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Multiplikation von Brüchen Regel und Beispiele. Multiplikation von einfachen und gemischten Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

UMGEHEN SIE DIESE RECHEN BEREITS! 🙂

Multiplikation und Division von Brüchen.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark sind, "nicht sehr. »
Und für diejenigen, die „sehr gleichmäßig. "")

Diese Operation ist viel schöner als Addition-Subtraktion! Weil es einfacher ist. Ich erinnere Sie daran: Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die Zähler (dies wird der Zähler des Ergebnisses sein) und die Nenner (dies wird der Nenner sein) multiplizieren. Also:

Alles ist sehr einfach. Und bitte nicht nach einem gemeinsamen Nenner suchen! Brauche ich hier nicht...

Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, musst du umdrehen zweite(das ist wichtig!) brechen und multiplizieren, also:

Wenn die Multiplikation oder Division mit ganzen Zahlen und Brüchen abgefangen wird, ist es in Ordnung. Wie bei der Addition machen wir aus einer ganzen Zahl mit einer Einheit im Nenner einen Bruch – und los! Zum Beispiel:

In der High School muss man sich oft mit dreistöckigen (oder sogar vierstöckigen!) Brüchen auseinandersetzen. Zum Beispiel:

Wie bringt man diesen Bruch in eine anständige Form? Ja, ganz einfach! Verwenden Sie die Division durch zwei Punkte:

Aber vergessen Sie nicht die Teilungsreihenfolge! Im Gegensatz zur Multiplikation ist dies hier sehr wichtig! Natürlich werden wir 4:2 oder 2:4 nicht verwechseln. Aber in einem dreistöckigen Bruchteil ist es leicht, einen Fehler zu machen. Bitte beachten Sie zum Beispiel:

Im ersten Fall (Ausdruck links):

Im zweiten (Ausdruck rechts):

Fühle den Unterschied? 4 und 1/9!

Wie ist die Teilungsreihenfolge? Oder Klammern oder (wie hier) die Länge horizontaler Striche. Entwickle ein Auge. Und wenn es keine Klammern oder Bindestriche gibt, wie:

dann dividieren-multiplizieren der Reihe nach von links nach rechts!

Und noch ein sehr einfacher und wichtiger Trick. Bei Aktionen mit Abschlüssen wird es sich für Sie als nützlich erweisen! Teilen wir die Einheit durch einen beliebigen Bruch, zum Beispiel durch 13/15:

Der Schuss ist übergesprungen! Und es passiert immer. Wenn Sie 1 durch einen beliebigen Bruch teilen, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur umgekehrt.

Das sind alle Aktionen mit Brüchen. Die Sache ist recht simpel, gibt aber mehr als genug Fehler. Notiz praktische Ratschläge, und sie (Fehler) werden weniger!

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit Bruchausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit! Das sind keine gewöhnlichen Worte, keine guten Wünsche! Dies ist eine dringende Notwendigkeit! Führen Sie alle Berechnungen in der Prüfung als vollwertige Aufgabe mit Konzentration und Klarheit durch. Es ist besser, zwei zusätzliche Zeilen in einen Entwurf zu schreiben, als beim Rechnen im Kopf zu vermasseln.

2. In den Beispielen mit verschiedene Typen Brüche - gehen Sie zu gewöhnlichen Brüchen.

3. Wir reduzieren alle Brüche bis zum Anschlag.

4. Wir reduzieren mehrstufige Bruchausdrücke auf gewöhnliche, indem wir die Division durch zwei Punkte verwenden (wir folgen der Divisionsreihenfolge!).

Hier sind die Aufgaben, die Sie erledigen müssen. Antworten werden nach allen Aufgaben gegeben. Verwenden Sie die Materialien zu diesem Thema und praktische Ratschläge. Schätzen Sie, wie viele Beispiele Sie richtig lösen könnten. Das erste Mal! Ohne Taschenrechner! Und die richtigen Schlüsse ziehen.

Erinnere dich an die richtige Antwort ab dem zweiten (insbesondere dritten) Mal erhalten - zählt nicht! So ist das harte Leben.

So, im Prüfungsmodus lösen ! Das ist übrigens die Vorbereitung auf die Prüfung. Wir lösen ein Beispiel, wir prüfen, wir lösen folgendes. Wir haben alles entschieden - wir haben noch einmal vom ersten bis zum letzten geprüft. Und nur Dann schau dir die Antworten an.

Suchen Sie nach Antworten, die zu Ihren passen. Ich habe sie absichtlich in einem Durcheinander niedergeschrieben, sozusagen abseits der Versuchung. Hier sind sie, die Antworten, getrennt durch ein Semikolon.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Und jetzt ziehen wir Schlüsse. Wenn alles geklappt hat - glücklich für dich! Elementares Rechnen mit Brüchen ist nicht dein Problem! Sie können ernsthaftere Dinge tun. Wenn nicht.

Sie haben also eines von zwei Problemen. Oder beides gleichzeitig.) Unkenntnis und (oder) Unaufmerksamkeit. Aber. Das lösbar Probleme.

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Regel 1

Um einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, musst du seinen Zähler mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner unverändert lassen.

Regel 2

Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren:

1. Finden Sie das Produkt der Zähler und das Produkt der Nenner dieser Brüche

2. Schreiben Sie das erste Produkt als Zähler und das zweite als Nenner.

Regel 3

Um gemischte Zahlen zu multiplizieren, musst du sie als unechte Brüche schreiben und dann die Regel zum Multiplizieren von Brüchen anwenden.

Regel 4

Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, musst du den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Beispiel 1

Berechnung

Beispiel 2

Berechnung

Beispiel 3

Berechnung

Beispiel 4

Berechnung

Mathematik. Andere Materialien

Eine Zahl rational potenzieren. (

Eine Zahl in eine natürliche Potenz erheben. (

Verallgemeinerte Intervallmethode zur Lösung algebraischer Ungleichungen (Autor Kolchanov A.V.)

Methode zum Ersetzen von Faktoren bei der Lösung algebraischer Ungleichungen (Autor Kolchanov A.V.)

Zeichen der Teilbarkeit (Lungu Alena)

Testen Sie sich zum Thema „Multiplikation und Division gewöhnlicher Brüche“

Multiplikation von Brüchen

Wir werden die Multiplikation gewöhnlicher Brüche auf mehrere mögliche Arten betrachten.

Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren

Dies ist der einfachste Fall, in dem Sie Folgendes verwenden müssen Regeln zur Multiplikation von Brüchen.

Zu einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren, notwendig:

den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs multiplizieren und ihr Produkt in den Zähler des neuen Bruchs schreiben;

den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs multiplizieren und ihr Produkt in den Nenner des neuen Bruchs schreiben;

Prüfen Sie vor dem Multiplizieren von Zählern und Nennern, ob sich die Brüche kürzen lassen. Das Kürzen von Brüchen in Berechnungen erleichtert Ihre Berechnungen erheblich.

Einen Bruch mit einer natürlichen Zahl multiplizieren

Zum Bruch mit einer natürlichen Zahl multiplizieren Sie müssen den Zähler des Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner des Bruchs unverändert lassen.

Wenn das Ergebnis der Multiplikation ein unechter Bruch ist, vergessen Sie nicht, ihn in eine gemischte Zahl umzuwandeln, dh den ganzen Teil auszuwählen.

Multiplikation gemischter Zahlen

Um gemischte Zahlen zu multiplizieren, musst du sie zuerst in unechte Brüche umwandeln und dann gemäß der Regel zum Multiplizieren gewöhnlicher Brüche multiplizieren.

Eine andere Möglichkeit, einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren

Manchmal ist es bei Berechnungen bequemer, eine andere Methode zum Multiplizieren eines gewöhnlichen Bruchs mit einer Zahl zu verwenden.

Um einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, musst du den Nenner des Bruchs durch diese Zahl dividieren und den Zähler gleich lassen.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, ist es bequemer, diese Version der Regel anzuwenden, wenn der Nenner des Bruchs ohne Rest durch eine natürliche Zahl teilbar ist.

Division eines Bruchs durch eine Zahl

Wie teilt man am schnellsten einen Bruch durch eine Zahl? Lassen Sie uns die Theorie analysieren, ein Fazit ziehen und anhand von Beispielen sehen, wie die Division eines Bruchs durch eine Zahl nach einer neuen kurzen Regel durchgeführt werden kann.

Üblicherweise erfolgt die Division eines Bruchs durch eine Zahl nach der Bruchteilungsregel. Die erste Zahl (Bruch) wird mit dem Kehrwert der zweiten multipliziert. Da die zweite Zahl eine ganze Zahl ist, ist ihr Kehrwert ein Bruch, dessen Zähler gleich eins ist und dessen Nenner gleich eins ist angegebene Nummer. Schematisch sieht die Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl so aus:

Daraus schließen wir:

Um einen Bruch durch eine Zahl zu dividieren, multiplizierst du den Nenner mit dieser Zahl und lässt den Zähler gleich. Die Regel lässt sich noch kürzer formulieren:

Wenn du einen Bruch durch eine Zahl dividierst, geht die Zahl auf den Nenner.

Teilen Sie einen Bruch durch eine Zahl:

Um einen Bruch durch eine Zahl zu dividieren, schreiben wir den Zähler unverändert und multiplizieren den Nenner mit dieser Zahl. Wir reduzieren 6 und 3 um 3.

Wenn wir einen Bruch durch eine Zahl dividieren, schreiben wir den Zähler um und multiplizieren den Nenner mit dieser Zahl. Wir reduzieren 16 und 24 um 8.

Wenn ein Bruch durch eine Zahl dividiert wird, geht die Zahl auf den Nenner, also lassen wir den Zähler gleich und multiplizieren den Nenner mit dem Divisor. Wir reduzieren 21 und 35 um 7.

Multiplikation und Division von Brüchen

Letztes Mal haben wir gelernt, wie man Brüche addiert und subtrahiert (siehe die Lektion "Brüche addieren und subtrahieren"). Der schwierigste Moment bei diesen Aktionen war es, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Jetzt ist es an der Zeit, sich mit Multiplikation und Division zu befassen. Die gute Nachricht ist, dass diese Operationen noch einfacher sind als Addition und Subtraktion. Überlegen Sie zunächst einfachster Fall, wenn es zwei positive Brüche ohne einen ausgezeichneten ganzzahligen Teil gibt.

Um zwei Brüche zu multiplizieren, musst du ihre Zähler und Nenner separat multiplizieren. Die erste Zahl ist der Zähler des neuen Bruchs und die zweite der Nenner.

Um zwei Brüche zu dividieren, musst du den ersten Bruch mit der „umgekehrten“ Sekunde multiplizieren.

Aus der Definition folgt, dass sich die Division von Brüchen auf die Multiplikation reduziert. Um einen Bruch umzudrehen, vertauschst du einfach Zähler und Nenner. Daher werden wir uns in der gesamten Lektion hauptsächlich mit der Multiplikation befassen.

Als Ergebnis der Multiplikation kann ein gekürzter Bruch entstehen (und kommt oft vor) – natürlich muss gekürzt werden. Wenn sich nach allen Kürzungen herausstellt, dass der Bruch falsch ist, sollte der ganze Teil darin unterschieden werden. Was aber bei der Multiplikation genau nicht passieren wird, ist die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner: keine Kreuzverfahren, maximale Faktoren und kleinste gemeinsame Vielfache.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Per Definition haben wir:

Multiplikation von Brüchen mit einem ganzzahligen Teil und negativen Brüchen

Wenn die Brüche einen ganzzahligen Teil enthalten, müssen sie in unechte umgewandelt werden - und erst dann nach den oben skizzierten Schemata multipliziert werden.

Wenn im Zähler eines Bruchs, im Nenner oder davor ein Minus steht, kann es nach folgenden Regeln aus den Grenzen der Multiplikation herausgenommen oder ganz entfernt werden:

Plus mal Minus ergibt Minus;
Zwei Verneinungen ergeben eine Bejahung.

Bisher begegnete man diesen Regeln nur beim Addieren und Subtrahieren von negativen Brüchen, wenn es darum ging, den ganzen Teil loszuwerden. Für ein Produkt können sie verallgemeinert werden, um mehrere Minuspunkte auf einmal zu „verbrennen“:

Wir streichen die Minuspunkte paarweise durch, bis sie vollständig verschwinden. Im Extremfall kann ein Minus überleben - derjenige, der keine Übereinstimmung gefunden hat;
Wenn keine Minuspunkte mehr vorhanden sind, ist die Operation abgeschlossen - Sie können mit dem Multiplizieren beginnen. Wenn das letzte Minus nicht durchgestrichen ist, da es kein Paar gefunden hat, nehmen wir es aus den Grenzen der Multiplikation heraus. Sie erhalten einen negativen Bruch.

Wir übersetzen alle Brüche in unechte Brüche und entfernen dann die Minuszeichen außerhalb der Grenzen der Multiplikation. Was übrig bleibt, wird mit multipliziert üblichen Regeln. Wir bekommen:

Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass sich das Minus vor einem Bruch mit einem hervorgehobenen ganzzahligen Teil speziell auf den gesamten Bruch bezieht und nicht nur auf seinen ganzzahligen Teil (dies gilt für die letzten beiden Beispiele).

Achten Sie auch auf negative Zahlen: Beim Multiplizieren werden sie in Klammern gesetzt. Dies geschieht, um die Minuszeichen von den Multiplikationszeichen zu trennen und die gesamte Notation genauer zu machen.

Brüche im laufenden Betrieb kürzen

Die Multiplikation ist eine sehr mühsame Operation. Die Zahlen hier sind ziemlich groß, und um die Aufgabe zu vereinfachen, können Sie versuchen, den Bruch noch weiter zu reduzieren vor Multiplikation. Tatsächlich sind Zähler und Nenner von Brüchen im Wesentlichen gewöhnliche Faktoren und können daher unter Verwendung der grundlegenden Eigenschaft eines Bruchs gekürzt werden. Schauen Sie sich die Beispiele an:

In allen Beispielen sind die reduzierten Zahlen und deren Reste rot markiert.

Bitte beachten Sie: Im ersten Fall wurden die Multiplikatoren komplett reduziert. Einheiten blieben an ihrer Stelle, die im Allgemeinen weggelassen werden können. Im zweiten Beispiel volle Reduktion Es war nicht möglich, dies zu erreichen, aber die Gesamtzahl der Berechnungen nahm immer noch ab.

Verwenden Sie diese Technik jedoch auf keinen Fall beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen! Ja, manchmal gibt es ähnliche Zahlen, die Sie einfach reduzieren möchten. Hier, schau:

Das kannst du nicht!

Der Fehler tritt auf, weil beim Addieren eines Bruchs die Summe im Zähler eines Bruchs erscheint und nicht das Produkt von Zahlen. Daher ist es unmöglich, die Haupteigenschaft eines Bruchs anzuwenden, da in dieser Eigenschaft wir reden Es geht um das Multiplizieren von Zahlen.

Es gibt einfach keinen anderen Grund, Brüche zu kürzen, also sieht die richtige Lösung der vorherigen Aufgabe so aus:

Wie Sie sehen können, stellte sich heraus, dass die richtige Antwort nicht so schön war. Seien Sie im Allgemeinen vorsichtig.

Division von Brüchen.

Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl.

Beispiele für die Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl

Division einer natürlichen Zahl durch einen Bruch.

Beispiele für die Division einer natürlichen Zahl durch einen Bruch

Division gewöhnlicher Brüche.

Beispiele für die Division gewöhnlicher Brüche

Division gemischter Zahlen.

wandle gemischte Brüche in unechte um;
multipliziere den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten;
den resultierenden Bruch reduzieren;
Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, wandeln Sie den unechten Bruch in einen gemischten um.

Beispiele für die Division gemischter Zahlen

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

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Mein Name ist Dowschik Michail Viktorowitsch. Ich bin der Besitzer und Autor dieser Seite, ich habe alles geschrieben theoretischer Stoff, sowie Online-Übungen und Rechner, mit denen Sie Mathematik lernen können.

Brüche. Multiplikation und Division von Brüchen.

Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren.

Um gewöhnliche Brüche zu multiplizieren, ist es notwendig, den Zähler mit dem Zähler (wir erhalten den Zähler des Produkts) und den Nenner mit dem Nenner (wir erhalten den Nenner des Produkts) zu multiplizieren.

Bruchmultiplikationsformel:

Bevor Sie mit der Multiplikation von Zählern und Nennern fortfahren, müssen Sie die Möglichkeit prüfen, den Bruch zu kürzen. Wenn Sie es schaffen, den Bruch zu reduzieren, können Sie leichter weiterrechnen.

Beachten Sie! Es besteht keine Notwendigkeit, nach einem gemeinsamen Nenner zu suchen!!

Division eines gewöhnlichen Bruchs durch einen Bruch.

Die Division eines gewöhnlichen Bruchs durch einen Bruch geht so: zweiten Bruch umdrehen (d.h. Zähler und Nenner stellenweise vertauschen) und danach werden die Brüche multipliziert.

Die Formel zur Division gewöhnlicher Brüche:

Einen Bruch mit einer natürlichen Zahl multiplizieren.

Beachten Sie! Bei der Multiplikation eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl wird der Zähler des Bruchs mit unserer natürlichen Zahl multipliziert, und der Nenner des Bruchs bleibt gleich. Wenn das Ergebnis des Produkts ein unechter Bruch ist, wählen Sie unbedingt den ganzen Teil aus, indem Sie den unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln.

Division von Brüchen mit einer natürlichen Zahl.

Es ist nicht so beängstigend, wie es scheint. Wie bei der Addition wandeln wir eine ganze Zahl in einen Bruch mit einer Einheit im Nenner um. Zum Beispiel:

Multiplikation gemischter Brüche.

Regeln zum Multiplizieren von Brüchen (gemischt):

wandle gemischte Brüche in unechte um;
multipliziere die Zähler und Nenner von Brüchen;
wir reduzieren den Bruch;
Wenn wir einen unechten Bruch erhalten, wandeln wir den unechten Bruch in einen gemischten um.

Beachten Sie! Um einen gemischten Bruch mit einem anderen gemischten Bruch zu multiplizieren, müssen Sie sie zuerst in die Form von unechten Brüchen bringen und dann gemäß der Regel zum Multiplizieren gewöhnlicher Brüche multiplizieren.

Die zweite Möglichkeit, einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren.

Es ist bequemer, die zweite Methode zum Multiplizieren eines gewöhnlichen Bruchs mit einer Zahl zu verwenden.

Beachten Sie! Um einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, ist es notwendig, den Nenner des Bruchs durch diese Zahl zu dividieren und den Zähler unverändert zu lassen.

Aus dem obigen Beispiel wird deutlich, dass diese Option bequemer zu verwenden ist, wenn der Nenner eines Bruchs ohne Rest durch eine natürliche Zahl dividiert wird.

Mehrstufige Brüche.

In der High School werden oft dreistöckige (oder mehr) Fraktionen gefunden. Beispiel:

Um einen solchen Bruch auf seine übliche Form zu bringen, wird eine Division durch 2 Punkte verwendet:

Beachten Sie! Beim Teilen von Brüchen ist die Reihenfolge der Teilung sehr wichtig. Achtung, hier kommt man leicht durcheinander.

Beachten Sie, Zum Beispiel:

Wenn Sie eins durch einen beliebigen Bruch dividieren, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur umgekehrt:

Praktische Tipps zum Multiplizieren und Dividieren von Brüchen:

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit Bruchausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit. Führen Sie alle Berechnungen sorgfältig und genau, konzentriert und klar durch. Es ist besser, ein paar zusätzliche Zeilen in einen Entwurf zu schreiben, als sich in den Berechnungen im Kopf zu verirren.

2. Gehen Sie bei Aufgaben mit unterschiedlichen Arten von Brüchen zur Art der gewöhnlichen Brüche.

3. Wir kürzen alle Brüche, bis eine Kürzung nicht mehr möglich ist.

4. Wir bringen mehrstufige Bruchausdrücke in gewöhnliche Ausdrücke, indem wir die Division durch 2 Punkte verwenden.

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Im Laufe der durchschnittlichen u weiterführende Schule Die Schüler bearbeiteten das Thema „Brüche“. Allerdings ist dieser Begriff viel weiter gefasst als im Lernprozess vorgegeben. Heutzutage trifft man häufig auf das Konzept eines Bruchs, und nicht jeder kann einen Ausdruck berechnen, z. B. das Multiplizieren von Brüchen.

Was ist ein Bruch?

Es geschah historisch, dass Bruchzahlen aufgrund der Notwendigkeit des Messens auftauchten. Wie die Praxis zeigt, gibt es oft Beispiele für die Bestimmung der Länge eines Segments, des Volumens eines rechteckigen Rechtecks.

Zunächst wird den Studierenden ein solches Konzept als Aktie vorgestellt. Wenn Sie beispielsweise eine Wassermelone in 8 Teile teilen, erhält jeder ein Achtel einer Wassermelone. Dieser eine Teil von acht wird als Aktie bezeichnet.

Ein Anteil, der ½ eines beliebigen Wertes entspricht, wird als Hälfte bezeichnet; ⅓ - Drittel; ¼ - ein Viertel. Einträge wie 5/8, 4/5, 2/4 werden gemeinsame Brüche genannt. Ein gewöhnlicher Bruch wird in einen Zähler und einen Nenner geteilt. Zwischen ihnen befindet sich eine Bruchlinie oder eine Bruchlinie. Ein Bruchstrich kann entweder als horizontale oder als schräge Linie gezeichnet werden. IN dieser Fall es steht für das Teilungszeichen.

Der Nenner stellt dar, in wie viele gleiche Anteile der Wert, das Objekt geteilt wird; und der Zähler gibt an, wie viele gleiche Anteile genommen werden. Der Zähler steht über dem Bruchstrich, der Nenner darunter.

Es ist am bequemsten, gewöhnliche Brüche auf einem Koordinatenstrahl darzustellen. Wenn ein einzelnes Segment in 4 gleiche Teile geteilt wird, bezeichnen Sie jeden Anteil Lateinischer Buchstabe, dann können Sie als Ergebnis ein ausgezeichnetes bekommen Bildmaterial. Punkt A zeigt also einen Anteil von 1/4 des gesamten Einheitssegments und Punkt B markiert 2/8 dieses Segments.

Sorten von Fraktionen

Brüche sind gewöhnliche, dezimale und gemischte Zahlen. Außerdem können Brüche in echte und unechte Brüche unterteilt werden. Diese Klassifikation ist besser geeignet für gewöhnliche Fraktionen.

Ein echter Bruch ist eine Zahl, deren Zähler kleiner als der Nenner ist. Dementsprechend ist ein unechter Bruch eine Zahl, deren Zähler größer als der Nenner ist. Die zweite Art wird normalerweise als gemischte Zahl geschrieben. Ein solcher Ausdruck besteht aus einem ganzzahligen Teil und einem Bruchteil. Zum Beispiel 1½. 1 - ganzzahliger Teil, ½ - Bruchzahl. Wenn Sie jedoch einige Manipulationen mit dem Ausdruck durchführen müssen (Brüche dividieren oder multiplizieren, kürzen oder umwandeln), wird die gemischte Zahl in einen unechten Bruch umgewandelt.

Ein korrekter Bruchausdruck ist immer kleiner als eins und ein falscher immer größer oder gleich 1.

Unter diesem Ausdruck verstehen sie einen Datensatz, in dem eine beliebige Zahl dargestellt wird, deren Nenner des Bruchausdrucks durch Eins mit mehreren Nullen ausgedrückt werden kann. Wenn der Bruch korrekt ist, dann ist der ganzzahlige Teil in der Dezimalschreibweise Null.

Um eine Dezimalzahl zu schreiben, müssen Sie zuerst den ganzzahligen Teil schreiben, ihn durch ein Komma vom Bruch trennen und dann den Bruchausdruck schreiben. Es ist zu beachten, dass der Zähler nach dem Komma so viele Ziffern enthalten muss, wie Nullen im Nenner vorhanden sind.

Beispiel. Stellen Sie den Bruch 7 21 / 1000 in Dezimalschreibweise dar.

Algorithmus zur Umwandlung eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl und umgekehrt

Es ist falsch, einen unechten Bruch in die Lösung der Aufgabe zu schreiben, also muss er in eine gemischte Zahl umgewandelt werden:

Teilen Sie den Zähler durch den vorhandenen Nenner;
v konkretes Beispiel unvollständiger Quotient - ganz;
und der Rest ist der Zähler des Bruchteils, wobei der Nenner unverändert bleibt.

Beispiel. Unechten Bruch in gemischte Zahl umwandeln: 47 / 5 .

Lösung. 47: 5. Der unvollständige Quotient ist 9, der Rest = 2. Also 47 / 5 = 9 2 / 5.

Manchmal müssen Sie eine gemischte Zahl als unechten Bruch darstellen. Dann müssen Sie den folgenden Algorithmus verwenden:

der ganzzahlige Teil wird mit dem Nenner des Bruchausdrucks multipliziert;
das resultierende Produkt wird zum Zähler addiert;
das Ergebnis wird in den Zähler geschrieben, der Nenner bleibt unverändert.

Beispiel. Drücken Sie die Zahl in gemischter Form als unechten Bruch aus: 9 8 / 10 .

Lösung. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ist der Zähler.

Antworten: 98 / 10.

Multiplikation gewöhnlicher Brüche

Du kannst verschiedene algebraische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen durchführen. Um zwei Zahlen zu multiplizieren, musst du den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Außerdem ist die Multiplikation von Brüchen mit verschiedene Nenner unterscheidet sich nicht vom Produkt von Bruchzahlen mit gleichem Nenner.

Es kommt vor, dass Sie nach dem Finden des Ergebnisses den Bruch reduzieren müssen. Es ist zwingend erforderlich, den resultierenden Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen. Natürlich kann man nicht sagen, dass ein falscher Bruch in der Antwort ein Fehler ist, aber es ist auch schwierig, ihn die richtige Antwort zu nennen.

Beispiel. Finde das Produkt zweier gewöhnlicher Brüche: ½ und 20/18.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, erhält man nach Auffinden des Produkts eine reduzierbare Bruchschreibweise. Sowohl der Zähler als auch der Nenner sind in diesem Fall durch 4 teilbar, und das Ergebnis ist die Antwort 5 / 9.

Dezimalbrüche multiplizieren

Das Produkt von Dezimalbrüchen unterscheidet sich in seinem Prinzip stark vom Produkt gewöhnlicher Brüche. Das Multiplizieren von Brüchen ist also wie folgt:

zwei Dezimalbrüche müssen so untereinander geschrieben werden, dass die Ziffern ganz rechts untereinander stehen;
Sie müssen die geschriebenen Zahlen trotz Kommas multiplizieren, dh als natürliche Zahlen.
zählen Sie die Anzahl der Ziffern nach dem Komma in jeder der Zahlen;
in dem nach der Multiplikation erhaltenen Ergebnis müssen Sie rechts so viele Ziffern zählen, wie in der Summe beider Faktoren nach dem Komma enthalten sind, und ein Trennzeichen setzen;
wenn das Produkt weniger Ziffern enthält, dann müssen so viele Nullen davor geschrieben werden, um diese Zahl abzudecken, ein Komma setzen und einen ganzzahligen Teil gleich Null zuweisen.

Beispiel. Berechne das Produkt zweier Dezimalstellen: 2,25 und 3,6.

Lösung.

Multiplikation gemischter Brüche

Um das Produkt zweier gemischter Brüche zu berechnen, müssen Sie die Regel zum Multiplizieren von Brüchen verwenden:

wandle gemischte Zahlen in unechte Brüche um;
finde das Produkt von Zählern;
finden Sie das Produkt der Nenner;
schreibe das Ergebnis auf;
Vereinfachen Sie den Ausdruck so weit wie möglich.

Beispiel. Finde das Produkt von 4½ und 6 2 / 5.

Eine Zahl mit einem Bruch multiplizieren (Brüche mit einer Zahl)

Neben dem Finden des Produkts zweier Brüche, gemischter Zahlen, gibt es Aufgaben, bei denen Sie mit einem Bruch multiplizieren müssen.

Um also das Produkt aus einem Dezimalbruch und einer natürlichen Zahl zu finden, benötigen Sie:

schreibe die Zahl so unter den Bruch, dass die Ziffern ganz rechts übereinander stehen;
finden Sie die Arbeit trotz des Kommas;
Trennen Sie im erhaltenen Ergebnis den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma und zählen Sie rechts die Anzahl der Zeichen nach dem Dezimalkomma im Bruch.

Multiplizieren gemeinsamer Bruchteil Durch eine Zahl sollten Sie das Produkt des Zählers und des natürlichen Faktors finden. Wenn die Antwort ein reduzierbarer Bruch ist, sollte er umgewandelt werden.

Beispiel. Berechne das Produkt aus 5 / 8 und 12.

Lösung. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Antworten: 7 1 / 2.

Wie Sie im vorherigen Beispiel sehen können, war es notwendig, das resultierende Ergebnis zu reduzieren und den falschen Bruchausdruck in eine gemischte Zahl umzuwandeln.

Außerdem gilt die Multiplikation von Brüchen auch für die Suche nach dem Produkt einer Zahl in gemischter Form und einem Naturfaktor. Um diese beiden Zahlen zu multiplizieren, sollten Sie den ganzzahligen Teil des gemischten Faktors mit der Zahl multiplizieren, den Zähler mit demselben Wert multiplizieren und den Nenner unverändert lassen. Gegebenenfalls müssen Sie das Ergebnis so weit wie möglich vereinfachen.

Beispiel. Finden Sie das Produkt von 9 5 / 6 und 9.

Lösung. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Antworten: 88 1 / 2.

Multiplikation mit den Faktoren 10, 100, 1000 oder 0,1; 0,01; 0,001

Die folgende Regel folgt aus dem vorherigen Absatz. Um einen Dezimalbruch mit 10, 100, 1000, 10000 usw. zu multiplizieren, müssen Sie das Komma um so viele Ziffern nach rechts verschieben, wie im Multiplikator nach Eins Nullen stehen.

Beispiel 1. Finden Sie das Produkt von 0,065 und 1000.

Lösung. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Antworten: 65.

Beispiel 2. Finden Sie das Produkt von 3,9 und 1000.

Lösung. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Antworten: 3900.

Wenn Sie eine natürliche Zahl und 0,1 multiplizieren müssen; 0,01; 0,001; B. 0,0001 usw., sollten Sie im resultierenden Produkt das Komma um so viele Ziffern nach links verschieben, wie Nullen vor Eins stehen. Gegebenenfalls werden einer natürlichen Zahl ausreichend viele Nullen vorangestellt.

Beispiel 1. Finden Sie das Produkt von 56 und 0,01.

Lösung. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Antworten: 0,56.

Beispiel 2. Finden Sie das Produkt von 4 und 0,001.

Lösung. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Antworten: 0,004.

Das Auffinden des Produkts verschiedener Brüche sollte also keine Schwierigkeiten verursachen, außer vielleicht die Berechnung des Ergebnisses; Auf einen Taschenrechner kann man in diesem Fall einfach nicht verzichten.

Unterrichtsinhalt

Brüche mit gleichem Nenner addieren

Es gibt zwei Arten von Brüchen:

Brüche mit gleichem Nenner addieren
Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Beginnen wir mit der Addition von Brüchen mit gleichem Nenner. Hier ist alles einfach. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, musst du ihre Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen. Lassen Sie uns zum Beispiel die Brüche und addieren. Wir addieren die Zähler und lassen den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine Pizza denken, die in vier Teile geteilt ist. Wenn Sie Pizza zu Pizza hinzufügen, erhalten Sie Pizza:

Beispiel 2 Addiere Brüche und .

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Wenn das Ende der Aufgabe kommt, ist es üblich, unechte Brüche loszuwerden. Um einen unechten Bruch loszuwerden, müssen Sie den ganzen Teil darin auswählen. In unserem Fall ist der ganzzahlige Teil einfach zuzuordnen - zwei geteilt durch zwei ist gleich eins:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine zweigeteilte Pizza denken. Wenn Sie der Pizza weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie eine ganze Pizza:

Beispiel 3. Addiere Brüche und .

Addieren Sie wieder die Zähler und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine dreigeteilte Pizza denken. Wenn Sie mehr Pizzen zu Pizza hinzufügen, erhalten Sie Pizzen:

Beispiel 4 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Die Zähler müssen addiert und der Nenner unverändert gelassen werden:

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn Sie einer Pizza Pizzen hinzufügen und weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie 1 ganze Pizza und mehr Pizzen.

Wie du siehst, ist das Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner nicht schwierig. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie ihre Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen;

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Jetzt lernen wir, wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert. Beim Addieren von Brüchen müssen die Nenner dieser Brüche gleich sein. Aber sie sind nicht immer gleich.

Zum Beispiel können Brüche addiert werden, weil sie den gleichen Nenner haben.

Brüche können jedoch nicht auf einmal addiert werden, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner gekürzt werden.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Brüche auf denselben Nenner zu bringen. Heute werden wir nur eine davon betrachten, da die restlichen Methoden für einen Anfänger kompliziert erscheinen mögen.

Das Wesen dieser Methode liegt darin, dass zuerst (LCM) der Nenner beider Brüche gesucht wird. Dann wird das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs geteilt und der erste zusätzliche Faktor wird erhalten. Das gleiche machen sie mit dem zweiten Bruch – das LCM wird durch den Nenner des zweiten Bruchs geteilt und der zweite zusätzliche Faktor wird erhalten.

Dann werden die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Aktionen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben Nenner. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert.

Beispiel 1. Brüche addieren und

Zunächst finden wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 6

LCM (2 und 3) = 6

Nun zurück zu den Brüchen und . Zuerst dividieren wir das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs und erhalten den ersten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 6 durch 3, wir erhalten 2.

Die resultierende Zahl 2 ist der erste zusätzliche Faktor. Wir schreiben es bis zum ersten Bruch auf. Dazu ziehen wir einen kleinen Schrägstrich über den Bruch und schreiben den gefundenen Zusatzfaktor darüber:

Dasselbe machen wir mit der zweiten Fraktion. Wir dividieren das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs und erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 6 durch 2, wir erhalten 3.

Die resultierende Zahl 3 ist der zweite zusätzliche Faktor. Wir schreiben es in den zweiten Bruch. Auch hier machen wir einen kleinen Schrägstrich über dem zweiten Bruch und schreiben den gefundenen Zusatzfaktor darüber:

Jetzt können wir alles hinzufügen. Es bleibt, die Zähler und Nenner von Brüchen mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Schauen Sie sich genau an, was wir erreicht haben. Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichem Nenner wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel zu Ende führen:

Damit endet das Beispiel. Um es hinzuzufügen, stellt sich heraus.

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn Sie einer Pizza Pizzen hinzufügen, erhalten Sie eine ganze Pizza und ein weiteres Sechstel einer Pizza:

Das Kürzen von Brüchen auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner kann auch mit einem Bild dargestellt werden. Wenn wir die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese beiden Fraktionen werden durch die gleichen Pizzastücke dargestellt. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sie diesmal in gleiche Anteile geteilt (auf denselben Nenner gebracht) werden.

Die erste Zeichnung zeigt einen Bruch (vier Teile von sechs) und das zweite Bild zeigt einen Bruch (drei Teile von sechs). Wenn wir diese Teile zusammenfügen, erhalten wir (sieben von sechs Teilen). Dieser Bruch ist falsch, deshalb haben wir den ganzzahligen Teil darin hervorgehoben. Das Ergebnis war (eine ganze Pizza und eine weitere sechste Pizza).

Beachten Sie, dass wir gemalt haben gegebenes Beispiel zu ausführlich. IN Bildungsinstitutionen Es ist nicht üblich, so ausführlich zu schreiben. Sie müssen in der Lage sein, das LCM beider Nenner und zusätzlicher Faktoren schnell zu finden und die zusätzlichen Faktoren, die von Ihren Zählern und Nennern gefunden wurden, schnell zu multiplizieren. In der Schule müssten wir dieses Beispiel wie folgt schreiben:

Aber es gibt auch Rückseite Medaillen. Wenn in den ersten Phasen des Mathematikstudiums keine detaillierten Notizen gemacht werden, dann solche Fragen „Woher kommt diese Zahl?“, „Warum werden aus Brüchen plötzlich ganz andere Brüche? «.

Um das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zu vereinfachen, können Sie die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung verwenden:

Finden Sie das LCM der Nenner von Brüchen;
Teilen Sie das LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Multiplikator für jeden Bruch;
Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit ihren zusätzlichen Faktoren;
Brüche mit gleichem Nenner addieren;
Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie den ganzen Teil aus;

Beispiel 2 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks .

Lassen Sie uns die Anweisungen oben verwenden.

Schritt 1. Finden Sie das LCM der Nenner von Brüchen

Finde das LCM der Nenner beider Brüche. Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 2, 3 und 4

Schritt 2. Teilen Sie das LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Multiplikator für jeden Bruch

Teilen Sie das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 12 durch 2, erhalten wir 6. Wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Jetzt dividieren wir das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, wir erhalten 4. Wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 4. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Jetzt dividieren wir das LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Schritt 3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit Ihren zusätzlichen Faktoren

Wir multiplizieren die Zähler und Nenner mit unseren zusätzlichen Faktoren:

Schritt 4. Addiere Brüche mit gleichem Nenner

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner werden. Es bleibt, diese Brüche zu addieren. Addieren:

Die Addition passte nicht in eine Zeile, also haben wir den verbleibenden Ausdruck in die nächste Zeile verschoben. In Mathematik ist dies erlaubt. Wenn ein Ausdruck nicht in eine Zeile passt, wird er in die nächste Zeile übernommen, und am Ende der ersten Zeile und am Anfang einer neuen Zeile muss ein Gleichheitszeichen (=) gesetzt werden. Das Gleichheitszeichen in der zweiten Zeile zeigt an, dass dies eine Fortsetzung des Ausdrucks in der ersten Zeile ist.

Schritt 5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie den ganzen Teil darin aus

Unsere Antwort ist ein unechter Bruch. Wir müssen den ganzen Teil davon herausgreifen. Wir heben hervor:

Habe eine Antwort bekommen

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner

Es gibt zwei Arten der Bruchsubtraktion:

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner
Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Lass uns zuerst lernen, wie man Brüche mit demselben Nenner subtrahiert. Hier ist alles einfach. Um einen weiteren von einem Bruch zu subtrahieren, musst du den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner gleich lassen.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks finden. Um dieses Beispiel zu lösen, ist es notwendig, den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs zu subtrahieren und den Nenner unverändert zu lassen. Lass uns das machen:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine Pizza denken, die in vier Teile geteilt ist. Schneidet man Pizzen aus einer Pizza, erhält man Pizzen:

Beispiel 2 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks .

Subtrahieren Sie erneut vom Zähler des ersten Bruchs den Zähler des zweiten Bruchs und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine dreigeteilte Pizza denken. Schneidet man Pizzen aus einer Pizza, erhält man Pizzen:

Beispiel 3 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Vom Zähler des ersten Bruchs müssen Sie die Zähler der restlichen Brüche subtrahieren:

Wie du siehst, ist es nicht kompliziert, Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

Um einen weiteren von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen;
Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den gesamten Teil darin auswählen.

Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Beispielsweise kann ein Bruch von einem Bruch subtrahiert werden, da diese Brüche denselben Nenner haben. Aber ein Bruch kann nicht von einem Bruch subtrahiert werden, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner gekürzt werden.

Der gemeinsame Nenner wird nach dem gleichen Prinzip gefunden, das wir beim Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern verwendet haben. Bestimmen Sie zunächst das kgV der Nenner beider Brüche. Dann wird das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert und man erhält den ersten zusätzlichen Faktor, der über den ersten Bruch geschrieben wird. In ähnlicher Weise wird das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält einen zweiten zusätzlichen Faktor, der über den zweiten Bruch geschrieben wird.

Die Brüche werden dann mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Operationen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben Nenner. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks:

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, also musst du sie auf denselben (gemeinsamen) Nenner bringen.

Zuerst finden wir das LCM der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 12

LCM (3 und 4) = 12

Nun zurück zu Brüchen und

Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch finden. Dazu dividieren wir das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, erhalten wir 4. Wir schreiben die Vier über den ersten Bruch:

Dasselbe machen wir mit der zweiten Fraktion. Wir dividieren das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Schreiben Sie ein Tripel über den zweiten Bruch:

Jetzt sind wir bereit für die Subtraktion. Es bleibt, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichem Nenner wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel zu Ende führen:

Habe eine Antwort bekommen

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn Sie Pizzen aus einer Pizza schneiden, erhalten Sie Pizzen.

Dies ist die ausführliche Version der Lösung. In der Schule müssten wir dieses Beispiel kürzer lösen. Eine solche Lösung würde wie folgt aussehen:

Das Kürzen von Brüchen und auf einen gemeinsamen Nenner kann auch mit einem Bild dargestellt werden. Wenn wir diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese Brüche werden durch dieselben Pizzastücke dargestellt, aber dieses Mal werden sie in dieselben Brüche geteilt (auf denselben Nenner gekürzt):

Die erste Zeichnung zeigt einen Bruchteil (acht Teile von zwölf), und das zweite Bild zeigt einen Bruchteil (drei Teile von zwölf). Indem wir drei von acht Stücken abschneiden, erhalten wir fünf von zwölf Stücken. Der Bruch beschreibt diese fünf Stücke.

Beispiel 2 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, also musst du sie zuerst auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner bringen.

Finden Sie das LCM der Nenner dieser Brüche.

Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 10, 3 und 5. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Jetzt finden wir zusätzliche Faktoren für jeden Bruch. Dazu dividieren wir das LCM durch den Nenner jedes Bruchs.

Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch finden. LCM ist die Zahl 30, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 10. Teilen Sie 30 durch 10, erhalten wir den ersten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Jetzt finden wir einen zusätzlichen Faktor für den zweiten Bruch. Teilen Sie das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 30, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 30 durch 3, wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 10. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Jetzt finden wir einen zusätzlichen Faktor für den dritten Bruch. Teilen Sie das LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 30, und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 5. Teilen Sie 30 durch 5, wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Jetzt ist alles bereit für die Subtraktion. Es bleibt, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner werden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel beenden.

Die Fortsetzung des Beispiels passt nicht in eine Zeile, also verschieben wir die Fortsetzung in die nächste Zeile. Vergessen Sie nicht das Gleichheitszeichen (=) in der neuen Zeile:

Die Antwort stellte sich als richtiger Bruch heraus, und alles scheint zu uns zu passen, aber es ist zu umständlich und hässlich. Wir sollten es einfacher machen. Was kann getan werden? Sie können diesen Anteil reduzieren.

Um einen Bruch zu kürzen, musst du seinen Zähler und Nenner durch (gcd) die Zahlen 20 und 30 dividieren.

Wir finden also den ggT der Zahlen 20 und 30:

Nun kehren wir zu unserem Beispiel zurück und dividieren Zähler und Nenner des Bruchs durch den gefundenen ggT, also durch 10

Habe eine Antwort bekommen

Einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren

Um einen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren, musst du den Zähler des gegebenen Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner gleich lassen.

Beispiel 1. Multipliziere den Bruch mit der Zahl 1.

Multipliziere den Zähler des Bruchs mit der Zahl 1

Der Eintrag kann so verstanden werden, dass er die Hälfte der 1-Zeit in Anspruch nimmt. Wenn Sie zum Beispiel 1 Mal Pizza nehmen, erhalten Sie Pizza

Aus den Gesetzen der Multiplikation wissen wir, dass sich das Produkt nicht ändert, wenn der Multiplikand und der Multiplikator vertauscht werden. Wenn der Ausdruck als geschrieben wird, ist das Produkt immer noch gleich . Auch hier funktioniert die Regel zum Multiplizieren einer ganzen Zahl und eines Bruchs:

Dieser Eintrag kann als Übernahme der Hälfte der Einheit verstanden werden. Wenn es zum Beispiel 1 ganze Pizza gibt und wir die Hälfte davon nehmen, dann haben wir Pizza:

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multipliziere den Zähler des Bruchs mit 4

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Nehmen wir einen ganzen Teil davon:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass man 4 mal zwei Viertel nimmt. Wenn Sie beispielsweise viermal Pizza nehmen, erhalten Sie zwei ganze Pizzen.

Und wenn wir den Multiplikanden und den Multiplikator stellenweise vertauschen, erhalten wir den Ausdruck. Es ist auch gleich 2. Dieser Ausdruck kann so verstanden werden, dass zwei Pizzen von vier ganzen Pizzen genommen werden:

Multiplikation von Brüchen

Um Brüche zu multiplizieren, musst du ihre Zähler und Nenner multiplizieren. Wenn die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den ganzen Teil darin auswählen.

Beispiel 1 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks .

Habe eine Antwort bekommen. Es ist wünschenswert, diesen Anteil zu reduzieren. Der Bruch kann um 2 gekürzt werden. Dann hat die endgültige Lösung folgende Form:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass man eine Pizza von einer halben Pizza nimmt. Sagen wir, wir haben eine halbe Pizza:

Wie nehme ich zwei Drittel von dieser Hälfte? Zuerst müssen Sie diese Hälfte in drei gleiche Teile teilen:

Und nimm zwei von diesen drei Stücken:

Wir holen Pizza. Denken Sie daran, wie eine Pizza aussieht, die in drei Teile geteilt ist:

Ein Stück dieser Pizza und die beiden Stücke, die wir genommen haben, haben die gleichen Abmessungen:

Mit anderen Worten, wir sprechen von der gleichen Pizzagröße. Daher ist der Wert des Ausdrucks

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Nehmen wir einen ganzen Teil davon:

Beispiel 3 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Die Antwort stellte sich als richtiger Bruch heraus, aber es wird gut sein, wenn es reduziert wird. Um diesen Bruch zu kürzen, müssen Sie den Zähler und den Nenner dieses Bruchs durch den größten teilen gemeinsamer Teiler(gcd) Nummern 105 und 450.

Finden wir also den ggT der Zahlen 105 und 450:

Nun dividieren wir Zähler und Nenner unserer Antwort auf den nun gefundenen ggT, also durch 15

Eine ganze Zahl als Bruch darstellen

Jede ganze Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Beispielsweise kann die Zahl 5 als dargestellt werden. Daher ändert die Fünf ihre Bedeutung nicht, da der Ausdruck „die Zahl Fünf geteilt durch Eins“ bedeutet und dies, wie Sie wissen, gleich Fünf ist:

Zahlen umkehren

Jetzt werden wir uns kennenlernen interessantes Thema in Mathematik. Es heißt "umgekehrte Zahlen".

Definition. Umgekehrt zur ZahlA ist die Zahl, die, wenn multipliziert mitA gibt eine Einheit.

Lassen Sie uns in dieser Definition eine Variable ersetzen A Nummer 5 und versuchen Sie, die Definition zu lesen:

Umgekehrt zur Zahl 5 ist die Zahl, die, wenn multipliziert mit 5 gibt eine Einheit.

Ist es möglich, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 5 multipliziert wird, eins ergibt? Es stellt sich heraus, dass Sie es können. Stellen wir fünf als Bruch dar:

Dann multipliziere diesen Bruch mit sich selbst, vertausche einfach Zähler und Nenner. Mit anderen Worten, multiplizieren wir den Bruch mit sich selbst, nur umgekehrt:

Was wird daraus resultieren? Wenn wir dieses Beispiel weiter lösen, erhalten wir eins:

Das bedeutet, dass die Umkehrung der Zahl 5 die Zahl ist, denn wenn 5 mit eins multipliziert wird, erhält man eins.

Der Kehrwert kann auch für jede andere ganze Zahl gefunden werden.

Du kannst auch den Kehrwert für jeden anderen Bruch finden. Dazu reicht es aus, es umzudrehen.

Division eines Bruchs durch eine Zahl

Sagen wir, wir haben eine halbe Pizza:

Teilen wir es gleichmäßig auf zwei auf. Wie viele Pizzen bekommt jeder?

Es ist ersichtlich, dass nach dem Teilen der Hälfte der Pizza zwei gleiche Stücke erhalten wurden, die jeweils eine Pizza bilden. Also bekommt jeder eine Pizza.

Die Division von Brüchen erfolgt mit Kehrwerten. Mit Kehrwerten können Sie die Division durch Multiplikation ersetzen.

Um einen Bruch durch eine Zahl zu dividieren, musst du diesen Bruch mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Mit dieser Regel schreiben wir die Teilung unserer Hälfte der Pizza in zwei Teile auf.

Also musst du den Bruch durch die Zahl 2 teilen. Hier ist der Dividende ein Bruch und der Divisor 2.

Um einen Bruch durch die Zahl 2 zu dividieren, musst du diesen Bruch mit dem Kehrwert des Divisors 2 multiplizieren. Der Kehrwert des Divisors 2 ist ein Bruch. Also musst du mit multiplizieren

Multiplikation und Division von Brüchen.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Zum Beispiel:

Alles ist sehr einfach. Und bitte nicht nach einem gemeinsamen Nenner suchen! Brauche ich hier nicht...

Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, musst du umdrehen zweite(das ist wichtig!) brechen und multiplizieren, also:

Zum Beispiel:

In der High School muss man sich oft mit dreistöckigen (oder sogar vierstöckigen!) Brüchen auseinandersetzen. Zum Beispiel:

Wie bringt man diesen Bruch in eine anständige Form? Ja, ganz einfach! Verwenden Sie die Division durch zwei Punkte:

Im ersten Fall (Ausdruck links):

Im zweiten (Ausdruck rechts):

Fühle den Unterschied? 4 und 1/9!

Wie ist die Teilungsreihenfolge? Oder Klammern oder (wie hier) die Länge horizontaler Striche. Entwickle ein Auge. Und wenn es keine Klammern oder Bindestriche gibt, wie:

dann dividieren-multiplizieren der Reihe nach von links nach rechts!

Der Schuss ist übergesprungen! Und es passiert immer. Wenn Sie 1 durch einen beliebigen Bruch teilen, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur umgekehrt.

Das sind alle Aktionen mit Brüchen. Die Sache ist recht simpel, gibt aber mehr als genug Fehler. Beachten Sie die praktischen Ratschläge, dann gibt es weniger (Fehler)!

Praktische Tipps:

2. In Beispielen mit verschiedenen Arten von Brüchen - gehen Sie zu gewöhnlichen Brüchen.

3. Wir reduzieren alle Brüche bis zum Anschlag.

4. Wir reduzieren mehrstufige Bruchausdrücke auf gewöhnliche, indem wir die Division durch zwei Punkte verwenden (wir folgen der Divisionsreihenfolge!).

5. Wir teilen die Einheit gedanklich in einen Bruch auf, indem wir einfach den Bruch umdrehen.

Erinnere dich an die richtige Antwort ab dem zweiten (insbesondere dritten) Mal erhalten - zählt nicht! So ist das harte Leben.

Berechnung:

Haben Sie sich entschieden?

Suchen Sie nach Antworten, die zu Ihren passen. Ich habe sie eigens in einem Durcheinander aufgeschrieben, weg von der Versuchung sozusagen ... Hier sind sie, die Antworten, mit Semikolon aufgeschrieben.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Und jetzt ziehen wir Schlüsse. Wenn alles geklappt hat - glücklich für dich! Elementares Rechnen mit Brüchen ist nicht dein Problem! Sie können ernsthaftere Dinge tun. Wenn nicht...

Sie haben also eines von zwei Problemen. Oder beides gleichzeitig.) Unkenntnis und (oder) Unaufmerksamkeit. Aber lösbar Probleme.

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Letztes Mal haben wir gelernt, wie man Brüche addiert und subtrahiert (siehe die Lektion „Addieren und Subtrahieren von Brüchen“). Der schwierigste Moment bei diesen Aktionen war es, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Jetzt ist es an der Zeit, sich mit Multiplikation und Division zu befassen. Die gute Nachricht ist, dass diese Operationen noch einfacher sind als Addition und Subtraktion. Betrachten Sie zunächst den einfachsten Fall, wenn es zwei positive Brüche ohne einen ausgezeichneten ganzzahligen Teil gibt.

Um zwei Brüche zu multiplizieren, musst du ihre Zähler und Nenner separat multiplizieren. Die erste Zahl ist der Zähler des neuen Bruchs und die zweite der Nenner.

Um zwei Brüche zu dividieren, musst du den ersten Bruch mit der „umgekehrten“ Sekunde multiplizieren.

Bezeichnung:

Per Definition haben wir:

Multiplikation von Brüchen mit einem ganzzahligen Teil und negativen Brüchen

Wenn die Brüche einen ganzzahligen Teil enthalten, müssen sie in unechte umgewandelt werden - und erst dann nach den oben skizzierten Schemata multipliziert werden.

Wenn im Zähler eines Bruchs, im Nenner oder davor ein Minus steht, kann es nach folgenden Regeln aus den Grenzen der Multiplikation herausgenommen oder ganz entfernt werden:

Plus mal Minus ergibt Minus;
Zwei Verneinungen ergeben eine Bejahung.

Wir streichen die Minuspunkte paarweise durch, bis sie vollständig verschwinden. Im Extremfall kann ein Minus überleben - derjenige, der keine Übereinstimmung gefunden hat;
Wenn keine Minuspunkte mehr vorhanden sind, ist die Operation abgeschlossen - Sie können mit dem Multiplizieren beginnen. Wenn das letzte Minus nicht durchgestrichen ist, da es kein Paar gefunden hat, nehmen wir es aus den Grenzen der Multiplikation heraus. Sie erhalten einen negativen Bruch.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Wir übersetzen alle Brüche in unechte Brüche und entfernen dann die Minuszeichen außerhalb der Grenzen der Multiplikation. Was übrig bleibt, wird nach den üblichen Regeln multipliziert. Wir bekommen:

Brüche im laufenden Betrieb kürzen

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Per Definition haben wir:

In allen Beispielen sind die reduzierten Zahlen und deren Reste rot markiert.

Bitte beachten Sie: Im ersten Fall wurden die Multiplikatoren komplett reduziert. Einheiten blieben an ihrer Stelle, die im Allgemeinen weggelassen werden können. Im zweiten Beispiel konnte keine vollständige Reduzierung erreicht werden, aber die Gesamtzahl der Berechnungen nahm trotzdem ab.

Verwenden Sie diese Technik jedoch auf keinen Fall beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen! Ja, manchmal gibt es ähnliche Zahlen, die Sie einfach reduzieren möchten. Hier, schau:

Das kannst du nicht!

Der Fehler tritt auf, weil beim Addieren eines Bruchs die Summe im Zähler eines Bruchs erscheint und nicht das Produkt von Zahlen. Daher ist es unmöglich, die Haupteigenschaft eines Bruchs anzuwenden, da sich diese Eigenschaft speziell mit der Multiplikation von Zahlen befasst.

Es gibt einfach keinen anderen Grund, Brüche zu kürzen, also sieht die richtige Lösung der vorherigen Aufgabe so aus: