Dom › električna oprema › Pravilo množenja razlomaka i primjeri. Množenje prostih i mješovitih razlomaka s različitim nazivnicima

Pravilo množenja razlomaka i primjeri. Množenje prostih i mješovitih razlomaka s različitim nazivnicima

ZAOBILAZITE VEĆ OVE GRABLJE! 🙂

Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jaki "ne baš. »
A za one koji “vrlo čak. "")

Ova operacija je puno ljepša od zbrajanja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećam vas: da biste pomnožili razlomak s razlomkom, morate pomnožiti brojnike (ovo će biti brojnik rezultata) i nazivnike (ovo će biti nazivnik). To je:

Sve je krajnje jednostavno. I nemojte, molim vas, tražiti zajednički nazivnik! Ne treba ovdje...

Da biste podijelili razlomak na razlomak, morate okrenuti drugi(ovo je važno!) razlomak i pomnožite ih, tj.:

Ako se uhvati množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima, u redu je. Kao i kod zbrajanja, pravimo razlomak od cijelog broja s jedinicom u nazivniku - i idemo! Na primjer:

U srednjoj školi često se morate baviti trokatnim (ili čak četverokatnim!) razlomcima. Na primjer:

Kako ovaj razlomak dovesti u pristojan oblik? Da, vrlo jednostavno! Koristite dijeljenje kroz dvije točke:

Ali ne zaboravite na redoslijed podjele! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali u trokatnici je lako pogriješiti. Imajte na umu, na primjer:

U prvom slučaju (izraz lijevo):

U drugom (izraz desno):

Osjeti razliku? 4 i 1/9!

Koji je redoslijed podjele? Ili zagrade, ili (kao ovdje) duljinu horizontalnih crtica. Razviti oko. A ako nema zagrada ili crtica, na primjer:

zatim podijeli-množi redom, slijeva na desno!

I još jedan vrlo jednostavan i važan trik. U akcijama sa diplomama, dobro će vam doći! Podijelimo jedinicu s bilo kojim razlomkom, na primjer s 13/15:

Snimak se preokrenuo! I uvijek se dogodi. Kada dijelite 1 bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo obrnut.

To su sve radnje s razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno grešaka. Bilješka praktične savjete, i njih (grešaka) će biti manje!

1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažljivost! Ovo nisu obične riječi, nisu dobre želje! Ovo je teška potreba! Napravite sve izračune na ispitu kao cjeloviti zadatak, koncentrirano i jasno. Bolje je napisati dva dodatna retka u nacrtu, nego zabrljati pri računanju u glavi.

2. U primjerima sa različiti tipovi razlomci - idite na obične razlomke.

3. Sve razlomke svodimo do kraja.

4. Višerazinske frakcijske izraze reduciramo na obične dijeljenjem kroz dvije točke (vodimo redoslijed dijeljenja!).

Ovdje su zadaci koje morate izvršiti. Nakon svih zadataka daju se odgovori. Koristite materijale ove teme i praktične savjete. Procijenite koliko biste primjera mogli točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke.

Zapamti točan odgovor dobiveno iz drugog (pogotovo trećeg) puta - ne računa se! Takav je surov život.

Tako, riješiti u ispitnom načinu ! Usput, ovo je priprema za ispit. Rješavamo primjer, provjeravamo, rješavamo sljedeći. Sve smo odlučili – ponovno provjerili od prvog do zadnjeg. Ali samo Zatim pogledajte odgovore.

Tražite odgovore koji odgovaraju vašima. Namjerno sam ih zapisao u neredu, da tako kažem daleko od napasti. Evo ih, odgovora, odvojenih točkom i zarezom.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

A sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo - sretno za vas! Elementarni izračuni s razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne.

Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali. Ovaj rješiv Problemi.

U posebnom odjeljku 555 "Razlomci" analizirani su svi ovi (i ne samo!) primjeri. Uz detaljna objašnjenja što, zašto i kako. Takva analiza uvelike pomaže kod nedostatka znanja i vještina!

Da, i na drugom problemu postoji nešto.) Prilično praktičan savjet, kako postati pažljiviji. Da da! Savjet koji se može primijeniti svaki.

Osim znanja i pažnje, za uspjeh je potreban određeni automatizam. Gdje ga nabaviti? Čujem teški uzdah... Da, samo na praksi, nigdje drugdje.

Za obuku možete otići na stranicu 321start.ru. Tamo u opciji "Pokušaj" ima 10 primjera za svatko. Uz trenutnu provjeru. Za registrirane korisnike - 34 primjera od jednostavnih do teških. To je samo za frakcije.

Ako vam se sviđa ova stranica.

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Ovdje možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učite sa zanimanjem!

A ovdje se možete upoznati s funkcijama i izvedenicama.

Pravilo 1

Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, morate njegov brojnik pomnožiti s tim brojem, a nazivnik ostaviti nepromijenjen.

Pravilo 2

Da biste pomnožili razlomak s razlomkom:

1. naći umnožak brojnika i umnožak nazivnika tih razlomaka

2. Prvi umnožak napiši kao brojnik, a drugi kao nazivnik.

Pravilo 3

Da biste pomnožili mješovite brojeve, morate ih napisati kao neprave razlomke, a zatim koristiti pravilo za množenje razlomaka.

Pravilo 4

Da biste podijelili jedan razlomak drugim, trebate pomnožiti dividendu s recipročnom vrijednošću djelitelja.

Primjer 1

Izračunati

Primjer 2

Izračunati

Primjer 3

Izračunati

Primjer 4

Izračunati

Matematika. Ostali materijali

Dizanje broja na racionalnu potenciju. (

Dizanje broja na prirodni potenc. (

Generalizirana intervalna metoda za rješavanje algebarskih nejednakosti (Autor Kolchanov A.V.)

Metoda zamjene faktora u rješavanju algebarskih nejednakosti (Autor Kolchanov A.V.)

Znakovi djeljivosti (Lungu Alena)

Testirajte se na temu 'Množenje i dijeljenje običnih razlomaka'

Množenje razlomaka

Razmotrit ćemo množenje običnih razlomaka na nekoliko mogućih načina.

Množenje razlomka razlomkom

Ovo je najjednostavniji slučaj, u kojem trebate koristiti sljedeće pravila množenja razlomaka.

Do pomnožiti razlomak razlomkom, potrebno:

pomnožiti brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka i upisati njihov umnožak u brojnik novog razlomka;

pomnožiti nazivnik prvog razlomka nazivnikom drugog razlomka i upisati njihov umnožak u nazivnik novog razlomka;

Prije množenja brojnika i nazivnika provjerite mogu li se razlomci smanjiti. Smanjenje razlomaka u izračunima uvelike će vam olakšati izračune.

Množenje razlomka prirodnim brojem

Na razlomak pomnožiti prirodnim brojem morate brojnik razlomka pomnožiti s tim brojem, a nazivnik razlomka ostaviti nepromijenjenim.

Ako je rezultat množenja nepravi razlomak, nemojte ga zaboraviti pretvoriti u mješoviti broj, odnosno odabrati cijeli dio.

Množenje mješovitih brojeva

Za množenje mješovitih brojeva prvo ih morate pretvoriti u neprave razlomke, a zatim množiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.

Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem

Ponekad je u izračunima prikladnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Da biste pomnožili razlomak prirodnim brojem, potrebno je nazivnik razlomka podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti isti.

Kao što se može vidjeti iz primjera, prikladnije je koristiti ovu verziju pravila ako je nazivnik razlomka djeljiv bez ostatka prirodnim brojem.

Dijeljenje razlomka brojem

Koji je najbrži način dijeljenja razlomka s brojem? Analizirajmo teoriju, izvedimo zaključak i na primjerima vidimo kako se može izvesti dijeljenje razlomka brojem prema novom kratkom pravilu.

Obično se dijeljenje razlomka brojem izvodi prema pravilu dijeljenja razlomaka. Prvi broj (razlomak) množi se recipročnim brojem drugog. Budući da je drugi broj cijeli broj, njegova recipročna vrijednost je razlomak čiji je brojnik jednak jedan, a nazivnik dati broj. Shematski, dijeljenje razlomka prirodnim brojem izgleda ovako:

Iz ovoga zaključujemo:

Da biste razlomak podijelili s brojem, pomnožite nazivnik s tim brojem i ostavite brojnik istim. Pravilo se može formulirati još kraće:

Kada razlomak podijelite s brojem, broj ide u nazivnik.

Podijeli razlomak brojem:

Da bismo razlomak podijelili s brojem, prepisujemo brojnik nepromijenjen, a nazivnik množimo s tim brojem. Smanjujemo 6 i 3 za 3.

Kad razlomak dijelimo brojem, prepisujemo brojnik i tim brojem množimo nazivnik. Smanjujemo 16 i 24 za 8.

Kod dijeljenja razlomka brojem, broj ide u nazivnik, pa brojnik ostavljamo isti, a nazivnik množimo s djeliteljem. 21 i 35 smanjujemo za 7.

Množenje i dijeljenje razlomaka

Zadnji put smo učili zbrajati i oduzimati razlomke (pogledajte lekciju "Zbrajanje i oduzimanje razlomaka"). Najteži trenutak u tim akcijama bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su te operacije još lakše od zbrajanja i oduzimanja. Za početak, razmislite najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez istaknutog cijelog dijela.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate zasebno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj bit će brojnik novog razlomka, a drugi nazivnik.

Da biste podijelili dva razlomka, morate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutim" drugim.

Iz definicije proizlazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste preokrenuli razlomak, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Stoga ćemo cijelu lekciju uglavnom razmatrati množenje.

Kao rezultat množenja može nastati smanjeni ulomak (i često nastaje) - naravno, mora se smanjiti. Ako se nakon svih redukcija razlomak pokazao netočnim, u njemu treba izdvojiti cijeli dio. Ali ono što se točno neće dogoditi s množenjem je svođenje na zajednički nazivnik: nema unakrsnih metoda, maksimalni faktori i najmanji zajednički višekratnici.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Po definiciji imamo:

Množenje razlomaka s cijelim i negativnim razlomcima

Ako u razlomcima postoji cijeli broj, oni se moraju pretvoriti u nepravilne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izbaciti iz granica množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

Plus puta minus daje minus;
Dvije negativne riječi čine potvrdnu.

Do sada su se ova pravila susrela samo kod zbrajanja i oduzimanja negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno riješiti se cijelog dijela. Za proizvod se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko minusa odjednom:

Precrtavamo minuse u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnom slučaju, jedan minus može preživjeti - onaj koji nije pronašao podudaranje;
Ako nema preostalih minusa, operacija je završena - možete započeti množenje. Ako zadnji minus nije prekrižen, budući da nije našao par, izbacujemo ga iz granica množenja. Dobivate negativan razlomak.

Sve razlomke prevodimo u neprave, a zatim minuse izbacujemo izvan granica množenja. Ono što ostane množi se s uobičajena pravila. Dobivamo:

Još jednom podsjećam da se minus ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na njegov cijeli dio (ovo se odnosi na zadnja dva primjera).

Također obratite pozornost na negativne brojeve: kada se množe, oni su u zagradama. To je učinjeno kako bi se odvojili minusi od znakova množenja i cijeli zapis bio točniji.

Smanjenje razlomaka u hodu

Množenje je vrlo naporna operacija. Ovdje su brojke prilično velike, a da biste pojednostavili zadatak, možete pokušati još više smanjiti razlomak prije množenja. Doista, u biti, brojnici i nazivnici razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu reducirati korištenjem osnovnog svojstva razlomka. Pogledajte primjere:

U svim primjerima crvenom bojom označeni su brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo.

Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Jedinice su ostale na svom mjestu, što se, općenito govoreći, može izostaviti. U drugom primjeru puna redukcija nije bilo moguće postići, ali se ukupni iznos izračuna ipak smanjio.

Međutim, ni u kojem slučaju nemojte koristiti ovu tehniku pri zbrajanju i oduzimanju razlomaka! Da, ponekad postoje slični brojevi koje samo želite smanjiti. Evo, pogledajte:

Ne možete to učiniti!

Pogreška se javlja zbog činjenice da se pri zbrajanju razlomka u brojniku razlomka pojavljuje zbroj, a ne umnožak brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti glavno svojstvo razlomka, budući da u ovom svojstvu pričamo Radi se o množenju brojeva.

Jednostavno nema drugog razloga za smanjivanje razlomaka, pa ispravno rješenje prethodnog zadatka izgleda ovako:

Kao što vidite, ispostavilo se da točan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.

Dijeljenje razlomaka.

Dijeljenje razlomka prirodnim brojem.

Primjeri dijeljenja razlomka prirodnim brojem

Dijeljenje prirodnog broja razlomkom.

Primjeri dijeljenja prirodnog broja razlomkom

Dijeljenje običnih razlomaka.

Primjeri dijeljenja običnih razlomaka

Dijeljenje mješovitih brojeva.

pretvoriti mješovite razlomke u neprave;
pomnožite prvi razlomak s recipročnom vrijednošću drugog;
smanjiti rezultirajuću frakciju;
Ako dobijete nepravi razlomak, pretvorite nepravi razlomak u mješoviti.

Primjeri dijeljenja mješovitih brojeva

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Svi nepristojni komentari bit će uklonjeni, a njihovi autori stavljeni na crnu listu!

Dobrodošli u OnlineMSchool.
Moje ime je Dovzhik Mikhail Viktorovich. Ja sam vlasnik i autor ove stranice, ja sam napisao cijelu teorijsko gradivo, kao i online vježbe i kalkulatore koje možete koristiti za učenje matematike.

Razlomci. Množenje i dijeljenje razlomaka.

Množenje razlomka razlomkom.

Za množenje običnih razlomaka potrebno je brojnik pomnožiti s brojnikom (dobivamo brojnik umnoška) i nazivnik s nazivnikom (dobivamo nazivnik umnoška).

Formula množenja razlomaka:

Prije nego što nastavite s množenjem brojnika i nazivnika, potrebno je provjeriti mogućnost smanjenja razlomka. Ako uspijete smanjiti razlomak, bit će vam lakše nastaviti s izračunima.

Bilješka! Ne treba tražiti zajednički nazivnik!!

Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.

Dijeljenje običnog razlomka na razlomak je sljedeće: okrene se drugi razlomak (tj. promijeni se brojnik i nazivnik na mjestima) i nakon toga se razlomci množe.

Formula za dijeljenje običnih razlomaka:

Množenje razlomka prirodnim brojem.

Bilješka! Pri množenju razlomka prirodnim brojem, brojnik razlomka se množi s našim prirodnim brojem, a nazivnik razlomka ostaje isti. Ako je rezultat umnoška nepravilan razlomak, svakako odaberite cijeli dio pretvaranjem nepravilnog razlomka u mješoviti.

Dijeljenje razlomaka s prirodnim brojem.

Nije tako strašno kao što se čini. Kao i u slučaju zbrajanja, cijeli broj pretvaramo u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

pretvoriti mješovite razlomke u neprave;
množiti brojnike i nazivnike razlomaka;
smanjujemo razlomak;
ako dobijemo nepravi razlomak, tada nepravi razlomak pretvaramo u mješoviti.

Bilješka! Da biste pomnožili mješoviti razlomak drugim mješovitim razlomkom, prvo ih trebate dovesti u oblik nepravih razlomaka, a zatim množiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.

Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem.

Pogodnije je koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Bilješka! Da bismo razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je nazivnik razlomka podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.

Iz gornjeg primjera jasno je da je ova opcija prikladnija za korištenje kada se nazivnik razlomka podijeli bez ostatka s prirodnim brojem.

Višerazinski razlomci.

U srednjoj školi često se nalaze trokatni (ili više) razlomci. Primjer:

Da bi se takav razlomak doveo u uobičajeni oblik, koristi se dijeljenje kroz 2 točke:

Bilješka! Kod dijeljenja razlomaka vrlo je važan redoslijed dijeljenja. Budite oprezni, ovdje se lako zbuniti.

Bilješka, Na primjer:

Kada dijelite jedan bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnut:

Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

1. Najvažnija stvar u radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažljivost. Sve proračune izvodite pažljivo i točno, koncentrirano i jasno. Bolje je zapisati nekoliko dodatnih redaka u nacrt nego se zbuniti u izračunima u svojoj glavi.

2. U zadacima s različitim vrstama razlomaka prijeći na vrstu običnih razlomaka.

3. Sve razlomke reduciramo dok više nije moguće reducirati.

4. Donosimo višerazinske frakcijske izraze u obične, koristeći dijeljenje kroz 2 točke.

Under-and not up- Prerađena pjesma „Proljetni tango“ (Dolazi vrijeme – stižu ptice s juga) – glazb. Valery Milyaev Pogrešno sam čuo, pogrešno sam razumio, nisam nadoknadio, u smislu da nisam pogodio, napisao sam sve glagole s ne odvojeno, nisam znao za prefiks nedo-. Događa se, […]
Stranica nije pronađena U trećem završnom čitanju usvojen je paket Vladinih dokumenata koji predviđaju stvaranje posebnih upravnih regija (PAR). Zbog izlaska iz Europske unije UK neće biti uključen u europsko područje PDV-a i […]
Zajednički istražni odbor pojavit će se na jesen
Patent algoritma Kako izgleda patent algoritma Kako se priprema patent algoritma tehnički opisi načini pohranjivanja, obrade i prijenosa signala i/ili podataka posebno za potrebe patentiranja obično ne predstavljaju posebne poteškoće, a […]
ŠTO JE VAŽNO ZNATI O NOVOM NACRTU O MIROVINAMA OD 12. prosinca 1993. USTAV RUSKE FEDERACIJE (podložno izmjenama i dopunama zakona Ruske Federacije o izmjenama i dopunama Ustava Ruske Federacije od 30. prosinca 2008. N 6- FKZ, od 30. prosinca 2008. N 7-FKZ, […]
Pjevačice o mirovini za ženu su cool za muškog heroja dana za muškog heroja dana - u zboru za ženskog heroja dana - posveta umirovljenicama je komična Natječaji za umirovljenike bit će zanimljivi Dragi prijatelji! Trenutak pažnje! Osjećaj! Samo […]

U toku prosječnog i Srednja škola Učenici su prošli kroz temu „Razlomci“. Međutim, ovaj koncept je mnogo širi nego što je dan u procesu učenja. Danas se koncept razlomka susreće prilično često, a ne može svatko izračunati bilo koji izraz, na primjer, množenje razlomaka.

Što je razlomak?

Povijesno se dogodilo da su se frakcijski brojevi pojavili zbog potrebe mjerenja. Kao što praksa pokazuje, često postoje primjeri za određivanje duljine segmenta, volumena pravokutnog pravokutnika.

U početku se učenici upoznaju s takvim konceptom kao dionica. Na primjer, ako lubenicu podijelite na 8 dijelova, tada će svaki dobiti jednu osminu lubenice. Ovaj dio od osam naziva se dionica.

Udio jednak ½ bilo koje vrijednosti naziva se polovica; ⅓ - trećina; ¼ - četvrtina. Unosi poput 5/8, 4/5, 2/4 nazivaju se obični razlomci. Obični razlomak dijelimo na brojnik i nazivnik. Između njih je razlomačka crta, ili razlomačka crta. Razlomačka traka može se nacrtati kao vodoravna ili nagnuta linija. U ovaj slučaj stoji za znak dijeljenja.

Nazivnik predstavlja na koliko je jednakih dijelova podijeljena vrijednost, objekt; a brojnik koliko je jednakih dijelova uzeto. Brojnik je napisan iznad razlomka, a nazivnik ispod njega.

Najprikladnije je obične razlomke prikazati na koordinatnoj zraci. Ako je jedan segment podijeljen na 4 jednaka dijela, označite svaki dio latinično pismo, onda kao rezultat možete dobiti izvrsnu vizualni materijal. Dakle, točka A pokazuje udio jednak 1/4 cijelog segmenta jedinice, a točka B označava 2/8 ovog segmenta.

Varijante razlomaka

Razlomci su obični, decimalni i mješoviti brojevi. Osim toga, razlomke možemo podijeliti na prave i neprave. Ova klasifikacija je prikladnija za obične razlomke.

Pravi razlomak je broj čiji je brojnik manji od nazivnika. Prema tome, nepravi razlomak je broj čiji je brojnik veći od nazivnika. Druga vrsta se obično piše kao mješoviti broj. Takav izraz sastoji se od cijelog i razlomljenog dijela. Na primjer, 1½. 1 - cijeli broj, ½ - frakcijski. Međutim, ako trebate izvršiti neke manipulacije s izrazom (dijeljenje ili množenje razlomaka, njihovo smanjivanje ili pretvaranje), mješoviti broj se pretvara u nepravilan razlomak.

Točan razlomački izraz uvijek je manji od jedan, a netočan je uvijek veći ili jednak 1.

Što se tiče ovog izraza, oni razumiju zapis u kojem je predstavljen bilo koji broj, čiji se nazivnik frakcijskog izraza može izraziti kroz jedan s nekoliko nula. Ako je razlomak točan, tada će cijeli broj u decimalnom zapisu biti nula.

Da biste napisali decimalu, prvo morate napisati cijeli dio, odvojiti ga od razlomka zarezom, a zatim napisati razlomački izraz. Treba imati na umu da nakon zareza brojnik mora sadržavati onoliko brojčanih znakova koliko ima nula u nazivniku.

Primjer. Predstavite razlomak 7 21 / 1000 u decimalnom zapisu.

Algoritam za pretvaranje nepravog razlomka u mješoviti broj i obrnuto

U odgovoru zadatka nije ispravno zapisati nepravi razlomak, pa ga je potrebno pretvoriti u mješoviti broj:

podijeliti brojnik s postojećim nazivnikom;
V konkretan primjer nepotpuni kvocijent – cijeli;
a ostatak je brojnik razlomka, a nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Pretvorite nepravi razlomak u mješoviti broj: 47/5 .

Riješenje. 47: 5. Nepotpuni količnik je 9, ostatak = 2. Dakle, 47/5 = 9 2/5.

Ponekad trebate predstaviti mješoviti broj kao nepravilan razlomak. Tada morate koristiti sljedeći algoritam:

cjelobrojni dio množi se nazivnikom frakcijskog izraza;
dobiveni umnožak dodaje se brojniku;
rezultat se upisuje u brojnik, nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Izrazi broj u mješovitom obliku kao nepravi razlomak: 9 8 / 10 .

Riješenje. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je brojnik.

Odgovor: 98 / 10.

Množenje običnih razlomaka

Na običnim razlomcima možete izvoditi razne algebarske operacije. Da biste pomnožili dva broja, morate brojnik pomnožiti s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom. Štoviše, množenje razlomaka sa različite nazivnike ne razlikuje se od umnoška razlomaka s istim nazivnicima.

Događa se da nakon pronalaženja rezultata trebate smanjiti frakciju. Imperativ je pojednostaviti dobiveni izraz što je više moguće. Naravno, ne može se reći da je netočan razlomak u odgovoru pogreška, ali ga je također teško nazvati točnim odgovorom.

Primjer. Pronađite umnožak dva obična razlomka: ½ i 20/18.

Kao što se može vidjeti iz primjera, nakon pronalaženja umnoška dobiva se reducibilni razlomački zapis. I brojnik i nazivnik u ovom su slučaju djeljivi s 4, a rezultat je odgovor 5/9.

Množenje decimalnih razlomaka

Umnožak decimalnih razlomaka po svom je principu sasvim drugačiji od umnoška običnih razlomaka. Dakle, množenje razlomaka je sljedeće:

dva decimalna razlomka moraju biti napisana jedan ispod drugog tako da krajnje desne znamenke budu jedna ispod druge;
napisane brojeve treba množiti, unatoč zarezima, odnosno kao prirodne brojeve;
izbrojati broj znamenki iza zareza u svakom od brojeva;
u rezultatu dobivenom nakon množenja potrebno je izbrojati onoliko digitalnih znakova s desne strane koliko je sadržano u zbroju u oba faktora iza decimalne točke i staviti znak za razdvajanje;
ako u umnošku ima manje znamenki, ispred njih treba napisati toliko nula da pokriju taj broj, staviti zarez i dodijeliti cjelobrojni dio jednak nuli.

Primjer. Izračunajte umnožak dviju decimala: 2,25 i 3,6.

Riješenje.

Množenje mješovitih razlomaka

Da biste izračunali umnožak dva mješovita razlomka, morate koristiti pravilo za množenje razlomaka:

pretvarati mješovite brojeve u neprave razlomke;
pronaći umnožak brojnika;
pronaći umnožak nazivnika;
zapišite rezultat;
pojednostaviti izraz što je više moguće.

Primjer. Pronađite umnožak 4½ i 6 2/5.

Množenje broja razlomkom (razlomci brojem)

Osim pronalaženja umnoška dvaju razlomaka, mješovitih brojeva, postoje zadaci u kojima treba množiti s razlomkom.

Dakle, da biste pronašli umnožak decimalnog razlomka i prirodnog broja, trebate:

upišite broj ispod razlomka tako da krajnje desne znamenke budu jedna iznad druge;
pronaći djelo, unatoč zarezu;
u dobivenom rezultatu zarezom odvojite cijeli broj od razlomka, brojeći udesno broj znakova koji se nalazi iza decimalne točke u razlomku.

Umnožiti se obični razlomak brojem, treba pronaći umnožak brojnika i prirodnog faktora. Ako je odgovor svodivi razlomak, treba ga pretvoriti.

Primjer. Izračunajte umnožak 5/8 i 12.

Riješenje. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odgovor: 7 1 / 2.

Kao što možete vidjeti iz prethodnog primjera, bilo je potrebno reducirati dobiveni rezultat i pretvoriti netočan frakcijski izraz u mješoviti broj.

Također, množenje razlomaka također se odnosi na pronalaženje umnoška broja u mješovitom obliku i prirodnog faktora. Da biste pomnožili ova dva broja, trebali biste pomnožiti cijeli dio mješovitog faktora s brojem, pomnožiti brojnik s istom vrijednošću, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Ako je potrebno, morate pojednostaviti rezultat što je više moguće.

Primjer. Pronađite umnožak broja 9 5 / 6 i 9.

Riješenje. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Odgovor: 88 1 / 2.

Množenje faktorima 10, 100, 1000 ili 0,1; 0,01; 0,001

Sljedeće pravilo proizlazi iz prethodnog odlomka. Da biste decimalni razlomak pomnožili s 10, 100, 1000, 10000 itd., trebate pomaknuti zarez udesno za onoliko znamenki koliko je nula u množitelju iza jedan.

Primjer 1. Pronađite umnožak 0,065 i 1000.

Riješenje. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odgovor: 65.

Primjer 2. Pronađite umnožak broja 3,9 i 1000.

Riješenje. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odgovor: 3900.

Ako trebate pomnožiti prirodni broj i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, itd., trebate pomaknuti zarez ulijevo u rezultirajućem umnošku za onoliko znamenki koliko ima nula ispred jedan. Po potrebi se ispred prirodnog broja upisuje dovoljan broj nula.

Primjer 1. Pronađite umnožak broja 56 i 0,01.

Riješenje. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odgovor: 0,56.

Primjer 2. Pronađite umnožak 4 i 0,001.

Riješenje. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odgovor: 0,004.

Dakle, pronalaženje umnoška raznih frakcija ne bi trebalo uzrokovati poteškoće, osim možda izračuna rezultata; U ovom slučaju jednostavno ne možete bez kalkulatora.

Sadržaj lekcije

Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima

Zbrajanje razlomaka ima dvije vrste:

Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima
Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Počnimo sa zbrajanjem razlomaka s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Na primjer, zbrojimo razlomke i . Brojnike zbrajamo, a nazivnik ostavljamo nepromijenjenim:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Dodate li pizzu na pizzu, dobit ćete pizzu:

Primjer 2 Zbrojite razlomke i .

Odgovor je nepravi razlomak. Ako dođe kraj zadatka, tada je uobičajeno riješiti se nepravilnih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli dio u njemu. U našem slučaju, cijeli broj se lako dodjeljuje - dva podijeljeno s dva jednako je jedan:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na dva dijela. Ako na pizzu dodate više pizza, dobit ćete jednu cijelu pizzu:

Primjer 3. Zbrojite razlomke i .

Opet zbrojite brojnike, a nazivnik ostavite nepromijenjenim:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako dodate više pizza na pizzu, dobit ćete pizze:

Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojnike je potrebno zbrojiti, a nazivnik ostaviti nepromijenjenim:

Pokušajmo slikom prikazati naše rješenje. Ako dodate pizze na pizzu i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima nije teško. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnikom, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjenim;

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Sada ćemo naučiti kako zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Kod zbrajanja razlomaka, nazivnici tih razlomaka moraju biti isti. Ali nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu zbrajati jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu zbrajati odjednom, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima razlomke je potrebno svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina svođenja razlomaka na isti nazivnik. Danas ćemo razmotriti samo jednu od njih, jer se ostale metode mogu činiti kompliciranima za početnika.

Bit ove metode leži u činjenici da se traži prvi (LCM) od nazivnika obaju razlomaka. Zatim se LCM podijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor. Isto rade i s drugim razlomkom - LCM se podijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Zatim se brojnici i nazivnici razlomaka množe svojim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. A takve razlomke već znamo zbrajati.

Primjer 1. Zbrojite razlomke i

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika obaju razlomaka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo na razlomke i . Najprije podijelimo LCM s nazivnikom prvog razlomka i dobijemo prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobivamo 2.

Dobiveni broj 2 je prvi dodatni faktor. Zapisujemo ga do prvog razlomka. Da bismo to učinili, napravimo malu kosu liniju iznad razlomka i zapišemo pronađeni dodatni faktor iznad njega:

Isto radimo s drugim razlomkom. LCM podijelimo s nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobivamo 3.

Dobiveni broj 3 je drugi dodatni faktor. Zapisujemo ga drugom razlomku. Opet napravimo malu kosu crtu iznad drugog razlomka i iznad njega napišemo pronađeni dodatni faktor:

Sada smo spremni za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojnike i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:

Pogledajte pažljivo do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. A takve razlomke već znamo zbrajati. Dovršimo ovaj primjer do kraja:

Time se primjer završava. Za dodavanje ispada.

Pokušajmo slikom prikazati naše rješenje. Ako na pizzu dodate pizze, dobit ćete jednu cijelu pizzu i još jednu šestinu pizze:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik može se prikazati i slikom. Dovodeći razlomke i na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ove dvije frakcije bit će predstavljene istim komadima pizze. Jedina razlika bit će što će ovaj put biti podijeljeni na jednake dijelove (svedeni na isti nazivnik).

Prvi crtež prikazuje razlomak (četiri komada od šest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od šest). Spajanjem ovih dijelova zajedno dobivamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je netočan, pa smo u njemu istaknuli cjelobrojni dio. Rezultat je bio (jedna cijela pizza i još jedna šesta pizza).

Imajte na umu da smo slikali dati primjer previše detaljno. U obrazovne ustanove nije uobičajeno pisati na tako detaljan način. Morate biti u mogućnosti brzo pronaći LCM oba nazivnika i dodatnih faktora uz njih, kao i brzo pomnožiti dodatne faktore koje su pronašli vaši brojnici i nazivnici. Dok smo u školi, morali bismo napisati ovaj primjer na sljedeći način:

Ali također postoji stražnja strana medalje. Ako se u prvim fazama učenja matematike ne naprave detaljne bilješke, onda pitanja te vrste “Odakle dolazi taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u sasvim druge razlomke? «.

Kako biste olakšali zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima, možete upotrijebiti sljedeće upute korak po korak:

Odredite LCM nazivnika razlomaka;
Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak;
Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima;
Zbrojite razlomke koji imaju iste nazivnike;
Ako se ispostavilo da je odgovor netočan razlomak, odaberite njegov cijeli dio;

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza .

Poslužimo se gornjim uputama.

Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka

Odredite LCM nazivnika obaju razlomaka. Nazivnici razlomaka su brojevi 2, 3 i 4

Korak 2. Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak

Podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobijemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobivamo 4. Dobili smo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM s nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobivamo 3. Dobili smo treći dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka svojim dodatnim faktorima

Množimo brojnike i nazivnike našim dodatnim faktorima:

Korak 4. Zbrojite razlomke koji imaju iste nazivnike

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Ostaje još zbrojiti ove razlomke. Zbrojiti:

Dodavanje nije stalo u jedan redak, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći redak. To je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, prenosi se u sljedeći red, a potrebno je na kraju prvog i na početku novog reda staviti znak jednakosti (=). Znak jednakosti u drugom retku označava da se radi o nastavku izraza koji je bio u prvom retku.

Korak 5. Ako se ispostavilo da je odgovor netočan razlomak, odaberite cijeli dio u njemu

Naš odgovor je nepravi razlomak. Moramo izdvojiti cijeli dio toga. Ističemo:

Imam odgovor

Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima
Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste od jednog razlomka oduzeli drugi, potrebno je od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostaviti isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza. Da bismo riješili ovaj primjer, potrebno je od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Napravimo to:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako od pizze režete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza.

Opet, od brojnika prvog razlomka oduzmite brojnik drugog razlomka i ostavite nazivnik nepromijenjen:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako od pizze režete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojnika prvog razlomka potrebno je oduzeti brojnike preostalih razlomaka:

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u oduzimanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

Da biste od jednog razlomka oduzeli drugi, trebate od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen;
Ako se ispostavilo da je odgovor netočan razlomak, tada trebate odabrati cijeli dio u njemu.

Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Na primjer, razlomak se može oduzeti od razlomka jer ti razlomci imaju iste nazivnike. Ali razlomak se ne može oduzeti od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima razlomke je potrebno svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički nazivnik nalazimo po istom principu po kojem smo zbrajali razlomke s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika obaju razlomaka. Zatim se LCM podijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji se upisuje preko prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobiva se drugi dodatni faktor koji se upisuje preko drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe svojim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza:

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih treba dovesti na isti (zajednički) nazivnik.

Prvo, nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo na razlomke i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo s nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobijemo 4. Četvorku upišemo preko prvog razlomka:

Isto radimo s drugim razlomkom. LCM dijelimo s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobijemo 3. Preko drugog razlomka napiši trostruku:

Sada smo svi spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati. Dovršimo ovaj primjer do kraja:

Imam odgovor

Pokušajmo slikom prikazati naše rješenje. Ako od pizze režete pizze, dobit ćete pizze.

Ovo je detaljna verzija rješenja. Budući da smo u školi, morali bismo ovaj primjer riješiti na kraći način. Takvo bi rješenje izgledalo ovako:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Dovodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ovi će razlomci biti predstavljeni istim kriškama pizze, ali ovaj put će biti podijeljeni na iste razlomke (svedene na isti nazivnik):

Prvi crtež prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Odsijecanjem tri komada od osam dijelova, dobivamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet dijelova.

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo treba dovesti na isti (zajednički) nazivnik.

Odredite LCM nazivnika tih razlomaka.

Nazivnici razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo s nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 s 10, dobivamo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobivamo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobivamo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan redak, pa nastavak premještamo u sljedeći redak. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) u novom retku:

Ispostavilo se da je odgovor točan razlomak i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazan i ružan. Trebali bismo to olakšati. Što može biti učinjeno? Možete smanjiti ovaj ulomak.

Da biste smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik s (gcd) brojevima 20 i 30.

Dakle, nalazimo GCD brojeva 20 i 30:

Sada se vraćamo našem primjeru i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka s pronađenim GCD-om, odnosno s 10

Imam odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste pomnožili razlomak s brojem, potrebno je brojnik danog razlomka pomnožiti s tim brojem, a nazivnik ostaviti isti.

Primjer 1. Pomnožite razlomak s brojem 1.

Pomnožite brojnik razlomka s brojem 1

Unos se može shvatiti kao uzimanje pola 1 puta. Na primjer, ako uzmete pizzu 1 put, dobit ćete pizzu

Iz zakona množenja znamo da se umnožak neće promijeniti ako se množenik i množitelj zamijene. Ako je izraz napisan kao , tada će umnožak i dalje biti jednak . Opet, pravilo za množenje cijelog broja i razlomka funkcionira:

Ovaj unos se može shvatiti kao preuzimanje polovice jedinice. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i mi uzmemo pola, tada ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojnik razlomka s 4

Odgovor je nepravi razlomak. Uzmimo cijeli dio:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzimate pizze 4 puta, dobit ćete dvije cijele pizze.

A ako množenik i množitelj zamijenimo mjestima, dobit ćemo izraz. Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pizze od četiri cijele pizze:

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Ako je odgovor netočan razlomak, potrebno je odabrati cijeli dio u njemu.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza.

Imam odgovor. Poželjno je smanjiti ovaj udio. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje imati sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pizze od pola pizze. Recimo da imamo pola pizze:

Kako od ove polovice uzeti dvije trećine? Prvo morate ovu polovicu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Dobit ćemo pizzu. Prisjetite se kako izgleda pizza podijeljena u tri dijela:

Jedna kriška ove pizze i dvije kriške koje smo uzeli imat će iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o istoj veličini pizze. Stoga je vrijednost izraza

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka i nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Odgovor je nepravi razlomak. Uzmimo cijeli dio:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Pomnožimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka i nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Ispostavilo se da je odgovor točan razlomak, ali bit će dobro ako se smanji. Da biste smanjili ovaj razlomak, morate brojnik i nazivnik ovog razlomka podijeliti s najvećim zajednički djelitelj(gcd) brojevi 105 i 450.

Dakle, pronađimo GCD brojeva 105 i 450:

Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora na GCD koji smo sada pronašli, to jest, s 15

Predstavljanje cijelog broja kao razlomka

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može se predstaviti kao . Iz ovoga pet neće promijeniti svoje značenje, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jedan", a to je, kao što znate, jednako pet:

Obrnuti brojevi

Sada ćemo se upoznati s zanimljiva tema u matematici. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto prema brojua je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedinicu.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto prema broju 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedinicu.

Je li moguće pronaći broj koji pomnožen s 5 daje jedan? Ispostavilo se da možete. Predstavimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak samim sobom, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Drugim riječima, pomnožimo razlomak samim sobom, samo obrnuto:

Što će biti rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobit ćemo jedan:

To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada se 5 pomnoži s jedan, dobije se jedan.

Recipročna vrijednost se također može pronaći za bilo koji drugi cijeli broj.

Također možete pronaći recipročnu vrijednost za bilo koji drugi razlomak. Da biste to učinili, dovoljno ga je okrenuti.

Dijeljenje razlomka brojem

Recimo da imamo pola pizze:

Podijelimo ga jednako na dvoje. Koliko će pizza dobiti svaki?

Vidljivo je da su nakon polovice pizze podijeljena dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako da svi dobiju pizzu.

Dijeljenje razlomaka vrši se pomoću recipročnih vrijednosti. Recipročne vrijednosti vam omogućuju da zamijenite dijeljenje množenjem.

Da biste razlomak podijelili s brojem, morate taj razlomak pomnožiti s recipročnom vrijednošću djelitelja.

Koristeći ovo pravilo, zapisat ćemo podjelu naše polovice pizze na dva dijela.

Dakle, trebate podijeliti razlomak s brojem 2. Ovdje je dividenda razlomak, a djelitelj 2.

Da biste razlomak podijelili s brojem 2, morate taj razlomak pomnožiti s recipročnom vrijednošću djelitelja 2. Recipročna vrijednost djelitelja 2 je razlomak. Dakle, morate pomnožiti sa

Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Na primjer:

Sve je krajnje jednostavno. I nemojte, molim vas, tražiti zajednički nazivnik! Ne treba ovdje...

Da biste podijelili razlomak na razlomak, morate okrenuti drugi(ovo je važno!) razlomak i pomnožite ih, tj.:

Na primjer:

Ako se uhvati množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima, u redu je. Kao i kod zbrajanja, pravimo razlomak od cijelog broja s jedinicom u nazivniku - i idemo! Na primjer:

U srednjoj školi često se morate baviti trokatnim (ili čak četverokatnim!) razlomcima. Na primjer:

Kako ovaj razlomak dovesti u pristojan oblik? Da, vrlo jednostavno! Koristite dijeljenje kroz dvije točke:

Ali ne zaboravite na redoslijed podjele! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali u trokatnici je lako pogriješiti. Imajte na umu, na primjer:

U prvom slučaju (izraz lijevo):

U drugom (izraz desno):

Osjeti razliku? 4 i 1/9!

Koji je redoslijed podjele? Ili zagrade, ili (kao ovdje) duljinu horizontalnih crtica. Razviti oko. A ako nema zagrada ili crtica, na primjer:

zatim podijeli-množi redom, slijeva na desno!

I još jedan vrlo jednostavan i važan trik. U akcijama sa diplomama, dobro će vam doći! Podijelimo jedinicu s bilo kojim razlomkom, na primjer s 13/15:

Snimak se preokrenuo! I uvijek se dogodi. Kada dijelite 1 bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo obrnut.

To su sve radnje s razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno grešaka. Uzmite u obzir praktične savjete i bit će ih manje (pogrešaka)!

Praktični savjeti:

2. U primjerima s različitim vrstama razlomaka – prijeći na obične razlomke.

3. Sve razlomke svodimo do kraja.

4. Višerazinske frakcijske izraze reduciramo na obične dijeljenjem kroz dvije točke (vodimo redoslijed dijeljenja!).

5. Jedinicu dijelimo na razlomak u mislima, jednostavnim okretanjem razlomka.

Zapamti točan odgovor dobiveno iz drugog (pogotovo trećeg) puta - ne računa se! Takav je surov život.

Izračunati:

Jeste li se odlučili?

Tražite odgovore koji odgovaraju vašima. Ja sam ih posebno zapisao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, zapisanih s točkom i zarezom.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

A sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo - sretno za vas! Elementarni izračuni s razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne...

Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješiv Problemi.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Zadnji put smo naučili zbrajati i oduzimati razlomke (vidi lekciju "Zbrajanje i oduzimanje razlomaka"). Najteži trenutak u tim akcijama bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su te operacije još lakše od zbrajanja i oduzimanja. Za početak, razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez istaknutog cijelog broja.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate zasebno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj bit će brojnik novog razlomka, a drugi nazivnik.

Da biste podijelili dva razlomka, morate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutim" drugim.

Oznaka:

Iz definicije proizlazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste preokrenuli razlomak, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Stoga ćemo cijelu lekciju uglavnom razmatrati množenje.

Po definiciji imamo:

Množenje razlomaka s cijelim i negativnim razlomcima

Ako u razlomcima postoji cijeli broj, oni se moraju pretvoriti u nepravilne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izbaciti iz granica množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

Plus puta minus daje minus;
Dvije negativne riječi čine potvrdnu.

Precrtavamo minuse u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnom slučaju, jedan minus može preživjeti - onaj koji nije pronašao podudaranje;
Ako nema preostalih minusa, operacija je završena - možete započeti množenje. Ako zadnji minus nije prekrižen, budući da nije našao par, izbacujemo ga iz granica množenja. Dobivate negativan razlomak.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Sve razlomke prevodimo u neprave, a zatim minuse izbacujemo izvan granica množenja. Ono što ostane umnožava se prema uobičajenim pravilima. Dobivamo:

Još jednom podsjećam da se minus ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na njegov cijeli dio (ovo se odnosi na zadnja dva primjera).

Također obratite pozornost na negativne brojeve: kada se množe, oni su u zagradama. To je učinjeno kako bi se odvojili minusi od znakova množenja i cijeli zapis bio točniji.

Smanjenje razlomaka u hodu

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Po definiciji imamo:

U svim primjerima crvenom bojom označeni su brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo.

Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Jedinice su ostale na svom mjestu, što se, općenito govoreći, može izostaviti. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpuno smanjenje, ali se ukupni iznos izračuna ipak smanjio.

Međutim, ni u kojem slučaju nemojte koristiti ovu tehniku pri zbrajanju i oduzimanju razlomaka! Da, ponekad postoje slični brojevi koje samo želite smanjiti. Evo, pogledajte: