rumah › Sistem bahan bakar › Cara mencari nilai terkecil fungsi dari persamaan. Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi dua variabel dalam daerah tertutup

Cara mencari nilai terkecil fungsi dari persamaan. Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi dua variabel dalam daerah tertutup

Tugas miniatur dan agak sederhana dari jenis yang berfungsi sebagai jalur kehidupan bagi siswa terapung. Di alam, alam mengantuk pertengahan Juli, jadi sudah waktunya untuk bersantai dengan laptop di pantai. Dimainkan pagi-pagi sekali sinar matahari teori agar segera fokus pada praktik, yang meski diklaim ringan, mengandung pecahan kaca di pasir. Dalam hal ini, saya sarankan dengan cermat mempertimbangkan beberapa contoh halaman ini. Untuk menyelesaikan tugas-tugas praktis, Anda harus bisa menemukan turunan dan memahami materi artikel Interval kemonotonan dan ekstrem suatu fungsi.

Pertama, secara singkat tentang hal utama. Dalam pelajaran tentang kontinuitas fungsi Saya memberikan definisi kesinambungan pada suatu titik dan kesinambungan pada suatu interval. Perilaku teladan dari fungsi pada segmen dirumuskan demikian pula. Suatu fungsi kontinu pada suatu ruas jika:

1) kontinu pada interval ;
2) kontinu di suatu titik di kanan dan pada intinya kiri.

Paragraf kedua membahas apa yang disebut kontinuitas sepihak berfungsi pada suatu titik. Ada beberapa pendekatan untuk definisinya, tetapi saya akan tetap berpegang pada garis yang dimulai sebelumnya:

Fungsi tersebut kontinu di suatu titik di kanan, jika didefinisikan pada titik tertentu dan batas kanannya bertepatan dengan nilai fungsi pada titik tertentu: . Hal ini terus menerus pada intinya kiri, jika didefinisikan pada titik tertentu dan limit kirinya sama dengan nilai pada titik tersebut:

Bayangkan titik-titik hijau adalah paku tempat karet gelang ajaib dipasang:

Ambil garis merah di tangan Anda secara mental. Jelas, tidak peduli seberapa jauh kita meregangkan grafik ke atas dan ke bawah (sepanjang sumbu), fungsinya akan tetap ada terbatas- pagar di atas, pagar di bawah, dan produk kami merumput di padang rumput. Dengan demikian, suatu fungsi yang kontinu pada suatu segmen dibatasi padanya. Dalam perjalanan analisis matematis, fakta yang tampaknya sederhana ini dinyatakan dan dibuktikan dengan ketat Teorema pertama Weierstrass.... Banyak orang kesal karena pernyataan dasar dibuktikan secara membosankan dalam matematika, tetapi ada arti penting. Misalkan seorang penduduk Abad Pertengahan terry menarik grafik ke langit di luar batas visibilitas, ini dimasukkan. Sebelum teleskop ditemukan, fungsi terbatas di ruang angkasa sama sekali tidak jelas! Memang, bagaimana Anda tahu apa yang menanti kita di luar cakrawala? Lagipula, dulu Bumi dianggap datar, jadi hari ini teleportasi biasa pun membutuhkan bukti =)

Berdasarkan teorema Weierstrass kedua, menerus pada segmen tersebutfungsinya mencapai tepi atas yang tepat dan miliknya tepi bawah yang tepat .

Nomornya juga disebut nilai maksimum fungsi pada segmen tersebut dan dilambangkan dengan , dan nomor - nilai minimum dari fungsi pada segmen tersebut ditandai.

Dalam kasus kami:

Catatan : dalam teori, catatan adalah hal biasa .

Secara kasar, nilai tertinggi terletak di mana titik tinggi grafik, dan yang terkecil - di mana titik terendah.

Penting! Seperti yang sudah ditunjukkan dalam artikel tentang ekstrem dari fungsi, nilai terbesar dari fungsi tersebut Dan nilai fungsi terkecil – TIDAK SAMA, Apa berfungsi maksimal Dan fungsi minimal. Jadi, dalam contoh ini, angkanya adalah fungsi minimum, tetapi bukan nilai minimumnya.

