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किसी समीकरण से किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे ज्ञात करें। किसी बंद क्षेत्र में दो चर वाले फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान

इस तरह का एक छोटा और सरल कार्य जो एक तैरते हुए छात्र के लिए जीवन रेखा के रूप में कार्य करता है। प्रकृति में, जुलाई के मध्य में नींद का साम्राज्य होता है, इसलिए समुद्र तट पर लैपटॉप के साथ आराम करने का समय आ गया है। सुबह-सुबह खेला सुरज की किरणजल्द ही अभ्यास पर ध्यान केंद्रित करने के लिए सिद्धांत, जिसमें दावा किए गए हल्केपन के बावजूद, रेत में कांच के टुकड़े शामिल हैं। इस संबंध में, मैं इस पृष्ठ के कुछ उदाहरणों पर ईमानदारी से विचार करने की सलाह देता हूं। व्यावहारिक कार्यों को हल करने के लिए आपको सक्षम होने की आवश्यकता है डेरिवेटिव खोजेंऔर लेख की सामग्री को समझें किसी कार्य की एकरसता और चरम सीमा का अंतराल.

सबसे पहले, संक्षेप में मुख्य बात के बारे में। के बारे में एक पाठ में कार्य निरंतरतामैंने एक बिंदु पर सातत्य और एक अंतराल पर सातत्य की परिभाषा दी। किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का अनुकरणीय व्यवहार तैयार किया जाता है इसी तरह. एक फ़ंक्शन किसी खंड पर निरंतर होता है यदि:

1) यह अंतराल पर निरंतर है;
2) एक बिंदु पर निरंतर दायी ओरऔर बिंदु पर बाएं.

दूसरा पैराग्राफ तथाकथित से संबंधित है एकतरफ़ा निरंतरताएक बिंदु पर कार्य करता है। इसकी परिभाषा के लिए कई दृष्टिकोण हैं, लेकिन मैं पहले शुरू की गई पंक्ति पर कायम रहूंगा:

फ़ंक्शन एक बिंदु पर निरंतर है दायी ओर, यदि इसे किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसकी दाहिनी ओर की सीमा किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान से मेल खाती है: . यह बिंदु पर निरंतर है बाएं, यदि किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसकी बाईं ओर की सीमा उस बिंदु पर मान के बराबर है:

कल्पना करें कि हरे बिंदु वे कीलें हैं जिन पर जादुई रबर बैंड जुड़ा हुआ है:

मानसिक रूप से लाल रेखा को अपने हाथों में लें। जाहिर है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम ग्राफ़ को कितनी दूर तक ऊपर और नीचे (अक्ष के साथ) खींचते हैं, फ़ंक्शन अभी भी बना रहेगा सीमित- ऊपर एक बाड़ा, नीचे एक बाड़ा, और हमारा उत्पाद एक बाड़े में चरता है। इस प्रकार, एक खंड पर निरंतर एक फ़ंक्शन उस पर घिरा हुआ है. गणितीय विश्लेषण के दौरान, यह प्रतीत होता है कि सरल तथ्य बताया गया है और कठोरता से सिद्ध किया गया है वीयरस्ट्रैस का पहला प्रमेय।... बहुत से लोग इस बात से नाराज़ हैं कि गणित में प्रारंभिक कथनों को कठिनता से प्रमाणित किया जाता है, लेकिन ऐसा होता है महत्वपूर्ण अर्थ. मान लीजिए कि टेरी मध्य युग के एक निश्चित निवासी ने ग्राफ़ को दृश्यता की सीमा से परे आकाश में खींच लिया, तो इसे डाला गया। दूरबीन के आविष्कार से पहले, अंतरिक्ष में सीमित कार्य बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं था! दरअसल, आप कैसे जानते हैं कि क्षितिज के पार क्या हमारा इंतजार कर रहा है? आख़िरकार, एक समय पृथ्वी को चपटी माना जाता था, इसलिए आज साधारण टेलीपोर्टेशन के लिए भी प्रमाण की आवश्यकता होती है =)

के अनुसार दूसरा वीयरस्ट्रैस प्रमेय, खंड पर निरंतरफ़ंक्शन अपने तक पहुंचता है सटीक शीर्ष किनाराऔर उसका सटीक निचला किनारा .

