Bagaimana cara menyelesaikan turunan. Turunan fungsi
Perhitungan turunan salah satu operasi terpenting di kalkulus diferensial. Di bawah ini adalah tabel untuk menemukan turunan dari fungsi sederhana. Untuk aturan diferensiasi yang lebih kompleks, lihat pelajaran lain:- Tabel turunan fungsi eksponensial dan logaritmik
Turunan dari fungsi sederhana
1. Turunan suatu bilangan adalah nols' = 0
Contoh:
5' = 0
Penjelasan:
Derivatif menunjukkan tingkat di mana nilai fungsi berubah ketika argumen berubah. Karena angka tidak berubah sama sekali dalam kondisi apa pun, laju perubahannya selalu nol.
2. Turunan dari variabel sama dengan satu
x' = 1
Penjelasan:
Dengan setiap kenaikan argumen (x) per satu, nilai fungsi (hasil perhitungan) bertambah dengan jumlah yang sama. Jadi, laju perubahan nilai fungsi y = x sama persis dengan laju perubahan nilai argumen.
3. Turunan dari variabel dan faktor sama dengan faktor ini
сx´ = с
Contoh:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Penjelasan:
DI DALAM kasus ini, setiap kali argumen fungsi berubah ( X) nilainya (y) bertambah Dengan sekali. Jadi, laju perubahan nilai fungsi sehubungan dengan laju perubahan argumen sama persis dengan nilainya Dengan.
Dari mana itu mengikuti itu
(cx + b)" = c
yaitu diferensial fungsi linear y=kx+b adalah koefisien sudut kemiringan garis lurus (k).
4. Turunan modulo dari variabel sama dengan hasil bagi variabel ini dengan modulusnya
|x|"= x / |x| asalkan x ≠ 0
Penjelasan:
Karena turunan dari variabel (lihat rumus 2) sama dengan satu, turunan dari modulus hanya berbeda dalam nilai laju perubahan fungsi yang berubah menjadi berlawanan ketika melintasi titik asal (cobalah menggambar grafik dari fungsi y = |x| dan lihat sendiri. Ini persis nilai dan mengembalikan ekspresi x / |x| Ketika x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - satu. Yaitu, dengan nilai negatif dari variabel x, dengan setiap peningkatan dalam perubahan argumen, nilai fungsi berkurang dengan nilai yang persis sama, dan dengan nilai positif, sebaliknya, meningkat, tetapi persis nilai yang sama.
5. Turunan pangkat dari variabel sama dengan perkalian bilangan pangkat ini dengan variabel pangkat, dikurangi satu
(xc)"= cxc-1, asalkan x c dan cx c-1 didefinisikan dan c ≠ 0
Contoh:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Untuk menghafal rumus:
Ambil eksponen dari variabel "turun" sebagai pengganda, lalu kurangi eksponen itu sendiri sebanyak satu. Misalnya, untuk x 2 - dua di depan x, lalu pengurangan daya (2-1 = 1) hanya memberi kita 2x. Hal yang sama terjadi untuk x 3 - kita "menurunkan" ketiganya, menguranginya dengan satu dan bukannya kubus kita memiliki persegi, yaitu 3x 2. Sedikit "tidak ilmiah", tetapi sangat mudah diingat.
6.Turunan pecahan 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Contoh:
Karena sebagian kecil dapat direpresentasikan sebagai peningkatan ke kekuatan negatif
(1/x)" = (x -1)" , maka Anda dapat menerapkan rumus dari aturan 5 tabel turunan
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Turunan pecahan dengan variabel tingkat arbitrer dalam penyebut
(1/xc)" = - c / xc+1
Contoh:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. turunan akar(turunan dari variabel di bawah akar kuadrat)
(√x)" = 1 / (2√x) atau 1/2 x -1/2
Contoh:
(√x)" = (x 1/2)" sehingga Anda dapat menerapkan rumus dari aturan 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)
9. Derivatif dari variabel di bawah akar derajat sewenang-wenang
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)
Di mana kami menganalisis turunan paling sederhana, dan juga berkenalan dengan aturan diferensiasi dan beberapa teknik untuk menemukan turunan. Jadi, jika Anda tidak terlalu mahir dengan turunan fungsi atau beberapa poin dari artikel ini tidak sepenuhnya jelas, baca dulu pelajaran di atas. Harap perhatikan suasana hati yang serius - materinya tidak mudah, tetapi saya akan tetap mencoba menyajikannya dengan sederhana dan jelas.
Dalam praktiknya, Anda harus sering berurusan dengan turunan dari fungsi yang kompleks, saya bahkan akan mengatakan hampir selalu, ketika Anda diberi tugas untuk menemukan turunannya.
Kami melihat tabel pada aturan (No. 5) untuk membedakan fungsi yang kompleks:
Kami mengerti. Pertama-tama, mari kita lihat notasinya. Di sini kita memiliki dua fungsi - dan , dan fungsi tersebut, secara kiasan, bersarang di dalam function . Fungsi semacam ini (ketika satu fungsi bersarang di dalam yang lain) disebut fungsi kompleks.
Saya akan memanggil fungsi fungsi eksternal, dan fungsinya – fungsi dalam (atau bersarang)..
! Definisi ini tidak teoretis dan seharusnya tidak muncul dalam desain tugas akhir. Saya menggunakan ungkapan informal "fungsi eksternal", fungsi "internal" hanya untuk memudahkan Anda memahami materi.
Untuk memperjelas situasi, pertimbangkan:
Contoh 1
Temukan turunan dari suatu fungsi
Di bawah sinus, kita tidak hanya memiliki huruf "x", tetapi seluruh ekspresi, jadi menemukan turunan langsung dari tabel tidak akan berhasil. Kami juga memperhatikan bahwa empat aturan pertama tidak dapat diterapkan di sini, tampaknya ada perbedaan, tetapi faktanya adalah tidak mungkin untuk "merobek" sinus:
DI DALAM contoh ini sudah dari penjelasan saya secara intuitif jelas bahwa suatu fungsi adalah fungsi yang kompleks, dan polinomialnya adalah fungsi internal (embedding), dan fungsi eksternal.
Langkah pertama, yang harus dilakukan saat mencari turunan dari fungsi kompleks adalah to memahami mana fungsi internal dan mana eksternal.
Kapan contoh sederhana tampak jelas bahwa polinomial bersarang di bawah sinus. Tetapi bagaimana jika itu tidak jelas? Bagaimana cara menentukan dengan tepat fungsi mana yang eksternal dan mana yang internal? Untuk melakukan ini, saya mengusulkan untuk menggunakan teknik berikut, yang dapat dilakukan secara mental atau pada draf.
Bayangkan kita perlu menghitung nilai ekspresi dengan kalkulator (bukan satu, bisa ada angka apa saja).
Apa yang kita hitung dulu? Pertama Anda harus melakukan tindakan berikut: , sehingga polinomial akan menjadi fungsi internal: 
Kedua Anda perlu menemukan, sehingga sinus - akan menjadi fungsi eksternal: 
Setelah kita MEMAHAMI dengan fungsi dalam dan luar, saatnya untuk menerapkan aturan diferensiasi fungsi majemuk 
.
Kami mulai memutuskan. Dari pelajaran Bagaimana cara mencari turunannya? kita ingat bahwa desain solusi turunan apa pun selalu dimulai seperti ini - kita lampirkan ekspresi dalam tanda kurung dan beri tanda guratan di kanan atas:
Pertama kami menemukan turunan dari fungsi eksternal (sinus), lihat tabel turunan dari fungsi dasar dan perhatikan bahwa . Semua rumus tabel berlaku bahkan jika "x" diganti dengan ekspresi kompleks, pada kasus ini:
Perhatikan bahwa fungsi batin tidak berubah, kami tidak menyentuhnya.
Yah, itu cukup jelas
Hasil penerapan rumus 
bersih terlihat seperti ini:
Faktor konstanta biasanya ditempatkan di awal ekspresi:
Jika ada kesalahpahaman, tulis keputusan di atas kertas dan baca lagi penjelasannya.
