सदिशों का सदिश उत्पाद i j k. निर्देशांक द्वारा दिए गए वैक्टर का वेक्टर उत्पाद

एक सदिश उत्पाद की अवधारणा देने से पहले, आइए हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सदिशों के क्रमित ट्रिपल a → , b → , c → के उन्मुखीकरण के प्रश्न की ओर मुड़ें।

आरंभ करने के लिए, सदिशों a → , b → , c → को एक बिंदु से अलग रखें। सदिश c → की दिशा के आधार पर ट्रिपल a → , b → , c → का अभिविन्यास दाएँ या बाएँ है। सदिश a → से b → सदिश c → के अंत से जिस दिशा में सबसे छोटा मोड़ बनाया गया है, उससे त्रिगुण a → , b → , c → का रूप निर्धारित किया जाएगा।

यदि सबसे छोटा घुमाव वामावर्त है, तो सदिशों का त्रिक a → , b → , c → कहलाता है सहीयदि दक्षिणावर्त - बाएं.

इसके बाद, दो असंरेख सदिश a → और b → लें। आइए फिर सदिशों A B → = a → और A C → = b → को बिंदु A से स्थगित करें। आइए एक सदिश A D → = c → का निर्माण करें, जो A B → और AC → दोनों के साथ-साथ लंबवत है। इस प्रकार, सदिश A D → = c → का निर्माण करते समय, हम इसे एक दिशा या विपरीत दिशा देकर दो काम कर सकते हैं (चित्रण देखें)।

सदिशों की क्रमित तिकड़ी a → , b → , c → हो सकती है, जैसा कि हमें पता चला है, सदिश की दिशा के आधार पर दाएं या बाएं।

ऊपर से, हम वेक्टर उत्पाद की परिभाषा पेश कर सकते हैं। यह परिभाषात्रि-आयामी अंतरिक्ष के एक आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित दो वैक्टरों के लिए दिया गया है।

परिभाषा 1

दो सदिशों a → और b → का सदिश गुणनफल हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष के एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दिए गए ऐसे वेक्टर को कॉल करेंगे जैसे कि:

• यदि सदिश a → और b → संरेख हैं, तो यह शून्य होगा;
• यह सदिश a →​​ और सदिश b → दोनों के लंबवत होगा। ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• इसकी लंबाई सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• सदिशों के त्रिक a → , b → , c → का वही अभिविन्यास है जो दिए गए निर्देशांक तंत्र का है।

वेक्टर उत्पादसदिशों a → और b → में निम्नलिखित अंकन हैं: a → × b → ।

क्रॉस उत्पाद निर्देशांक

चूंकि किसी भी वेक्टर के निर्देशांक प्रणाली में कुछ निर्देशांक होते हैं, इसलिए वेक्टर उत्पाद की दूसरी परिभाषा प्रस्तुत करना संभव है, जो आपको वैक्टर के दिए गए निर्देशांक से इसके निर्देशांक खोजने की अनुमति देगा।

परिभाषा 2

त्रि-आयामी अंतरिक्ष के एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो सदिशों का सदिश गुणनफल a → = (a x; a y; a z) और b → = (b x; b y; b z) सदिश को कॉल करें c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , जहाँ i → , j → , k → निर्देशांक सदिश हैं।

वेक्टर उत्पाद को तीसरे क्रम के एक वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां पहली पंक्ति ओर्टा वैक्टर i → , j → , k → है, दूसरी पंक्ति में वेक्टर a → के निर्देशांक होते हैं, और तीसरा सदिश b के निर्देशांक हैं → दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में, यह मैट्रिक्स निर्धारक इस तरह दिखता है: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

पहली पंक्ति के तत्वों पर इस निर्धारक का विस्तार करते हुए, हम समानता प्राप्त करते हैं: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

क्रॉस उत्पाद गुण

यह ज्ञात है कि निर्देशांक में वेक्टर उत्पाद को मैट्रिक्स c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z के निर्धारक के रूप में दर्शाया गया है, फिर आधार पर मैट्रिक्स निर्धारक गुणनिम्नलिखित वेक्टर उत्पाद गुण:

1. एंटीकम्यूटेटिविटी ए → × बी → = - बी → × ए →;
2. वितरण a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → या a → × b (1) → + b (2) → = a → × बी (1) → + ए → × बी (2) → ;
3. साहचर्य λ a → × b → = λ a → × b → या a → × (λ b →) = λ a → × b → , जहाँ λ एक स्वेच्छ वास्तविक संख्या है।

इन गुणों के जटिल प्रमाण नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, हम एक सदिश उत्पाद के प्रतिक्रमणीयता गुण को सिद्ध कर सकते हैं।

एंटीकम्यूटेटिविटी का प्रमाण

परिभाषा के अनुसार, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z और b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z । और यदि मैट्रिक्स की दो पंक्तियों को आपस में बदल दिया जाता है, तो मैट्रिक्स के निर्धारक का मान विपरीत में बदल जाना चाहिए, इसलिए, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , जो सदिश उत्पाद की प्रतिक्रमणीयता को सिद्ध करता है।

वेक्टर उत्पाद - उदाहरण और समाधान

ज्यादातर मामलों में, तीन प्रकार के कार्य होते हैं।

पहले प्रकार की समस्याओं में, दो सदिशों की लंबाई और उनके बीच का कोण आमतौर पर दिया जाता है, लेकिन आपको क्रॉस उत्पाद की लंबाई का पता लगाने की आवश्यकता है। इस स्थिति में, निम्न सूत्र c → = a → b → sin ∠ a → , b → का उपयोग करें।

उदाहरण 1

वैक्टर a → और b → के क्रॉस उत्पाद की लंबाई ज्ञात करें यदि a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 ज्ञात है।

समाधान

वैक्टर a → और b → के वेक्टर उत्पाद की लंबाई की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम इस समस्या को हल करते हैं: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

उत्तर: 15 2 2 .

दूसरे प्रकार के कार्यों का वैक्टर के निर्देशांक के साथ संबंध होता है, उनमें एक वेक्टर उत्पाद, उसकी लंबाई आदि शामिल होते हैं। दिए गए सदिशों के ज्ञात निर्देशांकों के माध्यम से खोजे जाते हैं ए → = (ए एक्स; ए वाई; ए जेड) और बी → = (बी एक्स; बी वाई; बी जेड) .

इस प्रकार के कार्य के लिए, आप कार्यों के बहुत सारे विकल्प हल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, वैक्टर a → और b → के निर्देशांक नहीं, बल्कि फॉर्म के निर्देशांक वैक्टर में उनका विस्तार b → = b x i → + b y j → + b z k → और c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , या सदिश a → और b → उनके निर्देशांक द्वारा दिए जा सकते हैं प्रारंभ और अंत बिंदु।

निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 2

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो वैक्टर सेट होते हैं a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1)। उनका सदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान

दूसरी परिभाषा के अनुसार, हम दिए गए निर्देशांक में दो वैक्टरों का वेक्टर उत्पाद पाते हैं: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (az b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 कश्मीर → .

यदि हम आव्यूह सारणिक के पदों में अनुप्रस्थ गुणनफल लिखते हैं, तो हल यह उदाहरणऐसा दिखता है: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

उत्तर: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

उदाहरण 3

वैक्टर i → - j → और i → + j → + k → , जहाँ i → , j → , k → - एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली के orts के क्रॉस उत्पाद की लंबाई ज्ञात करें।

समाधान

सबसे पहले, आइए दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में दिए गए वेक्टर उत्पाद i → - j → × i → + j → + k → के निर्देशांक खोजें।

यह ज्ञात है कि सदिश i → - j → और i → + j → + k → के निर्देशांक क्रमशः (1; - 1; 0) और (1; 1; 1) हैं। मैट्रिक्स निर्धारक का उपयोग करके वेक्टर उत्पाद की लंबाई पाएं, फिर हमारे पास i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → है + 2 क → .

इसलिए, वेक्टर उत्पाद i → - j → × i → + j → + k → दिए गए समन्वय प्रणाली में निर्देशांक (- 1; - 1; 2) है।

हम सूत्र द्वारा वेक्टर उत्पाद की लंबाई पाते हैं (वेक्टर की लंबाई खोजने पर अनुभाग देखें): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

उत्तर: i → - j → × i → + j → + k → = 6। .

उदाहरण 4

तीन बिन्दुओं A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​, C (1 , 4 , 2) के निर्देशांक एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में दिए गए हैं। एक ही समय में A B → और AC → के लिए लंबवत कुछ सदिश ज्ञात कीजिए।

समाधान

सदिश A B → और A C → के निर्देशांक क्रमशः (- 1; 2; 2) और (0; 4; 1) हैं। सदिशों A B → और A C → का सदिश गुणनफल प्राप्त करने के बाद, यह स्पष्ट है कि परिभाषा के अनुसार यह A B → और A C → दोनों के लिए लंबवत सदिश है, अर्थात यह हमारी समस्या का समाधान है। इसे A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → ज्ञात कीजिए।

उत्तर: - 6 i → + j → - 4 k → . लम्बवत सदिशों में से एक है।

वैक्टर के वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करने पर तीसरे प्रकार की समस्याएं केंद्रित हैं। जिसे लगाने के बाद हमें दी गई समस्या का समाधान मिल जाएगा।

उदाहरण 5

सदिश a → और b → लंबवत हैं और उनकी लंबाई क्रमशः 3 और 4 है। क्रॉस उत्पाद की लंबाई पाएं 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

समाधान

सदिश गुणनफल के वितरण गुण से हम लिख सकते हैं 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

सहयोगीता की संपत्ति से, हम अंतिम अभिव्यक्ति में वेक्टर उत्पादों के संकेत से परे संख्यात्मक गुणांक निकालते हैं: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

वेक्टर उत्पाद a → × a → और b → × b → 0 के बराबर हैं, क्योंकि a → × a → = a → a → sin 0 = 0 और b → × b → = b → b → sin 0 = 0, फिर 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → । .

वेक्टर उत्पाद की एंटीकोमुटेटिविटी से यह निम्नानुसार है - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → । .

वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करते हुए, हम समानता 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → प्राप्त करते हैं।

शर्त के अनुसार, सदिश a → और b → लंबवत हैं, अर्थात, उनके बीच का कोण π 2 के बराबर है। अब यह केवल पाए गए मानों को संबंधित सूत्रों में बदलने के लिए बना हुआ है: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60।

उत्तर: 3 ए → - बी → × ए → - 2 बी → = 60।

परिभाषा के अनुसार वैक्टर के क्रॉस उत्पाद की लंबाई a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → है। चूँकि यह पहले से ही ज्ञात है (स्कूल के पाठ्यक्रम से) कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके दो भुजाओं की लंबाई के आधे उत्पाद के बराबर होता है, जो इन भुजाओं के बीच के कोण की ज्या से गुणा होता है। इसलिए, वेक्टर उत्पाद की लंबाई एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर है - एक दोगुना त्रिकोण, अर्थात्, वैक्टर के रूप में पक्षों का उत्पाद a → और b → , एक बिंदु से, साइन द्वारा निर्धारित उनके बीच के कोण sin ∠ a → , b → .

यह वेक्टर उत्पाद का ज्यामितीय अर्थ है।

वेक्टर उत्पाद का भौतिक अर्थ

यांत्रिकी में, भौतिकी की शाखाओं में से एक, वेक्टर उत्पाद के लिए धन्यवाद, आप अंतरिक्ष में एक बिंदु के सापेक्ष बल का क्षण निर्धारित कर सकते हैं।

परिभाषा 3

बल के क्षण के तहत F →, बिंदु B पर लागू, बिंदु A के सापेक्ष हम निम्नलिखित वेक्टर उत्पाद A B → × F → को समझेंगे।

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ऑनलाइन कैलकुलेटरवैक्टर के क्रॉस उत्पाद की गणना करता है। विस्तृत समाधान दिया गया है। वैक्टर के क्रॉस उत्पाद की गणना करने के लिए, कोशिकाओं में वैक्टर के निर्देशांक दर्ज करें और "गणना करें" पर क्लिक करें।

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डाटा एंट्री निर्देश।संख्याएँ पूर्ण संख्या (उदाहरण: 487, 5, -7623, आदि), दशमलव संख्या (जैसे 67., 102.54, आदि) या भिन्न के रूप में दर्ज की जाती हैं। भिन्न को a/b के रूप में टाइप किया जाना चाहिए, जहाँ a और b (b>0) पूर्णांक या दशमलव संख्याएँ हैं। उदाहरण 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, आदि।

वैक्टर का क्रॉस उत्पाद

सदिशों के सदिश गुणनफल की परिभाषा पर आगे बढ़ने से पहले, अवधारणाओं पर विचार करें सदिशों का तिगुना, सदिशों का बायाँ तिगुना, सदिशों का दायाँ तिगुना.

परिभाषा 1. तीन सदिश कहलाते हैं ट्रिपल का आदेश दिया(या ट्रिपल) यदि यह इंगित किया जाता है कि इनमें से कौन सा सदिश पहला है, कौन सा दूसरा है और कौन सा तीसरा है।

रिकॉर्डिंग cba- का अर्थ है - पहला एक सदिश है सी, दूसरा वेक्टर है बीऔर तीसरा वेक्टर है ए.

परिभाषा 2. गैर समतलीय सदिशों का एक तिगुना एबीसीदाएं (बाएं) कहा जाता है, जब एक सामान्य शुरुआत में कम हो जाता है, तो इन वैक्टरों को व्यवस्थित किया जाता है क्योंकि वे क्रमशः बड़े, असंतुलित सूचकांक और होते हैं बीच की उंगलियांदायां (बायां) हाथ।

परिभाषा 2 को दूसरे तरीके से तैयार किया जा सकता है।

परिभाषा 2. गैर समतलीय सदिशों का एक तिगुना एबीसीदायाँ (बायाँ) कहा जाता है, यदि, जब एक सामान्य मूल में घटाया जाता है, तो सदिश सीवेक्टर द्वारा परिभाषित विमान के दूसरी तरफ स्थित है एऔर बी, जहां से सबसे छोटा मोड़ आता है एको बीवामावर्त (दक्षिणावर्त) प्रदर्शन किया।

वेक्टर तिकड़ी एबीसीचित्र में दिखाया गया है। 1 सही और तिगुना है एबीसीचित्र में दिखाया गया है। 2 बाकी है।

यदि सदिशों के दो त्रिक दाएँ या बाएँ हैं, तो उन्हें समान अभिविन्यास कहा जाता है। अन्यथा, उन्हें विपरीत दिशा के कहा जाता है।

परिभाषा 3. एक कार्टेशियन या एफाइन कोऑर्डिनेट सिस्टम को राइट (लेफ्ट) कहा जाता है, अगर तीन आधार वैक्टर एक राइट (लेफ्ट) ट्रिपल बनाते हैं।

निश्चितता के लिए, निम्नलिखित में हम केवल दाएं हाथ की समन्वय प्रणाली पर विचार करेंगे।

परिभाषा 4। वेक्टर कलावेक्टर एप्रति वेक्टर बीवेक्टर कहा जाता है साथ, प्रतीक द्वारा निरूपित सी =[अब] (या सी =[ए, बी], या सी = ए × बी) और निम्नलिखित तीन आवश्यकताओं को पूरा करना:

• वेक्टर लंबाई साथसदिशों की लंबाई के गुणनफल के बराबर है एऔर बीकोण की साइन करने के लिए φ उन दोनों के बीच:

|सी|=|[अब]|=|ए||बी|sinφ;

(1)

• वेक्टर साथप्रत्येक वैक्टर के लिए ऑर्थोगोनल एऔर बी;
• वेक्टर सीनिर्देशित किया ताकि तीनों एबीसीसही है।

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद में निम्नलिखित गुण होते हैं:

• [अब]=−[बी ० ए] (प्रतिपरिवर्तनशीलताकारक);
• [(हाँ)बी]=λ [अब] (अनुकूलतासंख्यात्मक कारक के सापेक्ष);
• [(क+ख)सी]=[एसी]+[बीसी] (वितरणवैक्टर के योग के सापेक्ष);
• [आ]=0 किसी भी वेक्टर के लिए ए.

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद के ज्यामितीय गुण

प्रमेय 1। दो वैक्टर के संरेख होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनका वेक्टर उत्पाद शून्य के बराबर हो।

सबूत। आवश्यकता। चलो वैक्टर एऔर बीसंरेख। तब उनके बीच का कोण 0 या 180° और होता है sinφ=sin180=पाप 0=0। इसलिए, अभिव्यक्ति (1) को ध्यान में रखते हुए, वेक्टर की लंबाई सीशून्य के बराबर। तब सीअशक्त वेक्टर।

पर्याप्तता। चलो वैक्टर के क्रॉस उत्पाद एऔर बीएनएवी से शून्य: [ अब]=0। आइए हम साबित करें कि वैक्टर एऔर बीसंरेख। यदि कम से कम एक सदिश एऔर बीशून्य, तो ये सदिश समरेख हैं (क्योंकि शून्य सदिश की एक अनिश्चित दिशा होती है और इसे किसी भी सदिश के संरेख माना जा सकता है)।

यदि दोनों वैक्टर एऔर बीअशून्य, फिर | ए|>0, |बी|>0. फिर से [ अब]=0 और (1) से यह इस प्रकार है sinφ= 0। इसलिए वैक्टर एऔर बीसंरेख।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 2। वेक्टर उत्पाद की लंबाई (मापांक) [ अब] क्षेत्रफल के बराबर है एससदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज एक सामान्य मूल में घटाया गया एऔर बी.

सबूत। जैसा कि आप जानते हैं, एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल इस समांतर चतुर्भुज के आसन्न पक्षों के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है। इस तरह:

फिर इन वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद का रूप है:

पहली पंक्ति के तत्वों पर निर्धारक का विस्तार करते हुए, हम वेक्टर का अपघटन प्राप्त करते हैं ए × बीआधार मैं, जे, के, जो सूत्र (3) के बराबर है।

प्रमेय 3 की उपपत्ति। आधार सदिशों के सभी संभव युग्मों की रचना कीजिए मैं, जे, केऔर उनके वेक्टर उत्पाद की गणना करें। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि आधार वैक्टर परस्पर ओर्थोगोनल हैं, एक सही ट्रिपल बनाते हैं, और इकाई की लंबाई होती है (दूसरे शब्दों में, हम मान सकते हैं कि मैं={1, 0, 0}, जे={0, 1, 0}, क= (0, 0, 1))। तो हमारे पास हैं:

अंतिम समानता और संबंध (4) से, हम प्राप्त करते हैं:

एक 3×3 मैट्रिक्स की रचना करें, जिसकी पहली पंक्ति आधार वैक्टर हैं मैं, जे, के,और शेष पंक्तियाँ सदिशों के तत्वों से भरी हैं एऔर बी:

इस प्रकार, सदिशों के क्रॉस उत्पाद का परिणाम एऔर बीएक वेक्टर होगा:

.

उदाहरण 2. सदिशों का क्रॉस गुणनफल ज्ञात कीजिए [ अब], जहां वेक्टर एदो बिंदुओं द्वारा दर्शाया गया। सदिश a का प्रारंभिक बिंदु: , वेक्टर का अंत बिंदु ए: , वेक्टर बीरूप है .

हल। पहले सदिश को मूल बिंदु पर ले जाएँ। ऐसा करने के लिए, अंत बिंदु के संबंधित निर्देशांक से प्रारंभ बिंदु के निर्देशांक घटाएं:

हम इस मैट्रिक्स के निर्धारक की पहली पंक्ति में विस्तार करके इसकी गणना करते हैं। इन गणनाओं के परिणामस्वरूप, हमें सदिशों का सदिश गुणनफल प्राप्त होता है एऔर बी.

वेक्टर उत्पाददो कारकों द्वारा निर्मित विमान के लिए एक स्यूडोवेक्टर लंबवत है, जो त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वैक्टर पर बाइनरी ऑपरेशन "वेक्टर गुणन" का परिणाम है। वेक्टर उत्पाद में कम्यूटेटिविटी और एसोसिएटिविटी के गुण नहीं होते हैं (यह एंटीकॉम्यूटिव है) और, वैक्टर के स्केलर उत्पाद के विपरीत, एक वेक्टर है। कई तकनीकी और भौतिक अनुप्रयोगों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, कोणीय गति और लोरेंत्ज़ बल को गणितीय रूप से क्रॉस उत्पाद के रूप में लिखा जाता है। क्रॉस उत्पाद वैक्टरों की लंबवतता को "मापने" के लिए उपयोगी होता है - दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद का मापांक उनके लंबवत होने पर मॉड्यूल के उत्पाद के बराबर होता है, और वैक्टर समानांतर या समानांतर होने पर शून्य हो जाता है।

आप एक सदिश उत्पाद को विभिन्न तरीकों से परिभाषित कर सकते हैं, और सैद्धांतिक रूप से, किसी भी आयाम n के स्थान में, आप n-1 सदिशों के उत्पाद की गणना कर सकते हैं, जबकि उन सभी के लिए एक सदिश लंबवत प्राप्त कर सकते हैं। लेकिन यदि उत्पाद वेक्टर परिणामों के साथ गैर-तुच्छ बाइनरी उत्पादों तक सीमित है, तो पारंपरिक वेक्टर उत्पाद को केवल त्रि-आयामी और सात-आयामी स्थानों में परिभाषित किया जाता है। वेक्टर उत्पाद का परिणाम, स्केलर उत्पाद की तरह, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मीट्रिक पर निर्भर करता है।

त्रि-आयामी आयताकार समन्वय प्रणाली में वैक्टर के निर्देशांक से स्केलर उत्पाद की गणना के सूत्र के विपरीत, वेक्टर उत्पाद के लिए सूत्र आयताकार समन्वय प्रणाली के उन्मुखीकरण पर निर्भर करता है, या दूसरे शब्दों में, इसकी "चिरायता"।

परिभाषा:
अंतरिक्ष आर 3 में वेक्टर ए और वेक्टर बी के वेक्टर उत्पाद को वेक्टर सी कहा जाता है जो निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करता है:
सदिश c की लंबाई सदिशों a और b की लंबाई और उनके बीच के कोण φ की ज्या के गुणनफल के बराबर है:
|c|=|a||b|sin φ;
वेक्टर सी प्रत्येक वेक्टर ए और बी के लिए ऑर्थोगोनल है;
सदिश c को निर्देशित किया जाता है ताकि सदिशों abc का त्रिक सही हो;
स्थान R7 के मामले में, सदिशों a,b,c के त्रिगुण की साहचर्यता आवश्यक है।
पद का नाम:
सी === ए × बी

चावल। 1. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्रॉस उत्पाद के मापांक के बराबर होता है

क्रॉस उत्पाद के ज्यामितीय गुण:
दो शून्येतर सदिशों की संरेखता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त उनके सदिश गुणनफल की शून्य के बराबर समानता है।

क्रॉस उत्पाद मॉड्यूल क्षेत्रफल के बराबर एससदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज एक सामान्य मूल में घटाया गया एऔर बी(अंजीर देखें। 1)।

अगर इ- सदिशों के लिए इकाई सदिश ओर्थोगोनल एऔर बीऔर चुना ताकि ट्रिपल ए, बी, ई- ठीक है, और एस- उन पर निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र (एक सामान्य उत्पत्ति में घटाया गया), तो वेक्टर उत्पाद के लिए निम्न सूत्र सत्य है:
= एस ई

अंक 2। वैक्टर के वेक्टर और स्केलर उत्पाद का उपयोग करते समय समांतर चतुर्भुज की मात्रा; छितरी लकीर a × b पर सदिश c और b × c पर सदिश a के प्रक्षेपण दिखाएँ, पहला कदम आंतरिक उत्पादों को खोजना है

अगर सी- कोई वेक्टर π - कोई भी विमान जिसमें यह वेक्टर है, इ- विमान में पड़ी इकाई वेक्टर π और ओर्थोगोनल सी, जी- विमान के लिए यूनिट वेक्टर ऑर्थोगोनल π और निर्देशित किया ताकि वैक्टर का ट्रिपल ईसीजीसही है, फिर विमान में पड़े किसी भी व्यक्ति के लिए π वेक्टर एसही सूत्र है:
= पीआर ई ए | सी | जी
जहाँ Pr e a सदिश e का a पर प्रक्षेपण है
|c|-वेक्टर सी का मापांक

वेक्टर और स्केलर उत्पादों का उपयोग करते समय, आप एक सामान्य उत्पत्ति के लिए कम किए गए वैक्टरों पर बने समांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना कर सकते हैं ए, बीऔर सी. तीन वैक्टरों के ऐसे उत्पाद को मिश्रित कहा जाता है।
वी = | ए (बी × सी) |
आंकड़ा दिखाता है कि यह मात्रा दो तरीकों से पाई जा सकती है: "स्केलर" और "वेक्टर" उत्पादों के आदान-प्रदान होने पर भी ज्यामितीय परिणाम संरक्षित होता है:
वी=ए×बी सी=ए बी×सी

क्रॉस उत्पाद का मूल्य मूल वैक्टर के बीच कोण की साइन पर निर्भर करता है, इसलिए क्रॉस उत्पाद को वैक्टर की "लंबवत" डिग्री के रूप में माना जा सकता है, जैसे डॉट उत्पाद को डिग्री के रूप में माना जा सकता है "समानता"। दो इकाई वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद 1 (एक इकाई वेक्टर) के बराबर होता है यदि प्रारंभिक वैक्टर लंबवत होते हैं, और 0 (शून्य वेक्टर) के बराबर होते हैं यदि वैक्टर समानांतर या विपरीत होते हैं।

कार्टेशियन निर्देशांक में क्रॉस उत्पाद अभिव्यक्ति
यदि दो सदिश एऔर बीउनके आयताकार कार्टेशियन निर्देशांक द्वारा परिभाषित किया गया है, या अधिक सटीक रूप से, उन्हें एक असामान्य आधार पर दर्शाया गया है
ए = (ए एक्स, ए वाई, ए जेड)
बी = (बी एक्स, बी वाई, बी जेड)
और समन्वय प्रणाली सही है, तो उनके वेक्टर उत्पाद का रूप है
= (ए वाई बी जेड -ए जेड बी वाई, ए जेड बी एक्स -ए एक्स बी जेड, ए एक्स बी वाई -ए वाई बी एक्स)
इस सूत्र को याद करने के लिए:
मैं =∑ε ijk a j b k
कहाँ ठीक है- लेवी-सिविता का प्रतीक।

इस पाठ में, हम सदिशों के साथ दो और संक्रियाओं को देखेंगे: वैक्टर का क्रॉस उत्पादऔर वैक्टर का मिश्रित उत्पाद (जिन्हें इसकी आवश्यकता है उनके लिए तत्काल लिंक). यह ठीक है, कभी-कभी ऐसा होता है कि पूर्ण सुख के लिए भी वैक्टर का डॉट उत्पादअधिक से अधिक की जरूरत है। ऐसी है वेक्टर एडिक्शन। किसी को यह आभास हो सकता है कि हम विश्लेषणात्मक ज्यामिति के जंगल में जा रहे हैं। यह गलत है। उच्च गणित के इस खंड में आमतौर पर बहुत कम जलाऊ लकड़ी होती है, सिवाय शायद पिनोचियो के लिए। वास्तव में, सामग्री बहुत ही सामान्य और सरल है - शायद ही उससे अधिक कठिन हो अदिश उत्पाद, यहां तक ​​कि कम विशिष्ट कार्य भी होंगे। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में मुख्य बात, जैसा कि बहुत से लोग देखेंगे या पहले ही देख चुके हैं, गलत गणना नहीं है। एक जादू की तरह दोहराएं, और आप खुश होंगे =)

यदि वेक्टर कहीं दूर चमकते हैं, जैसे क्षितिज पर बिजली, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, पाठ से शुरू करें डमी के लिए वैक्टरवैक्टर के बारे में बुनियादी ज्ञान को पुनर्स्थापित करने या पुनः प्राप्त करने के लिए। अधिक तैयार पाठक चुनिंदा जानकारी से परिचित हो सकते हैं, मैंने उन उदाहरणों का सबसे पूरा संग्रह एकत्र करने की कोशिश की जो अक्सर पाए जाते हैं व्यावहारिक कार्य

आपको क्या खुश करेगा? जब मैं छोटा था, तो मैं दो या तीन गेंदों को भी हथकंडा दे सकता था। इसने अच्छा काम किया। अब हथकंडा करने की बिल्कुल जरूरत नहीं है, क्योंकि हम विचार करेंगे केवल अंतरिक्ष वैक्टर, और दो निर्देशांक वाले समतल सदिशों को छोड़ दिया जाएगा। क्यों? इस प्रकार इन क्रियाओं का जन्म हुआ - वैक्टर के वेक्टर और मिश्रित उत्पाद परिभाषित होते हैं और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में काम करते हैं। पहले से आसान!

इस ऑपरेशन में, उसी तरह जैसे स्केलर उत्पाद में, दो वैक्टर. इसे अविनाशी अक्षर होने दो।

कार्रवाई ही लक्षितइस अनुसार: । अन्य विकल्प भी हैं, लेकिन मैं इस तरह से वैक्टर के क्रॉस उत्पाद को एक क्रॉस के साथ वर्ग कोष्ठक में नामित करने के लिए उपयोग किया जाता हूं।

और तुरंत सवाल: मैं फ़िन वैक्टर का डॉट उत्पाददो वैक्टर शामिल हैं, और यहां दो वैक्टर भी गुणा किए जाते हैं क्या अंतर है? एक स्पष्ट अंतर, सबसे पहले, परिणाम में:

सदिशों के अदिश गुणनफल का परिणाम एक NUMBER है:

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद का नतीजा एक वेक्टर है: अर्थात, हम सदिशों को गुणा करते हैं और पुन: सदिश प्राप्त करते हैं। बंद क्लब। दरअसल, इसलिए ऑपरेशन का नाम। कई जगहों पर शैक्षिक साहित्यअंकन भी भिन्न हो सकता है, मैं पत्र का उपयोग करूंगा।

क्रॉस उत्पाद की परिभाषा

पहले चित्र के साथ परिभाषा होगी, फिर टिप्पणियाँ होंगी।

परिभाषा: पार उत्पाद गैर समरेखवैक्टर, इस क्रम में लिया, वेक्टर कहा जाता है, लंबाईजो संख्यात्मक रूप से है समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर, इन सदिशों पर निर्मित; वेक्टर वैक्टर के लिए ऑर्थोगोनल, और निर्देशित किया जाता है ताकि आधार का सही अभिविन्यास हो:

हम हड्डियों द्वारा परिभाषा का विश्लेषण करते हैं, बहुत सारी दिलचस्प बातें हैं!

तो, हम निम्नलिखित महत्वपूर्ण बिंदुओं को उजागर कर सकते हैं:

1) स्रोत सदिश , परिभाषा के अनुसार, लाल तीरों द्वारा दर्शाया गया है संरेख नहीं. संरेख सदिशों के मामले पर थोड़ी देर बाद विचार करना उचित होगा।

2) वैक्टर लिए गए सख्ती से निश्चित आदेश : – "ए" को "बी" से गुणा किया जाता है, "हो" से "ए" नहीं। सदिश गुणन का परिणाम VECTOR है, जिसे नीले रंग से दर्शाया गया है। यदि सदिशों को उल्टे क्रम में गुणा किया जाता है, तो हमें लम्बाई में बराबर और दिशा में विपरीत (लाल रंग) सदिश मिलता है। यानी समता .

3) आइए अब सदिश गुणनफल के ज्यामितीय अर्थ से परिचित हों। यह एक बहुत महत्वपूर्ण मुद्दा है! नीले वेक्टर की लंबाई (और, इसलिए, क्रिमसन वेक्टर) संख्यात्मक रूप से वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है। चित्र में, इस समांतर चतुर्भुज को काले रंग से छायांकित किया गया है।

टिप्पणी : ड्राइंग योजनाबद्ध है, और निश्चित रूप से, क्रॉस उत्पाद की नाममात्र लंबाई समानांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर नहीं है।

हम ज्यामितीय सूत्रों में से एक को याद करते हैं: एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है. इसलिए, पूर्वगामी के आधार पर, वेक्टर उत्पाद की लंबाई की गणना करने का सूत्र मान्य है:

मैं इस बात पर जोर देता हूं कि सूत्र में हम वेक्टर की लंबाई के बारे में बात कर रहे हैं, न कि वेक्टर के बारे में। व्यावहारिक अर्थ क्या है? और अर्थ ऐसा है कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं में, एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र अक्सर एक सदिश उत्पाद की अवधारणा के माध्यम से पाया जाता है:

हमें दूसरा महत्वपूर्ण सूत्र मिलता है। समांतर चतुर्भुज (लाल बिंदीदार रेखा) का विकर्ण इसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए, वैक्टर (लाल छायांकन) पर निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

4) से कम नहीं महत्वपूर्ण तथ्ययह है कि वेक्टर वैक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है, अर्थात, . बेशक, विपरीत रूप से निर्देशित वेक्टर (क्रिमसन एरो) भी मूल वैक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है।

5) वेक्टर को निर्देशित किया जाता है ताकि आधारयह है सहीअभिविन्यास। के बारे में एक पाठ में एक नए आधार पर संक्रमणके बारे में विस्तार से बता चुका हूं विमान अभिविन्यास, और अब हम यह पता लगाएंगे कि अंतरिक्ष का अभिविन्यास क्या है। मैं आपकी उंगलियों पर समझाऊंगा दांया हाथ. मानसिक रूप से गठबंधन करें तर्जनी अंगुली वेक्टर के साथ और बीच की ऊँगलीवेक्टर के साथ। अनामिका और कनिष्ठिकाअपनी हथेली में दबाएं। नतीजतन अँगूठा- वेक्टर उत्पाद दिखेगा। यह सही-उन्मुख आधार है (यह चित्र में है)। अब सदिशों की अदला-बदली करें ( तर्जनी और मध्यमा) कुछ स्थानों पर, अंगूठा घूम जाएगा, और वेक्टर उत्पाद पहले से ही नीचे दिखेगा। यह भी एक दक्षिणपंथी आधार है। शायद आपके पास एक प्रश्न है: वामपंथी अभिविन्यास किस आधार पर है? "असाइन करें" एक ही उंगलियां बायां हाथ vectors , और बायाँ आधार और बायाँ स्थान अभिविन्यास प्राप्त करें (इस स्थिति में, अंगूठा निचले सदिश की दिशा में स्थित होगा). आलंकारिक रूप से बोलते हुए, ये आधार अलग-अलग दिशाओं में "मोड़" या उन्मुख स्थान हैं। और इस अवधारणा को कुछ दूर की कौड़ी या सार नहीं माना जाना चाहिए - उदाहरण के लिए, सबसे साधारण दर्पण अंतरिक्ष के उन्मुखीकरण को बदलता है, और यदि आप "प्रतिबिंबित वस्तु को दर्पण से बाहर खींचते हैं", तो सामान्य तौर पर यह संभव नहीं होगा इसे "मूल" के साथ मिलाएं। वैसे, तीन अंगुलियों को दर्पण में लाएं और प्रतिबिंब का विश्लेषण करें ;-)

... यह कितना अच्छा है कि अब आप इसके बारे में जान गए हैं दाएं और बाएं उन्मुखआधार, क्योंकि अभिविन्यास परिवर्तन के बारे में कुछ व्याख्याताओं के बयान भयानक हैं =)

संरेख सदिशों का सदिश उत्पाद

परिभाषा पर विस्तार से काम किया गया है, यह पता लगाना बाकी है कि जब वैक्टर संरेख होते हैं तो क्या होता है। यदि सदिश समरेख हैं, तो उन्हें एक सीधी रेखा पर रखा जा सकता है और हमारा समांतर चतुर्भुज भी एक सीधी रेखा में "गुना" होता है। ऐसा क्षेत्र, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, पतितसमानांतर चतुर्भुज शून्य है। सूत्र से भी यही होता है - शून्य या 180 डिग्री की ज्या शून्य के बराबर होती है, जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल शून्य है

इस प्रकार, यदि, तब और . कृपया ध्यान दें कि क्रॉस उत्पाद स्वयं शून्य वेक्टर के बराबर है, लेकिन व्यवहार में इसे अक्सर उपेक्षित किया जाता है और लिखा जाता है कि यह भी शून्य के बराबर है।

विशेष मामलाएक वेक्टर और स्वयं का क्रॉस उत्पाद है:

क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके, आप त्रि-आयामी वैक्टर की संपार्श्विकता की जांच कर सकते हैं, और हम इस समस्या का विश्लेषण भी करेंगे।

व्यावहारिक उदाहरणों को हल करने के लिए यह आवश्यक हो सकता है त्रिकोणमितीय तालिकाइससे ज्या के मूल्यों का पता लगाने के लिए।

खैर, आग लगाओ:

उदाहरण 1

ए) वैक्टर के वेक्टर उत्पाद की लंबाई पाएं यदि

ख) सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि

समाधान: नहीं, यह कोई टाइपो नहीं है, मैंने जानबूझकर प्रारंभिक डेटा को स्थिति में समान बनाया है। क्योंकि समाधानों का डिज़ाइन अलग होगा!

a) स्थिति के अनुसार, इसे खोजना आवश्यक है लंबाईवेक्टर (वेक्टर उत्पाद)। संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

चूंकि यह लंबाई के बारे में पूछा गया था, तो उत्तर में हम आयाम - इकाइयों का संकेत देते हैं।

b) स्थिति के अनुसार, इसे खोजना आवश्यक है वर्गवैक्टर पर निर्मित समांतर चतुर्भुज। इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से क्रॉस उत्पाद की लंबाई के बराबर है:

उत्तर:

कृपया ध्यान दें कि वेक्टर उत्पाद के उत्तर में कोई बात नहीं है, जिसके बारे में हमसे पूछा गया था आंकड़ा क्षेत्र, क्रमशः, आयाम वर्ग इकाई है।

हम हमेशा देखते हैं कि स्थिति के अनुसार क्या खोजना आवश्यक है, और इसके आधार पर, हम तैयार करते हैं साफ़उत्तर। यह शाब्दिक प्रतीत हो सकता है, लेकिन शिक्षकों के बीच पर्याप्त साहित्यकार हैं, और अच्छे अवसरों वाले कार्य को संशोधन के लिए वापस कर दिया जाएगा। यद्यपि यह विशेष रूप से तनावपूर्ण नाइटपिक नहीं है - यदि उत्तर गलत है, तो किसी को यह आभास हो जाता है कि व्यक्ति साधारण चीजों को नहीं समझता है और / या कार्य के सार को नहीं समझा है। उच्च गणित और अन्य विषयों में भी किसी भी समस्या को हल करते हुए इस क्षण को हमेशा नियंत्रण में रखना चाहिए।

बड़ा अक्षर "एन" कहाँ गया? सिद्धांत रूप में, यह अतिरिक्त रूप से समाधान के लिए अटका हो सकता है, लेकिन रिकॉर्ड को छोटा करने के लिए, मैंने नहीं किया। मुझे आशा है कि हर कोई इसे समझता है और एक ही चीज़ का पदनाम है।

डू-इट-खुद समाधान के लिए एक लोकप्रिय उदाहरण:

उदाहरण 2

यदि सदिशों पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

वेक्टर उत्पाद के माध्यम से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र टिप्पणियों में परिभाषा में दिया गया है। पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

व्यवहार में, कार्य वास्तव में बहुत सामान्य है, त्रिभुजों को आमतौर पर प्रताड़ित किया जा सकता है।

अन्य समस्याओं को हल करने के लिए, हमें चाहिए:

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद के गुण

हमने वेक्टर उत्पाद के कुछ गुणों पर पहले ही विचार कर लिया है, हालाँकि, मैं उन्हें इस सूची में शामिल करूँगा।

मनमाना वैक्टर और मनमाना संख्या के लिए, निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

1) जानकारी के अन्य स्रोतों में, यह आइटम आमतौर पर गुणों में प्रतिष्ठित नहीं है, लेकिन यह व्यावहारिक रूप से बहुत महत्वपूर्ण है। तो रहने दो।

2) - संपत्ति की भी चर्चा ऊपर की गई है, कभी-कभी इसे कहा जाता है anticommutativity. दूसरे शब्दों में, सदिशों का क्रम मायने रखता है।

3) - संयोजन या जोड़नेवालावेक्टर उत्पाद कानून। सदिश उत्पाद की सीमा से स्थिरांक आसानी से निकाल लिए जाते हैं। वास्तव में, वे वहाँ क्या कर रहे हैं?

4) - वितरण या वितरणवेक्टर उत्पाद कानून। कोष्ठक खोलने में भी कोई समस्या नहीं है।

एक प्रदर्शन के रूप में, एक संक्षिप्त उदाहरण पर विचार करें:

उदाहरण 3

अगर खोजो

समाधान:शर्त के अनुसार, सदिश उत्पाद की लंबाई का पता लगाना फिर से आवश्यक है। आइए हमारे लघुचित्र को पेंट करें:

(1) साहचर्य कानूनों के अनुसार, हम वेक्टर उत्पाद की सीमा से परे स्थिरांक निकालते हैं।

(2) हम मॉड्यूल से स्थिरांक निकालते हैं, जबकि मॉड्यूल माइनस साइन को "खा" देता है। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।

(3) जो आगे है वह स्पष्ट है।

उत्तर:

आग पर लकड़ी फेंकने का समय आ गया है:

उदाहरण 4

सदिशों पर निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें यदि

समाधान: सूत्र की सहायता से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए . रोड़ा यह है कि वैक्टर "सीई" और "टी" स्वयं वैक्टर के योग के रूप में दर्शाए जाते हैं। यहाँ एल्गोरिथ्म मानक है और कुछ हद तक पाठ के उदाहरण संख्या 3 और 4 की याद दिलाता है। वैक्टर का डॉट उत्पाद. आइए इसे स्पष्टता के लिए तीन चरणों में विभाजित करें:

1) पहले चरण में, हम वेक्टर उत्पाद को वेक्टर उत्पाद के माध्यम से व्यक्त करते हैं, वास्तव में, वेक्टर को वेक्टर के संदर्भ में व्यक्त करें. लंबाई पर अभी तक कोई शब्द नहीं!

(1) हम सदिशों के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हैं।

(2) वितरणात्मक नियमों का प्रयोग करते हुए, बहुपदों के गुणन के नियम के अनुसार कोष्ठक खोलिए।

(3) साहचर्य कानूनों का उपयोग करते हुए, हम वेक्टर उत्पादों से परे सभी स्थिरांक निकालते हैं। थोड़े से अनुभव के साथ, क्रियाएं 2 और 3 एक साथ की जा सकती हैं।

(4) सुखद संपत्ति के कारण पहला और अंतिम पद शून्य (शून्य वेक्टर) के बराबर है। दूसरे कार्यकाल में, हम सदिश उत्पाद के एंटीकॉम्यूटिविटी गुण का उपयोग करते हैं:

(5) हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।

नतीजतन, वेक्टर एक वेक्टर के माध्यम से व्यक्त किया गया, जिसे प्राप्त करने की आवश्यकता थी:

2) दूसरे चरण में, हमें आवश्यक वेक्टर उत्पाद की लंबाई का पता चलता है। यह क्रिया उदाहरण 3 के समान है:

3) वांछित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

समाधान के चरण 2-3 को एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जा सकता है।

उत्तर:

माना समस्या काफी आम है नियंत्रण कार्य, यहां स्वयं करें समाधान का एक उदाहरण दिया गया है:

उदाहरण 5

अगर खोजो

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर। आइए देखें कि पिछले उदाहरणों का अध्ययन करते समय आप कितने चौकस थे ;-)

निर्देशांक में वैक्टर का क्रॉस उत्पाद

, ऑर्थोनॉर्मल आधार पर दिया गया है, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है:

सूत्र वास्तव में सरल है: हम निर्धारक की शीर्ष पंक्ति में निर्देशांक वैक्टर लिखते हैं, हम दूसरी और तीसरी पंक्तियों में वैक्टर के निर्देशांक को "पैक" करते हैं, और हम डालते हैं सख्त क्रम में- पहले, वेक्टर "ve" के निर्देशांक, फिर वेक्टर "डबल-ve" के निर्देशांक। यदि वैक्टर को एक अलग क्रम में गुणा करने की आवश्यकता है, तो लाइनों की अदला-बदली भी की जानी चाहिए:

उदाहरण 10

जांचें कि क्या निम्नलिखित अंतरिक्ष वैक्टर संरेख हैं:
ए)
बी)

समाधान: परीक्षण इस पाठ में दिए गए कथनों में से एक पर आधारित है: यदि सदिश समरेख हैं, तो उनका क्रॉस उत्पाद शून्य (शून्य सदिश) है: .

ए) वेक्टर उत्पाद खोजें:

इसलिए सदिश समरेख नहीं हैं।

बी) वेक्टर उत्पाद खोजें:

उत्तर: ए) समरेख नहीं, बी)

यहाँ, शायद, सदिशों के सदिश गुणनफल के बारे में सभी बुनियादी जानकारी है।

यह खंड बहुत बड़ा नहीं होगा, क्योंकि कुछ समस्याएँ हैं जहाँ सदिशों के मिश्रित उत्पाद का उपयोग किया जाता है। वास्तव में, सब कुछ परिभाषा, ज्यामितीय अर्थ और कुछ कामकाजी सूत्रों पर आधारित होगा।

सदिशों का मिश्रित गुणनफल है तीन का उत्पादवैक्टर:

इस तरह वे एक ट्रेन की तरह खड़े होते हैं और प्रतीक्षा करते हैं, जब तक उनकी गणना नहीं हो जाती तब तक वे प्रतीक्षा नहीं कर सकते।

पहले फिर से परिभाषा और चित्र:

परिभाषा: मिश्रित उत्पाद गैर समतलीयवैक्टर, इस क्रम में लिया, कहा जाता है समांतर चतुर्भुज की मात्रा, इन सदिशों पर निर्मित, यदि आधार सही है तो "+" चिह्न और आधार छोड़े जाने पर "-" चिन्ह से सुसज्जित है।

चलो ड्राइंग करते हैं। हमारे लिए अदृश्य रेखाएँ बिंदीदार रेखा द्वारा खींची जाती हैं:

आइए परिभाषा में गोता लगाएँ:

2) वैक्टर लिए गए एक निश्चित क्रम में, अर्थात्, उत्पाद में वैक्टर का क्रमचय, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, परिणाम के बिना नहीं जाता है।

3) ज्यामितीय अर्थ पर टिप्पणी करने से पहले, मैं स्पष्ट तथ्य पर ध्यान दूंगा: सदिशों का मिश्रित गुणनफल एक NUMBER है: . शैक्षिक साहित्य में, डिजाइन कुछ अलग हो सकता है, मैं एक मिश्रित उत्पाद को नामित करता था, और "पे" अक्षर के साथ गणना का परिणाम।

ए-प्राथमिकता मिश्रित उत्पाद समांतर चतुर्भुज का आयतन है, वैक्टर पर निर्मित (आकृति लाल वैक्टर और काली रेखाओं के साथ खींची गई है)। अर्थात्, संख्या दिए गए समांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर है।

टिप्पणी : आरेखण योजनाबद्ध है।

4) आइए फिर से आधार और स्थान के उन्मुखीकरण की अवधारणा से परेशान न हों। अंतिम भाग का अर्थ यह है कि वॉल्यूम में माइनस साइन जोड़ा जा सकता है। सरल शब्दों में, मिश्रित उत्पाद नकारात्मक हो सकता है: .

सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के आयतन की गणना करने का सूत्र सीधे परिभाषा से अनुसरण करता है।

वैक्टर के बीच का कोण

हमारे लिए दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद की अवधारणा को पेश करने के लिए, हमें पहले इन वैक्टरों के बीच के कोण जैसी अवधारणा से निपटना होगा।

हमें दो वैक्टर $\overline(α)$ और $\overline(β)$ दिए जाएं। आइए हम अंतरिक्ष में कुछ बिंदु $O$ लेते हैं और वैक्टर $\overline(α)=\overline(OA)$ और $\overline(β)=\overline(OB)$ को इससे अलग करते हैं, फिर कोण $AOB $ को इन वैक्टरों के बीच का कोण कहा जाएगा (चित्र 1)।

संकेतन: $∠(\overline(α),\overline(β))$

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद की अवधारणा और खोजने का सूत्र

परिभाषा 1

दो वैक्टरों का वेक्टर उत्पाद दोनों दिए गए वैक्टरों के लिए एक लंबवत वेक्टर है, और इसकी लंबाई इन वैक्टरों की लंबाई के उत्पाद के बराबर होगी, इन वैक्टरों के बीच कोण की साइन के साथ, और इस वेक्टर में दो प्रारंभिक वाले समान हैं कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के रूप में अभिविन्यास।

नोटेशन: $\overline(α)х\overline(β)$।

गणितीय रूप से ऐसा दिखता है:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ और $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ हैं समान उन्मुख (चित्र 2)

जाहिर है, वैक्टर का बाहरी उत्पाद दो मामलों में शून्य वेक्टर के बराबर होगा:

1. यदि एक या दोनों सदिशों की लंबाई शून्य है।
2. यदि इन वैक्टरों के बीच का कोण $180^\circ$ या $0^\circ$ के बराबर है (क्योंकि इस मामले में ज्या शून्य के बराबर है)।

स्पष्ट रूप से देखने के लिए कि सदिशों का क्रॉस उत्पाद कैसे पाया जाता है, निम्नलिखित समाधान उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1

वेक्टर $\overline(δ)$ की लंबाई ज्ञात करें, जो निर्देशांक $\overline(α)=(0,4,0)$ और $\overline(β) के साथ वैक्टर के क्रॉस उत्पाद का परिणाम होगा। =(3,0,0 )$।

समाधान.

आइए इन वैक्टरों को कार्टेशियन समन्वय स्थान (चित्र 3) में चित्रित करें:

चित्रा 3. कार्टेशियन समन्वय अंतरिक्ष में वैक्टर। लेखक24 - छात्र पत्रों का ऑनलाइन आदान-प्रदान

हम देखते हैं कि ये वैक्टर क्रमशः ऑक्स और ओए कुल्हाड़ियों पर स्थित हैं। इसलिए, उनके बीच का कोण $90^\circ$ के बराबर होगा। आइए इन सदिशों की लंबाई ज्ञात करें:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

फिर, परिभाषा 1 के अनुसार, हमें मॉड्यूल $|\overline(δ)|$ प्राप्त होता है

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

उत्तर: $12$।

वैक्टर के निर्देशांक द्वारा क्रॉस उत्पाद की गणना

परिभाषा 1 तुरंत दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद को खोजने का एक तरीका बताता है। चूंकि एक सदिश, एक मूल्य के अतिरिक्त, एक दिशा भी है, इसे केवल एक अदिश मान का उपयोग करके खोजना असंभव है। लेकिन इसके अलावा, निर्देशांक का उपयोग करके हमें दिए गए वैक्टर को खोजने का एक और तरीका है।

हमें वैक्टर $\overline(α)$ और $\overline(β)$ दिए जाएं, जिसमें क्रमशः $(α_1,α_2,α_3)$ और $(β_1,β_2,β_3)$ निर्देशांक होंगे। फिर क्रॉस उत्पाद का वेक्टर (अर्थात्, इसके निर्देशांक) निम्न सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

अन्यथा, निर्धारक का विस्तार करते हुए, हम निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

उदाहरण 2

निर्देशांक $(0,3,3)$ और $(-1,2,6)$ के साथ कोलीनियर वैक्टर $\overline(α)$ और $\overline(β)$ के क्रॉस उत्पाद के वेक्टर का पता लगाएं।

समाधान.

आइए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करें। पाना

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

उत्तर: $(12,-3,3)$।

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद के गुण

मनमाने ढंग से मिश्रित तीन वैक्टर $\overline(α)$, $\overline(β)$ और $\overline(γ)$, साथ ही $r∈R$ के लिए, निम्नलिखित गुण हैं:

उदाहरण 3

उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ और $(3,8,0) हैं $।

समाधान.

सबसे पहले, इस समांतर चतुर्भुज को निर्देशांक स्थान में खींचें (चित्र 5):

चित्र 5. निर्देशांक स्थान में समांतर चतुर्भुज। लेखक24 - छात्र पत्रों का ऑनलाइन आदान-प्रदान

हम देखते हैं कि इस समांतर चतुर्भुज के दो पक्षों को निर्देशांक $\overline(α)=(3,0,0)$ और $\overline(β)=(0,8,0)$ के साथ कोलीनियर वैक्टर का उपयोग करके बनाया गया है। चौथी संपत्ति का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

वेक्टर खोजें $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

इस तरह

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$