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सदिशों के निर्देशांक द्वारा समांतर चतुर्भुज का आयतन। वैक्टर का क्रॉस उत्पाद

सदिशों के लिए, और, उनके निर्देशांकों द्वारा दिए गए, मिश्रित गुणनफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: .

मिश्रित उत्पादआवेदन करना: 1) सूत्र के अनुसार टेट्राहेड्रोन और वैक्टर पर बने समानांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना करने के लिए, और , किनारों पर: ; 2) सदिशों की समरूपता के लिए एक शर्त के रूप में , तथा : तथा समतलीय हैं।

विषय 5। सीधी रेखाएं और विमान।

सामान्य रेखा वेक्टर , किसी भी गैर-शून्य वेक्टर को दी गई रेखा के लंबवत कहा जाता है। दिशा वेक्टर सीधे , दी गई रेखा के समानांतर कोई भी गैर-शून्य वेक्टर कहा जाता है।

सीधा सतह पर

1) - सामान्य समीकरण सीधी रेखा, जहां सीधी रेखा का सामान्य वेक्टर है;

2) - दिए गए वेक्टर के लम्बवत बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण;

3) विहित समीकरण );

5) - रेखा समीकरण साथ ढलान कारक , वह बिंदु कहां है जिससे होकर रेखा गुजरती है; () - वह कोण जो रेखा अक्ष के साथ बनाती है; - खंड की लंबाई (चिह्न के साथ) अक्ष पर एक सीधी रेखा से कट जाती है (चिह्न "" यदि खंड अक्ष के धनात्मक भाग पर और "" ऋणात्मक भाग पर कट जाता है)।

6) - सीधी रेखा समीकरण कटौती में, कहाँ और खंडों की लंबाई (चिन्ह के साथ) समन्वय अक्षों पर एक सीधी रेखा से कट जाती है और (चिह्न "" यदि खंड अक्ष के सकारात्मक भाग पर कट जाता है और "" यदि ऋणात्मक पर ).

बिंदु से रेखा की दूरी विमान पर सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया, सूत्र द्वारा पाया जाता है:

कोना , ( )सीधी रेखाओं के बीच और, सामान्य समीकरणों या ढलान वाले समीकरणों द्वारा दिया गया, निम्न सूत्रों में से एक द्वारा पाया जाता है:

मैं, के लिए ।

मैं, के लिए

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक और सिस्टम के समाधान के रूप में पाए जाते हैं रेखीय समीकरण: या ।

विमान का सामान्य वेक्टर , किसी भी गैर-शून्य वेक्टर को दिए गए विमान के लंबवत कहा जाता है।

विमान समन्वय प्रणाली में निम्न प्रकारों में से एक के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है:

1) - सामान्य समीकरण समतल, जहाँ समतल का सामान्य सदिश है;

2) - दिए गए वेक्टर के लंबवत बिंदु से गुजरने वाले विमान का समीकरण;

3) - तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण, और;

4) - समतल समीकरण कटौती में, जहां, और समन्वय अक्षों पर विमान द्वारा काटे गए खंडों की लंबाई (चिन्ह के साथ) हैं, और (चिह्न "" यदि खंड अक्ष के सकारात्मक भाग पर और "" ऋणात्मक भाग पर काटा जाता है ).

बिंदु से विमान की दूरी , सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया, सूत्र द्वारा पाया जाता है:

कोना ,( )विमानों के बीच तथा , सामान्य समीकरणों द्वारा दिया गया, सूत्र द्वारा पाया जाता है:

सीधा अंतरिक्ष में समन्वय प्रणाली में निम्न प्रकारों में से एक के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है:

1) - सामान्य समीकरण एक सीधी रेखा, दो विमानों के चौराहे की रेखाओं के रूप में, जहां और विमानों के सामान्य वैक्टर हैं और;

2) - किसी दिए गए वेक्टर के समानांतर बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ( विहित समीकरण );

3) - दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण;

4) - किसी दिए गए वेक्टर के समानांतर बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण, ( पैरामीट्रिक समीकरण );

कोना , ( ) सीधी रेखाओं के बीच और अंतरिक्ष में , विहित समीकरणों द्वारा दिया गया, सूत्र द्वारा पाया जाता है:

रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक , पैरामीट्रिक समीकरण द्वारा दिया गया और विमान , सामान्य समीकरण द्वारा दिए गए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं: .

कोना , ( ) रेखा के बीच , विहित समीकरण द्वारा दिया गया और विमान , सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया सूत्र द्वारा पाया जाता है: .

विषय 6। दूसरे क्रम के वक्र।

दूसरे क्रम का बीजगणितीय वक्रसमन्वय प्रणाली में एक वक्र कहा जाता है, सामान्य समीकरण जो दिखता है:

जहाँ संख्याएँ - एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं। दूसरे क्रम के वक्रों का निम्नलिखित वर्गीकरण है: 1) यदि , तो सामान्य समीकरण वक्र को परिभाषित करता है अण्डाकार प्रकार (वृत्त (के लिए), दीर्घवृत्त (के लिए), खाली सेट, बिंदु); 2) अगर , तब - वक्र अतिशयोक्तिपूर्ण प्रकार (हाइपरबोला, प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी); 3) अगर , तब - वक्र परवलयिक प्रकार(परबोला, खाली सेट, रेखा, समानांतर रेखाओं की जोड़ी)। वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय कहलाते हैं दूसरे क्रम के गैर-पतित वक्र।

सामान्य समीकरण, जहां, एक गैर-पतित वक्र (वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय) को परिभाषित करते हुए, हमेशा (चयन विधि द्वारा) पूर्ण वर्ग) को निम्न प्रकारों में से एक में घटाया जा सकता है:

1ए) -एक बिंदु और त्रिज्या पर केंद्रित वृत्त समीकरण (चित्र 5)।

1बी)- समन्वय अक्षों के समानांतर सममिति के एक बिंदु और अक्षों पर केन्द्रित दीर्घवृत्त का समीकरण। अंक और - कहलाते हैं दीर्घवृत्त का अर्ध-अक्ष दीर्घवृत्त की मुख्य आयत; दीर्घवृत्त के शिखर .

समन्वय प्रणाली में दीर्घवृत्त बनाने के लिए: 1) अंडाकार के केंद्र को चिह्नित करें; 2) केंद्र से गुजरें बिंदुयुक्त रेखादीर्घवृत्त की समरूपता की कुल्हाड़ियाँ; 3) हम समरूपता के अक्षों के समानांतर एक केंद्र और पक्षों के साथ एक बिंदीदार रेखा के साथ दीर्घवृत्त का मुख्य आयत बनाते हैं; 4) चित्रकला ठोस पंक्तिदीर्घवृत्त, इसे मुख्य आयत में अंकित करना ताकि दीर्घवृत्त केवल दीर्घवृत्त के शीर्ष पर अपनी भुजाओं को स्पर्श करे (चित्र 6)।

इसी तरह, एक वृत्त का निर्माण किया जाता है, जिसके मुख्य आयत में भुजाएँ होती हैं (चित्र 5)।

चित्र 5 चित्र 6

2) - हाइपरबोलस के समीकरण (कहा जाता है संयुग्म) समन्वय अक्षों के समानांतर एक बिंदु और समरूपता अक्षों पर केंद्रित है। अंक और - कहलाते हैं अतिपरवलय के अर्धअक्ष ; समरूपता के अक्षों के समानांतर भुजाओं वाला एक आयत और एक बिंदु पर केंद्रित - हाइपरबोलस का मुख्य आयत; समरूपता के अक्षों के साथ मुख्य आयत के प्रतिच्छेदन बिंदु - अतिपरवलय के शिखर; मुख्य आयत के विपरीत शीर्षों से होकर जाने वाली सीधी रेखाएँ - हाइपरबोलस के स्पर्शोन्मुख .

समन्वय प्रणाली में एक हाइपरबोला बनाने के लिए: 1) हाइपरबोला के केंद्र को चिह्नित करें; 2) हम केंद्र के माध्यम से एक बिंदीदार रेखा के साथ हाइपरबोला की समरूपता की धुरी बनाते हैं; 3) हम अतिपरवलय का मुख्य आयत बनाते हैं जिसमें केंद्र और भुजाओं वाली बिंदीदार रेखा होती है और समरूपता के अक्षों के समानांतर होती है; 4) हम एक बिंदीदार रेखा के साथ मुख्य आयत के विपरीत सिरों के माध्यम से सीधी रेखाएँ खींचते हैं, जो हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख हैं, जहाँ हाइपरबोला की शाखाएँ निर्देशांक की उत्पत्ति से अनंत दूरी पर, उन्हें पार किए बिना अनिश्चित काल के करीब पहुँचती हैं; 5) हम एक ठोस रेखा के साथ एक हाइपरबोला (चित्र 7) या हाइपरबोला (चित्र 8) की शाखाओं को चित्रित करते हैं।

चित्र 7 चित्र 8

3ए)- एक बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय का समीकरण और समन्वय अक्ष के समानांतर समरूपता का एक अक्ष (चित्र। 9)।

3बी)- एक बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय का समीकरण और समन्वय अक्ष के समानांतर समरूपता का एक अक्ष (चित्र। 10)।

समन्वय प्रणाली में एक परबोला बनाने के लिए: 1) पैराबोला के शीर्ष को चिह्नित करें; 2) हम शीर्ष के माध्यम से एक बिंदीदार रेखा के साथ पैराबोला की समरूपता की धुरी खींचते हैं; 3) हम एक ठोस रेखा के साथ एक परबोला का चित्रण करते हैं, इसकी शाखा को निर्देशित करते हुए, परबोला पैरामीटर के संकेत को ध्यान में रखते हुए: पर - परवलय के समरूपता के अक्ष के समानांतर समन्वय अक्ष की सकारात्मक दिशा में (चित्र। 9 ए और 10 ए); पर - में नकारात्मक पक्षनिर्देशांक अक्ष (चित्र 9बी और 10बी)।

चावल। 9ए अंजीर। 9बी

चावल। 10a अंजीर। 10बी

विषय 7। सेट। संख्यात्मक सेट। समारोह।

अंतर्गत अनेक किसी भी प्रकृति की वस्तुओं के एक निश्चित समूह को समझें, एक दूसरे से अलग और एक पूरे के रूप में बोधगम्य। वे वस्तुएँ जो एक समुच्चय बनाती हैं, उसे कहते हैं तत्वों . एक सेट अनंत हो सकता है (तत्वों की एक अनंत संख्या से युक्त), परिमित (तत्वों की एक परिमित संख्या से युक्त), खाली (एक भी तत्व नहीं होता है)। समुच्चय को द्वारा निरूपित किया जाता है, और उनके तत्वों को द्वारा दर्शाया जाता है। खाली सेट द्वारा निरूपित किया जाता है।

कॉल सेट करें सबसेट सेट करें यदि सेट के सभी तत्व सेट से संबंधित हैं और लिखें। सेट किया और बुलाया बराबर , यदि वे समान तत्वों से मिलकर बने हैं और लिखते हैं। दो समुच्चय और बराबर होंगे यदि और केवल यदि और ।

कॉल सेट करें सार्वभौमिक (इस गणितीय सिद्धांत के ढांचे के भीतर) , यदि इसके तत्व इस सिद्धांत में मानी जाने वाली सभी वस्तुएँ हैं।

कई सेट किए जा सकते हैं: 1) इसके सभी तत्वों की गणना, उदाहरण के लिए: (केवल सीमित सेटों के लिए); 2) यह निर्धारित करने के लिए नियम निर्धारित करके कि क्या सार्वभौमिक सेट का कोई तत्व किसी दिए गए सेट से संबंधित है:।

संगठन

क्रॉसिंग सेट होता है और इसे सेट कहा जाता है

अंतर सेट होता है और इसे सेट कहा जाता है

परिशिष्ट सेट (एक सार्वभौमिक सेट तक) को एक सेट कहा जाता है।

दो सेट और कहलाते हैं बराबर और लिखें ~ अगर इन सेटों के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जा सकता है। सेट कहा जाता है गणनीय , यदि यह प्राकृत संख्याओं के समुच्चय के तुल्य है : ~ . खाली सेट, परिभाषा के अनुसार, गणनीय है।

एक सेट की कार्डिनैलिटी की अवधारणा तब उत्पन्न होती है जब सेट की तुलना उन तत्वों की संख्या से की जाती है जिनमें वे होते हैं। सेट की कार्डिनैलिटी को द्वारा निरूपित किया जाता है। परिमित समुच्चय की प्रधानता इसके अवयवों की संख्या है।

समतुल्य सेटों में समान कार्डिनैलिटी होती है। सेट कहा जाता है बेशुमार अगर इसकी कार्डिनैलिटी सेट की कार्डिनैलिटी से अधिक है।

वैध (असली) संख्या एक अनंत दशमलव अंश कहा जाता है, जिसे "+" या "" चिन्ह के साथ लिया जाता है। वास्तविक संख्याओं की पहचान संख्या रेखा पर बिंदुओं से की जाती है। मापांक किसी वास्तविक संख्या का (निरपेक्ष मान) कहलाता है गैर-नकारात्मक संख्या:

सेट कहा जाता है न्यूमेरिकल यदि इसके अवयव वास्तविक संख्याएँ हैं। संख्यात्मक अंतरालों पर संख्याओं के समुच्चय कहलाते हैं: , , , , , , , , .

संख्या रेखा पर सभी बिंदुओं का समुच्चय जो शर्त को पूरा करता है, जहाँ एक मनमाना रूप से छोटी संख्या है, कहलाती है -अड़ोस-पड़ोस (या सिर्फ एक पड़ोस) एक बिंदु का और द्वारा निरूपित किया जाता है। शर्त के अनुसार सभी बिंदुओं का समुच्चय, जहाँ - मनमाने ढंग से बड़ी संख्या, कहा जाता है - अड़ोस-पड़ोस (या सिर्फ एक पड़ोस) अनंत का और द्वारा निरूपित किया जाता है।

एक मात्रा जो समान संख्यात्मक मान को बनाए रखती है, कहलाती है स्थायी. एक मात्रा जो विभिन्न संख्यात्मक मान लेती है, कहलाती है चर। समारोह नियम कहा जाता है, जिसके अनुसार प्रत्येक संख्या को एक अच्छी तरह से परिभाषित संख्या दी जाती है, और वे लिखते हैं। सेट कहा जाता है परिभाषा का डोमेन कार्य, - अनेक (या क्षेत्र ) मान कार्य, - तर्क , - समारोह मूल्य . किसी फलन को निर्दिष्ट करने का सबसे सामान्य तरीका विश्लेषणात्मक पद्धति है, जिसमें फलन एक सूत्र द्वारा दिया जाता है। प्राकृतिक डोमेन समारोह तर्क के मूल्यों का समूह है जिसके लिए यह सूत्र समझ में आता है। फंक्शन ग्राफ , एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, निर्देशांक के साथ विमान के सभी बिंदुओं का सेट है।

समारोह कहा जाता है यहां तक की सेट पर, बिंदु के संबंध में सममित, यदि निम्न स्थिति सभी के लिए संतुष्ट है: और अजीब अगर शर्त पूरी हो जाती है। अन्यथा, समारोह सामान्य रूप से देखेंया न तो सम और न ही विषम .

समारोह कहा जाता है नियत कालीन सेट पर यदि कोई संख्या मौजूद है ( समारोह की अवधि ) ऐसा है कि निम्नलिखित शर्त सभी के लिए संतुष्ट है: . सबसे छोटी संख्यामुख्य काल कहा जाता है।

समारोह कहा जाता है नीरस रूप से बढ़ रहा है (घट ) सेट पर अगर अधिक मूल्यतर्क फ़ंक्शन के बड़े (छोटे) मान से मेल खाता है।

समारोह कहा जाता है सीमित सेट पर, यदि कोई संख्या मौजूद है जैसे कि निम्नलिखित शर्त सभी के लिए संतुष्ट है:। अन्यथा कार्य है असीमित .

उलटना कार्य करने के लिए , , ऐसे फलन को कहते हैं , जो समुच्चय पर और प्रत्येक को परिभाषित किया जाता है

ऐसे मेल खाता है। फ़ंक्शन के व्युत्क्रम फ़ंक्शन को खोजने के लिए , आपको समीकरण को हल करने की आवश्यकता है अपेक्षाकृत। यदि समारोह , सख्ती से मोनोटोनिक पर है, तो इसका हमेशा एक उलटा होता है, और यदि फ़ंक्शन बढ़ता है (घटता है), तो उलटा काम करनाभी बढ़ता (घटता) है।

एक फंक्शन को इस रूप में दर्शाया जाता है, जहां, कुछ ऐसे फंक्शन होते हैं, जिसमें फंक्शन डेफिनिशन के डोमेन में फंक्शन के मानों का पूरा सेट होता है, कहलाता है जटिल समारोह स्वतंत्र तर्क। चर को मध्यवर्ती तर्क कहा जाता है। एक जटिल कार्य को कार्यों की संरचना भी कहा जाता है और, और लिखा जाता है:।

बुनियादी प्राथमिक कार्य हैं: शक्ति समारोह , प्रदर्शन समारोह ( , ), लघुगणक समारोह ( , ), त्रिकोणमितीय कार्य , , , , उलटा त्रिकोणमितीय कार्य , , , . प्राथमिक बुनियादी प्राथमिक कार्यों से उनके अंकगणितीय संचालन और रचनाओं की एक सीमित संख्या से प्राप्त एक फ़ंक्शन कहा जाता है।

यदि फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिया गया है, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ का निर्माण ग्राफ़ के परिवर्तनों (शिफ्ट, संपीड़न या खींचने, प्रदर्शन) की एक श्रृंखला में कम हो गया है:

1) 2) परिवर्तन ग्राफ को अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित करता है; 3) परिवर्तन ग्राफ को अक्ष के साथ इकाइयों द्वारा स्थानांतरित करता है ( - दाईं ओर, - बाईं ओर); 4) रूपांतरण चार्ट को अक्ष के साथ इकाइयों (- ऊपर, - नीचे) में स्थानांतरित करता है; 5) अक्ष के साथ परिवर्तन ग्राफ समय में फैला है, यदि या समय में संकुचित होता है, यदि; 6) धुरी के साथ ग्राफ़ को बदलना एक कारक द्वारा संपीड़ित करता है या एक कारक द्वारा फैलाता है।

फ़ंक्शन ग्राफ़ की साजिश करते समय परिवर्तनों का क्रम प्रतीकात्मक रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है:

टिप्पणी। परिवर्तन करते समय, ध्यान रखें कि अक्ष के साथ शिफ्ट की मात्रा उस स्थिरांक द्वारा निर्धारित की जाती है जो सीधे तर्क में जोड़ा जाता है, न कि तर्क में।

फ़ंक्शन का ग्राफ़ शीर्ष पर एक पैराबोला है, जिसकी शाखाओं को ऊपर या नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है। एक रेखीय-भिन्नात्मक फलन का ग्राफ बिंदु पर केंद्रित एक अतिपरवलय है, जिसके स्पर्शोन्मुख समन्वय अक्षों के समानांतर, केंद्र से होकर गुजरते हैं। , स्थिति को संतुष्ट करना। बुलाया।

वैक्टर के उत्पाद पर विचार करें, और , इस प्रकार बना है:
. यहाँ पहले दो सदिशों को सदिश रूप से गुणा किया जाता है, और उनके परिणाम को तीसरे सदिश द्वारा अदिश रूप से गुणा किया जाता है। इस तरह के उत्पाद को वेक्टर-स्केलर, या मिश्रित, तीन वैक्टरों का उत्पाद कहा जाता है। मिश्रित उत्पाद कुछ संख्या है।

आइए हम अभिव्यक्ति के ज्यामितीय अर्थ का पता लगाएं
.

प्रमेय . तीन वैक्टरों का मिश्रित उत्पाद इन वैक्टरों पर बने समांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर होता है, यदि ये वैक्टर एक सही ट्रिपल बनाते हैं, और एक ऋण चिह्न के साथ यदि वे एक बाएं ट्रिपल बनाते हैं, तो एक प्लस चिह्न के साथ लिया जाता है।

सबूत..हम एक समानांतर चतुर्भुज का निर्माण करते हैं जिसके किनारे सदिश हैं , , और वेक्टर
.

अपने पास:
,
, कहाँ - सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल और ,
सदिशों के सही तिगुने के लिए और
बाईं ओर, जहां
समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई है। हम पाते हैं:
, अर्थात।
, कहाँ - वैक्टर द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज का आयतन , और .

मिश्रित उत्पाद गुण

1. मिश्रित उत्पाद कब नहीं बदलता है चक्रीयइसके कारकों का क्रमपरिवर्तन, यानी .

वास्तव में, इस मामले में, न तो समांतर चतुर्भुज का आयतन और न ही इसके किनारों का अभिविन्यास बदलता है।

2. सदिश और अदिश गुणन के चिन्हों को उलटने पर मिश्रित उत्पाद नहीं बदलता है, अर्थात
.

वास्तव में,
और
. सदिशों के त्रिगुणों के बाद से हम इन समानताओं के दाईं ओर एक ही चिह्न लेते हैं , , और , , - एक अभिविन्यास।

इस तरह,
. यह हमें सदिशों के मिश्रित गुणनफल को लिखने की अनुमति देता है
जैसा
सदिश, अदिश गुणन के संकेतों के बिना।

3. मिश्रित गुणनफल का चिह्न तब बदलता है जब कोई दो कारक सदिश स्थान बदलते हैं, अर्थात
,
,
.

दरअसल, ऐसा क्रमचय सदिश उत्पाद में कारकों के क्रमचय के बराबर है, जो उत्पाद के चिह्न को बदलता है।

4. नॉनजीरो वैक्टर का मिश्रित उत्पाद , और शून्य है यदि और केवल यदि वे समतलीय हैं।

2.12। मिश्रित उत्पाद को समन्वय के रूप में एक ऑर्थोनॉर्मल आधार पर गणना करना

चलो वैक्टर
,
,
. आइए सदिश और अदिश गुणनफलों के लिए निर्देशांकों में व्यंजकों का उपयोग करके उनका मिश्रित गुणनफल ज्ञात करें:

. (10)

परिणामी सूत्र को छोटा लिखा जा सकता है:

चूँकि समानता का दाहिना पक्ष (10) तीसरी पंक्ति के तत्वों के संदर्भ में तीसरे क्रम के निर्धारक का विस्तार है।

इसलिए, सदिशों का मिश्रित गुणनफल तीसरे क्रम के निर्धारक के बराबर होता है, जो गुणित सदिशों के निर्देशांकों से बना होता है।

2.13 मिश्रित उत्पाद के कुछ अनुप्रयोग

अंतरिक्ष में वैक्टर के सापेक्ष अभिविन्यास का निर्धारण

वैक्टर के सापेक्ष अभिविन्यास का निर्धारण , और निम्नलिखित विचारों के आधार पर। अगर
, वह , , - ठीक तीन अगर
, वह , , - तीन छोड़ दिया।

सदिशों के लिए समालोचना की स्थिति

वैक्टर , और समतलीय हैं यदि और केवल यदि उनका मिश्रित गुणनफल शून्य है (
,
,
):

वैक्टर , , समतलीय।

समानांतर चतुर्भुज और त्रिकोणीय पिरामिड के आयतन का निर्धारण

यह दिखाना आसान है कि वैक्टर पर निर्मित समानांतर चतुर्भुज का आयतन , और के रूप में गणना की जाती है
, और मात्रा त्रिकोणीय पिरामिड, समान सदिशों पर निर्मित, के बराबर है
.

उदाहरण 1साबित करो कि वैक्टर
,
,
समतलीय।

समाधान।आइए सूत्र का उपयोग करके इन वैक्टरों के मिश्रित उत्पाद का पता लगाएं:

इसका मतलब है कि वैक्टर
समतलीय।

उदाहरण 2चतुष्फलक के शीर्षों को देखते हुए: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3)। शीर्ष से गिराई गई इसकी ऊँचाई की लंबाई ज्ञात कीजिए .

समाधान।आइए पहले चतुष्फलक का आयतन ज्ञात करें
. सूत्र के अनुसार हमें मिलता है:

चूँकि निर्धारक एक ऋणात्मक संख्या है, तब इस मामले मेंसूत्र से पहले आपको ऋण चिह्न लेने की आवश्यकता है। इस तरह,
.

वांछित मान एचसूत्र से ज्ञात कीजिए
, कहाँ एस - आधार क्षेत्र। आइए क्षेत्र निर्धारित करें एस:

कहाँ

क्योंकि

सूत्र में प्रतिस्थापित करना
मान
और
, हम पाते हैं एच= 3.

उदाहरण 3सदिश बनते हैं
अंतरिक्ष में आधार? विघटित वेक्टर
वैक्टर के आधार पर।

समाधान।यदि सदिश अंतरिक्ष में एक आधार बनाते हैं, तो वे एक ही तल में स्थित नहीं होते हैं, अर्थात गैर समतलीय हैं। सदिशों का मिश्रित गुणनफल ज्ञात कीजिए
:
,

इसलिए, सदिश समतलीय नहीं हैं और अंतरिक्ष में एक आधार बनाते हैं। यदि अंतरिक्ष में वैक्टर एक आधार बनाते हैं, तो कोई भी वेक्टर आधार वैक्टर के एक रैखिक संयोजन के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, अर्थात्
,कहाँ
वेक्टर निर्देशांक वेक्टर आधार में
. आइए समीकरणों की प्रणाली को संकलित और हल करके इन निर्देशांकों को खोजें

गॉस विधि द्वारा इसे हल करने पर, हमारे पास है

यहाँ से
. तब .

इस प्रकार,
.

उदाहरण 4पिरामिड के शीर्ष बिंदुओं पर हैं:
,
,
,
. गणना करें:

ए) चेहरे का क्षेत्र
;

b) पिरामिड का आयतन
;

ग) वेक्टर प्रक्षेपण
वेक्टर की दिशा में
;

घ) कोण
;

ई) जांचें कि वेक्टर
,
,
समतलीय।

समाधान

क) एक क्रॉस उत्पाद की परिभाषा से, यह ज्ञात है कि:

वैक्टर ढूँढना
और
, सूत्र का उपयोग करना

,
.

उनके अनुमानों द्वारा परिभाषित वैक्टरों के लिए, वेक्टर उत्पाद सूत्र द्वारा पाया जाता है

, कहाँ
.

हमारे मामले के लिए

हम सूत्र का उपयोग करके परिणामी वेक्टर की लंबाई पाते हैं

,
.

और तब
(वर्ग इकाई)।

बी) तीन वैक्टरों का मिश्रित उत्पाद वैक्टरों पर बने समांतर चतुर्भुज की मात्रा के पूर्ण मूल्य के बराबर है , , जैसे पसलियों पर।

मिश्रित उत्पाद की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

आइए वैक्टर खोजें
,
,
, पिरामिड के किनारों के साथ मेल खाता है, शीर्ष पर अभिसरण करता है :

इन वैक्टरों का मिश्रित उत्पाद

चूँकि पिरामिड का आयतन वैक्टरों पर निर्मित समानांतर चतुर्भुज के आयतन के भाग के बराबर होता है
,
,
, वह
(घन इकाई)।

c) सूत्र का उपयोग करना
, जो सदिशों के अदिश गुणनफल को परिभाषित करता है , , इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कहाँ
या
;

या
.

वेक्टर के प्रक्षेपण को खोजने के लिए
वेक्टर की दिशा में
सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए
,
, और फिर सूत्र को लागू करना

हम पाते हैं

d) कोण ज्ञात करना
वैक्टर परिभाषित करें
,
, बिंदु पर एक सामान्य उत्पत्ति होना :

फिर, स्केलर उत्पाद सूत्र के अनुसार

e) तीन सदिशों के क्रम में

,
,

समतलीय हैं, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनका मिश्रित उत्पाद शून्य के बराबर हो।

हमारे मामले में हमारे पास है
.

इसलिए, वैक्टर समतलीय हैं।

सदिशों के लिए, और, निर्देशांकों द्वारा दिए गए, मिश्रित गुणनफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: .

मिश्रित उत्पाद प्रयोग किया जाता है: 1) सूत्र के अनुसार टेट्राहेड्रोन और वैक्टर पर बने समानांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना करने के लिए, और , किनारों पर: ; 2) सदिशों की समरूपता के लिए एक शर्त के रूप में , तथा : तथा समतलीय हैं।

विषय 5। विमान पर लाइनें।

सीधा सतह पर समन्वय प्रणाली में निम्न प्रकारों में से एक के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है:

1) - सामान्य समीकरण सीधी रेखा, जहां सीधी रेखा का सामान्य वेक्टर है;

2) - दिए गए वेक्टर के लम्बवत बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण;

3) - किसी दिए गए वेक्टर के समानांतर बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ( विहित समीकरण );

4) - दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण;

5) - रेखा समीकरण ढलान के साथ , वह बिंदु कहां है जिससे होकर रेखा गुजरती है; () - वह कोण जो रेखा अक्ष के साथ बनाती है; - खंड की लंबाई (चिह्न के साथ) अक्ष पर एक सीधी रेखा से कट जाती है (चिह्न "" यदि खंड अक्ष के धनात्मक भाग पर और "" ऋणात्मक भाग पर कट जाता है)।

मैं, के लिए ।

मैं, के लिए

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं: या।

विषय 10। सेट। संख्यात्मक सेट। कार्य।

कॉल सेट करें सबसेट सेट करें यदि सेट के सभी तत्व सेट से संबंधित हैं और लिखें।

सेट किया और बुलाया बराबर , यदि वे समान तत्वों से मिलकर बने हैं और लिखते हैं। दो समुच्चय और बराबर होंगे यदि और केवल यदि और ।

संगठन

क्रॉसिंग सेट होता है और इसे सेट कहा जाता है

अंतर सेट होता है और इसे सेट कहा जाता है

परिशिष्ट सेट (एक सार्वभौमिक सेट तक) को एक सेट कहा जाता है।

वैध (असली) संख्या एक अनंत दशमलव अंश कहा जाता है, जिसे "+" या "" चिन्ह के साथ लिया जाता है। वास्तविक संख्याओं की पहचान संख्या रेखा पर बिंदुओं से की जाती है।

मापांक वास्तविक संख्या का (पूर्ण मान) एक गैर-ऋणात्मक संख्या है:

सेट कहा जाता है न्यूमेरिकल यदि इसके अवयव वास्तविक संख्याएँ हैं। न्यूमेरिकल अंतरालों पर सेट कहलाते हैं

अंक: , , , , , , , , , .

संख्या रेखा पर सभी बिंदुओं का समुच्चय जो शर्त को पूरा करता है, जहाँ एक मनमाना रूप से छोटी संख्या है, कहलाती है -अड़ोस-पड़ोस (या सिर्फ एक पड़ोस) एक बिंदु का और द्वारा निरूपित किया जाता है। शर्त के अनुसार सभी बिन्दुओं का समुच्चय, जहाँ एक मनमाना रूप से बड़ी संख्या है, कहलाता है - अड़ोस-पड़ोस (या सिर्फ एक पड़ोस) अनंत का और द्वारा निरूपित किया जाता है।

समारोह कहा जाता है यहां तक की सेट पर, बिंदु के संबंध में सममित, यदि निम्न स्थिति सभी के लिए संतुष्ट है: और अजीब अगर शर्त पूरी हो जाती है। अन्यथा, एक सामान्य कार्य या न तो सम और न ही विषम .

समारोह कहा जाता है नियत कालीन सेट पर यदि कोई संख्या मौजूद है ( समारोह की अवधि ) ऐसा है कि निम्नलिखित शर्त सभी के लिए संतुष्ट है: . सबसे छोटी संख्या को मुख्य आवर्त कहते हैं।

समारोह कहा जाता है नीरस रूप से बढ़ रहा है (घट ) सेट पर यदि तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े (छोटे) मान से मेल खाता है।

उलटना कार्य करने के लिए , , एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसे एक सेट पर परिभाषित किया गया है और प्रत्येक ऐसे को असाइन किया गया है। फ़ंक्शन के व्युत्क्रम फ़ंक्शन को खोजने के लिए , आपको समीकरण को हल करने की आवश्यकता है अपेक्षाकृत। यदि समारोह , पर सख्ती से मोनोटोनिक है, तो इसका हमेशा एक व्युत्क्रम होता है, और यदि फ़ंक्शन बढ़ता है (घटता है), तो उलटा फ़ंक्शन भी बढ़ता है (घटता है)।

फ़ंक्शन का ग्राफ़ शीर्ष पर एक पैराबोला है, जिसकी शाखाओं को ऊपर या नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है।

कुछ मामलों में, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का निर्माण करते समय, इसकी परिभाषा के डोमेन को कई गैर-प्रतिच्छेदी अंतरालों में विभाजित करने और उनमें से प्रत्येक पर क्रमिक रूप से एक ग्राफ़ बनाने की सलाह दी जाती है।

वास्तविक संख्याओं के किसी भी क्रमित सेट को कहा जाता है डॉट-आयामी अंकगणित (समन्वय) अंतरिक्ष और निरूपित या , जबकि संख्याएँ इसके कहलाती हैं COORDINATES .

चलो और अंक के कुछ सेट हो और। यदि प्रत्येक बिंदु को किसी नियम के अनुसार, एक अच्छी तरह से परिभाषित वास्तविक संख्या दी जाती है, तो वे कहते हैं कि सेट पर चर का एक संख्यात्मक कार्य दिया जाता है और लिखते हैं या संक्षेप में और, जबकि कहा जाता है परिभाषा का डोमेन , - मूल्यों का सेट , - बहस (स्वतंत्र चर) कार्य करता है।

दो चर का एक कार्य अक्सर निरूपित किया जाता है, तीन चर का एक कार्य -। किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन समतल में बिंदुओं का एक निश्चित समूह है, फ़ंक्शन अंतरिक्ष में बिंदुओं का एक निश्चित समूह है।

विषय 7। संख्यात्मक अनुक्रम और श्रृंखला। अनुक्रम सीमा। एक समारोह और निरंतरता की सीमा।

यदि, एक निश्चित नियम के अनुसार, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एक अच्छी तरह से परिभाषित वास्तविक संख्या से जुड़ी होती है, तो वे ऐसा कहते हैं संख्यात्मक अनुक्रम . संक्षेप में निरूपित करें। नंबर कहा जाता है अनुक्रम का सामान्य सदस्य . अनुक्रम को प्राकृतिक तर्क का कार्य भी कहा जाता है। एक अनुक्रम में हमेशा अनंत संख्या में तत्व होते हैं, जिनमें से कुछ समान हो सकते हैं।

नंबर कहा जाता है अनुक्रम सीमा , और लिखें कि क्या किसी संख्या के लिए ऐसी संख्या है कि असमानता सभी के लिए संतुष्ट है।

एक अनुक्रम जिसकी एक परिमित सीमा होती है, कहलाती है अभिसारी , अन्यथा - विभिन्न .

: 1) घट , अगर ; 2) की बढ़ती , अगर ; 3) गैर घटते , अगर ; 4) गैर बढ़ती , अगर । उपरोक्त सभी क्रम कहलाते हैं नीरस .

क्रम कहा जाता है सीमित , यदि कोई ऐसी संख्या है जो सभी के लिए निम्न शर्त को पूरा करती है: . अन्यथा क्रम है असीमित .

प्रत्येक मोनोटोन से घिरे अनुक्रम की एक सीमा होती है ( वीयरस्ट्रास प्रमेय).

क्रम कहा जाता है बहुत छोता , अगर । क्रम कहा जाता है असीम रूप से बड़ा (अनंत में अभिसरण) यदि .

संख्या अनुक्रम की सीमा कहलाती है, जहाँ

स्थिरांक को अपीयर संख्या कहा जाता है। किसी संख्या का आधार लघुगणक कहलाता है प्राकृतिकसंख्या और द्वारा निरूपित किया जाता है।

रूप की एक अभिव्यक्ति, जहां संख्याओं का एक क्रम है, कहा जाता है संख्यात्मक श्रृंखला और अंकित हैं। श्रृंखला के प्रथम पदों का योग कहलाता है वें आंशिक योग पंक्ति।

पंक्ति कहलाती है अभिसारी अगर वहाँ एक परिमित सीमा है और विभिन्न यदि सीमा मौजूद नहीं है। नंबर कहा जाता है एक अभिसरण श्रृंखला का योग , लिखते समय।

यदि श्रृंखला अभिसरण करती है, तो (श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक आवश्यक मानदंड ) . इसका उलट सत्य नहीं है।

यदि , तो श्रृंखला विचलन करती है ( श्रृंखला के विचलन के लिए एक पर्याप्त मानदंड ).

सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखलाएक श्रृंखला कहलाती है जो पर अभिसरण करती है और पर विचलन करती है।

जियोमीट्रिक श्रंखला एक श्रृंखला को कॉल करें जो पर अभिसरण करती है, जबकि इसका योग बराबर है और पर विचलन करता है। एक संख्या या प्रतीक खोजें। (बाएं अर्ध-पड़ोस, दाएं अर्ध-पड़ोस) और

इस पाठ में, हम सदिशों के साथ दो और संक्रियाओं को देखेंगे: वैक्टर का क्रॉस उत्पादऔर वैक्टर का मिश्रित उत्पाद (जिन्हें इसकी आवश्यकता है उनके लिए तत्काल लिंक). यह ठीक है, कभी-कभी ऐसा होता है कि पूर्ण सुख के लिए भी वैक्टर का डॉट उत्पादअधिक से अधिक की जरूरत है। ऐसी है वेक्टर एडिक्शन। किसी को यह आभास हो सकता है कि हम विश्लेषणात्मक ज्यामिति के जंगल में जा रहे हैं। यह गलत है। उच्च गणित के इस खंड में आमतौर पर बहुत कम जलाऊ लकड़ी होती है, सिवाय शायद पिनोचियो के लिए। वास्तव में, सामग्री बहुत ही सामान्य और सरल है - शायद ही उससे अधिक कठिन हो अदिश उत्पाद, यहां तक कि कम विशिष्ट कार्य भी होंगे। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में मुख्य बात, जैसा कि बहुत से लोग देखेंगे या पहले ही देख चुके हैं, गलत गणना नहीं है। एक जादू की तरह दोहराएं, और आप खुश होंगे =)

यदि वेक्टर कहीं दूर चमकते हैं, जैसे क्षितिज पर बिजली, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, पाठ से शुरू करें डमी के लिए वैक्टरवैक्टर के बारे में बुनियादी ज्ञान को पुनर्स्थापित करने या पुनः प्राप्त करने के लिए। अधिक तैयार पाठक चुनिंदा जानकारी से परिचित हो सकते हैं, मैंने उन उदाहरणों का सबसे पूरा संग्रह एकत्र करने की कोशिश की जो अक्सर पाए जाते हैं व्यावहारिक कार्य

आपको क्या खुश करेगा? जब मैं छोटा था, तो मैं दो या तीन गेंदों को भी हथकंडा दे सकता था। इसने अच्छा काम किया। अब हथकंडा करने की बिल्कुल जरूरत नहीं है, क्योंकि हम विचार करेंगे केवल अंतरिक्ष वैक्टर, और दो निर्देशांक वाले समतल सदिशों को छोड़ दिया जाएगा। क्यों? इस प्रकार इन क्रियाओं का जन्म हुआ - वैक्टर के वेक्टर और मिश्रित उत्पाद परिभाषित होते हैं और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में काम करते हैं। पहले से आसान!

इस ऑपरेशन में, उसी तरह जैसे स्केलर उत्पाद में, दो वैक्टर. इसे अविनाशी अक्षर होने दो।

कार्रवाई ही लक्षितइस अनुसार: । अन्य विकल्प भी हैं, लेकिन मैं इस तरह से वैक्टर के क्रॉस उत्पाद को एक क्रॉस के साथ वर्ग कोष्ठक में नामित करने के लिए उपयोग किया जाता हूं।

और तुरंत सवाल: मैं फ़िन वैक्टर का डॉट उत्पाददो वैक्टर शामिल हैं, और यहां दो वैक्टर भी गुणा किए जाते हैं क्या अंतर है? एक स्पष्ट अंतर, सबसे पहले, परिणाम में:

सदिशों के अदिश गुणनफल का परिणाम एक NUMBER है:

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद का नतीजा एक वेक्टर है: अर्थात, हम सदिशों को गुणा करते हैं और पुन: सदिश प्राप्त करते हैं। बंद क्लब। दरअसल, इसलिए ऑपरेशन का नाम। कई जगहों पर शैक्षिक साहित्यअंकन भी भिन्न हो सकता है, मैं पत्र का उपयोग करूंगा।

क्रॉस उत्पाद की परिभाषा

पहले चित्र के साथ परिभाषा होगी, फिर टिप्पणियाँ होंगी।

परिभाषा: पार उत्पाद गैर समरेखवैक्टर, इस क्रम में लिया, वेक्टर कहा जाता है, लंबाईजो संख्यात्मक रूप से है समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर, इन सदिशों पर निर्मित; वेक्टर वैक्टर के लिए ऑर्थोगोनल, और निर्देशित किया जाता है ताकि आधार का सही अभिविन्यास हो:

हम हड्डियों द्वारा परिभाषा का विश्लेषण करते हैं, बहुत सारी दिलचस्प बातें हैं!

तो, हम निम्नलिखित महत्वपूर्ण बिंदुओं को उजागर कर सकते हैं:

1) स्रोत सदिश , परिभाषा के अनुसार, लाल तीरों द्वारा दर्शाया गया है संरेख नहीं. संरेख सदिशों के मामले पर थोड़ी देर बाद विचार करना उचित होगा।

2) वैक्टर लिए गए सख्ती से निश्चित आदेश : – "ए" को "बी" से गुणा किया जाता है, "हो" से "ए" नहीं। सदिश गुणन का परिणाम VECTOR है, जिसे नीले रंग से दर्शाया गया है। यदि सदिशों को उल्टे क्रम में गुणा किया जाता है, तो हमें लम्बाई में बराबर और दिशा में विपरीत (लाल रंग) सदिश मिलता है। यानी समता .

3) आइए अब सदिश गुणनफल के ज्यामितीय अर्थ से परिचित हों। यह एक बहुत महत्वपूर्ण मुद्दा है! नीले वेक्टर की लंबाई (और, इसलिए, क्रिमसन वेक्टर) संख्यात्मक रूप से वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है। चित्र में, इस समांतर चतुर्भुज को काले रंग से छायांकित किया गया है।

टिप्पणी : ड्राइंग योजनाबद्ध है, और निश्चित रूप से, क्रॉस उत्पाद की नाममात्र लंबाई समानांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर नहीं है।

हम ज्यामितीय सूत्रों में से एक को याद करते हैं: एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है. इसलिए, पूर्वगामी के आधार पर, वेक्टर उत्पाद की लंबाई की गणना करने का सूत्र मान्य है:

मैं इस बात पर जोर देता हूं कि सूत्र में हम वेक्टर की लंबाई के बारे में बात कर रहे हैं, न कि वेक्टर के बारे में। व्यावहारिक अर्थ क्या है? और अर्थ ऐसा है कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं में, एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र अक्सर एक सदिश उत्पाद की अवधारणा के माध्यम से पाया जाता है:

हमें दूसरा महत्वपूर्ण सूत्र मिलता है। समांतर चतुर्भुज (लाल बिंदीदार रेखा) का विकर्ण इसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए, वैक्टर (लाल छायांकन) पर निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

4) से कम नहीं महत्वपूर्ण तथ्ययह है कि वेक्टर वैक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है, अर्थात, . बेशक, विपरीत रूप से निर्देशित वेक्टर (क्रिमसन एरो) भी मूल वैक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है।

5) वेक्टर को निर्देशित किया जाता है ताकि आधारयह है सहीअभिविन्यास। के बारे में एक पाठ में एक नए आधार पर संक्रमणके बारे में विस्तार से बता चुका हूं विमान अभिविन्यास, और अब हम यह पता लगाएंगे कि अंतरिक्ष का अभिविन्यास क्या है। मैं आपकी उंगलियों पर समझाऊंगा दांया हाथ. मानसिक रूप से गठबंधन करें तर्जनी अंगुली वेक्टर के साथ और बीच की ऊँगलीवेक्टर के साथ। अनामिका और कनिष्ठिकाअपनी हथेली में दबाएं। नतीजतन अँगूठा- वेक्टर उत्पाद दिखेगा। यह सही-उन्मुख आधार है (यह चित्र में है)। अब सदिशों की अदला-बदली करें ( सूचकांक और बीच की उंगलियां ) कुछ स्थानों पर, अंगूठा घूम जाएगा, और वेक्टर उत्पाद पहले से ही नीचे दिखेगा। यह भी एक दक्षिणपंथी आधार है। शायद आपके पास एक प्रश्न है: वामपंथी अभिविन्यास किस आधार पर है? "असाइन करें" एक ही उंगलियां बायां हाथ vectors , और बायाँ आधार और बायाँ स्थान अभिविन्यास प्राप्त करें (इस स्थिति में, अंगूठा निचले सदिश की दिशा में स्थित होगा). आलंकारिक रूप से बोलते हुए, ये आधार अलग-अलग दिशाओं में "मोड़" या उन्मुख स्थान हैं। और इस अवधारणा को कुछ दूर की कौड़ी या अमूर्त नहीं माना जाना चाहिए - उदाहरण के लिए, सबसे साधारण दर्पण अंतरिक्ष के उन्मुखीकरण को बदलता है, और यदि आप "प्रतिबिंबित वस्तु को दर्पण से बाहर खींचते हैं", तो सामान्य तौर पर यह संभव नहीं होगा इसे "मूल" के साथ मिलाएं। वैसे, तीन अंगुलियों को दर्पण में लाएं और प्रतिबिंब का विश्लेषण करें ;-)

... यह कितना अच्छा है कि अब आप इसके बारे में जान गए हैं दाएं और बाएं उन्मुखआधार, क्योंकि अभिविन्यास परिवर्तन के बारे में कुछ व्याख्याताओं के बयान भयानक हैं =)

संरेख सदिशों का सदिश उत्पाद

परिभाषा पर विस्तार से काम किया गया है, यह पता लगाना बाकी है कि जब वैक्टर संरेख होते हैं तो क्या होता है। यदि सदिश समतल हैं, तो उन्हें एक सीधी रेखा पर रखा जा सकता है और हमारा समांतर चतुर्भुज भी एक सीधी रेखा में "गुना" होता है। ऐसा क्षेत्र, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, पतितसमानांतर चतुर्भुज शून्य है। सूत्र से भी यही होता है - शून्य या 180 डिग्री की ज्या शून्य के बराबर होती है, जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल शून्य है

इस प्रकार, यदि, तब और . कृपया ध्यान दें कि क्रॉस उत्पाद स्वयं शून्य वेक्टर के बराबर है, लेकिन व्यवहार में इसे अक्सर उपेक्षित किया जाता है और लिखा जाता है कि यह भी शून्य के बराबर है।

विशेष मामलाएक वेक्टर और स्वयं का क्रॉस उत्पाद है:

क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके, आप त्रि-आयामी वैक्टर की संपार्श्विकता की जांच कर सकते हैं, और हम इस समस्या का विश्लेषण भी करेंगे।

व्यावहारिक उदाहरणों को हल करने के लिए यह आवश्यक हो सकता है त्रिकोणमितीय तालिकाइससे ज्या के मूल्यों का पता लगाने के लिए।

खैर, आग लगाओ:

उदाहरण 1

ए) वैक्टर के वेक्टर उत्पाद की लंबाई पाएं यदि

ख) सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि

समाधान: नहीं, यह कोई टाइपो नहीं है, मैंने जानबूझकर प्रारंभिक डेटा को स्थिति में समान बनाया है। क्योंकि समाधानों का डिज़ाइन अलग होगा!

a) स्थिति के अनुसार, इसे खोजना आवश्यक है लंबाईवेक्टर (वेक्टर उत्पाद)। संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

चूंकि यह लंबाई के बारे में पूछा गया था, तो उत्तर में हम आयाम - इकाइयों का संकेत देते हैं।

b) स्थिति के अनुसार, इसे खोजना आवश्यक है वर्गवैक्टर पर निर्मित समांतर चतुर्भुज। इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से क्रॉस उत्पाद की लंबाई के बराबर है:

उत्तर:

कृपया ध्यान दें कि वेक्टर उत्पाद के उत्तर में कोई बात नहीं है, जिसके बारे में हमसे पूछा गया था आंकड़ा क्षेत्र, क्रमशः, आयाम वर्ग इकाई है।

हम हमेशा देखते हैं कि स्थिति के अनुसार क्या खोजना आवश्यक है, और इसके आधार पर, हम तैयार करते हैं साफ़उत्तर। यह शाब्दिक प्रतीत हो सकता है, लेकिन शिक्षकों के बीच पर्याप्त साहित्यकार हैं, और अच्छे अवसरों वाले कार्य को संशोधन के लिए वापस कर दिया जाएगा। यद्यपि यह विशेष रूप से तनावपूर्ण नाइटपिक नहीं है - यदि उत्तर गलत है, तो किसी को यह आभास हो जाता है कि व्यक्ति साधारण चीजों को नहीं समझता है और / या कार्य के सार को नहीं समझा है। उच्च गणित और अन्य विषयों में भी किसी भी समस्या को हल करते हुए इस क्षण को हमेशा नियंत्रण में रखना चाहिए।

बड़ा अक्षर "एन" कहाँ गया? सिद्धांत रूप में, यह अतिरिक्त रूप से समाधान के लिए अटका हो सकता है, लेकिन रिकॉर्ड को छोटा करने के लिए, मैंने नहीं किया। मुझे आशा है कि हर कोई इसे समझता है और एक ही चीज़ का पदनाम है।

डू-इट-खुद समाधान के लिए एक लोकप्रिय उदाहरण:

उदाहरण 2

यदि सदिशों पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

वेक्टर उत्पाद के माध्यम से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र टिप्पणियों में परिभाषा में दिया गया है। पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

व्यवहार में, कार्य वास्तव में बहुत सामान्य है, त्रिभुजों को आमतौर पर प्रताड़ित किया जा सकता है।

अन्य समस्याओं को हल करने के लिए, हमें चाहिए:

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद के गुण

हमने वेक्टर उत्पाद के कुछ गुणों पर पहले ही विचार कर लिया है, हालाँकि, मैं उन्हें इस सूची में शामिल करूँगा।

मनमाना वैक्टर और मनमाना संख्या के लिए, निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

1) जानकारी के अन्य स्रोतों में, यह आइटम आमतौर पर गुणों में प्रतिष्ठित नहीं है, लेकिन यह व्यावहारिक रूप से बहुत महत्वपूर्ण है। तो रहने दो।

2) - संपत्ति की भी चर्चा ऊपर की गई है, कभी-कभी इसे कहा जाता है anticommutativity. दूसरे शब्दों में, सदिशों का क्रम मायने रखता है।

3) - संयोजन या जोड़नेवालावेक्टर उत्पाद कानून। सदिश उत्पाद की सीमा से स्थिरांक आसानी से निकाल लिए जाते हैं। वास्तव में, वे वहाँ क्या कर रहे हैं?

4) - वितरण या वितरणवेक्टर उत्पाद कानून। कोष्ठक खोलने में भी कोई समस्या नहीं है।

एक प्रदर्शन के रूप में, एक संक्षिप्त उदाहरण पर विचार करें:

उदाहरण 3

अगर खोजो

समाधान:शर्त के अनुसार, सदिश उत्पाद की लंबाई का पता लगाना फिर से आवश्यक है। आइए हमारे लघुचित्र को पेंट करें:

(1) साहचर्य कानूनों के अनुसार, हम वेक्टर उत्पाद की सीमा से परे स्थिरांक निकालते हैं।

(2) हम मॉड्यूल से स्थिरांक निकालते हैं, जबकि मॉड्यूल माइनस साइन को "खा" देता है। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।

(3) जो आगे है वह स्पष्ट है।

उत्तर:

आग पर लकड़ी फेंकने का समय आ गया है:

उदाहरण 4

सदिशों पर निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें यदि

समाधान: सूत्र की सहायता से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए . रोड़ा यह है कि वैक्टर "सीई" और "टी" स्वयं वैक्टर के योग के रूप में दर्शाए जाते हैं। यहाँ एल्गोरिथ्म मानक है और कुछ हद तक पाठ के उदाहरण संख्या 3 और 4 की याद दिलाता है। वैक्टर का डॉट उत्पाद. आइए इसे स्पष्टता के लिए तीन चरणों में विभाजित करें:

1) पहले चरण में, हम वेक्टर उत्पाद को वेक्टर उत्पाद के माध्यम से व्यक्त करते हैं, वास्तव में, वेक्टर को वेक्टर के संदर्भ में व्यक्त करें. लंबाई पर अभी तक कोई शब्द नहीं!

(1) हम सदिशों के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हैं।

(2) वितरणात्मक नियमों का प्रयोग करते हुए, बहुपदों के गुणन के नियम के अनुसार कोष्ठक खोलिए।

(3) साहचर्य कानूनों का उपयोग करते हुए, हम वेक्टर उत्पादों से परे सभी स्थिरांक निकालते हैं। थोड़े से अनुभव के साथ, क्रियाएं 2 और 3 एक साथ की जा सकती हैं।

(4) सुखद संपत्ति के कारण पहला और अंतिम पद शून्य (शून्य वेक्टर) के बराबर है। दूसरे कार्यकाल में, हम सदिश उत्पाद के एंटीकॉम्यूटिविटी गुण का उपयोग करते हैं:

(5) हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।

नतीजतन, वेक्टर एक वेक्टर के माध्यम से व्यक्त किया गया, जिसे प्राप्त करने की आवश्यकता थी:

2) दूसरे चरण में, हमें आवश्यक वेक्टर उत्पाद की लंबाई का पता चलता है। यह क्रिया उदाहरण 3 के समान है:

3) अभीष्ट त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

समाधान के चरण 2-3 को एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जा सकता है।

उत्तर:

माना समस्या काफी आम है नियंत्रण कार्य, यहां स्वयं करें समाधान का एक उदाहरण दिया गया है:

उदाहरण 5

अगर खोजो

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर। आइए देखें कि पिछले उदाहरणों का अध्ययन करते समय आप कितने चौकस थे ;-)

निर्देशांक में वैक्टर का क्रॉस उत्पाद

, ऑर्थोनॉर्मल आधार पर दिया गया है, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है:

सूत्र वास्तव में सरल है: हम निर्धारक की शीर्ष पंक्ति में निर्देशांक वैक्टर लिखते हैं, हम वैक्टर के निर्देशांक को दूसरी और तीसरी पंक्तियों में "पैक" करते हैं, और हम डालते हैं सख्त क्रम में- पहले, वेक्टर "ve" के निर्देशांक, फिर वेक्टर "डबल-ve" के निर्देशांक। यदि वैक्टर को एक अलग क्रम में गुणा करने की आवश्यकता है, तो लाइनों की अदला-बदली भी की जानी चाहिए:

उदाहरण 10

जांचें कि क्या निम्नलिखित अंतरिक्ष वैक्टर संरेख हैं:
ए)
बी)

समाधान: परीक्षण इस पाठ में दिए गए कथनों में से एक पर आधारित है: यदि सदिश समरेख हैं, तो उनका क्रॉस उत्पाद शून्य (शून्य सदिश) है: .

ए) वेक्टर उत्पाद खोजें:

इसलिए सदिश समरेख नहीं हैं।

बी) वेक्टर उत्पाद खोजें:

उत्तर: ए) समरेख नहीं, बी)

यहाँ, शायद, सदिशों के सदिश गुणनफल के बारे में सभी बुनियादी जानकारी है।

यह खंड बहुत बड़ा नहीं होगा, क्योंकि कुछ समस्याएँ हैं जहाँ सदिशों के मिश्रित उत्पाद का उपयोग किया जाता है। वास्तव में, सब कुछ परिभाषा, ज्यामितीय अर्थ और कुछ कामकाजी सूत्रों पर आधारित होगा।

सदिशों का मिश्रित गुणनफल है तीन का उत्पादवैक्टर:

इस तरह वे एक ट्रेन की तरह खड़े होते हैं और प्रतीक्षा करते हैं, जब तक उनकी गणना नहीं हो जाती तब तक वे प्रतीक्षा नहीं कर सकते।

पहले फिर से परिभाषा और चित्र:

परिभाषा: मिश्रित उत्पाद गैर समतलीयवैक्टर, इस क्रम में लिया, कहा जाता है समांतर चतुर्भुज की मात्रा, इन सदिशों पर निर्मित, यदि आधार सही है तो "+" चिह्न और आधार छोड़े जाने पर "-" चिन्ह से सुसज्जित है।

चलो ड्राइंग करते हैं। हमारे लिए अदृश्य रेखाएँ बिंदीदार रेखा द्वारा खींची जाती हैं:

आइए परिभाषा में गोता लगाएँ:

2) वैक्टर लिए गए एक निश्चित क्रम में, अर्थात्, उत्पाद में वैक्टर का क्रमचय, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, परिणाम के बिना नहीं जाता है।

3) ज्यामितीय अर्थ पर टिप्पणी करने से पहले, मैं स्पष्ट तथ्य पर ध्यान दूंगा: सदिशों का मिश्रित गुणनफल एक NUMBER है: . शैक्षिक साहित्य में, डिजाइन कुछ अलग हो सकता है, मैं एक मिश्रित उत्पाद को नामित करता था, और "पे" अक्षर के साथ गणना का परिणाम।

ए-प्राथमिकता मिश्रित उत्पाद समांतर चतुर्भुज का आयतन है, वैक्टर पर निर्मित (आकृति लाल वैक्टर और काली रेखाओं के साथ खींची गई है)। अर्थात्, संख्या दिए गए समांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर है।

टिप्पणी : आरेखण योजनाबद्ध है।

4) आइए फिर से आधार और स्थान के उन्मुखीकरण की अवधारणा से परेशान न हों। अंतिम भाग का अर्थ यह है कि वॉल्यूम में माइनस साइन जोड़ा जा सकता है। सरल शब्दों में, मिश्रित उत्पाद नकारात्मक हो सकता है: .

सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के आयतन की गणना करने का सूत्र सीधे परिभाषा से अनुसरण करता है।

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