Contoh 2
Temukan turunan dari suatu fungsi
Contoh 3
Temukan turunan dari suatu fungsi
Seperti biasa, kami menulis: 
Kami mencari tahu di mana kami memiliki fungsi eksternal, dan di mana fungsi internal. Untuk melakukan ini, kami mencoba (secara mental atau draf) untuk menghitung nilai ekspresi untuk . Apa yang perlu dilakukan terlebih dahulu? Pertama-tama, Anda perlu menghitung sama dengan basis:, yang berarti polinomial adalah fungsi internal: 
Dan, baru kemudian eksponensial dilakukan, oleh karena itu, fungsi pangkat adalah fungsi eksternal: 
Menurut rumus 
, pertama-tama Anda perlu mencari turunan dari fungsi luar, dalam hal ini, derajat. Kami mencari formula yang diinginkan di tabel :. Kami ulangi lagi: rumus tabel apa pun berlaku tidak hanya untuk "x", tetapi juga untuk ekspresi kompleks. Dengan demikian, hasil penerapan aturan diferensiasi fungsi yang kompleks 
Berikutnya:
Saya tegaskan lagi bahwa ketika kita mengambil turunan dari fungsi luar, fungsi dalam tidak berubah: 
Sekarang tinggal menemukan turunan yang sangat sederhana dari fungsi dalam dan "menyisir" hasilnya sedikit:
Contoh 4
Temukan turunan dari suatu fungsi
Ini adalah contoh pemecahan diri (jawaban di akhir pelajaran).
Untuk mengkonsolidasikan pemahaman tentang turunan dari fungsi yang kompleks, saya akan memberikan contoh tanpa komentar, coba cari tahu sendiri, alasannya, di mana fungsi eksternal dan di mana fungsi internal, mengapa tugas diselesaikan seperti itu?
Contoh 5
a) Tentukan turunan dari suatu fungsi
b) Tentukan turunan dari fungsi tersebut
Contoh 6
Temukan turunan dari suatu fungsi 
Di sini kita memiliki akar, dan untuk membedakan akar, itu harus direpresentasikan sebagai derajat. Jadi, pertama-tama kita membawa fungsi ke bentuk yang tepat untuk diferensiasi:
Menganalisis fungsinya, kita sampai pada kesimpulan bahwa jumlah dari tiga suku adalah fungsi internal, dan eksponensial adalah fungsi eksternal. Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi yang kompleks 
:
Derajat sekali lagi direpresentasikan sebagai akar (akar), dan untuk turunan dari fungsi internal, kami menerapkan aturan sederhana untuk membedakan jumlah:
Siap. Anda juga dapat membawa ekspresi ke penyebut yang sama dalam tanda kurung dan menulis semuanya sebagai satu pecahan. Itu indah, tentu saja, tetapi ketika turunan panjang yang rumit diperoleh, lebih baik tidak melakukan ini (mudah bingung, membuat kesalahan yang tidak perlu, dan akan merepotkan guru untuk memeriksanya).
Contoh 7
Temukan turunan dari suatu fungsi
Ini adalah contoh pemecahan diri (jawaban di akhir pelajaran).
Sangat menarik untuk dicatat bahwa kadang-kadang, alih-alih aturan untuk membedakan fungsi yang kompleks, Anda dapat menggunakan aturan untuk membedakan hasil bagi. 
, tetapi solusi seperti itu akan terlihat seperti penyimpangan yang tidak biasa. Berikut adalah contoh tipikal:
Contoh 8
Temukan turunan dari suatu fungsi
Di sini Anda dapat menggunakan aturan pembagian hasil bagi 
, tetapi jauh lebih menguntungkan untuk menemukan turunannya melalui aturan diferensiasi fungsi kompleks:
Kami menyiapkan fungsi untuk diferensiasi - kami menghilangkan tanda minus dari turunannya, dan menaikkan kosinus ke pembilangnya:
Cosinus adalah fungsi internal, eksponensial adalah fungsi eksternal.
Mari kita gunakan aturan kita 
:
Kami menemukan turunan dari fungsi dalam, mengatur ulang cosinus kembali ke bawah:
Siap. Dalam contoh yang dipertimbangkan, penting untuk tidak bingung dengan tanda-tandanya. Ngomong-ngomong, coba selesaikan dengan aturan 
, jawabannya harus sesuai.
Contoh 9
Temukan turunan dari suatu fungsi
Ini adalah contoh pemecahan diri (jawaban di akhir pelajaran).
Sejauh ini, kami telah mempertimbangkan kasus di mana kami hanya memiliki satu sarang dalam fungsi yang kompleks. Dalam tugas-tugas praktis, Anda sering dapat menemukan turunan, di mana, seperti boneka bersarang, satu di dalam yang lain, 3 atau bahkan 4-5 fungsi bersarang sekaligus.
Contoh 10
Temukan turunan dari suatu fungsi
Kami memahami lampiran dari fungsi ini. Kami mencoba mengevaluasi ekspresi menggunakan nilai eksperimental. Bagaimana kita mengandalkan kalkulator?
Pertama, Anda perlu menemukan, yang artinya arcsine adalah sarang terdalam:
Arcsine kesatuan ini kemudian harus dikuadratkan:
Dan akhirnya, kami menaikkan tujuh ke kekuatan: 
Artinya, dalam contoh ini kita memiliki tiga fungsi berbeda dan dua sarang, sedangkan fungsi terdalam adalah arcsine, dan fungsi terluar adalah fungsi eksponensial.
Kami mulai memutuskan
Menurut aturan 
pertama Anda perlu mengambil turunan dari fungsi luar. Kami melihat tabel turunan dan menemukan turunan dari fungsi eksponensial: Satu-satunya perbedaan adalah bahwa alih-alih "x", kami memiliki ekspresi kompleks yang tidak meniadakan validitas rumus ini. Jadi, hasil penerapan aturan diferensiasi fungsi yang kompleks 
Berikutnya.
Bukti dan turunan dari rumus turunan eksponensial (e pangkat x) dan fungsi eksponensial (a pangkat x). Contoh menghitung turunan e^2x, e^3x dan e^nx. Rumus untuk turunan dari orde yang lebih tinggi.
Turunan eksponen sama dengan eksponen itu sendiri (turunan e pangkat x sama dengan e pangkat x):
(1)
(e x )′ = e x.
Turunan fungsi eksponensial dengan basis derajat a sama dengan fungsi itu sendiri, dikalikan dengan logaritma alami dari :
(2)
.
Penurunan rumus untuk turunan dari eksponen, e pangkat x
Eksponen adalah fungsi eksponensial yang basis eksponennya sama dengan angka e, yang merupakan limit berikut:
.
Di sini bisa berupa bilangan asli atau bilangan real. Selanjutnya, kita menurunkan rumus (1) untuk turunan eksponen.
Derivasi rumus untuk turunan dari eksponen
Pertimbangkan eksponen, e pangkat x :
y = e x .
Fungsi ini didefinisikan untuk semua . Carilah turunannya terhadap x . Menurut definisi, turunannya adalah limit berikut:
(3)
.
Mari ubah ekspresi ini untuk mereduksinya menjadi properti dan aturan matematika yang diketahui. Untuk ini kita membutuhkan fakta-fakta berikut:
A) Properti eksponen:
(4)
;
B) Properti logaritma:
(5)
;
DI DALAM) Kontinuitas logaritma dan sifat limit untuk fungsi kontinu:
(6)
.
Di sini, adalah beberapa fungsi yang memiliki batas dan batas ini positif.
G) Arti dari batas indah kedua:
(7)
.
Kami menerapkan fakta-fakta ini ke batas kami (3). Kami menggunakan properti (4):
;
.
Mari kita lakukan pergantian. Kemudian ; .
Karena kontinuitas eksponen,
.
Oleh karena itu, pada , . Hasilnya, kami mendapatkan:
.
Mari kita lakukan pergantian. Kemudian . Pada , . Dan kita mempunyai:
.
Kami menerapkan properti logaritma (5):
. Kemudian
.
Mari kita menerapkan properti (6). Karena ada limit positif dan logaritma kontinu, maka:
.
Di sini kami juga menggunakan batas luar biasa kedua (7). Kemudian
.
Jadi, kami telah memperoleh rumus (1) untuk turunan eksponen.
Penurunan rumus untuk turunan dari fungsi eksponensial
Sekarang kita menurunkan rumus (2) untuk turunan fungsi eksponensial dengan basis derajat a. Kami percaya bahwa dan . Kemudian fungsi eksponensial
(8)
Didefinisikan untuk semua orang.
Mari kita ubah rumus (8). Untuk ini kami menggunakan sifat-sifat fungsi eksponensial dan logaritma.
;
.
Jadi, kami telah mengubah rumus (8) menjadi bentuk berikut:
.
Turunan tingkat tinggi dari e pangkat x
Sekarang mari kita cari turunan dari orde yang lebih tinggi. Mari kita lihat eksponen terlebih dahulu:
(14)
.
(1)
.
Kita lihat bahwa turunan dari fungsi (14) sama dengan fungsi (14) itu sendiri. Diferensiasi (1), kami memperoleh turunan orde kedua dan ketiga:
;
.
Ini menunjukkan bahwa turunan orde ke-n juga sama dengan fungsi aslinya:
.
Turunan tingkat tinggi dari fungsi eksponensial
Sekarang pertimbangkan Fungsi eksponensial dengan gelar dasar a :
.
Kami menemukan turunan orde pertamanya:
(15)
.
Diferensiasi (15), kami memperoleh turunan urutan kedua dan ketiga:
;
.
Kita melihat bahwa setiap diferensiasi mengarah ke perkalian fungsi asli dengan . Oleh karena itu, turunan ke-n memiliki bentuk sebagai berikut:
.
Setelah persiapan artileri pendahuluan, contoh dengan lampiran fungsi 3-4-5 tidak akan terlalu menakutkan. Mungkin dua contoh berikut akan tampak rumit bagi sebagian orang, tetapi jika dipahami (seseorang menderita), maka hampir semua hal lain dalam kalkulus diferensial akan tampak seperti lelucon anak-anak.
Contoh 2
Temukan turunan dari suatu fungsi
Seperti yang telah disebutkan, ketika menemukan turunan dari fungsi kompleks, pertama-tama itu perlu Benar MEMAHAMI INVESTASI. Dalam kasus di mana ada keraguan, saya ingatkan teknik yang berguna: kami mengambil nilai eksperimental "x", misalnya, dan mencoba (secara mental atau draf) untuk mengganti nilai ini menjadi "ekspresi yang mengerikan".
1) Pertama kita perlu menghitung ekspresi, jadi jumlahnya adalah sarang terdalam.
2) Maka Anda perlu menghitung logaritma:
4) Kemudian pangkatkan kosinus:
5) Pada langkah kelima, perbedaannya:
6) Dan terakhir, fungsi terluar adalah akar kuadrat: 
Rumus Diferensiasi Fungsi Kompleks 
diterapkan dalam urutan terbalik, dari fungsi terluar ke fungsi terdalam. Kami memutuskan:
Tampaknya bebas kesalahan:
1) Kami mengambil turunan dari akar pangkat dua.
2) Kami mengambil turunan dari perbedaan menggunakan aturan 
3) Turunan dari triple sama dengan nol. Pada suku kedua, kita mengambil turunan dari derajat (kubus).
4) Kami mengambil turunan dari kosinus.
6) Dan terakhir, kami mengambil turunan dari sarang terdalam .
Ini mungkin terlihat terlalu sulit, tetapi ini bukanlah contoh yang paling brutal. Ambil, misalnya, koleksi Kuznetsov dan Anda akan menghargai semua pesona dan kesederhanaan turunan yang dianalisis. Saya perhatikan bahwa mereka suka memberikan hal serupa pada ujian untuk memeriksa apakah siswa tersebut memahami cara menemukan turunan dari fungsi yang kompleks, atau tidak.
Contoh berikut adalah untuk solusi mandiri.
Contoh 3
Temukan turunan dari suatu fungsi
Petunjuk: Pertama kita terapkan aturan linearitas dan aturan diferensiasi produk
Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.
Saatnya beralih ke sesuatu yang lebih kompak dan cantik.
Tidak jarang situasi di mana hasil kali bukan dua, tetapi tiga fungsi diberikan dalam sebuah contoh. Cara mencari turunan dari produk dari tiga pengganda?
Contoh 4
Temukan turunan dari suatu fungsi 
Pertama, kita lihat, tetapi apakah mungkin mengubah hasil kali tiga fungsi menjadi hasil kali dua fungsi? Misalnya, jika kita memiliki dua polinomial dalam perkalian, maka kita dapat membuka tanda kurung. Tetapi dalam contoh ini, semua fungsi berbeda: derajat, eksponen, dan logaritma.
Dalam kasus seperti itu, itu perlu berturut-turut menerapkan aturan diferensiasi produk 
dua kali
Triknya adalah untuk "y" kami menunjukkan produk dari dua fungsi: , dan untuk "ve" - logaritma :. Mengapa ini bisa dilakukan? Apakah itu 
- ini bukan produk dari dua faktor dan aturannya tidak berfungsi?! Tidak ada yang rumit:
Sekarang tinggal menerapkan aturan untuk kedua kalinya untuk mengurung:
Anda masih dapat memutarbalikkan dan mengeluarkan sesuatu dari tanda kurung, tetapi dalam hal ini lebih baik meninggalkan jawaban dalam formulir ini - akan lebih mudah untuk memeriksanya.
Contoh di atas dapat diselesaikan dengan cara kedua:
Kedua solusi tersebut benar-benar setara.
Contoh 5
Temukan turunan dari suatu fungsi
Ini adalah contoh untuk solusi independen, dalam sampel itu diselesaikan dengan cara pertama.
Pertimbangkan contoh serupa dengan pecahan.
Contoh 6
Temukan turunan dari suatu fungsi 
Di sini Anda dapat pergi dengan beberapa cara:
Atau seperti ini:
Tetapi solusinya dapat ditulis lebih kompak jika, pertama-tama, kita menggunakan aturan pembagian hasil bagi 
, mengambil seluruh pembilang:
Pada prinsipnya, contoh tersebut diselesaikan, dan jika dibiarkan dalam bentuk ini, tidak akan menjadi kesalahan. Tetapi jika Anda punya waktu, selalu disarankan untuk memeriksa drafnya, tetapi apakah mungkin untuk menyederhanakan jawabannya?
Kami membawa ekspresi pembilang ke penyebut yang sama dan menyingkirkan pecahan bertingkat tiga:
Kerugian dari penyederhanaan tambahan adalah ada risiko membuat kesalahan bukan saat menemukan turunan, tetapi saat transformasi sekolah yang dangkal. Di sisi lain, guru sering menolak tugas dan meminta untuk “mengingat” turunannya.
Contoh sederhana untuk solusi do-it-yourself:
Contoh 7
Temukan turunan dari suatu fungsi
Kami terus menguasai teknik untuk menemukan turunannya, dan sekarang kami akan mempertimbangkan kasus tipikal ketika logaritma "mengerikan" diusulkan untuk diferensiasi
Operasi pencarian turunan disebut diferensiasi.
Sebagai hasil dari pemecahan masalah menemukan turunan dari fungsi yang paling sederhana (dan tidak terlalu sederhana) dengan mendefinisikan turunan sebagai batas rasio kenaikan terhadap kenaikan argumen, muncul tabel turunan dan aturan diferensiasi yang ditentukan dengan tepat. . Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) adalah orang pertama yang bekerja di bidang penemuan turunan.
Oleh karena itu, saat ini, untuk menemukan turunan dari fungsi apa pun, tidak perlu menghitung batas rasio kenaikan fungsi yang disebutkan di atas dengan kenaikan argumen, tetapi hanya perlu menggunakan tabel turunan dan aturan diferensiasi. Algoritma berikut cocok untuk menemukan turunannya.
Untuk menemukan turunannya, Anda memerlukan ekspresi di bawah tanda guratan memecah fungsi sederhana dan menentukan tindakan apa (produk, jumlah, hasil bagi) fungsi-fungsi ini terkait. Selanjutnya, kami menemukan turunan dari fungsi dasar dalam tabel turunan, dan rumus turunan dari produk, jumlah dan hasil bagi - dalam aturan diferensiasi. Tabel aturan turunan dan turunan diberikan setelah dua contoh pertama.
Contoh 1 Temukan turunan dari suatu fungsi
Larutan. Dari aturan pembedaan kita mengetahui bahwa turunan dari penjumlahan fungsi adalah penjumlahan dari turunan fungsi, yaitu
Dari tabel turunan, kita mengetahui bahwa turunan dari "X" sama dengan satu, dan turunan dari sinus adalah cosinus. Kami mengganti nilai-nilai ini dalam jumlah turunan dan menemukan turunan yang diperlukan oleh kondisi masalah:
Contoh 2 Temukan turunan dari suatu fungsi
Larutan. Diferensialkan sebagai turunan dari penjumlahan, di mana suku kedua dengan faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:
Jika masih ada pertanyaan tentang dari mana sesuatu berasal, biasanya menjadi jelas setelah membaca tabel turunan dan aturan diferensiasi yang paling sederhana. Kami akan menemui mereka sekarang.
Tabel turunan fungsi sederhana
| 1. Turunan dari konstanta (bilangan). Angka berapa pun (1, 2, 5, 200...) yang ada dalam ekspresi fungsi. Selalu nol. Ini sangat penting untuk diingat, karena sangat sering dibutuhkan | |
| 2. Turunan dari variabel bebas. Paling sering "x". Selalu sama dengan satu. Ini juga penting untuk diingat | |
| 3. Turunan derajat. Saat memecahkan soal, Anda perlu mengubah akar bukan kuadrat menjadi pangkat. | |
| 4. Turunan variabel pangkat -1 | |
| 5. Turunan dari akar kuadrat | |
| 6. Turunan sinus | |
| 7. Turunan cosinus |  |
| 8. Turunan tangen |  |
| 9. Turunan kotangen |  |
| 10. Turunan dari arcsine |  |
| 11. Turunan dari arc cosinus |  |
| 12. Turunan dari garis singgung busur |  |
| 13. Turunan dari invers tangen |  |
| 14. Turunan logaritma natural | |
| 15. Turunan dari fungsi logaritmik |  |
| 16. Turunan dari eksponen | |
| 17. Turunan dari fungsi eksponensial |
Aturan diferensiasi
| 1. Turunan dari penjumlahan atau selisih |  |
| 2. Turunan dari suatu produk |  |
| 2a. Turunan dari ekspresi dikalikan dengan faktor konstanta | |
| 3. Turunan dari hasil bagi |  |
| 4. Turunan dari fungsi kompleks |  |
Aturan 1Jika fungsi
dapat dibedakan di beberapa titik , maka pada titik yang sama fungsinya
Dan
itu. turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar dari turunan fungsi ini.
Konsekuensi. Jika dua fungsi terdiferensiasi berbeda dengan konstanta, maka turunannya adalah, yaitu
Aturan 2Jika fungsi
dapat dibedakan pada titik tertentu, maka produk mereka juga dapat dibedakan pada titik yang sama
Dan
itu. turunan dari hasil kali dua fungsi sama dengan jumlah hasil kali dari masing-masing fungsi ini dan turunan dari fungsi lainnya.
Konsekuensi 1. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:
Konsekuensi 2. Turunan dari hasil kali beberapa fungsi terdiferensiasi sama dengan jumlah hasil kali turunan dari masing-masing faktor dan faktor lainnya.
Misalnya, untuk tiga pengganda:
Aturan 3Jika fungsi
dapat dibedakan di beberapa titik Dan , maka pada titik ini hasil bagi mereka juga dapat dibedakan.u/v , dan
itu. turunan dari hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dan turunan dari pembilang dan pembilang dan turunan dari penyebut, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya .
Di mana mencarinya di halaman lain
Saat menemukan turunan dari produk dan hasil bagi di tugas nyata selalu diperlukan untuk menerapkan beberapa aturan diferensiasi sekaligus, jadi lebih banyak contoh tentang turunan ini ada di artikel"Turunan produk dan hasil bagi".
Komentar. Anda tidak boleh mengacaukan konstanta (yaitu angka) sebagai suku dalam penjumlahan dan sebagai faktor konstanta! Dalam kasus suatu suku, turunannya sama dengan nol, dan dalam kasus faktor konstanta, ia dikeluarkan dari tanda turunannya. Ini adalah kesalahan umum yang terjadi di tahap awal mempelajari turunan, tetapi saat mereka menyelesaikan beberapa contoh satu-dua komponen, rata-rata siswa tidak lagi membuat kesalahan ini.
Dan jika, saat membedakan produk atau hasil bagi, Anda memiliki istilah kamu"ay, di mana kamu- angka, misalnya, 2 atau 5, yaitu konstanta, maka turunan dari angka ini akan sama dengan nol dan, oleh karena itu, seluruh suku akan sama dengan nol (kasus seperti itu dianalisis dalam contoh 10) .
Lainnya kesalahan Umum- solusi mekanis dari turunan fungsi kompleks sebagai turunan dari fungsi sederhana. Itu sebabnya turunan dari fungsi kompleks dikhususkan untuk artikel terpisah. Namun pertama-tama kita akan belajar mencari turunan dari fungsi sederhana.
Sepanjang jalan, Anda tidak dapat melakukannya tanpa transformasi ekspresi. Untuk melakukan ini, Anda mungkin perlu membuka manual di Windows baru Tindakan dengan kekuatan dan akar Dan Tindakan dengan pecahan .
Jika Anda mencari solusi untuk turunan dengan kekuatan dan akar, yaitu ketika fungsinya terlihat 
, lalu ikuti pelajaran " Turunan dari jumlah pecahan dengan pangkat dan akar".
Jika Anda memiliki tugas seperti 
, maka Anda berada di pelajaran "Turunan fungsi trigonometri sederhana".
Contoh langkah demi langkah - cara menemukan turunannya
Contoh 3 Temukan turunan dari suatu fungsi
Larutan. Kami menentukan bagian-bagian dari ekspresi fungsi: seluruh ekspresi mewakili produk, dan faktor-faktornya adalah jumlah, di mana salah satu sukunya mengandung faktor konstan. Kami menerapkan aturan diferensiasi produk: turunan dari produk dari dua fungsi sama dengan jumlah produk dari masing-masing fungsi ini dan turunan dari yang lain:
Selanjutnya, kami menerapkan aturan turunan dari penjumlahan: turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar dari turunan fungsi ini. Dalam kasus kita, di setiap penjumlahan, suku kedua dengan tanda minus. Dalam setiap penjumlahan, kita melihat variabel independen, yang turunannya sama dengan satu, dan konstanta (bilangan), yang turunannya sama dengan nol. Jadi, "x" berubah menjadi satu, dan minus 5 menjadi nol. Pada persamaan kedua, "x" dikalikan dengan 2, jadi kita mengalikan dua dengan satuan yang sama dengan turunan dari "x". Kami mendapatkan nilai turunan berikut:
Kami mengganti turunan yang ditemukan ke dalam jumlah produk dan mendapatkan turunan dari seluruh fungsi yang diperlukan oleh kondisi masalah:
Contoh 4 Temukan turunan dari suatu fungsi
Larutan. Kita diminta untuk mencari turunan dari hasil bagi tersebut. Kami menerapkan rumus untuk membedakan hasil bagi: turunan dari hasil bagi dari dua fungsi sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dan turunan dari pembilang dan pembilang dan turunan dari penyebut, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya. Kita mendapatkan:
Kami telah menemukan turunan dari faktor pembilang dalam Contoh 2. Jangan lupa juga bahwa hasil kali, yang merupakan faktor pembilang kedua dalam contoh saat ini, diambil dengan tanda minus:
Jika Anda mencari solusi untuk masalah seperti itu di mana Anda perlu menemukan turunan dari suatu fungsi, di mana ada tumpukan akar dan derajat yang terus menerus, seperti, misalnya, 
lalu selamat datang di kelas "Turunan dari penjumlahan pecahan dengan pangkat dan akar" .
Jika Anda perlu mempelajari lebih lanjut tentang turunan dari sinus, cosinus, garis singgung dan lain-lain fungsi trigonometri, yaitu saat fungsinya terlihat seperti , maka Anda memiliki pelajaran "Turunan dari fungsi trigonometri sederhana" .
Contoh 5 Temukan turunan dari suatu fungsi
Larutan. Dalam fungsi ini, kita melihat sebuah perkalian, salah satu faktornya adalah akar kuadrat dari variabel bebas, yang turunannya kita kenali dalam tabel turunan. Menurut aturan diferensiasi produk dan nilai tabular dari turunan akar kuadrat, kita mendapatkan:
Contoh 6 Temukan turunan dari suatu fungsi
Larutan. Dalam fungsi ini, kita melihat hasil bagi, yang pembaginya adalah akar kuadrat dari variabel bebas. Menurut aturan pembagian hasil bagi, yang kami ulangi dan terapkan dalam contoh 4, dan nilai tabular dari turunan akar kuadrat, kami mendapatkan:
Untuk menghilangkan pecahan di pembilangnya, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan .
