Četverodimenzionalna rotacija kocke. Za sve i svakoga

Evolucija ljudskog mozga odvijala se u trodimenzionalnom prostoru. Stoga nam je teško zamisliti prostore dimenzija većih od tri. Zapravo, ljudski mozak ne može zamisliti geometrijske objekte s više od tri dimenzije. A u isto vrijeme, lako možemo zamisliti geometrijske objekte dimenzija ne samo tri, već i dimenzija dva i jedan.

Razlika i analogija između jednodimenzionalnih i dvodimenzionalnih prostora, te razlika i analogija između dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih prostora dopuštaju nam da malo odškrinemo paravan misterije koji nas ograđuje od prostora viših dimenzija. Da biste razumjeli kako se koristi ova analogija, razmotrite vrlo jednostavan četverodimenzionalni objekt - hiperkocku, odnosno četverodimenzionalnu kocku. Recimo, za određenost, recimo da želimo riješiti određeni problem, naime, prebrojati broj kvadratnih stranica četverodimenzionalne kocke. Sva razmatranja u nastavku bit će vrlo labava, bez ikakvih dokaza, čisto po analogiji.

Da bismo razumjeli kako se hiperkocka gradi od obične kocke, prvo moramo pogledati kako se obična kocka gradi od običnog kvadrata. Radi originalnosti prezentacije ovog materijala, ovdje ćemo nazvati običnu četvrtastu SubCube (i nećemo je brkati sa sukubom).

Za konstruiranje kocke iz potkocke potrebno je produžiti potkocku u smjeru okomitom na ravninu potkocke u smjeru treće dimenzije. U isto vrijeme, potkocka će rasti sa svake strane početne potkocke, što je dvodimenzionalna strana kocke, koja će ograničiti trodimenzionalni volumen kocke sa četiri strane, dvije okomite na svaki smjer u ravnina potkocke. A duž nove treće osi nalaze se i dvije potkocke koje ograničavaju trodimenzionalni volumen kocke. Ovo je dvodimenzionalna strana gdje je naša potkocka bila izvorno smještena i dvodimenzionalna strana kocke gdje je potkocka došla na kraju konstrukcije kocke.

Ovo što ste upravo pročitali izloženo je pretjerano detaljno i s puno pojašnjenja. I to ne slučajno. Sada ćemo napraviti takav trik, zamijenit ćemo neke riječi u prethodnom tekstu formalno na ovaj način:
kocka -> hiperkocka
podkocka -> kocka
ravnina -> volumen
treći -> četvrti
2D -> 3D
četiri -> šest
trodimenzionalan -> četverodimenzionalan
dva -> tri
ravnina -> prostor

Kao rezultat toga, dobivamo sljedeći smisleni tekst, koji više ne izgleda previše detaljan.

Da biste od kocke izgradili hiperkocku, trebate rastegnuti kocku u smjeru okomitom na volumen kocke u smjeru četvrte dimenzije. U isto vrijeme, kocka će rasti sa svake strane originalne kocke, koja je bočna trodimenzionalna strana hiperkocke, koja će ograničiti četverodimenzionalni volumen hiperkocke sa šest strana, tri okomite na svaki smjer u prostor kocke. A duž nove četvrte osi nalaze se i dvije kocke koje ograničavaju četverodimenzionalni volumen hiperkocke. Ovo je trodimenzionalna strana na kojoj se naša kocka izvorno nalazila i trodimenzionalna strana hiperkocke, gdje je kocka došla na kraju konstrukcije hiperkocke.

Zašto smo tako sigurni da smo dobili točan opis konstrukcije hiperkocke? Da, jer potpuno istom formalnom zamjenom riječi dobivamo opis konstrukcije kocke iz opisa konstrukcije kvadrata. (Provjerite sami.)

Sada je jasno da ako još jedna trodimenzionalna kocka treba izrasti iz svake strane kocke, onda lice mora rasti iz svakog ruba početne kocke. Ukupno kocka ima 12 bridova, što znači da će biti dodatnih 12 novih lica (potkocki) za onih 6 kocki koje ograničavaju četverodimenzionalni volumen po tri osi trodimenzionalnog prostora. I tu su još dvije kocke koje ograničavaju ovaj četverodimenzionalni volumen odozdo i odozgo duž četvrte osi. Svaka od ovih kocki ima 6 lica.

Ukupno dobivamo da hiperkocka ima 12+6+6=24 kvadratna lica.

Sljedeća slika prikazuje logičku strukturu hiperkocke. To je poput projekcije hiperkocke na trodimenzionalni prostor. U ovom slučaju dobiva se trodimenzionalni okvir rebara. Na slici, naravno, vidite i projekciju ovog okvira na ravninu.

Na ovom okviru unutarnja kocka je takoreći početna kocka od koje je počela konstrukcija i koja ograničava četverodimenzionalni volumen hiperkocke po četvrtoj osi odozdo. Ovu početnu kocku rastežemo prema gore duž osi četvrte dimenzije i ona ide u vanjsku kocku. Dakle, vanjska i unutarnja kocka s ove slike ograničavaju hiperkocku duž osi četvrte dimenzije.

A između ove dvije kocke vidljivo je još 6 novih kocki koje su u dodiru s prve dvije zajedničkim plohama. Ovih šest kocki ograničavaju našu hiperkocku duž tri osi trodimenzionalnog prostora. Kao što možete vidjeti, one nisu samo u kontaktu s prve dvije kocke, koje su unutarnje i vanjske na ovom trodimenzionalnom okviru, već su još uvijek u kontaktu jedna s drugom.

Možete izračunati izravno na slici i uvjeriti se da hiperkocka stvarno ima 24 lica. Ali ovdje dolazi pitanje. Ovaj okvir 3D hiperkocke ispunjen je s osam 3D kocki bez ikakvih praznina. Da bi se od ove 3D projekcije hiperkocke napravila prava hiperkocka, potrebno je taj okvir izvrnuti naopako tako da svih 8 kockica ograničava 4D volumen.

Radi se ovako. Pozivamo u posjet stanovnika četverodimenzionalnog prostora i molimo ga da nam pomogne. Hvata unutarnju kocku ovog okvira i pomiče je prema četvrtoj dimenziji, koja je okomita na naš 3D prostor. Mi u našem trodimenzionalnom prostoru to doživljavamo kao da je cijeli unutarnji okvir nestao i ostao samo okvir vanjske kocke.

Sljedeća, naša 4D asistentica nudi pomoć u rodilištima za bezbolan porod, ali naše trudnice su prestrašene mogućnošću da beba jednostavno nestane iz trbuha i završi u paralelnom 3D prostoru. Stoga se četverostruko uljudno odbija.

I pitamo se jesu li se neke od naših kocki odlijepile kada je okvir hiperkocke okrenut naopako. Uostalom, ako neke trodimenzionalne kocke koje okružuju hiperkocku dodiruju svoje susjede na okviru, hoće li i one dodirivati ​​ista lica ako četverodimenzionalna okrene okvir naopako.

Vratimo se opet analogiji s prostorima niže dimenzije. Usporedite sliku žičane konstrukcije hiperkocke s projekcijom 3D kocke na ravninu prikazanu na sljedećoj slici.

Stanovnici dvodimenzionalnog prostora izgradili su na ravnini okvir kocke projekcije na ravninu i pozvali nas, trodimenzionalne stanovnike, da taj okvir izvrnemo naopako. Uzimamo četiri vrha unutarnjeg kvadrata i pomičemo ih okomito na ravninu. Istovremeno, dvodimenzionalni stanovnici vide potpuni nestanak cijelog unutarnjeg okvira, a imaju samo okvir vanjskog kvadrata. Takvom operacijom svi kvadrati koji su bili u dodiru sa svojim rubovima nastavljaju se dodirivati ​​kao i prije s istim rubovima.

Stoga se nadamo da se logička shema hiperkocke također neće narušiti kada se okvir hiperkocke okrene naopako, a broj kvadratnih stranica hiperkocke neće se povećati i ostat će jednak 24. To je, naravno, nikakav dokaz, nego čisto nagađanje po analogiji.

Nakon svega ovdje pročitanog lako možete nacrtati logički okvir petodimenzionalne kocke i izračunati koliko ona ima vrhova, bridova, ploha, kocki i hiperkocki. Nije uopće teško.

Svemir od četiri dimenzije, ili četiri koordinate, jednako je nezadovoljavajući kao i tri. Može se reći da nemamo sve podatke potrebne za izgradnju svemira, jer ni tri koordinate stare fizike, ni četiri koordinate nove nisu dovoljne za opis, Ukupno razne pojave u svemiru.

Razmotrite redom "kocke" raznih dimenzija.

Jednodimenzionalna kocka na ravnoj liniji je segment. Dvodimenzionalni - kvadrat. Granicu kvadrata čine četiri točke - vrhovi I četiri segmenta - rebra. Dakle, kvadrat ima dvije vrste elemenata na svojoj granici: točke i segmente. Granica trodimenzionalne kocke sadrži elemente tri vrste: vrhove - ima ih 8, rubove (segmenti) - ima ih 12 i lica (kvadrata) - ima ih 6. Jednodimenzionalni segment AB služi kao lice dvodimenzionalnog kvadrata ABCD, kvadrat je stranica kocke ABCDHEFG, koja će zauzvrat biti stranica četiri -dimenzionalna hiperkocka.

Dakle, u četverodimenzionalnoj hiperkocki bit će 16 vrhova: 8 vrhova originalne kocke i 8 vrhova pomaknutih u četvrtoj dimenziji. Ima 32 brida - po 12 daje početni i krajnji položaj originalne kocke, a još 8 bridova "crta" osam njezinih vrhova koji su prešli u četvrtu dimenziju. Isto razmišljanje može se učiniti za lica hiperkocke. U dvodimenzionalnom prostoru to je jedan (sam kvadrat), kocka ih ima 6 (dvije strane iz pomaknutog kvadrata i još četiri će opisivati ​​njegove stranice). Četverodimenzionalna hiperkocka ima 24 kvadratna lica - 12 kvadrata izvorne kocke u dva položaja i 12 kvadrata s dvanaest njezinih rubova.

Dimenzija kocke	Dimenzija granice
2 kvadrata
4 teserakt

Koordinate učetverodimenzionalni prostor.

Točka na ravnoj liniji definirana je kao broj, točka na ravnini kao par brojeva, točka u trodimenzionalnom prostoru kao trojka brojeva. Stoga je sasvim prirodno konstruirati geometriju četverodimenzionalnog prostora definiranjem točke tog zamišljenog prostora kao četvorke brojeva.

Dvodimenzionalna strana četverodimenzionalne kocke je skup točaka za koje dvije bilo koje koordinate mogu poprimiti različite vrijednosti od 0 do 1, a druge dvije su konstantne (jednake 0 ili 1).

3D lice Četverodimenzionalna kocka je skup točaka za koje tri koordinate poprimaju sve moguće vrijednosti od 0 do 1, a jedna je konstantna (jednaka 0 ili 1).

Izrada kocki raznih dimenzija.

Uzimamo segment, postavljamo segment sa svih strana i pričvršćujemo još jedan na bilo koji, u ovom slučaju na desni segment.

Dobili smo kvadratni sken.

Uzimamo kvadrat, postavljamo kvadrat sa svih strana, pričvršćujemo još jedan na bilo koji, u ovom slučaju na donji kvadrat.

Ovo je 3D kocka.

četverodimenzionalna kocka

Uzimamo kocku, postavljamo kocku sa svih strana, pričvršćujemo još jednu na bilo koju, u zadanu donju kocku.

Rasklapanje 4D kocke

Zamislimo to četverodimenzionalna kocka napravljen je od žice i mrav sjedi na vrhu (1;1;1;1), tada će mrav morati puzati po rebrima od jednog vrha do drugog.

Pitanje: koliko bridova će morati puzati da dođe do vrha (0;0;0;0)?

Duž 4 brida, odnosno vrh (0; 0; 0; 0) je vrh 4. reda, prolazeći uz 1 brid može se doći do vrha koji ima jednu od koordinata 0, to je vrh 1. reda, prolazeći uz 2 brida može doći do vrhova u kojima su 2 nule, to su vrhovi 2. reda, ima 6 takvih vrhova, prolazeći uz 3 brida, pasti će u vrhove sa 3 koordinate nula, to su vrhovi trećeg reda.

Postoje i druge kocke u višedimenzionalnom prostoru. Osim teserakta, možete graditi kocke s velikim brojem dimenzija. Model petodimenzionalne kocke je penterakt Penterakt ima 32 vrha, 80 bridova, 80 ploha, 40 kocki i 10 teserakta.

Umjetnici, redatelji, kipari, znanstvenici na različite načine predstavljaju višedimenzionalnu kocku. Evo nekoliko primjera:

Mnogi pisci znanstvene fantastike opisuju teserakt u svojim djelima. Na primjer, Robert Anson Heinlein (1907. – 1988.) spomenuo je hiperkocke u najmanje tri svoje nefikcijske priče. U Kući četiri dimenzije opisao je kuću izgrađenu kao rasplet teserakta.

Radnja Kocke 2 usredotočena je na osam stranaca zarobljenih u hiperkocki.

« Raspeće" Salvadora Dalija 1954. (1951.). Dalijev nadrealizam tražio je dodirne točke između naše stvarnosti i drugog svijeta, posebice 4-dimenzionalnog svijeta. Stoga je s jedne strane nevjerojatno, a s druge strane ne čudi da je geometrijski lik kocke koji tvori kršćanski križ slika trodimenzionalnog skeniranja 4-dimenzionalne kocke ili teserakta .

Dana 21. listopada neobična skulptura nazvana Octacub predstavljena je na Odjelu za matematiku Državnog sveučilišta Pennsylvania. To je slika četverodimenzionalnog geometrijskog objekta u trodimenzionalnom prostoru. Prema riječima autora skulpture, profesora Adriana Okneanua, takav lijepa figura toga u svijetu nije bilo, ni virtualno ni fizički, iako su trodimenzionalne projekcije četverodimenzionalnih likova napravljene i prije.

Općenito, matematičari lako operiraju s četvero-, pet- i višedimenzionalnim objektima, ali ih je nemoguće prikazati u trodimenzionalnom prostoru. Octacub, kao i sve takve figure, nije uistinu četverodimenzionalan. Može se usporediti s kartom - projekcijom trodimenzionalne površine globusa na ravni list papira.

Trodimenzionalnu projekciju četverodimenzionalne figure Oknean je dobio metodom radijalne stereografije pomoću računala. Istovremeno je sačuvana simetrija izvorne četverodimenzionalne figure. Skulptura ima 24 vrha i 96 lica. U četverodimenzionalnom prostoru, lica figure su ravna, ali u projekciji su zakrivljena. Kutovi između stranica trodimenzionalne projekcije i izvorne figure su isti.

Octacube je izrađen od nehrđajućeg čelika u inženjerskim radionicama Državnog sveučilišta Pennsylvania. Skulptura je postavljena u obnovljenoj zgradi Matematičkog fakulteta nazvanoj po McAllisteru.

Višedimenzionalni prostor bio je od interesa za mnoge znanstvenike, poput Renea Descartesa, Hermanna Minkowskog. Danas je sve više znanja o ovoj temi. Pomaže matematičarima, istraživačima i izumiteljima našeg vremena da postignu svoje ciljeve i unaprijede znanost. Korak u višedimenzionalni prostor je korak u novu, napredniju eru čovječanstva.

τέσσαρες ἀκτίνες - četiri grede) - 4-dimenzionalni hiperkocka- analogno u 4-dimenzionalnom prostoru.

Slika je projekcija () četverodimenzionalne kocke na trodimenzionalni prostor.

Generalizacija kocke na slučajeve s više od 3 dimenzije naziva se hiperkocka ili (en:measure polytopes). Formalno, hiperkocka je definirana kao četiri jednaka segmenta.

Ovaj članak uglavnom opisuje 4-dimenzionalni hiperkocka, nazvao teserakt.

Popularni opis

Pokušajmo zamisliti kako će hiperkocka izgledati bez napuštanja našeg trodimenzionalnog .

U jednodimenzionalnom "prostoru" - na pravcu - izaberemo AB duljine L. Na dvodimenzionalnom "prostoru" na udaljenosti L od AB nacrtamo isječak DC paralelan s njim i spojimo njihove krajeve. Uzmite kvadrat ABCD. Ponavljajući ovu operaciju s ravninom, dobivamo trodimenzionalnu kocku ABCDHEFG. A pomicanjem kocke u četvrtoj dimenziji (okomito na prve tri!) za udaljenost L, dobivamo hiperkocku.

Jednodimenzionalni segment AB služi kao lice dvodimenzionalnog kvadrata ABCD, kvadrat je stranica kocke ABCDHEFG, koja će zauzvrat biti stranica četverodimenzionalne hiperkocke. Isječak ravne linije ima dvije rubne točke, kvadrat ima četiri vrha, a kocka osam. Dakle, u četverodimenzionalnoj hiperkocki bit će 16 vrhova: 8 vrhova originalne kocke i 8 vrhova pomaknutih u četvrtoj dimenziji. Ima 32 brida - po 12 daje početni i krajnji položaj originalne kocke, a još 8 bridova "crta" osam njezinih vrhova koji su prešli u četvrtu dimenziju. Isto razmišljanje može se učiniti za lica hiperkocke. U dvodimenzionalnom prostoru to je jedan (sam kvadrat), kocka ih ima 6 (dvije strane iz pomaknutog kvadrata i još četiri će opisivati ​​njegove stranice). Četverodimenzionalna hiperkocka ima 24 kvadratna lica - 12 kvadrata izvorne kocke u dva položaja i 12 kvadrata s dvanaest njezinih rubova.

Na sličan način možemo nastaviti razmišljanje o hiperkockama većeg broja dimenzija, no puno je zanimljivije vidjeti kako će to izgledati za nas, stanovnike trodimenzionalnog prostora. četverodimenzionalna hiperkocka. Upotrijebimo za to već poznatu metodu analogija.

Uzmimo žičanu kocku ABCDHEFG i pogledajmo je jednim okom sa strane lica. Na ravnini ćemo vidjeti i moći nacrtati dva kvadrata (njezinu bližu i dalju stranu), povezana s četiri linije - bočnim rubovima. Slično tome, četverodimenzionalna hiperkocka u trodimenzionalnom prostoru izgledat će kao dvije kubične "kutije" umetnute jedna u drugu i spojene s osam rubova. U ovom slučaju, same "kutije" - trodimenzionalna lica - bit će projicirane na "naš" prostor, a linije koje ih povezuju protezat će se u četvrtoj dimenziji. Također možete pokušati zamisliti kocku ne u projekciji, već u prostornoj slici.

Baš kao što trodimenzionalnu kocku čini kvadrat pomaknut za duljinu lica, kocka pomaknuta u četvrtu dimenziju tvorit će hiperkocku. Ograničen je s osam kocki, koje će u budućnosti izgledati kao neka prilično složena figura. Njegov dio, koji ostaje u "našem" prostoru, je nacrtan pune linije, a ono što je otišlo u hiperprostor je točkasto. Sama četverodimenzionalna hiperkocka sastoji se od beskonačnog broja kocki, baš kao što se trodimenzionalna kocka može “izrezati” na beskonačan broj ravnih kvadrata.

Rezanjem osam stranica trodimenzionalne kocke, može se rastaviti na ravna figura- čišćenje. Imat će kvadrat sa svake strane izvornog lica, plus još jedan - lice suprotno od njega. Trodimenzionalni razvoj četverodimenzionalne hiperkocke sastojat će se od originalne kocke, šest kocki koje "rastu" iz nje, plus još jedna - finalna "hiperlice".

Svojstva teserakta su produžetak svojstava geometrijski oblici manje dimenzije u 4-dimenzionalni prostor prikazan u tablici u nastavku.

Počnimo s objašnjenjem što je četverodimenzionalni prostor.

Ovo je jednodimenzionalni prostor, odnosno jednostavno OX os. Bilo koja točka na njemu karakterizirana je jednom koordinatom.

Sada nacrtajmo os OY okomito na os OX. Tako smo dobili dvodimenzionalni prostor, odnosno ravninu XOY. Bilo koju točku na njoj karakteriziraju dvije koordinate - apscisa i ordinata.

Povucimo os OZ okomito na osi OX i OY. Dobit ćete trodimenzionalni prostor u kojem svaka točka ima apscisu, ordinatu i aplikat.

Logično je da četvrta os, OQ, bude okomita na osi OX, OY i OZ u isto vrijeme. Ali takvu os ne možemo točno konstruirati i stoga ostaje samo pokušati je zamisliti. Svaka točka u četverodimenzionalnom prostoru ima četiri koordinate: x, y, z i q.

Sada da vidimo kako se pojavila četverodimenzionalna kocka.

Na slici je prikazana figura jednodimenzionalnog prostora – linija.

Ako napravite paralelnu translaciju ove linije duž OY osi, a zatim spojite odgovarajuće krajeve dviju rezultirajućih linija, dobit ćete kvadrat.

Slično, ako napravimo paralelnu translaciju kvadrata duž osi OZ i spojimo odgovarajuće vrhove, dobit ćemo kocku.

A ako napravimo paralelnu translaciju kocke duž OQ osi i spojimo vrhove te dvije kocke, tada ćemo dobiti četverodimenzionalnu kocku. Usput, zove se teserakt.

Da biste nacrtali kocku na ravnini, potrebna vam je projekt. Vizualno to izgleda ovako:

Zamislite da u zraku iznad površine visi žičani model kocka, to jest, kao da je "od žice", a iznad nje - žarulja. Ako upalite žarulju, nacrtate olovkom sjenu kocke, a zatim ugasite žarulju, tada će se na površini pokazati projekcija kocke.

Prijeđimo na nešto malo kompliciranije. Ponovno pogledajte crtež sa žaruljom: kao što vidite, sve su se zrake skupile u jednoj točki. To se zove točka nestajanja a koristi se za izgradnju perspektivna projekcija(i ponekad paralelno, kada su sve zrake paralelne jedna s drugom. Rezultat je da nema osjećaja volumena, ali je svjetlija, a ako je točka nestajanja dovoljno udaljena od projiciranog objekta, tada je razlika između ovih dvije projekcije je jedva uočljiva). Da biste projicirali zadanu točku na zadanu ravninu pomoću točke iščezavanja, trebate povući pravac kroz točku iščezavanja i zadanu točku, a zatim pronaći točku sjecišta dobivene linije i ravnine. A kako bi više projicirali složena figura, recimo, kocke, trebate projicirati svaki njen vrh, a zatim spojiti odgovarajuće točke. Treba napomenuti da algoritam projekcije prostor-potprostor može se generalizirati na 4D->3D, a ne samo na 3D->2D.

Kao što sam rekao, ne možemo zamisliti kako točno izgleda OQ os, a ne može ni teserakt. Ali možemo dobiti ograničenu predodžbu o tome ako ga projiciramo na volumen i zatim nacrtamo na zaslonu računala!

Sada razgovarajmo o projekciji teserakta.

Lijevo je projekcija kocke na ravninu, a desno teserakt na volumen. Prilično su slični: projekcija kocke izgleda kao dva kvadrata, mali i veliki, jedan u drugom, s odgovarajućim vrhovima povezanim linijama. A projekcija teserakta izgleda kao dvije kocke, mala i velika, jedna u drugoj, a čiji su odgovarajući vrhovi spojeni. Ali svi smo vidjeli kocku, i možemo sa sigurnošću reći da su i mali kvadrat i veliki, i četiri trapeza iznad, ispod, desno i lijevo od malog kvadrata, zapravo kvadrati, štoviše, su jednaki. Isto vrijedi i za Tesseract. I velika kocka, i mala kocka, i šest krnjih piramida na stranicama male kocke - sve su to kocke, i jednake su.

Moj program ne samo da može nacrtati projekciju teserakta na volumen, već ga i rotirati. Pogledajmo kako se to radi.

Prvo ću vam reći što jest rotacija paralelna s ravninom.

Zamislimo da kocka rotira oko osi OZ. Tada svaki njegov vrh opisuje kružnicu oko osi OZ.

Krug je ravna figura. I ravnine svake od ovih kružnica su paralelne jedna s drugom, au ovom slučaju one su paralelne s ravninom XOY. Odnosno, ne možemo govoriti samo o rotaciji oko osi OZ, već i o rotaciji paralelnoj s ravninom XOY.Kao što vidite, za točke koje rotiraju paralelno s osi XOY mijenjaju se samo apscisa i ordinata, dok se prim. ostaje nepromijenjen. Zapravo, o rotaciji oko prave linije možemo govoriti samo kada se radi o trodimenzionalnom prostoru. U 2D sve se vrti oko točke, u 4D sve se vrti oko ravnine, u 5D prostoru govorimo o rotaciji oko volumena. A ako možemo zamisliti rotaciju oko točke, onda je rotacija oko ravnine i volumena nešto nezamislivo. A ako govorimo o rotaciji paralelnoj s ravninom, tada u bilo kojem n-dimenzionalnom prostoru točka može rotirati paralelno s ravninom.

Mnogi od vas su vjerojatno čuli za rotacijsku matricu. Množenjem točke s njom, dobivamo točku zarotiranu paralelno s ravninom za kut phi. Za dvodimenzionalni prostor to izgleda ovako:

Kako množiti: x točke zakrenute za kut phi = kosinus kuta phi*x izvorne točke minus sinus kuta phi*y izvorne točke;
y točke rotirane za kut phi=sinus kuta phi*x izvorne točke plus kosinus kuta phi*y izvorne točke.
Xa`=cosF*Xa - sinF*Ya
Ya`=sinF*Xa + cosF*Ya
, gdje su Xa i Ya apscisa i ordinata točke koju treba rotirati, Xa` i Ya` su apscisa i ordinata već rotirane točke

Za trodimenzionalni prostor, ova matrica je generalizirana na sljedeći način:

Rotacija paralelna s ravninom XOY. Kao što vidite, Z koordinata se ne mijenja, već se mijenjaju samo X i Y.
Xa`=cosF*Xa - sinF*Ya + Za*0
Ya`=sinF*Xa + cosF*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (u biti Za`=Za)

Rotacija paralelna s ravninom XOZ. Ništa novo,
Xa`=cosF*Xa + Ya*0 - sinF*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (zapravo, Ya`=Ya)
Za`=sinF*Xa + Ya*0 + cosF*Za

I treća matrica.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (u biti Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosF*Ya - sinF*Za
Za`=Xa*0 + sinF*Ya + cosF*Za

A za četvrtu dimenziju, izgledaju ovako:


Mislim da ste već shvatili čime treba pomnožiti, pa neću ponovno slikati. Ali napominjem da radi isto što i matrica za rotaciju paralelnu s ravninom u trodimenzionalnom prostoru! I taj i ovaj mijenjaju samo ordinatu i aplikatu, a ostale koordinate se ne diraju, stoga se može koristiti u trodimenzionalnom slučaju, jednostavno zanemarujući četvrtu koordinatu.

Ali s formulom projekcije nije sve tako jednostavno. Koliko god čitao forume, nijedna metoda projekcije mi nije odgovarala. Paralelno mi nije odgovaralo, jer projekcija neće izgledati trodimenzionalno. U nekim projekcijskim formulama, da biste pronašli točku, trebate riješiti sustav jednadžbi (a ja ne znam kako naučiti računalo da ih rješava), druge jednostavno nisam razumio ... Općenito, odlučio sam da smislim svoj način. Za ovo razmotrite projekciju 2D->1D.

pov znači "Point of view" (gledište), ptp znači "Point to project" (točka koju treba projicirati), a ptp` je željena točka na OX osi.

Kutovi povptpB i ptpptp`A jednaki su kao odgovarajući (crtkana crta je paralelna s osi OX, pravac povptp je sekanta).
X od ptp` jednak je x od ptp minus duljina segmenta ptp`A. Taj se segment može pronaći iz trokuta ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangenta kuta ptpptp`A. Ovu tangensu možemo pronaći iz trokuta povptpB: tangens kuta ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Odgovor: Xptp`=Xptp-Yptp/tangens kuta ptpptp`A.

Nisam ovdje detaljno opisao ovaj algoritam, budući da postoji mnogo posebnih slučajeva u kojima se formula donekle mijenja. Koga briga - pogledajte izvorni kod programa, sve je napisano u komentarima.

Da bismo projicirali točku u trodimenzionalnom prostoru na ravninu, jednostavno razmotrimo dvije ravnine - XOZ i YOZ, te riješimo ovaj problem za svaku od njih. U slučaju četverodimenzionalnog prostora, potrebno je razmotriti već tri ravnine: XOQ, YOQ i ZOQ.

I na kraju nešto o programu. Radi ovako: inicijalizirati šesnaest vrhova teserakta -> ovisno o naredbama koje je korisnik unio, rotirati ga -> projicirati na volumen -> ovisno o naredbama koje je unio korisnik, rotirati njegovu projekciju -> projicirati na ravninu -> crtati.

Projekcije i rotacije sam sam napisao. Oni rade prema formulama koje sam upravo opisao. OpenGL biblioteka crta linije i također miješa boje. A koordinate vrhova teserakta izračunavaju se na ovaj način:

Koordinate vrha crte sa središtem u ishodištu i duljinom 2 - (1) i (-1);
- "-" - kvadrat - "-" - i rub duljine 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) i (-1; -1);
- " - " - kocka - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Kao što vidite, kvadrat je jedna linija iznad OY osi i jedna linija ispod OY osi; kocka je jedan kvadrat ispred ravnine XOY, a jedan iza nje; teserakt je jedna kocka s druge strane volumena XOYZ, a jedna s ove strane. Ali puno je lakše uočiti ovu izmjenu jedinica i minus jedinica ako su napisane u stupcu

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

U prvom stupcu jedan i minus jedan se izmjenjuju. U drugom stupcu prvo su dva plusa, zatim dva minusa. U trećem - četiri plus jedan, a zatim četiri minus jedan. To su bili vrhovi kocke. Teserakt ih ima duplo više i zato je bilo potrebno napisati ciklus za njihovu deklaraciju, inače se vrlo lako zabuniti.

Moj program također zna kako nacrtati anaglif. Sretni vlasnici 3D naočala mogu gledati stereoskopsku sliku. Nema ništa teško u crtanju slike, samo crta dvije projekcije na ravnini, za desno i lijevo oko. Ali program postaje mnogo vizualniji i zanimljiviji, i što je najvažnije - daje bolju ideju o četverodimenzionalnom svijetu.

Manje značajne funkcije - isticanje jednog od lica crvenom bojom, tako da možete bolje vidjeti zavoje, kao i manje pogodnosti - podešavanje koordinata točaka "oka", povećanje i smanjenje brzine rotacije.

Arhiva s programom, izvornim kodom i uputama za korištenje.

U geometriji hiperkocka- Ovo n-dimenzionalna analogija kvadrata ( n= 2) i kocka ( n= 3). Ovo je zatvorena konveksna figura koja se sastoji od skupina paralelnih linija koje se nalaze na suprotnim rubovima figure i međusobno su povezane pod pravim kutom.

Ova figura je također poznata kao teserakt(teserakt). Teserakt je prema kocki kao što je kocka prema kvadratu. Formalnije, teserakt se može opisati kao pravilni konveksni četverodimenzionalni politop (politop) čija se granica sastoji od osam kubičnih ćelija.

Prema Oxfordskom rječniku engleskog jezika, riječ "tesseract" skovao je 1888. Charles Howard Hinton i upotrijebio je u svojoj knjizi Nova era mišljenja. Riječ je nastala od grčke riječi "τεσσερες ακτινες" ("četiri zrake"), u obliku je četiri koordinatne osi. Osim toga, u nekim se izvorima zvala ista brojka tetracube(tetrakub).

n-dimenzionalna hiperkocka se također naziva n-kocka.

Točka je hiperkocka dimenzije 0. Ako točku pomaknete za jedinicu duljine, dobit ćete isječak jedinične duljine - hiperkocku dimenzije 1. Nadalje, ako pomaknete isječak za jedinicu duljine u smjeru okomitom na smjer segmenta, dobiva se kocka - hiperkocka dimenzije 2. Pomicanjem kvadrata za jedinicu duljine u smjeru okomitom na ravninu kvadrata, dobiva se kocka - hiperkocka dimenzije 3. Ovaj proces može se generalizirati na bilo koji broj dimenzija. Na primjer, ako pomaknete kocku za jedinicu duljine u četvrtoj dimenziji, dobit ćete teserakt.

Obitelj hiperkocki jedan je od rijetkih pravilnih poliedara koji se mogu prikazati u bilo kojoj dimenziji.

Elementi hiperkocke

Dimenzijska hiperkocka n ima 2 n"stranice" (jednodimenzionalna crta ima 2 točke; dvodimenzionalni kvadrat - 4 stranice; trodimenzionalna kocka - 6 stranica; četverodimenzionalni teserakt - 8 ćelija). Broj vrhova (točaka) hiperkocke je 2 n(na primjer, za kocku - 2 3 vrha).

Količina m-dimenzionalne hiperkocke na granici n-kocka je jednaka

Na primjer, na rubu hiperkocke nalazi se 8 kocki, 24 kvadrata, 32 brida i 16 vrhova.

Elementi hiperkocke

n-kocka	Ime	Vertex (0-lice)	Rub (1 lice)	rub (2 lica)	Ćelija (3 lica)	(4 lica)	(5 lica)	(6 lica)	(7 lica)	(8 lica)
0-kocka	Točka	1
1-kocka	Segment linije	2	1
2-kocka	Kvadrat	4	4	1
3-kocka	Kocka	8	12	6	1
4-kocka	teserakt	16	32	24	8	1
5-kocka	Penterakt	32	80	80	40	10	1
6-kocka	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7-kocka	Hepterakt	128	448	672	560	280	84	14	1
8-kocka	Okterakt	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kocka	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Ravninska projekcija

Formiranje hiperkocke može se prikazati na sljedeći način:

• Dvije točke A i B mogu se spojiti tako da čine dužinu AB.
• Dva paralelna odsječka AB i CD mogu se spojiti u kvadrat ABCD.
• Dva paralelna kvadrata ABCD i EFGH mogu se spojiti u kocku ABCDEFGH.
• Dvije paralelne kocke ABCDEFGH i IJKLMNOP mogu se spojiti u hiperkocku ABCDEFGHIJKLMNOP.

Potonju strukturu nije lako zamisliti, ali je moguće prikazati njezinu projekciju na dvije ili tri dimenzije. Štoviše, projekcije na 2D ravninu mogu biti korisnije preuređivanjem položaja projiciranih vrhova. U tom slučaju mogu se dobiti slike koje više ne odražavaju prostorne odnose elemenata unutar teserakta, već ilustriraju strukturu verteksnih veza, kao u primjerima u nastavku.

Prva ilustracija pokazuje kako u načelu nastaje teserakt spajanjem dviju kockica. Ova shema je slična shemi za stvaranje kocke iz dva kvadrata. Drugi dijagram pokazuje da su svi rubovi teserakta iste duljine. Ova shema je također prisiljena tražiti kocke povezane jedna s drugom. U trećem dijagramu, vrhovi teserakta nalaze se u skladu s udaljenostima duž lica u odnosu na donju točku. Ova shema je zanimljiva jer se koristi kao osnovna shema za mrežnu topologiju povezivanja procesora u organiziranju paralelnog računalstva: udaljenost između bilo koja dva čvora ne prelazi 4 duljine ruba, a postoji mnogo različitih načina za uravnoteženje opterećenja.

Hiperkocka u umjetnosti

Hiperkocka se u znanstvenoj fantastici pojavljuje od 1940. godine, kada je Robert Heinlein u priči "The House That Teal Built" ("I sagradio je nakrivljenu kuću") opisao kuću sagrađenu u obliku teserakta. U priči, ovo Nadalje, ova kuća je sklopljena, pretvarajući se u četverodimenzionalni teserakt. Nakon toga, hiperkocka se pojavljuje u mnogim knjigama i romanima.

Kocka 2: Hiperkocka je oko osam ljudi zarobljenih u mreži hiperkocki.

Slika Raspeće (Corpus Hypercubus), 1954. Salvadora Dalija prikazuje Isusa razapetog na teseraktu. Ova se slika može vidjeti u Muzeju umjetnosti (Metropolitan Museum of Art) u New Yorku.

Zaključak

Hiperkocka je jedan od najjednostavnijih četverodimenzionalnih objekata, na čijem primjeru možete vidjeti svu složenost i neobičnost četvrte dimenzije. I ono što izgleda nemoguće u tri dimenzije, moguće je u četiri, primjerice, nemoguće figure. Tako će, primjerice, šipke nemogućeg trokuta u četiri dimenzije biti spojene pod pravim kutom. I ova će figura izgledati ovako sa svih točaka gledišta i neće biti iskrivljena, za razliku od implementacija nemogućeg trokuta u trodimenzionalnom prostoru (vidi sl.