एक परिबद्ध बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे प्राप्त करें? एक समारोह के ग्राफ की जांच।

इस लेख में मैं इस बारे में बात करूंगा कि किसी फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए खोजने की क्षमता को कैसे लागू किया जाए: इसकी सबसे बड़ी खोज करने के लिए या सबसे छोटा मूल्य. और फिर हम टास्क बी15 से कुछ समस्याओं का समाधान करेंगे खुला बैंकके लिए कार्य।

हमेशा की तरह, पहले सिद्धांत से शुरू करते हैं।

किसी फलन के अध्ययन के प्रारंभ में हम उसे पाते हैं

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि फ़ंक्शन किस अंतराल पर बढ़ता है और किस पर घटता है।

ऐसा करने के लिए, आपको फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने और इसके निरंतर चिह्न के अंतराल का अध्ययन करने की आवश्यकता है, अर्थात, जिस अंतराल पर व्युत्पन्न अपना चिह्न बनाए रखता है।

वे अंतराल जिन पर किसी फलन का अवकलज धनात्मक होता है, वर्धमान फलन के अंतराल होते हैं।

वे अंतराल जिन पर किसी फलन का अवकलज ऋणात्मक होता है, अवरोही फलन के अंतराल होते हैं।

1। आइए कार्य B15 (संख्या 245184) को हल करें

इसे हल करने के लिए, हम निम्नलिखित एल्गोरिथम का पालन करेंगे:

ए) फ़ंक्शन के डोमेन का पता लगाएं

बी) समारोह के व्युत्पन्न का पता लगाएं।

c) इसे शून्य के बराबर सेट करें।

घ) आइए फलन के अचर चिह्न के अंतरालों का पता लगाएं।

ई) वह बिंदु खोजें जिस पर फ़ंक्शन सबसे बड़ा मान लेता है।

च) इस बिंदु पर फलन का मान ज्ञात कीजिए।

मैं इस कार्य का विस्तृत समाधान VIDEO LESSON में बताता हूँ:

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फ़ायरफ़ॉक्स

2. आइए कार्य B15 (संख्या 282862) को हल करें

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर

यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन अधिकतम बिंदु पर x = 2 पर सेगमेंट पर सबसे बड़ा मान लेता है। इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें:

उत्तर: 5

3। आइए कार्य B15 (संख्या 245180) को हल करें:

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें

1.शीर्षक="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. मूल फ़ंक्शन के दायरे के बाद से title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. पर अंश शून्य है। आइए देखें कि क्या ODZ फ़ंक्शन से संबंधित है। ऐसा करने के लिए, जांचें कि क्या शर्त शीर्षक="4-2x-x^2>0"> при .!}

शीर्षक="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

इसलिए बिंदु फ़ंक्शन के ODZ से संबंधित है

हम बिंदु के दाएं और बाएं व्युत्पन्न के चिह्न की जांच करते हैं:

हम देखते हैं कि फ़ंक्शन बिंदु पर सबसे बड़ा मान लेता है। अब आइए फंक्शन का मान ज्ञात करें:

नोट 1. ध्यान दें कि इस समस्या में हमें फ़ंक्शन का डोमेन नहीं मिला: हमने केवल बाधाओं को ठीक किया और जाँच की कि क्या वह बिंदु जिस पर डेरिवेटिव शून्य के बराबर है, फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित है। इस समस्या में, यह काफी निकला। हालांकि, यह मामला हमेशा नहीं होता है। यह कार्य पर निर्भर करता है।

टिप्पणी 2. किसी जटिल फलन के व्यवहार का अध्ययन करते समय, निम्नलिखित नियम का उपयोग किया जा सकता है:

• यदि किसी यौगिक फलन का बाहरी फलन बढ़ रहा है, तो फलन उसी बिंदु पर अपना सबसे बड़ा मान लेता है जिस पर आंतरिक फलन अपना सबसे बड़ा मान लेता है। यह एक वर्धमान फलन की परिभाषा से अनुसरण करता है: एक फलन अंतराल I पर बढ़ता है यदि अधिक मूल्यइस अंतराल से एक तर्क फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है।
• यदि एक जटिल फ़ंक्शन का बाहरी फ़ंक्शन घट रहा है, तो फ़ंक्शन उसी बिंदु पर सबसे बड़ा मान लेता है जिस पर आंतरिक फ़ंक्शन सबसे छोटा मान लेता है . यह घटते हुए फ़ंक्शन की परिभाषा से आता है: अंतराल I पर फ़ंक्शन घटता है यदि इस अंतराल से तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है

हमारे उदाहरण में, बाहरी कार्य - परिभाषा के पूरे डोमेन पर बढ़ता है। लघुगणक के चिन्ह के नीचे एक अभिव्यक्ति है - एक वर्ग त्रिपद, जो एक नकारात्मक वरिष्ठ गुणांक के साथ, बिंदु पर सबसे बड़ा मान लेता है . अगला, हम x के इस मान को फ़ंक्शन के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसका सबसे बड़ा मूल्य पाएं।

फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ को कुछ सीमित बंद डोमेन $D$ में परिभाषित और निरंतर होने दें। के लिए इस क्षेत्र में चलो दिया गया कार्यपहले क्रम के सीमित आंशिक डेरिवेटिव हैं (बिंदुओं की सीमित संख्या के संभावित अपवाद के साथ)। किसी दिए गए बंद क्षेत्र में दो चर के एक समारोह के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए, एक सरल एल्गोरिथ्म के तीन चरणों की आवश्यकता होती है।

क्लोज्ड डोमेन $D$ में फंक्शन $z=f(x,y)$ के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों को खोजने के लिए एल्गोरिथम।

1. फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें जो $D$ क्षेत्र से संबंधित हैं। महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की गणना करें।
2. संभावित अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बिंदुओं को ढूंढकर $D$ क्षेत्र की सीमा पर फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ के व्यवहार की जांच करें। प्राप्त बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की गणना करें।
3. पिछले दो पैराग्राफ में प्राप्त फ़ंक्शन मानों में से, सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।

महत्वपूर्ण बिंदु क्या हैं? छिपा हुया दिखाओ

अंतर्गत महत्वपूर्ण बिंदुउन बिंदुओं को इंगित करें जहां दोनों प्रथम-क्रम आंशिक डेरिवेटिव शून्य के बराबर हैं (यानी $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ और $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) या कम से कम एक आंशिक डेरिवेटिव मौजूद नहीं है।

प्रायः वे बिंदु जिन पर प्रथम कोटि के आंशिक डेरिवेटिव शून्य के बराबर होते हैं, कहलाते हैं स्थिर बिंदु. इस प्रकार, स्थिर बिंदु महत्वपूर्ण बिंदुओं का एक सबसेट हैं।

उदाहरण 1

फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें $z=x^2+2xy-y^2-4x$ लाइनों से बंधे बंद क्षेत्र में $x=3$, $y=0$ तथा $y=x +1$।

हम उपरोक्त का पालन करेंगे, लेकिन पहले हम किसी दिए गए क्षेत्र के आरेखण से निपटेंगे, जिसे हम $D$ अक्षर से निरूपित करेंगे। हमें तीन सीधी रेखाओं के समीकरण दिए गए हैं, जो इस क्षेत्र को सीमित करती हैं। सीधी रेखा $x=3$ y-अक्ष (अक्ष Oy) के समानांतर बिंदु $(3;0)$ से होकर गुजरती है। सीधी रेखा $y=0$ भुज अक्ष (बैल अक्ष) का समीकरण है। ठीक है, एक सीधी रेखा $y=x+1$ बनाने के लिए आइए दो बिंदुओं को खोजें जिसके माध्यम से हम इस सीधी रेखा को खींचते हैं। आप निश्चित रूप से $x$ के बजाय कुछ मनमाने मूल्यों को स्थानापन्न कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, $x=10$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: $y=x+1=10+1=11$। हमने बिंदु $(10;11)$ को रेखा $y=x+1$ पर स्थित पाया है। हालांकि, उन बिंदुओं को ढूंढना बेहतर है जहां लाइन $y=x+1$ लाइनों $x=3$ और $y=0$ के साथ प्रतिच्छेद करती है। यह बेहतर क्यों है? क्योंकि हम एक पत्थर के साथ कुछ पक्षियों को बिछाएंगे: हमें सीधी रेखा $y=x+1$ बनाने के लिए दो बिंदु मिलेंगे और साथ ही पता चलेगा कि यह सीधी रेखा किन बिंदुओं पर अन्य रेखाओं को काटती है जो दी गई सीमा को बांधती है क्षेत्र। रेखा $y=x+1$ रेखा $x=3$ को बिंदु $(3;4)$ पर और रेखा $y=0$ - बिंदु $(-1;0)$ पर प्रतिच्छेद करती है। सहायक स्पष्टीकरण के साथ समाधान के पाठ्यक्रम को अव्यवस्थित न करने के लिए, मैं इन दो बिंदुओं को एक नोट में प्राप्त करने का प्रश्न रखूंगा।

अंक $(3;4)$ और $(-1;0)$ कैसे प्राप्त किए गए? छिपा हुया दिखाओ

आइए लाइनों $y=x+1$ और $x=3$ के चौराहे के बिंदु से शुरू करें। वांछित बिंदु के निर्देशांक पहली और दूसरी दोनों पंक्तियों से संबंधित हैं, इसलिए अज्ञात निर्देशांक खोजने के लिए, आपको समीकरणों की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है:

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और y=x+1;\\ और x=3. \end(संरेखित) \दाएं। $$

ऐसी प्रणाली का समाधान तुच्छ है: $x=3$ को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करना हमारे पास होगा: $y=3+1=4$। बिंदु $(3;4)$ लाइनों $y=x+1$ और $x=3$ का वांछित चौराहा बिंदु है।

अब आइए लाइनों $y=x+1$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। दोबारा, हम समीकरणों की प्रणाली बनाते हैं और हल करते हैं:

$$ \बाएं \( \शुरू (संरेखित) और y=x+1;\\ और y=0। \end(संरेखित) \दाएं। $$

$y=0$ को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: $0=x+1$, $x=-1$। बिंदु $(-1;0)$ लाइनों $y=x+1$ और $y=0$ (एब्सिस्सा अक्ष) का वांछित चौराहा बिंदु है।

एक चित्र बनाने के लिए सब कुछ तैयार है जो इस तरह दिखेगा:

नोट का प्रश्न स्पष्ट प्रतीत होता है, क्योंकि आकृति से सब कुछ देखा जा सकता है। हालाँकि, यह याद रखने योग्य है कि ड्राइंग सबूत के रूप में काम नहीं कर सकती है। आंकड़ा स्पष्टता के लिए सिर्फ एक उदाहरण है।

हमारा क्षेत्र इसे सीमित करने वाली रेखाओं के समीकरणों का उपयोग करके सेट किया गया था। यह स्पष्ट है कि ये रेखाएँ त्रिभुज को परिभाषित करती हैं, है ना? या बिल्कुल स्पष्ट नहीं? या हो सकता है कि हमें एक अलग क्षेत्र दिया गया हो, जो समान रेखाओं से घिरा हो:

बेशक, शर्त कहती है कि क्षेत्र बंद है, इसलिए दिखाई गई तस्वीर गलत है। लेकिन ऐसी अस्पष्टताओं से बचने के लिए, असमानताओं द्वारा क्षेत्रों को परिभाषित करना बेहतर है। हम लाइन के नीचे स्थित विमान के हिस्से में रुचि रखते हैं $y=x+1$? ठीक है, तो $y ≤ x+1$। हमारा क्षेत्र रेखा $y=0$ के ऊपर स्थित होना चाहिए? बढ़िया, तो $y ≥ 0$। वैसे, पिछली दो असमानताओं को आसानी से एक में जोड़ दिया जाता है: $0 ≤ y ≤ x+1$।

$$ \बाएं \( \शुरू (संरेखित) और 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(संरेखित) \दाएं। $$

ये असमानताएं डोमेन $D$ को परिभाषित करती हैं, और बिना किसी अस्पष्टता के इसे विशिष्ट रूप से परिभाषित करती हैं। लेकिन फुटनोट की शुरुआत में दिए गए सवाल में यह हमारी मदद कैसे करता है? यह भी मदद करेगा :) हमें यह जांचने की आवश्यकता है कि बिंदु $M_1(1;1)$ क्षेत्र $D$ से संबंधित है या नहीं। आइए इस क्षेत्र को परिभाषित करने वाली असमानताओं की प्रणाली में $x=1$ और $y=1$ को प्रतिस्थापित करें। यदि दोनों असमानताएँ संतुष्ट हैं, तो बिंदु क्षेत्र के अंदर स्थित है। यदि कम से कम एक असमानता संतुष्ट नहीं होती है, तो बिंदु क्षेत्र से संबंधित नहीं होता है। इसलिए:

$$ \बाएं \( \शुरू (गठबंधन) और 0 ≤ 1 ≤ 1+1; ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(संरेखित) \right.$$

दोनों असमानताएँ सत्य हैं। बिंदु $M_1(1;1)$ $D$ क्षेत्र से संबंधित है।

अब डोमेन की सीमा पर फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करने की बारी है, अर्थात के लिए जाओ। सीधी रेखा $y=0$ से शुरू करते हैं।

सीधी रेखा $y=0$ (एब्सिस्सा अक्ष) शर्त $-1 ≤ x ≤ 3$ के अंतर्गत क्षेत्र $D$ को सीमित करती है। दिए गए फ़ंक्शन $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ में $y=0$ को प्रतिस्थापित करें। एक चर $x$ के परिणामी प्रतिस्थापन फ़ंक्शन को $f_1(x)$ के रूप में दर्शाया जाएगा:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

अब फ़ंक्शन $f_1(x)$ के लिए हमें अंतराल $-1 ≤ x ≤ 3$ पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने की आवश्यकता है। इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें और इसे शून्य के बराबर करें:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

मान $x=2$ सेगमेंट $-1 ≤ x ≤ 3$ से संबंधित है, इसलिए हम बिंदुओं की सूची में $M_2(2;0)$ भी जोड़ते हैं। इसके अलावा, हम खंड $-1 ≤ x ≤ 3$ के अंत में फ़ंक्शन $z$ के मानों की गणना करते हैं, अर्थात। $M_3(-1;0)$ और $M_4(3;0)$ बिंदुओं पर। वैसे, यदि बिंदु $M_2$ विचाराधीन खंड से संबंधित नहीं था, तो, निश्चित रूप से, फ़ंक्शन $z$ के मूल्य की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं होगी।

तो, $M_2$, $M_3$, $M_4$ बिंदुओं पर फ़ंक्शन $z$ के मानों की गणना करते हैं। बेशक, आप इन बिंदुओं के निर्देशांक को मूल अभिव्यक्ति $z=x^2+2xy-y^2-4x$ में बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, बिंदु $M_2$ के लिए हमें मिलता है:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

हालाँकि, गणना को थोड़ा सरल किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, यह याद रखने योग्य है कि $M_3M_4$ सेगमेंट पर हमारे पास $z(x,y)=f_1(x)$ है। मैं इसे विस्तार से लिखूंगा:

\begin(गठबंधन) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \ अंत (गठबंधन)

बेशक, आमतौर पर ऐसी विस्तृत प्रविष्टियों की कोई आवश्यकता नहीं होती है, और भविष्य में हम सभी गणनाओं को संक्षिप्त रूप में लिखना शुरू करेंगे:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

अब सीधी रेखा $x=3$ की ओर मुड़ते हैं। यह रेखा डोमेन $D$ को शर्त $0 ≤ y ≤ 4$ के अंतर्गत परिबद्ध करती है। दिए गए फ़ंक्शन $z$ में $x=3$ को प्रतिस्थापित करें। इस तरह के प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, हमें फ़ंक्शन $f_2(y)$ मिलता है:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

फ़ंक्शन $f_2(y)$ के लिए, आपको अंतराल $0 ≤ y ≤ 4$ पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने की आवश्यकता है। इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें और इसे शून्य के बराबर करें:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

मूल्य $y=3$ खंड $0 ≤ y ≤ 4$ से संबंधित है, इसलिए हम $M_5(3;3)$ को पहले पाए गए बिंदुओं में जोड़ते हैं। इसके अलावा, सेगमेंट $0 ≤ y ≤ 4$ के सिरों पर बिंदुओं पर $z$ फ़ंक्शन के मान की गणना करना आवश्यक है, अर्थात। $M_4(3;0)$ और $M_6(3;4)$ बिंदुओं पर। $M_4(3;0)$ बिंदु पर हमने पहले ही $z$ के मान की गणना कर ली है। आइए $M_5$ और $M_6$ बिंदुओं पर फ़ंक्शन $z$ के मान की गणना करें। मैं आपको याद दिला दूं कि $M_4M_6$ सेगमेंट पर हमारे पास $z(x,y)=f_2(y)$ है, इसलिए:

\begin(गठबंधन) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \ अंत (गठबंधन)

और, अंत में, $D$ की अंतिम सीमा पर विचार करें, अर्थात रेखा $y=x+1$। यह रेखा $-1 ≤ x ≤ 3 की शर्त के तहत क्षेत्र $D$ को परिबद्ध करती है। फ़ंक्शन $z$ में $y=x+1$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

एक बार फिर हमारे पास एक वेरिएबल $x$ का एक फंक्शन है। और फिर, आपको $-1 ≤ x ≤ 3$ सेगमेंट पर इस फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों को खोजने की आवश्यकता है। फ़ंक्शन $f_(3)(x)$ का व्युत्पन्न खोजें और इसे शून्य के बराबर करें:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

मूल्य $x=1$ अंतराल $-1 ≤ x ≤ 3$ से संबंधित है। अगर $x=1$, तो $y=x+1=2$। चलिए बिंदुओं की सूची में $M_7(1;2)$ जोड़ते हैं और पता लगाते हैं कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन $z$ का मान क्या है। खंड के अंत में अंक $-1 ≤ x ≤ 3$, यानी अंक $M_3(-1;0)$ और $M_6(3;4)$ पर पहले विचार किया गया था, हम उनमें फ़ंक्शन का मान पहले ही पा चुके हैं।

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

समाधान का दूसरा चरण पूरा हो गया है। हमें सात मान मिले:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

की ओर मुड़ें। तीसरे पैराग्राफ में प्राप्त संख्याओं में से सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान चुनना, हमारे पास होगा:

$$z_(न्यूनतम)=-4; \; z_(अधिकतम)=6.$$

समस्या हल हो गई है, यह केवल उत्तर लिखने के लिए बनी हुई है।

उत्तर: $z_(न्यूनतम)=-4; \; z_(अधिकतम)=6$।

उदाहरण #2

$x^2+y^2 ≤ 25$ क्षेत्र में फ़ंक्शन $z=x^2+y^2-12x+16y$ का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजें।

आइए पहले एक रेखाचित्र बनाएं। समीकरण $x^2+y^2=25$ (यह दिए गए क्षेत्र की सीमा रेखा है) मूल पर एक केंद्र के साथ एक चक्र को परिभाषित करता है (यानी बिंदु $(0;0)$ पर) और एक त्रिज्या 5. असमिका $x^2 +y^2 ≤ 25$ उल्लिखित वृत्त के अंदर और उसके सभी बिंदुओं को संतुष्ट करती है।

हम कार्रवाई करेंगे। आइए आंशिक डेरिवेटिव खोजें और महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाएं।

$$ \frac(\आंशिक z)(\आंशिक x)=2x-12; \frac(\आंशिक z)(\आंशिक y)=2y+16. $$

ऐसे कोई बिंदु नहीं हैं जिन पर पाए गए आंशिक डेरिवेटिव मौजूद नहीं हैं। आइए जानें कि किस बिंदु पर दोनों आंशिक डेरिवेटिव एक साथ शून्य के बराबर हैं, अर्थात स्थिर बिंदु खोजें।

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 2x-12=0;\\ और 2y+16=0. \end(संरेखित) \दाएं। \;\; \बाएं \( \शुरू (संरेखित) और x =6;\\ & y=-8.\end(गठबंधन) \right.$$

हमें एक स्थिर बिंदु $(6;-8)$ मिला। हालाँकि, पाया गया बिंदु $D$ क्षेत्र से संबंधित नहीं है। ड्राइंग का सहारा लिए बिना भी इसे दिखाना आसान है। आइए देखें कि क्या असमानता $x^2+y^2 ≤ 25$ है, जो हमारे डोमेन $D$ को परिभाषित करती है। अगर $x=6$, $y=-8$, फिर $x^2+y^2=36+64=100$, यानी असमानता $x^2+y^2 ≤ 25$ संतुष्ट नहीं है। निष्कर्ष: बिंदु $(6;-8)$ क्षेत्र $D$ से संबंधित नहीं है।

इस प्रकार, $D$ के अंदर कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। चलो आगे बढ़ते हैं। हमें दिए गए क्षेत्र की सीमा पर फलन के व्यवहार की जांच करने की आवश्यकता है, अर्थात सर्कल पर $x^2+y^2=25$। आप निश्चित रूप से $y$ को $x$ के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति को हमारे फ़ंक्शन $z$ में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। सर्कल समीकरण से हमें मिलता है: $y=\sqrt(25-x^2)$ या $y=-\sqrt(25-x^2)$। उदाहरण के लिए, $y=\sqrt(25-x^2)$ को दिए गए फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करना, हमारे पास होगा:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

आगे का समाधान पिछले उदाहरण संख्या 1 में क्षेत्र की सीमा पर फ़ंक्शन के व्यवहार के अध्ययन के समान होगा। हालाँकि, मुझे इस स्थिति में लैग्रेंज पद्धति को लागू करना अधिक उचित लगता है। हम केवल इस पद्धति के पहले भाग में रुचि रखते हैं। लग्रेंज विधि के पहले भाग को लागू करने के बाद, हमें ऐसे बिंदु मिलेंगे जिन पर और न्यूनतम और अधिकतम मानों के लिए फ़ंक्शन $z$ की जांच करें।

हम Lagrange फ़ंक्शन की रचना करते हैं:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25)। $$

हम लैग्रेंज फ़ंक्शन के आंशिक डेरिवेटिव पाते हैं और समीकरणों की संबंधित प्रणाली बनाते हैं:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \बाएं \( \शुरू (संरेखित) और 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(संरेखित) \ दाएँ। संरेखित) \ दाएँ। $$

इस प्रणाली को हल करने के लिए, आइए तुरंत इंगित करें कि $\lambda\neq -1$। क्यों $\lambda\neq -1$? आइए $\lambda=-1$ को पहले समीकरण में स्थानापन्न करने का प्रयास करें:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; एक्स-एक्स = 6; \; 0=6। $$

परिणामी विरोधाभास $0=6$ कहता है कि मूल्य $\lambda=-1$ अमान्य है। आउटपुट: $\lambda\neq -1$। चलो $\lambda$ के संदर्भ में $x$ और $y$ व्यक्त करते हैं:

\begin(गठबंधन) और x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \ अंत (गठबंधन)

मेरा मानना ​​है कि यह यहाँ स्पष्ट हो जाता है कि हमने विशेष रूप से $\lambda\neq -1$ शर्त क्यों निर्धारित की है। यह व्यंजक $1+\lambda$ को बिना किसी व्यवधान के हर में फिट करने के लिए किया गया था। यानी, यह सुनिश्चित करने के लिए कि भाजक $1+\lambda\neq 0$ है।

आइए हम प्राप्त अभिव्यक्तियों को $x$ और $y$ के लिए सिस्टम के तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, अर्थात $x^2+y^2=25$ में:

$$ \बाएं(\frac(6)(1+\lambda) \दाएं)^2+\बाएं(\frac(-8)(1+\lambda) \दाएं)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

यह परिणामी समानता से अनुसरण करता है कि $1+\lambda=2$ या $1+\lambda=-2$। इसलिए, हमारे पास पैरामीटर $\lambda$ के दो मान हैं, अर्थात्: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$। तदनुसार, हमें $x$ और $y$ मूल्यों के दो जोड़े मिलते हैं:

\begin(गठबंधन) और x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \ अंत (गठबंधन)

तो, हमें एक संभावित सशर्त चरम सीमा के दो बिंदु मिले, अर्थात $M_1(3;-4)$ और $M_2(-3;4)$। $M_1$ और $M_2$ बिंदुओं पर फ़ंक्शन $z$ का मान ज्ञात करें:

\begin(गठबंधन) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \ अंत (गठबंधन)

हमें उन सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को चुनना चाहिए जो हमने पहले और दूसरे चरण में प्राप्त किए थे। लेकिन में इस मामले मेंचुनाव छोटा है :) हमारे पास है:

$$z_(मिनट)=-75; \; z_(अधिकतम)=125. $$

उत्तर: $z_(न्यूनतम)=-75; \; z_(अधिकतम)=125$.

इस लेख में मैं बात करूंगा सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य खोजने के लिए एल्गोरिथमसमारोह, न्यूनतम और अधिकतम अंक।

सिद्धांत से, हमें निश्चित रूप से आवश्यकता होगी व्युत्पन्न तालिकाऔर भेदभाव नियम. इस बोर्ड में यह सब है:

सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य खोजने के लिए एल्गोरिथम।

मुझे समझाना आसान लगता है विशिष्ट उदाहरण. विचार करना:

उदाहरण:खंड [–4;0] पर फलन y=x^5+20x^3–65x का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए।

स्टेप 1।हम व्युत्पन्न लेते हैं।

वाई" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

चरण दोचरम बिंदु ढूँढना।

चरम बिंदुहम ऐसे बिंदुओं को नाम देते हैं जिन पर फलन अपने अधिकतम या न्यूनतम मान तक पहुँच जाता है।

चरम बिंदुओं को खोजने के लिए, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को शून्य (y "= 0) के बराबर करना आवश्यक है

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

अब हम इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं और मिली हुई जड़ें हमारे चरम बिंदु हैं।

मैं t = x^2, फिर 5t^2 + 60t - 65 = 0 को बदलकर ऐसे समीकरणों को हल करता हूं।

समीकरण को 5 से कम करें, हमें मिलता है: t^2 + 12t - 13 = 0

डी = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

हम रिवर्स प्रतिस्थापन x ^ 2 = टी बनाते हैं:

X_(1 और 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 और 4) = ±sqrt(-13) (हम बाहर करते हैं, जड़ के नीचे ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती है, जब तक कि हम जटिल संख्याओं के बारे में बात नहीं कर रहे हैं)

कुल: x_(1) = 1 और x_(2) = -1 - ये हमारे चरम बिंदु हैं।

चरण 3सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य निर्धारित करें।

प्रतिस्थापन विधि।

हालत में, हमें खंड [बी] [-4; 0] दिया गया था। बिंदु x=1 इस खंड में शामिल नहीं है। इसलिए हम इसे नहीं मानते। लेकिन बिंदु x = -1 के अलावा, हमें अपने खंड की बाईं और दाईं सीमाओं पर भी विचार करने की आवश्यकता है, अर्थात, अंक -4 और 0. ऐसा करने के लिए, हम इन तीनों बिंदुओं को मूल कार्य में प्रतिस्थापित करते हैं। ध्यान दें कि मूल एक शर्त में दिया गया है (y=x^5+20x^3–65x), कुछ व्युत्पन्न में प्रतिस्थापन शुरू करते हैं ...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [ख]44
वाई(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन का अधिकतम मूल्य [बी] 44 है और यह अंक [बी] -1 पर पहुंच जाता है, जिसे सेगमेंट [-4] पर फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु कहा जाता है; 0]।

हमने फैसला किया और जवाब मिला, हम महान हैं, आप आराम कर सकते हैं।' लेकिन रुकिए! क्या आपको नहीं लगता कि y(-4) की गणना करना बहुत जटिल है? सीमित समय की स्थितियों में, दूसरी विधि का उपयोग करना बेहतर है, मैं इसे इस तरह कहता हूं:

निरंतरता के अंतराल के माध्यम से।

ये अंतराल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए पाए जाते हैं, जो कि हमारे द्विघात समीकरण के लिए है।

मैं इसे निम्न प्रकार से करता हूं। मैं एक दिशात्मक रेखा खींचता हूं। मैंने अंक निर्धारित किए हैं: -4, -1, 0, 1। इस तथ्य के बावजूद कि 1 दिए गए खंड में शामिल नहीं है, फिर भी इसे निरंतरता के अंतराल को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए नोट किया जाना चाहिए। आइए 1 से कई गुना अधिक संख्या लें, मान लीजिए 100, इसे मानसिक रूप से हमारे द्विवर्गीय समीकरण 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 में प्रतिस्थापित करें। कुछ भी गिनने के बिना भी, यह स्पष्ट हो जाता है कि बिंदु 100 पर फ़ंक्शन में प्लस चिह्न है। इसका मतलब यह है कि 1 से 100 के बीच के अंतराल के लिए इसमें एक धन चिह्न होता है। 1 से गुजरते समय (हम दाएं से बाएं जाते हैं), फ़ंक्शन साइन को माइनस में बदल देगा। बिंदु 0 से गुजरते समय, फ़ंक्शन अपना चिह्न बनाए रखेगा, क्योंकि यह केवल खंड की सीमा है, न कि समीकरण की जड़। -1 से गुजरते समय, फ़ंक्शन साइन को फिर से प्लस में बदल देगा।

सिद्धांत से, हम जानते हैं कि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहां है (और हमने इसे इसके लिए आकर्षित किया है) साइन को प्लस से माइनस में बदलता है (बिंदु -1 हमारे मामले में)समारोह पहुँचता है इसकी स्थानीय अधिकतम (y(-1)=44 पहले की गणना के अनुसार)इस खंड पर (यह तार्किक रूप से बहुत स्पष्ट है, कार्य में वृद्धि बंद हो गई है, क्योंकि यह अपनी अधिकतम सीमा तक पहुंच गया है और घटने लगा है)।

तदनुसार, जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न साइन को माइनस से प्लस में बदलता है, हासिल एक समारोह का स्थानीय न्यूनतम. हां, हां, हमने स्थानीय न्यूनतम बिंदु भी पाया, जो कि 1 है, और y(1) अंतराल पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मान है, मान लीजिए -1 से +∞ तक। कृपया ध्यान दें कि यह केवल एक स्थानीय न्यूनतम है, जो कि एक निश्चित खंड पर न्यूनतम है। चूंकि वास्तविक (वैश्विक) न्यूनतम कार्य वहां -∞ में कहीं पहुंच जाएगा।

मेरी राय में, पहली विधि सैद्धांतिक रूप से सरल है, और दूसरी अंकगणितीय संक्रियाओं के संदर्भ में सरल है, लेकिन सिद्धांत के संदर्भ में बहुत अधिक कठिन है। आखिरकार, कभी-कभी ऐसे मामले होते हैं जब फ़ंक्शन समीकरण की जड़ से गुजरते समय संकेत नहीं बदलता है, और वास्तव में आप इन स्थानीय, वैश्विक अधिकतम और न्यूनतम के साथ भ्रमित हो सकते हैं, हालांकि आपको इसे अच्छी तरह से मास्टर करना होगा यदि आप योजना बनाते हैं एक तकनीकी विश्वविद्यालय में प्रवेश के लिए (और क्या देना है प्रोफाइल परीक्षाऔर इस समस्या को हल करें)। लेकिन अभ्यास और केवल अभ्यास आपको सिखाएगा कि ऐसी समस्याओं को एक बार और सभी के लिए कैसे हल किया जाए। और आप हमारी वेबसाइट पर प्रशिक्षण ले सकते हैं। यहाँ ।

यदि आपके कोई प्रश्न हैं, या कुछ स्पष्ट नहीं है, तो पूछना सुनिश्चित करें। मुझे आपको जवाब देने और लेख में परिवर्तन, परिवर्धन करने में खुशी होगी। याद रखें हम इस साइट को एक साथ बना रहे हैं!

आइए देखें कि ग्राफ़ का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का पता कैसे लगाया जाए। यह पता चला है कि ग्राफ को देखते हुए, आप वह सब कुछ पता लगा सकते हैं जो हमें रुचता है, अर्थात्:

• समारोह का दायरा
• समारोह रेंज
• समारोह शून्य
• वृद्धि और कमी की अवधि
• उच्च और निम्न बिंदु
• सेगमेंट पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान।

आइए शब्दावली को स्पष्ट करें:

सूच्याकार आकृति का भुजबिंदु का क्षैतिज समन्वय है।
तालमेल- लंबवत समन्वय।
सूच्याकार आकृति का भुज- क्षैतिज अक्ष, जिसे अक्सर अक्ष कहा जाता है।
शाफ़्ट- ऊर्ध्वाधर अक्ष, या अक्ष।

तर्कएक स्वतंत्र चर है जिस पर फ़ंक्शन के मान निर्भर करते हैं। सबसे अधिक बार संकेत दिया।
दूसरे शब्दों में, हम स्वयं चुनते हैं, फ़ंक्शन सूत्र में स्थानापन्न करते हैं और प्राप्त करते हैं।

कार्यक्षेत्रकार्य - तर्क के उन (और केवल उन) मूल्यों का सेट जिसके लिए फ़ंक्शन मौजूद है।
अस्वीकृत: या।

हमारे चित्र में, फलन का प्रांत एक खंड है। यह इस खंड पर है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ खींचा गया है। केवल यहाँ यह कार्य मौजूद है।

फंक्शन रेंजवेरिएबल द्वारा लिए जाने वाले मानों का सेट है। हमारे आंकड़े में, यह एक खंड है - निम्नतम से उच्चतम मूल्य तक।

समारोह शून्य- बिंदु जहां फ़ंक्शन का मान शून्य के बराबर है, अर्थात। हमारे आंकड़े में, ये बिंदु हैं और।

फ़ंक्शन मान सकारात्मक हैंकहाँ । हमारे आंकड़े में, ये अंतराल हैं और।
फ़ंक्शन मान ऋणात्मक हैंकहाँ । हमारे पास यह अंतराल (या अंतराल) से से है।

सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएँ- बढ़ते और घटते कार्यकिसी सेट पर। एक सेट के रूप में, आप एक खंड, एक अंतराल, अंतरालों का एक संघ या संपूर्ण संख्या रेखा ले सकते हैं।

समारोह बढ़ती है

दूसरे शब्दों में, जितना अधिक, उतना ही अधिक, यानी ग्राफ दाईं ओर और ऊपर जाता है।

समारोह घटतेसेट पर यदि किसी के लिए और सेट से संबंधित असमानता असमानता का तात्पर्य है।

घटते हुए कार्य के लिए, एक बड़ा मान एक छोटे मान से मेल खाता है। ग्राफ दाएं और नीचे जाता है।

हमारे आंकड़े में, फ़ंक्शन अंतराल पर बढ़ता है और अंतराल पर घटता है और।

आइए परिभाषित करें कि क्या है समारोह के अधिकतम और न्यूनतम अंक.

अधिकतम बिंदु- यह परिभाषा के क्षेत्र का एक आंतरिक बिंदु है, जैसे कि इसमें फ़ंक्शन का मान सभी बिंदुओं से अधिक है जो इसके काफी करीब है।
दूसरे शब्दों में, अधिकतम बिंदु एक ऐसा बिंदु है, जिस पर फलन का मान होता है अधिकपड़ोसियों की तुलना में। यह चार्ट पर एक स्थानीय "पहाड़ी" है।

हमारे चित्र में - अधिकतम बिंदु।

अंतिम बिंदू- परिभाषा के क्षेत्र का एक आंतरिक बिंदु, जैसे कि इसमें फ़ंक्शन का मान सभी बिंदुओं से कम है जो इसके काफी करीब है।
अर्थात्, न्यूनतम बिंदु ऐसा है कि इसमें फ़ंक्शन का मान पड़ोसी की तुलना में कम है। ग्राफ पर, यह एक स्थानीय "छिद्र" है।

हमारे आंकड़े में - न्यूनतम बिंदु।

बिंदु सीमा है। यह परिभाषा के क्षेत्र का आंतरिक बिंदु नहीं है और इसलिए अधिकतम बिंदु की परिभाषा में फिट नहीं होता है। आखिरकार, बाईं ओर उसका कोई पड़ोसी नहीं है। उसी तरह हमारे चार्ट पर कोई न्यूनतम बिंदु नहीं हो सकता है।

अधिकतम और न्यूनतम अंक सामूहिक रूप से कहलाते हैं समारोह के चरम बिंदु. हमारे मामले में, यह है और।

लेकिन क्या होगा यदि आपको खोजने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, समारोह न्यूनतमकट पर? इस मामले में, उत्तर है: क्योंकि समारोह न्यूनतमन्यूनतम बिंदु पर इसका मूल्य है।

इसी प्रकार, हमारे कार्य का अधिकतम है। मुकाम पर पहुंच गया है।

हम कह सकते हैं कि फलन के चरम और के बराबर हैं।

कभी-कभी कार्यों में आपको खोजने की आवश्यकता होती है फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मानकिसी दिए गए खंड पर। जरूरी नहीं कि वे चरम सीमाओं से मेल खाते हों।

हमारे मामले में सबसे छोटा फ़ंक्शन मानअंतराल पर फ़ंक्शन के न्यूनतम के बराबर है और उसके साथ मेल खाता है। लेकिन इस सेगमेंट पर इसका सबसे बड़ा मूल्य के बराबर है। यह खंड के बाएं छोर पर पहुंचा है।

किसी भी स्थिति में, एक खंड पर एक निरंतर कार्य का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य या तो चरम बिंदुओं पर या खंड के अंत में प्राप्त किया जाता है।

तैरते हुए छात्र के लिए जीवन रेखा के रूप में कार्य करने वाला एक छोटा और अपेक्षाकृत सरल कार्य। प्रकृति में, जुलाई के मध्य की नींद का क्षेत्र, इसलिए यह समुद्र तट पर लैपटॉप के साथ आराम करने का समय है। सुबह जल्दी खेला सुरज की किरणसिद्धांत जल्द ही अभ्यास पर ध्यान केंद्रित करने के लिए, जो कि दावा किए गए हल्केपन के बावजूद रेत में कांच के टुकड़े होते हैं। इस संबंध में, मैं सलाह देता हूं कि इस पृष्ठ के कुछ उदाहरणों पर ईमानदारी से विचार करें। व्यावहारिक कार्यों को हल करने के लिए, आपको सक्षम होने की आवश्यकता है डेरिवेटिव खोजेंऔर लेख की सामग्री को समझें एकरसता के अंतराल और एक समारोह के चरम.

सबसे पहले, संक्षेप में मुख्य बात के बारे में। के बारे में एक पाठ में कार्य निरंतरतामैंने एक बिंदु पर निरंतरता और एक अंतराल पर निरंतरता की परिभाषा दी। एक खंड पर एक समारोह का अनुकरणीय व्यवहार तैयार किया गया है इसी तरह. एक खंड पर एक कार्य निरंतर है यदि:

1) यह अंतराल पर निरंतर है;
2) एक बिंदु पर निरंतर दायी ओरऔर बिंदु पर बाएं.

दूसरा पैराग्राफ तथाकथित से संबंधित है एकतरफा निरंतरताएक बिंदु पर कार्य करता है। इसकी परिभाषा के कई दृष्टिकोण हैं, लेकिन मैं पहले शुरू की गई लाइन पर टिका रहूंगा:

समारोह एक बिंदु पर निरंतर है दायी ओर, यदि यह किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसकी दाहिनी ओर की सीमा किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान के साथ मेल खाती है: . यह बिंदु पर निरंतर है बाएं, यदि किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसकी बाएँ हाथ की सीमा उस बिंदु पर मान के बराबर है:

कल्पना कीजिए कि हरे बिंदु नाखून हैं जिन पर जादू रबड़ बैंड जुड़ा हुआ है:

मानसिक रूप से लाल रेखा को अपने हाथों में लें। जाहिर है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम ग्राफ को ऊपर और नीचे (अक्ष के साथ) कितनी दूर तक खींचते हैं, फ़ंक्शन अभी भी बना रहेगा सीमित- ऊपर एक हेज, नीचे एक हेज, और हमारा उत्पाद एक पैडॉक में चरता है। इस प्रकार, एक खंड पर निरंतर एक कार्य उस पर बंधा हुआ है. गणितीय विश्लेषण के दौरान, यह प्रतीत होता है कि सरल तथ्य कहा गया है और सख्ती से सिद्ध किया गया है वीयरस्ट्रास की पहली प्रमेय।... बहुत से लोग इस बात से नाराज़ हैं कि प्रारंभिक कथनों को गणित में थकाऊ रूप से प्रमाणित किया जाता है, लेकिन वहाँ है महत्वपूर्ण अर्थ. मान लीजिए कि टेरी मध्य युग के एक निश्चित निवासी ने ग्राफ को दृश्यता की सीमा से परे आकाश में खींच लिया, यह डाला गया था। दूरबीन के आविष्कार से पहले, अंतरिक्ष में सीमित कार्य बिल्कुल स्पष्ट नहीं था! वास्तव में, आप कैसे जानते हैं कि क्षितिज से परे हमारा क्या इंतजार है? आखिरकार, कभी पृथ्वी को चपटा माना जाता था, इसलिए आज भी साधारण टेलीपोर्टेशन के लिए प्रमाण की आवश्यकता होती है =)

के अनुसार दूसरा वीयरस्ट्रास प्रमेय, खंड पर निरंतरकार्य अपने तक पहुँचता है सटीक शीर्ष किनाराऔर उसका सटीक निचला किनारा .

नंबर भी कहा जाता है खंड पर समारोह का अधिकतम मूल्यऔर द्वारा निरूपित, और संख्या - खंड पर समारोह का न्यूनतम मूल्यचिह्नित ।

हमारे मामले में:

टिप्पणी : सिद्धांत रूप में, रिकॉर्ड सामान्य हैं .

मोटे तौर पर कहा जाए तो, सबसे बड़ा मूल्य वहाँ स्थित होता है जहाँ सबसे अधिक होता है उच्च बिंदुग्राफिक्स, और सबसे छोटा - सबसे निचला बिंदु कहां है।

महत्वपूर्ण!जैसा कि पहले ही लेख में बताया गया है समारोह का चरम, समारोह का सबसे बड़ा मूल्यऔर सबसे छोटा फ़ंक्शन मान – एक ही नहीं, क्या समारोह अधिकतमऔर समारोह न्यूनतम. इसलिए, इस उदाहरण में, संख्या फ़ंक्शन का न्यूनतम है, लेकिन न्यूनतम मान नहीं है।

वैसे, खंड के बाहर क्या होता है? हाँ, यहाँ तक कि बाढ़ भी, विचाराधीन समस्या के सन्दर्भ में, इसमें हमें कोई दिलचस्पी नहीं है। कार्य में केवल दो संख्याएँ ढूँढना शामिल है और बस!

इसके अलावा, समाधान विशुद्ध रूप से विश्लेषणात्मक है, इसलिए, खींचने की जरूरत नहीं है!

एल्गोरिथ्म सतह पर स्थित है और ऊपर की आकृति से खुद को सुझाता है:

1) में फ़ंक्शन मान खोजें महत्वपूर्ण बिंदु, जो इस सेगमेंट के हैं.

एक और अच्छाई को पकड़ो: एक चरम के लिए पर्याप्त स्थिति की जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि जैसा कि अभी दिखाया गया है, न्यूनतम या अधिकतम की उपस्थिति अभी गारंटी नहीं हैन्यूनतम या अधिकतम मूल्य क्या है। डेमो फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँचता है और भाग्य की इच्छा से वही संख्या होती है उच्चतम मूल्यअंतराल पर कार्य करता है। लेकिन, ज़ाहिर है, ऐसा संयोग हमेशा नहीं होता है।

इसलिए, पहले चरण में, सेगमेंट से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करना तेज़ और आसान है, बिना परेशान हुए कि उनके पास एक्स्ट्रेमा है या नहीं।

2) हम सेगमेंट के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं।

3) पहले और दूसरे पैराग्राफ में पाए जाने वाले फ़ंक्शन के मूल्यों में से हम सबसे छोटे और सबसे अधिक का चयन करते हैं बड़ी संख्या, उत्तर लिखो।

हम नीले समुद्र के किनारे बैठते हैं और उथले पानी में एड़ी मारते हैं:

उदाहरण 1

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें

समाधान:
1) इस सेगमेंट से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

हम दूसरे में फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं महत्वपूर्ण बिन्दू:

2) खंड के अंत में फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

3) "बोल्ड" परिणाम घातीय और लघुगणक के साथ प्राप्त किए गए थे, जो उनकी तुलना को काफी जटिल बना देता है। इस कारण से, हम अपने आप को एक कैलकुलेटर या एक्सेल से लैस करेंगे और अनुमानित मूल्यों की गणना करेंगे, यह नहीं भूलेंगे:

अब सब कुछ स्पष्ट है।

उत्तर:

स्वतंत्र समाधान के लिए भिन्नात्मक-तर्कसंगत उदाहरण:

उदाहरण 6

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करें