Ableitung 5x 4. Ableitung von e hoch x und Exponentialfunktion

Herleitung der Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion (x hoch a). Es werden Ableitungen von Wurzeln aus x betrachtet. Die Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion höherer Ordnung. Beispiele zur Berechnung von Derivaten.

Die Ableitung von x hoch a ist a mal x hoch a minus eins:
(1) .

Die Ableitung der n-ten Wurzel von x zur m-ten Potenz ist:
(2) .

Herleitung der Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion

Fall x > 0

Betrachten Sie eine Potenzfunktion der Variablen x mit dem Exponenten a:
(3) .
Dabei ist a eine beliebige reelle Zahl. Betrachten wir zunächst den Fall.

Um die Ableitung der Funktion (3) zu finden, nutzen wir die Eigenschaften der Potenzfunktion und transformieren sie in die folgende Form:
.

Jetzt finden wir die Ableitung, indem wir Folgendes anwenden:
;
.
Hier .

Formel (1) ist bewiesen.

Herleitung der Formel für die Ableitung der Wurzel des Grades n von x zum Grad m

Betrachten Sie nun eine Funktion, die die Wurzel der folgenden Form ist:
(4) .

Um die Ableitung zu finden, wandeln wir die Wurzel in eine Potenzfunktion um:
.
Beim Vergleich mit Formel (3) sehen wir das
.
Dann
.

Nach Formel (1) finden wir die Ableitung:
(1) ;
;
(2) .

In der Praxis besteht keine Notwendigkeit, Formel (2) auswendig zu lernen. Es ist viel bequemer, zuerst die Wurzeln in Potenzfunktionen umzuwandeln und dann ihre Ableitungen mithilfe der Formel (1) zu ermitteln (siehe Beispiele am Ende der Seite).

Fall x = 0

Wenn , dann ist die Potenzfunktion auch für den Wert der Variablen x = definiert 0 . Finden wir die Ableitung der Funktion (3) für x = 0 . Dazu verwenden wir die Definition einer Ableitung:
.

Ersetzen Sie x = 0 :
.
In diesem Fall meinen wir mit Ableitung den rechten Grenzwert, für den .

Also fanden wir:
.
Daraus ist ersichtlich, dass bei , .
Bei , .
Bei , .
Dieses Ergebnis erhält man auch durch Formel (1):
(1) .
Daher gilt Formel (1) auch für x = 0 .

Fall x< 0

Betrachten Sie Funktion (3) noch einmal:
(3) .
Für einige Werte der Konstante a ist sie auch für negative Werte der Variablen x definiert. Sei nämlich a eine rationale Zahl. Dann kann es als irreduzibler Bruch dargestellt werden:
,
wobei m und n ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler sind.

Ist n ungerade, dann ist die Exponentialfunktion auch für negative Werte der Variablen x definiert. Zum Beispiel für n = 3 und m = 1 wir haben die Kubikwurzel von x:
.
Es ist auch für negative Werte von x definiert.

Finden wir die Ableitung der Potenzfunktion (3) für und für rationale Werte der Konstante a , für die sie definiert ist. Dazu stellen wir x in der folgenden Form dar:
.
Dann ,
.
Wir finden die Ableitung, indem wir die Konstante aus dem Vorzeichen der Ableitung herausnehmen und die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion anwenden:

.
Hier . Aber
.
Seit damals
.
Dann
.
Das heißt, Formel (1) gilt auch für:
(1) .

Derivate höherer Ordnung

Jetzt finden wir die Ableitungen höherer Ordnung der Potenzfunktion
(3) .
Wir haben bereits die Ableitung erster Ordnung gefunden:
.

Wenn wir aus dem Vorzeichen der Ableitung die Konstante a herausnehmen, finden wir die Ableitung zweiter Ordnung:
.
Ebenso finden wir Ableitungen dritter und vierter Ordnung:
;

.

Von hier aus ist das klar Ableitung einer beliebigen n-ten Ordnung hat die folgende Form:
.

beachte das wenn a eine natürliche Zahl ist, , dann ist die n-te Ableitung konstant:
.
Dann sind alle nachfolgenden Ableitungen gleich Null:
,
bei .

Abgeleitete Beispiele

Beispiel

Finden Sie die Ableitung der Funktion:
.

Lösung

Lassen Sie uns die Wurzeln in Potenzen umwandeln:
;
.
Dann hat die ursprüngliche Funktion die Form:
.

Wir finden Ableitungen von Graden:
;
.
Die Ableitung einer Konstante ist Null:
.

Die Berechnung der Ableitung findet sich häufig in USE-Aufgaben. Diese Seite enthält eine Liste von Formeln zum Finden von Derivaten.

Differenzierungsregeln

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Ableitung einer komplexen Funktion. Wenn y=F(u) und u=u(x), dann heißt die Funktion y=f(x)=F(u(x)) eine komplexe Funktion von x. Ist gleich y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Ableitung einer impliziten Funktion. Die Funktion y=f(x) heißt die implizite Funktion gegeben durch die Beziehung F(x,y)=0, wenn F(x,f(x))≡0.
6. Ableitung der Umkehrfunktion. Wenn g(f(x))=x, dann heißt die Funktion g(x) die Umkehrfunktion zur Funktion y=f(x).
7. Ableitung einer parametrisch gegebenen Funktion. Seien x und y als Funktionen der Variablen t gegeben: x=x(t), y=y(t). Man sagt, dass y=y(x) eine parametrisch definierte Funktion auf dem Intervall x∈ (a;b) ist, wenn auf diesem Intervall die Gleichung x=x(t) als t=t(x) und die Funktion ausgedrückt werden kann y=y( t(x))=y(x).
8. Ableitung der Exponentialfunktion. Man findet ihn, indem man den Logarithmus zur Basis des natürlichen Logarithmus bildet.

Wir empfehlen Ihnen, den Link zu speichern, da diese Tabelle möglicherweise noch mehrmals benötigt wird.

Anwendung

Die Lösung der Ableitung zur Site zur Konsolidierung des von Studenten und Schülern behandelten Materials. Die Berechnung der Ableitung einer Funktion in wenigen Sekunden ist nicht schwierig, wenn Sie unseren Online-Problemlösungsservice nutzen. Führen Detaillierte Analyse Jeder dritte Schüler kann sich in einer praktischen Unterrichtsstunde gründlich einarbeiten. Oftmals werden wir von der Abteilung des jeweiligen Fachbereichs zur Förderung der Mathematik angesprochen Bildungsinstitutionen Länder. In diesem Fall darf man die Lösung des Derivats online nicht erwähnen geschlossener Raum Zahlenfolgen. Viele wohlhabende Privatpersonen dürfen ihre Verwunderung äußern. Aber in der Zwischenzeit sitzen Mathematiker nicht still und arbeiten hart. Die Änderung der Eingabeparameter gemäß linearen Eigenschaften wird vom Ableitungsrechner hauptsächlich aufgrund der Obergrenze der absteigenden Positionen der Würfel akzeptiert. Das Ergebnis ist als Oberfläche unvermeidlich. Als Ausgangsdaten macht die Online-Ableitung unnötige Schritte überflüssig. Bis auf fiktive Hausaufgaben. Abgesehen davon, dass das Online-Lösen von Ableitungen ein notwendiger und wichtiger Aspekt beim Erlernen der Mathematik ist, können sich Schüler oft nicht an Probleme aus der Vergangenheit erinnern. Der Student versteht das wie ein faules Wesen. Aber die Studenten lustige Leute! Entweder tun Sie es gemäß den Regeln, oder die Ableitung der Funktion in einer schiefen Ebene kann eine Beschleunigung auf einen materiellen Punkt ergeben. Richten wir den Vektor des absteigenden räumlichen Strahls irgendwohin. In der gewünschten Antwort erscheint die Suche nach der Ableitung abstrakt theoretische Richtung aufgrund der Instabilität des mathematischen Systems. Stellen Sie sich ein Zahlenverhältnis als eine Folge ungenutzter Optionen vor. Der Kommunikationskanal wurde mit der fünften Linie entlang des absteigenden Vektors vom Punkt der geschlossenen Gabelung des Würfels ergänzt. Auf der Ebene gekrümmter Räume führt uns die Online-Lösung der Ableitung zu einer Schlussfolgerung, die uns im letzten Jahrhundert zum Nachdenken gebracht hat die größten Köpfe Planeten. Im Rahmen von Veranstaltungen aus dem Bereich der Mathematik grundsätzlich fünf wichtige Faktoren, was zur Verbesserung der Position der Variablenauswahl beiträgt. Das Punktegesetz besagt also, dass die Online-Ableitung nicht in jedem Fall detailliert berechnet wird, nur ein loyal fortschreitender Moment kann eine Ausnahme sein. Die Prognose führte uns dazu neue Runde Entwicklung. Wir brauchen ein Ergebnis. In der unter der Oberfläche verlaufenden Linie der mathematischen Steigung befindet sich der Rechner der Modenableitungen im Bereich des Schnittpunkts der Produkte auf dem Biegesatz. Es bleibt die Differenzierung der Funktion an ihrem unabhängigen Punkt in der Nähe der Epsilon-Nachbarschaft zu analysieren. Das kann jeder in der Praxis sehen. Daher wird es in der nächsten Phase der Programmierung etwas zu entscheiden geben. Der Student benötigt das Online-Derivat wie immer, unabhängig von den imaginären Studien, die er praktiziert. Es stellt sich heraus, dass die mit einer Konstanten multiplizierte Funktion die Lösung der Online-Ableitung nicht ändert allgemeine Richtung Bewegung eines materiellen Punktes, sondern charakterisiert die Geschwindigkeitszunahme in einer geraden Linie. In diesem Sinne wird es nützlich sein, unseren Ableitungsrechner anzuwenden und alle Werte einer Funktion für den gesamten Satz ihrer Definition zu berechnen. Es besteht einfach keine Notwendigkeit, die Kraftwellen des Gravitationsfeldes zu untersuchen. In keinem Fall wird die Online-Ableitungslösung die Neigung des ausgehenden Strahls anzeigen, sondern nur in seltenen Fällen, wenn es wirklich notwendig ist, können sich Universitätsstudenten dies vorstellen. Wir untersuchen den Schulleiter. Der Wert des kleinsten Rotors ist vorhersehbar. Wenden Sie auf das Ergebnis die nach rechts gerichteten Linien an, die den Ball beschreiben, aber Online-Rechner Derivate, dies ist die Grundlage für Zahlen besonderer Stärke und nichtlinearer Abhängigkeit. Der Mathematik-Projektbericht ist fertig. Unterschied in den persönlichen Merkmalen kleinste Zahlen und die Ableitung der Funktion entlang der y-Achse bringt die Konkavität derselben Funktion auf die Höhe. Es gibt eine Richtung – es gibt eine Schlussfolgerung. Es ist einfacher, die Theorie in die Praxis umzusetzen. Es liegt ein Vorschlag der Studierenden zum Zeitpunkt des Studienbeginns vor. Brauche die Antwort eines Lehrers. Auch hier wird, wie in der vorherigen Position, das mathematische System nicht auf der Grundlage einer Aktion reguliert, die dabei hilft, die Ableitung zu finden. Wie die untere halblineare Version zeigt die Online-Ableitung im Detail die Identifizierung der Lösung gemäß an entartetes bedingtes Gesetz. Bringen Sie einfach die Idee vor, Formeln zu berechnen. Die lineare Differentiation einer Funktion verwirft die Wahrheit der Lösung, indem sie einfach irrelevante positive Variationen darlegt. Die Bedeutung der Vergleichszeichen wird als kontinuierlicher Bruch der Funktion entlang der Achse angesehen. Dies sei die Bedeutung der bewusstesten Schlussfolgerung, so der Student, bei der die Online-Ableitung etwas anderes sei als ein treues Beispiel der mathematischen Analyse. Der Radius eines gekrümmten Kreises im euklidischen Raum hingegen gab dem Ableitungsrechner eine natürliche Darstellung des Austauschs entscheidender Probleme gegen Stabilität. Die beste Methode wurde gefunden. Es war einfacher, die Aufgabe zu verbessern. Lassen Sie die Anwendbarkeit des unabhängigen Differenzanteils online zur Lösung der Ableitungen führen. Die Lösung dreht sich um die x-Achse und beschreibt die Figur eines Kreises. Es gibt einen Ausweg, und er basiert auf theoretisch fundierter Forschung von Universitätsstudenten, aus der jeder lernt, und selbst zu diesen Zeitpunkten gibt es eine Ableitung der Funktion. Wir haben einen Weg gefunden, Fortschritte zu erzielen, und die Studenten haben ihn bestätigt. Wir können es uns leisten, die Ableitung zu finden, ohne über einen unnatürlichen Ansatz zur Transformation des mathematischen Systems hinauszugehen. Das linke Proportionalzeichen wächst exponentiell als mathematische Darstellung des Online-Ableitungsrechners aufgrund des unbekannten Umstands linearer Faktoren auf der unendlichen y-Achse. Mathematiker auf der ganzen Welt haben sich als außergewöhnlich erwiesen Fertigungsprozess. Nach der Beschreibung der Theorie gibt es innerhalb eines Kreises ein kleinstes Quadrat. Auch hier wird das Online-Derivat unsere Vermutung näher erläutern, was die theoretisch verfeinerte Meinung überhaupt beeinflusst haben könnte. Es gab Meinungen anderer Art als der von uns analysierte Bericht. Besondere Aufmerksamkeit darf den Studierenden unserer Fakultäten nicht zuteil werden, wohl aber nicht den klugen und fortgeschrittenen Mathematikern, bei denen die Differentiation einer Funktion nur ein Vorwand ist. Die mechanische Bedeutung der Ableitung ist sehr einfach. Die Auftriebskraft wird als Online-Ableitung für abfallende stationäre Zeiträume berechnet. Offensichtlich ist der Ableitungsrechner ein rigoroser Prozess zur Beschreibung des Problems der Entartung einer künstlichen Transformation als amorpher Körper. Die erste Ableitung spricht von einer Änderung der Bewegung eines materiellen Punktes. Der dreidimensionale Raum wird offensichtlich im Zusammenhang mit speziell trainierten Technologien zur Online-Lösung von Ableitungen beobachtet, tatsächlich ist er in jedem Kolloquium zum Thema der mathematischen Disziplin vorhanden. Die zweite Ableitung charakterisiert die Geschwindigkeitsänderung eines materiellen Punktes und bestimmt die Beschleunigung. Der Meridianansatz, der auf der Verwendung einer affinen Transformation basiert, bringt die Ableitung einer Funktion an einem Punkt aus dem Definitionsbereich dieser Funktion auf eine neue Ebene. Ein Online-Rechner für Ableitungen kann in einigen Fällen nicht ohne Zahlen und symbolische Notation auskommen, mit Ausnahme der umwandelbaren Anordnung der Dinge der Aufgabe. Überraschenderweise kommt es zu einer zweiten Beschleunigung eines materiellen Punktes, dies charakterisiert die Beschleunigungsänderung. In Kürze werden wir beginnen, die Lösung der Ableitung online zu studieren, aber sobald ein bestimmter Wissensmeilenstein erreicht ist, wird unser Student diesen Prozess stoppen. Die beste Möglichkeit zum Networking ist der Live-Chat zu einem mathematischen Thema. Es gibt Grundsätze, die auf keinen Fall verletzt werden dürfen, egal wie schwierig die Aufgabe ist. Es ist sinnvoll, das Derivat rechtzeitig und fehlerfrei online zu finden. Dies wird zu einer neuen Position des mathematischen Ausdrucks führen. Das System ist stabil. physikalische Bedeutung Derivat ist nicht so beliebt wie mechanische. Es ist unwahrscheinlich, dass sich jemand daran erinnert, wie die Online-Ableitung im Detail den Umriss der Linien der Funktion zur Normalen aus dem Dreieck neben der x-Achse in der Ebene ableitete. Der Mensch verdient eine große Rolle in der Forschung des letzten Jahrhunderts. Führen wir in drei Grundstufen die Differenzierung der Funktion an Punkten durch, sowohl aus dem Definitionsbereich als auch im Unendlichen. Wird dabei sein Schreiben gerade im Studienbereich, kann aber den Platz des Hauptvektors in Mathematik und Zahlentheorie einnehmen, sobald das, was passiert, den Online-Ableitungsrechner mit dem Problem verbindet. Es gäbe einen Grund, aber es wird einen Grund geben, eine Gleichung aufzustellen. Es ist sehr wichtig, alle Eingabeparameter im Auge zu behalten. Das Beste wird nicht immer auf die Stirn genommen, dahinter steckt ein enormer Arbeitsaufwand die besten Köpfe Wer wusste, wie die Online-Ableitung im Weltraum berechnet wird? Seitdem wird Konvexität als Eigenschaft einer stetigen Funktion betrachtet. Dennoch ist es besser, sich zunächst die Aufgabe zu stellen, Derivate in möglichst kurzer Zeit online zu lösen. Damit ist die Lösung vollständig. Zusätzlich zu den nicht erfüllten Normen wird dies als nicht ausreichend angesehen. Zunächst schlägt fast jeder Student vor, eine einfache Methode vorzuschlagen, wie die Ableitung einer Funktion einen umstrittenen Wachstumsalgorithmus verursacht. In Richtung des aufsteigenden Strahls. Es macht Sinn als allgemeine Stellung. Früher markierten sie den Beginn der Vollendung einer bestimmten mathematischen Aktion, heute ist es umgekehrt. Vielleicht wirft die Online-Lösung des Derivats das Problem erneut auf und wir werden bei der Diskussion des Lehrertreffens eine gemeinsame Meinung zu seiner Erhaltung vertreten. Wir hoffen auf Verständnis von allen Seiten der Tagungsteilnehmer. Die logische Bedeutung liegt in der Beschreibung des Rechners von Ableitungen in der Resonanz von Zahlen über die Reihenfolge der Darstellung des Gedankens des Problems, das im letzten Jahrhundert von den großen Wissenschaftlern der Welt beantwortet wurde. Es hilft, eine komplexe Variable aus dem konvertierten Ausdruck zu extrahieren und die Ableitung online zu finden, um eine umfangreiche Aktion desselben Typs auszuführen. Die Wahrheit ist viel besser als Vermutungen. Niedrigster Wert im Trend. Das Ergebnis wird nicht lange auf sich warten lassen, wenn man einen einzigartigen Dienst für die genaueste Ortung nutzt, für den es im Detail ein Online-Derivat gibt. Indirekt, aber auf den Punkt gebracht, wie ein weiser Mann sagte, wurde auf Wunsch vieler Studenten aus verschiedenen Städten der Union ein Online-Derivaterechner erstellt. Wenn es einen Unterschied gibt, warum dann zweimal entscheiden? Angegebener Vektor liegt auf der gleichen Seite wie das Normale. In der Mitte des letzten Jahrhunderts wurde die Differenzierung einer Funktion noch lange nicht so wahrgenommen wie heute. Dank der laufenden Entwicklung ist Online-Mathematik entstanden. Mit der Zeit vergessen Studierende, mathematische Disziplinen anzuerkennen. Die Online-Lösung des Derivats wird unsere These in Frage stellen, die zu Recht auf der Anwendung der Theorie basiert und durch praktisches Wissen gestützt wird. Gehen Sie über den vorhandenen Wert des Präsentationsfaktors hinaus und schreiben Sie die Formel in einer expliziten Form für die Funktion. Es kommt vor, dass Sie das Derivat sofort online finden müssen, ohne einen Taschenrechner zu verwenden. Sie können jedoch jederzeit auf den Trick des Studenten zurückgreifen und trotzdem einen solchen Dienst wie eine Website nutzen. Dadurch spart der Student viel Zeit beim Kopieren von Beispielen aus einem Notizbuchentwurf in eine endgültige Form. Wenn es keine Widersprüche gibt, dann nutzen Sie für solch komplexe Beispiele den Schritt-für-Schritt-Lösungsservice.

Erste Ebene

Funktionsableitung. Umfassender Leitfaden (2019)

Stellen Sie sich eine gerade Straße vor, die durch ein hügeliges Gebiet führt. Das heißt, es geht auf und ab, dreht sich aber nicht nach rechts oder links. Wenn die Achse horizontal und vertikal entlang der Straße ausgerichtet ist, ähnelt die Straßenlinie stark dem Diagramm einer kontinuierlichen Funktion:

Die Achse ist eine bestimmte Ebene mit der Höhe Null, im Leben verwenden wir den Meeresspiegel als diese.

Wenn wir auf einem solchen Weg vorankommen, bewegen wir uns auch aufwärts oder abwärts. Wir können auch sagen: Wenn sich das Argument ändert (bewegt sich entlang der Abszissenachse), ändert sich der Wert der Funktion (bewegt sich entlang der Ordinatenachse). Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, wie wir die „Steilheit“ unserer Straße bestimmen können. Was könnte dieser Wert sein? Ganz einfach: Wie stark ändert sich die Höhe, wenn man sich eine bestimmte Strecke vorwärts bewegt? Tatsächlich steigen oder fallen wir auf verschiedenen Straßenabschnitten, wenn wir uns einen Kilometer vorwärts (entlang der Abszisse) bewegen, im Verhältnis zum Meeresspiegel (entlang der Ordinate) um eine unterschiedliche Anzahl von Metern.

Wir bezeichnen den Fortschritt vorwärts (lesen Sie „Delta x“).

Der griechische Buchstabe (Delta) wird in der Mathematik häufig als Präfix für „Veränderung“ verwendet. Das heißt – das ist eine Größenänderung, – eine Veränderung; Was ist es dann? Genau, eine Größenänderung.

Wichtig: Der Ausdruck ist eine einzelne Entität, eine Variable. Sie sollten niemals das „Delta“ vom „x“ oder einem anderen Buchstaben abreißen! Das ist zum Beispiel .

Wir sind also horizontal weiter vorangekommen. Wenn wir die Straßenlinie mit dem Graphen einer Funktion vergleichen, wie bezeichnen wir dann den Anstieg? Sicherlich, . Das heißt, wenn wir vorwärts gehen, steigen wir höher.

Der Wert lässt sich leicht berechnen: Wenn wir am Anfang in einer Höhe waren und nach der Bewegung in einer Höhe waren, dann. Wenn sich herausstellt, dass der Endpunkt niedriger als der Startpunkt ist, ist er negativ – das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern absteigen.

Zurück zu „Steilheit“: Hierbei handelt es sich um einen Wert, der angibt, um wie viel (steiler) die Höhe bei Vorwärtsbewegung pro Distanzeinheit ansteigt:

Nehmen wir an, dass die Straße auf einem bestimmten Abschnitt des Weges bei einem Vorankommen von Kilometern um Kilometer ansteigt. Dann ist die Steilheit an dieser Stelle gleich. Und wenn die Straße beim Vorrücken um m um km sinkt? Dann ist die Steigung gleich.

Betrachten Sie nun die Spitze eines Hügels. Wenn Sie den Anfang des Abschnitts einen halben Kilometer bis zum Gipfel und das Ende einen halben Kilometer später nehmen, können Sie sehen, dass die Höhe fast gleich ist.

Das heißt, nach unserer Logik stellt sich heraus, dass die Steigung hier nahezu gleich Null ist, was eindeutig nicht stimmt. Nur wenige Kilometer entfernt kann sich viel ändern. Für eine angemessenere und genauere Schätzung der Steilheit müssen kleinere Bereiche berücksichtigt werden. Wenn Sie beispielsweise die Höhenänderung bei einer Bewegung von einem Meter messen, ist das Ergebnis viel genauer. Aber selbst diese Genauigkeit reicht uns möglicherweise nicht aus – denn wenn mitten auf der Straße ein Pfosten steht, können wir einfach durchschlüpfen. Welchen Abstand sollten wir dann wählen? Zentimeter? Millimeter? Weniger ist besser!

IN wahres Leben Es ist mehr als ausreichend, den Abstand auf den Millimeter genau zu messen. Aber Mathematiker streben immer nach Perfektion. Daher war das Konzept unendlich klein, das heißt, der Modulowert ist kleiner als jede Zahl, die wir benennen können. Sie sagen zum Beispiel: ein Billionstel! Wie viel weniger? Und dividieren Sie diese Zahl durch – und es wird noch weniger. Usw. Wenn wir schreiben wollen, dass der Wert unendlich klein ist, schreiben wir so: (wir lesen „x tendiert gegen Null“). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht gleich Null ist! Aber sehr nah dran. Dies bedeutet, dass es unterteilt werden kann in.

Das Gegenteil von unendlich klein ist unendlich groß (). Sie sind wahrscheinlich schon darauf gestoßen, als Sie an Ungleichungen gearbeitet haben: Diese Zahl ist im Modul größer als jede andere Zahl, die Sie sich vorstellen können. Wenn Sie auf die größtmögliche Zahl kommen, multiplizieren Sie diese einfach mit zwei und Sie erhalten noch mehr. Und Unendlichkeit ist noch mehr als das, was passiert. Tatsächlich sind unendlich groß und unendlich klein zueinander invers, also at, und umgekehrt: at.

Nun zurück zu unserer Straße. Die ideal berechnete Steigung ist die für einen unendlich kleinen Streckenabschnitt berechnete Steigung, also:

Ich stelle fest, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung auch die Höhenänderung unendlich klein sein wird. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass unendlich klein nicht gleich Null bedeutet. Wenn man infinitesimale Zahlen durcheinander dividiert, erhält man beispielsweise eine ganz gewöhnliche Zahl. Das heißt, ein kleiner Wert kann genau doppelt so groß sein wie ein anderer.

Warum das alles? Die Straße, die Steilheit ... Wir machen keine Rallye, aber wir lernen Mathematik. Und in der Mathematik ist alles genau gleich, nur anders genannt.

Das Konzept eines Derivats

Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments.

Zuwachs In der Mathematik nennt man Veränderung Veränderung. Es wird aufgerufen, wie stark sich das Argument () bei der Bewegung entlang der Achse geändert hat Argumentinkrement und bezeichnet mit Wie stark sich die Funktion (Höhe) geändert hat, wenn man sich entlang der Achse um eine Strecke vorwärts bewegt, wird aufgerufen Funktionsinkrement und ist markiert.

Die Ableitung einer Funktion ist also die Beziehung zu when. Die Ableitung bezeichnen wir mit demselben Buchstaben wie die Funktion, nur mit einem Strich von rechts oben: oder einfach. Schreiben wir also die Ableitungsformel mit diesen Notationen:

Wie in der Analogie zur Straße ist auch hier die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ.

Aber ist die Ableitung gleich Null? Sicherlich. Wenn wir beispielsweise auf einer ebenen, horizontalen Straße fahren, ist die Steilheit Null. Tatsächlich ändert sich die Höhe überhaupt nicht. Also mit der Ableitung: Die Ableitung einer konstanten Funktion (Konstante) ist gleich Null:

da das Inkrement einer solchen Funktion für jede Null ist.

Nehmen wir das Beispiel auf einem Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, die Enden des Segments auf gegenüberliegenden Seiten des Scheitelpunkts so anzuordnen, dass die Höhe an den Enden gleich ist, das heißt, das Segment ist parallel zur Achse:

Große Segmente sind jedoch ein Zeichen für eine ungenaue Messung. Wir heben unser Segment parallel zu sich selbst an, dann verringert sich seine Länge.

Am Ende, wenn wir uns unendlich nahe an der Spitze befinden, wird die Länge des Segments unendlich klein. Aber gleichzeitig blieb es parallel zur Achse, das heißt, der Höhenunterschied an seinen Enden ist gleich Null (strebt nicht, sondern ist gleich). Also die Ableitung

Dies lässt sich folgendermaßen verstehen: Wenn wir ganz oben stehen, verändert eine kleine Verschiebung nach links oder rechts unsere Körpergröße vernachlässigbar.

Es gibt auch eine rein algebraische Erklärung: Links oben nimmt die Funktion zu und rechts ab. Wie wir bereits früher herausgefunden haben, ist die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ. Aber es ändert sich sanft und ohne Sprünge (da die Straße ihre Neigung nirgends stark ändert). Daher muss zwischen negativen und positiven Werten liegen. Dort wird die Funktion weder zu- noch abfallen – am Scheitelpunkt.

Das Gleiche gilt für das Tal (der Bereich, in dem die Funktion links abnimmt und rechts zunimmt):

Etwas mehr über Inkremente.

Also ändern wir das Argument in einen Wert. Ab welchem ​​Wert wechseln wir? Was ist aus ihm (Argument) jetzt geworden? Wir können jeden Punkt wählen und jetzt werden wir von dort aus tanzen.

Betrachten Sie einen Punkt mit einer Koordinate. Der Wert der darin enthaltenen Funktion ist gleich. Dann machen wir das gleiche Inkrement: Erhöhen Sie die Koordinate um. Was ist nun das Argument? Sehr leicht: . Welchen Wert hat die Funktion nun? Wohin das Argument geht, geht die Funktion dorthin: . Was ist mit Funktionsinkrement? Nichts Neues: Dies ist immer noch der Betrag, um den sich die Funktion geändert hat:

Üben Sie das Finden von Inkrementen:

1. Finden Sie das Inkrement der Funktion an einem Punkt mit einem Inkrement des Arguments gleich.
2. Das Gleiche gilt für eine Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

IN verschiedene Punkte Bei gleicher Erhöhung des Arguments ist die Erhöhung der Funktion unterschiedlich. Das bedeutet, dass die Ableitung an jedem Punkt ihre eigene hat (wir haben das gleich zu Beginn besprochen – die Steilheit der Straße ist an verschiedenen Punkten unterschiedlich). Wenn wir eine Ableitung schreiben, müssen wir daher angeben, an welcher Stelle:

Power-Funktion.

Eine Potenzfunktion wird eine Funktion genannt, bei der das Argument bis zu einem gewissen Grad (logisch, oder?) ist.

Und – in jedem Fall: .

Der einfachste Fall ist, wenn der Exponent ist:

Finden wir seine Ableitung an einem Punkt. Erinnern Sie sich an die Definition eines Derivats:

Das Argument ändert sich also von zu. Was ist das Funktionsinkrement?

Inkrement ist. Aber die Funktion ist an jedem Punkt gleich ihrem Argument. Deshalb:

Die Ableitung ist:

Die Ableitung von ist:

b) Betrachten Sie nun die quadratische Funktion (): .

Erinnern wir uns jetzt daran. Dies bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein und daher vor dem Hintergrund eines anderen Termes unbedeutend ist:

Wir haben also eine andere Regel:

c) Wir setzen die logische Reihe fort: .

Dieser Ausdruck kann auf verschiedene Arten vereinfacht werden: Öffnen Sie die erste Klammer mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation der Potenz der Summe oder zerlegen Sie den gesamten Ausdruck mit der Formel für die Differenz der Kubikzahlen in Faktoren. Versuchen Sie es selbst auf eine der vorgeschlagenen Arten.

Also, ich habe folgendes bekommen:

Und erinnern wir uns noch einmal daran. Das bedeutet, dass wir alle Begriffe vernachlässigen können, die Folgendes enthalten:

Wir bekommen: .

d) Ähnliche Regeln können für große Potenzen erhalten werden:

e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel für eine Potenzfunktion mit einem beliebigen Exponenten, nicht einmal einer ganzen Zahl, verallgemeinert werden kann:

(2)

Sie können die Regel mit den Worten formulieren: „Der Grad wird als Koeffizient vorgezogen und verringert sich dann um“.

Wir werden diese Regel später (fast ganz am Ende) beweisen. Schauen wir uns nun einige Beispiele an. Finden Sie die Ableitung von Funktionen:

1. (auf zwei Arten: durch die Formel und durch die Definition der Ableitung – durch Zählen des Inkrements der Funktion);

1. . Ob Sie es glauben oder nicht, dies ist eine Potenzfunktion. Wenn Sie Fragen haben wie „Wie ist es? Und wo ist der Abschluss?“, Merken Sie sich das Thema „“!
   Ja, ja, die Wurzel ist auch ein Grad, nur ein gebrochener:.
   So unser Quadratwurzel ist nur ein Grad mit einem Exponenten:
   .
   Wir suchen die Ableitung mit der kürzlich erlernten Formel:

   Sollte es an dieser Stelle erneut unklar werden, wiederholen Sie das Thema „“!!! (ungefähr ein Grad mit negativem Indikator)

2. . Nun der Exponent:

   Und nun zur Definition (haben Sie es schon vergessen?):
   ;
   .
   Nun vernachlässigen wir wie üblich den Begriff, der Folgendes enthält:
   .

3. . Kombination früherer Fälle: .

trigonometrische Funktionen.

Hier verwenden wir eine Tatsache aus der höheren Mathematik:

Wenn Ausdruck.

Den Nachweis erlernen Sie im ersten Jahr des Instituts (und um dorthin zu gelangen, müssen Sie die Prüfung gut bestehen). Jetzt zeige ich es einfach grafisch:

Wir sehen, dass der Punkt im Diagramm punktiert wird, wenn die Funktion nicht existiert. Aber je näher am Wert, desto näher ist die Funktion. Dies ist das eigentliche „Streben“.

Zusätzlich können Sie diese Regel mit einem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, keine Scheu, nimm einen Taschenrechner, wir sind noch nicht bei der Prüfung.

Lass es uns versuchen: ;

Vergessen Sie nicht, den Rechner in den Bogenmaßmodus zu schalten!

usw. Wir sehen, je kleiner die nähere Bedeutung Beziehung zu.

a) Betrachten Sie eine Funktion. Wie üblich finden wir sein Inkrement:

Lassen Sie uns die Sinusdifferenz in ein Produkt umwandeln. Dazu verwenden wir die Formel (denken Sie an das Thema „“):.

Nun die Ableitung:

Machen wir eine Substitution: . Dann ist es für unendlich klein auch unendlich klein: . Der Ausdruck für hat die Form:

Und jetzt erinnern wir uns daran mit dem Ausdruck. Und was wäre, wenn ein unendlich kleiner Wert in der Summe (also bei) vernachlässigt werden könnte?

Wir erhalten also die folgende Regel: die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus:

Dabei handelt es sich um Basisderivate („Tabellenderivate“). Hier sind sie in einer Liste:

Später werden wir noch einige hinzufügen, aber diese sind die wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.

Üben:

1. Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt;
2. Finden Sie die Ableitung der Funktion.

Lösungen:

1. Zuerst finden wir die Ableitung in Gesamtansicht und ersetzen Sie es dann durch seinen Wert:
   ;
   .
2. Hier haben wir so etwas wie eine Potenzfunktion. Versuchen wir, sie dazu zu bringen
   normale Ansicht:
   .
   Ok, jetzt können Sie die Formel verwenden:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Was ist das????

Okay, Sie haben Recht, wir wissen immer noch nicht, wie wir solche Derivate finden können. Hier haben wir eine Kombination mehrerer Arten von Funktionen. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen Sie noch ein paar Regeln lernen:

Exponent und natürlicher Logarithmus.

In der Mathematik gibt es eine solche Funktion, deren Ableitung für jeden gleich dem Wert der Funktion selbst für denselben ist. Sie wird „Exponent“ genannt und ist eine Exponentialfunktion

Die Basis dieser Funktion – eine Konstante – ist ein unendlicher Dezimalbruch, also eine irrationale Zahl (wie z. B.). Sie wird „Euler-Zahl“ genannt, weshalb sie mit einem Buchstaben bezeichnet wird.

Die Regel lautet also:

Es ist sehr leicht zu merken.

Nun, wir werden nicht weit gehen, wir werden sofort die Umkehrfunktion betrachten. Was ist die Umkehrung der Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis eine Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennt man „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Schreibweise: Wir schreiben stattdessen.

Was ist gleich? Natürlich, .

Auch die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist sehr einfach:

Beispiele:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion.
2. Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Aussteller und natürlicher Logarithmus- Funktionen sind hinsichtlich der Ableitung einzigartig einfach. Exponentielle und logarithmische Funktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden, nachdem wir die Regeln der Differenzierung durchgegangen sind.

Differenzierungsregeln

Welche Regeln? Schon wieder ein neuer Begriff?!...

Differenzierung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Nur und alles. Was ist ein anderes Wort für diesen Prozess? Nicht proizvodnovanie... Das Differential der Mathematik wird als Inkrement der Funktion at bezeichnet. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir beispielsweise zwei Funktionen und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Insgesamt gibt es 5 Regeln.

Die Konstante ergibt sich aus dem Vorzeichen der Ableitung.

Wenn - eine konstante Zahl (Konstante), dann.

Offensichtlich gilt diese Regel auch für den Unterschied: .

Lass es uns beweisen. Lassen Sie, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

1. am Punkt;
2. am Punkt;
3. am Punkt;
4. am Punkt.

Lösungen:

1. (Die Ableitung ist in allen Punkten gleich, da sie es ist lineare Funktion, erinnern?);

Derivat eines Produkts

Hier ist alles ähnlich: Wir führen eine neue Funktion ein und ermitteln deren Inkrement:

Derivat:

Beispiele:

1. Finden Sie Ableitungen von Funktionen und;
2. Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung der Exponentialfunktion

Jetzt reichen Ihre Kenntnisse aus, um zu lernen, wie Sie die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion finden und nicht nur den Exponenten (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Wo ist also eine Zahl?

Wir kennen die Ableitung der Funktion bereits, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu bringen:

Dafür verwenden wir einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Hier prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung des Exponenten sehr ähnlich war: So wie es war, erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Antworten:

Dies ist nur eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet werden kann, das heißt, es gibt keine Möglichkeit, sie in mehr aufzuschreiben einfache Form. Daher bleibt es in der Antwort in dieser Form.

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Sie kennen bereits die Ableitung des natürlichen Logarithmus:

Um also eine beliebige Zahl aus dem Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus zur Basis bringen. Wie ändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Erst jetzt schreiben wir statt:

Es stellte sich heraus, dass der Nenner nur eine Konstante war (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung ist ganz einfach:

Ableitungen der Exponential- und Logarithmusfunktionen kommen in der Prüfung fast nie vor, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arcustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (wenn Ihnen der Logarithmus jedoch schwierig erscheint, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und alles wird klappen), aber in Bezug auf die Mathematik bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen mit einigen Gegenständen Aktionen aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Es stellt sich ein solches zusammengesetztes Objekt heraus: ein Schokoriegel, umwickelt und mit einem Band zusammengebunden. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die umgekehrten Schritte in umgekehrter Reihenfolge ausführen.

Erstellen wir eine ähnliche mathematische Pipeline: Zuerst ermitteln wir den Kosinus einer Zahl und quadrieren dann die resultierende Zahl. Sie geben uns also eine Zahl (Schokolade), ich ermittle ihren Kosinus (Umschlag), und dann quadrieren Sie, was ich habe (binden Sie es mit einem Band zusammen). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Um ihren Wert zu ermitteln, führen wir die erste Aktion direkt mit der Variablen aus und dann eine weitere zweite Aktion mit dem, was als Ergebnis der ersten passiert ist.

Wir können die gleichen Aktionen auch in umgekehrter Reihenfolge ausführen: Zuerst quadrierst du und dann suchst du nach dem Kosinus der resultierenden Zahl:. Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders ausfallen wird. Wichtiges Merkmal komplexe Funktionen: Wenn Sie die Reihenfolge der Aktionen ändern, ändert sich die Funktion.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für das erste Beispiel: .

Zweites Beispiel: (gleich). .

Die letzte Aktion, die wir ausführen, wird aufgerufen „externe“ Funktion bzw. die zuerst ausgeführte Aktion „interne“ Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst herauszufinden, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Die Trennung von inneren und äußeren Funktionen ähnelt stark der Veränderung von Variablen: zum Beispiel in der Funktion

1. Welche Maßnahmen werden wir zuerst ergreifen? Zuerst berechnen wir den Sinus und erhöhen ihn erst dann auf einen Würfel. Es handelt sich also um eine interne Funktion, nicht um eine externe.
   Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
2. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
3. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
4. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
5. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun extrahieren wir unsere Schokolade – suchen Sie nach dem Derivat. Das Verfahren ist immer umgekehrt: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Für das Originalbeispiel sieht es so aus:

Ein anderes Beispiel:

Lassen Sie uns nun endlich die offizielle Regel formulieren:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Alles scheint einfach zu sein, oder?

Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt nur noch nicht zu reduzieren! Unter dem Kosinus wird nichts herausgenommen, schon vergessen?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich hier um eine dreistufige komplexe Funktion handelt: Schließlich ist dies an sich bereits eine komplexe Funktion, und wir extrahieren daraus noch die Wurzel, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (Schokolade in eine Hülle legen). und mit einer Schleife in einer Aktentasche). Aber es gibt keinen Grund zur Angst: Wie auch immer, wir werden diese Funktion in der gleichen Reihenfolge wie gewohnt „entpacken“: vom Ende an.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es sinnvoll, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto „externer“ ist die entsprechende Funktion. Der Aktionsablauf - wie zuvor:

Dabei erfolgt die Schachtelung grundsätzlich 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise festlegen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Sinus. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammenfassen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Funktionsableitung- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments:

Grundlegende Derivate:

Differenzierungsregeln:

Die Konstante ergibt sich aus dem Vorzeichen der Ableitung:

Ableitung der Summe:

Derivatprodukt:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

1. Wir definieren die „interne“ Funktion und finden ihre Ableitung.
2. Wir definieren die „externe“ Funktion und finden ihre Ableitung.
3. Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

Datum: 20.11.2014

Was ist ein Derivat?

Ableitungstabelle.

Die Ableitung ist eines der Hauptkonzepte der höheren Mathematik. In dieser Lektion stellen wir dieses Konzept vor. Lernen wir es kennen, ohne strenge mathematische Formulierungen und Beweise.

Mit dieser Einführung können Sie:

Verstehen Sie die Essenz einfacher Aufgaben mit einer Ableitung;

Lösen Sie diese erfolgreich schwierige Aufgaben;

Bereiten Sie sich auf ernsthaftere abgeleitete Lektionen vor.

Zunächst eine angenehme Überraschung.

Die strenge Definition der Ableitung basiert auf der Grenzwerttheorie und ist ziemlich kompliziert. Es ist ärgerlich. Aber die praktische Anwendung des Derivats erfordert in der Regel kein so umfangreiches und tiefes Wissen!

Um die meisten Aufgaben in Schule und Universität erfolgreich zu erledigen, reicht es aus, etwas zu wissen nur ein paar Begriffe- die Aufgabe verstehen und nur ein paar Regeln- um es zu lösen. Und alle. Es gefällt.

Sollen wir uns kennenlernen?)

Begriffe und Bezeichnungen.

In der Elementarmathematik gibt es viele mathematische Operationen. Addition, Subtraktion, Multiplikation, Potenzierung, Logarithmus usw. Wenn zu diesen Operationen eine weitere Operation hinzugefügt wird, wird die elementare Mathematik höher. Das neuer Betrieb angerufen Differenzierung. Die Definition und Bedeutung dieser Operation werden in separaten Lektionen besprochen.

Hier ist es wichtig zu verstehen, dass die Differenzierung nur eine mathematische Operation an einer Funktion ist. Wir nehmen jede Funktion und transformieren sie nach bestimmten Regeln. Das Ergebnis wird sein neue Funktion. Diese neue Funktion heißt: Derivat.

Differenzierung- Aktion auf eine Funktion.

Derivat ist das Ergebnis dieser Aktion.

So wie zum Beispiel Summe ist das Ergebnis der Addition. Oder Privat ist das Ergebnis der Division.

Wenn man die Begriffe kennt, kann man zumindest die Aufgaben verstehen. Der Wortlaut lautet wie folgt: finde die Ableitung einer Funktion; nimm die Ableitung; die Funktion differenzieren; Ableitung berechnen usw. Das ist alles Dasselbe. Natürlich gibt es komplexere Aufgaben, bei denen das Finden der Ableitung (Differenzierung) nur einer der Schritte zur Lösung der Aufgabe ist.

Die Ableitung wird durch einen Strich oben rechts über der Funktion gekennzeichnet. So: y" oder f"(x) oder S"(t) usw.

lesen y-Strich, ef-Strich von x, es-Strich von te, na ja, du verstehst...)

Eine Primzahl kann auch die Ableitung einer bestimmten Funktion bezeichnen, zum Beispiel: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" usw. Oft wird die Ableitung durch Differentiale dargestellt, aber wir werden eine solche Notation in dieser Lektion nicht betrachten.

Angenommen, wir haben gelernt, die Aufgaben zu verstehen. Es bleibt nichts übrig – zu lernen, wie man sie löst.) Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern: Die Ableitung zu finden ist Transformation einer Funktion nach bestimmten Regeln. Es gibt überraschend wenige dieser Regeln.

Um die Ableitung einer Funktion zu finden, müssen Sie nur drei Dinge wissen. Drei Säulen, auf denen jede Differenzierung ruht. Hier sind die drei Wale:

1. Tabelle der Ableitungen (Differenzierungsformeln).

3. Ableitung einer komplexen Funktion.

Beginnen wir der Reihe nach. In dieser Lektion betrachten wir die Ableitungstabelle.

Ableitungstabelle.

Die Welt hat unendlich viele Funktionen. Unter diesem Satz gibt es Funktionen, die für am wichtigsten sind praktische Anwendung. Diese Funktionen liegen in allen Naturgesetzen vor. Aus diesen Funktionen können Sie alle anderen wie aus Bausteinen konstruieren. Diese Klasse von Funktionen wird aufgerufen elementare Funktionen. Es sind diese Funktionen, die in der Schule studiert werden – linear, quadratisch, Hyperbel usw.

Differenzierung von Funktionen „von Grund auf“, d.h. basierend auf der Definition der Ableitung und der Grenzwerttheorie - eine ziemlich zeitaufwändige Sache. Und Mathematiker sind auch Menschen, ja, ja! Also haben sie ihr Leben (und unser Leben) vereinfacht. Sie berechneten vor uns Ableitungen elementarer Funktionen. Das Ergebnis ist eine Ableitungstabelle, in der alles fertig ist.)

Hier ist sie, diese Platte für die gängigsten Funktionen. Links – Elementarfunktion, rechts – ihre Ableitung.

	Funktion j	Ableitung der Funktion y y"
1	C (konstant)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n ist eine beliebige Zahl)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	Sünde x	(sinx)" = cosx
	weil x	(cos x)“ = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	A X
	e X
5	Protokoll A X
	ln x ( a = e)

Ich empfehle, auf die dritte Funktionsgruppe in dieser Ableitungstabelle zu achten. Die Ableitung einer Potenzfunktion ist eine der gebräuchlichsten Formeln, wenn nicht sogar die gebräuchlichste! Ist der Hinweis klar?) Ja, es ist wünschenswert, die Ableitungstabelle auswendig zu kennen. Das ist übrigens nicht so schwierig, wie es scheint. Versuchen Sie, weitere Beispiele zu lösen, die Tabelle selbst bleibt im Gedächtnis!)

Wie Sie wissen, ist es nicht die schwierigste Aufgabe, den Tabellenwert der Ableitung zu ermitteln. Daher gibt es bei solchen Aufgaben sehr oft zusätzliche Chips. Entweder in der Formulierung der Aufgabe, oder in der Originalfunktion, die scheinbar nicht in der Tabelle steht ...

Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion y = x 3

In der Tabelle gibt es keine solche Funktion. Es gibt jedoch eine allgemeine Ableitung der Potenzfunktion (dritte Gruppe). In unserem Fall ist n=3. Also ersetzen wir das Tripel anstelle von n und schreiben das Ergebnis sorgfältig auf:

(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Das ist alles dazu.

Antwort: y" = 3x 2

2. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion y = sinx am Punkt x = 0.

Diese Aufgabe bedeutet, dass Sie zuerst die Ableitung des Sinus ermitteln und dann den Wert ersetzen müssen x = 0 zu derselben Ableitung. Es ist in dieser Reihenfolge! Andernfalls kommt es vor, dass sie sofort Null in die Originalfunktion einsetzen ... Wir werden gebeten, nicht den Wert der Originalfunktion, sondern den Wert zu finden seine Ableitung. Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Ableitung bereits eine neue Funktion ist.

Auf der Tafel finden wir den Sinus und die entsprechende Ableitung:

y" = (sinx)" = cosx

Ersetzen Sie Null in der Ableitung:

y"(0) = cos 0 = 1

Das wird die Antwort sein.

3. Differenzieren Sie die Funktion:

Was inspiriert?) Es gibt nicht einmal eine solche Funktion in der Ableitungstabelle.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Differenzierung einer Funktion einfach darin besteht, die Ableitung dieser Funktion zu finden. Wenn Sie die elementare Trigonometrie vergessen, ist es ziemlich mühsam, die Ableitung unserer Funktion zu finden. Die Tabelle hilft nicht...

Aber wenn wir sehen, dass unsere Funktion ist Kosinus eines Doppelwinkels, dann wird sofort alles besser!

Ja Ja! Denken Sie daran, dass die Transformation die ursprüngliche Funktion ist vor der Differenzierung durchaus akzeptabel! Und es macht das Leben viel einfacher. Nach der Formel für den Kosinus eines Doppelwinkels:

Diese. Unsere knifflige Funktion ist nichts anderes als y = Steuermann. Und das ist eine Tabellenfunktion. Wir erhalten sofort:

Antwort: y" = - sin x.

Beispiel für fortgeschrittene Absolventen und Studierende:

4. Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Eine solche Funktion gibt es in der Ableitungstabelle natürlich nicht. Aber wenn Sie sich an elementare Mathematik erinnern, an Aktionen mit Potenzen ... Dann ist es durchaus möglich, diese Funktion zu vereinfachen. So:

Und x hoch ein Zehntel ist bereits eine Tabellenfunktion! Die dritte Gruppe, n=1/10. Direkt nach der Formel und schreiben:

Das ist alles. Das wird die Antwort sein.

Ich hoffe, dass mit dem ersten Wal der Differenzierung – der Tabelle der Derivate – alles klar ist. Es bleibt noch, sich um die beiden verbleibenden Wale zu kümmern. In der nächsten Lektion lernen wir die Regeln der Differenzierung.