Mencari kelipatan persekutuan dari dua bilangan. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Pembagi Persekutuan Terbesar
Definisi 2
Jika bilangan asli a habis dibagi dengan bilangan asli $b$, maka $b$ disebut sebagai pembagi dari $a$, dan bilangan $a$ disebut kelipatan dari $b$.
Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli. Angka $c$ disebut pembagi bersama untuk $a$ dan $b$.
Himpunan pembagi bersama dari bilangan $a$ dan $b$ adalah berhingga, karena tidak ada pembagi yang lebih besar dari $a$. Ini berarti bahwa di antara pembagi ini ada yang terbesar, yang disebut pembagi persekutuan terbesar dari angka $a$ dan $b$, dan notasi digunakan untuk menunjukkannya:
$gcd \ (a;b) \ atau \ D \ (a;b)$
Untuk mencari pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan:
- Temukan produk dari angka-angka yang ditemukan pada langkah 2. Angka yang dihasilkan akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan.
Contoh 1
Temukan gcd dari angka $121$ dan $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Pilih angka-angka yang termasuk dalam perluasan angka-angka ini
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Temukan produk dari angka-angka yang ditemukan pada langkah 2. Angka yang dihasilkan akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan.
$gcd=2\cdot 11=22$
Contoh 2
Temukan GCD monomial $63$ dan $81$.
Kami akan menemukan sesuai dengan algoritma yang disajikan. Untuk ini:
Mari kita uraikan bilangan menjadi faktor prima
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Kami memilih angka-angka yang termasuk dalam perluasan angka-angka ini
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Mari kita temukan hasil kali dari angka-angka yang ditemukan pada langkah 2. Angka yang dihasilkan akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan.
$gcd=3\cdot 3=9$
Anda dapat menemukan PBT dari dua bilangan dengan cara lain, menggunakan himpunan pembagi bilangan.
Contoh 3
Temukan gcd dari angka $48$ dan $60$.
Larutan:
Temukan himpunan pembagi dari $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Sekarang mari kita cari himpunan pembagi dari $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Mari kita cari irisan dari himpunan-himpunan ini: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - himpunan ini akan menentukan himpunan pembagi persekutuan dari angka $48$ dan $60 $. Elemen terbesar dalam set ini adalah angka $12$. Jadi pembagi persekutuan terbesar dari $48$ dan $60$ adalah $12$.
Definisi NOC
Definisi 3
kelipatan umum dari bilangan asli$a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang merupakan kelipatan dari $a$ dan $b$.
Kelipatan persekutuan bilangan adalah bilangan yang habis dibagi dengan bilangan asli tanpa sisa.Misalnya, untuk bilangan $25$ dan $50$, kelipatan persekutuannya adalah $50.100.150.200$, dst.
Kelipatan persekutuan terkecil akan disebut kelipatan persekutuan terkecil dan dilambangkan dengan LCM$(a;b)$ atau K$(a;b).$
Untuk menemukan KPK dari dua angka, Anda memerlukan:
- Dekomposisi bilangan menjadi faktor prima
- Tuliskan faktor-faktor yang merupakan bagian dari bilangan pertama dan tambahkan faktor-faktor yang merupakan bagian dari bilangan kedua dan jangan ke bilangan pertama
Contoh 4
Temukan KPK dari angka $99$ dan $77$.
Kami akan menemukan sesuai dengan algoritma yang disajikan. Untuk ini
Dekomposisi bilangan menjadi faktor prima
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam yang pertama
tambahkan kepada mereka faktor-faktor yang merupakan bagian dari yang kedua dan jangan pergi ke yang pertama
Temukan produk dari angka-angka yang ditemukan pada langkah 2. Angka yang dihasilkan akan menjadi kelipatan persekutuan terkecil yang diinginkan
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Menyusun daftar pembagi angka seringkali sangat memakan waktu. Ada cara untuk menemukan GCD yang disebut algoritma Euclid.
Pernyataan yang menjadi dasar algoritme Euclid:
Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan asli, dan $a\vdots b$, maka $D(a;b)=b$
Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan asli sehingga $b
Dengan menggunakan $D(a;b)= D(a-b;b)$, kita dapat secara berturut-turut mengurangi angka-angka yang dipertimbangkan sampai kita mencapai sepasang angka sehingga salah satunya dapat dibagi oleh yang lain. Maka yang lebih kecil dari angka-angka ini akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan untuk angka $a$ dan $b$.
Properti GCD dan LCM
- Kelipatan persekutuan apa pun dari $a$ dan $b$ habis dibagi oleh K$(a;b)$
- Jika $a\vdots b$ , maka K$(a;b)=a$
Jika K$(a;b)=k$ dan $m$-bilangan asli, maka K$(am;bm)=km$
Jika $d$ adalah pembagi bersama untuk $a$ dan $b$, maka K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Jika $a\vdots c$ dan $b\vdots c$ , maka $\frac(ab)(c)$ adalah kelipatan persekutuan dari $a$ dan $b$
Untuk bilangan asli apa pun $a$ dan $b$ persamaannya
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Setiap pembagi umum dari $a$ dan $b$ adalah pembagi dari $D(a;b)$
Pembagi persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil adalah konsep aritmatika kunci yang memungkinkan Anda untuk beroperasi dengan mudah pecahan biasa. KPK dan paling sering digunakan untuk mencari penyebut yang sama dari beberapa pecahan.
Konsep dasar
Pembagi suatu bilangan bulat X adalah bilangan bulat lain Y dimana X habis dibagi tanpa sisa. Misalnya, pembagi dari 4 adalah 2, dan 36 adalah 4, 6, 9. Kelipatan bilangan bulat X adalah bilangan Y yang habis dibagi X tanpa sisa. Misalnya, 3 adalah kelipatan 15, dan 6 adalah kelipatan 12.
Untuk pasangan bilangan apa pun, kita dapat menemukan pembagi dan kelipatan persekutuannya. Misalnya, untuk 6 dan 9, kelipatan persekutuannya adalah 18, dan pembagi persekutuannya adalah 3. Jelas, pasangan dapat memiliki beberapa pembagi dan kelipatan, jadi pembagi terbesar dari GCD dan kelipatan terkecil dari KPK digunakan dalam perhitungan .
Pembagi terkecil tidak masuk akal, karena untuk bilangan berapa pun selalu satu. Kelipatan terbesar juga tidak ada artinya, karena urutan kelipatan cenderung tak terhingga.
Menemukan GCD
Ada banyak metode untuk mencari pembagi persekutuan terbesar, yang paling terkenal adalah:
- pencacahan pembagi berurutan, pemilihan yang umum untuk pasangan dan mencari yang terbesar;
- dekomposisi angka menjadi faktor tak terpisahkan;
- algoritma Euclid;
- algoritma biner.
Hari ini pukul lembaga pendidikan yang paling populer adalah metode faktorisasi prima dan algoritma Euclid. Yang terakhir, pada gilirannya, digunakan dalam menyelesaikan persamaan Diophantine: pencarian GCD diperlukan untuk memeriksa persamaan untuk kemungkinan menyelesaikannya dalam bilangan bulat.
Menemukan NOC
Kelipatan persekutuan terkecil juga ditentukan secara tepat dengan pencacahan iteratif atau faktorisasi menjadi faktor-faktor yang tidak dapat dibagi. Selain itu, mudah untuk menemukan KPK jika pembagi terbesar telah ditentukan. Untuk bilangan X dan Y, KPK dan FPB dihubungkan dengan hubungan berikut:
KPK(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
Misalnya, jika gcd(15,18) = 3, maka KPK(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Penggunaan KPK yang paling jelas adalah untuk menemukan penyebut persekutuan, yang merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari pecahan yang diberikan.
bilangan koprime
Jika sepasang bilangan tidak memiliki pembagi persekutuan, maka pasangan tersebut disebut koprime. GCM untuk pasangan tersebut selalu sama dengan satu, dan berdasarkan hubungan pembagi dan kelipatan, GCM untuk koprime sama dengan perkaliannya. Misalnya, angka 25 dan 28 adalah koprime, karena tidak memiliki pembagi bersama, dan KPK(25, 28) = 700, yang sesuai dengan perkaliannya. Dua bilangan tak terbagi mana pun akan selalu menjadi koprime.
Pembagi Umum dan Kalkulator Banyak
Dengan kalkulator kami, Anda dapat menghitung GCD dan LCM untuk sejumlah angka yang dapat dipilih. Tugas untuk menghitung pembagi umum dan kelipatan ditemukan dalam aritmatika kelas 5, 6, tetapi GCD dan LCM - konsep kunci matematika dan digunakan dalam teori bilangan, planimetri dan aljabar komunikatif.
Contoh kehidupan nyata
Penyebut umum pecahan
Kelipatan persekutuan terkecil digunakan untuk mencari penyebut yang sama dari beberapa pecahan. Misalkan dalam masalah aritmatika diperlukan untuk menjumlahkan 5 pecahan:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Untuk menjumlahkan pecahan, ekspresi harus direduksi menjadi penyebut yang sama, yang direduksi menjadi masalah menemukan KPK. Untuk melakukan ini, pilih 5 angka di kalkulator dan masukkan nilai penyebut di sel yang sesuai. Program akan menghitung KPK (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sekarang Anda perlu menghitung faktor tambahan untuk setiap pecahan, yang didefinisikan sebagai rasio KPK terhadap penyebut. Jadi pengganda ekstra akan terlihat seperti:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Setelah itu, kami mengalikan semua pecahan dengan faktor tambahan yang sesuai dan mendapatkan:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Kita dapat dengan mudah menjumlahkan pecahan tersebut dan mendapatkan hasilnya dalam bentuk 159/360. Kami mengurangi pecahan dengan 3 dan melihat jawaban akhir - 53/120.
Solusi persamaan diophantine linier
Persamaan Linear Diophantine adalah ekspresi dari bentuk ax + by = d. Jika rasio d / gcd(a, b) adalah bilangan bulat, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dalam bilangan bulat. Mari kita periksa beberapa persamaan untuk kemungkinan solusi bilangan bulat. Pertama, periksa persamaan 150x + 8y = 37. Dengan menggunakan kalkulator, kita temukan gcd (150,8) = 2. Bagilah 37/2 = 18,5. Angka tersebut bukan bilangan bulat, oleh karena itu, persamaan tersebut tidak memiliki akar bilangan bulat.
Mari kita periksa persamaan 1320x + 1760y = 10120. Gunakan kalkulator untuk mencari gcd(1320, 1760) = 440. Bagilah 10120/440 = 23. Hasilnya, kita mendapatkan bilangan bulat, oleh karena itu, persamaan Diophantine dapat diselesaikan dalam koefisien bilangan bulat .
Kesimpulan
GCD dan LCM memainkan peran penting dalam teori bilangan, dan konsepnya sendiri banyak digunakan di berbagai bidang matematika. Gunakan kalkulator kami untuk menghitung pembagi terbesar dan kelipatan terkecil dari sejumlah angka.
Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan berhubungan langsung dengan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan tersebut. Ini hubungan antara GCD dan NOC ditentukan oleh teorema berikut.
Dalil.
Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat positif a dan b sama dengan hasil kali a dan b dibagi dengan pembagi persekutuan terbesar dari a dan b, yaitu, KPK(a, b)=a b: FPB(a, b).
Bukti.
Membiarkan M adalah kelipatan dari bilangan a dan b. Yaitu, M habis dibagi a, dan menurut definisi keterbagian, ada suatu bilangan bulat k sehingga persamaan M=a·k benar. Tetapi M juga habis dibagi b, maka a k habis dibagi b.
Nyatakan gcd(a, b) sebagai d . Kemudian kita dapat menuliskan persamaan a=a 1 ·d dan b=b 1 ·d, dan a 1 =a:d dan b 1 =b:d akan menjadi bilangan prima. Oleh karena itu, syarat yang diperoleh pada paragraf sebelumnya bahwa a k habis dibagi b dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: a 1 d k habis dibagi b 1 d , dan ini, karena sifat-sifat dapat dibagi, setara dengan syarat bahwa a 1 k habis dibagi b 1 .
Kita juga perlu menuliskan dua konsekuensi penting dari teorema yang dipertimbangkan.
Kelipatan persekutuan dua bilangan sama dengan kelipatan persekutuan terkecilnya.
Ini benar, karena setiap kelipatan persekutuan dari M bilangan a dan b ditentukan oleh persamaan M=LCM(a, b) t untuk suatu nilai bilangan bulat t .
Kelipatan persekutuan terkecil dari koprime angka positif a dan b sama dengan produk mereka.
Alasan untuk fakta ini cukup jelas. Karena a dan b adalah koprime, maka gcd(a, b)=1 , oleh karena itu, KPK(a, b)=a b: FPB(a, b)=a b:1=a b.
Kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih
Mencari kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat direduksi menjadi mencari KPK dari dua bilangan secara berturut-turut. Bagaimana hal ini dilakukan ditunjukkan dalam teorema berikut: a 1 , a 2 , …, a k bertepatan dengan kelipatan umum dari bilangan m k-1 dan a k , oleh karena itu, bertepatan dengan kelipatan dari m k . Dan karena kelipatan positif terkecil dari bilangan m k adalah bilangan m k itu sendiri, maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan a 1 , a 2 , …, a k adalah m k .
Bibliografi.
- Vilenkin N.Ya. dll. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan.
- Vinogradov I.M. Dasar-dasar teori bilangan.
- Mikhelovich Sh.Kh. Teori bilangan.
- Kulikov L.Ya. dan lain-lain Kumpulan soal aljabar dan teori bilangan : Tutorial untuk siswa fisika dan matematika. spesialisasi lembaga pedagogis.
Untuk memahami cara menghitung KPK, pertama-tama Anda harus menentukan arti dari istilah "kelipatan".
Kelipatan A adalah bilangan asli yang habis dibagi A tanpa sisa, jadi 15, 20, 25, dan seterusnya dapat dianggap kelipatan 5.
Mungkin ada jumlah pembagi yang terbatas dari bilangan tertentu, tetapi ada kelipatan yang jumlahnya tak terhingga.
Kelipatan persekutuan dari bilangan asli adalah bilangan yang habis dibagi oleh mereka tanpa sisa.
Cara mencari kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari bilangan (dua, tiga atau lebih) adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi oleh semua bilangan tersebut.
Untuk menemukan NOC, Anda dapat menggunakan beberapa metode.
Untuk angka kecil, akan lebih mudah untuk menuliskan semua kelipatan dari angka-angka ini dalam satu baris sampai yang umum ditemukan di antara mereka. Kelipatan menunjukkan dalam catatan huruf kapital KE.
Misalnya, kelipatan 4 dapat ditulis seperti ini:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Jadi, Anda dapat melihat bahwa kelipatan persekutuan terkecil dari angka 4 dan 6 adalah angka 24. Entri ini dilakukan sebagai berikut:
KPK(4, 6) = 24
Jika angkanya besar, temukan kelipatan persekutuan dari tiga angka atau lebih, maka lebih baik menggunakan cara lain untuk menghitung KPK.
Untuk menyelesaikan tugas, perlu menguraikan angka yang diusulkan menjadi faktor prima.
Pertama, Anda perlu menuliskan perluasan angka terbesar dalam satu baris, dan di bawahnya - sisanya.
Dalam perluasan setiap angka, mungkin ada sejumlah faktor yang berbeda.
Sebagai contoh, mari kita faktorkan angka 50 dan 20 menjadi faktor prima.
Dalam perluasan bilangan yang lebih kecil, faktor-faktor yang tidak ada dalam perluasan bilangan pertama harus ditekankan. jumlah yang besar dan kemudian menambahkannya ke dalamnya. Dalam contoh yang disajikan, deuce hilang.
Sekarang kita dapat menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari 20 dan 50.
KPK (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Jadi, hasil kali faktor prima dari bilangan yang lebih besar dan faktor dari bilangan kedua, yang tidak termasuk dalam penguraian bilangan yang lebih besar, akan menjadi kelipatan persekutuan terkecil.
Untuk mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, semuanya harus didekomposisi menjadi faktor prima, seperti pada kasus sebelumnya.
Sebagai contoh, Anda dapat menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari angka 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Jadi, hanya dua deuces dari dekomposisi enam belas yang tidak termasuk dalam faktorisasi bilangan yang lebih besar (satu dekomposisi dua puluh empat).
Jadi, mereka perlu ditambahkan ke penguraian angka yang lebih besar.
KPK (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Ada kasus khusus untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil. Jadi, jika salah satu angka dapat dibagi tanpa sisa oleh yang lain, maka angka yang lebih besar akan menjadi kelipatan persekutuan terkecil.
Misalnya, NOC dari dua belas dan dua puluh empat akan menjadi dua puluh empat.
Jika perlu untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan koprime yang tidak memiliki pembagi yang sama, KPK-nya akan sama dengan perkaliannya.
Misalnya, KPK(10, 11) = 110.
Mari kita lanjutkan pembahasan tentang kelipatan persekutuan terkecil yang kita mulai di bagian KPK - Kelipatan Persekutuan Terkecil, Definisi, Contoh. Dalam topik ini, kita akan melihat cara mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, kita akan menganalisis soal bagaimana mencari KPK dari bilangan negatif.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Perhitungan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) melalui gcd
Kita telah menetapkan hubungan antara kelipatan persekutuan terkecil dan pembagi persekutuan terbesar. Sekarang mari belajar bagaimana mendefinisikan LCM melalui GCD. Pertama, mari kita cari tahu bagaimana melakukan ini untuk bilangan positif.
Definisi 1
Anda dapat menemukan kelipatan persekutuan terkecil melalui pembagi persekutuan terbesar menggunakan rumus LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .
Contoh 1
Anda harus mencari KPK dari angka 126 dan 70.
Larutan
Ambil a = 126 , b = 70 . Gantikan nilai-nilai dalam rumus untuk menghitung kelipatan persekutuan terkecil melalui pembagi persekutuan terbesar KPK (a, b) = a · b: PBT (a, b) .
Menemukan GCD dari angka 70 dan 126. Untuk ini kita membutuhkan algoritma Euclid: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , maka gcd (126 , 70) = 14 .
Mari kita hitung LCM: KPK (126, 70) = 126 70: FPB (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Menjawab: KPK (126, 70) = 630.
Contoh 2
Temukan nok dari angka 68 dan 34.
Larutan
GCD di kasus ini Menemukannya mudah, karena 68 habis dibagi 34. Hitung kelipatan persekutuan terkecil menggunakan rumus: KPK (68, 34) = 68 34: PBT (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Menjawab: KPK(68, 34) = 68.
Dalam contoh ini, kami menggunakan aturan untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan bulat positif a dan b: jika bilangan pertama habis dibagi dengan bilangan kedua, KPK dari bilangan-bilangan ini akan sama dengan bilangan pertama.
Mencari KPK dengan Memfaktorkan Bilangan menjadi Faktor Prima
Sekarang mari kita lihat cara mencari KPK, yang didasarkan pada dekomposisi bilangan menjadi faktor prima.
Definisi 2
Untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil, kita perlu melakukan beberapa langkah sederhana:
- kita membuat produk dari semua faktor prima dari angka-angka yang perlu kita cari KPKnya;
- kami mengecualikan semua faktor prima dari produk yang diperolehnya;
- hasil kali yang diperoleh setelah menghilangkan faktor prima persekutuan akan sama dengan KPK dari bilangan-bilangan yang diberikan.
Cara mencari kelipatan persekutuan terkecil ini didasarkan pada persamaan LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Jika Anda melihat rumusnya, akan menjadi jelas: perkalian bilangan a dan b sama dengan perkalian semua faktor yang terlibat dalam perkalian kedua bilangan tersebut. Dalam hal ini, GCD dari dua bilangan sama dengan perkalian semua faktor prima yang ada secara bersamaan dalam faktorisasi kedua bilangan tersebut.
Contoh 3
Kami memiliki dua angka 75 dan 210 . Kita dapat memfaktorkannya seperti ini: 75 = 3 5 5 Dan 210 = 2 3 5 7. Jika Anda mengalikan semua faktor dari dua bilangan asli, Anda mendapatkan: 2 3 3 5 5 5 7.
Jika kita mengecualikan faktor persekutuan dari angka 3 dan 5, kita mendapatkan produk dengan bentuk berikut: 2 3 5 5 7 = 1050. Produk ini akan menjadi LCM kami untuk angka 75 dan 210.
Contoh 4
Temukan KPK dari angka 441 Dan 700 , menguraikan kedua bilangan menjadi faktor prima.
Larutan
Mari kita temukan semua faktor prima dari angka-angka yang diberikan dalam kondisi:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Kami mendapatkan dua rangkaian angka: 441 = 3 3 7 7 dan 700 = 2 2 5 5 7 .
Produk dari semua faktor yang berpartisipasi dalam perluasan angka-angka ini akan terlihat seperti: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Mari kita cari faktor persekutuannya. Angka ini adalah 7 . Mari kita kecualikan dari produk umum: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ternyata NOC itu (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Menjawab: KPK (441 , 700) = 44 100 .
Mari kita berikan satu lagi formulasi metode untuk mencari KPK dengan menguraikan bilangan menjadi faktor prima.
Definisi 3
Sebelumnya, kami mengecualikan dari jumlah total faktor yang sama untuk kedua angka. Sekarang kita akan melakukannya secara berbeda:
- Mari kita uraikan kedua bilangan tersebut menjadi faktor prima:
- tambahkan ke produk faktor prima dari angka pertama faktor yang hilang dari angka kedua;
- kami mendapatkan produk, yang akan menjadi KPK yang diinginkan dari dua angka.
Contoh 5
Mari kita kembali ke angka 75 dan 210 , yang kita sudah mencari LCM di salah satu contoh sebelumnya. Mari kita pecahkan menjadi faktor-faktor sederhana: 75 = 3 5 5 Dan 210 = 2 3 5 7. Untuk produk dari faktor 3 , 5 dan 5 nomor 75 tambahkan faktor yang hilang 2 Dan 7 angka 210 . Kita mendapatkan: 2 3 5 5 7 . Ini adalah KPK dari angka 75 dan 210.
Contoh 6
Penting untuk menghitung KPK dari angka 84 dan 648.
Larutan
Mari uraikan bilangan dari kondisi menjadi faktor prima: 84 = 2 2 3 7 Dan 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Jumlahkan dengan perkalian faktor 2 , 2 , 3 dan 7
angka 84 hilang faktor 2 , 3 , 3 dan
3
angka 648 . Kami mendapatkan produknya 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 84 dan 648.
Menjawab: KPK (84, 648) = 4536.
Mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih
Terlepas dari berapa banyak angka yang kita hadapi, algoritme tindakan kita akan selalu sama: kita akan secara konsisten menemukan KPK dari dua angka. Ada teorema untuk kasus ini.
Teorema 1
Misalkan kita memiliki bilangan bulat a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k dari angka-angka ini ditemukan dalam perhitungan berurutan m 2 = KPK (a 1 , a 2) , m 3 = KPK (m 2 , a 3) , … , m k = KPK (m k − 1 , a k) .
Sekarang mari kita lihat bagaimana teorema dapat diterapkan pada masalah tertentu.
Contoh 7
Anda perlu menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari empat angka 140 , 9 , 54 dan 250 .
Larutan
Mari kita perkenalkan notasinya: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.
Mari kita mulai dengan menghitung m 2 = KPK (a 1 , a 2) = KPK (140 , 9) . Mari gunakan algoritme Euclidean untuk menghitung PBT dari bilangan 140 dan 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Kita mendapatkan: FPB(140, 9) = 1, KPK(140, 9) = 140 9: FPB(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Oleh karena itu, m 2 = 1 260 .
Sekarang mari kita hitung menurut algoritma yang sama m 3 = KPK (m 2 , a 3) = KPK (1 260 , 54) . Selama perhitungan, kita mendapatkan m 3 = 3 780.
Tinggal menghitung m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Kami bertindak sesuai dengan algoritma yang sama. Kami mendapatkan m 4 \u003d 94 500.
KPK dari empat angka dari kondisi contoh adalah 94500 .
Menjawab: KPK (140, 9, 54, 250) = 94.500.
Seperti yang Anda lihat, perhitungannya sederhana, tetapi cukup melelahkan. Untuk menghemat waktu, Anda bisa pergi ke arah lain.
Definisi 4
Kami menawarkan kepada Anda algoritme tindakan berikut:
- menguraikan semua angka menjadi faktor prima;
- ke perkalian faktor bilangan pertama, tambahkan faktor yang hilang dari perkalian bilangan kedua;
- tambahkan faktor yang hilang dari angka ketiga ke produk yang diperoleh pada tahap sebelumnya, dll.;
- produk yang dihasilkan akan merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari semua bilangan dari kondisi tersebut.
Contoh 8
Perlu mencari KPK dari lima bilangan 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Larutan
Mari uraikan kelima bilangan menjadi faktor prima: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . bilangan prima, yang merupakan bilangan 7 , tidak dapat difaktorkan menjadi faktor prima. Angka-angka tersebut bertepatan dengan dekomposisi mereka menjadi faktor prima.
Sekarang mari kita ambil produk dari faktor prima 2, 2, 3 dan 7 dari angka 84 dan tambahkan faktor yang hilang dari angka kedua. Kami telah menguraikan angka 6 menjadi 2 dan 3. Faktor-faktor ini sudah ada dalam produk bilangan pertama. Oleh karena itu, kami menghilangkannya.
Kami terus menambahkan pengganda yang hilang. Kita beralih ke angka 48, dari perkalian faktor prima yang kita ambil 2 dan 2. Kemudian kita tambahkan faktor sederhana 7 dari bilangan keempat dan faktor 11 dan 13 dari bilangan kelima. Kita mendapatkan: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari lima bilangan awal.
Menjawab: KPK (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.
Mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil dari Bilangan Negatif
Untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan negatif, bilangan ini pertama-tama harus diganti dengan bilangan dengan tanda yang berlawanan, dan kemudian perhitungan harus dilakukan sesuai dengan algoritme di atas.
Contoh 9
KPK(54, −34) = KPK(54, 34) dan KPK(−622,−46, −54,−888) = KPK(622, 46, 54, 888) .
Tindakan seperti itu diperbolehkan karena fakta bahwa jika diterima itu A Dan − a- lawan angka
maka himpunan kelipatannya A bertepatan dengan himpunan kelipatan suatu bilangan − a.
Contoh 10
Penting untuk menghitung KPK dari bilangan negatif − 145 Dan − 45 .
Larutan
Mari kita ganti angkanya − 145 Dan − 45 ke bilangan lawannya 145 Dan 45 . Sekarang, dengan menggunakan algoritme, kami menghitung LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , setelah sebelumnya menentukan GCD menggunakan algoritme Euclid.
Kami mendapatkan KPK dari angka − 145 dan − 45 sama 1 305 .
Menjawab: KPK (− 145 , − 45) = 1 305 .
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter
