilen (rote und blaue Pfeile)

2) Die zweiteinfachste Ungleichung besteht darin, dass es hier kein „Y“ gibt. Erstens konstruieren wir die Gerade selbst, und zweitens wird nach der Transformation der Ungleichung in die Form sofort klar, dass alle „X“ kleiner als 6 sind. Wir markieren die entsprechende Halbebene mit grünen Pfeilen. Nun, der Suchbereich ist noch kleiner geworden – ein solches Rechteck ist nicht von oben begrenzt.

3) Im letzten Schritt lösen wir die Ungleichungen „mit voller Munition“: . Wir haben den Lösungsalgorithmus im vorherigen Absatz ausführlich besprochen. Kurz gesagt: Zuerst erstellen wir eine gerade Linie und finden dann anhand eines experimentellen Punktes die benötigte Halbebene.

Steht auf, Kinder, stellt euch im Kreis auf:


Der Lösungsbereich des Systems ist ein Polygon, in der Zeichnung ist er mit einer purpurroten Linie umrandet und schattiert. Ich habe es etwas übertrieben =) Im Notizbuch reicht es, den Lösungsbereich entweder zu schattieren oder mit einem einfachen Bleistift kräftiger zu umranden.

Jeder Punkt eines bestimmten Polygons erfüllt JEDE Ungleichung des Systems (Sie können es zum Spaß überprüfen).

Antwort: Die Lösung des Systems ist ein Polygon.

Wenn Sie eine saubere Kopie beantragen, ist es sinnvoll, detailliert zu beschreiben, welche Punkte Sie für die Konstruktion von Geraden verwendet haben (siehe Lektion). Graphen und Eigenschaften von Funktionen) und wie Halbebenen bestimmt wurden (siehe erster Absatz dieser Lektion). In der Praxis wird Ihnen jedoch in den meisten Fällen nur die richtige Zeichnung gutgeschrieben. Die Berechnungen selbst können entwurfsbasiert oder auch mündlich durchgeführt werden.

Neben dem Lösungspolygon des Systems gibt es in der Praxis, wenn auch seltener, einen offenen Bereich. Versuchen Sie, das folgende Beispiel selbst zu verstehen. Aus Gründen der Genauigkeit gibt es hier jedoch keine Folter – der Konstruktionsalgorithmus ist derselbe, nur wird der Bereich nicht begrenzt.

Beispiel 8

Lösen Sie das System

Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion. Sie werden höchstwahrscheinlich unterschiedliche Buchstaben für die Eckpunkte der resultierenden Region haben. Das ist nicht wichtig, die Hauptsache ist, die Eckpunkte richtig zu finden und die Fläche richtig zu konstruieren.

Es ist nicht ungewöhnlich, dass bei Problemen nicht nur der Lösungsbereich eines Systems erstellt werden muss, sondern auch die Koordinaten der Eckpunkte des Bereichs ermittelt werden müssen. In den beiden vorherigen Beispielen waren die Koordinaten dieser Punkte offensichtlich, aber in der Praxis ist alles weit von Eis entfernt:

Beispiel 9

Lösen Sie das System und ermitteln Sie die Koordinaten der Eckpunkte der resultierenden Region

Lösung: Lassen Sie uns in der Zeichnung den Lösungsbereich dieses Systems darstellen. Die Ungleichung definiert die linke Halbebene mit der Ordinatenachse, und hier gibt es kein Freebie mehr. Nach Berechnungen zum endgültigen Text/Entwurf oder tiefgehenden Überlegungen erhalten wir den folgenden Lösungsbereich:

Ungleichungen und Ungleichheitssysteme sind eines der Themen, die in der Algebra in der Oberstufe behandelt werden. Vom Schwierigkeitsgrad her ist es nicht das Schwierigste, da es einfache Regeln hat (mehr dazu später). In der Regel lernen Schüler recht einfach, Ungleichungssysteme zu lösen. Das liegt auch daran, dass Lehrer ihre Schüler zu diesem Thema einfach „schulen“. Und sie können nicht anders, als dies zu tun, da es in Zukunft mit anderen mathematischen Größen untersucht und auch im Einheitlichen Staatsexamen und im Einheitlichen Staatsexamen geprüft wird. In Schulbüchern wird das Thema Ungleichheit und Ungleichheitssysteme sehr ausführlich behandelt. Wenn Sie sich also damit befassen möchten, greifen Sie am besten darauf zurück. Dieser Artikel fasst nur umfangreicheres Material zusammen und kann einige Auslassungen enthalten.

Das Konzept eines Systems von Ungleichheiten

Wenn wir uns der wissenschaftlichen Sprache zuwenden, können wir den Begriff „System der Ungleichheiten“ definieren. Dabei handelt es sich um ein mathematisches Modell, das mehrere Ungleichungen darstellt. Dieses Modell erfordert natürlich eine Lösung, und dies wird die allgemeine Antwort für alle Ungleichungen des in der Aufgabe vorgeschlagenen Systems sein (normalerweise steht dies darin geschrieben, zum Beispiel: „Lösen Sie das System der Ungleichungen 4 x + 1 >.“ 2 und 30 - x > 6..."). Bevor Sie jedoch zu den Arten und Methoden der Lösungen übergehen, müssen Sie noch etwas anderes verstehen.

Ungleichungssysteme und Gleichungssysteme

Beim Erlernen eines neuen Themas kommt es oft zu Missverständnissen. Einerseits ist alles klar und man möchte so schnell wie möglich mit der Lösung von Aufgaben beginnen, andererseits bleiben einige Momente im „Schatten“ und werden nicht vollständig verstanden. Außerdem können einige Elemente bereits erworbenen Wissens mit neuem verflochten sein. Durch diese „Überschneidungen“ kommt es häufig zu Fehlern.

Bevor wir mit der Analyse unseres Themas beginnen, sollten wir uns daher an die Unterschiede zwischen Gleichungen und Ungleichungen und ihren Systemen erinnern. Dazu müssen wir noch einmal erklären, was diese mathematischen Konzepte darstellen. Eine Gleichung ist immer eine Gleichheit und sie ist immer gleich etwas (in der Mathematik wird dieses Wort mit dem Zeichen „=" bezeichnet). Ungleichheit ist ein Modell, bei dem ein Wert entweder größer oder kleiner als ein anderer ist oder eine Aussage enthält, dass sie nicht gleich sind. Daher ist es im ersten Fall angebracht, von Gleichheit zu sprechen, und im zweiten Fall, so offensichtlich es auch aus dem Namen selbst klingen mag, von der Ungleichheit der Ausgangsdaten. Gleichungs- und Ungleichungssysteme unterscheiden sich praktisch nicht voneinander und die Methoden zu ihrer Lösung sind die gleichen. Der einzige Unterschied besteht darin, dass im ersten Fall Gleichheiten und im zweiten Fall Ungleichungen verwendet werden.

Arten von Ungleichheiten

Es gibt zwei Arten von Ungleichungen: numerische und mit einer unbekannten Variablen. Der erste Typ stellt bereitgestellte Größen (Zahlen) dar, die untereinander ungleich sind, zum Beispiel 8 > 10. Der zweite Typ sind Ungleichungen, die eine unbekannte Variable enthalten (gekennzeichnet durch einen Buchstaben des lateinischen Alphabets, meist X). Diese Variable muss gefunden werden. Je nachdem, wie viele es gibt, unterscheidet das mathematische Modell zwischen Ungleichungen mit einer (sie bilden ein System von Ungleichungen mit einer Variablen) oder mehreren Variablen (sie bilden ein System von Ungleichungen mit mehreren Variablen).

Die letzten beiden Typen werden je nach Konstruktionsgrad und Komplexitätsgrad der Lösung in einfache und komplexe unterteilt. Einfache werden auch lineare Ungleichungen genannt. Sie werden wiederum in strenge und nicht strenge unterteilt. Strenge „sagen“ ausdrücklich, dass eine Größe notwendigerweise entweder kleiner oder größer sein muss, es handelt sich also um reine Ungleichheit. Es können mehrere Beispiele genannt werden: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 usw. Nicht strikte Beispiele umfassen auch Gleichheit. Das heißt, ein Wert kann größer oder gleich einem anderen Wert (das „≥“-Zeichen) oder kleiner oder gleich einem anderen Wert (das „≤“-Zeichen) sein. Selbst bei linearen Ungleichungen liegt die Variable nicht an der Wurzel, ist nicht quadriert und durch nichts teilbar, weshalb sie „einfach“ genannt werden. Bei komplexen Variablen handelt es sich um unbekannte Variablen, deren Suche mehr Mathematik erfordert. Sie befinden sich oft in einem Quadrat, einem Würfel oder unter einer Wurzel, sie können modular, logarithmisch, gebrochen usw. sein. Da unsere Aufgabe jedoch darin besteht, die Lösung von Ungleichungssystemen zu verstehen, werden wir über ein System linearer Ungleichungen sprechen . Zuvor sollten jedoch noch einige Worte zu ihren Eigenschaften gesagt werden.

Eigenschaften von Ungleichungen

Zu den Eigenschaften von Ungleichungen gehören:

1. Das Ungleichheitszeichen wird umgekehrt, wenn eine Operation verwendet wird, um die Reihenfolge der Seiten zu ändern (z. B. wenn t 1 ≤ t 2, dann t 2 ≥ t 1).
2. Auf beiden Seiten der Ungleichung können Sie dieselbe Zahl zu sich selbst addieren (wenn beispielsweise t 1 ≤ t 2, dann t 1 + Zahl ≤ t 2 + Zahl).
3. Zwei oder mehr Ungleichungen mit einem Vorzeichen in die gleiche Richtung ermöglichen die Addition ihrer linken und rechten Seite (z. B. wenn t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, dann t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Beide Teile der Ungleichung können mit derselben positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden (wenn beispielsweise t 1 ≤ t 2 und eine Zahl ≤ 0, dann ist die Zahl · t 1 ≥ Zahl · t 2).
5. Zwei oder mehr Ungleichungen, die positive Terme und ein Vorzeichen in die gleiche Richtung haben, lassen sich miteinander multiplizieren (z. B. wenn t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 dann t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Beide Teile der Ungleichung lassen sich mit derselben negativen Zahl multiplizieren oder dividieren, allerdings ändert sich in diesem Fall das Vorzeichen der Ungleichung (z. B. wenn t 1 ≤ t 2 und eine Zahl ≤ 0, dann ist die Zahl · t 1). ≥ Zahl · t 2).
7. Alle Ungleichungen haben die Eigenschaft der Transitivität (wenn beispielsweise t 1 ≤ t 2 und t 2 ≤ t 3, dann t 1 ≤ t 3).

Nachdem wir nun die Grundprinzipien der Ungleichungstheorie studiert haben, können wir direkt mit der Betrachtung der Regeln zur Lösung ihrer Systeme fortfahren.

Ungleichheitssysteme lösen. Allgemeine Informationen. Lösungen

Wie oben erwähnt, besteht die Lösung aus den Werten der Variablen, die für alle Ungleichungen des gegebenen Systems geeignet sind. Das Lösen von Ungleichungssystemen ist die Durchführung mathematischer Operationen, die letztendlich zu einer Lösung des gesamten Systems führen oder beweisen, dass es keine Lösungen hat. In diesem Fall soll die Variable zu einer leeren numerischen Menge gehören (geschrieben wie folgt: Buchstabe, der eine Variable bezeichnet∈ (Zeichen „gehört“) ø (Zeichen „leere Menge“), zum Beispiel x ∈ ø (sprich: „Die Variable „x“ gehört zur leeren Menge“). Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Ungleichungssysteme zu lösen: grafisch, algebraisch, Substitutionsmethode. Es ist erwähnenswert, dass sie sich auf mathematische Modelle beziehen, die mehrere unbekannte Variablen haben. Für den Fall, dass es nur eines gibt, ist die Intervallmethode geeignet.

Grafische Methode

Ermöglicht die Lösung eines Ungleichungssystems mit mehreren unbekannten Größen (von zwei und mehr). Dank dieser Methode lässt sich ein System linearer Ungleichungen recht einfach und schnell lösen und ist daher die gebräuchlichste Methode. Dies wird durch die Tatsache erklärt, dass das Plotten eines Diagramms die Menge an schriftlichen mathematischen Operationen reduziert. Besonders angenehm wird es, sich eine kleine Pause vom Stift zu gönnen, einen Bleistift mit Lineal in die Hand zu nehmen und mit deren Hilfe weitere Aktionen zu starten, wenn viel Arbeit erledigt ist und man sich etwas Abwechslung wünscht. Manche Menschen mögen diese Methode jedoch nicht, weil sie sich von der Aufgabe lösen und ihre geistige Aktivität auf das Zeichnen verlagern müssen. Dies ist jedoch eine sehr effektive Methode.

Um ein Ungleichungssystem mit einer grafischen Methode zu lösen, ist es notwendig, alle Terme jeder Ungleichung auf ihre linke Seite zu übertragen. Die Vorzeichen werden vertauscht, die Null sollte rechts geschrieben werden, dann muss jede Ungleichung separat geschrieben werden. Als Ergebnis werden Funktionen aus Ungleichungen erhalten. Danach können Sie einen Bleistift und ein Lineal herausnehmen: Jetzt müssen Sie für jede erhaltene Funktion ein Diagramm zeichnen. Die gesamte Menge der Zahlen, die im Intervall ihres Schnittpunkts liegen, ist eine Lösung des Ungleichungssystems.

Algebraischer Weg

Ermöglicht die Lösung eines Ungleichungssystems mit zwei unbekannten Variablen. Außerdem müssen Ungleichungen das gleiche Ungleichheitszeichen haben (das heißt, sie dürfen entweder nur das „Größer-als“-Zeichen oder nur das „Kleiner-als“-Zeichen usw. enthalten). Trotz ihrer Einschränkungen ist diese Methode auch komplexer. Die Anwendung erfolgt in zwei Schritten.

Die erste umfasst Maßnahmen zur Beseitigung einer der unbekannten Variablen. Zuerst müssen Sie es auswählen und dann prüfen, ob Zahlen vor dieser Variablen vorhanden sind. Wenn sie nicht vorhanden sind (dann sieht die Variable wie ein einzelner Buchstabe aus), ändern wir nichts. Wenn sie vorhanden sind (der Typ der Variablen ist beispielsweise 5y oder 12y), ist eine Änderung erforderlich Stellen Sie sicher, dass in jeder Ungleichung die Zahl vor der ausgewählten Variablen dieselbe ist. Dazu müssen Sie jeden Term der Ungleichungen mit einem gemeinsamen Faktor multiplizieren. Wenn beispielsweise in der ersten Ungleichung 3y und in der zweiten 5y geschrieben ist, müssen Sie alle Terme der ersten Ungleichung mit 5 multiplizieren und die zweite durch 3. Das Ergebnis ist 15y bzw. 15y.

Zweite Lösungsstufe. Es ist notwendig, die linke Seite jeder Ungleichung auf ihre rechte Seite zu übertragen, das Vorzeichen jedes Termes in das Gegenteil zu ändern und auf der rechten Seite eine Null zu schreiben. Dann kommt der spaßige Teil: die ausgewählte Variable entfernen (auch als „Reduktion“ bezeichnet) und gleichzeitig die Ungleichungen hinzufügen. Dies führt zu einer Ungleichung mit einer Variablen, die gelöst werden muss. Danach sollten Sie dasselbe tun, nur mit einer weiteren unbekannten Variablen. Die erhaltenen Ergebnisse stellen die Lösung des Systems dar.

Substitutionsmethode

Ermöglicht die Lösung eines Ungleichungssystems, wenn die Einführung einer neuen Variablen möglich ist. Typischerweise wird diese Methode verwendet, wenn die unbekannte Variable in einem Term der Ungleichung auf die vierte Potenz erhöht und im anderen Term quadriert wird. Somit zielt diese Methode darauf ab, den Grad der Ungleichheiten im System zu verringern. Die Stichprobenungleichung x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 wird auf diese Weise gelöst. Eine neue Variable wird eingeführt, zum Beispiel t. Sie schreiben: „Sei t = x 2“, dann wird das Modell in einer neuen Form umgeschrieben. In unserem Fall erhalten wir t 2 - t - 1 ≤0. Diese Ungleichung muss mit der Intervallmethode gelöst werden (mehr dazu später), dann zurück zur Variablen X und dann dasselbe mit der anderen Ungleichung. Die erhaltenen Antworten werden die Lösung des Systems sein.

Intervallmethode

Dies ist der einfachste Weg, Ungleichheitssysteme zu lösen, und gleichzeitig universell und weit verbreitet. Es wird in weiterführenden Schulen und sogar in höheren Schulen eingesetzt. Sein Kern liegt darin, dass der Schüler auf einer Zahlengeraden, die in ein Notizbuch eingezeichnet ist (dies ist kein Diagramm, sondern nur eine gewöhnliche Linie mit Zahlen), nach Ungleichheitsintervallen sucht. Wo sich die Intervalle der Ungleichungen schneiden, wird die Lösung des Systems gefunden. Um die Intervallmethode zu verwenden, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1. Alle Terme jeder Ungleichung werden auf die linke Seite übertragen, wobei sich das Vorzeichen in das Gegenteil ändert (auf der rechten Seite steht Null).
2. Die Ungleichungen werden separat ausgeschrieben und die Lösung für jede von ihnen bestimmt.
3. Es werden die Schnittpunkte von Ungleichungen auf der Zahlengeraden gefunden. Alle Zahlen, die sich an diesen Kreuzungen befinden, sind eine Lösung.

Welche Methode soll ich verwenden?

Offensichtlich diejenige, die am einfachsten und bequemsten erscheint, aber es gibt Fälle, in denen Aufgaben eine bestimmte Methode erfordern. Meistens heißt es, dass man entweder mit einem Diagramm oder der Intervallmethode lösen muss. Die algebraische Methode und die Substitution werden äußerst selten oder gar nicht verwendet, da sie recht komplex und verwirrend sind und außerdem eher zur Lösung von Gleichungssystemen als zur Lösung von Ungleichungen verwendet werden, sodass Sie auf das Zeichnen von Graphen und Intervallen zurückgreifen sollten. Sie bringen Klarheit, die zur effizienten und schnellen Ausführung mathematischer Operationen beitragen kann.

Wenn etwas nicht klappt

Beim Studium eines bestimmten algebraischen Themas kann es natürlich zu Verständnisproblemen kommen. Und das ist normal, denn unser Gehirn ist so konzipiert, dass es komplexe Sachverhalte nicht auf einmal verstehen kann. Oft müssen Sie einen Absatz noch einmal lesen, Hilfe von einem Lehrer in Anspruch nehmen oder das Lösen von Standardaufgaben üben. In unserem Fall sehen sie beispielsweise so aus: „Lösen Sie das Ungleichungssystem 3 x + 1 ≥ 0 und 2 x – 1 > 3.“ Persönlicher Wunsch, Hilfe von Außenstehenden und Übung helfen also, jedes komplexe Thema zu verstehen.

Löser?

Auch ein Lösungsbuch eignet sich sehr gut, allerdings nicht zum Abschreiben von Hausaufgaben, sondern zur Selbsthilfe. In ihnen kann man Ungleichungssysteme mit einer Lösung finden, diese (als Vorlagen) betrachten, versuchen, genau zu verstehen, wie der Autor der Lösung mit der Aufgabe umgegangen ist, und dann versuchen, dasselbe selbst zu tun.

Schlussfolgerungen

Algebra ist eines der schwierigsten Fächer in der Schule. Nun, was können Sie tun? Mathematik war schon immer so: Für manche ist es einfach, für andere ist es schwierig. In jedem Fall ist jedoch zu bedenken, dass das allgemeinbildende Studium so aufgebaut ist, dass jeder Schüler damit zurechtkommt. Darüber hinaus muss man die große Anzahl an Assistenten im Auge behalten. Einige davon wurden oben erwähnt.

Nachdem wir erste Informationen über Ungleichungen mit Variablen erhalten haben, gehen wir zur Frage ihrer Lösung über. Wir analysieren die Lösung linearer Ungleichungen mit einer Variablen und alle Methoden zu ihrer Lösung anhand von Algorithmen und Beispielen. Es werden nur lineare Gleichungen mit einer Variablen berücksichtigt.

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Was ist lineare Ungleichung?

Zuerst müssen Sie eine lineare Gleichung definieren und ihre Standardform herausfinden und herausfinden, wie sie sich von anderen unterscheidet. Aus dem Schulunterricht wissen wir, dass es keinen grundlegenden Unterschied zwischen Ungleichheiten gibt, daher ist es notwendig, mehrere Definitionen zu verwenden.

Definition 1

Lineare Ungleichung mit einer Variablen x ist eine Ungleichung der Form a · x + b > 0, wenn anstelle von > ein beliebiges Ungleichheitszeichen verwendet wird< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definition 2

Ungleichungen a x< c или a · x >c, wobei x eine Variable und a und c einige Zahlen sind, wird aufgerufen lineare Ungleichungen mit einer Variablen.

Da nichts darüber gesagt wird, ob der Koeffizient gleich 0 sein kann, gilt eine strikte Ungleichung der Form 0 x > c und 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Ihre Unterschiede sind:

• Notationsform a · x + b > 0 im ersten und a · x > c – im zweiten;
• Zulässigkeit, dass der Koeffizient a gleich Null ist, a ≠ 0 – im ersten und a = 0 – im zweiten.

Es wird angenommen, dass die Ungleichungen a · x + b > 0 und a · x > c äquivalent sind, da sie durch die Übertragung eines Termes von einem Teil auf einen anderen erhalten werden. Das Lösen der Ungleichung 0 x + 5 > 0 führt dazu, dass sie gelöst werden muss und der Fall a = 0 nicht funktioniert.

Definition 3

Es wird angenommen, dass lineare Ungleichungen in einer Variablen x Ungleichungen der Form sind a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 Und a x + b ≥ 0, wobei a und b reelle Zahlen sind. Anstelle von x kann auch eine reguläre Zahl stehen.

Basierend auf der Regel gilt: 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 heißen reduzierbar auf linear.

So lösen Sie lineare Ungleichungen

Der Hauptweg zur Lösung solcher Ungleichungen besteht darin, äquivalente Transformationen zu verwenden, um die elementaren Ungleichungen x zu finden< p (≤ , >, ≥) , p, was eine bestimmte Zahl für a ≠ 0 ist und die Form a hat< p (≤ , >, ≥) für a = 0.

Um Ungleichungen in einer Variablen zu lösen, können Sie die Intervallmethode verwenden oder sie grafisch darstellen. Jeder von ihnen kann separat verwendet werden.

Verwendung äquivalenter Transformationen

Eine lineare Ungleichung der Form a x + b lösen< 0 (≤ , >, ≥) ist es notwendig, äquivalente Ungleichungstransformationen anzuwenden. Der Koeffizient kann Null sein oder auch nicht. Betrachten wir beide Fälle. Um das herauszufinden, müssen Sie sich an ein Schema halten, das aus drei Punkten besteht: dem Wesen des Prozesses, dem Algorithmus und der Lösung selbst.

Definition 4

Algorithmus zur Lösung linearer Ungleichung a x + b< 0 (≤ , >, ≥) für a ≠ 0

• Die Zahl b wird mit dem umgekehrten Vorzeichen auf die rechte Seite der Ungleichung verschoben, wodurch wir zum Äquivalent a x gelangen< − b (≤ , > , ≥) ;
• Beide Seiten der Ungleichung werden durch eine Zahl ungleich 0 geteilt. Darüber hinaus bleibt das Vorzeichen bestehen, wenn a positiv ist; wenn a negativ ist, ändert es sich ins Gegenteil.

Betrachten wir die Anwendung dieses Algorithmus zur Lösung von Beispielen.

Beispiel 1

Lösen Sie die Ungleichung der Form 3 x + 12 ≤ 0.

Lösung

Diese lineare Ungleichung hat a = 3 und b = 12. Das bedeutet, dass der Koeffizient a von x ungleich Null ist. Lassen Sie uns die oben genannten Algorithmen anwenden und lösen.

Es ist notwendig, Term 12 an einen anderen Teil der Ungleichung zu verschieben und das Vorzeichen davor zu ändern. Dann erhalten wir eine Ungleichung der Form 3 x ≤ − 12. Es ist notwendig, beide Teile durch 3 zu dividieren. Das Vorzeichen ändert sich nicht, da 3 eine positive Zahl ist. Wir erhalten (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, was das Ergebnis x ≤ − 4 ergibt.

Eine Ungleichung der Form x ≤ − 4 ist äquivalent. Das heißt, die Lösung für 3 x + 12 ≤ 0 ist jede reelle Zahl, die kleiner oder gleich 4 ist. Die Antwort wird als Ungleichung x ≤ − 4 oder als numerisches Intervall der Form (− ∞, − 4) geschrieben.

Der gesamte oben beschriebene Algorithmus ist wie folgt geschrieben:

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Antwort: x ≤ − 4 oder (− ∞ , − 4 ] .

Beispiel 2

Geben Sie alle verfügbaren Lösungen der Ungleichung − 2, 7 · z > 0 an.

Lösung

Aus der Bedingung sehen wir, dass der Koeffizient a für z gleich – 2,7 ist und b explizit fehlt oder gleich Null ist. Sie können den ersten Schritt des Algorithmus nicht verwenden, sondern sofort mit dem zweiten fortfahren.

Wir teilen beide Seiten der Gleichung durch die Zahl - 2, 7. Da die Zahl negativ ist, muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden. Das heißt, wir erhalten (− 2, 7 z): (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Schreiben wir den gesamten Algorithmus in Kurzform:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Antwort: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Beispiel 3

Lösen Sie die Ungleichung - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Lösung

Gemäß der Bedingung sehen wir, dass es notwendig ist, die Ungleichung mit dem Koeffizienten a für die Variable x, die gleich – 5 ist, mit dem Koeffizienten b, der dem Bruch entspricht, zu lösen – 15 22. Es ist notwendig, die Ungleichung zu lösen, indem man dem Algorithmus folgt, das heißt: Verschiebe - 15 22 in einen anderen Teil mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, dividiere beide Teile durch - 5, ändere das Vorzeichen der Ungleichung:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Beim letzten Übergang für die rechte Seite wird die Regel zum Teilen der Zahl mit unterschiedlichen Vorzeichen verwendet 15 22: - 5 = - 15 22: 5, danach teilen wir den gewöhnlichen Bruch durch die natürliche Zahl - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Antwort: x ≥ - 3 22 und [ - 3 22 + ∞) .

Betrachten wir den Fall, dass a = 0 ist. Linearer Ausdruck der Form a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Alles basiert darauf, die Lösung der Ungleichung zu finden. Für jeden Wert von x erhalten wir eine numerische Ungleichung der Form b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Wir betrachten alle Urteile in Form eines Algorithmus zur Lösung linearer Ungleichungen 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definition 5

Numerische Ungleichung der Form b< 0 (≤ , >, ≥) wahr ist, dann hat die ursprüngliche Ungleichung für jeden Wert eine Lösung, und sie ist falsch, wenn die ursprüngliche Ungleichung keine Lösungen hat.

Beispiel 4

Lösen Sie die Ungleichung 0 x + 7 > 0.

Lösung

Diese lineare Ungleichung 0 x + 7 > 0 kann jeden Wert x annehmen. Dann erhalten wir eine Ungleichung der Form 7 > 0. Die letzte Ungleichung gilt als wahr, was bedeutet, dass jede Zahl ihre Lösung sein kann.

Antwort: Intervall (− ∞ , + ∞) .

Beispiel 5

Finden Sie eine Lösung für die Ungleichung 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Lösung

Wenn wir die Variable x durch eine beliebige Zahl ersetzen, erhalten wir, dass die Ungleichung die Form − 12, 7 ≥ 0 annimmt. Es ist falsch. Das heißt, 0 x − 12, 7 ≥ 0 hat keine Lösungen.

Antwort: es gibt keine Lösungen.

Betrachten wir die Lösung linearer Ungleichungen, bei denen beide Koeffizienten gleich Null sind.

Beispiel 6

Bestimmen Sie die unlösbare Ungleichung aus 0 x + 0 > 0 und 0 x + 0 ≥ 0.

Lösung

Wenn wir eine beliebige Zahl anstelle von x einsetzen, erhalten wir zwei Ungleichungen der Form 0 > 0 und 0 ≥ 0. Das erste ist falsch. Das bedeutet, dass 0 x + 0 > 0 keine Lösungen hat und 0 x + 0 ≥ 0 unendlich viele Lösungen hat, also beliebig viele.

Antwort: Die Ungleichung 0 x + 0 > 0 hat keine Lösungen, aber 0 x + 0 ≥ 0 hat Lösungen.

Diese Methode wird im Schulmathematikkurs besprochen. Die Intervallmethode ist in der Lage, verschiedene Arten von Ungleichungen aufzulösen, darunter auch lineare.

Die Intervallmethode wird für lineare Ungleichungen verwendet, wenn der Wert des Koeffizienten x ungleich 0 ist. Andernfalls müssen Sie mit einer anderen Methode rechnen.

Definition 6

Die Intervallmethode ist:

• Einführung der Funktion y = a · x + b ;
• Suche nach Nullen, um den Definitionsbereich in Intervalle aufzuteilen;
• Definition von Zeichen für ihre Konzepte auf Intervallen.

Lassen Sie uns einen Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen a x + b zusammenstellen< 0 (≤ , >, ≥) für a ≠ 0 mit der Intervallmethode:

• Finden der Nullstellen der Funktion y = a · x + b, um eine Gleichung der Form a · x + b = 0 zu lösen. Wenn a ≠ 0, dann ist die Lösung eine einzelne Wurzel, die die Bezeichnung x 0 annimmt;
• Konstruktion einer Koordinatenlinie mit einem Bild eines Punktes mit der Koordinate x 0, bei einer strengen Ungleichung wird der Punkt durch eine punktierte Eins bezeichnet, bei einer nicht strengen Ungleichung – durch eine schattierte Eins;
• Bestimmen der Vorzeichen der Funktion y = a · x + b auf Intervallen; dazu ist es notwendig, die Werte der Funktion an Punkten im Intervall zu finden;
• Lösen einer Ungleichung mit Vorzeichen > oder ≥ auf der Koordinatenlinie, Hinzufügen einer Schattierung über dem positiven Intervall,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Schauen wir uns einige Beispiele für die Lösung linearer Ungleichungen mit der Intervallmethode an.

Beispiel 6

Lösen Sie die Ungleichung − 3 x + 12 > 0.

Lösung

Aus dem Algorithmus folgt, dass Sie zunächst die Wurzel der Gleichung − 3 x + 12 = 0 finden müssen. Wir erhalten, dass − 3 · x = − 12 , x = 4 . Es ist notwendig, eine Koordinatenlinie dort zu zeichnen, wo wir Punkt 4 markieren. Es wird punktiert, da die Ungleichung streng ist. Betrachten Sie die Zeichnung unten.

Es ist notwendig, die Vorzeichen in den Abständen zu bestimmen. Um es auf dem Intervall (− ∞, 4) zu bestimmen, muss die Funktion y = − 3 x + 12 bei x = 3 berechnet werden. Von hier aus erhalten wir − 3 3 + 12 = 3 > 0. Das Vorzeichen des Intervalls ist positiv.

Wir bestimmen das Vorzeichen aus dem Intervall (4, + ∞) und ersetzen dann den Wert x = 5. Wir haben das − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Wir lösen die Ungleichung mit dem >-Zeichen und die Schattierung erfolgt über das positive Intervall. Betrachten Sie die Zeichnung unten.

Aus der Zeichnung geht hervor, dass die gesuchte Lösung die Form (− ∞ , 4) oder x hat< 4 .

Antwort: (− ∞ , 4) oder x< 4 .

Um zu verstehen, wie man grafisch darstellt, ist es notwendig, 4 lineare Ungleichungen als Beispiel zu betrachten: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 und 0, 5 x − 1 ≥ 0. Ihre Lösungen werden die Werte von x sein< 2 , x ≤ 2 , x >2 und x ≥ 2. Dazu zeichnen wir die unten gezeigte lineare Funktion y = 0, 5 x − 1 auf.

Es ist klar, dass

Definition 7

• Lösen der Ungleichung 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• Als Lösung 0, 5 x − 1 ≤ 0 gilt das Intervall, in dem die Funktion y = 0, 5 x − 1 kleiner als O x ist oder zusammenfällt;
• die Lösung 0, 5 · x − 1 > 0 wird als Intervall betrachtet, die Funktion liegt über O x;
• Als Lösung 0, 5 · x − 1 ≥ 0 gilt das Intervall, in dem der Graph über O x oder zusammenfällt.

Bei der grafischen Lösung von Ungleichungen geht es darum, die Intervalle zu finden, die im Diagramm dargestellt werden müssen. In diesem Fall finden wir, dass die linke Seite y = a · x + b hat und die rechte Seite y = 0 hat und mit O x übereinstimmt.

Definition 8

Der Graph der Funktion y = a x + b wird dargestellt:

• beim Lösen der Ungleichung a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• Bei der Lösung der Ungleichung a · x + b ≤ 0 wird das Intervall bestimmt, in dem der Graph unterhalb der O x -Achse dargestellt ist oder zusammenfällt;
• Beim Lösen der Ungleichung a · x + b > 0 wird das Intervall bestimmt, in dem der Graph über O x dargestellt ist;
• Beim Lösen der Ungleichung a · x + b ≥ 0 wird das Intervall bestimmt, in dem der Graph über O x liegt oder zusammenfällt.

Beispiel 7

Lösen Sie die Ungleichung - 5 · x - 3 > 0 mithilfe eines Diagramms.

Lösung

Es ist notwendig, einen Graphen der linearen Funktion - 5 · x - 3 > 0 zu erstellen. Diese Linie nimmt ab, da der Koeffizient von x negativ ist. Um die Koordinaten des Schnittpunkts mit O x - 5 · x - 3 > 0 zu bestimmen, erhalten wir den Wert - 3 5. Lassen Sie es uns grafisch darstellen.

Wenn Sie die Ungleichung mit dem >-Zeichen lösen, müssen Sie auf das Intervall über O x achten. Lassen Sie uns den gewünschten Teil des Flugzeugs rot markieren und erhalten

Der erforderliche Spalt beträgt Teil O x Rot. Dies bedeutet, dass der offene Zahlenstrahl - ∞ , - 3 5 eine Lösung der Ungleichung sein wird. Wenn wir gemäß der Bedingung eine nicht strikte Ungleichung hätten, dann wäre der Wert des Punktes - 3 5 auch eine Lösung der Ungleichung. Und es würde mit O x zusammenfallen.

Antwort: - ∞ , - 3 5 oder x< - 3 5 .

Die grafische Lösung wird verwendet, wenn die linke Seite der Funktion y = 0 x + b entspricht, also y = b. Dann verläuft die Gerade parallel zu O x oder fällt bei b = 0 zusammen. Diese Fälle zeigen, dass die Ungleichung möglicherweise keine Lösungen hat oder dass die Lösung eine beliebige Zahl sein kann.

Beispiel 8

Bestimmen Sie aus den Ungleichungen 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Lösung

Die Darstellung von y = 0 x + 7 ist y = 7, dann wird eine Koordinatenebene mit einer Linie parallel zu O x und oberhalb von O x angegeben. Also 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Der Graph der Funktion y = 0 x + 0 wird als y = 0 betrachtet, das heißt, die Gerade fällt mit O x zusammen. Das bedeutet, dass die Ungleichung 0 x + 0 ≥ 0 viele Lösungen hat.

Antwort: Die zweite Ungleichung hat eine Lösung für jeden Wert von x.

Ungleichungen, die sich auf linear reduzieren

Die Lösung von Ungleichungen kann auf die Lösung einer linearen Gleichung reduziert werden, die als lineare Ungleichungen bezeichnet werden.

Diese Ungleichungen wurden im Schulunterricht berücksichtigt, da es sich um einen Sonderfall der Lösung von Ungleichungen handelte, der zur Öffnung von Klammern und zur Kürzung ähnlicher Begriffe führte. Betrachten Sie beispielsweise Folgendes: 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Die oben angegebenen Ungleichungen werden immer auf die Form einer linearen Gleichung reduziert. Danach werden die Klammern geöffnet und ähnliche Begriffe angegeben, aus verschiedenen Teilen übertragen, wobei das Vorzeichen in das Gegenteil geändert wird.

Wenn wir die Ungleichung 5 − 2 x > 0 auf linear reduzieren, stellen wir sie so dar, dass sie die Form − 2 x + 5 > 0 hat, und um die Sekunde zu reduzieren, erhalten wir 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Es ist notwendig, die Klammern zu öffnen, ähnliche Begriffe einzubringen, alle Begriffe auf die linke Seite zu verschieben und ähnliche Begriffe einzubringen. Es sieht aus wie das:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Dies führt zur Lösung einer linearen Ungleichung.

Diese Ungleichungen gelten als linear, da sie das gleiche Lösungsprinzip haben und sich danach auf elementare Ungleichungen reduzieren lassen.

Um diese Art von Ungleichung zu lösen, ist es notwendig, sie auf eine lineare zu reduzieren. Es sollte so gemacht werden:

Definition 9

• offene Klammern;
• sammle links Variablen und rechts Zahlen;
• geben Sie ähnliche Begriffe an;
• Teilen Sie beide Seiten durch den Koeffizienten von x.

Beispiel 9

Lösen Sie die Ungleichung 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Lösung

Wir öffnen die Klammern, dann erhalten wir eine Ungleichung der Form 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Nachdem wir ähnliche Terme reduziert haben, gilt 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Nachdem wir die Terme von links nach rechts verschoben haben, finden wir, dass 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Daher gibt es eine Ungleichung der Form 32 ≤ 0 aus der Ungleichung, die man durch die Berechnung von 0 x + 32 ≤ 0 erhält. Es ist ersichtlich, dass die Ungleichung falsch ist, was bedeutet, dass die durch die Bedingung gegebene Ungleichung keine Lösungen hat.

Antwort: keine Lösungen.

Es ist erwähnenswert, dass es viele andere Arten von Ungleichungen gibt, die auf lineare Ungleichungen oder Ungleichungen der oben gezeigten Art reduziert werden können. Zum Beispiel: 5 2 x − 1 ≥ 1 ist eine Exponentialgleichung, die sich auf eine Lösung der linearen Form 2 x − 1 ≥ 0 reduziert. Diese Fälle werden bei der Lösung von Ungleichungen dieser Art berücksichtigt.

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