Dom › Razno › Odredite površinu ravne figure. Određeni integral

Odredite površinu ravne figure. Određeni integral

Sada prelazimo na razmatranje primjena integralnog računa. U ovoj lekciji analizirat ćemo tipičan i najčešći zadatak. izračunavanje površine ravnog lika pomoću određenog integrala. Konačno, svi oni koji traže smisao u višoj matematici – neka ga nađu. Nikad ne znaš. U stvarnom životu morat ćete aproksimirati ljetnu kućicu s elementarnim funkcijama i pronaći njezinu površinu pomoću određenog integrala.

Za uspješno savladavanje gradiva potrebno je:

1) Razumjeti neodređeni integral barem na srednjoj razini. Stoga bi lutke prvo trebale pročitati lekciju Ne.

2) Znati primijeniti Newton-Leibnizovu formulu i izračunati određeni integral. Kuvati toplo prijateljski odnosi s određenim integralima možete pronaći na stranici Određeni integral. Primjeri rješenja. Zadatak "izračunaj površinu pomoću određenog integrala" uvijek uključuje izradu crteža, stoga će vaše znanje i vještine crtanja također biti hitan problem. Minimalno se mora znati izgraditi ravna linija, parabola i hiperbola.

Počnimo s krivolinijskim trapezom. Krivolinijski trapez je ravna figura omeđena grafom neke funkcije g = f(x), os VOL i linije x = a; x = b.

Površina krivocrtnog trapeza brojčano je jednaka određenom integralu

Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Na lekciji Određeni integral. Primjeri rješenja rekli smo da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da navedemo još jednu korisna činjenica. Sa stajališta geometrije, određeni integral je POVRŠINA. To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini neke figure. Promotrimo određeni integral

Integrand

definira krivulju na ravnini (može se nacrtati po želji), a sam određeni integral brojčano je jednak površini odgovarajućeg krivocrtnog trapeza.

Primjer 1

, , , .

Ovo je tipična izjava zadatka. Najvažnija točka odluke je konstrukcija crteža. Štoviše, crtež mora biti izgrađen PRAVO.

Prilikom izrade nacrta preporučujem sljedeći redoslijed: isprva bolje je konstruirati sve linije (ako postoje) i samo Zatim- parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Tehnika točkaste konstrukcije može se naći u referentni materijal Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Tamo također možete pronaći materijal koji je vrlo koristan u odnosu na našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.

Napravimo crtež (imajte na umu da jednadžba g= 0 određuje os VOL):

Nećemo šrafirati krivuljasti trapez, ovdje je očito koje je područje u pitanju. Rješenje se nastavlja ovako:

Na intervalu [-2; 1] graf funkcije g = x 2 + 2 nalazi se preko osiVOL, Zato:

Odgovor: .

Tko ima poteškoća s izračunavanjem određenog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule

uputiti na predavanje Određeni integral. Primjeri rješenja. Nakon izvršenja zadatka uvijek je korisno pogledati crtež i ustanoviti je li odgovor stvaran. U ovaj slučaj„Okom“ brojimo broj ćelija na crtežu - dobro, bit će upisano oko 9, čini se da je istina. Posve je jasno da kad bismo imali, recimo, odgovor: 20 četvornih jedinica, onda je, očito, negdje napravljena pogreška - 20 ćelija očito ne stane u dotičnu brojku, najviše desetak. Ako je odgovor bio negativan, onda je i zadatak netočno riješen.

Primjer 2

Izračunajte površinu figure omeđene linijama xy = 4, x = 2, x= 4 i os VOL.

Ovo je primjer "uradi sam". Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Što učiniti ako se nalazi krivolinijski trapez ispod osovineVOL?

Primjer 3

Izračunajte površinu figure omeđene linijama g = e-x, x= 1 i koordinatne osi.

Rješenje: Napravimo crtež:

Ako je krivolinijski trapez potpuno ispod osovine VOL , tada se njegova površina može pronaći formulom:

U ovom slučaju:

Pažnja! Ne treba brkati dvije vrste zadataka:

1) Ako se od vas traži da riješite samo određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, tada on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure koristeći određeni integral, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u upravo razmatranoj formuli.

U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravnini, pa se od najjednostavnijih školskih zadataka prelazi na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Odredite površinu ravne figure omeđene linijama g = 2x – x 2 , g = -x.

Rješenje: Prvo morate napraviti crtež. Kod konstruiranja crteža u problemima površina najviše nas zanimaju sjecišta linija. Pronađite sjecišta parabole g = 2x – x 2 i ravno g = -x. To se može učiniti na dva načina. Prvi način je analitički. Rješavamo jednadžbu:

Dakle, donja granica integracije a= 0, gornja granica integracije b= 3. Često je isplativije i brže konstruirati pravce točku po točku, a granice integracije se otkrivaju kao da su “same od sebe”. Unatoč tome, analitička metoda pronalaženja granica još uvijek se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili konstrukcija s nitima nije otkrila granice integracije (one mogu biti frakcijske ili iracionalne). Vraćamo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati ravnu liniju, a tek onda parabolu. Napravimo crtež:

Ponavljamo da se u točkastoj konstrukciji granice integracije najčešće pronalaze “automatski”.

A sada radna formula:

Ako na segmentu [ a; b] neka kontinuirana funkcija f(x) veće ili jednako neka kontinuirana funkcija g(x), tada se površina odgovarajuće figure može pronaći formulom:

Ovdje više nije potrebno razmišljati gdje se lik nalazi - iznad osi ili ispod osi, već bitno je koji je grafikon GORE(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad ravne linije, pa stoga od 2 x – x 2 se mora oduzeti - x.

Završetak rješenja može izgledati ovako:

Željena figura ograničena je parabolom g = 2x – x 2 gornje i ravno g = -x Od ispod.

Na segmentu 2 x – x 2 ≥ -x. Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor: .

Zapravo, školska formula za površinu krivocrtnog trapeza u donjoj poluravnini (vidi primjer br. 3) je poseban slučaj formule

Budući da os VOL dana je jednadžbom g= 0, te graf funkcije g(x) nalazi se ispod osi VOL, To

A sada nekoliko primjera za neovisno rješenje

Primjer 5

Primjer 6

Pronađite površinu figure omeđene linijama

U tijeku rješavanja zadataka za izračunavanje površine pomoću određenog integrala ponekad se dogodi smiješna zgoda. Crtež je napravljen ispravno, proračuni su bili točni, ali, zbog nepažnje, ... pronašao područje pogrešne figure.

Primjer 7

Prvo nacrtajmo:

Lik čiju površinu trebamo pronaći je osjenčan plavom bojom.(pažljivo pogledajte stanje - koliko je brojka ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često odluče da moraju pronaći područje figure koje je zasjenjeno u zelenoj boji!

Ovaj primjer je također koristan jer se u njemu površina figure izračunava pomoću dva određena integrala. Stvarno:

1) Na segmentu [-1; 1] iznad osovine VOL graf je ravan g = x+1;

2) Na segmentu iznad osi VOL nalazi se graf hiperbole g = (2/x).

Sasvim je očito da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

Odgovor:

Primjer 8

Izračunajte površinu figure omeđene linijama

Predstavimo jednadžbe u "školskom" obliku

i nacrtajte liniju:

Iz crteža se vidi da je naša gornja granica “dobra”: b = 1.

Ali koja je donja granica? Jasno je da to nije cijeli broj, ali što?

Može biti, a=(-1/3)? Ali gdje je jamstvo da je crtež napravljen sa savršenom točnošću, moglo bi se i pokazati a=(-1/4). Što ako graf uopće nismo dobili kako treba?

U takvim slučajevima potrebno je potrošiti dodatno vrijeme i analitički precizirati granice integracije.

Pronađite sjecišne točke grafova

Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu:

Stoga, a=(-1/3).

Daljnje rješenje je trivijalno. Glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima. Računica ovdje nije najlakša. Na segmentu

, ,

prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

U zaključku lekcije razmotrit ćemo dva teža zadatka.

Primjer 9

Izračunajte površinu figure omeđene linijama

Rješenje: Nacrtaj ovu figuru na crtežu.

Za crtanje od točke do točke morate znati izgled sinusoide. Općenito, korisno je znati grafove svih elementarnih funkcija, kao i neke vrijednosti sinusa. Nalaze se u tablici vrijednosti trigonometrijske funkcije . U nekim slučajevima (na primjer, u ovom slučaju) dopušteno je konstruirati shematski crtež, na kojem se grafikoni i granice integracije moraju načelno ispravno prikazati.

Ovdje nema problema s granicama integracije, one slijede izravno iz uvjeta:

- "x" se mijenja od nule do "pi". Donosimo daljnju odluku:

Na segmentu, graf funkcije g= grijeh 3 x koji se nalazi iznad osi VOL, Zato:

(1) Možete vidjeti kako su sinusi i kosinusi integrirani u neparne potencije u lekciji Integrali trigonometrijskih funkcija. Odvajamo jedan sinus.

(2) Koristimo osnovni trigonometrijski identitet u obliku

(3) Promijenimo varijablu t= cos x, tada: nalazi se iznad osi , dakle:

Bilješka: primijetite kako je uzet integral tangente u kocki, ovdje se koristi posljedica osnovnog trigonometrijskog identiteta

U stvari, da biste pronašli područje figure, ne trebate toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak "izračunaj površinu pomoću određenog integrala" uvijek uključuje izradu crteža, pa će vaše znanje i vještine crtanja biti puno relevantnije pitanje. U tom smislu, korisno je osvježiti pamćenje grafova glavnih elementarnih funkcija i, barem, biti u mogućnosti izgraditi ravnu liniju i hiperbolu.

Krivocrtni trapez je ravna figura omeđena osi, ravnim linijama i grafom kontinuirane funkcije na segmentu koji ne mijenja predznak na tom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje apscisa:

Zatim površina krivocrtnog trapeza brojčano je jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje.

U smislu geometrije, određeni integral je POVRŠINA.

To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini neke figure. Na primjer, razmotrimo određeni integral. Integrand definira krivulju na ravnini koja se nalazi iznad osi (oni koji žele mogu dovršiti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivocrtnog trapeza.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava zadatka. Prvo i ključni trenutak rješenja - građenje crteža. Štoviše, crtež mora biti izgrađen PRAVO.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Napravimo crtež (imajte na umu da jednadžba definira os):

Na segmentu se nalazi graf funkcije preko osi, Zato:

Odgovor:

Nakon izvršenja zadatka uvijek je korisno pogledati crtež i ustanoviti je li odgovor stvaran. U ovom slučaju, "na oko" brojimo broj ćelija na crtežu - pa, oko 9 će biti upisano, čini se da je istina. Sasvim je jasno da ako imamo, recimo, odgovor: 20 četvornih jedinica, onda je, očito, negdje napravljena pogreška - 20 ćelija očito ne stane u dotičnu brojku, najviše desetak. Ako je odgovor bio negativan, onda je i zadatak netočno riješen.

Primjer 3

Izračunajte površinu figure omeđene linijama i koordinatnim osima.

Riješenje: Napravimo crtež:

Ako se krivolinijski trapez nalazi ispod osovine(ili barem ne viši dana os), tada se njegova površina može pronaći formulom:

U ovom slučaju:

Pažnja! Nemojte brkati dvije vrste zadataka:

1) Ako se od vas traži da riješite samo određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, tada on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure koristeći određeni integral, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u upravo razmatranoj formuli.

U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravnini, pa se od najjednostavnijih školskih zadataka prelazi na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Nađite površinu ravnog lika omeđenog linijama , .

Riješenje: Prvo morate dovršiti crtež. Općenito govoreći, kod konstruiranja crteža u problemima površina najviše nas zanimaju sjecišta linija. Nađimo točke sjecišta parabole i pravca. To se može učiniti na dva načina. Prvi način je analitički. Rješavamo jednadžbu:

Dakle, donja granica integracije, gornja granica integracije.

Najbolje je ne koristiti ovu metodu ako je moguće..

Puno je isplativije i brže graditi linije točku po točku, dok se granice integracije otkrivaju kao da su “sami od sebe”. Unatoč tome, analitička metoda pronalaženja granica još uvijek se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili konstrukcija s nitima nije otkrila granice integracije (one mogu biti frakcijske ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.

Vraćamo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati ravnu liniju, a tek onda parabolu. Napravimo crtež:

A sada radna formula: Ako postoji neka kontinuirana funkcija na intervalu veće ili jednako neka kontinuirana funkcija, zatim područje figure, ograničen grafikonom ovih funkcija i ravnih linija , , mogu se pronaći formulom:

Ovdje više nije potrebno razmišljati gdje se figura nalazi - iznad osi ili ispod osi, i, grubo rečeno, bitno je koji je grafikon GORE(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad ravne linije, pa je potrebno oduzeti od

Završetak rješenja može izgledati ovako:

Željena figura ograničena je parabolom odozgo i ravnom linijom odozdo.
Na segmentu prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Primjer 4

Izračunaj površinu lika omeđenog linijama , , , .

Riješenje: Prvo napravimo crtež:

Lik čiju površinu trebamo pronaći je osjenčan plavom bojom.(pažljivo pogledajte stanje - koliko je brojka ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se događa "greška", da morate pronaći područje figure koje je osjenčano zelenom bojom!

Ovaj primjer je također koristan jer se u njemu površina figure izračunava pomoću dva određena integrala.

Stvarno:

1) Na segmentu iznad osi nalazi se pravolinijski grafikon;

2) Na segmentu iznad osi je graf hiperbole.

Sasvim je očito da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

Kako umetnuti matematičke formule na stranicu?

Ako ikada budete trebali dodati jednu ili dvije matematičke formule na web stranicu, onda je najlakši način da to učinite kako je opisano u članku: matematičke formule se lako umeću na stranicu u obliku slika koje Wolfram Alpha automatski generira. Osim jednostavnosti, ova univerzalna metoda pomoći će poboljšati vidljivost stranice u tražilicama. Radi već dugo (i mislim da će raditi zauvijek), ali je moralno zastario.

Ako stalno koristite matematičke formule na svojoj web stranici, preporučujem vam da koristite MathJax, posebnu JavaScript biblioteku koja prikazuje matematičku notaciju u web preglednicima koristeći MathML, LaTeX ili ASCIIMathML oznake.

Postoje dva načina da počnete koristiti MathJax: (1) korištenjem jednostavnog koda, možete brzo povezati MathJax skriptu sa svojim web mjestom, koja će se automatski učitati s udaljenog poslužitelja u pravo vrijeme (popis poslužitelja); (2) prenesite skriptu MathJax s udaljenog poslužitelja na svoj poslužitelj i povežite je sa svim stranicama svoje stranice. Druga metoda je složenija i dugotrajnija te će vam omogućiti da ubrzate učitavanje stranica vaše stranice, a ako nadređeni MathJax poslužitelj iz nekog razloga postane privremeno nedostupan, to ni na koji način neće utjecati na vašu vlastitu stranicu. Unatoč tim prednostima, odabrao sam prvu metodu jer je jednostavnija, brža i ne zahtijeva tehničke vještine. Slijedite moj primjer i u roku od 5 minuta moći ćete koristiti sve značajke MathJaxa na svojoj stranici.

Možete povezati skriptu MathJax biblioteke s udaljenog poslužitelja koristeći dvije opcije koda preuzete s glavnog MathJax web mjesta ili sa stranice dokumentacije:

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kôd vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka I ili odmah nakon oznake . Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako umetnete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako zalijepite drugi kod, tada će se stranice učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način povezivanja MathJaxa je u Bloggeru ili WordPressu: na kontrolnoj ploči web-mjesta dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju gornjeg koda za učitavanje u njega i postavite widget bliže početak predloška (usput, to uopće nije potrebno jer se MathJax skripta učitava asinkrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML, LaTeX i ASCIIMathML i spremni ste ugraditi matematičke formule u svoje web stranice.

Svaki fraktal izgrađen je prema određenom pravilu, koje se dosljedno primjenjuje neograničen broj puta. Svako takvo vrijeme naziva se iteracija.

Iterativni algoritam za konstruiranje Mengerove spužve prilično je jednostavan: originalna kocka sa stranicom 1 podijeljena je ravninama paralelnim s njezinim stranama na 27 jednakih kocki. Iz nje se uklanjaju jedna središnja kocka i 6 kocki uz nju duž strana. Ispada set koji se sastoji od 20 preostalih manjih kockica. Postupivši isto sa svakom od ovih kockica, dobivamo set od 400 manjih kockica. Nastavljajući ovaj proces na neodređeno vrijeme, dobivamo Mengerovu spužvu.

Počinjemo razmatrati stvarni proces izračuna dvostrukog integrala i upoznati se s njegovim geometrijskim značenjem.

Dvostruki integral brojčano je jednak površini ravne figure (područje integracije). Ovaj najjednostavniji oblik dvostruki integral kada je funkcija dviju varijabli jednaka jedinici: .

Razmotrimo prvo problem u opći pogled. Sada ćete se iznenaditi koliko je to zapravo jednostavno! Izračunajmo površinu ravne figure omeđene linijama. Radi određenosti pretpostavimo da je na intervalu . Površina ove figure brojčano je jednaka:

Oslikajmo područje na crtežu:

Izaberimo prvi način zaobilaženja područja:

Tako:

I odmah važan tehnički trik: iterirani integrali mogu se razmatrati odvojeno. Prvo unutarnji integral, zatim vanjski integral. Ova metoda se toplo preporučuje početnicima u temi čajnika.

1) Izračunajte interni integral, dok se integracija provodi po varijabli "y":

Neodređeni integral ovdje je najjednostavniji, a onda se koristi banalna Newton-Leibnizova formula, s tom razlikom što granice integracije nisu brojevi, već funkcije. Prvo smo zamijenili gornju granicu u "y" (antiderivacijska funkcija), a zatim donju granicu

2) Rezultat dobiven u prvom paragrafu mora se zamijeniti u vanjski integral:

Kompaktniji zapis za cijelo rješenje izgleda ovako:

Dobivena formula - ovo je upravo radna formula za izračunavanje površine ravne figure pomoću "običnog" određenog integrala! Vidi lekciju Izračunavanje površine pomoću određenog integrala, ima je na svakom koraku!

To je, problem izračunavanja površine pomoću dvostrukog integrala malo drugačije iz problema nalaženja površine pomoću određenog integrala! Zapravo, oni su jedno te isto!

Prema tome, ne bi trebalo nastati nikakve poteškoće! Neću razmatrati mnogo primjera, jer ste se zapravo više puta susreli s ovim problemom.

Primjer 9

Riješenje: Oslikajmo područje na crtežu:

Odaberimo sljedeći redoslijed obilaska regije:

Ovdje i niže neću ulaziti u to kako prijeći područje jer je prvi odlomak bio vrlo detaljan.

Tako:

Kao što sam već primijetio, za početnike je bolje izračunati iterirane integrale odvojeno, ja ću se pridržavati iste metode:

1) Prvo, koristeći Newton-Leibnizovu formulu, bavimo se unutarnjim integralom:

2) Rezultat dobiven u prvom koraku zamjenjuje se u vanjski integral:

Točka 2 je zapravo pronalaženje površine ravne figure pomoću određenog integrala.

Odgovor:

Evo tako glupog i naivnog zadatka.

Zanimljiv primjer za neovisno rješenje:

Primjer 10

Pomoću dvostrukog integrala izračunajte površinu ravnog lika omeđenog pravcima , ,

Uzorak Uzorak dovršavanje rješenja na kraju lekcije.

U primjerima 9-10 mnogo je isplativije koristiti prvi način zaobilaženja područja, znatiželjni čitatelji, usput, mogu promijeniti redoslijed zaobilaženja i izračunati površine na drugi način. Ako ne pogriješite, tada se, naravno, dobivaju iste vrijednosti područja.

Ali u nekim je slučajevima drugi način zaobilaženja područja učinkovitiji, au zaključku tečaja za mlade štrebere, pogledajmo još nekoliko primjera na ovu temu:

Primjer 11

Pomoću dvostrukog integrala izračunajte površinu ravnog lika omeđenog linijama.

Riješenje: veselimo se dvjema parabolama s povjetarcem koje leže na boku. Nema potrebe za osmijehom, često se susreću slične stvari u višestrukim integralima.

Kako je najlakše napraviti crtež?

Predstavimo parabolu kao dvije funkcije:
- gornja grana i - donja grana.

Slično, zamislite parabolu kao gornju i donju grane.

Zatim se pokreće iscrtavanje od točke do točke, što rezultira tako bizarnom figurom:

Površina figure izračunava se pomoću dvostrukog integrala prema formuli:

Što se događa ako odaberemo prvi način zaobilaženja područja? Prvo, ovo područje će morati biti podijeljeno u dva dijela. I drugo, promatrat ćemo ovu tužnu sliku: . Integrali, naravno, nisu superkompleksne razine, ali ... postoji stara matematička izreka: tko je prijatelj s korijenima, ne treba kompenzaciju.

Stoga, iz nesporazuma koji je dan u uvjetu, izražavamo inverzne funkcije:

Inverzne funkcije V ovaj primjer imaju prednost što odmah postavljaju cijelu parabolu bez lišća, žira, grana i korijenja.

Prema drugoj metodi, prolazak područja će biti sljedeći:

Tako:

Kako kažu, osjetite razliku.

1) Bavimo se unutarnjim integralom:

Rezultat zamijenimo u vanjski integral:

Integracija preko varijable "y" ne bi trebala biti neugodna, da postoji slovo "zyu" - bilo bi super integrirati preko njega. Iako tko je pročitao drugi odlomak lekcije Kako izračunati volumen tijela rotacije, on više ne doživljava ni najmanju neugodnost s integracijom preko "y".

Također obratite pozornost na prvi korak: integrand je paran, a segment integracije je simetričan oko nule. Stoga se segment može prepoloviti, a rezultat udvostručiti. Ova tehnika detaljno komentirao u lekciji Učinkovite metode izračunavanje određenog integrala.

Što dodati…. Svi!

Odgovor:

Kako biste testirali svoju tehniku integracije, možete pokušati izračunati . Odgovor bi trebao biti potpuno isti.

Primjer 12

Pomoću dvostrukog integrala izračunajte površinu ravnog lika omeđenog linijama

Ovo je primjer "uradi sam". Zanimljivo je napomenuti da ako pokušate koristiti prvi način zaobilaženja područja, tada lik više neće biti podijeljen na dva, već na tri dijela! I, sukladno tome, dobivamo tri para iteriranih integrala. Ponekad se dogodi.

Majstorski tečaj je došao kraju i vrijeme je da prijeđemo na velemajstorski nivo - Kako izračunati dvostruki integral? Primjeri rješenja. Pokušat ću ne biti toliko maničan u drugom članku =)

Želim ti uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2:Riješenje: Nacrtajte područje na crtežu:

Odaberimo sljedeći redoslijed obilaska regije:

Tako:
Prijeđimo na inverzne funkcije:

Tako:
Odgovor:

Primjer 4:Riješenje: Prijeđimo na izravne funkcije:

Izvršimo crtež:

Promijenimo redoslijed obilaska područja:

Odgovor:

Riješenje.

Prvi i najvažniji trenutak odluke je izrada crteža.

Napravimo crtež:

Jednadžba y=0 postavlja x-os;

- x=-2 I x=1 - ravno, paralelno s osi OU;

- y \u003d x 2 +2 - parabola čiji su kraci usmjereni prema gore, s vrhom u točki (0;2).

Komentar. Za konstrukciju parabole dovoljno je pronaći točke njezina sjecišta s koordinatnim osima, tj. stavljanje x=0 pronađite sjecište s osi OU i odlučivanje o odgovarajućem kvadratna jednadžba, pronađite sjecište s osi Oh .

Vrh parabole može se pronaći pomoću formula:

Možete crtati linije i točku po točku.

Na intervalu [-2;1] graf funkcije y=x 2 +2 nalazi se preko osi Vol , Zato:

Odgovor: S \u003d 9 kvadratnih jedinica

Što učiniti ako se nalazi krivolinijski trapez ispod osovine Oh?

b) Izračunajte površinu figure omeđene linijama y=-e x , x=1 i koordinatne osi.

Riješenje.

Napravimo crtež.

Ako je krivolinijski trapez potpuno ispod osovine Oh , tada se njegova površina može pronaći formulom:

Odgovor: S=(e-1) sq. jedinica" 1,72 sq. jedinica

Pažnja! Nemojte brkati dvije vrste zadataka:

1) Ako se od vas traži da riješite samo određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, tada on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure koristeći određeni integral, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u upravo razmatranoj formuli.

U praksi se lik najčešće nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravnini.

S) Odredite površinu ravne figure omeđene linijama y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Riješenje.

Prvo morate napraviti crtež. Općenito govoreći, kod konstruiranja crteža u problemima površina najviše nas zanimaju sjecišta linija. Pronađite sjecišta parabole i izravni To se može učiniti na dva načina. Prvi način je analitički.

Rješavamo jednadžbu:

Dakle, donja granica integracije a=0 , gornja granica integracije b=3 .

Gradimo zadane pravce: 1. Parabola - vrh u točki (1;1); sjecište osi Oh - točke(0;0) i (0;2). 2. Pravac - simetrala 2. i 4. koordinatnog kuta. A sada Pažnja! Ako na segmentu [ a;b] neka kontinuirana funkcija f(x) veća ili jednaka nekoj kontinuiranoj funkciji g(x), tada se površina odgovarajuće figure može pronaći formulom: .

I nije važno gdje se figura nalazi - iznad osi ili ispod osi, već je važno koji je grafikon VIŠI (u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD. U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad ravne linije, pa je potrebno oduzeti od

Moguće je konstruirati linije točku po točku, dok se granice integracije pronalaze kao "sama od sebe". Unatoč tome, analitička metoda pronalaženja granica još uvijek se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili konstrukcija s nitima nije otkrila granice integracije (one mogu biti frakcijske ili iracionalne).