Omong-omong, apa yang terjadi di luar segmen? Ya, bahkan banjir, dalam konteks masalah yang sedang dibahas, ini sama sekali tidak menarik bagi kami. Tugasnya hanya melibatkan menemukan dua angka dan hanya itu!

Selain itu, solusinya murni analitis, oleh karena itu, tidak perlu menggambar!

Algoritme terletak di permukaan dan menunjukkan dirinya dari gambar di atas:

1) Temukan nilai fungsi di poin kritis, yang termasuk dalam segmen ini.

Tangkap satu barang lagi: tidak perlu memeriksa kondisi yang cukup untuk ekstrem, karena, seperti yang baru saja ditunjukkan, adanya minimum atau maksimum belum dijamin berapa nilai minimum atau maksimumnya. Fungsi demonstrasi mencapai maksimumnya dan, atas kehendak takdir, angka yang sama adalah nilai terbesar dari fungsi tersebut pada interval . Tapi, tentu saja, kebetulan seperti itu tidak selalu terjadi.

Jadi, pada langkah pertama, lebih cepat dan mudah menghitung nilai fungsi pada titik-titik kritis milik segmen tersebut, tanpa mempermasalahkan apakah ekstrem atau tidak.

2) Kami menghitung nilai fungsi di ujung segmen.

3) Di antara nilai fungsi yang ditemukan di paragraf 1 dan 2, kami memilih yang terkecil dan terbesar nomor besar, tulis jawabannya.

Kami duduk di tepi laut biru dan menabrak air dangkal:

Contoh 1

Temukan yang terbesar dan nilai terkecil fungsi pada interval

Larutan:
1) Hitung nilai fungsi pada titik kritis milik segmen ini:

Mari kita hitung nilai fungsi pada titik kritis kedua:

2) Hitung nilai fungsi di ujung segmen:

3) Hasil "Bold" diperoleh dengan eksponensial dan logaritma, yang secara signifikan memperumit perbandingannya. Untuk alasan ini, kami akan mempersenjatai diri dengan kalkulator atau Excel dan menghitung nilai perkiraan, tidak lupa bahwa:

Sekarang semuanya jelas.

Menjawab:

Contoh fraksional-rasional untuk solusi independen:

Contoh 6

Temukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada suatu segmen

Nilai fungsi terbesar (terkecil) adalah nilai ordinat terbesar (terkecil) yang diterima dalam interval yang dipertimbangkan.

Untuk menemukan nilai terbesar atau terkecil dari suatu fungsi, Anda perlu:

Periksa titik stasioner mana yang termasuk dalam segmen yang diberikan.
Hitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner dari langkah 3
Pilih dari hasil yang diperoleh nilai terbesar atau terkecil.

Untuk menemukan poin maksimum atau minimum, Anda perlu:

Temukan turunan dari fungsi $f"(x)$
Temukan titik stasioner dengan menyelesaikan persamaan $f"(x)=0$
Faktorkan turunan dari suatu fungsi.
Gambarlah garis koordinat, tempatkan titik-titik stasioner di atasnya dan tentukan tanda turunannya dalam interval yang diperoleh, menggunakan notasi klausul 3.
Temukan titik maksimum atau minimum sesuai aturan: jika pada suatu titik turunannya berubah tanda dari plus menjadi minus, maka ini akan menjadi titik maksimum (jika dari minus menjadi plus, maka ini akan menjadi titik minimum). Dalam praktiknya, lebih mudah menggunakan gambar panah pada interval: pada interval di mana turunannya positif, panah ditarik ke atas dan sebaliknya.

Tabel turunan dari beberapa fungsi dasar:

Fungsi	Turunan
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Aturan dasar diferensiasi

1. Turunan dari jumlah dan selisih sama dengan turunan dari setiap suku

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Temukan turunan dari fungsi $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Turunan dari jumlah dan selisih sama dengan turunan dari setiap suku

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Turunan dari suatu produk.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Temukan turunannya $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Turunan dari hasil bagi

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Temukan turunannya $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Turunan fungsi kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi luar dan turunan fungsi dalam

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Temukan titik minimum dari fungsi $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Temukan ODZ dari fungsi: $x+11>0; x>-11$

2. Temukan turunan dari fungsi $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Temukan titik stasioner dengan menyamakan turunannya dengan nol

$(2x+21)/(x+11)=0$

Pecahan adalah nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya tidak nol

$2x+21=0; x≠-11$

4. Gambar garis koordinat, tempatkan titik-titik stasioner di atasnya dan tentukan tanda turunannya dalam interval yang diperoleh. Untuk melakukan ini, kami mengganti bilangan apa pun dari daerah paling kanan ke dalam turunannya, misalnya, nol.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Pada titik minimum, tanda turunannya berubah dari minus menjadi plus, oleh karena itu, titik $-10.5$ adalah titik minimum.

Jawaban: $-10.5$

Temukan nilai maksimum fungsi $y=6x^5-90x^3-5$ pada segmen $[-5;1]$

1. Temukan turunan dari fungsi $y′=30x^4-270x^2$

2. Samakan turunannya dengan nol dan temukan titik stasioner

$30x^4-270x^2=0$

Mari kita keluarkan faktor persekutuan $30x^2$ dari tanda kurung

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Tetapkan setiap faktor sama dengan nol

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Pilih titik stasioner milik segmen yang diberikan $[-5;1]$

Titik stasioner $x=0$ dan $x=-3$ cocok untuk kita

4. Hitung nilai fungsi pada ujung ruas dan pada titik stasioner dari butir 3

Apa yang dimaksud dengan ekstrem dari suatu fungsi dan apa syarat yang diperlukan untuk suatu ekstrem?

Ekstrem dari suatu fungsi adalah maksimum dan minimum dari fungsi tersebut.

Kondisi yang diperlukan untuk fungsi maksimum dan minimum (ekstrem) adalah sebagai berikut: jika fungsi f(x) memiliki ekstrem di titik x = a, maka pada titik ini turunannya adalah nol, atau tak terhingga, atau tidak tidak ada.

Kondisi ini diperlukan, tetapi tidak cukup. Turunan pada titik x = a dapat menghilang, menuju tak terhingga, atau tidak ada tanpa fungsi yang memiliki ekstrem pada titik ini.

Apa kondisi yang cukup untuk fungsi ekstrem (maksimum atau minimum)?

Kondisi pertama:

Jika, cukup dekat dengan titik x = a, turunan f?(x) positif di sebelah kiri a dan negatif di sebelah kanan a, maka di titik x = a itu sendiri, fungsi f(x) memiliki maksimum

Jika, pada jarak yang cukup dekat dengan titik x = a, turunan f?(x) negatif di sebelah kiri a dan positif di sebelah kanan a, maka di titik x = a itu sendiri, fungsi f(x) memiliki minimum asalkan fungsi f(x) kontinu di sini.

Sebagai gantinya, Anda dapat menggunakan kondisi cukup kedua untuk fungsi ekstrem:

Misalkan di titik x = dan turunan pertama f?(x) hilang; jika turunan kedua f??(а) negatif, maka fungsi f(x) memiliki maksimum di titik x = a, jika positif, maka minimum.

Apa titik kritis suatu fungsi dan bagaimana menemukannya?

Ini adalah nilai argumen fungsi di mana fungsi tersebut memiliki ekstrem (yaitu maksimum atau minimum). Untuk menemukannya, Anda perlu menemukan turunannya fungsi f?(x) dan, menyamakannya dengan nol, memecahkan persamaan f?(x) = 0. Akar dari persamaan ini, serta titik-titik di mana turunan dari fungsi ini tidak ada, adalah titik kritis, yaitu nilai argumen di mana mungkin ada ekstrem . Mereka dapat dengan mudah diidentifikasi dengan melihat grafik turunan: kami tertarik pada nilai-nilai argumen di mana grafik fungsi memotong sumbu absis (sumbu lembu) dan nilai-nilai di mana grafik mengalami kerusakan.

Misalnya, mari kita temukan ujung parabola.

Fungsi y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Turunan fungsi: y?(x) = 6x + 2

Kami memecahkan persamaan: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

DI DALAM kasus ini titik kritisnya adalah x0=-1/3. Untuk nilai argumen inilah yang dimiliki fungsi ekstrem. Untuk mendapatkan menemukan, kami mengganti nomor yang ditemukan dalam ekspresi untuk fungsi alih-alih "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Cara menentukan maksimum dan minimum suatu fungsi, mis. nilai terbesar dan terkecilnya?

Jika tanda turunannya berubah dari “plus” menjadi “minus” ketika melewati titik kritis x0, maka x0 adalah titik maksimum; jika tanda turunannya berubah dari minus menjadi plus, maka x0 adalah titik minimal; jika tandanya tidak berubah, maka pada titik x0 tidak ada maksimum maupun minimum.

Untuk contoh yang dipertimbangkan:

Kami mengambil nilai arbitrer dari argumen di sebelah kiri titik kritis: x = -1

Ketika x = -1, nilai turunannya adalah y?(-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (yaitu tanda minus).

Sekarang kita ambil sembarang nilai argumen di sebelah kanan titik kritis: x = 1

Untuk x = 1, nilai turunannya adalah y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (yaitu tanda tambah).

Seperti yang Anda lihat, saat melewati titik kritis, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus. Ini berarti bahwa pada nilai kritis x0 kita memiliki titik minimum.

Nilai fungsi terbesar dan terkecil pada selang waktu(pada segmen) ditemukan dengan prosedur yang sama, hanya dengan mempertimbangkan fakta bahwa, mungkin, tidak semua titik kritis akan berada dalam interval yang ditentukan. Titik-titik kritis yang berada di luar interval harus dikeluarkan dari pertimbangan. Jika hanya ada satu titik kritis di dalam interval, itu akan memiliki maksimum atau minimum. Dalam hal ini, untuk menentukan nilai fungsi terbesar dan terkecil, kami juga memperhitungkan nilai fungsi di ujung interval.

Sebagai contoh, mari kita cari nilai fungsi terbesar dan terkecil

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

pada interval:

Jadi turunan dari fungsi tersebut adalah

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Kita selesaikan persamaan 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kami menemukan titik kritis pada interval [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (tidak termasuk dalam interval)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (tidak termasuk dalam interval)

Kami menemukan nilai fungsi pada nilai kritis argumen:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Terlihat bahwa pada interval [-9; 9] fungsi tersebut memiliki nilai terbesar pada x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

dan yang terkecil - pada x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Pada interval [-6; -3] kita hanya memiliki satu titik kritis: x = -4,88. Nilai fungsi pada x = -4,88 adalah y = 5,398.

Kami menemukan nilai fungsi di ujung interval:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Pada interval [-6; -3] kami memiliki nilai fungsi terbesar

y = 5,398 pada x = -4,88

nilai terkecil adalah

y = 1,077 pada x = -3

Bagaimana menemukan titik belok dari grafik fungsi dan menentukan sisi cembung dan cekung?

Untuk menemukan semua titik belok dari garis y \u003d f (x), Anda perlu menemukan turunan kedua, menyamakannya dengan nol (menyelesaikan persamaan) dan menguji semua nilai x yang turunan keduanya nol , tak terhingga atau tidak ada. Jika, ketika melewati salah satu dari nilai-nilai ini, turunan kedua berubah tandanya, maka grafik fungsinya memiliki infleksi pada titik ini. Jika tidak berubah, maka tidak ada infleksi.

Akar persamaan f ? (x) = 0, serta kemungkinan titik diskontinuitas fungsi dan turunan kedua, membagi domain fungsi menjadi beberapa interval. Kecembungan pada setiap intervalnya ditentukan oleh tanda turunan kedua. Jika turunan kedua pada suatu titik pada interval yang diteliti adalah positif, maka garis y = f(x) cekung ke atas di sini, dan jika negatif, maka ke bawah.

Bagaimana menemukan ekstrem dari fungsi dua variabel?

Untuk menemukan ekstrem dari fungsi f(x, y), yang dapat dibedakan di area penugasannya, Anda memerlukan:

1) temukan titik kritis, dan untuk ini, selesaikan sistem persamaan

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) untuk setiap titik kritis P0(a;b), selidiki apakah tanda perbedaan tetap tidak berubah

untuk semua titik (x;y) cukup dekat dengan P0. Jika selisihnya tetap bertanda positif, maka pada titik P0 kita memiliki minimal, jika negatif, maka maksimal. Jika selisihnya tidak mempertahankan tandanya, maka tidak ada ekstrem di titik Р0.

Demikian pula, ekstrem dari fungsi ditentukan untuk sejumlah besar argumen.

Tentang apa Shrek Forever After?
Kartun: Shrek Forever After Tahun rilis: 2010 Premiere (Rusia): 20 Mei 2010 Negara: AS Sutradara: Michael Pitchel Naskah: Josh Klausner, Darren Lemke Genre: komedi keluarga, fantasi, petualangan Situs web resmi: www.shrekforeverafter.com plot bagal

Bisakah saya menyumbangkan darah selama menstruasi?
Dokter tidak menganjurkan mendonorkan darah saat haid, karena. kehilangan darah, meskipun tidak dalam jumlah yang signifikan, penuh dengan penurunan kadar hemoglobin dan penurunan kesejahteraan wanita. Selama prosedur donor darah, situasi kesehatan dapat memburuk hingga ditemukannya perdarahan. Oleh karena itu, wanita sebaiknya menahan diri untuk tidak mendonor darah saat menstruasi. Dan sudah pada hari ke 5 setelah mereka selesai

Berapa kkal / jam yang dikonsumsi saat mencuci lantai
Jenis aktivitas fisik Konsumsi energi, kkal/jam Memasak 80 Berpakaian 30 Mengemudi 50 Membersihkan debu 80 Makan 30 Berkebun 135 Menyetrika 45 Merapikan tempat tidur 130 Berbelanja 80 Pekerjaan menetap 75 Memotong kayu 300 Mencuci lantai 130 Seks 100-150 Tarian aerobik intensitas rendah

Apa arti kata "nakal"?
Penjahat adalah pencuri yang terlibat dalam pencurian kecil-kecilan, atau orang nakal yang cenderung melakukan trik penipuan. Konfirmasi definisi ini terkandung dalam kamus etimologis Krylov, yang menurutnya kata "penipu" dibentuk dari kata "penipu" (pencuri, penipu), mirip dengan kata kerja &la

Apa nama cerita Strugatsky bersaudara yang terakhir diterbitkan
Sedikit cerita Arkady dan Boris Strugatsky "On the issue of cyclotation" pertama kali diterbitkan pada April 2008 dalam antologi fiksi ilmiah "Noon. XXI Century" (tambahan majalah "Vokrug sveta", diterbitkan di bawah redaksi Boris Strugatsky). Publikasi tersebut didedikasikan untuk peringatan 75 tahun Boris Strugatsky.

Di mana saya bisa membaca cerita para peserta program Work And Travel USA
Work and Travel USA (bekerja dan bepergian di AS) adalah program pertukaran pelajar yang populer di mana Anda dapat menghabiskan musim panas di Amerika, bekerja secara legal di sektor jasa dan bepergian. Program History of the Work & Travel adalah bagian dari program Pertukaran Budaya Pro dari pertukaran antar pemerintah

Telinga. Referensi kuliner dan sejarah Selama lebih dari dua setengah abad, kata "ukha" telah digunakan untuk menyebut sup atau rebusan ikan segar. Namun ada kalanya kata ini diartikan lebih luas. Mereka melambangkan sup - tidak hanya ikan, tetapi juga daging, kacang polong, dan bahkan manis. Jadi dalam dokumen sejarah - "

Portal informasi dan perekrutan Superjob.ru - portal perekrutan Superjob.ru bekerja pasar Rusia rekrutmen online sejak tahun 2000 dan merupakan pemimpin di antara sumber daya yang menawarkan pencarian kerja dan penempatan staf. Lebih dari 80.000 resume spesialis dan lebih dari 10.000 lowongan ditambahkan ke database situs setiap hari.

Apa itu motivasi
Definisi motivasi Motivasi (dari lat. moveo - I move) - dorongan untuk bertindak; proses dinamis dari rencana fisiologis dan psikologis yang mengendalikan perilaku manusia, menentukan arah, organisasi, aktivitas, dan stabilitasnya; kemampuan manusia untuk memenuhi kebutuhannya melalui kerja. Motivasi

Siapa Bob Dylan
Bob Dylan (eng. Bob Dylan, nama asli - Robert Allen Zimmerman eng. Robert Allen Zimmerman; lahir 24 Mei 1941) adalah seorang penulis lagu Amerika yang - menurut jajak pendapat oleh majalah Rolling Stone - adalah yang kedua (

Cara mengangkut tanaman dalam ruangan
Setelah pembelian tanaman dalam ruangan, tukang kebun dihadapkan pada tugas mengirimkan bunga eksotis yang dibeli tanpa cedera. Mengetahui aturan dasar untuk mengemas dan mengangkut tanaman dalam ruangan akan membantu mengatasi masalah ini. Tanaman harus dikemas untuk diangkut atau diangkut. Tidak peduli seberapa pendek jarak yang dibawa tanaman, mereka dapat rusak, mengering, dan di musim dingin & m

Apa yang dimaksud dengan ekstrem dari suatu fungsi dan apa syarat yang diperlukan untuk suatu ekstrem?

Ekstrem dari suatu fungsi adalah maksimum dan minimum dari fungsi tersebut.

Kondisi ini diperlukan, tetapi tidak cukup. Turunan pada titik x = a dapat menghilang, menuju tak terhingga, atau tidak ada tanpa fungsi yang memiliki ekstrem pada titik ini.

Apa kondisi yang cukup untuk fungsi ekstrem (maksimum atau minimum)?

Kondisi pertama:

Jika, cukup dekat dengan titik x = a, turunan f?(x) positif di sebelah kiri a dan negatif di sebelah kanan a, maka di titik x = a itu sendiri, fungsi f(x) memiliki maksimum

Sebagai gantinya, Anda dapat menggunakan kondisi cukup kedua untuk fungsi ekstrem:

Misalkan di titik x = dan turunan pertama f?(x) hilang; jika turunan kedua f??(а) negatif, maka fungsi f(x) memiliki maksimum di titik x = a, jika positif, maka minimum.

Apa titik kritis suatu fungsi dan bagaimana menemukannya?

Misalnya, mari kita temukan ujung parabola.

Fungsi y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Turunan fungsi: y?(x) = 6x + 2

Kami memecahkan persamaan: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Dalam hal ini, titik kritisnya adalah x0=-1/3. Untuk nilai argumen inilah yang dimiliki fungsi ekstrem. Untuk mendapatkan menemukan, kami mengganti nomor yang ditemukan dalam ekspresi untuk fungsi alih-alih "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Cara menentukan maksimum dan minimum suatu fungsi, mis. nilai terbesar dan terkecilnya?

Untuk contoh yang dipertimbangkan:

Kami mengambil nilai arbitrer argumen di sebelah kiri titik kritis: x = -1

Ketika x = -1, nilai turunannya adalah y?(-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (yaitu tanda minus).

Sekarang kita ambil sembarang nilai argumen di sebelah kanan titik kritis: x = 1

Untuk x = 1, nilai turunannya adalah y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (yaitu tanda tambah).

Seperti yang Anda lihat, saat melewati titik kritis, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus. Ini berarti bahwa pada nilai kritis x0 kita memiliki titik minimum.

Sebagai contoh, mari kita cari nilai fungsi terbesar dan terkecil

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

pada interval:

Jadi turunan dari fungsi tersebut adalah

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Kita selesaikan persamaan 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kami menemukan titik kritis pada interval [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (tidak termasuk dalam interval)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (tidak termasuk dalam interval)

Kami menemukan nilai fungsi pada nilai kritis argumen:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Terlihat bahwa pada interval [-9; 9] fungsi tersebut memiliki nilai terbesar pada x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

dan yang terkecil - pada x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Pada interval [-6; -3] kita hanya memiliki satu titik kritis: x = -4,88. Nilai fungsi pada x = -4,88 adalah y = 5,398.

Kami menemukan nilai fungsi di ujung interval:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Pada interval [-6; -3] kami memiliki nilai fungsi terbesar

y = 5,398 pada x = -4,88

nilai terkecil adalah

y = 1,077 pada x = -3

Bagaimana menemukan titik belok dari grafik fungsi dan menentukan sisi cembung dan cekung?

Bagaimana menemukan ekstrem dari fungsi dua variabel?

Untuk menemukan ekstrem dari fungsi f(x, y), yang dapat dibedakan di area penugasannya, Anda memerlukan:

1) temukan titik kritis, dan untuk ini, selesaikan sistem persamaan

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) untuk setiap titik kritis P0(a;b), selidiki apakah tanda perbedaan tetap tidak berubah

Demikian pula, ekstrem dari fungsi ditentukan untuk sejumlah besar argumen.

Bagaimana menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen?

Untuk ini kami mengikuti algoritma terkenal:

1 . Kami menemukan fungsi ODZ.

2 . Mencari turunan dari suatu fungsi

3 . Samakan turunannya dengan nol

4 . Kami menemukan interval di mana turunan mempertahankan tandanya, dan darinya kami menentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi:

Jika pada interval I turunan dari fungsi 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} meningkat selama interval ini.

Jika pada interval I turunan dari fungsi , maka fungsinya menurun selama interval ini.

5 . Kami menemukan titik maksimum dan minimum dari fungsi tersebut.

DI DALAM titik maksimum fungsi, turunannya berubah tanda dari "+" menjadi "-".

DI DALAM titik minimum fungsitanda perubahan turunan dari "-" menjadi "+".

6 . Kami menemukan nilai fungsi di ujung segmen,

kemudian kita bandingkan nilai fungsi pada ujung ruas dan pada titik maksimum, dan pilih yang terbesar jika Anda perlu menemukan nilai fungsi terbesar
atau kami membandingkan nilai fungsi di ujung segmen dan di titik minimum, dan pilih yang terkecil jika Anda perlu menemukan nilai fungsi terkecil

Namun, bergantung pada bagaimana fungsi berperilaku pada interval, algoritme ini dapat dikurangi secara signifikan.

Pertimbangkan fungsinya . Grafik fungsi ini terlihat seperti ini:

Mari kita lihat beberapa contoh pemecahan masalah dari bank terbuka tugas untuk

1 . Tugas B15 (#26695)

Di potong.

1. Fungsi didefinisikan untuk semua nilai riil x

Jelas, persamaan ini tidak memiliki solusi, dan turunannya positif untuk semua nilai x. Oleh karena itu, fungsi meningkat dan mengambil nilai terbesar di ujung kanan interval, yaitu di x=0.

Jawaban: 5.

2 . Tugas B15 (No. 26702)

Temukan nilai terbesar dari suatu fungsi pada segmen.

1.ODZ fungsi title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Turunannya adalah nol pada , namun, pada titik-titik ini tidak berubah tanda:

Oleh karena itu, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} meningkat dan mengambil nilai terbesar di ujung kanan interval, di .

Untuk memperjelas mengapa turunannya tidak mengubah tanda, kami mengubah ekspresi turunannya sebagai berikut:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Jawaban: 5.

3 . Tugas B15 (#26708)

Temukan nilai terkecil dari fungsi pada interval .

1. Fungsi ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Mari kita tempatkan akar persamaan ini pada lingkaran trigonometri.

Interval berisi dua angka: dan

Mari pasang tanda-tandanya. Untuk melakukan ini, kami menentukan tanda turunan di titik x=0: . Saat melewati titik dan turunannya berubah tanda.

Mari gambarkan perubahan tanda turunan fungsi pada garis koordinat:

Jelas, intinya adalah titik minimum (di mana turunannya mengubah tanda dari "-" menjadi "+"), dan untuk menemukan nilai fungsi terkecil pada interval, Anda perlu membandingkan nilai fungsi tersebut pada titik minimum dan di ujung kiri segmen, .

Populer dalam kategori: