So lösen Sie Ableitungen. Funktionsableitung
Ableitungsrechnung eine der wichtigsten Operationen in Differentialrechnung. Nachfolgend finden Sie eine Tabelle zum Finden von Ableitungen einfacher Funktionen. Für komplexere Differenzierungsregeln siehe andere Lektionen:- Tabelle der Ableitungen exponentieller und logarithmischer Funktionen
Ableitungen einfacher Funktionen
1. Die Ableitung einer Zahl ist Nullс´ = 0
Beispiel:
5' = 0
Erläuterung:
Die Ableitung zeigt die Geschwindigkeit an, mit der sich der Wert der Funktion ändert, wenn sich das Argument ändert. Da sich die Zahl unter keinen Umständen ändert, ist die Änderungsrate immer Null.
2. Ableitung einer Variablen gleich eins
x' = 1
Erläuterung:
Mit jeder Erhöhung des Arguments (x) um eins erhöht sich der Wert der Funktion (Berechnungsergebnis) um den gleichen Betrag. Somit ist die Änderungsrate des Werts der Funktion y = x genau gleich der Änderungsrate des Werts des Arguments.
3. Die Ableitung einer Variablen und eines Faktors ist gleich diesem Faktor
сx´ = с
Beispiel:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Erläuterung:
IN dieser Fall, jedes Mal, wenn sich das Funktionsargument ändert ( X) sein Wert (y) wächst Mit einmal. Somit ist die Änderungsrate des Werts der Funktion in Bezug auf die Änderungsrate des Arguments genau gleich dem Wert Mit.
Daraus folgt das
(cx + b)“ = c
d.h. Differential lineare Funktion y=kx+b ist Winkelkoeffizient Steigung der Geraden (k).
4. Modulo-Ableitung einer Variablen ist gleich dem Quotienten dieser Variablen zu ihrem Modul
|x|"= x / |x| vorausgesetzt, dass x ≠ 0
Erläuterung:
Da die Ableitung der Variablen (siehe Formel 2) gleich eins ist, unterscheidet sich die Ableitung des Moduls nur dadurch, dass sich der Wert der Änderungsrate der Funktion beim Überqueren des Ursprungspunkts ins Gegenteil ändert (versuchen Sie, einen Graphen zu zeichnen). der Funktion y = |x| und überzeugen Sie sich selbst. Das ist genau der Wert und gibt den Ausdruck x / |x| zurück, wenn x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - eins. Das heißt, bei negativen Werten der Variablen x nimmt der Wert der Funktion mit jeder Erhöhung der Argumentänderung um genau den gleichen Wert ab, bei positiven Werten hingegen steigt er, jedoch um genau den gleichen Wert.
5. Potenzableitung einer Variablen ist gleich dem Produkt aus der Zahl dieser Potenz und der Variablen in der Potenz, reduziert um eins
(x c)"= cx c-1, vorausgesetzt, dass x c und cx c-1 definiert sind und c ≠ 0
Beispiel:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Die Formel auswendig lernen:
Nehmen Sie den Exponenten der Variablen „down“ als Multiplikator und verringern Sie dann den Exponenten selbst um eins. Zum Beispiel war für x 2 - zwei vor x, und dann ergab die reduzierte Potenz (2-1 = 1) gerade 2x. Das Gleiche geschah für x 3 – wir „senken“ die drei, reduzieren sie um eins und statt eines Würfels haben wir ein Quadrat, also 3x 2. Etwas „unwissenschaftlich“, aber sehr leicht zu merken.
6.Bruchableitung 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Beispiel:
Denn ein Bruch lässt sich als Potenz negativ darstellen
(1/x)" = (x -1)" , dann können Sie die Formel aus Regel 5 der Ableitungstabelle anwenden
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Bruchableitung mit einer Variablen beliebigen Grades im Nenner
(1/x c)" = - c / x c+1
Beispiel:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Wurzelableitung(Ableitung der Variablen unter der Quadratwurzel)
(√x)“ = 1 / (2√x) oder 1/2 x -1/2
Beispiel:
(√x)" = (x 1/2)", sodass Sie die Formel aus Regel 5 anwenden können
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. Ableitung einer Variablen unter einer Wurzel beliebigen Grades
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)
Dabei haben wir die einfachsten Ableitungen analysiert und uns auch mit den Differenzierungsregeln und einigen Techniken zum Auffinden von Ableitungen vertraut gemacht. Wenn Sie also nicht sehr gut mit Ableitungen von Funktionen umgehen können oder einige Punkte dieses Artikels nicht ganz klar sind, dann lesen Sie zuerst die obige Lektion. Bitte stellen Sie sich auf eine ernste Stimmung ein – der Stoff ist nicht einfach, aber ich werde trotzdem versuchen, ihn einfach und klar darzustellen.
