Pronalaženje zajedničkog višekratnika dvaju brojeva. Najmanji zajednički višekratnik (LCM)
Najveći zajednički djelitelj
Definicija 2
Ako je prirodni broj a djeljiv s prirodnim brojem $b$, tada se $b$ naziva djeliteljom od $a$, a broj $a$ višekratnikom od $b$.
Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi. Broj $c$ naziva se zajedničkim djeliteljem i za $a$ i za $b$.
Skup zajedničkih djelitelja brojeva $a$ i $b$ je konačan, jer nijedan od tih djelitelja ne može biti veći od $a$. To znači da među tim djeliteljima postoji najveći, koji se naziva najvećim zajedničkim djeliteljem brojeva $a$ i $b$, a za njegovu oznaku koristi se oznaka:
$gcd \ (a;b) \ ili \ D \ (a;b)$
Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva:
- Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.
Primjer 1
Odredite NNO brojeva $121$ i $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Odaberite brojeve koji su uključeni u proširenje ovih brojeva
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.
$gcd=2\cdot 11=22$
Primjer 2
Pronađite GCD monoma $63$ i $81$.
Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo:
Rastavimo brojeve na proste faktore
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Odabiremo brojeve koji su uključeni u proširenje tih brojeva
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Pronađimo umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.
$gcd=3\cdot 3=9$
GCD dvaju brojeva možete pronaći na drugi način, pomoću skupa djelitelja brojeva.
Primjer 3
Odredite NNO brojeva $48$ i $60$.
Riješenje:
Pronađite skup djelitelja od $48$: $\lijevo\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\desno\)$
Pronađimo sada skup djelitelja od $60$:$\ \lijevo\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\desno\)$
Pronađimo presjek ovih skupova: $\lijevo\((\rm 1,2,3,4,6,12)\desno\)$ - ovaj skup će odrediti skup zajedničkih djelitelja brojeva $48$ i $60 $. Najveći element u ovom skupu bit će broj $12$. Dakle, najveći zajednički djelitelj $48$ i $60$ je $12$.
Definicija NOC-a
Definicija 3
zajednički višekratnik prirodnih brojeva$a$ i $b$ je prirodni broj koji je višekratnik i $a$ i $b$.
Zajednički višekratnici brojeva su brojevi koji su djeljivi s originalom bez ostatka. Na primjer, za brojeve $25$ i $50$, zajednički višekratnici će biti brojevi $50,100,150,200$, itd.
Najmanji zajednički višekratnik nazivat ćemo najmanji zajednički višekratnik i označavati ga s LCM$(a;b)$ ili K$(a;b).$
Da biste pronašli LCM dva broja, trebate:
- Rastavite brojeve na proste faktore
- Ispiši faktore koji su dio prvog broja i dodaj im faktore koji su dio drugog, a ne idu u prvi
Primjer 4
Pronađite LCM brojeva $99$ i $77$.
Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo
Rastavite brojeve na proste faktore
99$=3\cdot 3\cdot 11$
Zapišite čimbenike uključene u prvi
dodajte im faktore koji su dio drugog i ne idu prvom
Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najmanji zajednički višekratnik
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Sastavljanje popisa djelitelja brojeva često oduzima mnogo vremena. Postoji način da se pronađe GCD koji se zove Euklidov algoritam.
Tvrdnje na kojima se temelji Euklidov algoritam:
Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, a $a\vtočkice b$, onda je $D(a;b)=b$
Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $b
Koristeći $D(a;b)= D(a-b;b)$, možemo sukcesivno smanjivati brojeve koje razmatramo dok ne dođemo do para brojeva tako da je jedan od njih djeljiv s drugim. Tada će manji od tih brojeva biti željeni najveći zajednički djelitelj za brojeve $a$ i $b$.
Svojstva GCD i LCM
- Svaki zajednički višekratnik $a$ i $b$ djeljiv je s K$(a;b)$
- Ako $a\vtočke b$ , tada je K$(a;b)=a$
Ako je K$(a;b)=k$ i $m$-prirodni broj, onda je K$(am;bm)=km$
Ako je $d$ zajednički djelitelj za $a$ i $b$, tada je K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Ako $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , tada je $\frac(ab)(c)$ zajednički višekratnik $a$ i $b$
Za sve prirodne brojeve $a$ i $b$ vrijedi jednakost
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Svaki zajednički djelitelj od $a$ i $b$ je djelitelj od $D(a;b)$
Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik ključni su aritmetički koncepti koji vam omogućuju rad bez napora obični razlomci. LCM i najčešće se koriste za pronalaženje zajedničkog nazivnika nekoliko razlomaka.
Osnovni koncepti
Djelitelj cijelog broja X je drugi cijeli broj Y kojim je X djeljiv bez ostatka. Na primjer, djelitelj broja 4 je 2, a 36 je 4, 6, 9. Višekratnik cijelog broja X je broj Y koji je djeljiv s X bez ostatka. Na primjer, 3 je višekratnik broja 15, a 6 je višekratnik broja 12.
Za svaki par brojeva možemo pronaći njihove zajedničke djelitelje i višekratnike. Na primjer, za 6 i 9, zajednički višekratnik je 18, a zajednički djelitelj je 3. Očito, parovi mogu imati nekoliko djelitelja i višekratnika, tako da se u izračunima koriste najveći djelitelj GCD-a i najmanji višekratnik LCM-a. .
Najmanji djelitelj nema smisla jer je za svaki broj uvijek jedan. Najveći višekratnik je također besmislen, jer niz višekratnika teži beskonačnosti.
Pronalaženje GCD-a
Postoje mnoge metode za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja, od kojih su najpoznatije:
- sekvencijalno nabrajanje djelitelja, odabir zajedničkih za par i traženje najvećeg od njih;
- rastavljanje brojeva na nedjeljive faktore;
- Euklidov algoritam;
- binarni algoritam.
Danas u obrazovne ustanove najpopularnije su metode proste faktorizacije i Euklidov algoritam. Potonji se pak koristi u rješavanju Diofantovih jednadžbi: traženje GCD-a potrebno je za provjeru mogućnosti rješavanja jednadžbe u cijelim brojevima.
Pronalaženje NOO-a
Najmanji zajednički višekratnik također je točno određen iterativnim nabrajanjem ili faktoriziranjem na nedjeljive faktore. Osim toga, lako je pronaći LCM ako je najveći djelitelj već određen. Za brojeve X i Y, LCM i GCD su povezani sljedećom relacijom:
LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
Na primjer, ako je gcd(15,18) = 3, tada je LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najočitija upotreba LCM-a je pronaći zajednički nazivnik, koji je najmanji zajednički višekratnik zadani razlomci.
Koprosti brojevi
Ako par brojeva nema zajedničkih djelitelja, onda se takav par naziva međusobno prostim. GCM za takve parove uvijek je jednak jedinici, a na temelju povezanosti djelitelja i višekratnika, GCM za koproste je jednak njihovom umnošku. Na primjer, brojevi 25 i 28 su prosti, jer nemaju zajedničkih djelitelja, a LCM(25, 28) = 700, što odgovara njihovom umnošku. Bilo koja dva nedjeljiva broja uvijek će biti međusobno prosti.
Zajednički djelitelj i višestruki kalkulator
S našim kalkulatorom možete izračunati GCD i LCM za bilo koji broj brojeva koje možete izabrati. Zadaci za izračunavanje zajedničkih djelitelja i višekratnika nalaze se u aritmetici 5., 6. razreda, međutim, GCD i LCM - ključni koncepti matematike i koriste se u teoriji brojeva, planimetriji i komunikativnoj algebri.
Primjeri iz stvarnog života
Zajednički nazivnik razlomaka
Najmanji zajednički višekratnik koristi se kada se nalazi zajednički nazivnik nekoliko razlomaka. Pretpostavimo da je u aritmetičkom problemu potrebno zbrojiti 5 razlomaka:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Za zbrajanje razlomaka, izraz se mora svesti na zajednički nazivnik, što se svodi na problem pronalaženja LCM-a. Da biste to učinili, odaberite 5 brojeva u kalkulatoru i unesite vrijednosti nazivnika u odgovarajuće ćelije. Program će izračunati LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sada morate izračunati dodatne faktore za svaki razlomak, koji su definirani kao omjer LCM i nazivnika. Dakle, dodatni množitelji bi izgledali ovako:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Nakon toga pomnožimo sve razlomke s odgovarajućim dodatnim faktorom i dobijemo:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Takve razlomke možemo lako zbrojiti i dobiti rezultat u obliku 159/360. Smanjujemo razlomak za 3 i vidimo konačni odgovor - 53/120.
Rješenje linearnih Diofantovih jednadžbi
Linearne Diofantove jednadžbe su izrazi oblika ax + by = d. Ako je omjer d / gcd(a, b) cijeli broj, onda je jednadžba rješiva u cijelim brojevima. Provjerimo nekoliko jednadžbi za mogućnost cjelobrojnog rješenja. Prvo provjerite jednadžbu 150x + 8y = 37. Pomoću kalkulatora nalazimo gcd (150,8) = 2. Podijelite 37/2 = 18,5. Broj nije cijeli broj, stoga jednadžba nema cjelobrojne korijene.
Provjerimo jednadžbu 1320x + 1760y = 10120. Pomoću kalkulatora pronađite gcd(1320, 1760) = 440. Podijelite 10120/440 = 23. Kao rezultat, dobivamo cijeli broj, stoga je Diofantova jednadžba rješiva u cjelobrojnim koeficijentima .
Zaključak
GCD i LCM igraju važnu ulogu u teoriji brojeva, a sami koncepti naširoko se koriste u raznim područjima matematike. Koristite naš kalkulator za izračun najvećih djelitelja i najmanjih višekratnika bilo kojeg broja brojeva.
Najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva izravno je povezan s najvećim zajedničkim djeliteljem tih brojeva. Ovaj veza između GCD i NOC definiran je sljedećim teoremom.
Teorema.
Najmanji zajednički višekratnik dva prirodna broja a i b jednak je umnošku a i b podijeljenog najvećim zajedničkim djeliteljem a i b, tj. LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).
Dokaz.
Neka M je neki višekratnik brojeva a i b. To jest, M je djeljiv s a, a prema definiciji djeljivosti, postoji neki cijeli broj k takav da je jednakost M=a·k istinita. Ali M je također djeljiv s b, tada je a k djeljiv s b.
Označimo gcd(a, b) kao d . Tada možemo napisati jednakosti a=a 1 ·d i b=b 1 ·d, a a 1 =a:d i b 1 =b:d će biti međusobno prosti brojevi. Stoga se uvjet dobiven u prethodnom odlomku da je a k djeljivo s b može preformulirati na sljedeći način: a 1 d k je djeljiv s b 1 d , a to je, zbog svojstava djeljivosti, ekvivalentno uvjetu da je a 1 k djeljiv je s b 1 .
Iz razmatranog teorema trebamo napisati i dvije važne posljedice.
Zajednički višekratnici dvaju brojeva jednaki su višekratnicima njihovog najmanjeg zajedničkog višekratnika.
To je točno, budući da je svaki zajednički višekratnik M brojeva a i b definiran jednakošću M=LCM(a, b) t za neku cjelobrojnu vrijednost t .
Najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih brojeva pozitivni brojevi a i b jednak je njihovom umnošku.
Obrazloženje za ovu činjenicu je sasvim očito. Budući da su a i b međusobno prosti, tada je gcd(a, b)=1, dakle, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva
Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika tri ili više brojeva može se svesti na uzastopno pronalaženje LCM dvaju brojeva. Kako se to radi prikazano je u sljedećem teoremu: a 1 , a 2 , …, a k podudaraju se sa zajedničkim višekratnicima brojeva m k-1 i a k se, dakle, podudaraju s višekratnicima od m k . A budući da je najmanji pozitivni višekratnik broja m k sam broj m k, tada je najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2 , …, a k m k .
Bibliografija.
- Vilenkin N.Ya. itd. Matematika. Razred 6: udžbenik za obrazovne ustanove.
- Vinogradov I.M. Osnove teorije brojeva.
- Mikhelovich Sh.Kh. Teorija brojeva.
- Kulikov L.Ya. i dr. Zbirka zadataka iz algebre i teorije brojeva: Tutorial za studente fizike i matematike. specijalnosti pedagoških zavoda.
Da biste razumjeli kako izračunati LCM, prvo biste trebali odrediti značenje pojma "višestruko".
Višekratnik A je prirodan broj koji je bez ostatka djeljiv s A. Stoga se 15, 20, 25 i tako dalje mogu smatrati višekratnicima broja 5.
Može postojati ograničen broj djelitelja određenog broja, ali postoji beskonačan broj višekratnika.
Zajednički višekratnik prirodnih brojeva je broj koji je s njima djeljiv bez ostatka.
Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva
Najmanji zajednički višekratnik (NZM) brojeva (dva, tri ili više) je najmanji prirodni broj koji je ravnomjerno djeljiv sa svim tim brojevima.
Da biste pronašli NOC, možete koristiti nekoliko metoda.
Za male brojeve zgodno je ispisivati u retku sve višekratnike tih brojeva dok se među njima ne pronađe zajednički. Višekratnici označavaju u zapisu veliko slovo DO.
Na primjer, višekratnici broja 4 mogu se napisati ovako:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Dakle, možete vidjeti da je najmanji zajednički višekratnik brojeva 4 i 6 broj 24. Ovaj unos se izvodi na sljedeći način:
LCM(4, 6) = 24
Ako su brojevi veliki, pronađite zajednički višekratnik tri ili više brojeva, tada je bolje koristiti drugi način za izračunavanje LCM-a.
Za izvršenje zadatka potrebno je predložene brojeve rastaviti na proste faktore.
Prvo morate napisati proširenje najvećeg broja u retku, a ispod njega - ostatak.
U proširenju svakog broja može postojati različit broj faktora.
Na primjer, rastavimo brojeve 50 i 20 na proste faktore.
U širenju manjeg broja treba istaknuti čimbenike kojih nema u širenju prvog. veliki broj a zatim ih dodajte tome. U predstavljenom primjeru nedostaje dvojka.
Sada možemo izračunati najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 50.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Dakle, umnožak prostih faktora većeg broja i faktora drugog broja, koji nisu uključeni u rastavljanje većeg broja, bit će najmanji zajednički višekratnik.
Da bismo pronašli LCM tri ili više brojeva, sve ih treba rastaviti na proste faktore, kao u prethodnom slučaju.
Kao primjer, možete pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Dakle, samo dvije dvojke iz rastavljanja šesnaest nisu uvrštene u faktoriziranje većeg broja (jedan je u rastavljanju dvadesetčetiri).
Dakle, potrebno ih je dodati u razgradnju većeg broja.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Postoje posebni slučajevi određivanja najmanjeg zajedničkog višekratnika. Dakle, ako se jedan od brojeva može podijeliti bez ostatka s drugim, tada će veći od tih brojeva biti najmanji zajednički višekratnik.
Na primjer, NOC-ovi od dvanaest i dvadeset i četiri bili bi dvadeset i četiri.
Ako je potrebno pronaći najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih brojeva koji nemaju iste djelitelje, tada će njihov LCM biti jednak njihovom umnošku.
Na primjer, LCM(10, 11) = 110.
Nastavimo raspravu o najmanjem zajedničkom višekratniku koju smo započeli u odjeljku LCM - Najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri. U ovoj temi ćemo pogledati načine kako pronaći LCM za tri ili više brojeva, analizirat ćemo pitanje kako pronaći LCM negativnog broja.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd
Već smo utvrdili odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja. Sada naučimo kako definirati LCM kroz GCD. Prvo, shvatimo kako to učiniti za pozitivne brojeve.
Definicija 1
Najmanji zajednički višekratnik možete pronaći kroz najveći zajednički djelitelj pomoću formule LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .
Primjer 1
Potrebno je pronaći LCM brojeva 126 i 70.
Riješenje
Uzmimo a = 126 , b = 70 . Zamijenite vrijednosti u formuli za izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika kroz najveći zajednički djelitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Pronalazi GCD brojeva 70 i 126. Za ovo nam je potreban Euklidov algoritam: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , dakle gcd (126 , 70) = 14 .
Izračunajmo LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Odgovor: LCM (126, 70) = 630.
Primjer 2
Pronađite nok brojeva 68 i 34.
Riješenje
GCD u ovaj slučaj Lako ga je pronaći jer je 68 djeljivo s 34. Izračunajte najmanji zajednički višekratnik pomoću formule: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Odgovor: LCM(68, 34) = 68.
U ovom smo primjeru koristili pravilo za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika prirodnih brojeva a i b: ako je prvi broj djeljiv s drugim, tada će LCM tih brojeva biti jednak prvom broju.
Pronalaženje LCM rastavljanjem brojeva na proste faktore
Sada pogledajmo način pronalaska LCM-a, koji se temelji na rastavljanju brojeva na proste faktore.
Definicija 2
Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik, moramo izvršiti nekoliko jednostavnih koraka:
- sastavljamo umnožak svih prostih faktora brojeva za koje trebamo pronaći LCM;
- isključujemo sve proste faktore iz njihovih dobivenih proizvoda;
- umnožak dobiven nakon eliminacije zajedničkih prostih faktora bit će jednak LCM zadanih brojeva.
Ovaj način pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na jednakosti LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Ako pogledate formulu, postat će vam jasno: umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih faktora koji sudjeluju u proširenju ta dva broja. U ovom slučaju, GCD dvaju brojeva jednak je umnošku svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u faktorizaciji ta dva broja.
Primjer 3
Imamo dva broja 75 i 210 . Možemo ih faktorizirati ovako: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Ako napravite umnožak svih faktora dva izvorna broja, dobit ćete: 2 3 3 5 5 5 7.
Ako isključimo faktore koji su zajednički brojevima 3 i 5, dobit ćemo umnožak sljedećeg oblika: 2 3 5 5 7 = 1050. Ovaj proizvod će biti naš LCM za brojeve 75 i 210.
Primjer 4
Pronađite LCM brojeva 441 I 700 , rastavljajući oba broja na proste faktore.
Riješenje
Pronađimo sve proste faktore brojeva danih u uvjetu:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Dobivamo dva niza brojeva: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7 .
Umnožak svih faktora koji su sudjelovali u proširenju ovih brojeva izgledat će ovako: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Pronađimo zajedničke faktore. Ovaj broj je 7. Isključimo ga iz uobičajeni proizvod: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ispada da je NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Odgovor: LCM (441 , 700) = 44 100 .
Dajmo još jednu formulaciju metode za pronalaženje LCM-a rastavljanjem brojeva na proste faktore.
Definicija 3
Prethodno smo iz ukupnog broja isključili faktore zajedničke za oba broja. Sada ćemo to učiniti drugačije:
- Rastavimo oba broja na proste faktore:
- umnošku prostih faktora prvog broja dodati faktore drugog broja koji nedostaju;
- dobivamo proizvod, koji će biti željeni LCM od dva broja.
Primjer 5
Vratimo se brojevima 75 i 210 za koje smo već tražili LCM u jednom od prethodnih primjera. Rastavimo ih na jednostavne faktore: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Umnošku faktora 3, 5 i 5 broju 75 dodaj faktore koji nedostaju 2 I 7 brojevi 210 . Dobivamo: 2 3 5 5 7 . Ovo je LCM brojeva 75 i 210.
Primjer 6
Potrebno je izračunati LCM brojeva 84 i 648.
Riješenje
Rastavimo brojeve iz uvjeta na proste faktore: 84 = 2 2 3 7 I 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodajte umnošku faktora 2 , 2 , 3 i 7
brojevi 84 nedostaju faktori 2 , 3 , 3 i
3
brojevi 648 . Dobivamo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ovo je najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.
Odgovor: LCM (84, 648) = 4536.
Pronalaženje LCM tri ili više brojeva
Bez obzira s koliko brojeva imamo posla, algoritam naših radnji uvijek će biti isti: dosljedno ćemo pronaći LCM dvaju brojeva. Za ovaj slučaj postoji teorem.
Teorem 1
Pretpostavimo da imamo cijele brojeve a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k od ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .
Sada pogledajmo kako se teorem može primijeniti na specifične probleme.
Primjer 7
Trebate izračunati najmanji zajednički višekratnik četiriju brojeva 140 , 9 , 54 i 250 .
Riješenje
Uvedimo oznake: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Počnimo s izračunavanjem m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Upotrijebimo Euklidov algoritam za izračunavanje GCD brojeva 140 i 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Dobivamo: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Stoga je m 2 = 1 260 .
Izračunajmo sada prema istom algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Tijekom izračuna dobivamo m 3 = 3 780.
Ostaje nam da izračunamo m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Ponašamo se prema istom algoritmu. Dobivamo m 4 \u003d 94 500.
LCM četiri broja iz uvjeta primjera je 94500.
Odgovor: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Kao što vidite, izračuni su jednostavni, ali prilično naporni. Da biste uštedjeli vrijeme, možete ići drugim putem.
Definicija 4
Nudimo vam sljedeći algoritam radnji:
- rastaviti sve brojeve na proste faktore;
- umnošku faktora prvog broja dodati faktore koji nedostaju iz umnoška drugog broja;
- dodajte faktore trećeg broja koji nedostaju proizvodu dobivenom u prethodnoj fazi itd.;
- dobiveni umnožak bit će najmanji zajednički višekratnik svih brojeva iz uvjeta.
Primjer 8
Potrebno je pronaći LCM pet brojeva 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Riješenje
Rastavimo svih pet brojeva na proste faktore: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . primarni brojevi, koji je broj 7 , ne može se rastaviti na proste faktore. Takvi brojevi koincidiraju s njihovim rastavljanjem na proste faktore.
Sada uzmimo umnožak prostih faktora 2, 2, 3 i 7 broja 84 i pribrojimo im faktore koji nedostaju drugog broja. Rastavili smo broj 6 na 2 i 3. Ovi faktori su već u umnošku prvog broja. Stoga ih izostavljamo.
Nastavljamo zbrajati množitelje koji nedostaju. Okrećemo se broju 48, od umnoška prostih faktora od kojih uzimamo 2 i 2. Zatim dodajemo prosti faktor 7 iz četvrtog broja i faktore 11 i 13 iz petog. Dobivamo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Ovo je najmanji zajednički višekratnik od pet originalnih brojeva.
Odgovor: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika negativnih brojeva
Da bi se pronašao najmanji zajednički višekratnik negativnih brojeva, te brojeve prvo treba zamijeniti brojevima suprotnog predznaka, a zatim izvršiti izračune prema gore navedenim algoritmima.
Primjer 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) i LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Takvi postupci su dopušteni zbog činjenice da ako se prihvati da a I − a- suprotni brojevi
zatim skup višekratnika a poklapa se sa skupom višekratnika broja − a.
Primjer 10
Potrebno je izračunati LCM negativnih brojeva − 145 I − 45 .
Riješenje
Promijenimo brojeve − 145 I − 45 na njihove suprotne brojeve 145 I 45 . Sada pomoću algoritma izračunavamo LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45 : 5 = 1 305 , nakon što smo prethodno odredili GCD pomoću Euklidovog algoritma.
Dobijamo da je LCM brojeva − 145 i − 45 jednaki 1 305 .
Odgovor: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
