X y Lösung eines Gleichungssystems. Systeme linearer Gleichungen

Gleichungssysteme werden in der Wirtschaftsbranche häufig zur mathematischen Modellierung verschiedener Prozesse verwendet. Zum Beispiel bei der Lösung von Problemen der Management- und Produktionsplanung, Logistikrouten ( Transportaufgabe) oder Geräteplatzierung.

Gleichungssysteme werden nicht nur auf dem Gebiet der Mathematik, sondern auch in der Physik, Chemie und Biologie verwendet, wenn es um die Lösung von Problemen zur Bestimmung der Populationsgröße geht.

Ein lineares Gleichungssystem ist ein Begriff für zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Variablen, für die eine gemeinsame Lösung gefunden werden muss. Eine solche Zahlenfolge, für die alle Gleichungen wahre Gleichheiten werden oder beweisen, dass die Folge nicht existiert.

Lineare Gleichung

Gleichungen der Form ax+by=c heißen linear. Die Bezeichnungen x, y sind die Unbekannten, deren Wert gefunden werden muss, b, a sind die Koeffizienten der Variablen, c ist der freie Term der Gleichung.
Das Lösen der Gleichung durch Auftragen ihres Graphen sieht aus wie eine gerade Linie, deren alle Punkte die Lösung des Polynoms sind.

Arten von Systemen linearer Gleichungen

Die einfachsten sind Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen X und Y.

F1(x, y) = 0 und F2(x, y) = 0, wobei F1,2 Funktionen und (x, y) Funktionsvariablen sind.

Lösen Sie ein Gleichungssystem - es bedeutet, solche Werte (x, y) zu finden, für die das System eine echte Gleichheit wird, oder festzustellen, dass es keine geeigneten Werte von x und y gibt.

Ein Wertepaar (x, y), geschrieben als Punktkoordinaten, wird als Lösung eines linearen Gleichungssystems bezeichnet.

Wenn die Systeme eine gemeinsame Lösung haben oder es keine Lösung gibt, werden sie als äquivalent bezeichnet.

Homogene lineare Gleichungssysteme sind Systeme, deren rechte Seite gleich Null ist. Wenn der rechte Teil nach dem Gleichheitszeichen einen Wert hat oder durch eine Funktion ausgedrückt wird, ist ein solches System nicht homogen.

Die Anzahl der Variablen kann viel mehr als zwei sein, dann sollten wir über ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei oder mehr Variablen sprechen.

Angesichts von Systemen gehen Schulkinder davon aus, dass die Anzahl der Gleichungen zwangsläufig mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen muss, aber dem ist nicht so. Die Anzahl der Gleichungen im System hängt nicht von den Variablen ab, es kann beliebig viele davon geben.

Einfache und komplexe Methoden zum Lösen von Gleichungssystemen

Es gibt keinen allgemeinen analytischen Weg, um solche Systeme zu lösen, alle Methoden basieren auf numerischen Lösungen. Der Schulkurs Mathematik beschreibt ausführlich Methoden wie Permutation, algebraische Addition, Substitution sowie das Graphik- und Matrizenverfahren, die Lösung nach dem Gauß-Verfahren.

Die Hauptaufgabe bei der Vermittlung von Lösungsmethoden besteht darin, zu lehren, wie man das System richtig analysiert und für jedes Beispiel den optimalen Lösungsalgorithmus findet. Die Hauptsache ist nicht, sich ein System von Regeln und Aktionen für jede Methode zu merken, sondern die Prinzipien der Anwendung einer bestimmten Methode zu verstehen.

Lösungsbeispiele für lineare Gleichungssysteme der 7. Klasse des Programms Mittelschule ganz einfach und ausführlich erklärt. In jedem mathematischen Lehrbuch wird diesem Abschnitt genügend Aufmerksamkeit geschenkt. Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Methode von Gauß und Cramer wird in den ersten Kursen der Hochschulen näher untersucht.

Lösung von Systemen nach der Substitutionsmethode

Die Aktionen der Substitutionsmethode zielen darauf ab, den Wert einer Variablen durch die zweite auszudrücken. Der Ausdruck wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt und dann auf eine einzelne Variablenform reduziert. Die Aktion wird abhängig von der Anzahl der Unbekannten im System wiederholt

Geben wir ein Beispiel für ein System linearer Gleichungen der 7. Klasse nach der Substitutionsmethode:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurde die Variable x durch F(X) = 7 + Y ausgedrückt. Der resultierende Ausdruck, der anstelle von X in die 2. Gleichung des Systems eingesetzt wurde, half dabei, eine Variable Y in der 2. Gleichung zu erhalten . Lösung dieses Beispiel verursacht keine Schwierigkeiten und ermöglicht es Ihnen, den Wert von Y zu erhalten. Letzter Schritt dies ist ein Test der empfangenen Werte.

Es ist nicht immer möglich, ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems durch Substitution zu lösen. Die Gleichungen können komplex sein und der Ausdruck der Variablen in Bezug auf die zweite Unbekannte wird für weitere Berechnungen zu umständlich sein. Bei mehr als 3 Unbekannten im System ist die Substitutionslösung ebenfalls unpraktisch.

Lösung eines Beispiels eines Systems linearer inhomogener Gleichungen:

Lösung mit algebraischer Addition

Bei der Suche nach einer Lösung von Systemen durch die Additionsmethode, Term-für-Term-Addition und Multiplikation von Gleichungen durch verschiedene Nummern. Das ultimative Ziel mathematischer Operationen ist eine Gleichung mit einer Variablen.

Für Bewerbungen diese Methode es erfordert Übung und Beobachtung. Es ist nicht einfach, ein lineares Gleichungssystem mit der Additionsmethode mit der Anzahl der Variablen 3 oder mehr zu lösen. Die algebraische Addition ist nützlich, wenn die Gleichungen Brüche und Dezimalzahlen enthalten.

Lösungsaktionsalgorithmus:

1. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einer Zahl. Als Ergebnis der arithmetischen Operation muss einer der Koeffizienten der Variablen gleich 1 werden.
2. Addieren Sie den resultierenden Ausdruck Term für Term und finden Sie eine der Unbekannten.
3. Setzen Sie den resultierenden Wert in die zweite Gleichung des Systems ein, um die verbleibende Variable zu finden.

Lösungsverfahren durch Einführung einer neuen Variablen

Eine neue Variable kann eingeführt werden, wenn das System eine Lösung für nicht mehr als zwei Gleichungen finden muss, die Anzahl der Unbekannten sollte auch nicht mehr als zwei betragen.

Das Verfahren wird verwendet, um eine der Gleichungen zu vereinfachen, indem eine neue Variable eingeführt wird. Die neue Gleichung wird bezüglich der eingegebenen Unbekannten gelöst und der resultierende Wert wird verwendet, um die ursprüngliche Variable zu bestimmen.

Aus dem Beispiel ist ersichtlich, dass es durch Einführung einer neuen Variablen t möglich war, die 1. Gleichung des Systems auf ein quadratisches Standardtrinom zu reduzieren. Sie können ein Polynom lösen, indem Sie die Diskriminante finden.

Es ist notwendig, den Wert der Diskriminante mit der bekannten Formel zu finden: D = b2 - 4*a*c, wobei D die gesuchte Diskriminante ist, b, a, c die Multiplikatoren des Polynoms sind. Im gegebenen Beispiel ist a=1, b=16, c=39, also D=100. Wenn die Diskriminante größer als Null ist, dann gibt es zwei Lösungen: t = -b±√D / 2*a, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, dann gibt es nur eine Lösung: x= -b / 2*a.

Die Lösung für die resultierenden Systeme wird durch die Additionsmethode gefunden.

Eine visuelle Methode zum Lösen von Systemen

Geeignet für Systeme mit 3 Gleichungen. Das Verfahren besteht darin, Graphen jeder im System enthaltenen Gleichung auf der Koordinatenachse aufzuzeichnen. Die Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven sind die allgemeine Lösung des Systems.

Die grafische Methode hat eine Reihe von Nuancen. Betrachten Sie einige Beispiele für die visuelle Lösung von linearen Gleichungssystemen.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurden für jede Linie zwei Punkte konstruiert, die Werte der Variablen x wurden willkürlich gewählt: 0 und 3. Basierend auf den Werten von x wurden die Werte für y gefunden: 3 und 0. Punkte mit den Koordinaten (0, 3) und (3, 0) wurden in der Grafik markiert und durch eine Linie verbunden.

Die Schritte müssen für die zweite Gleichung wiederholt werden. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des Systems.

Im folgenden Beispiel soll eine grafische Lösung für das lineare Gleichungssystem gefunden werden: 0,5x-y+2=0 und 0,5x-y-1=0.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, hat das System keine Lösung, da die Graphen parallel sind und sich nicht auf ihrer ganzen Länge schneiden.

Die Systeme aus den Beispielen 2 und 3 sind ähnlich, aber wenn sie konstruiert sind, wird es offensichtlich, dass ihre Lösungen unterschiedlich sind. Es sollte daran erinnert werden, dass es nicht immer möglich ist zu sagen, ob das System eine Lösung hat oder nicht, es ist immer notwendig, einen Graphen zu erstellen.

Matrix und seine Sorten

Matrizen werden verwendet für Abkürzung Systeme linearer Gleichungen. Eine Matrix ist eine spezielle Art von Tabelle, die mit Zahlen gefüllt ist. n*m hat n - Zeilen und m - Spalten.

Eine Matrix ist quadratisch, wenn die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich ist. Ein Matrix-Vektor ist eine einspaltige Matrix mit unendlich vielen Zeilen. Eine Matrix mit Einheiten entlang einer der Diagonalen und anderen Nullelementen wird als Identität bezeichnet.

Eine inverse Matrix ist eine solche Matrix, bei deren Multiplikation die ursprüngliche zu einer Einheit wird, eine solche Matrix existiert nur für die ursprüngliche quadratische.

Regeln zur Transformation eines Gleichungssystems in eine Matrix

Bei Gleichungssystemen werden die Koeffizienten und freien Glieder der Gleichungen als Zahlen der Matrix geschrieben, eine Gleichung ist eine Zeile der Matrix.

Eine Matrixzeile heißt ungleich Null, wenn mindestens ein Element der Zeile ungleich Null ist. Wenn sich also in einer der Gleichungen die Anzahl der Variablen unterscheidet, muss anstelle der fehlenden Unbekannten Null eingegeben werden.

Die Spalten der Matrix müssen genau den Variablen entsprechen. Das bedeutet, dass die Koeffizienten der Variablen x nur in eine Spalte geschrieben werden können, zum Beispiel die erste, die Koeffizienten der Unbekannten y – nur in die zweite.

Beim Multiplizieren einer Matrix werden alle Matrixelemente nacheinander mit einer Zahl multipliziert.

Optionen zum Finden der inversen Matrix

Die Formel zum Finden der inversen Matrix ist ganz einfach: K -1 = 1 / |K|, wobei K -1 die inverse Matrix und |K| ist - Matrixdeterminante. |K| nicht gleich Null sein muss, dann hat das System eine Lösung.

Für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix lässt sich die Determinante leicht berechnen, es müssen nur die Elemente diagonal miteinander multipliziert werden. Für die Option „drei mal drei“ gibt es eine Formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ein 3 b 2 c 1 . Sie können die Formel verwenden oder sich daran erinnern, dass Sie aus jeder Zeile und jeder Spalte ein Element nehmen müssen, damit sich die Spalten- und Zeilennummern der Elemente im Produkt nicht wiederholen.

Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Matrixmethode

Das Matrixverfahren zur Lösungsfindung ermöglicht es, umständliche Eingaben beim Lösen von Systemen mit vielen Variablen und Gleichungen zu reduzieren.

Im Beispiel sind a nm die Koeffizienten der Gleichungen, die Matrix ist ein Vektor x n sind die Variablen und b n sind die freien Terme.

Lösung von Systemen nach der Gauß-Methode

In der höheren Mathematik wird die Gauß-Methode zusammen mit der Cramer-Methode untersucht, und der Prozess, eine Lösung für Systeme zu finden, wird als Gauß-Cramer-Lösungsmethode bezeichnet. Diese Methoden werden verwendet, um zu finden Systemvariablen mit vielen linearen Gleichungen.

Die Gaußsche Methode ist Substitutions- und algebraischen Additionslösungen sehr ähnlich, aber systematischer. Im Schulkurs wird die Gaußsche Lösung für 3er- und 4er-Gleichungssysteme verwendet. Der Zweck des Verfahrens besteht darin, das System in die Form eines umgekehrten Trapezes zu bringen. Durch algebraische Transformationen und Substitutionen wird der Wert einer Variablen in einer der Gleichungen des Systems gefunden. Die zweite Gleichung ist ein Ausdruck mit 2 Unbekannten und 3 und 4 - mit 3 bzw. 4 Variablen.

Nachdem das System in die beschriebene Form gebracht wurde, reduziert sich die weitere Lösung auf das sequentielle Einsetzen bekannter Variablen in die Gleichungen des Systems.

IN Schulbücher Für die Klasse 7 wird ein Beispiel für eine Lösung nach dem Gauß-Verfahren wie folgt beschrieben:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden in Schritt (3) zwei Gleichungen erhalten, 3 x 3 - 2 x 4 = 11 und 3 x 3 + 2 x 4 = 7. Die Lösung einer der Gleichungen ermöglicht es Ihnen, eine der Variablen x n herauszufinden.

Satz 5, der im Text erwähnt wird, besagt, dass, wenn eine der Gleichungen des Systems durch eine äquivalente ersetzt wird, das resultierende System auch dem ursprünglichen äquivalent sein wird.

Die Gauß-Methode ist für Schüler schwer verständlich weiterführende Schule, aber ist einer der meisten interessante Wege den Einfallsreichtum von Kindern im Aufbaustudiengang im Mathematik- und Physikunterricht zu fördern.

Zur Erleichterung der Aufzeichnung von Berechnungen ist es üblich, Folgendes zu tun:

Gleichungskoeffizienten und freie Terme werden in Form einer Matrix geschrieben, wobei jede Zeile der Matrix einer der Gleichungen des Systems entspricht. trennt die linke Seite der Gleichung von der rechten Seite. Römische Ziffern bezeichnen die Anzahl der Gleichungen im System.

Zuerst schreiben sie die Matrix auf, mit der sie arbeiten, dann alle Aktionen, die mit einer der Zeilen ausgeführt werden. Die resultierende Matrix wird nach dem "Pfeil" -Zeichen geschrieben und führt die erforderlichen algebraischen Operationen fort, bis das Ergebnis erreicht ist.

Als Ergebnis sollte eine Matrix erhalten werden, in der eine der Diagonalen 1 ist und alle anderen Koeffizienten gleich Null sind, dh die Matrix wird auf eine einzige Form reduziert. Wir dürfen nicht vergessen, mit den Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung zu rechnen.

Diese Notation ist weniger umständlich und lässt Sie nicht durch die Auflistung zahlreicher Unbekannter abgelenkt werden.

Die freie Anwendung jeder Lösungsmethode erfordert Sorgfalt und ein gewisses Maß an Erfahrung. Nicht alle Methoden werden angewendet. Einige Wege, Lösungen zu finden, sind in einem bestimmten Bereich menschlicher Aktivität vorzuziehen, während andere zum Zweck des Lernens existieren.

1. Substitutionsmethode: Aus jeder Gleichung des Systems drücken wir eine Unbekannte durch eine andere aus und setzen sie in die zweite Gleichung des Systems ein.

Aufgabe. Lösen Sie das Gleichungssystem:

Lösung. Aus der ersten Gleichung des Systems drücken wir aus bei durch X und in die zweite Gleichung des Systems einsetzen. Holen wir uns das System entspricht dem Original.

Nach dem Einbringen solcher Bedingungen nimmt das System die Form an:

Aus der zweiten Gleichung finden wir: . Setzen Sie diesen Wert in die Gleichung ein bei = 2 - 2X, wir bekommen bei= 3. Daher ist die Lösung dieses Systems ein Zahlenpaar .

2. Algebraische Additionsmethode: Durch Addition von zwei Gleichungen erhält man eine Gleichung mit einer Variablen.

Aufgabe. Lösen Sie die Systemgleichung:

Lösung. Wenn wir beide Seiten der zweiten Gleichung mit 2 multiplizieren, erhalten wir das System entspricht dem Original. Wenn wir die beiden Gleichungen dieses Systems addieren, erhalten wir das System

Nach der Reduzierung ähnlicher Begriffe nimmt dieses System die Form an: Aus der zweiten Gleichung finden wir . Setzen Sie diesen Wert in Gleichung 3 ein X + 4bei= 5, erhalten wir , Wo . Daher ist die Lösung dieses Systems ein Zahlenpaar.

3. Verfahren zur Einführung neuer Variablen: Wir suchen nach einigen wiederholten Ausdrücken im System, die wir durch neue Variablen bezeichnen werden, wodurch die Form des Systems vereinfacht wird.

Aufgabe. Lösen Sie das Gleichungssystem:

Lösung. Schreiben wir dieses System anders:

Lassen x + y = du, ha = v. Dann bekommen wir das System

Lösen wir es mit der Substitutionsmethode. Aus der ersten Gleichung des Systems drücken wir aus u durch v und in die zweite Gleichung des Systems einsetzen. Holen wir uns das System diese.

Aus der zweiten Gleichung des Systems finden wir v 1 = 2, v 2 = 3.

Setzen Sie diese Werte in die Gleichung ein u = 5 - v, wir bekommen u 1 = 3,
u 2 = 2. Dann haben wir zwei Systeme

Beim Lösen des ersten Systems erhalten wir zwei Zahlenpaare (1; 2), (2; 1). Das zweite System hat keine Lösungen.

Übungen zum selbstständigen Arbeiten

1. Lösen Sie Gleichungssysteme mit der Substitutionsmethode.

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Anweisung

Additionsmethode.
Sie müssen zwei strikt untereinander schreiben:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Setzen Sie in einer willkürlich (aus dem System) gewählten Gleichung anstelle des bereits gefundenen "Spiels" die Zahl 11 ein und berechnen Sie die zweite Unbekannte:

x=61+5*11, x=61+55, x=116.
Die Antwort dieses Gleichungssystems: x=116, y=11.

Grafischer Weg.
Sie besteht im praktischen Auffinden der Koordinaten des Punktes, an dem die Geraden mathematisch in das Gleichungssystem eingeschrieben sind. Sie sollten Diagramme beider Linien separat im selben Koordinatensystem zeichnen. Gesamtansicht: - y \u003d kx + b. Um eine gerade Linie zu konstruieren, genügt es, die Koordinaten zweier Punkte zu finden, und x wird willkürlich gewählt.
Lassen Sie das System gegeben sein: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Eine gerade Linie wird gemäß der ersten erstellt, der Einfachheit halber muss sie aufgeschrieben werden: y \u003d 2x-4. Finden Sie (einfachere) Werte für x, setzen Sie sie in die Gleichung ein, lösen Sie sie, finden Sie y. Es werden zwei Punkte erhalten, entlang denen eine gerade Linie aufgebaut wird. (siehe Bild)
x 0 1

y-4-2
Eine gerade Linie wird gemäß der zweiten Gleichung konstruiert: y \u003d -3x + 1.
Bauen Sie auch eine Linie. (siehe Bild)

1-5
Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts zweier konstruierter Linien im Diagramm (wenn sich die Linien nicht schneiden, hat das Gleichungssystem keine - also).

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Wenn das gleiche Gleichungssystem durch drei gelöst wird verschiedene Wege, wird die Antwort dieselbe sein (wenn die Lösung richtig ist).

Quellen:

• Algebra Klasse 8
• Online eine Gleichung mit zwei Unbekannten lösen
• Beispiele für das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei

System Gleichungen ist eine Sammlung mathematischer Datensätze, von denen jeder eine bestimmte Anzahl von Variablen enthält. Es gibt mehrere Möglichkeiten, sie zu lösen.

Du wirst brauchen

• -Lineal und Bleistift;
• -Taschenrechner.

Anweisung

Betrachten Sie die Reihenfolge der Lösung des Systems, das aus linearen Gleichungen der Form: a1x + b1y = c1 und a2x + b2y = c2 besteht. Wobei x und y unbekannte Variablen sind und b,c freie Mitglieder sind. Bei der Anwendung dieser Methode ist jedes System die Koordinaten der Punkte, die jeder Gleichung entsprechen. Drücken Sie zunächst jeweils eine Variable durch die andere aus. Setzen Sie dann die x-Variable auf eine beliebige Anzahl von Werten. Zwei sind genug. Setzen Sie in die Gleichung ein und finden Sie y. Erstellen Sie ein Koordinatensystem, markieren Sie die erhaltenen Punkte darauf und ziehen Sie eine gerade Linie durch sie. Ähnliche Berechnungen müssen für andere Teile des Systems durchgeführt werden.

Das System hat einzige Entscheidung, wenn sich die konstruierten Linien schneiden und eins gemeinsamer Punkt. Es ist inkonsistent, wenn sie parallel zueinander sind. Und es hat unendlich viele Lösungen, wenn die Linien miteinander verschmelzen.

Diese Methode gilt als sehr übersichtlich. Der Hauptnachteil besteht darin, dass die berechneten Unbekannten Näherungswerte haben. Ein genaueres Ergebnis liefern die sogenannten algebraischen Methoden.

Jede Lösung eines Gleichungssystems ist es wert, überprüft zu werden. Ersetzen Sie dazu die erhaltenen Werte anstelle der Variablen. Sie können seine Lösung auch auf verschiedene Arten finden. Wenn die Lösung des Systems richtig ist, dann sollten alle gleich ausfallen.

Oft gibt es Gleichungen, in denen einer der Terme unbekannt ist. Um eine Gleichung zu lösen, müssen Sie sich merken und eine bestimmte Reihe von Aktionen mit diesen Zahlen ausführen.

Du wirst brauchen

• - Blatt Papier;
• - Kugelschreiber oder Bleistift.

Anweisung

Stellen Sie sich vor, Sie haben 8 Hasen vor sich und nur 5 Karotten. Denken Sie, Sie müssen mehr Karotten kaufen, damit jedes Kaninchen eine Karotte bekommt.

Stellen wir dieses Problem in Form einer Gleichung dar: 5 + x = 8. Ersetzen wir x durch die Zahl 3. Tatsächlich ist 5 + 3 = 8.

Als Sie x durch eine Zahl ersetzten, führten Sie die gleiche Operation durch, als würden Sie 5 von 8 subtrahieren. Also zu finden Unbekannt Term, subtrahieren Sie den bekannten Term von der Summe.

Nehmen wir an, Sie haben 20 Kaninchen und nur 5 Karotten. Lass uns komponieren. Eine Gleichung ist eine Gleichheit, die nur für bestimmte Werte der darin enthaltenen Buchstaben gilt. Die Buchstaben, deren Werte Sie finden möchten, werden aufgerufen. Schreiben Sie eine Gleichung mit einer Unbekannten, nennen Sie sie x. Bei der Lösung unseres Kaninchenproblems ergibt sich folgende Gleichung: 5 + x = 20.

Lassen Sie uns den Unterschied zwischen 20 und 5 finden. Beim Subtrahieren wird die Zahl, von der subtrahiert wird, reduziert. Die Zahl, die subtrahiert wird, heißt , und das Endergebnis heißt Differenz. Also x = 20 - 5; x = 15. Sie müssen 15 Karotten für Kaninchen kaufen.

Kreuze an: 5 + 15 = 20. Die Gleichung ist richtig. Natürlich wann wir reden Bei solchen einfachen ist es nicht erforderlich, eine Überprüfung durchzuführen. Bei Gleichungen mit dreistelligen, vierstelligen usw. ist es jedoch zwingend erforderlich, dass Sie das Ergebnis Ihrer Arbeit absolut sicher sind.

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Um den unbekannten Minuend zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz hinzufügen.

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, muss die Differenz vom Minuend subtrahiert werden.

Tipp 4: Wie man ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten löst

Ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten kann trotz einer ausreichenden Anzahl von Gleichungen keine Lösungen haben. Sie können versuchen, es mit der Substitutionsmethode oder mit der Cramer-Methode zu lösen. Die Methode von Cramer ermöglicht es einem zusätzlich zum Lösen des Systems zu bewerten, ob das System lösbar ist, bevor man die Werte der Unbekannten findet.

Anweisung

Die Substitutionsmethode besteht darin, nacheinander eine Unbekannte durch zwei andere zu ersetzen und das erhaltene Ergebnis in die Gleichungen des Systems einzusetzen. Gegeben sei ein System von drei Gleichungen Gesamtansicht:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

x aus der ersten Gleichung ausdrücken: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - und in die zweite und dritte Gleichung einsetzen, dann y aus der zweiten Gleichung ausdrücken und in die dritte einsetzen. Sie erhalten einen linearen Ausdruck für z durch die Koeffizienten der Gleichungen des Systems. Gehen Sie jetzt "zurück": Setzen Sie z in die zweite Gleichung ein und finden Sie y, dann setzen Sie z und y in die erste Gleichung ein und finden Sie x. Der Prozess ist allgemein in der Figur gezeigt, bis z gefunden ist. Darüber hinaus wird die Aufzeichnung in allgemeiner Form zu umständlich sein, in der Praxis können Sie durch Ersetzen von ganz leicht alle drei Unbekannten finden.

Cramers Methode besteht darin, die Matrix des Systems zu erstellen und die Determinante dieser Matrix sowie drei weitere Hilfsmatrizen zu berechnen. Die Matrix des Systems setzt sich aus den Koeffizienten an den unbekannten Termen der Gleichungen zusammen. Die Spalte mit den Zahlen auf der rechten Seite der Gleichungen, die Spalte der rechten Seite. Es wird nicht im System verwendet, wird aber beim Lösen des Systems verwendet.

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beachten Sie

Alle Gleichungen im System müssen zusätzliche, von anderen Gleichungen unabhängige Informationen liefern. Andernfalls wird das System unterbestimmt und es kann keine eindeutige Lösung gefunden werden.

Hilfreicher Rat

Ersetzen Sie nach dem Lösen des Gleichungssystems die gefundenen Werte in das ursprüngliche System und prüfen Sie, ob sie alle Gleichungen erfüllen.

Von selbst Die gleichung mit drei Unbekannt hat viele Lösungen, daher wird es meistens durch zwei weitere Gleichungen oder Bedingungen ergänzt. Je nachdem, was die Ausgangsdaten sind, wird der Verlauf der Entscheidung stark davon abhängen.

Du wirst brauchen

• - ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten.

Anweisung

Wenn zwei der drei Systeme nur zwei der drei Unbekannten haben, versuchen Sie, einige Variablen durch die anderen auszudrücken und sie einzusetzen Die gleichung mit drei Unbekannt. Ihr Ziel dabei ist es, es in ein normales zu verwandeln Die gleichung mit dem Unbekannten. Wenn dies der Fall ist, ist die weitere Lösung ganz einfach – setze den gefundenen Wert in andere Gleichungen ein und finde alle anderen Unbekannten.

Einige Gleichungssysteme können von einer Gleichung durch eine andere subtrahiert werden. Sehen Sie, ob es möglich ist, eine von mit oder eine Variable zu multiplizieren, so dass zwei Unbekannte auf einmal reduziert werden. Wenn es eine solche Gelegenheit gibt, nutzen Sie sie höchstwahrscheinlich, die spätere Entscheidung wird nicht schwierig sein. Vergessen Sie nicht, dass Sie beim Multiplizieren mit einer Zahl sowohl die linke als auch die rechte Seite multiplizieren müssen. Denken Sie beim Subtrahieren von Gleichungen auch daran, dass die rechte Seite ebenfalls subtrahiert werden muss.

Wenn bisherige Methoden hat nicht geholfen, verwenden Sie die allgemeine Methode zum Lösen von Gleichungen mit drei Unbekannt. Schreiben Sie dazu die Gleichungen in der Form a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 um. Erstellen Sie nun eine Matrix von Koeffizienten bei x (A), eine Matrix von Unbekannten (X) und eine Matrix von freien (B). Achten Sie darauf, dass Sie die Matrix der Koeffizienten mit der Matrix der Unbekannten multiplizieren. Sie erhalten eine Matrix, eine Matrix freier Mitglieder, dh A * X \u003d B.

Finden Sie die Matrix A hoch (-1), nachdem Sie gefunden haben, beachten Sie, dass sie nicht gleich Null sein sollte. Multiplizieren Sie danach die resultierende Matrix mit Matrix B, als Ergebnis erhalten Sie die gewünschte Matrix X, die alle Werte angibt.

Mit der Cramer-Methode können Sie auch eine Lösung für ein System aus drei Gleichungen finden. Finden Sie dazu die Determinante dritter Ordnung ∆, die der Matrix des Systems entspricht. Finden Sie dann nacheinander drei weitere Determinanten ∆1, ∆2 und ∆3 und ersetzen Sie die Werte der freien Terme anstelle der Werte der entsprechenden Spalten. Finde nun x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Quellen:

• Lösungen von Gleichungen mit drei Unbekannten

Beginnen Sie mit der Lösung eines Gleichungssystems und finden Sie heraus, was diese Gleichungen sind. Die Methoden zur Lösung linearer Gleichungen sind gut untersucht. Nichtlineare Gleichungen werden meistens nicht gelöst. Es gibt nur einen Spezialfall, von denen jeder praktisch individuell ist. Daher sollte das Studium der Lösungsmethoden mit linearen Gleichungen beginnen. Solche Gleichungen können sogar rein algorithmisch gelöst werden.

die Nenner der gefundenen Unbekannten sind genau gleich. Ja, und die Zähler sind einige Muster ihrer Konstruktion sichtbar. Wenn die Dimension des Gleichungssystems größer als zwei wäre, würde das Eliminationsverfahren zu sehr umständlichen Berechnungen führen. Um sie zu vermeiden, wurden rein algorithmische Lösungen entwickelt. Der einfachste von ihnen ist Cramers Algorithmus (Cramers Formeln). Denn Sie sollten es wissen allgemeines System Gleichungen aus n Gleichungen.

Das System von n linearen algebraischen Gleichungen mit n Unbekannten hat die Form (siehe Abb. 1a). Darin sind aij die Koeffizienten des Systems,
хj – Unbekannte, bi – freie Mitglieder (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Ein solches System kann kompakt in der Matrixform AX=B geschrieben werden. Dabei ist A die Koeffizientenmatrix des Systems, X die Spaltenmatrix der Unbekannten, B die Spaltenmatrix der freien Terme (siehe Abb. 1b). Nach Cramers Methode ist jede Unbekannte xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Die Determinante ∆ der Koeffizientenmatrix heißt Hauptdeterminante und ∆i Hilfsdeterminante. Für jede Unbekannte wird eine Hilfsdeterminante gefunden, indem die i-te Spalte der Hauptdeterminante durch eine Spalte mit freien Mitgliedern ersetzt wird. Das Cramersche Verfahren für Systeme zweiter und dritter Ordnung ist in Abb. 2.

Ein System ist eine Vereinigung von zwei oder mehr Gleichheiten, von denen jede zwei oder mehr Unbekannte hat. Es gibt zwei Hauptwege, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, die im Framework verwendet werden Lehrplan. Die eine heißt Methode, die andere Additionsmethode.

Standardform eines Systems aus zwei Gleichungen

Bei Standardform die erste Gleichung ist a1*x+b1*y=c1, die zweite Gleichung ist a2*x+b2*y=c2 und so weiter. Zum Beispiel sind im Fall von zwei Teilen des Systems in beiden gegeben a1, a2, b1, b2, c1, c2 einige numerische Koeffizienten, die in spezifischen Gleichungen dargestellt sind. x und y wiederum sind Unbekannte, deren Werte bestimmt werden müssen. Die gewünschten Werte verwandeln beide Gleichungen gleichzeitig in wahre Gleichheiten.

Lösung des Systems nach der Additionsmethode

Um das System zu lösen, das heißt, um die Werte von x und y zu finden, die sie in echte Gleichheiten verwandeln, müssen Sie ein paar einfache Schritte unternehmen. Die erste davon besteht darin, eine der Gleichungen so umzuformen, dass die numerischen Koeffizienten für die Variablen x oder y in beiden Gleichungen im Betrag übereinstimmen, sich aber im Vorzeichen unterscheiden.

Gegeben sei zum Beispiel ein System bestehend aus zwei Gleichungen. Der erste hat die Form 2x+4y=8, der zweite hat die Form 6x+2y=6. Eine der Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen, besteht darin, die zweite Gleichung mit einem Faktor von -2 zu multiplizieren, was zu der Form -12x-4y=-12 führt. Die richtige Wahl des Koeffizienten ist eine der zentralen Aufgaben bei der Lösung des Systems nach der Additionsmethode, da sie den gesamten weiteren Ablauf des Verfahrens zum Auffinden von Unbekannten bestimmt.

Nun gilt es, die beiden Gleichungen des Systems zu addieren. Offensichtlich führt die gegenseitige Zerstörung von Variablen mit gleichem Wert, aber entgegengesetzten Vorzeichenkoeffizienten zu der Form -10x=-4. Danach muss diese einfache Gleichung gelöst werden, aus der eindeutig folgt, dass x = 0,4.

Der letzte Schritt im Lösungsprozess ist die Substitution des gefundenen Werts einer der Variablen in eine der im System verfügbaren Anfangsgleichungen. Wenn Sie beispielsweise x=0,4 in die erste Gleichung einsetzen, erhalten Sie den Ausdruck 2*0,4+4y=8, aus dem y=1,8. Somit sind x = 0,4 und y = 1,8 die Wurzeln des im Beispiel gezeigten Systems.

Um sicherzustellen, dass die Wurzeln richtig gefunden wurden, ist es sinnvoll, die gefundenen Werte durch Einsetzen in die zweite Gleichung des Systems zu überprüfen. Zum Beispiel im dieser Fall eine Gleichheit der Form 0,4*6+1,8*2=6 wird erhalten, was wahr ist.

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Wir werden zwei Arten der Lösung von Gleichungssystemen analysieren:

1. Lösung des Systems nach der Substitutionsmethode.
2. Lösung des Systems durch gliedweise Addition (Subtraktion) der Gleichungen des Systems.

Um das Gleichungssystem zu lösen Substitutionsmethode Sie müssen einem einfachen Algorithmus folgen:
1. Wir drücken aus. Aus jeder Gleichung drücken wir eine Variable aus.
2. Ersatz. Wir ersetzen in einer anderen Gleichung anstelle der ausgedrückten Variablen den resultierenden Wert.
3. Wir lösen die resultierende Gleichung mit einer Variablen. Wir finden eine Lösung für das System.

Lösen System durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) müssen:
1. Wählen Sie eine Variable aus, für die wir dieselben Koeffizienten erstellen.
2. Wir addieren oder subtrahieren die Gleichungen, als Ergebnis erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen.
3. Wir lösen die resultierende lineare Gleichung. Wir finden eine Lösung für das System.

Die Lösung des Systems sind die Schnittpunkte der Graphen der Funktion.

Betrachten wir die Lösung von Systemen anhand von Beispielen im Detail.

Beispiel 1:

Lösen wir nach der Substitutionsmethode

Lösen des Gleichungssystems nach der Substitutionsmethode

2x+5y=1 (1 Gleichung)
x-10y=3 (2. Gleichung)

1. ausdrücken
Es ist ersichtlich, dass es in der zweiten Gleichung eine Variable x mit einem Koeffizienten von 1 gibt, daher stellt sich heraus, dass es am einfachsten ist, die Variable x aus der zweiten Gleichung auszudrücken.
x=3+10y

2. Nach dem Ausdrücken ersetzen wir in der ersten Gleichung 3 + 10y anstelle der Variablen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Wir lösen die resultierende Gleichung mit einer Variablen.
2(3+10y)+5y=1 (offene Klammern)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Die Lösung des Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der Graphen, daher müssen wir x und y finden, denn der Schnittpunkt besteht aus x und y. Lassen Sie uns x finden, im ersten Absatz, wo wir ausgedrückt haben, ersetzen wir dort y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Es ist üblich, an erster Stelle Punkte zu schreiben, wir schreiben die Variable x und an zweiter Stelle die Variable y.
Antwort: (1; -0,2)

Beispiel #2:

Lassen Sie uns durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) lösen.

Lösen eines Gleichungssystems nach der Additionsmethode

3x-2y=1 (1 Gleichung)
2x-3y=-10 (2. Gleichung)

1. Wählen Sie eine Variable aus, sagen wir, wir wählen x aus. In der ersten Gleichung hat die Variable x einen Koeffizienten von 3, in der zweiten - 2. Wir müssen die Koeffizienten gleich machen, dafür haben wir das Recht, die Gleichungen zu multiplizieren oder durch eine beliebige Zahl zu dividieren. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3 und erhalten einen Gesamtkoeffizienten von 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Subtrahiere von der ersten Gleichung die zweite, um die Variable x loszuwerden. Löse die lineare Gleichung.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finden Sie x. Wir ersetzen das gefundene y in jeder der Gleichungen, sagen wir in der ersten Gleichung.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Der Schnittpunkt ist x=4,6; y=6,4
Antwort: (4.6; 6.4)

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