Εύρεση κοινού πολλαπλάσιου δύο αριθμών. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM)
Μέγιστο κοινό διαιρέτη
Ορισμός 2
Εάν ένας φυσικός αριθμός a διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό $b$, τότε ο $b$ ονομάζεται διαιρέτης του $a$ και ο αριθμός $a$ ονομάζεται πολλαπλάσιο του $b$.
Έστω $a$ και $b$ φυσικοί αριθμοί. Ο αριθμός $c$ ονομάζεται κοινός διαιρέτης τόσο για το $a$ όσο και για το $b$.
Το σύνολο των κοινών διαιρετών των αριθμών $a$ και $b$ είναι πεπερασμένο, αφού κανένας από αυτούς τους διαιρέτες δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από $a$. Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ αυτών των διαιρετών υπάρχει ο μεγαλύτερος, ο οποίος ονομάζεται ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών $a$ και $b$, και χρησιμοποιείται ο συμβολισμός για να τον δηλώσει:
$gcd \ (a;b) \ ή \ D \ (a;b)$
Για να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών:
- Βρείτε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.
Παράδειγμα 1
Βρείτε το gcd των αριθμών $121$ και $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Επιλέξτε τους αριθμούς που περιλαμβάνονται στην επέκταση αυτών των αριθμών
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Βρείτε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.
$gcd=2\cdot 11=22$
Παράδειγμα 2
Βρείτε το GCD των μονώνυμων $63$ και $81$.
Θα βρούμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο που παρουσιάζεται. Για αυτό:
Ας αποσυνθέσουμε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Επιλέγουμε τους αριθμούς που περιλαμβάνονται στην επέκταση αυτών των αριθμών
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Ας βρούμε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.
$gcd=3\cdot 3=9$
Μπορείτε να βρείτε το GCD δύο αριθμών με άλλο τρόπο, χρησιμοποιώντας το σύνολο των διαιρετών των αριθμών.
Παράδειγμα 3
Βρείτε το gcd των αριθμών $48$ και $60$.
Λύση:
Βρείτε το σύνολο των διαιρετών των $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Τώρα ας βρούμε το σύνολο των διαιρετών των $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Ας βρούμε την τομή αυτών των συνόλων: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - αυτό το σύνολο θα καθορίσει το σύνολο των κοινών διαιρετών των αριθμών $48$ και $60 $. Το μεγαλύτερο στοιχείο σε αυτό το σύνολο θα είναι ο αριθμός $12$. Έτσι, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των $48$ και $60$ είναι $12$.
Ορισμός NOC
Ορισμός 3
κοινό πολλαπλάσιο φυσικών αριθμώνΤο $a$ και το $b$ είναι ένας φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο του $a$ και του $b$.
Τα κοινά πολλαπλάσια αριθμών είναι αριθμοί που διαιρούνται με το πρωτότυπο χωρίς υπόλοιπο. Για παράδειγμα, για τους αριθμούς $25$ και $50$, τα κοινά πολλαπλάσια θα είναι οι αριθμοί $50,100,150,200$ κ.λπ.
Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο θα ονομάζεται το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο και θα συμβολίζεται με LCM$(a;b)$ ή K$(a;b).$
Για να βρείτε το LCM δύο αριθμών, χρειάζεστε:
- Αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες
- Γράψτε τους παράγοντες που αποτελούν μέρος του πρώτου αριθμού και προσθέστε σε αυτούς τους παράγοντες που αποτελούν μέρος του δεύτερου και δεν πηγαίνουν στον πρώτο
Παράδειγμα 4
Βρείτε το LCM των αριθμών $99$ και $77$.
Θα βρούμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο που παρουσιάζεται. Για αυτό
Αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Καταγράψτε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στο πρώτο
προσθέστε σε αυτούς παράγοντες που αποτελούν μέρος του δεύτερου και δεν πηγαίνουν στο πρώτο
Βρείτε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι το επιθυμητό ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Η σύνταξη λιστών διαιρετών αριθμών είναι συχνά πολύ χρονοβόρα. Υπάρχει ένας τρόπος να βρείτε το GCD που ονομάζεται αλγόριθμος του Ευκλείδη.
Δηλώσεις στις οποίες βασίζεται ο αλγόριθμος του Ευκλείδη:
Αν οι $a$ και $b$ είναι φυσικοί αριθμοί και οι $a\vdots b$, τότε $D(a;b)=b$
Αν οι $a$ και $b$ είναι φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε το $b
Χρησιμοποιώντας $D(a;b)= D(a-b;b)$, μπορούμε να μειώσουμε διαδοχικά τους αριθμούς που εξετάζουμε μέχρι να φτάσουμε σε ένα ζεύγος αριθμών έτσι ώστε ο ένας από αυτούς να διαιρείται με τον άλλο. Τότε ο μικρότερος από αυτούς τους αριθμούς θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης για τους αριθμούς $a$ και $b$.
Ιδιότητες GCD και LCM
- Οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο των $a$ και $b$ διαιρείται με το K$(a;b)$
- Αν $a\vdots b$ , τότε K$(a;b)=a$
Αν K$(a;b)=k$ και $m$-φυσικός αριθμός, τότε K$(am;bm)=km$
Εάν ο $d$ είναι ένας κοινός διαιρέτης για $a$ και $b$, τότε K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Αν $a\vdots c$ και $b\vdots c$ , τότε το $\frac(ab)(c)$ είναι κοινό πολλαπλάσιο των $a$ και $b$
Για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς $a$ και $b$ η ισότητα
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Οποιοσδήποτε κοινός διαιρέτης των $a$ και $b$ είναι διαιρέτης του $D(a;b)$
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης και το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο είναι βασικές αριθμητικές έννοιες που σας επιτρέπουν να λειτουργείτε αβίαστα συνηθισμένα κλάσματα. LCM και χρησιμοποιούνται συχνότερα για την εύρεση του κοινού παρονομαστή πολλών κλασμάτων.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Ο διαιρέτης ενός ακέραιου X είναι ένας άλλος ακέραιος αριθμός Y με τον οποίο το X διαιρείται χωρίς υπόλοιπο. Για παράδειγμα, ο διαιρέτης του 4 είναι 2 και του 36 είναι 4, 6, 9. Πολλαπλάσιο του ακέραιου Χ είναι ένας αριθμός Υ που διαιρείται με το Χ χωρίς υπόλοιπο. Για παράδειγμα, το 3 είναι πολλαπλάσιο του 15 και το 6 είναι πολλαπλάσιο του 12.
Για οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών, μπορούμε να βρούμε τους κοινούς διαιρέτες και πολλαπλάσια τους. Για παράδειγμα, για το 6 και το 9, το κοινό πολλαπλάσιο είναι 18 και ο κοινός διαιρέτης είναι 3. Προφανώς, τα ζεύγη μπορούν να έχουν πολλούς διαιρέτες και πολλαπλάσια, επομένως ο μεγαλύτερος διαιρέτης του GCD και το μικρότερο πολλαπλάσιο του LCM χρησιμοποιούνται στους υπολογισμούς .
Ο μικρότερος διαιρέτης δεν έχει νόημα, αφού για κάθε αριθμό είναι πάντα ένα. Το μεγαλύτερο πολλαπλάσιο είναι επίσης χωρίς νόημα, αφού η ακολουθία των πολλαπλασίων τείνει στο άπειρο.
Εύρεση GCD
Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη, οι πιο διάσημες από τις οποίες είναι:
- διαδοχική απαρίθμηση διαιρετών, επιλογή κοινών για ένα ζευγάρι και αναζήτηση του μεγαλύτερου από αυτούς.
- αποσύνθεση αριθμών σε αδιαίρετους παράγοντες.
- Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη;
- δυαδικός αλγόριθμος.
Σήμερα στις Εκπαιδευτικά ιδρύματαΟι πιο δημοφιλείς είναι οι μέθοδοι παραγοντοποίησης πρώτων και ο αλγόριθμος του Ευκλείδη. Το τελευταίο, με τη σειρά του, χρησιμοποιείται για την επίλυση εξισώσεων Διοφαντών: η αναζήτηση για GCD απαιτείται για να ελεγχθεί η εξίσωση για τη δυνατότητα επίλυσής του σε ακέραιους αριθμούς.
Εύρεση του NOC
Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο προσδιορίζεται επίσης ακριβώς με επαναληπτική απαρίθμηση ή παραγοντοποίηση σε αδιαίρετους παράγοντες. Επιπλέον, είναι εύκολο να βρείτε το LCM εάν ο μεγαλύτερος διαιρέτης έχει ήδη προσδιοριστεί. Για τους αριθμούς X και Y, το LCM και το GCD σχετίζονται με την ακόλουθη σχέση:
LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
Για παράδειγμα, αν gcd(15,18) = 3, τότε LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Η πιο προφανής χρήση του LCM είναι η εύρεση του κοινού παρονομαστή, που είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο του δοσμένα κλάσματα.
Συμπρώτοι αριθμοί
Εάν ένα ζεύγος αριθμών δεν έχει κοινούς διαιρέτες, τότε ένα τέτοιο ζεύγος λέγεται συμπρώτος. Το GCM για τέτοια ζεύγη είναι πάντα ίσο με ένα και με βάση τη σύνδεση διαιρετών και πολλαπλασίων, το GCM για το συμπρωτικό είναι ίσο με το γινόμενο τους. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 25 και 28 είναι συμπρώτοι, επειδή δεν έχουν κοινούς διαιρέτες, και LCM(25, 28) = 700, που αντιστοιχεί στο γινόμενο τους. Τυχόν δύο αδιαίρετοι αριθμοί θα είναι πάντα συμπρώτοι.
Κοινός Διαιρέτης και Πολλαπλός Υπολογιστής
Με την αριθμομηχανή μας μπορείτε να υπολογίσετε GCD και LCM για οποιονδήποτε αριθμό αριθμών για να διαλέξετε. Οι εργασίες για τον υπολογισμό κοινών διαιρετών και πολλαπλασίων βρίσκονται στην αριθμητική των βαθμών 5, 6, ωστόσο, GCD και LCM - βασικές έννοιεςμαθηματικά και χρησιμοποιούνται στη θεωρία αριθμών, την επιπεδομετρία και την επικοινωνιακή άλγεβρα.
Παραδείγματα πραγματικής ζωής
Κοινός παρονομαστής των κλασμάτων
Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο χρησιμοποιείται όταν βρίσκουμε τον κοινό παρονομαστή πολλών κλασμάτων. Ας υποθέσουμε ότι σε ένα αριθμητικό πρόβλημα απαιτείται να αθροιστούν 5 κλάσματα:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Για να προσθέσετε κλάσματα, η έκφραση πρέπει να μειωθεί σε έναν κοινό παρονομαστή, ο οποίος μειώνεται στο πρόβλημα της εύρεσης του LCM. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε 5 αριθμούς στην αριθμομηχανή και εισαγάγετε τις τιμές παρονομαστή στα κατάλληλα κελιά. Το πρόγραμμα θα υπολογίσει το LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Τώρα πρέπει να υπολογίσετε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα, οι οποίοι ορίζονται ως ο λόγος του LCM προς τον παρονομαστή. Έτσι οι επιπλέον πολλαπλασιαστές θα μοιάζουν με:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Μετά από αυτό, πολλαπλασιάζουμε όλα τα κλάσματα με τον αντίστοιχο πρόσθετο παράγοντα και παίρνουμε:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Μπορούμε εύκολα να προσθέσουμε τέτοια κλάσματα και να πάρουμε το αποτέλεσμα με τη μορφή 159/360. Μειώνουμε το κλάσμα κατά 3 και βλέπουμε την τελική απάντηση - 53/120.
Επίλυση γραμμικών διοφαντικών εξισώσεων
Οι γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις είναι εκφράσεις της μορφής ax + by = d. Αν ο λόγος d / gcd(a, b) είναι ακέραιος, τότε η εξίσωση είναι επιλύσιμη σε ακέραιους αριθμούς. Ας ελέγξουμε μερικές εξισώσεις για τη δυνατότητα μιας ακέραιας λύσης. Πρώτα, ελέγξτε την εξίσωση 150x + 8y = 37. Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή, βρίσκουμε gcd (150,8) = 2. Διαιρέστε 37/2 = 18,5. Ο αριθμός δεν είναι ακέραιος, επομένως, η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες.
Ας ελέγξουμε την εξίσωση 1320x + 1760y = 10120. Χρησιμοποιήστε την αριθμομηχανή για να βρείτε gcd(1320, 1760) = 440. Διαιρέστε 10120/440 = 23. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε έναν ακέραιο αριθμό, επομένως, η διοφαντική ισοδυναμική εξίσωση .
συμπέρασμα
Το GCD και το LCM διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στη θεωρία αριθμών και οι ίδιες οι έννοιες χρησιμοποιούνται ευρέως σε διάφορους τομείς των μαθηματικών. Χρησιμοποιήστε την αριθμομηχανή μας για να υπολογίσετε τους μεγαλύτερους διαιρέτες και τα μικρότερα πολλαπλάσια οποιουδήποτε αριθμού αριθμών.
Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών σχετίζεται άμεσα με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη αυτών των αριθμών. Αυτό σύνδεση μεταξύ GCD και NOCορίζεται από το παρακάτω θεώρημα.
Θεώρημα.
Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο θετικών ακεραίων a και b είναι ίσο με το γινόμενο των a και b διαιρούμενο με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των a και b, δηλαδή LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).
Απόδειξη.
Αφήνω Το M είναι κάποιο πολλαπλάσιο των αριθμών a και b. Δηλαδή, το M διαιρείται με το a, και με τον ορισμό της διαιρετότητας, υπάρχει κάποιος ακέραιος k τέτοιος ώστε η ισότητα M=a·k να είναι αληθής. Αλλά το Μ διαιρείται επίσης με το b, τότε το a k διαιρείται με το b.
Συμβολίστε το gcd(a, b) ως d. Τότε μπορούμε να γράψουμε τις ισότητες a=a 1 ·d και b=b 1 ·d, και a 1 =a:d και b 1 =b:d θα είναι συμπρώτοι αριθμοί. Επομένως, η συνθήκη που λήφθηκε στην προηγούμενη παράγραφο ότι το a k διαιρείται με το b μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής: a 1 d k διαιρείται με το b 1 d , και αυτό, λόγω των ιδιοτήτων της διαιρετότητας, είναι ισοδύναμο με τη συνθήκη ότι a 1 k διαιρείται με το b 1 .
Πρέπει επίσης να καταγράψουμε δύο σημαντικά συμπεράσματα από το εξεταζόμενο θεώρημα.
Τα κοινά πολλαπλάσια δύο αριθμών είναι ίδια με τα πολλαπλάσια του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιού τους.
Αυτό ισχύει, αφού οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο των M αριθμών a και b ορίζεται από την ισότητα M=LCM(a, b) t για κάποια ακέραια τιμή t .
Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του συμπρωτεύοντος θετικούς αριθμούςα και β είναι ίσο με το γινόμενο τους.
Το σκεπτικό αυτού του γεγονότος είναι αρκετά προφανές. Εφόσον τα a και b είναι συμπρωτεύοντα, τότε gcd(a, b)=1, επομένως, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a β.
Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών
Η εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου τριών ή περισσότερων αριθμών μπορεί να μειωθεί στη διαδοχική εύρεση του LCM δύο αριθμών. Το πώς γίνεται αυτό υποδεικνύεται στο ακόλουθο θεώρημα: a 1 , a 2 , …, a k συμπίπτουν με κοινά πολλαπλάσια των αριθμών m k-1 και το k , επομένως, συμπίπτει με πολλαπλάσια του m k . Και εφόσον το ελάχιστο θετικό πολλαπλάσιο του αριθμού m k είναι ο ίδιος ο αριθμός m k, τότε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών a 1 , a 2 , …, a k είναι m k .
Βιβλιογραφία.
- Vilenkin N.Ya. κλπ. Μαθηματικά. 6η τάξη: εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα.
- Vinogradov I.M. Βασικές αρχές της θεωρίας αριθμών.
- Mikhelovich Sh.Kh. Θεωρία αριθμών.
- Kulikov L.Ya. και άλλα. Συλλογή προβλημάτων στην άλγεβρα και τη θεωρία αριθμών: Φροντιστήριογια φοιτητές φυσικής και μαθηματικών. ειδικοτήτων παιδαγωγικών ιδρυμάτων.
Για να κατανοήσετε πώς να υπολογίσετε το LCM, θα πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε την έννοια του όρου "πολλαπλά".
Πολλαπλάσιο του Α είναι ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται με τον Α χωρίς υπόλοιπο. Έτσι, τα 15, 20, 25 και ούτω καθεξής μπορούν να θεωρηθούν πολλαπλάσια του 5.
Μπορεί να υπάρχει περιορισμένος αριθμός διαιρετών ενός συγκεκριμένου αριθμού, αλλά υπάρχει ένας άπειρος αριθμός πολλαπλασίων.
Κοινό πολλαπλάσιο φυσικών αριθμών είναι ένας αριθμός που διαιρείται με αυτούς χωρίς υπόλοιπο.
Πώς να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών
Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) αριθμών (δύο, τρεις ή περισσότεροι) είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται ομοιόμορφα με όλους αυτούς τους αριθμούς.
Για να βρείτε το NOC, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάφορες μεθόδους.
Για μικρούς αριθμούς, είναι βολικό να γράψετε σε μια γραμμή όλα τα πολλαπλάσια αυτών των αριθμών μέχρι να βρεθεί ένας κοινός μεταξύ τους. Τα πολλαπλάσια υποδηλώνουν στην εγγραφή κεφαλαίο γράμμαΠΡΟΣ ΤΗΝ.
Για παράδειγμα, πολλαπλάσια του 4 μπορούν να γραφτούν ως εξής:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Έτσι, μπορείτε να δείτε ότι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 4 και 6 είναι ο αριθμός 24. Αυτή η καταχώρηση εκτελείται ως εξής:
LCM(4, 6) = 24
Εάν οι αριθμοί είναι μεγάλοι, βρείτε το κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών, τότε είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε έναν άλλο τρόπο για τον υπολογισμό του LCM.
Για να ολοκληρώσετε την εργασία, είναι απαραίτητο να αποσυνθέσετε τους προτεινόμενους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.
Πρώτα πρέπει να γράψετε την επέκταση του μεγαλύτερου από τους αριθμούς σε μια γραμμή και κάτω από αυτήν - τους υπόλοιπους.
Στην επέκταση κάθε αριθμού, μπορεί να υπάρχει διαφορετικός αριθμός παραγόντων.
Για παράδειγμα, ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 50 και 20 σε πρώτους παράγοντες.
Στη διεύρυνση του μικρότερου αριθμού θα πρέπει να τονιστούν παράγοντες που απουσιάζουν στη διεύρυνση του πρώτου. ένας μεγάλος αριθμόςκαι μετά προσθέστε τα σε αυτό. Στο παράδειγμα που παρουσιάζεται, λείπει ένα δυάρι.
Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 20 και του 50.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Έτσι, το γινόμενο των πρώτων παραγόντων του μεγαλύτερου αριθμού και των παραγόντων του δεύτερου αριθμού, που δεν περιλαμβάνονται στην αποσύνθεση του μεγαλύτερου αριθμού, θα είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.
Για να βρείτε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών, όλοι αυτοί θα πρέπει να αποσυντεθούν σε πρώτους παράγοντες, όπως στην προηγούμενη περίπτωση.
Για παράδειγμα, μπορείτε να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Έτσι, μόνο δύο δυάδες από την αποσύνθεση του δεκαέξι δεν συμπεριλήφθηκαν στην παραγοντοποίηση ενός μεγαλύτερου αριθμού (το ένα είναι στην αποσύνθεση των είκοσι τεσσάρων).
Έτσι, πρέπει να προστεθούν στην αποσύνθεση ενός μεγαλύτερου αριθμού.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις προσδιορισμού του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου. Έτσι, εάν ένας από τους αριθμούς μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο με έναν άλλο, τότε ο μεγαλύτερος από αυτούς τους αριθμούς θα είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.
Για παράδειγμα, οι NOC των δώδεκα και είκοσι τεσσάρων θα ήταν είκοσι τέσσερις.
Εάν είναι απαραίτητο να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο συμπρώτων αριθμών που δεν έχουν τους ίδιους διαιρέτες, τότε το LCM τους θα είναι ίσο με το γινόμενο τους.
Για παράδειγμα, LCM(10, 11) = 110.
Ας συνεχίσουμε τη συζήτηση για το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο που ξεκινήσαμε στην ενότητα LCM - Least Common Multiple, Definition, Examples. Σε αυτό το θέμα, θα εξετάσουμε τρόπους εύρεσης του LCM για τρεις ή περισσότερους αριθμούς, θα αναλύσουμε το ερώτημα πώς να βρείτε το LCM ενός αρνητικού αριθμού.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλού (LCM) μέσω gcd
Έχουμε ήδη καθορίσει τη σχέση μεταξύ του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου και του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη. Τώρα ας μάθουμε πώς να ορίζουμε το LCM μέσω του GCD. Αρχικά, ας καταλάβουμε πώς να το κάνουμε αυτό για θετικούς αριθμούς.
Ορισμός 1
Μπορείτε να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο μέσω του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη χρησιμοποιώντας τον τύπο LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .
Παράδειγμα 1
Είναι απαραίτητο να βρείτε το LCM των αριθμών 126 και 70.
Λύση
Ας πάρουμε a = 126 , b = 70 . Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο για τον υπολογισμό του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου μέσω του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Βρίσκει το GCD των αριθμών 70 και 126. Για αυτό χρειαζόμαστε τον αλγόριθμο Ευκλείδη: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , άρα gcd (126 , 70) = 14 .
Ας υπολογίσουμε το LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Απάντηση: LCM (126, 70) = 630.
Παράδειγμα 2
Βρείτε το nok των αριθμών 68 και 34.
Λύση
GCD σε αυτή η υπόθεσηΗ εύρεση του είναι εύκολη, αφού το 68 διαιρείται με το 34. Υπολογίστε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο χρησιμοποιώντας τον τύπο: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Απάντηση: LCM(68, 34) = 68.
Σε αυτό το παράδειγμα, χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα για την εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου των θετικών ακεραίων a και b: εάν ο πρώτος αριθμός διαιρείται με τον δεύτερο, τότε το LCM αυτών των αριθμών θα είναι ίσο με τον πρώτο αριθμό.
Εύρεση του LCM με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες
Ας δούμε τώρα έναν τρόπο εύρεσης του LCM, ο οποίος βασίζεται στην αποσύνθεση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες.
Ορισμός 2
Για να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, πρέπει να εκτελέσουμε μια σειρά από απλά βήματα:
- Συνθέτουμε το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων αριθμών για τους οποίους πρέπει να βρούμε το LCM.
- Εξαιρούμε όλους τους κύριους παράγοντες από τα προϊόντα που λαμβάνονται.
- το γινόμενο που προκύπτει μετά την εξάλειψη των κοινών πρώτων παραγόντων θα είναι ίσο με το LCM των δεδομένων αριθμών.
Αυτός ο τρόπος εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου βασίζεται στην ισότητα LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Αν κοιτάξετε τον τύπο, θα γίνει σαφές: το γινόμενο των αριθμών a και b είναι ίσο με το γινόμενο όλων των παραγόντων που εμπλέκονται στην επέκταση αυτών των δύο αριθμών. Στην περίπτωση αυτή, το GCD δύο αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων που υπάρχουν ταυτόχρονα στις παραγοντοποιήσεις αυτών των δύο αριθμών.
Παράδειγμα 3
Έχουμε δύο αριθμούς 75 και 210 . Μπορούμε να τα υπολογίσουμε ως εξής: 75 = 3 5 5Και 210 = 2 3 5 7. Εάν κάνετε το γινόμενο όλων των παραγόντων των δύο αρχικών αριθμών, θα λάβετε: 2 3 3 5 5 5 7.
Αν εξαιρέσουμε τους κοινούς παράγοντες και στους δύο αριθμούς 3 και 5, παίρνουμε ένα γινόμενο της ακόλουθης μορφής: 2 3 5 5 7 = 1050. Αυτό το προϊόν θα είναι το LCM μας για τους αριθμούς 75 και 210.
Παράδειγμα 4
Βρείτε το LCM των αριθμών 441 Και 700 , αποσυνθέτοντας και τους δύο αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.
Λύση
Ας βρούμε όλους τους πρώτους παράγοντες των αριθμών που δίνονται στην συνθήκη:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Παίρνουμε δύο αλυσίδες αριθμών: 441 = 3 3 7 7 και 700 = 2 2 5 5 7 .
Το γινόμενο όλων των παραγόντων που συμμετείχαν στην επέκταση αυτών των αριθμών θα μοιάζει με: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ας βρούμε τους κοινούς παράγοντες. Αυτός ο αριθμός είναι 7. Ας το εξαιρέσουμε από κοινό προϊόν: 2 2 3 3 5 5 7 7. Αποδεικνύεται ότι ο ΝΟΚ (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Απάντηση: LCM (441 , 700) = 44 100 .
Ας δώσουμε μια ακόμη διατύπωση της μεθόδου για την εύρεση του LCM με την αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.
Ορισμός 3
Προηγουμένως, εξαιρέσαμε από τον συνολικό αριθμό των κοινών παραγόντων και στους δύο αριθμούς. Τώρα θα το κάνουμε διαφορετικά:
- Ας αποσυνθέσουμε και τους δύο αριθμούς σε πρώτους παράγοντες:
- προσθέστε στο γινόμενο των πρώτων παραγόντων του πρώτου αριθμού τους συντελεστές που λείπουν από τον δεύτερο αριθμό.
- παίρνουμε το γινόμενο, το οποίο θα είναι το επιθυμητό LCM δύο αριθμών.
Παράδειγμα 5
Ας επιστρέψουμε στους αριθμούς 75 και 210 , για τους οποίους ήδη αναζητήσαμε το LCM σε ένα από τα προηγούμενα παραδείγματα. Ας τα αναλύσουμε σε απλούς παράγοντες: 75 = 3 5 5Και 210 = 2 3 5 7. Στο γινόμενο των παραγόντων 3, 5 και 5 αριθμός 75 προσθέστε τους παράγοντες που λείπουν 2 Και 7 αριθμοί 210 . Παίρνουμε: 2 3 5 5 7 .Αυτό είναι το LCM των αριθμών 75 και 210.
Παράδειγμα 6
Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το LCM των αριθμών 84 και 648.
Λύση
Ας αποσυνθέσουμε τους αριθμούς από την συνθήκη σε πρώτους παράγοντες: 84 = 2 2 3 7Και 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Προσθέστε στο γινόμενο των παραγόντων 2 , 2 , 3 και 7
αριθμοί 84 που λείπουν παράγοντες 2 , 3 , 3 και
3
αριθμοί 648 . Παίρνουμε το προϊόν 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .Αυτό είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648.
Απάντηση: LCM (84, 648) = 4536.
Εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών
Ανεξάρτητα από το πόσους αριθμούς έχουμε να κάνουμε, ο αλγόριθμος των ενεργειών μας θα είναι πάντα ο ίδιος: θα βρίσκουμε με συνέπεια το LCM δύο αριθμών. Υπάρχει ένα θεώρημα για αυτή την περίπτωση.
Θεώρημα 1
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ακέραιους αριθμούς a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kαπό αυτούς τους αριθμούς βρίσκεται στον διαδοχικό υπολογισμό m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .
Τώρα ας δούμε πώς μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα σε συγκεκριμένα προβλήματα.
Παράδειγμα 7
Πρέπει να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τεσσάρων αριθμών 140 , 9 , 54 και 250 .
Λύση
Ας εισάγουμε τη σημείωση: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.
Ας ξεκινήσουμε υπολογίζοντας m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Ας χρησιμοποιήσουμε τον Ευκλείδειο αλγόριθμο για να υπολογίσουμε το GCD των αριθμών 140 και 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Παίρνουμε: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Επομένως, m 2 = 1 260 .
Τώρα ας υπολογίσουμε σύμφωνα με τον ίδιο αλγόριθμο m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Κατά τη διάρκεια των υπολογισμών, παίρνουμε m 3 = 3 780.
Απομένει να υπολογίσουμε m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Ενεργούμε σύμφωνα με τον ίδιο αλγόριθμο. Λαμβάνουμε m 4 \u003d 94 500.
Το LCM των τεσσάρων αριθμών από την συνθήκη του παραδείγματος είναι 94500.
Απάντηση: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.
Όπως μπορείτε να δείτε, οι υπολογισμοί είναι απλοί, αλλά αρκετά επίπονοι. Για να εξοικονομήσετε χρόνο, μπορείτε να πάτε από την άλλη.
Ορισμός 4
Σας προσφέρουμε τον ακόλουθο αλγόριθμο ενεργειών:
- Αποσύνθεση όλων των αριθμών σε πρώτους παράγοντες.
- στο γινόμενο των παραγόντων του πρώτου αριθμού, προσθέστε τους συντελεστές που λείπουν από το γινόμενο του δεύτερου αριθμού.
- προσθέστε τους συντελεστές που λείπουν του τρίτου αριθμού στο γινόμενο που λήφθηκε στο προηγούμενο στάδιο κ.λπ.
- το γινόμενο που προκύπτει θα είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο όλων των αριθμών από τη συνθήκη.
Παράδειγμα 8
Είναι απαραίτητο να βρείτε το LCM πέντε αριθμών 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Λύση
Ας αποσυνθέσουμε και τους πέντε αριθμούς σε πρώτους παράγοντες: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . πρώτοι αριθμοί, που είναι ο αριθμός 7 , δεν μπορεί να συνυπολογιστεί σε πρώτους παράγοντες. Τέτοιοι αριθμοί συμπίπτουν με την αποσύνθεσή τους σε πρώτους παράγοντες.
Ας πάρουμε τώρα το γινόμενο των πρώτων παραγόντων 2, 2, 3 και 7 του αριθμού 84 και ας προσθέσουμε σε αυτούς τους συντελεστές που λείπουν από τον δεύτερο αριθμό. Διασπάσαμε τον αριθμό 6 σε 2 και 3. Αυτοί οι παράγοντες είναι ήδη στο γινόμενο του πρώτου αριθμού. Ως εκ τούτου, τα παραλείπουμε.
Συνεχίζουμε να προσθέτουμε τους πολλαπλασιαστές που λείπουν. Γυρίζουμε στον αριθμό 48, από το γινόμενο των πρώτων παραγόντων του οποίου παίρνουμε το 2 και το 2. Στη συνέχεια προσθέτουμε έναν απλό παράγοντα 7 από τον τέταρτο αριθμό και συντελεστές του 11 και 13 του πέμπτου. Παίρνουμε: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Αυτό είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των πέντε αρχικών αριθμών.
Απάντηση: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.
Εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου αρνητικών αριθμών
Για να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αρνητικών αριθμών, αυτοί οι αριθμοί πρέπει πρώτα να αντικατασταθούν από αριθμούς με το αντίθετο πρόσημο και στη συνέχεια να γίνουν οι υπολογισμοί σύμφωνα με τους παραπάνω αλγόριθμους.
Παράδειγμα 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) και LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Τέτοιες ενέργειες είναι επιτρεπτές λόγω του γεγονότος ότι εάν γίνει δεκτό ότι έναΚαι − α- αντίθετοι αριθμοί
τότε το σύνολο των πολλαπλασίων ένασυμπίπτει με το σύνολο των πολλαπλασίων ενός αριθμού − α.
Παράδειγμα 10
Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το LCM των αρνητικών αριθμών − 145 Και − 45 .
Λύση
Ας αλλάξουμε τους αριθμούς − 145 Και − 45 στους αντίθετους αριθμούς τους 145 Και 45 . Τώρα, χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο, υπολογίζουμε το LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305, έχοντας προηγουμένως καθορίσει το GCD χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Ευκλείδη.
Παίρνουμε ότι το LCM των αριθμών − 145 και − 45 ισοδυναμεί 1 305 .
Απάντηση: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
