Wenn k 0. So finden Sie die Steigung der Gleichung

Lineare Funktion ist eine Funktion der Form

x-Argument (unabhängige Variable),

y- Funktion (abhängige Variable),

k und b sind einige konstante Zahlen

Der Graph der linearen Funktion ist gerade.

genug, um das Diagramm zu zeichnen. zwei Punkte, weil Durch zwei Punkte kann man eine Gerade ziehen, und zwar nur einen.

Wenn k˃0, dann liegt der Graph im 1. und 3. Koordinatenviertel. Wenn k˂0, dann liegt der Graph im 2. und 4. Koordinatenviertel.

Die Zahl k heißt Steigung des direkten Graphen der Funktion y(x)=kx+b. Wenn k˃0, dann ist der Neigungswinkel der Geraden y(x)= kx+b zur positiven Richtung Ox scharf; wenn k˂0, dann ist dieser Winkel stumpf.

Der Koeffizient b zeigt den Schnittpunkt des Diagramms mit der y-Achse (0; b).

y(x)=k∙x-- besonderer Fall Eine typische Funktion heißt direkte Proportionalität. Der Graph ist eine gerade Linie, die durch den Ursprung verläuft, daher reicht ein Punkt aus, um diesen Graphen zu erstellen.

Linearer Funktionsgraph

Wobei Koeffizient k = 3, daher

Der Graph der Funktion wird zunehmen und haben scharfe Ecke mit der Ox-Achse, weil Koeffizient k hat ein Pluszeichen.

OOF einer linearen Funktion

FRF einer linearen Funktion

Außer in dem Fall, wo

Auch eine lineare Funktion der Form

Es handelt sich um eine allgemeine Funktion.

B) Wenn k=0; b≠0,

In diesem Fall ist der Graph eine gerade Linie parallel zur Ox-Achse, die durch den Punkt (0;b) verläuft.

C) Wenn k≠0; b≠0, dann hat die lineare Funktion die Form y(x)=k∙x+b.

Beispiel 1 . Zeichnen Sie die Funktion y(x)= -2x+5

Beispiel 2 . Finden Sie die Nullstellen der Funktion y=3x+1, y=0;

sind Nullstellen der Funktion.

Antwort: oder (;0)

Beispiel 3 . Bestimmen Sie den Funktionswert y=-x+3 für x=1 und x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Antwort: y_1=2; y_2=4.

Beispiel 4 . Bestimmen Sie die Koordinaten ihres Schnittpunkts oder beweisen Sie, dass sich die Graphen nicht schneiden. Gegeben seien die Funktionen y 1 =10∙x-8 und y 2 =-3∙x+5.

Wenn sich die Funktionsgraphen schneiden, ist der Wert der Funktionen an diesem Punkt gleich

Ersetzen Sie x=1, dann y 1 (1)=10∙1-8=2.

Kommentar. Sie können den erhaltenen Wert des Arguments auch in die Funktion y 2 =-3∙x+5 einsetzen, dann erhalten wir die gleiche Antwort y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2 - Ordinate des Schnittpunkts.

(1;2) - der Schnittpunkt der Graphen der Funktionen y \u003d 10x-8 und y \u003d -3x + 5.

Antwort: (1;2)

Beispiel 5 .

Konstruieren Sie Graphen der Funktionen y 1 (x)= x+3 und y 2 (x)= x-1.

Es ist ersichtlich, dass der Koeffizient k=1 für beide Funktionen ist.

Daraus folgt, dass, wenn die Koeffizienten einer linearen Funktion gleich sind, ihre Graphen im Koordinatensystem parallel sind.

Beispiel 6 .

Lassen Sie uns zwei Diagramme der Funktion erstellen.

Das erste Diagramm enthält die Formel

Die zweite Grafik enthält die Formel

IN dieser Fall Vor uns liegt ein Diagramm aus zwei Geraden, die sich im Punkt (0; 4) schneiden. Dies bedeutet, dass der Koeffizient b, der für die Höhe des Anstiegs des Graphen über der x-Achse verantwortlich ist, wenn x=0 ist. Wir können also davon ausgehen, dass der Koeffizient b beider Diagramme 4 beträgt.

Herausgeber: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Betrachten wir das Problem. Ein Motorradfahrer verlässt die Stadt A momentan liegt 20 km entfernt. In welcher Entfernung s (km) von A befindet sich der Motorradfahrer nach t Stunden, wenn er sich mit einer Geschwindigkeit von 40 km/h bewegt?

Es ist offensichtlich, dass der Motorradfahrer in t Stunden 50t km zurücklegen wird. Folglich befindet es sich nach t Stunden in einer Entfernung von (20 + 50t) km von A, d. h. s = 50t + 20, wobei t ≥ 0.

Jeder Wert von t entspricht einem einzelnen Wert von s.

Die Formel s = 50t + 20, wobei t ≥ 0, definiert eine Funktion.

Betrachten wir ein weiteres Problem. Für den Versand eines Telegramms wird für jedes Wort eine Gebühr von 3 Kopeken und zusätzlich 10 Kopeken erhoben. Wie viele Kopeken (U) sollten für den Versand eines Telegramms mit n Wörtern bezahlt werden?

Da der Absender für n Wörter 3n Kopeken bezahlen muss, können die Kosten für das Versenden eines Telegramms in n Wörtern durch die Formel u = 3n + 10 ermittelt werden, wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist.

Bei beiden betrachteten Problemen sind wir auf Funktionen gestoßen, die durch Formeln der Form y \u003d kx + l gegeben sind, wobei k und l einige Zahlen und x und y Variablen sind.

Eine Funktion, die durch eine Formel der Form y = kx + l angegeben werden kann, wobei k und l einige Zahlen sind, wird als linear bezeichnet.

Da der Ausdruck kx + l für jedes x sinnvoll ist, kann der Definitionsbereich einer linearen Funktion die Menge aller Zahlen oder eine ihrer Teilmengen sein.

Ein Sonderfall einer linearen Funktion ist die zuvor betrachtete direkte Proportionalität. Denken Sie daran, dass für l \u003d 0 und k ≠ 0 die Formel y \u003d kx + l die Form y \u003d kx annimmt, und diese Formel ist, wie Sie wissen, für k ≠ 0 direkte Proportionalität gegeben.

Wir müssen eine durch die Formel gegebene lineare Funktion f zeichnen
y \u003d 0,5x + 2.

Lassen Sie uns mehrere entsprechende Werte der Variablen y für einige Werte von x erhalten:

Notieren wir uns die Punkte mit den Koordinaten, die wir erhalten haben: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

Es ist offensichtlich, dass die konstruierten Punkte auf einer geraden Linie liegen. Daraus folgt noch nicht, dass der Graph dieser Funktion eine Gerade ist.

Um herauszufinden, welche Form der Graph der betrachteten Funktion f hat, vergleichen wir ihn mit dem uns bekannten Graphen der direkten Proportionalität x - y, wobei x = 0,5.

Für jedes x ist der Wert des Ausdrucks 0,5x + 2 um 2 Einheiten größer als der entsprechende Wert des Ausdrucks 0,5x. Daher ist die Ordinate jedes Punktes des Graphen der Funktion f um 2 Einheiten größer als die entsprechende Ordinate des direkten Proportionalitätsgraphen.

Daher kann der Graph der betrachteten Funktion f aus dem Graphen der direkten Proportionalität durch Parallelverschiebung um 2 Einheiten in Richtung der y-Achse erhalten werden.

Da der Graph der direkten Proportionalität eine Gerade ist, ist auch der Graph der betrachteten linearen Funktion f eine Gerade.

Im Allgemeinen ist der Graph einer Funktion, die durch eine Formel der Form y \u003d kx + l gegeben ist, eine gerade Linie.

Wir wissen, dass es zur Konstruktion einer Geraden ausreicht, die Position ihrer beiden Punkte zu bestimmen.

Angenommen, Sie müssen eine durch die Formel gegebene Funktion grafisch darstellen
y \u003d 1,5x - 3.

Nehmen wir zwei beliebige Werte von x, zum Beispiel x 1 = 0 und x 2 = 4. Berechnen Sie die entsprechenden Werte der Funktion y 1 = -3, y 2 = 3, konstruieren Sie die Punkte A (-3; 0) und B (4; 3) und ziehen Sie eine Linie durch diese Punkte. Diese Gerade ist der gewünschte Graph.

Wenn der Bereich der linearen Funktion nicht durch alle repräsentiert wird mi Zahlen, dann ist sein Graph eine Teilmenge von Punkten auf einer geraden Linie (z. B. ein Strahl, ein Segment, eine Menge einzelner Punkte).

Die Lage des Graphen der durch die Formel y = kx + l gegebenen Funktion hängt von den Werten von l und k ab. Insbesondere hängt der Wert des Neigungswinkels des Graphen einer linearen Funktion zur x-Achse vom Koeffizienten k ab. Wenn k ist positive Zahl, dann ist dieser Winkel spitz; Wenn k eine negative Zahl ist, ist der Winkel stumpf. Die Zahl k wird Steigung der Geraden genannt.

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>>Mathe: Lineare Funktion und ihr Graph

Lineare Funktion und ihr Graph

Der Algorithmus zur Konstruktion eines Graphen der Gleichung ax + by + c = 0, den wir in § 28 formuliert haben, gefällt Mathematikern trotz seiner Klarheit und Sicherheit nicht wirklich. Normalerweise machen sie Ansprüche auf die ersten beiden Schritte des Algorithmus geltend. Warum, sagen sie, löst man die Gleichung zweimal bezüglich der Variablen y: zuerst ax1 + bu + c = O, dann axi + bu + c = O? Wäre es nicht besser, y sofort aus der Gleichung ax + durch + c = 0 auszudrücken, dann wären die Berechnungen einfacher (und vor allem schneller) durchzuführen? Lass uns das Prüfen. Überlegen Sie zunächst Die gleichung 3x - 2y + 6 = 0 (siehe Beispiel 2 aus § 28).

x geben spezifische Werte, ist es einfach, die entsprechenden y-Werte zu berechnen. Für x = 0 erhalten wir beispielsweise y = 3; bei x = -2 haben wir y = 0; für x = 2 gilt y = 6; für x = 4 erhalten wir: y = 9.

Sie können sehen, wie einfach und schnell die Punkte (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) und (4; 9) gefunden wurden, die im Beispiel 2 aus § 28 hervorgehoben wurden.

Ebenso könnte die Gleichung bx - 2y = 0 (siehe Beispiel 4 von § 28) in die Form 2y = 16 -3x umgewandelt werden. dann y = 2,5x; Es ist leicht, die Punkte (0; 0) und (2; 5) zu finden, die diese Gleichung erfüllen.

Schließlich kann die Gleichung 3x + 2y - 16 = 0 aus demselben Beispiel in die Form 2y = 16 -3x umgewandelt werden, und dann ist es einfach, Punkte (0; 0) und (2; 5) zu finden, die sie erfüllen.

Betrachten wir nun die angegebenen Transformationen in Gesamtansicht.

Somit kann die lineare Gleichung (1) mit zwei Variablen x und y immer in die Form umgewandelt werden
y = kx + m,(2) wobei k,m Zahlen (Koeffizienten) sind und .

Diese besondere Form der linearen Gleichung wird als lineare Funktion bezeichnet.

Mit Gleichung (2) ist es einfach, durch Angabe eines bestimmten Werts von x den entsprechenden Wert von y zu berechnen. Lassen Sie zum Beispiel

y = 2x + 3. Dann:
wenn x = 0, dann y = 3;
wenn x = 1, dann y = 5;
wenn x = -1, dann y = 1;
wenn x = 3, dann y = 9 usw.

Normalerweise werden diese Ergebnisse im Formular dargestellt Tische:

Die y-Werte aus der zweiten Zeile der Tabelle werden jeweils als Werte der linearen Funktion y \u003d 2x + 3 an den Punkten x \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d -1 bezeichnet. x \u003d -3.

In Gleichung (1) sind die Variablen xnu gleich, in Gleichung (2) jedoch nicht: Wir weisen einer von ihnen bestimmte Werte zu – der Variablen x, während der Wert der Variablen y vom gewählten Wert abhängt Variable x. Daher wird normalerweise gesagt, dass x die unabhängige Variable (oder das Argument) und y die abhängige Variable ist.

Beachten Sie, dass eine lineare Funktion eine besondere Art einer linearen Gleichung mit zwei Variablen ist. Gleichungsdiagramm y – kx + m ist wie jede lineare Gleichung mit zwei Variablen eine Gerade – sie wird auch Graph einer linearen Funktion y = kx + mp genannt. Somit ist der folgende Satz wahr.

Beispiel 1 Konstruieren Sie einen Graphen einer linearen Funktion y \u003d 2x + 3.

Lösung. Machen wir eine Tabelle:

In der zweiten Situation kann die unabhängige Variable x, die wie in der ersten Situation die Anzahl der Tage angibt, nur die Werte 1, 2, 3, ..., 16 annehmen. Tatsächlich, wenn x \u003d 16 , dann finden wir mit der Formel y \u003d 500 - Z0x : y \u003d 500 - 30 16 \u003d 20. Das bedeutet, dass es bereits am 17. Tag nicht mehr möglich sein wird, 30 Tonnen Kohle aus dem Lager zu entnehmen, da Bis zu diesem Tag werden nur noch 20 Tonnen im Lager sein und der Prozess des Kohleexports muss gestoppt werden. Daher sieht das verfeinerte mathematische Modell der zweiten Situation wie folgt aus:

y \u003d 500 - ZOD:, wobei x \u003d 1, 2, 3, .... 16.

In der dritten Situation unabhängig Variable x kann theoretisch jeden nicht negativen Wert annehmen (z. B. x-Wert = 0, x-Wert = 2, x-Wert = 3,5 usw.), aber in der Praxis kann ein Tourist nicht mit konstanter Geschwindigkeit gehen, ohne so lange zu schlafen und auszuruhen wie er will. Also mussten wir vernünftige Grenzen für x festlegen, sagen wir 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Denken Sie daran, dass das geometrische Modell der nichtstrikten doppelten Ungleichung 0 ist< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Anstelle des Satzes „x gehört zur Menge X“ schreiben wir (sie lauten: „das Element x gehört zur Menge Wie Sie sehen, wird unsere Vertrautheit mit der mathematischen Sprache ständig erweitert.

Wenn die lineare Funktion y \u003d kx + m nicht für alle Werte von x, sondern nur für Werte von x aus einem numerischen Intervall X betrachtet werden soll, dann schreiben sie:

Beispiel 2. Zeichnen Sie eine lineare Funktion grafisch:

Lösung: a) Erstellen Sie eine Tabelle für die lineare Funktion y = 2x + 1

Lassen Sie uns die Punkte (-3; 7) und (2; -3) auf der xOy-Koordinatenebene erstellen und eine gerade Linie durch sie zeichnen. Dies ist der Graph der Gleichung y \u003d -2x: + 1. Wählen Sie als Nächstes das Segment aus, das die konstruierten Punkte verbindet (Abb. 38). Dieses Segment ist der Graph der linearen Funktion y \u003d -2x + 1, wobei xe [-3, 2].

Normalerweise sagen sie Folgendes: Wir haben eine lineare Funktion y \u003d - 2x + 1 auf dem Segment [- 3, 2] aufgetragen.

b) Wie unterscheidet sich dieses Beispiel vom vorherigen? Die lineare Funktion ist dieselbe (y \u003d -2x + 1), was bedeutet, dass dieselbe Gerade als ihr Graph dient. Aber sei vorsichtig! - diesmal x e (-3, 2), d.h. die Werte x = -3 und x = 2 werden nicht berücksichtigt, sie gehören nicht zum Intervall (-3, 2). Wie haben wir die Enden des Intervalls auf der Koordinatenlinie markiert? Lichtkreise (Abb. 39), darüber haben wir in § 26 gesprochen. Ebenso die Punkte (- 3; 7) und B; - 3) müssen auf der Zeichnung mit hellen Kreisen markiert werden. Dies erinnert uns daran, dass nur die Punkte der Geraden y = - 2x + 1 genommen werden, die zwischen den mit Kreisen markierten Punkten liegen (Abb. 40). In solchen Fällen werden jedoch manchmal keine Lichtkreise, sondern Pfeile verwendet (Abb. 41). Das ist nicht grundlegend, die Hauptsache ist zu verstehen, worum es geht.

Beispiel 3 Finden Sie den größten und kleinsten Wert der linearen Funktion auf dem Segment.
Lösung. Lassen Sie uns eine Tabelle für eine lineare Funktion erstellen

Wir konstruieren die Punkte (0; 4) und (6; 7) auf der xOy-Koordinatenebene und zeichnen eine Gerade durch sie – den Graphen der linearen x-Funktion (Abb. 42).

Wir müssen diese lineare Funktion nicht als Ganzes betrachten, sondern segmentweise, d. h. für x e.

Der entsprechende Abschnitt des Diagramms wird in der Zeichnung hervorgehoben. Wir stellen fest, dass die größte Ordinate der zum ausgewählten Teil gehörenden Punkte 7 ist – das ist Höchster Wert lineare Funktion auf dem Segment. Üblicherweise wird folgende Schreibweise verwendet: y max = 7.

Wir stellen fest, dass die kleinste Ordinate der Punkte, die zu dem in Abbildung 42 hervorgehobenen Teil der Geraden gehören, 4 ist – dies ist der kleinste Wert der linearen Funktion auf dem Segment.
Verwenden Sie normalerweise den folgenden Eintrag: y Name. = 4.

Beispiel 4 Finden Sie y naib und y naim. für lineare Funktion y = -1,5x + 3,5

a) auf dem Segment; b) im Intervall (1,5);
c) im Halbintervall.

Lösung. Lassen Sie uns eine Tabelle für die lineare Funktion y \u003d -l, 5x + 3,5 erstellen:

Wir konstruieren die Punkte (1; 2) und (5; - 4) auf der xOy-Koordinatenebene und ziehen eine Gerade durch sie (Abb. 43-47). Lassen Sie uns auf der konstruierten Geraden den Teil herausgreifen, der den Werten von x entspricht, aus dem Segment (Abb. 43), aus dem Intervall A, 5) (Abb. 44), aus dem Halbintervall (Abb. 47). ).

a) Anhand von Abbildung 43 lässt sich leicht schließen, dass y max \u003d 2 (die lineare Funktion erreicht diesen Wert bei x \u003d 1) und y max. = - 4 (die lineare Funktion erreicht diesen Wert bei x = 5).

b) Anhand von Abbildung 44 kommen wir zu dem Schluss, dass diese lineare Funktion weder den größten noch den kleinsten Wert im gegebenen Intervall hat. Warum? Tatsache ist, dass im Gegensatz zum vorherigen Fall beide Enden des Segments, in denen die größten und kleinsten Werte erreicht wurden, von der Betrachtung ausgeschlossen sind.

c) Mit Hilfe von Abbildung 45 schließen wir, dass y max. = 2 (wie im ersten Fall) und der kleinste Wert die lineare Funktion nicht (wie im zweiten Fall).

d) Anhand von Abbildung 46 schließen wir: y max = 3,5 (die lineare Funktion erreicht diesen Wert bei x = 0) und y max. existiert nicht.

e) Anhand von Abbildung 47 schließen wir: y max = -1 (die lineare Funktion erreicht diesen Wert bei x = 3) und y max existiert nicht.

Beispiel 5. Zeichnen Sie eine lineare Funktion

y \u003d 2x - 6. Beantworten Sie anhand des Diagramms die folgenden Fragen:

a) Bei welchem ​​Wert von x ist y = 0?
b) Für welche Werte von x gilt y > 0?
c) für welche Werte von x wird y< 0?

Lösung. Erstellen wir eine Tabelle für die lineare Funktion y \u003d 2x-6:

Zeichnen Sie eine Gerade durch die Punkte (0; - 6) und (3; 0) - den Graphen der Funktion y \u003d 2x - 6 (Abb. 48).

a) y \u003d 0 bei x \u003d 3. Der Graph schneidet die x-Achse im Punkt x \u003d 3, dies ist der Punkt mit der Ordinate y \u003d 0.
b) y > 0 für x > 3. Wenn nämlich x > 3, dann liegt die Linie über der x-Achse, was bedeutet, dass die Ordinaten der entsprechenden Punkte der Linie positiv sind.

Katze< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Beachten Sie, dass wir in diesem Beispiel mithilfe der Grafik entschieden haben:

a) Gleichung 2x - 6 = 0 (habe x = 3);
b) Ungleichung 2x - 6 > 0 (wir haben x > 3);
c) Ungleichung 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Kommentar. Im Russischen wird dasselbe Objekt oft unterschiedlich genannt, zum Beispiel: „Haus“, „Gebäude“, „Bauwerk“, „Hütte“, „Herrenhaus“, „Kaserne“, „Hütte“, „Hütte“. In der mathematischen Sprache ist die Situation ungefähr dieselbe. Nehmen wir an, die Gleichheit mit zwei Variablen y = kx + m, wobei k, m bestimmte Zahlen sind, kann als lineare Funktion bezeichnet werden Lineargleichung Mit zwei Variablen x und y (oder mit zwei Unbekannten x und y) können Sie es eine Formel nennen, Sie können es eine Beziehung zwischen x und y nennen, Sie können es schließlich eine Beziehung zwischen x und y nennen. Es spielt keine Rolle, die Hauptsache ist, das in jedem Fall zu verstehen wir redenüber das mathematische Modell y = kx + m

.

Betrachten Sie den in Abbildung 49 gezeigten Graphen einer linearen Funktion, a. Wenn wir uns entlang dieses Diagramms von links nach rechts bewegen, erhöhen sich die Ordinaten der Diagrammpunkte ständig, es scheint, als würden wir „den Hügel hinaufklettern“. In solchen Fällen verwenden Mathematiker den Begriff Zunahme und sagen Folgendes: Wenn k>0, dann nimmt die lineare Funktion y = kx + m zu.

Betrachten Sie den in Abbildung 49 gezeigten Graphen einer linearen Funktion, b. Wenn wir uns entlang dieses Diagramms von links nach rechts bewegen, nehmen die Ordinaten der Diagrammpunkte ständig ab, es scheint, als würden wir „den Berg hinuntergehen“. In solchen Fällen verwenden Mathematiker den Begriff Abnahme und sagen Folgendes: wenn k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Lineare Funktion im wirklichen Leben

Fassen wir nun dieses Thema zusammen. Wir haben ein solches Konzept als lineare Funktion bereits kennengelernt, wir kennen seine Eigenschaften und haben gelernt, wie man Graphen erstellt. Außerdem haben Sie Sonderfälle einer linearen Funktion betrachtet und gelernt, wovon die relative Position der Graphen linearer Funktionen abhängt. Aber es stellt sich heraus, dass in unserem Alltagsleben Auch wir kreuzen uns ständig mit diesem mathematischen Modell.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Situationen im wirklichen Leben mit einem Konzept wie linearen Funktionen verbunden sind. Auch zwischen welchen Mengen bzw Lebenssituationen vielleicht eine lineare Abhängigkeit herstellen?

Viele von Ihnen verstehen wahrscheinlich nicht ganz, warum sie lineare Funktionen studieren müssen, da dies wahrscheinlich nicht nützlich ist späteres Leben. Aber hier irren Sie sich zutiefst, denn Funktionen begegnen uns immer und überall. Denn auch die übliche Monatsmiete ist eine Funktion, die von vielen Variablen abhängt. Zu diesen Variablen gehören die Quadratmeterzahl, die Anzahl der Einwohner, Tarife, Stromverbrauch usw.

Die häufigsten Beispiele für lineare Abhängigkeitsfunktionen, die uns begegnet sind, stammen natürlich aus dem Mathematikunterricht.

Sie und ich haben Probleme gelöst, bei denen wir die Entfernungen ermittelt haben, die Autos, Züge oder Fußgänger mit einer bestimmten Geschwindigkeit zurücklegen. Dies sind die linearen Funktionen der Bewegungszeit. Aber diese Beispiele sind nicht nur in der Mathematik anwendbar, sie sind auch in unserem täglichen Leben präsent.

Der Kaloriengehalt von Milchprodukten hängt vom Fettgehalt ab, und diese Abhängigkeit ist in der Regel eine lineare Funktion. So steigt beispielsweise mit einer Erhöhung des Fettanteils in Sauerrahm auch der Kaloriengehalt des Produkts.

Lassen Sie uns nun die Berechnungen durchführen und die Werte von k und b ermitteln, indem wir das Gleichungssystem lösen:

Lassen Sie uns nun die Abhängigkeitsformel ableiten:

Als Ergebnis erhielten wir einen linearen Zusammenhang.

Um die Geschwindigkeit der Schallausbreitung in Abhängigkeit von der Temperatur zu ermitteln, kann man die Formel anwenden: v = 331 + 0,6t, wobei v die Geschwindigkeit (in m/s) und t die Temperatur ist. Wenn wir einen Graphen dieser Abhängigkeit zeichnen, werden wir sehen, dass er linear ist, das heißt, er stellt eine gerade Linie dar.

Und solche praktischen Wissensanwendungen in der Anwendung linearer funktionaler Abhängigkeiten lassen sich noch lange aufzählen. Angefangen bei Telefongebühren, Haarlänge und -höhe bis hin zu Sprichwörtern in der Literatur. Und diese Liste lässt sich endlos fortsetzen.

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A. V. Pogorelov, Geometrie für die Klassen 7-11, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen

Anweisung

Es gibt mehrere Möglichkeiten, lineare Funktionen zu lösen. Werfen wir einen Blick auf die meisten davon. Die am häufigsten verwendete schrittweise Substitutionsmethode. In einer der Gleichungen ist es notwendig, eine Variable durch eine andere auszudrücken und sie in eine andere Gleichung einzusetzen. Und so weiter, bis nur noch eine Variable in einer der Gleichungen übrig bleibt. Um es zu lösen, müssen Sie die Variable auf einer Seite des Gleichheitszeichens belassen (es kann ein Koeffizient sein) und auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens alle numerischen Daten, ohne zu vergessen, das Vorzeichen der Zahl in zu ändern beim Übertragen ist das Gegenteil der Fall. Nachdem Sie eine Variable berechnet haben, setzen Sie sie in andere Ausdrücke ein und führen Sie die Berechnungen nach demselben Algorithmus fort.

Für Nehmen Sie ein Beispiel linear Funktionen, bestehend aus zwei Gleichungen:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Aus der zweiten Gleichung lässt sich x bequem ausdrücken:
x=y+2.
Wie Sie sehen können, änderte sich bei der Übertragung von einem Teil der Gleichheit auf einen anderen das Vorzeichen der Variablen und wie oben beschrieben.
Wir setzen den resultierenden Ausdruck in die erste Gleichung ein und schließen so die Variable x daraus aus:
2*(y+2)+y-7=0.
Klammern erweitern:
2y+4+y-7=0.
Wir stellen Variablen und Zahlen zusammen und fügen sie hinzu:
3y-3=0.
Wir übertragen auf die rechte Seite der Gleichung, ändern das Vorzeichen:
3y=3.
Wir dividieren durch den Gesamtkoeffizienten und erhalten:
y=1.
Ersetzen Sie den resultierenden Wert in den ersten Ausdruck:
x=y+2.
Wir erhalten x=3.

Eine andere Möglichkeit, ähnliche Gleichungen zu lösen, besteht darin, zwei Gleichungen Term für Term zu lösen, um eine neue Gleichung mit einer Variablen zu erhalten. Die Gleichung kann mit einem bestimmten Koeffizienten multipliziert werden. Die Hauptsache ist, jeden Term der Gleichung zu multiplizieren und nicht zu vergessen, und dann eine Gleichung zu addieren oder davon zu subtrahieren. Diese Methode spart viel beim Finden einer Linearität Funktionen.

Nehmen wir das bereits bekannte Gleichungssystem mit zwei Variablen:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Es ist leicht zu erkennen, dass der Koeffizient der Variablen y in der ersten und zweiten Gleichung identisch ist und sich nur im Vorzeichen unterscheidet. Das heißt, wenn wir diese beiden Gleichungen Term für Term addieren, erhalten wir eine neue, jedoch mit einer Variablen.
2x+x+y-y-7-2=0;
3x-9=0.
Wir übertragen die numerischen Daten auf die rechte Seite der Gleichung und ändern dabei das Vorzeichen:
3x=9.
Wir finden einen gemeinsamen Faktor, der dem Koeffizienten bei x entspricht, und dividieren beide Seiten der Gleichung durch ihn:
x=3.
Das resultierende Ergebnis kann in jede der Gleichungen des Systems eingesetzt werden, um y zu berechnen:
x-y-2=0;
3-y-2=0;
-y+1=0;
-y=-1;
y=1.

Sie können Daten auch berechnen, indem Sie ein genaues Diagramm erstellen. Dazu müssen Sie die Nullen finden Funktionen. Ist eine der Variablen gleich Null, heißt eine solche Funktion homogen. Durch das Lösen solcher Gleichungen erhalten Sie zwei Punkte, die zum Aufbau einer geraden Linie notwendig und ausreichend sind – einer davon liegt auf der x-Achse, der andere auf der y-Achse.

Wir nehmen eine beliebige Gleichung des Systems und setzen dort den Wert x \u003d 0 ein:
2*0+y-7=0;
Wir erhalten y=7. Somit hat der erste Punkt, nennen wir ihn A, die Koordinaten A (0; 7).
Um einen auf der x-Achse liegenden Punkt zu berechnen, ist es zweckmäßig, den Wert y \u003d 0 in die zweite Gleichung des Systems einzusetzen:
x-0-2=0;
x=2.
Der zweite Punkt (B) hat die Koordinaten B (2;0).
Wir markieren die erhaltenen Punkte im Koordinatengitter und ziehen eine Gerade durch sie. Wenn Sie es einigermaßen genau aufbauen, können andere x- und y-Werte direkt daraus berechnet werden.