In der Praxis muss man sich sehr oft, ich würde sogar sagen fast immer, mit der Ableitung einer komplexen Funktion befassen, wenn man Aufgaben bekommt, Ableitungen zu finden.
Wir schauen uns in der Tabelle die Regel (Nr. 5) zur Differenzierung einer komplexen Funktion an:
Wir verstehen. Werfen wir zunächst einen Blick auf die Notation. Hier haben wir zwei Funktionen – und, und die Funktion ist bildlich gesprochen in der Funktion verschachtelt. Eine Funktion dieser Art (wenn eine Funktion in einer anderen verschachtelt ist) wird als komplexe Funktion bezeichnet.
Ich werde die Funktion aufrufen externe Funktion, und die Funktion – innere (oder verschachtelte) Funktion.
! Diese Definitionen sind nicht theoretisch und sollten nicht in der endgültigen Gestaltung der Aufgaben enthalten sein. Ich verwende die umgangssprachlichen Ausdrücke „externe Funktion“, „interne“ Funktion nur, um Ihnen das Verständnis des Materials zu erleichtern.
Um die Situation zu klären, bedenken Sie Folgendes:
Beispiel 1
Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Unter dem Sinus steht nicht nur der Buchstabe „x“, sondern der gesamte Ausdruck, daher wird es nicht funktionieren, die Ableitung direkt aus der Tabelle zu finden. Wir bemerken auch, dass es hier unmöglich ist, die ersten vier Regeln anzuwenden, es scheint einen Unterschied zu geben, aber Tatsache ist, dass es unmöglich ist, den Sinus zu „zerreißen“:
IN dieses Beispiel Schon aus meinen Erläuterungen ist intuitiv klar, dass eine Funktion eine komplexe Funktion ist und das Polynom eine interne Funktion (Einbettung) und eine externe Funktion ist.
Erster Schritt, die durchgeführt werden muss, wenn die Ableitung einer komplexen Funktion ermittelt werden soll verstehen, welche Funktion intern und welche extern ist.
Im Fall von einfache Beispiele Es scheint klar, dass unter dem Sinus ein Polynom verschachtelt ist. Was aber, wenn es nicht offensichtlich ist? Wie lässt sich genau bestimmen, welche Funktion extern und welche intern ist? Dazu schlage ich vor, die folgende Technik zu verwenden, die gedanklich oder im Entwurf ausgeführt werden kann.
Stellen wir uns vor, wir müssen den Wert des Ausdrucks mit einem Taschenrechner berechnen (anstelle von eins kann es eine beliebige Zahl geben).
Was berechnen wir zuerst? Erstens Sie müssen die folgende Aktion ausführen: , damit das Polynom eine interne Funktion ist: 
Zweitens Sie müssen herausfinden, dass der Sinus eine externe Funktion sein wird: 
Nachdem wir VERSTEHEN Bei inneren und äußeren Funktionen ist es an der Zeit, die Differenzierungsregel für zusammengesetzte Funktionen anzuwenden 
.
Wir beginnen zu entscheiden. Aus der Lektion Wie findet man die Ableitung? Wir erinnern uns, dass der Entwurf der Lösung einer Ableitung immer so beginnt: Wir schließen den Ausdruck in Klammern und setzen oben rechts einen Strich:
Anfangs Wir finden die Ableitung der externen Funktion (Sinus), schauen uns die Tabelle der Ableitungen der Elementarfunktionen an und stellen fest, dass . Alle tabellarischen Formeln sind anwendbar, auch wenn „x“ durch einen komplexen Ausdruck ersetzt wird, in diesem Fall:
Beachten Sie die innere Funktion hat sich nicht verändert, wir rühren es nicht an.
Nun, das ist ganz offensichtlich
Das Ergebnis der Anwendung der Formel 
sauber sieht so aus:
Der konstante Faktor steht üblicherweise am Anfang des Ausdrucks:
Sollte es zu Missverständnissen kommen, schreiben Sie die Entscheidung auf Papier und lesen Sie die Erläuterungen noch einmal.
Beispiel 2
Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Beispiel 3
Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Wie immer schreiben wir: 
Wir finden heraus, wo wir eine externe Funktion haben und wo eine interne. Dazu versuchen wir (gedanklich oder auf einem Entwurf), den Wert des Ausdrucks für zu berechnen. Was muss zuerst getan werden? Zunächst müssen Sie berechnen, was die Basis ist:, was bedeutet, dass das Polynom die interne Funktion ist: 
Und erst dann wird eine Potenzierung durchgeführt, daher ist die Potenzfunktion eine externe Funktion: 
Nach der Formel 
, müssen Sie zunächst die Ableitung der externen Funktion ermitteln, in diesem Fall den Grad. Wir suchen die gewünschte Formel in der Tabelle:. Wir wiederholen noch einmal: Jede Tabellenformel gilt nicht nur für „x“, sondern auch für einen komplexen Ausdruck. Somit ist das Ergebnis der Anwendung der Differenzierungsregel einer komplexen Funktion 
nächste:
Ich betone noch einmal, dass sich die innere Funktion nicht ändert, wenn wir die Ableitung der äußeren Funktion bilden: 
Nun gilt es noch, eine ganz einfache Ableitung der inneren Funktion zu finden und das Ergebnis ein wenig zu „kämmen“:
Beispiel 4
Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Antwort am Ende der Lektion).
Um das Verständnis der Ableitung einer komplexen Funktion zu festigen, gebe ich ein Beispiel ohne Kommentare, versuche es selbst herauszufinden, begründe, wo ist die äußere und wo ist die innere Funktion, warum werden die Aufgaben so gelöst?
Beispiel 5
a) Finden Sie die Ableitung einer Funktion
b) Finden Sie die Ableitung der Funktion
Beispiel 6
Finden Sie die Ableitung einer Funktion 
Hier haben wir eine Wurzel, und um die Wurzel zu differenzieren, muss sie als Grad dargestellt werden. Daher bringen wir die Funktion zunächst in die richtige Form zur Differenzierung:
Bei der Analyse der Funktion kommen wir zu dem Schluss, dass die Summe dreier Terme eine interne Funktion und die Potenzierung eine externe Funktion ist. Wir wenden die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion an 
:
Der Grad wird wiederum als Wurzel (Wurzel) dargestellt und für die Ableitung der inneren Funktion wenden wir eine einfache Regel zur Differenzierung der Summe an:
Bereit. Sie können den Ausdruck auch in Klammern auf einen gemeinsamen Nenner bringen und alles als einen Bruch schreiben. Es ist natürlich schön, aber wenn man umständliche lange Ableitungen erhält, ist es besser, dies nicht zu tun (es ist leicht, verwirrt zu werden, einen unnötigen Fehler zu machen, und es wird für den Lehrer unpraktisch sein, dies zu überprüfen).
Beispiel 7
Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Antwort am Ende der Lektion).
Es ist interessant festzustellen, dass man manchmal anstelle der Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion die Regel zur Differenzierung eines Quotienten verwenden kann 
, aber eine solche Lösung wird wie eine ungewöhnliche Perversion aussehen. Hier ist ein typisches Beispiel:
Beispiel 8
Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Hier können Sie die Regel der Differenzierung des Quotienten anwenden 
, aber es ist viel profitabler, die Ableitung durch die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion zu finden:
Wir bereiten die Funktion für die Differenzierung vor – wir entfernen das Minuszeichen der Ableitung und erhöhen den Kosinus zum Zähler:
Der Kosinus ist eine interne Funktion, die Potenzierung eine externe Funktion.
Nutzen wir unsere Regel 
:
Wir finden die Ableitung der inneren Funktion und setzen den Kosinus wieder nach unten:
Bereit. Im betrachteten Beispiel ist es wichtig, sich nicht in den Zeichen zu verwirren. Versuchen Sie es übrigens mit der Regel zu lösen 
, die Antworten müssen übereinstimmen.
Beispiel 9
Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Antwort am Ende der Lektion).
Bisher haben wir Fälle betrachtet, in denen wir nur eine Verschachtelung in einer komplexen Funktion hatten. Bei praktischen Aufgaben findet man oft Derivate, bei denen wie bei Nistpuppen 3 oder sogar 4-5 Funktionen gleichzeitig ineinander verschachtelt sind.
Beispiel 10
Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Wir verstehen die Anhänge dieser Funktion. Wir versuchen, den Ausdruck anhand des experimentellen Werts auszuwerten. Wie würden wir mit einem Taschenrechner rechnen?
Zuerst müssen Sie herausfinden, was bedeutet, dass der Arkussinus die tiefste Verschachtelung ist:
Dieser Arkussinus der Einheit sollte dann quadriert werden:
Und schließlich potenzieren wir die Sieben: 
Das heißt, in diesem Beispiel haben wir drei verschiedene Funktionen und zwei Verschachtelungen, wobei die innerste Funktion der Arkussinus und die äußerste Funktion die Exponentialfunktion ist.
Wir beginnen zu entscheiden
Gemäß der Regel 
Zuerst müssen Sie die Ableitung der äußeren Funktion bilden. Wir schauen uns die Ableitungstabelle an und finden die Ableitung der Exponentialfunktion: Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir anstelle von „x“ einen komplexen Ausdruck haben, was die Gültigkeit dieser Formel nicht negiert. Also das Ergebnis der Anwendung der Differenzierungsregel einer komplexen Funktion 
nächste.
Beweis und Ableitung von Formeln für die Ableitung der Exponentialfunktion (e hoch x) und der Exponentialfunktion (a hoch x). Beispiele für die Berechnung von Ableitungen von e^2x, e^3x und e^nx. Formeln für Ableitungen höherer Ordnung.
Die Ableitung des Exponenten ist gleich dem Exponenten selbst (die Ableitung von e hoch x ist gleich e hoch x):
(1)
(e x )′ = e x.
Die Ableitung einer Exponentialfunktion mit einer Basis vom Grad a ist gleich der Funktion selbst, multipliziert mit natürlicher Logarithmus von einem :
(2)
.
Herleitung der Formel für die Ableitung des Exponenten e hoch x
Der Exponent ist eine Exponentialfunktion, deren Exponentenbasis gleich der Zahl e ist, die dem folgenden Grenzwert entspricht:
.
Dabei kann es sich entweder um eine natürliche oder eine reelle Zahl handeln. Als nächstes leiten wir Formel (1) für die Ableitung des Exponenten ab.
Herleitung der Formel für die Ableitung des Exponenten
Betrachten Sie den Exponenten e hoch x:
y = e x .
Diese Funktion ist für alle definiert. Finden wir seine Ableitung nach x. Per Definition ist die Ableitung der folgende Grenzwert:
(3)
.
Lassen Sie uns diesen Ausdruck umwandeln, um ihn auf bekannte mathematische Eigenschaften und Regeln zu reduzieren. Dazu benötigen wir folgende Fakten:
A) Exponenteneigenschaft:
(4)
;
B) Logarithmus-Eigenschaft:
(5)
;
IN) Stetigkeit des Logarithmus und Grenzwerteigenschaft für eine stetige Funktion:
(6)
.
Hier ist eine Funktion, die einen Grenzwert hat und dieser Grenzwert positiv ist.
G) Die Bedeutung der zweiten wunderbaren Grenze:
(7)
.
Wir wenden diese Tatsachen auf unser Limit (3) an. Wir verwenden Eigenschaft (4):
;
.
Machen wir einen Ersatz. Dann ; .
Aufgrund der Stetigkeit des Exponenten
.
Daher bei , . Als Ergebnis erhalten wir:
.
Machen wir einen Ersatz. Dann . Bei , . Und wir haben:
.
Wir wenden die Eigenschaft des Logarithmus (5) an:
. Dann
.
Wenden wir Eigenschaft (6) an. Da es einen positiven Grenzwert gibt und der Logarithmus stetig ist, gilt:
.
Hier haben wir auch die zweite bemerkenswerte Grenze (7) verwendet. Dann
.
Somit haben wir Formel (1) für die Ableitung des Exponenten erhalten.
Herleitung der Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion
Nun leiten wir die Formel (2) für die Ableitung der Exponentialfunktion mit einer Basis vom Grad a her. Wir glauben das und . Dann die Exponentialfunktion
(8)
Definiert für jeden.
Lassen Sie uns Formel (8) umwandeln. Dafür verwenden wir Eigenschaften der Exponentialfunktion und Logarithmus.
;
.
Daher haben wir Formel (8) in die folgende Form umgewandelt:
.
Ableitungen höherer Ordnung von e hoch x
Lassen Sie uns nun Ableitungen höherer Ordnung finden. Schauen wir uns zunächst den Exponenten an:
(14)
.
(1)
.
Wir sehen, dass die Ableitung der Funktion (14) gleich der Funktion (14) selbst ist. Wenn wir (1) differenzieren, erhalten wir Ableitungen zweiter und dritter Ordnung:
;
.
Dies zeigt, dass die Ableitung n-ter Ordnung auch gleich der ursprünglichen Funktion ist:
.
Ableitungen höherer Ordnung der Exponentialfunktion
Nun überlegen Sie Exponentialfunktion mit Basisabschluss a :
.
Wir haben seine Ableitung erster Ordnung gefunden:
(15)
.
Wenn wir (15) differenzieren, erhalten wir Ableitungen zweiter und dritter Ordnung:
;
.
Wir sehen, dass jede Differentiation zur Multiplikation der ursprünglichen Funktion mit führt. Daher hat die n-te Ableitung die folgende Form:
.
Nach der vorläufigen Artillerievorbereitung werden Beispiele mit 3-4-5 Funktionsanhängen weniger gruselig sein. Die folgenden beiden Beispiele mögen manchen vielleicht kompliziert erscheinen, aber wenn man sie versteht (jemand wird leiden), dann wird fast alles andere in der Differentialrechnung wie ein Kinderwitz erscheinen.
Beispiel 2
Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Wie bereits erwähnt, ist es beim Finden der Ableitung einer komplexen Funktion zunächst einmal notwendig Rechts INVESTITIONEN VERSTEHEN. Im Zweifelsfall erinnere ich daran nützliche Technik: Wir nehmen zum Beispiel den experimentellen Wert „x“ und versuchen (mental oder auf einem Entwurf), diesen Wert in den „schrecklichen Ausdruck“ einzusetzen.
1) Zuerst müssen wir den Ausdruck berechnen, damit die Summe die tiefste Verschachtelung darstellt.
2) Dann müssen Sie den Logarithmus berechnen:
4) Würfeln Sie dann den Kosinus:
5) Im fünften Schritt der Unterschied:
6) Und schließlich ist die äußerste Funktion die Quadratwurzel: 
Formel zur Differenzierung zusammengesetzter Funktionen 
werden in umgekehrter Reihenfolge angewendet, von der äußersten Funktion zur innersten. Wir entscheiden:
Scheint fehlerfrei zu sein:
1) Wir bilden die Ableitung von Quadratwurzel.
2) Wir bilden die Ableitung der Differenz nach der Regel 
3) Die Ableitung des Tripels ist gleich Null. Im zweiten Term bilden wir die Ableitung des Grades (Würfel).
4) Wir bilden die Ableitung des Kosinus.
6) Und schließlich nehmen wir die Ableitung der tiefsten Verschachtelung.
Es mag zu schwierig erscheinen, aber dies ist nicht das brutalste Beispiel. Nehmen Sie zum Beispiel die Sammlung von Kuznetsov und Sie werden den ganzen Charme und die Einfachheit des analysierten Derivats zu schätzen wissen. Mir ist aufgefallen, dass sie bei der Prüfung gerne etwas Ähnliches geben, um zu überprüfen, ob der Student versteht, wie man die Ableitung einer komplexen Funktion findet, oder nicht.
Das folgende Beispiel gilt für eine eigenständige Lösung.
Beispiel 3
Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Hinweis: Zuerst wenden wir die Regeln der Linearität und die Regel der Differentiation des Produkts an
Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.
Es ist Zeit, zu etwas Kompakterem und Hübscherem überzugehen.
Es kommt nicht selten vor, dass in einem Beispiel das Produkt nicht zweier, sondern dreier Funktionen angegeben wird. So finden Sie die Ableitung von Produkte von drei Multiplikatoren?
Beispiel 4
Finden Sie die Ableitung einer Funktion 
Zuerst schauen wir, aber ist es möglich, das Produkt von drei Funktionen in ein Produkt von zwei Funktionen umzuwandeln? Wenn wir beispielsweise zwei Polynome im Produkt hätten, könnten wir die Klammern öffnen. Aber in diesem Beispiel sind alle Funktionen unterschiedlich: Grad, Exponent und Logarithmus.
In solchen Fällen ist es notwendig nacheinander Wenden Sie die Produktdifferenzierungsregel an 
zweimal
Der Trick besteht darin, dass wir für „y“ das Produkt zweier Funktionen bezeichnen: , und für „ve“ – den Logarithmus:. Warum ist das möglich? Ist es 
- das ist nicht das Produkt zweier Faktoren und die Regel funktioniert nicht?! Es gibt nichts Kompliziertes:
Nun gilt es, die Regel ein zweites Mal anzuwenden einklammern:
Sie können immer noch verdrehen und etwas aus den Klammern herausnehmen, aber in diesem Fall ist es besser, die Antwort in dieser Form zu belassen, da dies einfacher zu überprüfen ist.
Das obige Beispiel kann auf die zweite Art gelöst werden:
Beide Lösungen sind absolut gleichwertig.
Beispiel 5
Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Dies ist ein Beispiel für eine eigenständige Lösung, im Beispiel wird sie auf die erste Art gelöst.
Betrachten Sie ähnliche Beispiele mit Brüchen.
Beispiel 6
Finden Sie die Ableitung einer Funktion 
Hier können Sie auf verschiedene Arten vorgehen:
Oder so:
Die Lösung lässt sich aber kompakter schreiben, wenn man zunächst die Regel der Differenzierung des Quotienten verwendet 
, wobei für den ganzen Zähler gilt:
Im Prinzip ist das Beispiel gelöst, und wenn es in dieser Form belassen wird, ist es kein Fehler. Aber wenn Sie Zeit haben, ist es immer ratsam, einen Entwurf zu prüfen. Aber ist es möglich, die Antwort zu vereinfachen?
Wir bringen den Ausdruck des Zählers auf einen gemeinsamen Nenner und entfernen den dreistelligen Bruch:
Der Nachteil zusätzlicher Vereinfachungen besteht darin, dass nicht bei der Suche nach einer Ableitung, sondern bei banalen Schultransformationen die Gefahr besteht, einen Fehler zu machen. Andererseits lehnen Lehrer die Aufgabe oft ab und bitten darum, die Ableitung „in Erinnerung zu rufen“.
Ein einfacheres Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:
Beispiel 7
Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Wir beherrschen weiterhin die Techniken zum Finden der Ableitung und betrachten nun einen typischen Fall, in dem ein „schrecklicher“ Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird
Die Operation, eine Ableitung zu finden, wird Differenzierung genannt.
Als Ergebnis der Lösung von Problemen bei der Suche nach Ableitungen der einfachsten (und nicht sehr einfachen) Funktionen durch Definition der Ableitung als Grenze des Verhältnisses von Inkrement zu Inkrement des Arguments entstand eine Tabelle mit Ableitungen und genau definierten Differenzierungsregeln . Isaac Newton (1643–1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) waren die ersten, die sich mit der Suche nach Derivaten beschäftigten.
Daher ist es heutzutage zum Ermitteln der Ableitung einer Funktion nicht erforderlich, die oben genannte Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments zu berechnen, sondern lediglich die Tabelle zu verwenden von Derivaten und die Regeln der Differenzierung. Zur Ermittlung der Ableitung eignet sich der folgende Algorithmus.
Um die Ableitung zu finden, benötigen Sie einen Ausdruck unter dem Strichzeichen Zerlegen Sie einfache Funktionen und bestimmen Sie, welche Aktionen (Produkt, Summe, Quotient) Diese Funktionen hängen zusammen. Darüber hinaus finden wir die Ableitungen elementarer Funktionen in der Ableitungstabelle und die Formeln für die Ableitungen von Produkt, Summe und Quotient in den Differenzierungsregeln. Die Tabelle der Ableitungen und Differenzierungsregeln folgt den ersten beiden Beispielen.
Beispiel 1 Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Lösung. Aus den Differenzierungsregeln erfahren wir, dass die Ableitung der Summe der Funktionen die Summe der Ableitungen von Funktionen ist, d.h.
Aus der Ableitungstabelle erfahren wir, dass die Ableitung von „X“ gleich eins ist und die Ableitung des Sinus der Kosinus ist. Wir ersetzen diese Werte in der Summe der Ableitungen und finden die Ableitung, die für die Bedingung des Problems erforderlich ist:
Beispiel 2 Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Lösung. Differenzieren als Ableitung der Summe, bei der der zweite Term mit einem konstanten Faktor aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden kann:
Wenn es noch Fragen gibt, woher etwas kommt, werden diese in der Regel nach der Lektüre der Ableitungstabelle und der einfachsten Differenzierungsregeln klar. Wir gehen jetzt zu ihnen.
Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen
| 1. Ableitung einer Konstante (Zahl). Beliebige Zahl (1, 2, 5, 200...), die im Funktionsausdruck enthalten ist. Immer Null. Dies ist sehr wichtig, da dies sehr oft erforderlich ist | |
| 2. Ableitung der unabhängigen Variablen. Am häufigsten „x“. Immer gleich eins. Dies ist auch wichtig, sich daran zu erinnern | |
| 3. Ableitung des Grades. Beim Lösen von Problemen müssen Sie Nicht-Quadratwurzeln in eine Potenz umwandeln. | |
| 4. Ableitung einer Variablen hoch -1 | |
| 5. Ableitung der Quadratwurzel | |
| 6. Sinusableitung | |
| 7. Kosinus-Ableitung |  |
| 8. Tangentenableitung |  |
| 9. Ableitung des Kotangens |  |
| 10. Ableitung des Arkussinus |  |
| 11. Ableitung des Arcuskosinus |  |
| 12. Ableitung des Arcustangens |  |
| 13. Ableitung des Umkehrtangens |  |
| 14. Ableitung des natürlichen Logarithmus | |
| 15. Ableitung einer logarithmischen Funktion |  |
| 16. Ableitung des Exponenten | |
| 17. Ableitung der Exponentialfunktion |
Differenzierungsregeln
| 1. Ableitung der Summe oder Differenz |  |
| 2. Derivat eines Produkts |  |
| 2a. Ableitung eines Ausdrucks multipliziert mit einem konstanten Faktor | |
| 3. Ableitung des Quotienten |  |
| 4. Ableitung einer komplexen Funktion |  |
Regel 1Wenn funktioniert
sind irgendwann differenzierbar, dann am gleichen Punkt die Funktionen
Und
diese. die Ableitung der algebraischen Summe der Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen.
Folge. Wenn sich zwei differenzierbare Funktionen um eine Konstante unterscheiden, dann sind es auch ihre Ableitungen, d.h.
Regel 2Wenn funktioniert
sind irgendwann differenzierbar, dann ist auch ihr Produkt am selben Punkt differenzierbar
Und
diese. Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen.
Konsequenz 1. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden:
Konsequenz 2. Die Ableitung des Produkts mehrerer differenzierbarer Funktionen ist gleich der Summe der Produkte der Ableitung jedes einzelnen Faktors und aller anderen.
Zum Beispiel für drei Multiplikatoren:
Regel 3Wenn funktioniert
irgendwann differenzierbar Und , dann ist an dieser Stelle auch ihr Quotient differenzierbar.u/v , und
diese. Die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist und dessen Nenner das Quadrat des ersteren Zählers ist .
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Bei der Ermittlung der Ableitung des Produkts und des Quotienten in echte Aufgaben Da es immer erforderlich ist, mehrere Differenzierungsregeln gleichzeitig anzuwenden, finden Sie im Artikel weitere Beispiele zu diesen Ableitungen„Die Ableitung eines Produkts und eines Quotienten“.
Kommentar. Sie sollten eine Konstante (also eine Zahl) nicht als Term in der Summe und als konstanten Faktor verwechseln! Bei einem Term ist seine Ableitung gleich Null, bei einem konstanten Faktor wird sie aus dem Vorzeichen der Ableitungen genommen. Dies ist ein typischer Fehler, der auftritt Erstphase Ableitungen lernen, aber da sie mehrere Ein-Zwei-Komponenten-Beispiele lösen, macht der durchschnittliche Schüler diesen Fehler nicht mehr.
Und wenn man bei der Differenzierung eines Produkts oder eines Quotienten einen Term hat u"v, indem u- eine Zahl, zum Beispiel 2 oder 5, also eine Konstante, dann ist die Ableitung dieser Zahl gleich Null und daher ist der gesamte Term gleich Null (ein solcher Fall wird in Beispiel 10 analysiert) .
Andere häufiger Fehler- mechanische Lösung der Ableitung einer komplexen Funktion als Ableitung einer einfachen Funktion. Deshalb Ableitung einer komplexen Funktion einem separaten Artikel gewidmet. Aber zuerst lernen wir, Ableitungen einfacher Funktionen zu finden.
Auf Transformationen von Ausdrücken kann man dabei nicht verzichten. Dazu müssen Sie möglicherweise neue Windows-Handbücher öffnen Taten mit Kraft und Wurzeln Und Aktionen mit Brüchen .
Wenn Sie nach Lösungen für Ableitungen mit Potenzen und Wurzeln suchen, also wenn die Funktion aussieht 
, dann folgen Sie der Lektion „Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln“.
Wenn Sie eine Aufgabe haben wie 
, dann befinden Sie sich in der Lektion „Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen“.
Schritt-für-Schritt-Beispiele – wie man die Ableitung findet
Beispiel 3 Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Lösung. Wir bestimmen die Teile des Funktionsausdrucks: Der gesamte Ausdruck stellt das Produkt dar, und seine Faktoren sind Summen, in deren zweitem einer der Terme einen konstanten Faktor enthält. Wir wenden die Produktdifferenzierungsregel an: Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen:
Als nächstes wenden wir die Differenzierungsregel der Summe an: Die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen. In unserem Fall ist in jeder Summe der zweite Term mit einem Minuszeichen versehen. In jeder Summe sehen wir sowohl eine unabhängige Variable, deren Ableitung gleich eins ist, als auch eine Konstante (Zahl), deren Ableitung gleich Null ist. „x“ wird also zu eins und minus 5 zu null. Im zweiten Ausdruck wird „x“ mit 2 multipliziert, also multiplizieren wir zwei mit derselben Einheit wie die Ableitung von „x“. Wir erhalten die folgenden Werte von Derivaten:
Wir setzen die gefundenen Ableitungen in die Summe der Produkte ein und erhalten die Ableitung der gesamten Funktion, die für die Problembedingung erforderlich ist:
Beispiel 4 Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Lösung. Wir müssen die Ableitung des Quotienten ermitteln. Wir wenden die Formel zur Differenzierung eines Quotienten an: Die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist, und Der Nenner ist das Quadrat des vorherigen Zählers. Wir bekommen:
Die Ableitung der Faktoren im Zähler haben wir bereits in Beispiel 2 gefunden. Vergessen wir auch nicht, dass das Produkt, das im aktuellen Beispiel der zweite Faktor im Zähler ist, mit einem Minuszeichen genommen wird:
Wenn Sie nach Lösungen für solche Probleme suchen, bei denen Sie die Ableitung einer Funktion finden müssen, bei der es einen kontinuierlichen Stapel von Wurzeln und Graden gibt, wie zum Beispiel: 
Dann willkommen im Unterricht „Die Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln“ .
Wenn Sie mehr über Ableitungen von Sinus, Cosinus, Tangens und anderen erfahren möchten trigonometrische Funktionen, das heißt, wenn die Funktion aussieht , dann hast du eine Lektion „Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen“ .
Beispiel 5 Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Lösung. In dieser Funktion sehen wir ein Produkt, dessen Faktor die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist, deren Ableitung wir in der Ableitungstabelle kennengelernt haben. Nach der Produktdifferenzierungsregel und dem Tabellenwert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:
Beispiel 6 Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Lösung. In dieser Funktion sehen wir den Quotienten, dessen Dividende die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist. Nach der Differenzierungsregel des Quotienten, die wir in Beispiel 4 wiederholt und angewendet haben, und dem Tabellenwert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:
Um den Bruch im Zähler zu entfernen, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit .
