Proučavanje grafova funkcija. Istraživanje funkcije metodama diferencijalnog računa

Jedan od najvažnijih zadataka diferencijalnog računa je razvoj uobičajeni primjeri proučavanja ponašanja funkcija.

Ako je funkcija y \u003d f (x) neprekidna na intervalu, a njezin izvod je pozitivan ili jednak 0 na intervalu (a, b), tada y \u003d f (x) raste za (f "(x) 0). Ako je funkcija y \u003d f (x) neprekidna na segmentu , a njezina derivacija negativna ili jednaka 0 na intervalu (a,b), tada y=f(x) opada za (f"( x)0)

Intervali u kojima funkcija ne opada niti raste nazivaju se intervali monotonosti funkcije. Priroda monotonosti funkcije može se promijeniti samo u onim točkama njezine domene definicije, u kojima se mijenja predznak prve derivacije. Točke u kojima prva derivacija funkcije nestaje ili se lomi nazivaju se kritične točke.

Teorem 1 (1. dovoljan uvjet za postojanje ekstrema).

Neka je funkcija y=f(x) definirana u točki x 0 i neka postoji susjedstvo δ>0 takvo da je funkcija kontinuirana na segmentu , diferencijabilna na intervalu (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , a njegova derivacija zadržava konstantan predznak na svakom od tih intervala. Tada ako su na x 0 -δ, x 0) i (x 0, x 0 + δ) predznaci derivacije različiti, tada je x 0 točka ekstrema, a ako se podudaraju, onda x 0 nije točka ekstrema . Štoviše, ako pri prolasku kroz točku x0 derivacija promijeni predznak iz plusa u minus (lijevo od x 0 izvodi se f "(x)> 0, tada je x 0 najveća točka; ako derivacija promijeni predznak od minusa do plusa (desno od x 0 se izvršava pomoću f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Točke maksimuma i minimuma nazivaju se točkama ekstrema funkcije, a maksimumi i minimumi funkcije njezinim ekstremnim vrijednostima.

Teorem 2 (nužan kriterij za lokalni ekstrem).

Ako funkcija y=f(x) ima ekstrem u trenutnom x=x 0, tada ili f'(x 0)=0 ili f'(x 0) ne postoji.
U točkama ekstrema diferencijabilne funkcije tangenta na njezin graf je paralelna s osi Ox.

Algoritam za proučavanje funkcije za ekstrem:

1) Pronađite izvod funkcije.
2) Pronađite kritične točke, tj. točke u kojima je funkcija kontinuirana, a derivacija nula ili ne postoji.
3) Razmotrite okolicu svake od točaka i ispitajte predznak derivacije lijevo i desno od te točke.
4) Odredite koordinate ekstremnih točaka, za ovu vrijednost kritičnih točaka zamijenite u ovu funkciju. Koristeći dostatne ekstremne uvjete, izvucite odgovarajuće zaključke.

Primjer 18. Istražite funkciju y=x 3 -9x 2 +24x

Riješenje.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Izjednačavanjem izvoda s nulom nalazimo x 1 =2, x 2 =4. U ovaj slučaj derivat je svugdje definiran; dakle, osim dvije nađene točke, nema drugih kritičnih točaka.
3) Predznak derivacije y "=3(x-2)(x-4) mijenja se ovisno o intervalu kao što je prikazano na slici 1. Prolaskom kroz točku x=2 derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, a pri prolasku kroz točku x=4 - iz minusa u plus.
4) U točki x=2 funkcija ima maksimum y max =20, a u točki x=4 - minimum y min =16.

Teorem 3. (2. dovoljan uvjet za postojanje ekstrema).

Neka f "(x 0) i f "" (x 0) postoje u točki x 0. Tada ako je f "" (x 0)> 0, tada je x 0 točka minimuma, a ako je f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmentu funkcija y \u003d f (x) može doseći najmanju (barem) ili najveću (najviše) vrijednost bilo na kritičnim točkama funkcije koje leže u intervalu (a; b), ili na krajevima segmenta.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije y=f(x) na segmentu:

1) Pronađite f "(x).
2) Pronađite točke u kojima f "(x) = 0 ili f" (x) - ne postoji, i odaberite među njima one koje leže unutar segmenta.
3) Izračunajte vrijednost funkcije y \u003d f (x) u točkama dobivenim u stavku 2), kao i na krajevima segmenta i odaberite najveći i najmanji od njih: oni su, odnosno, najveći ( za najveću) i najmanju (za najmanju) vrijednost funkcije na intervalu .

Primjer 19. Pronađite najveću vrijednost kontinuirane funkcije y=x 3 -3x 2 -45+225 na odsječku .

1) Imamo y "=3x 2 -6x-45 na segmentu
2) Derivacija y" postoji za sve x. Nađimo točke u kojima je y"=0; dobivamo:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Izračunajte vrijednost funkcije u točkama x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Odsječku pripada samo točka x=5. Najveća od pronađenih vrijednosti funkcije je 225, a najmanja je broj 50. Dakle, pri max = 225, pri max = 50.

Ispitivanje funkcije na konveksnosti

Na slici su prikazani grafovi dviju funkcija. Prvi od njih je okrenut s izbočinom prema gore, drugi - s izbočinom prema dolje.

Funkcija y=f(x) je kontinuirana na segmentu i diferencijabilna u intervalu (a;b), naziva se konveksnom gore (dolje) na ovom segmentu, ako za axb njezin graf ne leži više (ne niže) od tangente nacrtana u bilo kojoj točki M 0 (x 0 ;f(x 0)), gdje je axb.

Teorem 4. Neka funkcija y=f(x) ima drugu derivaciju u bilo kojoj unutarnjoj točki x segmenta i neka je kontinuirana na krajevima tog segmenta. Tada ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema dolje na segmentu ; ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema gore na .

Teorem 5. Ako funkcija y=f(x) ima drugu derivaciju na intervalu (a;b) i ako prolaskom kroz točku x 0 mijenja predznak, tada je M(x 0 ;f(x 0)) točka infleksije.

Pravilo za pronalaženje točaka infleksije:

1) Pronađite točke u kojima f""(x) ne postoji ili nestaje.
2) Ispitajte znak f""(x) lijevo i desno od svake točke pronađene u prvom koraku.
3) Na temelju teorema 4 izvedite zaključak.

Primjer 20. Odredite točke ekstrema i točke infleksije grafa funkcije y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Imamo f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Očito, f"(x)=0 za x 1 =0, x 2 =1. Derivacija pri prolasku kroz točku x=0 mijenja predznak iz minusa u plus, a pri prolasku kroz točku x=1 ne mijenja predznak. To znači da je x=0 točka minimuma (y min =12), a u točki x=1 nema ekstrema. Dalje, nalazimo . Druga derivacija nestaje u točkama x 1 =1, x 2 =1/3. Predznaci druge derivacije se mijenjaju na sljedeći način: Na zraku (-∞;) imamo f""(x)>0, na intervalu (;1) imamo f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Stoga je x= točka infleksije grafa funkcije (prijelaz iz konveksnosti prema dolje u konveksnost prema gore), a x=1 također je točka infleksije (prijelaz iz konveksnosti prema gore u konveksnost prema dolje). Ako je x=, tada je y= ; ako, tada je x=1, y=13.

Algoritam za pronalaženje asimptote grafa

I. Ako je y=f(x) kao x → a , tada je x=a vertikalna asimptota.
II. Ako je y=f(x) kao x → ∞ ili x → -∞ tada je y=A horizontalna asimptota.
III. Za pronalaženje kose asimptote koristimo sljedeći algoritam:
1) Izračunajte. Ako granica postoji i jednaka je b, tada je y=b horizontalna asimptota; ako , prijeđite na drugi korak.
2) Izračunajte. Ako ta granica ne postoji, tada nema ni asimptote; ako postoji i jednak je k, prijeđite na treći korak.
3) Izračunajte. Ako ta granica ne postoji, tada nema ni asimptote; ako postoji i jednak je b, prijeđite na četvrti korak.
4) Zapišite jednadžbu kose asimptote y=kx+b.

Primjer 21: Pronađite asimptotu za funkciju

1)
2)
3)
4) Jednadžba kose asimptote ima oblik

Shema proučavanja funkcije i konstrukcija njezinog grafikona

I. Pronađite domenu funkcije.
II. Pronađite točke presjeka grafa funkcije s koordinatnim osima.
III. Pronađite asimptote.
IV. Pronađite točke mogućeg ekstrema.
V. Pronađite kritične točke.
VI. Pomoću pomoćnog crteža istražite predznak prve i druge derivacije. Odrediti područja porasta i opadanja funkcije, pronaći smjer konveksnosti grafa, točke ekstrema i točke infleksije.
VII. Izgradite grafikon, uzimajući u obzir istraživanje provedeno u odlomcima 1-6.

Primjer 22: Nacrtajte graf funkcije prema gornjoj shemi

Riješenje.
I. Domena funkcije je skup svih realnih brojeva, osim x=1.
II. Kako jednadžba x 2 +1=0 nema realne korijene, tada graf funkcije nema sjecišnih točaka s osi Ox, već siječe os Oy u točki (0; -1).
III. Razjasnimo pitanje postojanja asimptota. Istražujemo ponašanje funkcije u blizini točke diskontinuiteta x=1. Budući da je y → ∞ za x → -∞, y → +∞ za x → 1+, tada je pravac x=1 okomita asimptota grafa funkcije.
Ako je x → +∞(x → -∞), tada je y → +∞(y → -∞); dakle, graf nema horizontalnu asimptotu. Nadalje, iz postojanja granica

Rješavanjem jednadžbe x 2 -2x-1=0 dobivamo dvije točke mogućeg ekstremuma:
x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2

V. Da bismo pronašli kritične točke, izračunavamo drugu derivaciju:

Budući da f""(x) ne nestaje, nema kritičnih točaka.
VI. Istražujemo predznak prve i druge derivacije. Moguće točke ekstrema koje treba razmotriti: x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2, podijeliti područje postojanja funkcije u intervale (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) i (1+√2;+∞).

U svakom od ovih intervala derivat zadržava svoj predznak: u prvom - plus, u drugom - minus, u trećem - plus. Niz znakova prve derivacije bit će napisan na sljedeći način: +, -, +.
Dobijamo da funkcija na (-∞;1-√2) raste, na (1-√2;1+√2) pada, a na (1+√2;+∞) ponovno raste. Točke ekstrema: maksimum na x=1-√2, štoviše f(1-√2)=2-2√2 minimum na x=1+√2, štoviše f(1+√2)=2+2√2. Na (-∞;1) graf je konveksan prema gore, a na (1;+∞) - prema dolje.
VII Napravimo tablicu dobivenih vrijednosti

VIII Na temelju dobivenih podataka gradimo skicu grafa funkcije

Proučavanje funkcije provodi se prema jasnoj shemi i zahtijeva od studenta dobro poznavanje osnovnih matematičkih pojmova kao što su domena definicije i vrijednosti, kontinuitet funkcije, asimptota, točke ekstrema, paritet, periodičnost, itd. Učenik mora slobodno razlikovati funkcije i rješavati jednadžbe koje su ponekad vrlo zamršene.

Odnosno, ovaj zadatak testira značajan sloj znanja, svaka praznina u kojoj će postati prepreka za dobivanje točnog rješenja. Osobito često nastaju poteškoće s konstrukcijom grafova funkcija. Ova pogreška učitelju odmah upada u oči i može vam jako pokvariti ocjenu, čak i ako je sve ostalo urađeno kako treba. Ovdje možete pronaći zadaci za proučavanje funkcije online: proučiti primjere, preuzeti rješenja, naručiti zadatke.

Istražite funkciju i dijagram: primjeri i rješenja na mreži

Pripremili smo za vas mnogo gotovih studija značajki, plaćenih u knjizi rješenja i besplatnih u odjeljku Primjeri istraživanja značajki. Na temelju ovih riješenih zadataka moći ćete se detaljno upoznati s metodologijom izvođenja takvih zadataka, analogno tome, izvršiti vlastito istraživanje.

Nudimo gotove primjere cjelovite studije i crtanja grafa funkcija najčešćih tipova: polinoma, frakcijskih racionalnih, iracionalnih, eksponencijalnih, logaritamskih, trigonometrijskih funkcija. Svaki riješeni problem prati gotov graf s odabranim ključnim točkama, asimptotama, maksimumima i minimumima, a rješenje se provodi prema algoritmu za proučavanje funkcije.

Riješeni primjeri, u svakom slučaju, bit će vam dobra pomoć jer pokrivaju najpopularnije vrste funkcija. Nudimo vam stotine već riješenih problema, ali, kao što znate, na svijetu postoji beskonačan broj matematičkih funkcija, a učitelji su veliki stručnjaci u izmišljanju sve zamršenijih zadataka za siromašne učenike. Dakle, dragi studenti, kvalificirana pomoć vam neće nauditi.

Rješavanje problema za proučavanje funkcije po narudžbi

U tom slučaju naši će vam partneri ponuditi drugu uslugu - potpuno funkcionalno učenje online naručiti. Zadatak će biti dovršen za vas u skladu sa svim zahtjevima za algoritam za rješavanje takvih problema, što će jako obradovati vašeg učitelja.

Napravit ćemo kompletnu studiju funkcije za vas: pronaći ćemo domenu definicije i raspon vrijednosti, ispitati kontinuitet i diskontinuitet, postaviti paritet, provjeriti periodičnost vaše funkcije, pronaći točke presjeka s koordinatnim osima . I, naravno, dalje uz pomoć diferencijalnog računa: pronaći ćemo asimptote, izračunati ekstreme, točke infleksije i izgraditi sam graf.

Ispitajmo funkciju \(y= \frac(x^3)(1-x) \) i izgradimo njezin graf.

1. Domena definicije.
Područje definiranja racionalne funkcije (razlomka) bit će: nazivnik nije jednak nuli, tj. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domena $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Prijelomne točke funkcije i njihova klasifikacija.
Funkcija ima jednu prijelomnu točku x = 1
ispitajte točku x= 1. Pronađite granicu funkcije desno i lijevo od točke diskontinuiteta, desno $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1-x )) = -\infty $$ i lijevo od točke $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ jednostrana ograničenja su \(\infty\).

Pravac \(x = 1\) je okomita asimptota.

3. Ravnomjernost funkcije.
Provjera parnosti \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) funkcija nije ni parna ni neparna.

4. Nule funkcije (točke presjeka s osi Ox). Intervali konstantnosti funkcija.
Funkcijske nule ( točka presjeka s osi Ox): izjednačimo \(y=0\), dobivamo \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Krivulja ima jednu točku sjecišta s osi Ox s koordinatama \((0;0)\).

Intervali konstantnosti funkcija.
Na razmatranim intervalima \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) krivulja ima jednu sjecišnu točku s osi Ox , pa ćemo domenu definicije razmatrati na tri intervala.

Odredimo predznak funkcije na intervalima domene definicije:
interval \((-\infty; 0) \) pronađite vrijednost funkcije u bilo kojoj točki \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
interval \((0; 1) \) pronađite vrijednost funkcije u bilo kojoj točki \(f(0,5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), na tom intervalu funkcija je pozitivna \(f(x ) > 0 \), tj. je iznad x-osi.
interval \((1;+\infty) \) pronađite vrijednost funkcije u bilo kojoj točki \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Točke presjeka s osi Oy: izjednačimo \(x=0 \), dobivamo \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Koordinate točke presjeka s osi Oy \((0; 0)\)

6. Intervali monotonosti. Funkcionalni ekstremi.
Pronađimo kritične (stacionarne) točke, za to ćemo pronaći prvu derivaciju i izjednačiti je s nulom $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ jednako 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Pronađite vrijednost funkcije u ovoj točki \(f (0) = 0\) i \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Imam dvije kritične točke s koordinatama \((0;0)\) i \((1,5;-6,75)\)

Intervali monotonosti.
Funkcija ima dvije kritične točke (moguće točke ekstrema), pa ćemo promatrati monotonost na četiri intervala:
interval \((-\infty; 0) \) pronađite vrijednost prve derivacije u bilo kojoj točki intervala \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
interval \((0;1)\) pronađite vrijednost prve derivacije u bilo kojoj točki intervala \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , funkcija raste na tom intervalu.
interval \((1;1.5)\) pronađite vrijednost prve derivacije u bilo kojoj točki intervala \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , funkcija raste na tom intervalu.
interval \((1,5; +\infty)\) pronađite vrijednost prve derivacije u bilo kojoj točki intervala \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Funkcionalni ekstremi.

U istraživanju funkcije dobivene su dvije kritične (stacionarne) točke na intervalu domene definicije. Utvrdimo jesu li to ekstremi. Razmotrimo promjenu predznaka derivacije pri prolasku kroz kritične točke:

točka \(x = 0\) derivacija mijenja predznak iz \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - točka nije ekstrem.
točka \(x = 1,5\) derivacija mijenja predznak iz \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - točka je najveća točka.

7. Intervali konveksnosti i konkavnosti. Točke infleksije.

Da bismo pronašli intervale konveksnosti i konkavnosti, pronalazimo drugu derivaciju funkcije i izjednačavamo je s nulom $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Postavi $$ na nulu \frac(2x(x^2-3x+3))(( 1-x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funkcija ima jedan kritična točka druge vrste s koordinatama \((0;0)\).
Definirajmo konveksnost na intervalima domene definicije, uzimajući u obzir kritičnu točku druge vrste (točku moguće infleksije).

interval \((-\infty; 0)\) pronađite vrijednost druge derivacije u bilo kojoj točki \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
interval \((0; 1)\) pronađite vrijednost druge derivacije u bilo kojoj točki \(f""(0,5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x)^ 3) > 0 \), na tom intervalu druga derivacija funkcije je pozitivna \(f""(x) > 0 \) funkcija je konveksna prema dolje (konveksna).
interval \((1; \infty)\) pronađite vrijednost druge derivacije u bilo kojoj točki \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Točke infleksije.

Razmotrimo promjenu predznaka druge derivacije pri prolasku kroz kritičnu točku druge vrste:
U točki \(x =0\) druga derivacija mijenja predznak iz \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), graf funkcije mijenja konveksnost, tj. ovo je točka infleksije s koordinatama \((0;0)\).

8. Asimptote.

Vertikalna asimptota. Graf funkcije ima jednu okomitu asimptotu \(x =1\) (vidi točku 2).
Kosa asimptota.
Kako bi graf funkcije \(y= \frac(x^3)(1-x) \) za \(x \to \infty\) imao kosu asimptotu \(y = kx+b\) , potrebno je i dovoljno , tako da postoje dvije granice $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ nađi $$ \lim_(x \ do \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ i druga granica $$ \lim_(x \to +\infty)(f( x) - kx) = b$ $, jer \(k = \infty\) - nema kose asimptote.

Horizontalna asimptota: da bi horizontalna asimptota postojala, potrebno je da postoji granica $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$, pronađite je $$ \lim_(x \to +\infty) (\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\infty $$
Ne postoji horizontalna asimptota.

9. Grafik funkcije.

Referentne točke u proučavanju funkcija i konstrukciji njihovih grafikona su karakteristične točke - točke diskontinuiteta, ekstrema, infleksije, sjecišta s koordinatnim osima. Uz pomoć diferencijalnog računa može se ustanoviti karakteristike promjene funkcije: porast i pad, maksimumi i minimumi, smjer konveksnosti i konkavnosti grafa, prisutnost asimptota.

Skica grafa funkcije se može (i treba) skicirati nakon pronalaska asimptota i točaka ekstrema, a zgodno je popuniti zbirnu tablicu proučavanja funkcije u tijeku proučavanja.

Obično se koristi sljedeća shema istraživanja funkcije.

1.Pronađite domenu, intervale kontinuiteta i prijelomne točke funkcije.

2.Ispitajte je li funkcija parna ili neparna (aksijalna ili središnja simetrija grafa.

3.Pronađite asimptote (vertikalne, vodoravne ili kose).

4.Naći i istražiti intervale rasta i opadanja funkcije, njezine točke ekstrema.

5.Odredite intervale konveksnosti i konkavnosti krivulje, njezine točke infleksije.

6.Pronađite točke presjeka krivulje s koordinatnim osima, ako postoje.

7.Sastavite zbirnu tablicu studije.

8.Izgradite grafikon, uzimajući u obzir proučavanje funkcije, provedeno prema gornjim točkama.

Primjer. Istražite funkciju

i zacrtajte ga.

7. Napravimo zbirnu tablicu proučavanja funkcije u koju ćemo unijeti sve karakteristične točke i intervale između njih. S obzirom na parnost funkcije dobivamo sljedeću tablicu: