Il significato fisico della derivata. Tasso istantaneo di cambiamento di funzione, accelerazione e gradiente

La derivata di una funzione è uno degli argomenti più difficili nel curriculum scolastico. Non tutti i laureati risponderanno alla domanda su cosa sia un derivato.

Questo articolo spiega in modo semplice e chiaro cos'è un derivato e perché è necessario.. Non ci impegneremo ora per il rigore matematico della presentazione. La cosa più importante è capire il significato.

Ricordiamo la definizione:

La derivata è il tasso di variazione della funzione.

La figura mostra i grafici di tre funzioni. Quale pensi che cresca più velocemente?

La risposta è ovvia: la terza. Ha il più alto tasso di variazione, cioè il più grande derivato.

Ecco un altro esempio.

Kostya, Grisha e Matvey hanno ottenuto un lavoro contemporaneamente. Vediamo come è cambiato il loro reddito durante l'anno:

Puoi vedere subito tutto sul grafico, giusto? Il reddito di Kostya è più che raddoppiato in sei mesi. E anche le entrate di Grisha sono aumentate, ma solo un po '. E il reddito di Matthew è sceso a zero. Le condizioni di partenza sono le stesse, ma il tasso di variazione della funzione, cioè derivato, - diverso. Per quanto riguarda Matvey, il derivato del suo reddito è generalmente negativo.

Intuitivamente, possiamo facilmente stimare il tasso di variazione di una funzione. Ma come lo facciamo?

Quello che stiamo realmente osservando è la ripida salita (o discesa) del grafico della funzione. In altre parole, quanto velocemente y cambia con x. È ovvio che la stessa funzione in punti diversi può avere un valore diverso della derivata, cioè può cambiare più velocemente o più lentamente.

La derivata di una funzione è indicata con .

Mostriamo come trovare utilizzando il grafico.

Viene disegnato un grafico di una funzione. Prendi un punto su di esso con un'ascissa. Disegna una tangente al grafico della funzione in questo punto. Vogliamo valutare quanto ripidamente sale il grafico della funzione. Un valore utile per questo è tangente della pendenza della tangente.

La derivata di una funzione in un punto è uguale alla tangente della pendenza della tangente tracciata al grafico della funzione in quel punto.

Nota: come angolo di inclinazione della tangente, prendiamo l'angolo tra la tangente e la direzione positiva dell'asse.

A volte gli studenti chiedono qual è la tangente al grafico di una funzione. Questa è una linea retta, che ha l'unico punto comune con un grafico, e come mostrato nella nostra figura. Sembra una tangente a un cerchio.

Cerchiamo . Ricordiamo che la tangente di un angolo acuto in triangolo rettangolo uguale al rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente. Dal triangolo:

Abbiamo trovato la derivata usando il grafico senza nemmeno conoscere la formula della funzione. Tali compiti si trovano spesso nell'esame di matematica sotto il numero.

C'è un'altra importante correlazione. Ricordiamo che la retta è data dall'equazione

La quantità in questa equazione è chiamata pendenza di una retta. È uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione della retta rispetto all'asse.

.

Lo capiamo

Ricordiamo questa formula. Esprime il significato geometrico della derivata.

La derivata di una funzione in un punto è coefficiente angolare tangente tracciata al grafico della funzione in quel punto.

In altre parole, la derivata è uguale alla tangente della pendenza della tangente.

Abbiamo già detto che una stessa funzione può avere derivate diverse in punti diversi. Vediamo come la derivata è correlata al comportamento della funzione.

Disegniamo un grafico di una funzione. Lascia che questa funzione aumenti in alcune aree, diminuisca in altre e con velocità diversa. E lascia che questa funzione abbia punti massimi e minimi.

Ad un certo punto, la funzione è crescente. La tangente al grafico, tracciata nel punto, forma un angolo acuto; con direzione dell'asse positiva. Quindi la derivata è positiva nel punto.

Al punto, la nostra funzione è decrescente. La tangente in questo punto forma un angolo ottuso; con direzione dell'asse positiva. Poiché la tangente di un angolo ottuso è negativa, la derivata nel punto è negativa.

Ecco cosa succede:

Se una funzione è crescente, la sua derivata è positiva.

Se diminuisce, la sua derivata è negativa.

E cosa accadrà ai punti massimo e minimo? Vediamo che in (punto di massimo) e (punto di minimo) la tangente è orizzontale. Pertanto, la tangente della pendenza della tangente in questi punti è zero e anche la derivata è zero.

Il punto è il punto massimo. A questo punto, l'aumento della funzione è sostituito da una diminuzione. Di conseguenza, il segno della derivata cambia nel punto da "più" a "meno".

Nel punto - il punto minimo - anche la derivata è uguale a zero, ma il suo segno cambia da "meno" a "più".

Conclusione: con l'aiuto della derivata puoi scoprire tutto ciò che ci interessa sul comportamento della funzione.

Se la derivata è positiva, allora la funzione è crescente.

Se la derivata è negativa, allora la funzione è decrescente.

Nel punto di massimo la derivata è zero e cambia segno da più a meno.

Nel punto di minimo anche la derivata è zero e cambia segno da meno a più.

Scriviamo questi risultati sotto forma di tabella:

	aumenta	punto massimo	decrescente	punto minimo	aumenta
+	0	-	0	+

Facciamo due piccole precisazioni. Ne avrai bisogno per risolvere il problema. Un altro - nel primo anno, con uno studio più serio di funzioni e derivate.

Un caso è possibile quando la derivata di una funzione ad un certo punto è uguale a zero, ma la funzione non ha né un massimo né un minimo in questo punto. Questo cosiddetto :

In un punto, la tangente al grafico è orizzontale e la derivata è zero. Tuttavia, prima del punto la funzione è aumentata e dopo il punto continua ad aumentare. Il segno della derivata non cambia: è rimasto positivo com'era.

Succede anche che nel punto di massimo o di minimo la derivata non esista. Sul grafico, ciò corrisponde a una brusca interruzione, quando è impossibile tracciare una tangente in un dato punto.

Ma come trovare la derivata se la funzione non è data da un grafico, ma da una formula? In questo caso, si applica

Molti saranno sorpresi dalla posizione inaspettata di questo articolo nel corso del mio autore sulla derivata di una funzione di una variabile e le sue applicazioni. Dopotutto, com'era da scuola: un libro di testo standard, prima di tutto, dà una definizione di derivato, il suo significato geometrico, meccanico. Successivamente, gli studenti trovano le derivate delle funzioni per definizione e, infatti, solo allora la tecnica di differenziazione viene perfezionata utilizzando tabelle derivate.

Ma dal mio punto di vista, il seguente approccio è più pragmatico: prima di tutto, è consigliabile COMPRENDERE BENE il limite della funzione, e, in particolare, infinitesimi. Il fatto è che

la definizione della derivata si basa sul concetto di limite , che è scarsamente considerato nel corso scolastico. Ecco perché una parte significativa dei giovani consumatori di conoscenze granitiche penetra male nell'essenza stessa del derivato. Quindi, se sei poco orientato nel calcolo differenziale o un cervello saggio per lunghi anni smaltito con successo questo bagaglio, si prega di iniziare da limiti di funzione . Allo stesso tempo padroneggia / ricorda la loro decisione.

Lo stesso senso pratico suggerisce che prima è redditizio

imparare a trovare le derivate, incluse le derivate di funzioni complesse . La teoria è una teoria, ma, come si suol dire, vuoi sempre differenziare. A questo proposito, è meglio elaborare le lezioni di base elencate e forse diventare maestro di differenziazione senza nemmeno rendersi conto dell'essenza delle loro azioni.

Consiglio di iniziare i materiali in questa pagina dopo aver letto l'articolo. I problemi più semplici con una derivata, dove, in particolare, si considera il problema della tangente al grafico di una funzione. Ma può essere ritardato. Il fatto è che molte applicazioni della derivata non richiedono di comprenderla, e non sorprende che la lezione teorica sia apparsa piuttosto tardi, quando avevo bisogno di spiegare trovare intervalli di aumento/diminuzione ed estremi funzioni. Inoltre, è stato nell'argomento per molto tempo " Funzioni e Grafici”, finché non ho deciso di inserirlo prima.

Pertanto, care teiere, non abbiate fretta di assorbire l'essenza del derivato, come animali affamati, perché la saturazione sarà insapore e incompleta.

Il concetto di crescente, decrescente, massimo, minimo di una funzione

Molti guide allo studio portare al concetto di derivato con l'aiuto di alcuni problemi pratici, e mi sono anche inventato esempio interessante. Immagina di dover viaggiare in una città che può essere raggiunta in diversi modi. Scartiamo immediatamente i percorsi tortuosi curvi e considereremo solo le linee rette. Tuttavia, anche le direzioni in linea retta sono diverse: puoi raggiungere la città lungo un'autostrada pianeggiante. O su un'autostrada collinare: su e giù, su e giù. Un'altra strada va solo in salita e un'altra sempre in discesa. Gli amanti del brivido sceglieranno un percorso attraverso la gola con una ripida scogliera e una ripida salita.

Ma qualunque siano le vostre preferenze, è auspicabile conoscere la zona, o almeno averne una mappa topografica. E se non ci sono tali informazioni? Dopotutto, puoi scegliere, ad esempio, un percorso pianeggiante, ma di conseguenza imbatterti in una pista da sci con divertenti finlandesi. Non il fatto che il navigatore e persino

l'immagine satellitare fornirà dati affidabili. Pertanto, sarebbe bello formalizzare il rilievo del percorso per mezzo della matematica.

Considera una strada (vista laterale):

Per ogni evenienza, ti ricordo un fatto elementare: il viaggio avviene da sinistra a destra. Per semplicità, assumiamo che la funzione sia continua sulla sezione considerata.

Quali sono le caratteristiche di questo grafico?

Ad intervalli la funzione è crescente, cioè ogni suo valore successivo è maggiore del precedente. In parole povere, il grafico va dal basso verso l'alto (saliamo la collina). E nell'intervallo, la funzione diminuisce: ogni valore successivo è inferiore al precedente e il nostro grafico va dall'alto verso il basso (scendiamo lungo la pendenza).

Prestiamo anche attenzione ai punti speciali. Al punto noi

raggiungiamo il massimo , cioè c'è una tale sezione del percorso su cui il valore sarà il più grande (il più alto). Nello stesso punto viene raggiunto un minimo e esiste un tale quartiere in cui il valore è il più piccolo (il più basso).

Terminologia e definizioni più rigorose saranno prese in considerazione durante la lezione. sugli estremi della funzione mentre ne studiamo ancora uno caratteristica importante: nel mezzo la funzione è crescente, ma è crescente a velocità diverse. E la prima cosa che attira la tua attenzione è che il grafico dell'intervallo sale molto più bello che sull'intervallo. È possibile misurare la pendenza della strada utilizzando strumenti matematici?

Tasso di cambio di funzione

L'idea è questa: prendi un po' di valore

(leggi "delta x") , che chiameremoincremento argomento, e iniziamo a "provarlo" in vari punti del nostro percorso:

1) Diamo un'occhiata al punto più a sinistra: aggirando la distanza , saliamo il pendio fino a un'altezza ( linea verde). La quantità è chiamata incremento della funzione, e dentro questo caso questo incremento è positivo (la differenza di valori lungo l'asse è maggiore di

zero). Facciamo il rapporto , che sarà la misura della pendenza della nostra strada. Ovviamente, questo è un numero molto specifico, e poiché entrambi gli incrementi sono positivi, allora.

Attenzione! La designazione è un SINGOLO simbolo, cioè non puoi "strappare" il "delta" dalla "x" e considerare queste lettere separatamente. Naturalmente, il commento vale anche per il simbolo di incremento della funzione.

Esploriamo la natura della frazione risultante più significativa. Permettere

inizialmente siamo a quota 20 metri (nel punto nero di sinistra). Superata la distanza di metri (linea rossa a sinistra), saremo ad un'altezza di 60 metri. Quindi l'incremento della funzione sarà

metri (linea verde) e:. COSÌ

Quindi, su ogni metro di questo tratto di strada l'altezza aumenta una media di 4 metri ... hai dimenticato l'attrezzatura da arrampicata? =) In altre parole, il rapporto costruito caratterizza il TASSO DI VARIAZIONE MEDIO (in questo caso la crescita) della funzione.

Nota: i valori numerici dell'esempio in questione corrispondono solo approssimativamente alle proporzioni del disegno.

2) Ora andiamo alla stessa distanza dal punto nero più a destra. Qui l'aumento è più dolce, quindi l'incremento

(linea magenta) è relativamente piccola e il rapporto

rispetto al caso precedente sarà molto modesto. Relativamente parlando, metri e tasso di crescita della funzione

È . Cioè qui per ogni metro di sentiero c'è in media mezzo metro di salita.

3) Una piccola avventura in montagna. Diamo un'occhiata al punto nero in alto situato sull'asse y. Supponiamo che questo sia un segno di 50 metri. Ancora una volta superiamo la distanza, per cui ci ritroviamo più in basso - a livello di 30 metri. Poiché il movimento è stato eseguito dall'alto verso il basso (nella direzione "opposta" dell'asse), il finale l'incremento della funzione (altezza) sarà negativo:metri (linea marrone nel disegno). E in questo caso stiamo parlando di velocità

funzione discendente: , cioè per ogni metro di percorso

In questa zona l'altezza diminuisce in media di 2 metri. Prenditi cura dei vestiti sul quinto punto.

Ora poniamo la domanda: qual è il miglior valore di "standard di misurazione" da utilizzare? È chiaro che 10 metri sono molto difficili. Una buona dozzina di protuberanze può facilmente adattarsi a loro. Perché ci sono dei dossi, potrebbe esserci una profonda gola sotto, e dopo pochi metri - l'altro lato con un'ulteriore ripida salita. Pertanto, con una decina di metri non otterremo una caratterizzazione comprensibile di tali sezioni del percorso

relazione .

Dalla discussione di cui sopra, segue la seguente conclusione: minore è il valore, più accuratamente descriveremo il rilievo della strada. Inoltre, giusto

Ora sappiamo che il tasso di variazione istantaneo della funzione N(Z) a Z = +2 è -0,1079968336. Ciò significa su/giù nel periodo, quindi quando Z = +2, la curva N(Z) sale di -0,1079968336. Questa situazione è mostrata nella Figura 3-13.

La misura della sensibilità "assoluta" può essere chiamata velocità di variazione di una funzione. La misura della sensibilità di una funzione in un dato punto ("velocità istantanea") è detta derivata.

Possiamo misurare il grado di sensibilità assoluta della variabile y ai cambiamenti della variabile x se definiamo il rapporto Ay/Ax. Lo svantaggio di una tale definizione di sensibilità è che dipende non solo dal punto "iniziale" XQ, rispetto al quale si considera il cambiamento nell'argomento, ma anche dal valore stesso dell'intervallo Dx, su cui viene determinata la velocità . Per eliminare questo difetto, viene introdotto il concetto di derivata (il tasso di variazione di una funzione in un punto). Quando si determina il tasso di variazione di una funzione in un punto, i punti XQ e xj vengono avvicinati, tendendo l'intervallo Dx a zero. Il tasso di variazione della funzione f (x) nel punto XQ ed è chiamato la derivata della funzione f (x) nel punto X. Il significato geometrico del tasso di variazione della funzione nel punto XQ è che esso è determinato dall'angolo di inclinazione della tangente al grafico della funzione nel punto XQ. La derivata è la tangente della pendenza della tangente al grafico della funzione.

Se la derivata y è considerata come il tasso di variazione della funzione /, allora il valore y /y è il suo tasso di variazione relativo . Pertanto, la derivata logaritmica (In y)

Derivata in direzione - caratterizza il tasso di variazione della funzione z - f (x, y) nel punto MO (ZhO, UO) nella direzione

Tasso di cambio di funzione relativo a 124.188

Finora abbiamo considerato la derivata prima della funzione , che permette di trovare il tasso di variazione della funzione. Per determinare se il tasso di variazione è costante, si dovrebbe prendere la seconda derivata della funzione. Questo è indicato come

Qui e sotto, il numero primo significa differenziazione in modo che h sia il tasso di variazione della funzione h relativo all'aumento dell'eccesso di offerta).

Una misura della sensibilità "assoluta" - il tasso di variazione di una funzione (media (rapporto di variazioni) o marginale (derivata))

Incremento di valore, argomento, funzione. Tasso di cambio di funzione

Il tasso di variazione della funzione sull'intervallo (tasso medio).

Lo svantaggio di una tale definizione di velocità è che questa velocità dipende non solo dal punto x0, rispetto al quale si considera il cambiamento nell'argomento, ma anche dall'entità del cambiamento nell'argomento stesso, cioè sul valore dell'intervallo Dx, su cui viene determinata la velocità. Per eliminare questo difetto, viene introdotto il concetto di velocità di variazione di una funzione in un punto (velocità istantanea).

Il tasso di cambiamento di una funzione in un punto (tasso istantaneo).

Per determinare la velocità di variazione della funzione nel punto JQ, i punti x e x0 vengono avvicinati, tendendo l'intervallo Ax a zero. Anche la variazione della funzione continua tenderà a zero. In questo caso, il rapporto tra la variazione della funzione tendente a zero e la variazione dell'argomento tendente a zero dà il tasso di variazione della funzione nel punto x0 (velocità istantanea), più precisamente su un intervallo infinitamente piccolo relativo al punto xd.

È questo tasso di variazione della funzione Dx) nel punto x0 che viene chiamato la derivata della funzione Dx) nel punto xa.

Naturalmente, per caratterizzare il tasso di variazione del valore di y, si potrebbe usare un indicatore più semplice, diciamo, la derivata di y rispetto a L. L'elasticità di sostituzione o è preferita per il fatto che ha un grande vantaggio - è costante per la maggior parte delle funzioni di produzione utilizzate nella pratica, t cioè non solo non cambia quando ci si sposta lungo un isoquanto, ma non dipende nemmeno dalla scelta dell'isoquanto.

Tempestività del controllo significa che un controllo efficace deve essere tempestivo. La sua tempestività risiede nella commensurabilità dell'intervallo di tempo delle misurazioni e delle valutazioni degli indicatori controllati, il processo delle attività specifiche dell'organizzazione nel suo insieme. Il valore fisico di tale intervallo (frequenza delle misurazioni) è determinato dall'intervallo di tempo del processo misurato (piano), tenendo conto del tasso di variazione degli indicatori controllati e dei costi di attuazione delle operazioni di controllo. Il compito più importante della funzione di controllo rimane quello di eliminare le deviazioni prima che portino l'organizzazione a una situazione critica.

Per un sistema omogeneo a TV = 0, anche M = 0 5 si annulla, cosicché il lato destro dell'espressione (6.20) è uguale al tasso di variazione della funzione di benessere totale associata all'eterogeneità.

Il significato meccanico della derivata. Per una funzione y = f(x) che cambia con il tempo x, la derivata y = f(xo] è il tasso di variazione di y al tempo XQ.

Il tasso relativo (tasso) di variazione della funzione y = f(x) è determinato dalla derivata logaritmica

Le variabili x indicano l'entità della differenza tra domanda e offerta per il tipo corrispondente di mezzi di produzione x = s - p. La funzione x(f) è continuamente differenziabile nel tempo. Le variabili x" indicano il tasso di variazione della differenza tra domanda e offerta. La traiettoria x (t) indica la dipendenza del tasso di variazione della domanda e dell'offerta dall'entità della differenza tra domanda e offerta, che a sua volta dipende nel tempo Lo spazio degli stati (spazio delle fasi) nel nostro caso è bidimensionale , cioè ha la forma di un piano delle fasi.

Tali proprietà della quantità a spiegano il fatto che il tasso di variazione del saggio marginale di sostituzione y è caratterizzato sulla base di esso, e non con l'ausilio di alcun altro indicatore, ad esempio la derivata di y rispetto a x>. Inoltre, per un numero significativo di funzioni, l'elasticità di sostituzione è costante non solo lungo le isocline, ma anche lungo gli isoquanti. Quindi, per la funzione di produzione (2.20), utilizzando il fatto che, secondo l'isocli-

Ci sono molti trucchi che possono essere sfruttati a tassi di cambiamento a breve termine. Questo modello utilizza un periodo

Significato fisico alternativo del concetto di derivata di una funzione.

Nikolaj Brylev

Un articolo per chi pensa da solo. Per chi non riesce a capire come sia possibile conoscere con l'aiuto dell'inconoscibile e per questo non è d'accordo con l'introduzione di concetti inconoscibili negli strumenti della cognizione: "infinito", "andare a zero", "infinitamente piccolo", "vicinanza di un punto", ecc. .P.

Lo scopo di questo articolo non è quello di denigrare l'idea di introdurre un concetto fondamentale molto utile in matematica e fisica. concetti derivati ​​da una funzione(differenziale) e capirlo profondamente senso fisico, basato sulle dipendenze globali generali delle scienze naturali. L'obiettivo è quello di dotare il concetto funzione derivata struttura causale (differenziale) e significato profondo fisica dell'interazione. Questo significato oggi è impossibile da indovinare, perché il concetto generalmente accettato è adattato all'approccio matematico condizionatamente formale, non rigoroso del calcolo differenziale.

1.1 Il concetto classico di derivata di una funzione.

Per cominciare, passiamo all'universalmente usato, generalmente accettato, esistente da quasi tre secoli, che è diventato un classico, concetto matematico (definizione) della derivata di una funzione (differenziale).

Questo concetto è spiegato in tutti i numerosi libri di testo allo stesso modo e approssimativamente.

Sia il valore u dipende dall'argomento x as u = f(x). Se f(x ) è stato fissato in due punti nei valori dell'argomento: x2, x1, , quindi otteniamo le quantità u 1 = f (x 1 ), e u 2 = f (x 2 ). Differenza di due valori di argomento x2, x1 sarà chiamato l'incremento dell'argomento e indicato come Δ x = x 2 - x 1 (quindi x 2=x1+ Δ X) . Se l'argomento è cambiato in Δ x \u003d x 2 - x 1, , quindi la funzione è cambiata (aumentata) come la differenza tra i due valori della funzione u 1 \u003d f (x 1), u 2 \u003d f (x 2 ) per l'incremento della funzioneΔf. Di solito si scrive così:

Δf= u 1 - u 2 \u003d f (x 2) - f (x 1 ). O considerando questo x 2 = x 1 + Δ X , possiamo scrivere che la variazione della funzione è uguale aΔf= f (x 1 + Δx)- f (x 1 ). E questo cambiamento è avvenuto, ovviamente, nell'intervallo dei possibili valori della funzione x2 e x1, .

Si ritiene che se i valori x 2 e x 1, infinitamente vicino in grandezza tra loro, quindi Δ x \u003d x 2 - x 1, - infinitesimale.

Definizione derivata: Funzione derivata f (x) nel punto x 0 è chiamato il limite del rapporto di incremento della funzione Δ F a questo punto all'incremento dell'argomento Δx quando quest'ultimo tende a zero (infinitamente piccolo). Registrato così.

LimΔx →0 (Δf(x0)/ Δx)=limΔx→0 ((f (x + Δx)-f (x 0))/ Δx)=f ` (x0)

Trovare la derivata è chiamato differenziazione . Introdotto definizione di una funzione differenziabile : Funzione F , che ha una derivata in ogni punto di un certo intervallo, si dice differenziabile su questo intervallo.

1.2 Il significato fisico generalmente accettato della derivata di una funzione

E adesso sul significato fisico generalmente accettato del derivato .

sul suo cosiddetto fisico, o piuttosto pseudofisico e significati geometrici possono anche essere letti in qualsiasi libro di testo sulla matematica (analisi dei materiali, calcolo differenziale). Riassumo brevemente il loro contenuto sull'argomento sulla sua natura fisica:

Il significato fisico della derivata x `(t ) da una funzione continua x (t) nel punto t 0 è il tasso di variazione istantaneo del valore della funzione, a condizione che la variazione dell'argomento Δ T tende a zero.

E per spiegare questo agli studenti significato fisico gli insegnanti possono, ad esempio, così.

Immagina di volare su un aereo e di avere un orologio in mano. Quando voli, hai una velocità pari alla velocità di un aereo?, - l'insegnante si rivolge al pubblico.

Sì, rispondono gli studenti.

E qual è la velocità tua e dell'aereo in ogni momento sul tuo orologio?

Una velocità pari alla velocità di un aeroplano!, - rispondono all'unisono studenti bravi ed eccellenti.

Non proprio, dice l'insegnante. - La velocità, come concetto fisico, è il percorso di un aereo per unità di tempo (ad esempio, all'ora (km / h)), e quando hai guardato l'orologio, è passato solo un momento. Così, la velocità istantanea (la distanza percorsa in un istante) è la derivata della funzione che descrive la traiettoria dell'aeromobile nel tempo. Velocità istantanea: questo è il significato fisico della derivata.

1.3 Problemi di rigore della metodologia per la formazione del concetto matematico di derivata di una funzione.

UN pubblicostudenti, abituati dal sistema educativo docilmente,immediatamente e completamenteapprendere verità dubbie, di regola, non pone più domande all'insegnante concetto e significato fisico della derivata. Ma una persona curiosa, profondamente e indipendente non può assimilare questo come una rigorosa verità scientifica. Farà sicuramente una serie di domande, alle quali ovviamente non aspetterà una risposta motivata da un insegnante di qualsiasi grado. Le domande sono le seguenti.

1. Sono esatti (corretti, scientifici, aventi un valore oggettivo, essenza causale) tali concetti (espressioni) di scienza "esatta" - matematica come: momento - un valore infinitesimale, aspirazione a zero, aspirazione all'infinito, piccolezza, infinito, aspirazione? Come può sapere qualche entità nella grandezza del cambiamento, operare con concetti inconoscibili, senza grandezza? Di più Il grande Aristotele (384-322 a.C.) nel 4° capitolo del trattato "FISICA", da tempo immemorabile, trasmetteva: "Se l'infinito, poiché è infinito, è inconoscibile, allora l'infinito in quantità o grandezza è inconoscibile, quanto è grande, e l'infinito in natura è inconoscibile, qual è la sua qualità. Poiché gli inizi sono infiniti sia in quantità che in in natura, quindi conoscere quelle formate da esse [cose] è impossibile: dopotutto, solo allora crediamo di aver conosciuto cosa complicata quando scopriamo da cosa e quanti [inizi] consiste in ... " Aristotele, "Fisica", 4 cap..

2. Come può derivato ha un significato fisico identico a una certa velocità istantanea, se la velocità istantanea non è un concetto fisico, ma un concetto matematico molto condizionale, "impreciso", perché questo è il limite di una funzione, e il limite è un concetto matematico condizionale?

3. Perché il concetto matematico di punto, che ha una sola proprietà - la coordinata (non avendo altre proprietà: dimensione, area, intervallo) è sostituito nella definizione matematica della derivata dal concetto di intorno di un punto, che in realtà ha un intervallo, solo indefinito in grandezza. Per nel concetto di un derivato, i concetti e le quantità Δ x = x 2 - x 1 e x 0 .

4. Correttamente se affatto significato fisico spiegare con concetti matematici che non hanno significato fisico?

5. Perché la causalità (funzione), a seconda della causa (argomento, proprietà, parametro) deve avere esso stesso calcestruzzo finale definito in grandezza limite cambiamenti (conseguenze) con un indefinitamente piccolo, non avendo un cambiamento di grandezza nella grandezza della causa?

6. Ci sono funzioni in matematica che non hanno una derivata (funzioni non differenziabili in analisi non fluide). Ciò significa che in queste funzioni, quando il suo argomento (il suo parametro, proprietà) cambia, la funzione (oggetto matematico) non cambia. Ma non ci sono oggetti in natura che non cambierebbero quando le loro proprietà cambiano. Perché, allora, la matematica può permettersi libertà come l'uso di un modello matematico che non tiene conto delle relazioni fondamentali di causa ed effetto dell'universo?

Risponderò. Nel concetto classico proposto che esiste in matematica - velocità istantanea, derivata, fisica e scientifica in generale, non c'è un significato corretto e non può essere dovuto all'inesattezza non scientifica e all'inconoscibilità dei concetti usati per questo! Non esiste nel concetto di "infinito", e nel concetto di "istante", e nel concetto di "tesa verso lo zero o l'infinito".

Ma quello vero, ripulito dai concetti lassisti della fisica e della matematica moderne (tendenza allo zero, valore infinitesimale, infinito, ecc.)

IL SIGNIFICATO FISICO DEL CONCETTO DI FUNZIONE DERIVATA ESISTE!

Questo è ciò che verrà discusso ora.

1.4 Vero significato fisico e struttura causale della derivata.

Per comprenderne l'essenza fisica, “scuotersi dalle orecchie uno spesso strato di tagliatelle secolari”, appese ancora da Gottfried Leibniz (1646-1716) e dai suoi seguaci, bisognerà, come di consueto, ricorrere alla metodologia di conoscenze e rigorosi principi di base. È vero, va notato che a causa del relativismo prevalente, attualmente, questi principi non sono più rispettati nella scienza.

Lasciatemi divagare brevemente.

Secondo i credenti profondamente e sinceramente Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz, il cambiamento degli oggetti, il cambiamento delle loro proprietà, non è avvenuto senza la partecipazione dell'Onnipotente. Lo studio dell'Onnipotente fonte di variabilità da parte di qualsiasi scienziato naturale era a quel tempo irto di persecuzioni da parte di una potente chiesa e non era condotto per scopi di autoconservazione. Ma già nel 19° secolo, gli scienziati naturali l'hanno capito ESSENZA CAUSALE DEL CAMBIAMENTO DELLE PROPRIETÀ DI QUALSIASI OGGETTO - INTERAZIONI. "L'interazione è una relazione causale posta nel suo pieno sviluppo", notò Hegel (1770-1831) “Nel modo più vicino, l'interazione appare come la mutua causalità di sostanze presupposte, mutuamente condizionanti; ciascuno è, relativamente all'altro, sia una sostanza attiva che una sostanza passiva. . F. Engels (1820-1895) precisava: "L'interazione è la prima cosa che ci si presenta quando consideriamo il movimento (cambiamento) della materia nel suo insieme, dal punto di vista della moderna scienza naturale ... Pertanto, la scienza naturale conferma che ... quell'interazione è la vera causa finalis (causa radice ultima) delle cose. Non possiamo andare oltre la conoscenza di questa interazione proprio perché dietro non c'è più niente da sapere. Tuttavia, dopo aver affrontato formalmente la causa principale della variabilità, nessuna delle teste brillanti del XIX secolo iniziò a ricostruire l'edificio della scienza naturale.Di conseguenza, l'edificio è rimasto lo stesso, con un fondamentale "marciume". Di conseguenza, la struttura causale (interazione) è ancora assente nella stragrande maggioranza dei concetti di base delle scienze naturali (energia, forza, massa, carica, temperatura, velocità, quantità di moto, inerzia, ecc.), compresi concetto matematico della derivata di una funzione- come un modello matematico che descrive " quantità di cambiamento istantaneo" di un oggetto da un cambiamento "infinitamente piccolo" nel suo parametro causale. Non è stata ancora creata una teoria delle interazioni che combini anche le quattro interazioni fondamentali conosciute (elettromagnetica, gravitazionale, forte, debole). Ora è già "falciato" molto di più e gli "stipiti" stanno strisciando fuori ovunque. Pratica - il criterio della verità, rompe completamente tutti i modelli teorici costruiti su un tale edificio che pretendono di essere universali e globali. Pertanto, sarà comunque necessario ricostruire l'edificio della scienza naturale, perché non c'è nessun altro posto dove "nuotare", la scienza si è sviluppata da tempo con il metodo "poke" - stupidamente, costoso e inefficiente. La fisica del futuro, la fisica del XXI secolo e dei secoli successivi, deve diventare la fisica delle interazioni. E in fisica è semplicemente necessario introdurre un nuovo concetto fondamentale: "interazione tra eventi". Allo stesso tempo, viene fornita una base di base per i concetti e le relazioni di base della fisica e della matematica moderne, e solo in questo caso la formula radice è"causa finalis" (prima causa finale) formula per convalidare tutte le formule di base che funzionano nella pratica. Il significato delle costanti del mondo e molto altro è chiarito. E sono io per te caro lettore, ora te lo mostro.

COSÌ, formulazione del problema.

Delineiamo in termini generali modello. Lascia che un oggetto astratto di cognizione, conoscibile per dimensioni e natura (lo indichiamo -u) è un insieme relativo di natura (dimensione) e grandezza definite. L'oggetto e le sue proprietà sono un sistema causale. Un oggetto dipende in valore dal valore delle sue proprietà, parametri e in dimensione dalla loro dimensione. Il parametro causale, quindi, sarà indicato con -x, e il parametro investigativo sarà indicato con -u. In matematica, tale relazione causale è formalmente descritta da una funzione (dipendenza) dalle sue proprietà - parametri u = f (x). Un parametro che cambia (proprietà di un oggetto) comporta un cambiamento nel valore della funzione - un numero intero relativo. Inoltre, il valore conosciuto oggettivamente determinato dell'intero (numero) è un valore relativo ottenuto in relazione alla sua parte individuale (a un singolo standard oggettivo generalmente accettato dell'intero - u at, Un singolo standard è un valore formale, ma generalmente accettato come misura comparativa oggettiva.

Poi u =k*u piano . Il valore oggettivo del parametro (proprietà) è il rapporto con la parte unitaria (standard) del parametro (proprietà) -x= io* X Questo. Le dimensioni dell'intero e la dimensione del parametro ei loro standard di unità non sono identici. Probabilità K , iosono numericamente uguali a u, x, rispettivamente, poiché i valori di riferimento di u eX Questosono single. Come risultato delle interazioni, il parametro cambia e questo cambiamento causale comporta di conseguenza un cambiamento nella funzione (insieme relativo, oggetto, sistema).

Obbligatorio definire formale la dipendenza generale dell'entità del cambiamento dell'oggetto dalle interazioni - le ragioni di questo cambiamento. Questa affermazione del problema riflette l'approccio vero, causale, causale (secondo F. Bacon) coerente fisica dell'interazione.

Decisione e conseguenze.

L'interazione è un meccanismo evolutivo comune, la causa della variabilità. