Υπολογισμός αποστάσεων μεταξύ πόλεων με τις συντεταγμένες τους. Πώς να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ των συντεταγμένων gps

Οι συντεταγμένες καθορίζουν τη θέση ενός αντικειμένου στην υδρόγειο. Οι συντεταγμένες υποδεικνύονται με γεωγραφικό πλάτος και γεωγραφικό μήκος. Τα γεωγραφικά πλάτη μετρώνται από τη γραμμή του ισημερινού και στις δύο πλευρές. Στο βόρειο ημισφαίριο, τα γεωγραφικά πλάτη είναι θετικά, σε Νότιο ημισφαίριο- αρνητικό. Το γεωγραφικό μήκος μετράται από τον αρχικό μεσημβρινό είτε προς τα ανατολικά είτε προς τα δυτικά, αντίστοιχα, προκύπτει είτε ανατολικό είτε δυτικό γεωγραφικό μήκος.

Σύμφωνα με τη γενικά αποδεκτή θέση, ως αρχικός λαμβάνεται ο μεσημβρινός, ο οποίος διέρχεται από το παλιό Αστεροσκοπείο Γκρίνουιτς στο Γκρίνουιτς. Οι γεωγραφικές συντεταγμένες της τοποθεσίας μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας έναν πλοηγό GPS. Αυτή η συσκευή λαμβάνει σήματα από ένα δορυφορικό σύστημα εντοπισμού θέσης στο σύστημα συντεταγμένων WGS-84, το ίδιο για ολόκληρο τον κόσμο.

Τα μοντέλα Navigator διαφέρουν ως προς τους κατασκευαστές, τη λειτουργικότητα και τη διεπαφή. Επί του παρόντος, οι ενσωματωμένοι πλοηγοί GPS είναι διαθέσιμοι σε ορισμένα μοντέλα κινητών τηλεφώνων. Αλλά οποιοδήποτε μοντέλο μπορεί να καταγράψει και να αποθηκεύσει συντεταγμένες σημείων.

Απόσταση μεταξύ συντεταγμένων GPS

Για την επίλυση πρακτικών και θεωρητικών προβλημάτων σε ορισμένες βιομηχανίες, είναι απαραίτητο να μπορούμε να προσδιορίζουμε τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων από τις συντεταγμένες τους. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάφορες μεθόδους. Κανονική αναπαράσταση γεωγραφικών συντεταγμένων: μοίρες, λεπτά, δευτερόλεπτα.

Για παράδειγμα, μπορείτε να προσδιορίσετε την απόσταση μεταξύ των ακόλουθων συντεταγμένων: σημείο Νο. 1 - γεωγραφικό πλάτος 55°45′07″ Β, γεωγραφικό μήκος 37°36′56″ Α. σημείο Νο. 2 - γεωγραφικό πλάτος 58°00′02″ Β, γεωγραφικό μήκος 102°39′42″ Α

Ο ευκολότερος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή για να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Στη μηχανή αναζήτησης του προγράμματος περιήγησης, πρέπει να ορίσετε τις ακόλουθες παραμέτρους αναζήτησης: online - για να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ δύο συντεταγμένων. Στην ηλεκτρονική αριθμομηχανή, οι τιμές γεωγραφικού πλάτους και μήκους εισάγονται στα πεδία ερωτήματος για την πρώτη και τη δεύτερη συντεταγμένη. Κατά τον υπολογισμό, η ηλεκτρονική αριθμομηχανή έδωσε το αποτέλεσμα - 3.800.619 m.

Η επόμενη μέθοδος είναι πιο χρονοβόρα, αλλά και πιο οπτική. Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε οποιοδήποτε διαθέσιμο πρόγραμμα χαρτογράφησης ή πλοήγησης. Τα προγράμματα που μπορούν να δημιουργήσουν σημεία με συντεταγμένες και να μετρήσουν τις αποστάσεις μεταξύ τους περιλαμβάνουν τις ακόλουθες εφαρμογές: BaseCamp ( σύγχρονο ανάλογοΠρογράμματα MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Όλα τα παραπάνω προγράμματα είναι διαθέσιμα σε οποιονδήποτε χρήστη του δικτύου. Για παράδειγμα, για να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ δύο συντεταγμένων στο Google Earth, πρέπει να δημιουργήσετε δύο ετικέτες που να δείχνουν τις συντεταγμένες του πρώτου σημείου και του δεύτερου σημείου. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το εργαλείο Ruler, πρέπει να συνδέσετε το πρώτο και το δεύτερο σημάδι με μια γραμμή, το πρόγραμμα θα δώσει αυτόματα το αποτέλεσμα της μέτρησης και θα δείξει τη διαδρομή στη δορυφορική εικόνα της Γης.

Στην περίπτωση του παραπάνω παραδείγματος, το πρόγραμμα Google Earth επέστρεψε το αποτέλεσμα - το μήκος της απόστασης μεταξύ του σημείου #1 και του σημείου #2 είναι 3.817.353 m.

Γιατί υπάρχει λάθος στον προσδιορισμό της απόστασης

Όλοι οι υπολογισμοί απόστασης μεταξύ των συντεταγμένων βασίζονται σε υπολογισμούς μήκους τόξου. Η ακτίνα της Γης εμπλέκεται στον υπολογισμό του μήκους του τόξου. Αλλά επειδή το σχήμα της Γης είναι κοντά σε ένα λοξό ελλειψοειδές, η ακτίνα της Γης σε ορισμένα σημεία είναι διαφορετική. Για τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ των συντεταγμένων, λαμβάνεται η μέση τιμή της ακτίνας της Γης, η οποία δίνει σφάλμα στη μέτρηση. Όσο μεγαλύτερη είναι η μετρούμενη απόσταση, τόσο μεγαλύτερο είναι το σφάλμα.

Απόσταση από σημείο σε σημείοείναι το μήκος του τμήματος που συνδέει αυτά τα σημεία, σε μια δεδομένη κλίμακα. Έτσι, όταν μιλαμεμέτρηση απόστασης, πρέπει να γνωρίζετε την κλίμακα (μονάδα μήκους) στην οποία θα γίνουν οι μετρήσεις. Επομένως, το πρόβλημα της εύρεσης της απόστασης από ένα σημείο σε ένα σημείο συνήθως εξετάζεται είτε σε μια γραμμή συντεταγμένων είτε σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο ή σε τρισδιάστατο χώρο. Με άλλα λόγια, τις περισσότερες φορές πρέπει να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ των σημείων με τις συντεταγμένες τους.

Σε αυτό το άρθρο, αρχικά, υπενθυμίζουμε πώς καθορίζεται η απόσταση από ένα σημείο σε ένα σημείο σε μια γραμμή συντεταγμένων. Στη συνέχεια, λαμβάνουμε τύπους για τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ δύο σημείων του επιπέδου ή του χώρου σύμφωνα με δεδομένες συντεταγμένες. Συμπερασματικά, εξετάζουμε αναλυτικά τις λύσεις τυπικών παραδειγμάτων και προβλημάτων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε μια γραμμή συντεταγμένων.

Ας ορίσουμε πρώτα τη σημειογραφία. Η απόσταση από το σημείο Α στο σημείο Β θα συμβολίζεται ως .

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η απόσταση από το σημείο Α με συντεταγμένη μέχρι το σημείο Β με συντεταγμένη είναι ίση με το μέτρο της διαφοράς των συντεταγμένων, αυτό είναι, για οποιαδήποτε διάταξη σημείων στη γραμμή συντεταγμένων.

Απόσταση από σημείο σε σημείο σε επίπεδο, τύπος.

Ας πάρουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ σημείων και δίνεται σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο.

Ανάλογα με τη θέση των σημείων Α και Β, είναι δυνατές οι ακόλουθες επιλογές.

Αν τα σημεία Α και Β συμπίπτουν, τότε η απόσταση μεταξύ τους είναι μηδέν.

Αν τα σημεία Α και Β βρίσκονται σε ευθεία γραμμή κάθετη στον άξονα x, τότε τα σημεία και συμπίπτουν και η απόσταση είναι ίση με την απόσταση. Στην προηγούμενη παράγραφο, ανακαλύψαμε ότι η απόσταση μεταξύ δύο σημείων στη γραμμή συντεταγμένων είναι ίση με το μέτρο της διαφοράς μεταξύ των συντεταγμένων τους, επομένως, . Ως εκ τούτου, .

Ομοίως, εάν τα σημεία Α και Β βρίσκονται σε ευθεία γραμμή κάθετη στον άξονα y, τότε η απόσταση από το σημείο Α στο σημείο Β βρίσκεται ως .

Στην περίπτωση αυτή, το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο στην κατασκευή και Και . Με το Πυθαγόρειο θεώρημαμπορούμε να γράψουμε την ισότητα , από όπου .

Ας συνοψίσουμε όλα τα αποτελέσματα: η απόσταση από ένα σημείο σε ένα σημείο σε ένα επίπεδο βρίσκεται μέσω των συντεταγμένων των σημείων από τον τύπο .

Ο προκύπτων τύπος για την εύρεση της απόστασης μεταξύ των σημείων μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν τα σημεία Α και Β συμπίπτουν ή βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή κάθετη σε έναν από τους άξονες συντεταγμένων. Πράγματι, αν το Α και το Β είναι το ίδιο, τότε . Εάν τα σημεία Α και Β βρίσκονται σε ευθεία γραμμή κάθετη στον άξονα Ox, τότε . Αν τα Α και Β βρίσκονται σε ευθεία γραμμή κάθετη στον άξονα Oy, τότε .

Απόσταση μεταξύ σημείων στο χώρο, τύπος.

Ας εισαγάγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Оxyz στο διάστημα. Πάρτε τον τύπο για την εύρεση της απόστασης από ένα σημείο μέχρι κάποιο σημείο .

Γενικά, τα σημεία Α και Β δεν βρίσκονται σε επίπεδο παράλληλο προς ένα από τα επίπεδα συντεταγμένων. Ας σχεδιάσουμε τα σημεία Α και Β στο επίπεδο που είναι κάθετο στους άξονες συντεταγμένων Ox, Oy και Oz. Τα σημεία τομής αυτών των επιπέδων με τους άξονες συντεταγμένων θα μας δώσουν τις προβολές των σημείων Α και Β σε αυτούς τους άξονες. Δηλώστε τις προβολές .

Η επιθυμητή απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β είναι η διαγώνιος του ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου που φαίνεται στο σχήμα. Κατασκευαστικά, οι διαστάσεις αυτού του παραλληλεπίπεδου είναι Και . Στο μάθημα της γεωμετρίας Λύκειοαποδείχθηκε ότι το τετράγωνο της διαγωνίου ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών του διαστάσεων, επομένως, . Με βάση τις πληροφορίες της πρώτης ενότητας αυτού του άρθρου, μπορούμε να γράψουμε τις ακόλουθες ισότητες, επομένως,

όπου φτάνουμε τύπος για την εύρεση της απόστασης μεταξύ σημείων στο χώρο .

Αυτός ο τύπος ισχύει επίσης εάν τα σημεία Α και Β

• ταιριάξει;
• ανήκουν σε έναν από τους άξονες συντεταγμένων ή σε μια ευθεία γραμμή παράλληλη σε έναν από τους άξονες συντεταγμένων.
• ανήκουν σε ένα από τα επίπεδα συντεταγμένων ή σε επίπεδο παράλληλο σε ένα από τα επίπεδα συντεταγμένων.

Εύρεση της απόστασης από σημείο σε σημείο, παραδείγματα και λύσεις.

Έτσι, πήραμε τους τύπους για την εύρεση της απόστασης μεταξύ δύο σημείων της γραμμής συντεταγμένων, του επιπέδου και του τρισδιάστατου χώρου. Ήρθε η ώρα να εξετάσουμε τις λύσεις χαρακτηριστικών παραδειγμάτων.

Ο αριθμός των εργασιών στις οποίες το τελικό βήμα είναι να βρεθεί η απόσταση μεταξύ δύο σημείων σύμφωνα με τις συντεταγμένες τους είναι πραγματικά τεράστιος. Η πλήρης ανασκόπηση τέτοιων παραδειγμάτων ξεφεύγει από το πεδίο εφαρμογής αυτού του άρθρου. Εδώ περιοριζόμαστε σε παραδείγματα στα οποία είναι γνωστές οι συντεταγμένες δύο σημείων και απαιτείται να υπολογιστεί η απόσταση μεταξύ τους.

ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1. Μέθοδος συντεταγμένων: αριθμητική γραμμή, συντεταγμένες στη γραμμή. ορθογώνιο (καρτεσιανό) σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. πολικές συντεταγμένες.

Ας ρίξουμε μια ματιά σε μια ευθεία γραμμή. Ας επιλέξουμε μια κατεύθυνση πάνω του (τότε θα γίνει άξονας) και κάποιο σημείο 0 (την αρχή). Μια ευθεία με επιλεγμένη κατεύθυνση και αρχή ονομάζεται γραμμή συντεταγμένων(σε αυτήν την περίπτωση, υποθέτουμε ότι έχει επιλεγεί η μονάδα κλίμακας).

Αφήνω Μείναι ένα αυθαίρετο σημείο στη γραμμή συντεταγμένων. Ας βάλουμε σύμφωνα με το σημείο Μπραγματικός αριθμός Χ, ίση με την τιμή ΟΜτμήμα : x=OM.Αριθμός Χονομάζεται η συντεταγμένη του σημείου Μ.

Έτσι, κάθε σημείο της γραμμής συντεταγμένων αντιστοιχεί σε έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό - τη συντεταγμένη του. Το αντίστροφο ισχύει επίσης, κάθε πραγματικός αριθμός x αντιστοιχεί σε κάποιο σημείο της γραμμής συντεταγμένων, δηλαδή σε ένα τέτοιο σημείο Μ, του οποίου η συντεταγμένη είναι x. Αυτή η αντιστοιχία ονομάζεται αμοιβαία μονοσήμαντα.

Έτσι, οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν με σημεία της γραμμής συντεταγμένων, δηλ. η γραμμή συντεταγμένων χρησιμεύει ως εικόνα του συνόλου όλων των πραγματικών αριθμών. Επομένως, καλείται το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών αριθμός γραμμής, και οποιοσδήποτε αριθμός είναι ένα σημείο αυτής της γραμμής. Κοντά σε ένα σημείο σε μια αριθμητική γραμμή, συχνά υποδεικνύεται ένας αριθμός - η συντεταγμένη του.

Ορθογώνιο (ή Καρτεσιανό) σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο.

Δύο αμοιβαίοι κάθετοι άξονες Περίπου xΚαι Σχετικά με το yέχοντας κοινή καταγωγή ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕκαι την ίδια μονάδα κλίμακας, μορφή ορθογώνιο (ή καρτεσιανό) σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο.

Αξονας OHπου ονομάζεται άξονας x, ο άξονας OY- ο άξονας y. Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕη τομή των αξόνων ονομάζεται αρχή. Το επίπεδο στο οποίο βρίσκονται οι άξονες OHΚαι OY, ονομάζεται επίπεδο συντεταγμένων και συμβολίζεται Ω xy.

Έτσι, ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο δημιουργεί μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ του συνόλου όλων των σημείων του επιπέδου και του συνόλου των ζευγών αριθμών, γεγονός που καθιστά δυνατή την εφαρμογή αλγεβρικών μεθόδων κατά την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων. Οι άξονες συντεταγμένων χωρίζουν το επίπεδο σε 4 μέρη, ονομάζονται κατάλυμα, τετράγωνοή συντεταγμένες γωνίες.

Πολικές συντεταγμένες.

Το πολικό σύστημα συντεταγμένων αποτελείται από κάποιο σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕπου ονομάζεται Πόλος, και η δέσμη που προέρχεται από αυτό Ο.Επου ονομάζεται πολικός άξονας.Επιπλέον, ορίζεται η μονάδα κλίμακας για τη μέτρηση των μηκών των τμημάτων. Ας δοθεί ένα πολικό σύστημα συντεταγμένων και ας Μείναι ένα αυθαίρετο σημείο του επιπέδου. Σημειώστε με R– σημείο απόστασης Μαπό το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ, και μέσω φ - η γωνία κατά την οποία η δέσμη περιστρέφεται αριστερόστροφα του πολικού άξονα ώστε να συμπίπτει με τη δέσμη ΟΜ.

πολικές συντεταγμένεςσημεία Μκαλέστε τους αριθμούς RΚαι φ . Αριθμός Rθεωρείται ως η πρώτη συντεταγμένη και καλείται πολική ακτίνα, αριθμός φ - καλείται η δεύτερη συντεταγμένη πολική γωνία.

Τελεία Μμε πολικές συντεταγμένες RΚαι φ ορίζονται ως εξής: М( ;φ).Ας δημιουργήσουμε μια σύνδεση μεταξύ των πολικών συντεταγμένων ενός σημείου και των ορθογώνιων συντεταγμένων του.
Σε αυτή την περίπτωση, θα υποθέσουμε ότι η αρχή του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων βρίσκεται στον πόλο και ο θετικός ημιάξονας της τετμημένης συμπίπτει με τον πολικό άξονα.

Έστω το σημείο Μ να έχει ορθογώνιες συντεταγμένες ΧΚαι Υκαι πολικές συντεταγμένες RΚαι φ .

(1)

Απόδειξη.

Πτώση από τις τελείες Μ 1Και Μ 2κάθετες M 1 VΚαι Μ 1 Α,. επειδή (x 2 ; y 2). Θεωρητικά, αν M 1 (x 1)Και M 2 (x 2)είναι οποιαδήποτε δύο σημεία και α είναι η απόσταση μεταξύ τους, λοιπόν α = ‌‌‌|x 2 - x 1 | .

Ο υπολογισμός των αποστάσεων μεταξύ σημείων σύμφωνα με τις συντεταγμένες τους σε ένα επίπεδο είναι στοιχειώδης, στην επιφάνεια της Γης είναι λίγο πιο περίπλοκος: θα εξετάσουμε τη μέτρηση της απόστασης και του αρχικού αζιμουθίου μεταξύ σημείων χωρίς μετασχηματισμούς προβολής. Αρχικά, ας κατανοήσουμε την ορολογία.

Εισαγωγή

Μεγάλο μήκος τόξου κύκλου- η μικρότερη απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων που βρίσκονται στην επιφάνεια της σφαίρας, μετρούμενη κατά μήκος της γραμμής που συνδέει αυτά τα δύο σημεία (μια τέτοια γραμμή ονομάζεται ορθόδρομος) και διέρχεται κατά μήκος της επιφάνειας της σφαίρας ή άλλης επιφάνειας περιστροφής. Η σφαιρική γεωμετρία είναι διαφορετική από τη συνηθισμένη Ευκλείδεια και οι εξισώσεις απόστασης παίρνουν επίσης διαφορετική μορφή. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι μια ευθεία γραμμή. Σε μια σφαίρα, δεν υπάρχουν ευθείες γραμμές. Αυτές οι γραμμές στη σφαίρα είναι μέρος μεγάλων κύκλων - κύκλων των οποίων τα κέντρα συμπίπτουν με το κέντρο της σφαίρας. Αρχικό αζιμούθιο- το αζιμούθιο, το οποίο, όταν ξεκινάει από το σημείο Α, ακολουθώντας τον μεγάλο κύκλο για τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Β, το τελικό σημείο θα είναι το σημείο Β. Όταν μετακινείται από το σημείο Α στο σημείο Β κατά μήκος της γραμμής του μεγάλου κύκλου, το αζιμούθιο από το τρέχουσα θέση στο τελικό σημείο Β είναι σταθερή αλλάζει. Το αρχικό αζιμούθιο είναι διαφορετικό από ένα σταθερό, μετά το οποίο το αζιμούθιο από το τρέχον σημείο στο τελικό δεν αλλάζει, αλλά η διαδρομή δεν είναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων.

Μέσω οποιωνδήποτε δύο σημείων στην επιφάνεια της σφαίρας, εάν δεν είναι ακριβώς απέναντι το ένα από το άλλο (δηλαδή, δεν είναι αντίποδες), μπορεί να σχεδιαστεί ένας μοναδικός μεγάλος κύκλος. Δύο σημεία χωρίζουν τον μεγάλο κύκλο σε δύο τόξα. Το μήκος ενός μικρού τόξου είναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Ένας άπειρος αριθμός μεγάλων κύκλων μπορεί να σχεδιαστεί μεταξύ δύο αντίποδων σημείων, αλλά η απόσταση μεταξύ τους θα είναι ίδια σε οποιονδήποτε κύκλο και ίση με το ήμισυ της περιφέρειας του κύκλου, ή π*R, όπου R είναι η ακτίνα της σφαίρας.

Σε ένα επίπεδο (σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων), οι μεγάλοι κύκλοι και τα θραύσματά τους, όπως προαναφέρθηκε, είναι τόξα σε όλες τις προβολές, εκτός από τη γνωμική, όπου οι μεγάλοι κύκλοι είναι ευθείες γραμμές. Στην πράξη, αυτό σημαίνει ότι τα αεροπλάνα και άλλες αεροπορικές μεταφορές χρησιμοποιούν πάντα τη διαδρομή της ελάχιστης απόστασης μεταξύ των σημείων για εξοικονόμηση καυσίμου, δηλαδή η πτήση πραγματοποιείται κατά μήκος της απόστασης ενός μεγάλου κύκλου, στο αεροπλάνο μοιάζει με τόξο.

Το σχήμα της γης μπορεί να περιγραφεί ως σφαίρα, άρα οι εξισώσεις για τον υπολογισμό των αποστάσεων μεγάλος κύκλοςείναι σημαντικά για τον υπολογισμό της μικρότερης απόστασης μεταξύ σημείων στην επιφάνεια της Γης και χρησιμοποιούνται συχνά στη ναυσιπλοΐα. Ο υπολογισμός της απόστασης με αυτή τη μέθοδο είναι πιο αποτελεσματικός και σε πολλές περιπτώσεις πιο ακριβής από τον υπολογισμό της για προβαλλόμενες συντεταγμένες (σε ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων), επειδή, πρώτον, δεν χρειάζεται να μεταφραστεί γεωγραφικές συντεταγμένεςσε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (εκτελέστε μετασχηματισμούς προβολής) και, δεύτερον, πολλές προβολές, εάν επιλεγούν λανθασμένα, μπορούν να οδηγήσουν σε σημαντικές παραμορφώσεις μήκους λόγω των χαρακτηριστικών των παραμορφώσεων προβολής. Είναι γνωστό ότι όχι μια σφαίρα, αλλά ένα ελλειψοειδές περιγράφει το σχήμα της Γης με μεγαλύτερη ακρίβεια, ωστόσο, αυτό το άρθρο εξετάζει τον υπολογισμό των αποστάσεων σε μια σφαίρα, για υπολογισμούς χρησιμοποιείται μια σφαίρα με ακτίνα 6372795 μέτρων, η οποία μπορεί να οδηγήσει σε σφάλμα στον υπολογισμό αποστάσεων της τάξης του 0,5%.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι

Υπάρχουν τρεις τρόποι για τον υπολογισμό της σφαιρικής απόστασης ενός μεγάλου κύκλου. 1. Θεώρημα σφαιρικού συνημιτόνουΣτην περίπτωση μικρών αποστάσεων και μικρού βάθους bit υπολογισμού (αριθμός δεκαδικών ψηφίων), η χρήση του τύπου μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικά σφάλματα στρογγυλοποίησης. φ1, λ1; φ2, λ2 - γεωγραφικό πλάτος και μήκος δύο σημείων σε ακτίνια Δλ - διαφορά συντεταγμένων στο γεωγραφικό μήκος Δδ - γωνιακή διαφορά Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Για να μετατρέψετε τη γωνιακή απόσταση σε μετρική, πρέπει να πολλαπλασιάσετε η γωνιακή διαφορά κατά την ακτίνα Γη (6372795 μέτρα), οι μονάδες της τελικής απόστασης θα είναι ίσες με τις μονάδες στις οποίες εκφράζεται η ακτίνα (σε αυτή η υπόθεση- μέτρα). 2. Φόρμουλα HaversineΧρησιμοποιείται για την αποφυγή προβλημάτων με μικρές αποστάσεις. 3. Τροποποίηση για αντίποδεςΟ προηγούμενος τύπος υπόκειται επίσης στο πρόβλημα των αντιπόδων, για την επίλυσή του χρησιμοποιείται η ακόλουθη τροποποίηση.

Η εφαρμογή μου στην PHP

// Ορισμός ακτίνας γης ("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Απόσταση μεταξύ δύο σημείων * $φA, $λA - γεωγραφικό πλάτος, γεωγραφικό μήκος του 1ου σημείου, * $φB, $λB - γεωγραφικό πλάτος, γεωγραφικό μήκος του 2ου σημείου * Με βάση το http://gis-lab.info/ qa /great-circles.html * Mikhail Kobzarev * */ συνάρτηση υπολογισμόςTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // μετατροπή συντεταγμένων σε ακτίνια $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // συνημίτονο και ημίτονο διαφορών γεωγραφικού πλάτους και μήκους $cl1 = cos($lat1), $cl2 = cos($lat2 $sl1 = sin($lat1); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // υπολογισμοί μεγάλο μήκος κύκλου $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $ cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Παράδειγμα κλήσης συνάρτησης: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; echo υπολογισμόςTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "μέτρα"? // Επιστρέφει "17166029 μέτρα"

Κάθε σημείο Α του επιπέδου χαρακτηρίζεται από τις συντεταγμένες του (x, y). Συμπίπτουν με τις συντεταγμένες του διανύσματος 0Α , που βγαίνει από το σημείο 0 - την αρχή.

Έστω Α και Β αυθαίρετα σημεία του επιπέδου με συντεταγμένες (x 1 y 1) και (x 2, y 2), αντίστοιχα.

Τότε το διάνυσμα ΑΒ έχει προφανώς τις συντεταγμένες (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Είναι γνωστό ότι το τετράγωνο του μήκους ενός διανύσματος είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των συντεταγμένων του. Επομένως, η απόσταση d μεταξύ των σημείων Α και Β, ή, το ίδιο, το μήκος του διανύσματος ΑΒ, προσδιορίζεται από τη συνθήκη

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Ο προκύπτων τύπος σας επιτρέπει να βρείτε την απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων του επιπέδου, εάν είναι γνωστές μόνο οι συντεταγμένες αυτών των σημείων

Κάθε φορά, μιλώντας για τις συντεταγμένες ενός ή άλλου σημείου του επιπέδου, έχουμε στο μυαλό μας ένα καλά καθορισμένο σύστημα συντεταγμένων x0y. Γενικά, το σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο μπορεί να επιλεγεί με διαφορετικούς τρόπους. Έτσι, αντί για το σύστημα συντεταγμένων x0y, μπορούμε να θεωρήσουμε το σύστημα συντεταγμένων xִy, το οποίο προκύπτει περιστρέφοντας τους παλιούς άξονες συντεταγμένων γύρω από το σημείο εκκίνησης 0 αριστερόστροφαβέλη στη γωνία α .

Αν κάποιο σημείο του επιπέδου στο σύστημα συντεταγμένων x0y είχε συντεταγμένες (x, y), τότε μέσα νέο σύστημασυντεταγμένες хִу θα έχει ήδη άλλες συντεταγμένες (х, y).

Για παράδειγμα, θεωρήστε ένα σημείο M που βρίσκεται στον άξονα 0x και απέχει από το σημείο 0 σε απόσταση ίση με 1.

Προφανώς, στο σύστημα συντεταγμένων x0y, αυτό το σημείο έχει συντεταγμένες (συν α , αμαρτία α ), και στο σύστημα συντεταγμένων хִу οι συντεταγμένες είναι (1,0).

Οι συντεταγμένες οποιωνδήποτε δύο σημείων του επιπέδου Α και Β εξαρτώνται από το πώς έχει ρυθμιστεί το σύστημα συντεταγμένων σε αυτό το επίπεδο. Και εδώ η απόσταση μεταξύ αυτών των σημείων δεν εξαρτάται από τον τρόπο καθορισμού του συστήματος συντεταγμένων .

Άλλα υλικά