नंबर भी कहा जाता है खंड पर फ़ंक्शन का अधिकतम मानऔर द्वारा निरूपित, और संख्या - खंड पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मानचिह्नित ।

हमारे मामले में:

टिप्पणी : सिद्धांत रूप में, रिकॉर्ड आम हैं .

मोटे तौर पर, उच्चतम मूल्यस्थित है जहाँ उच्च बिंदुग्राफिक्स, और सबसे छोटा - सबसे निचला बिंदु कहां है।

महत्वपूर्ण!जैसा कि पहले ही लेख में बताया जा चुका है समारोह की चरम सीमा, फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मानऔर सबसे छोटा फ़ंक्शन मान – एक ही नहीं, क्या अधिकतम कार्य करेंऔर कार्य न्यूनतम. तो, इस उदाहरण में, संख्या फ़ंक्शन का न्यूनतम है, लेकिन न्यूनतम मान नहीं है।

वैसे, सेगमेंट के बाहर क्या होता है? हाँ, यहाँ तक कि बाढ़ भी, विचाराधीन समस्या के सन्दर्भ में, इसमें हमारी कोई दिलचस्पी नहीं है। कार्य में केवल दो संख्याएँ ढूँढना शामिल है और बस!

इसके अलावा, समाधान पूरी तरह से विश्लेषणात्मक है, इसलिए, चित्र बनाने की कोई आवश्यकता नहीं!

एल्गोरिथ्म सतह पर है और उपरोक्त चित्र से स्वयं सुझाता है:

1) इसमें फ़ंक्शन मान खोजें महत्वपूर्ण बिंदु, जो इस सेगमेंट से संबंधित हैं.

एक और अच्छाई पकड़ें: एक चरम के लिए पर्याप्त स्थिति की जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि, जैसा कि अभी दिखाया गया है, न्यूनतम या अधिकतम की उपस्थिति अभी तक गारंटी नहीं हैन्यूनतम या अधिकतम मूल्य क्या है. प्रदर्शन फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुंचता है और, भाग्य की इच्छा से, वही संख्या अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य है। लेकिन, ज़ाहिर है, ऐसा संयोग हमेशा नहीं होता है।

इसलिए, पहले चरण में, खंड से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करना तेज़ और आसान है, बिना इस बात की परवाह किए कि उनमें एक्स्ट्रेमा है या नहीं।

2) हम खंड के अंत में फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं।

3) पहले और दूसरे पैराग्राफ में पाए गए फ़ंक्शन के मानों में से, हम सबसे छोटे और सबसे अधिक का चयन करते हैं बड़ी संख्या, उत्तर लिखो।

हम नीले समुद्र के किनारे बैठते हैं और उथले पानी में एड़ियाँ मारते हैं:

उदाहरण 1

सबसे बड़ा और खोजें सबसे छोटा मूल्यखंड पर कार्य करता है

समाधान:
1) इस खंड से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें:

आइए दूसरे महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें:

2) खंड के अंत में फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

3) "बोल्ड" परिणाम घातांक और लघुगणक के साथ प्राप्त किए गए, जो उनकी तुलना को काफी जटिल बनाता है। इस कारण से, हम अपने आप को एक कैलकुलेटर या एक्सेल से लैस करेंगे और अनुमानित मूल्यों की गणना करेंगे, यह न भूलें:

अब सब कुछ स्पष्ट हो गया है.

उत्तर:

स्वतंत्र समाधान के लिए भिन्नात्मक-तर्कसंगत उदाहरण:

उदाहरण 6

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करें

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान, विचारित अंतराल में कोटि का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) स्वीकृत मान है।

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आपको यह करना होगा:

जांचें कि दिए गए खंड में कौन से स्थिर बिंदु शामिल हैं।
चरण 3 से खंड के सिरों और स्थिर बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें
प्राप्त परिणामों में से सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान चुनें।

अधिकतम या न्यूनतम अंक खोजने के लिए, आपको यह करना होगा:

फ़ंक्शन $f"(x)$ का व्युत्पन्न खोजें
समीकरण $f"(x)=0$ को हल करके स्थिर बिंदु खोजें
किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का गुणनखंड करें।
एक समन्वय रेखा खींचें, उस पर स्थिर बिंदु रखें और खंड 3 के अंकन का उपयोग करके प्राप्त अंतराल में व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें।
नियम के अनुसार अधिकतम या न्यूनतम अंक ज्ञात करें: यदि किसी बिंदु पर व्युत्पन्न चिह्न को प्लस से माइनस में बदलता है, तो यह अधिकतम बिंदु होगा (यदि माइनस से प्लस में है, तो यह न्यूनतम बिंदु होगा)। व्यवहार में, अंतरालों पर तीरों की छवि का उपयोग करना सुविधाजनक होता है: अंतराल पर जहां व्युत्पन्न सकारात्मक होता है, तीर ऊपर की ओर खींचा जाता है और इसके विपरीत।

कुछ प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न की तालिका:

समारोह	यौगिक
$सी$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

विभेदीकरण के बुनियादी नियम

1. योग और अंतर का व्युत्पन्न प्रत्येक पद के व्युत्पन्न के बराबर है

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

योग और अंतर का व्युत्पन्न प्रत्येक पद के व्युत्पन्न के बराबर है

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. किसी उत्पाद का व्युत्पन्न.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

व्युत्पन्न $f(x)=4x∙cosx$ ज्ञात करें

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. भागफल का व्युत्पन्न

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x))$

व्युत्पन्न $f(x)=(5x^5)/(e^x)$ ज्ञात करें

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x-5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - पाप(5x)∙5= -5sin(5x)$

फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु ज्ञात करें $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. फ़ंक्शन का ODZ खोजें: $x+11>0; x>-11$

2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करके स्थिर बिंदु खोजें

$(2x+21)/(x+11)=0$

एक भिन्न शून्य है यदि अंश शून्य है और हर शून्य नहीं है

$2x+21=0; x≠-11$

4. एक निर्देशांक रेखा खींचिए, उस पर स्थिर बिंदु रखिए और प्राप्त अंतरालों में अवकलज के चिह्न निर्धारित कीजिए। ऐसा करने के लिए, हम व्युत्पन्न में चरम दाएं क्षेत्र से किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित करते हैं, उदाहरण के लिए, शून्य।

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है, इसलिए, $-10.5$ बिंदु न्यूनतम बिंदु है।

उत्तर: $-10.5$

$[-5;1]$ सेगमेंट पर फ़ंक्शन $y=6x^5-90x^3-5$ का अधिकतम मान ज्ञात करें

1. फ़ंक्शन $y'=30x^4-270x^2$ का व्युत्पन्न खोजें

2. व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें और स्थिर बिंदु खोजें

$30x^4-270x^2=0$

आइए सामान्य गुणनखंड $30x^2$ को कोष्ठक से बाहर निकालें

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर सेट करें

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. ऐसे स्थिर बिंदु चुनें जो दिए गए खंड $[-5;1]$ से संबंधित हों

स्थिर बिंदु $x=0$ और $x=-3$ हमारे लिए उपयुक्त हैं

4. खंड के सिरों पर और आइटम 3 से स्थिर बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करें

किसी कार्य का चरम क्या है और चरम के लिए आवश्यक शर्त क्या है?

किसी फ़ंक्शन का चरम फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम होता है।

फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम (चरम) के लिए आवश्यक शर्त इस प्रकार है: यदि फ़ंक्शन f(x) का चरम बिंदु x = a पर है, तो इस बिंदु पर व्युत्पन्न या तो शून्य है, या अनंत है, या मौजूद नहीं है।

यह शर्त आवश्यक है, परंतु पर्याप्त नहीं है। बिंदु x = a पर व्युत्पन्न लुप्त हो सकता है, अनंत तक जा सकता है, या इस बिंदु पर चरम सीमा वाले फ़ंक्शन के बिना मौजूद नहीं हो सकता है।

फ़ंक्शन के चरम (अधिकतम या न्यूनतम) के लिए पर्याप्त स्थिति क्या है?

पहली शर्त:

यदि, बिंदु x = a के पर्याप्त निकटता में, व्युत्पन्न f?(x) a के बाईं ओर सकारात्मक है और a के दाईं ओर नकारात्मक है, तो बिंदु x = a पर ही, फ़ंक्शन f(x) है अधिकतम

यदि, बिंदु x = a के पर्याप्त निकटता में, व्युत्पन्न f?(x) a के बाईं ओर नकारात्मक है और a के दाईं ओर सकारात्मक है, तो बिंदु x = a पर ही, फ़ंक्शन f(x) है न्यूनतमबशर्ते कि फलन f(x) यहां सतत है।

इसके बजाय, आप फ़ंक्शन के चरम के लिए दूसरी पर्याप्त स्थिति का उपयोग कर सकते हैं:

मान लीजिए बिंदु x = पर और पहला अवकलज f? (x) लुप्त हो जाता है; यदि दूसरा व्युत्पन्न f??(а) नकारात्मक है, तो फ़ंक्शन f(x) का बिंदु x = a पर अधिकतम है, यदि यह सकारात्मक है, तो न्यूनतम है।

किसी फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु क्या है और इसे कैसे खोजें?

यह फ़ंक्शन तर्क का मान है जिस पर फ़ंक्शन का चरम (यानी अधिकतम या न्यूनतम) होता है। इसे खोजने के लिए, आपको चाहिए व्युत्पन्न खोजेंफ़ंक्शन f?(x) और, इसे शून्य के बराबर करते हुए, प्रश्न हल करें f?(x) = 0. इस समीकरण की जड़ें, साथ ही वे बिंदु जिन पर इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, महत्वपूर्ण बिंदु हैं, यानी, तर्क के मान जिस पर चरम हो सकता है। इन्हें देखकर आसानी से पहचाना जा सकता है व्युत्पन्न ग्राफ: हम तर्क के उन मूल्यों में रुचि रखते हैं जिन पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ एब्सिस्सा अक्ष (ऑक्स अक्ष) को काटता है और जिन पर ग्राफ़ टूट जाता है।

उदाहरण के लिए, आइए खोजें परवलय का चरम.

फलन y(x) = 3x2 + 2x - 50.

फलन व्युत्पन्न: y?(x) = 6x + 2

हम समीकरण हल करते हैं: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

में इस मामले मेंक्रांतिक बिंदु x0=-1/3 है। यह उस तर्क के मान के लिए है जो फ़ंक्शन के पास है चरम. उसे पाने के लिए पाना, हम फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति में पाए गए नंबर को "x" के बजाय प्रतिस्थापित करते हैं:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333।

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम कैसे निर्धारित करें, अर्थात। इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान?

यदि क्रांतिक बिंदु x0 से गुजरने पर व्युत्पन्न का चिह्न "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है, तो x0 है अधिकतम बिंदु; यदि अवकलज का चिन्ह ऋण से धन में बदल जाता है, तो x0 है न्यूनतम बिंदु; यदि चिह्न नहीं बदलता है, तो बिंदु x0 पर न तो अधिकतम है और न ही न्यूनतम।

सुविचारित उदाहरण के लिए:

हम बाईं ओर के तर्क का एक मनमाना मूल्य लेते हैं महत्वपूर्ण बिन्दू: एक्स = -1

जब x = -1, अवकलज का मान y होगा? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (अर्थात् ऋण चिह्न)।

अब हम महत्वपूर्ण बिंदु के दाईं ओर के तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = 1

x = 1 के लिए, अवकलज का मान y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (अर्थात्, धन चिह्न) होगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय, व्युत्पन्न का चिह्न माइनस से प्लस में बदल गया। इसका मतलब है कि x0 के क्रांतिक मान पर हमारे पास न्यूनतम बिंदु है।

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान अंतराल पर(खंड पर) उसी प्रक्रिया द्वारा पाए जाते हैं, केवल इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि, शायद, सभी महत्वपूर्ण बिंदु निर्दिष्ट अंतराल के भीतर नहीं होंगे। वे महत्वपूर्ण बिंदु जो अंतराल के बाहर हैं, उन्हें विचार से बाहर रखा जाना चाहिए। यदि अंतराल के अंदर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, तो इसका या तो अधिकतम या न्यूनतम होगा। इस मामले में, फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को निर्धारित करने के लिए, हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन के मानों को भी ध्यान में रखते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें

y (x) = 3 पाप (x) - 0.5x

अंतरालों पर:

तो फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

हम समीकरण 3cos(x) - 0.5 = 0 को हल करते हैं

क्योंकि(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ± आर्ककोस (0.16667) + 2πk।

हम अंतराल पर महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं [-9; 9]:

x = आर्ककोस (0.16667) - 2π * 2 = -11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

x = -arccos (0.16667) - 2π * 1 = -7.687

x = आर्ककोस (0.16667) - 2π * 1 = -4.88

x = -arccos (0.16667) + 2π * 0 = -1.403

x = आर्ककोस (0.16667) + 2π * 0 = 1.403

x = -arccos (0.16667) + 2π * 1 = 4.88

x = आर्ककोस (0.16667) + 2π * 1 = 7.687

x = -arccos (0.16667) + 2π * 2 = 11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

हम तर्क के महत्वपूर्ण मूल्यों पर फ़ंक्शन के मान पाते हैं:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

यह देखा जा सकता है कि अंतराल पर [-9; 9] फ़ंक्शन का मान x = -4.88 पर सबसे बड़ा है:

एक्स = -4.88, वाई = 5.398,

और सबसे छोटा - x = 4.88 पर:

एक्स = 4.88, वाई = -5.398.

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है: x = -4.88। x = -4.88 पर फ़ंक्शन का मान y = 5.398 है।

हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन का मान पाते हैं:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान है

y = 5.398 x = -4.88 पर

सबसे छोटा मान है

y = 1.077 x = -3 पर

किसी फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदु कैसे खोजें और उत्तलता और अवतलता के पक्षों का निर्धारण कैसे करें?

रेखा y \u003d f (x) के सभी विभक्ति बिंदुओं को खोजने के लिए, आपको दूसरा व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है, इसे शून्य के बराबर करें (समीकरण को हल करें) और x के उन सभी मानों का परीक्षण करें जिनके लिए दूसरा व्युत्पन्न शून्य, अनंत है या मौजूद नहीं है। यदि, इनमें से किसी एक मान से गुजरते समय, दूसरा व्युत्पन्न संकेत बदलता है, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ में इस बिंदु पर एक विभक्ति होती है। यदि यह नहीं बदलता, तो कोई विभक्ति नहीं है।

समीकरण की जड़ें एफ ? (x) = 0, साथ ही फ़ंक्शन के असंततता के संभावित बिंदु और दूसरा व्युत्पन्न, फ़ंक्शन के डोमेन को कई अंतरालों में विभाजित करते हैं। उनके प्रत्येक अंतराल पर उत्तलता दूसरे व्युत्पन्न के संकेत द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि अध्ययनाधीन अंतराल पर किसी बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो रेखा y = f(x) यहां ऊपर की ओर अवतल है, और यदि यह नकारात्मक है, तो नीचे की ओर है।

दो चरों वाले किसी फलन का एक्स्ट्रेमा कैसे ज्ञात करें?

फ़ंक्शन f(x, y) के चरम को खोजने के लिए, जो इसके असाइनमेंट के क्षेत्र में भिन्न है, आपको चाहिए:

1) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, और इसके लिए समीकरणों की प्रणाली को हल करें

एफएक्स? (x,y) = 0, वित्तीय वर्ष? (एक्स,वाई) = 0

2) प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु P0(a;b) के लिए, जांच करें कि क्या अंतर का चिह्न अपरिवर्तित रहता है

सभी बिंदुओं (x; y) के लिए P0 के काफी करीब। यदि अंतर सकारात्मक चिह्न बरकरार रखता है, तो बिंदु P0 पर हमारे पास न्यूनतम है, यदि नकारात्मक है, तो अधिकतम है। यदि अंतर अपना चिह्न बरकरार नहीं रखता है, तो बिंदु Р0 पर कोई चरम सीमा नहीं है।

इसी प्रकार, बड़ी संख्या में तर्कों के लिए फ़ंक्शन का चरम निर्धारित किया जाता है।

श्रेक फॉरएवर आफ्टर के बारे में क्या है?
एनिमेशन: श्रेक फॉरएवर आफ्टर रिलीज़ का वर्ष: 2010 प्रीमियर (रूस): 20 मई, 2010 देश: यूएसए निर्देशक: माइकल पिचेल स्क्रिप्ट: जोश क्लाऊसनर, डैरेन लेम्के शैली: पारिवारिक कॉमेडी, फंतासी, साहसिक आधिकारिक वेबसाइट: www.shrekforeverafter.com प्लॉट कार्टून

क्या मैं अपनी माहवारी के दौरान रक्तदान कर सकती हूँ?
डॉक्टर मासिक धर्म के दौरान रक्तदान करने की सलाह नहीं देते, क्योंकि. रक्त की हानि, हालांकि महत्वपूर्ण मात्रा में नहीं, हीमोग्लोबिन के स्तर में कमी और महिला की भलाई में गिरावट से भरी होती है। रक्तदान प्रक्रिया के दौरान, रक्तस्राव का पता चलने तक स्वास्थ्य की स्थिति खराब हो सकती है। इसलिए महिलाओं को मासिक धर्म के दौरान रक्तदान करने से बचना चाहिए। और उनके समाप्त होने के 5वें दिन ही

फर्श धोते समय कितने किलो कैलोरी/घंटा की खपत होती है
प्रकार शारीरिक गतिविधिऊर्जा की खपत, किलो कैलोरी/घंटा खाना बनाना 80 कपड़े पहनना 30 ड्राइविंग 50 धूल झाड़ना 80 खाना 30 बागवानी 135 इस्त्री करना 45 बिस्तर बनाना 130 खरीदारी 80 गतिहीन काम 75 लकड़ी काटना 300 फर्श धोना 130 सेक्स 100-150 कम तीव्रता वाला एरोबिक नृत्य

"दुष्ट" शब्द का क्या अर्थ है?
बदमाश वह चोर होता है जो छोटी-मोटी चोरी करता है, या वह दुष्ट व्यक्ति होता है जो कपटपूर्ण चालों में लगा रहता है। इस परिभाषा की पुष्टि क्रायलोव के व्युत्पत्ति संबंधी शब्दकोश में निहित है, जिसके अनुसार "ठग" शब्द "ठग" (चोर, ठग) शब्द से बना है, क्रिया के समान &la

स्ट्रैगात्स्की बंधुओं की अंतिम प्रकाशित कहानी का नाम क्या है?
एक छोटी सी कहानीअर्कडी और बोरिस स्ट्रैगात्स्की की "साइक्लोटेशन के मुद्दे पर" पहली बार अप्रैल 2008 में विज्ञान कथा संकलन "नून। XXI सेंचुरी" (बोरिस स्ट्रैगात्स्की के संपादन के तहत प्रकाशित पत्रिका "वोक्रग स्वेता" का पूरक) में प्रकाशित हुई थी। यह प्रकाशन बोरिस स्ट्रैगात्स्की की 75वीं वर्षगांठ को समर्पित था।

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वर्क एंड ट्रैवल यूएसए (यूएसए में काम और यात्रा) एक लोकप्रिय छात्र विनिमय कार्यक्रम है जहां आप अमेरिका में गर्मियों में कानूनी रूप से सेवा क्षेत्र में काम कर सकते हैं और यात्रा कर सकते हैं। कार्य और यात्रा कार्यक्रम का इतिहास अंतर-सरकारी आदान-प्रदान के सांस्कृतिक आदान-प्रदान प्रो कार्यक्रम का हिस्सा है

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बॉब डायलन (इंग्लैंड। बॉब डायलन, वास्तविक नाम - रॉबर्ट एलन ज़िम्मरमैन अंग्रेजी। रॉबर्ट एलन ज़िम्मरमैन; जन्म 24 मई, 1941) एक अमेरिकी गीतकार हैं, जो - रोलिंग स्टोन पत्रिका के एक सर्वेक्षण के अनुसार - दूसरे स्थान पर हैं।

इनडोर पौधों का परिवहन कैसे करें
खरीद के बाद घरों के भीतर लगाए जाने वाले पौधे, माली को खरीदे गए विदेशी फूलों को बिना किसी नुकसान के पहुँचाने के कार्य का सामना करना पड़ता है। इनडोर पौधों की पैकिंग और परिवहन के बुनियादी नियमों को जानने से इस समस्या को हल करने में मदद मिलेगी। परिवहन या परिवहन के लिए पौधों को पैक किया जाना चाहिए। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पौधों को कितनी कम दूरी तक ले जाया जाता है, वे क्षतिग्रस्त हो सकते हैं, वे सूख सकते हैं, और सर्दियों में भी

किसी कार्य का चरम क्या है और चरम के लिए आवश्यक शर्त क्या है?

किसी फ़ंक्शन का चरम फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम होता है।

फ़ंक्शन के चरम (अधिकतम या न्यूनतम) के लिए पर्याप्त स्थिति क्या है?

पहली शर्त:

किसी फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु क्या है और इसे कैसे खोजें?

उदाहरण के लिए, आइए खोजें परवलय का चरम.

फलन y(x) = 3x2 + 2x - 50.

फलन व्युत्पन्न: y?(x) = 6x + 2

हम समीकरण हल करते हैं: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

इस मामले में, क्रांतिक बिंदु x0=-1/3 है। यह उस तर्क के मान के लिए है जो फ़ंक्शन के पास है चरम. उसे पाने के लिए पाना, हम फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति में पाए गए नंबर को "x" के बजाय प्रतिस्थापित करते हैं:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333।

सुविचारित उदाहरण के लिए:

हम महत्वपूर्ण बिंदु के बाईं ओर के तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = -1

जब x = -1, अवकलज का मान y होगा? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (अर्थात् ऋण चिह्न)।

अब हम महत्वपूर्ण बिंदु के दाईं ओर के तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = 1

x = 1 के लिए, अवकलज का मान y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (अर्थात्, धन चिह्न) होगा।

उदाहरण के लिए, आइए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें

y (x) = 3 पाप (x) - 0.5x

अंतरालों पर:

तो फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

हम समीकरण 3cos(x) - 0.5 = 0 को हल करते हैं

क्योंकि(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ± आर्ककोस (0.16667) + 2πk।

हम अंतराल पर महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं [-9; 9]:

x = आर्ककोस (0.16667) - 2π * 2 = -11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

x = -arccos (0.16667) - 2π * 1 = -7.687

x = आर्ककोस (0.16667) - 2π * 1 = -4.88

x = -arccos (0.16667) + 2π * 0 = -1.403

x = आर्ककोस (0.16667) + 2π * 0 = 1.403

x = -arccos (0.16667) + 2π * 1 = 4.88

x = आर्ककोस (0.16667) + 2π * 1 = 7.687

x = -arccos (0.16667) + 2π * 2 = 11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

हम तर्क के महत्वपूर्ण मूल्यों पर फ़ंक्शन के मान पाते हैं:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

यह देखा जा सकता है कि अंतराल पर [-9; 9] फ़ंक्शन का मान x = -4.88 पर सबसे बड़ा है:

एक्स = -4.88, वाई = 5.398,

और सबसे छोटा - x = 4.88 पर:

एक्स = 4.88, वाई = -5.398.

हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन का मान पाते हैं:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान है

y = 5.398 x = -4.88 पर

सबसे छोटा मान है

y = 1.077 x = -3 पर

दो चरों वाले किसी फलन का एक्स्ट्रेमा कैसे ज्ञात करें?

1) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, और इसके लिए समीकरणों की प्रणाली को हल करें

एफएक्स? (x,y) = 0, वित्तीय वर्ष? (एक्स,वाई) = 0

किसी सेगमेंट पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे खोजें?

इसके लिए हम सुप्रसिद्ध एल्गोरिथम का पालन करते हैं:

1 . हमें ODZ फ़ंक्शंस मिलते हैं।

2 . किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढना

3 . व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें

4 . हम वे अंतराल पाते हैं जिन पर व्युत्पन्न अपना चिह्न बनाए रखता है, और उनसे हम फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी के अंतराल निर्धारित करते हैं:

यदि अंतराल I पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0" title='f^( prime)(x)>0">, то функция !} इस अंतराल में वृद्धि होती है।

यदि अंतराल पर I फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है, तो फ़ंक्शन इस अंतराल में घट जाती है।

5 . हम देखतें है फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम अंक.

में फ़ंक्शन अधिकतम बिंदु, व्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न "+" से "-".

में फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदुव्युत्पन्न चिह्न "-" से "+" में बदलता है.

6 . हम खंड के अंत में फ़ंक्शन का मान पाते हैं,

फिर हम खंड के सिरों पर और अधिकतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करते हैं, और यदि आपको फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करना है तो उनमें से सबसे बड़ा चुनें
या हम खंड के अंत में और न्यूनतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्य की तुलना करते हैं, और यदि आपको फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करना है तो उनमें से सबसे छोटा चुनें

हालाँकि, फ़ंक्शन अंतराल पर कैसे व्यवहार करता है, इसके आधार पर, इस एल्गोरिदम को काफी कम किया जा सकता है।

फ़ंक्शन पर विचार करें . इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस तरह दिखता है:

आइए समस्याओं को हल करने के कुछ उदाहरण देखें बैंक खोलेंके लिए असाइनमेंट

1 . कार्य B15 (#26695)

कट पर.

1. फ़ंक्शन को x के सभी वास्तविक मानों के लिए परिभाषित किया गया है

जाहिर है, इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है, और x के सभी मानों के लिए व्युत्पन्न सकारात्मक है। इसलिए, फ़ंक्शन बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर, यानी x=0 पर सबसे बड़ा मान लेता है।

उत्तर: 5.

2 . टास्क बी15 (नंबर 26702)

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर.

1.ओडीजेड फ़ंक्शन शीर्षक='x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

व्युत्पन्न शून्य है, हालाँकि, इन बिंदुओं पर यह संकेत नहीं बदलता है:

इसलिए, title='3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर सबसे बड़ा मान लेता है।

यह स्पष्ट करने के लिए कि व्युत्पन्न चिह्न क्यों नहीं बदलता है, हम व्युत्पन्न के लिए अभिव्यक्ति को निम्नानुसार रूपांतरित करते हैं:

शीर्षक='y^(प्राइम)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2(x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

उत्तर: 5.

3 . कार्य B15 (#26708)

अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

1. ODZ फ़ंक्शन: title='x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

आइए इस समीकरण की जड़ों को एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर रखें।

अंतराल में दो संख्याएँ होती हैं: और

आइए संकेत लगाएं. ऐसा करने के लिए, हम बिंदु x=0 पर अवकलज का चिह्न निर्धारित करते हैं: . बिंदुओं और व्युत्पन्न से गुजरते समय संकेत बदल जाता है।

आइए समन्वय रेखा पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों के परिवर्तन को चित्रित करें:

जाहिर है, बिंदु एक न्यूनतम बिंदु है (जहां व्युत्पन्न "-" से "+" तक संकेत बदलता है), और अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आपको न्यूनतम बिंदु पर और खंड के बाएं छोर पर फ़ंक्शन के मानों की तुलना करने की आवश्यकता है।

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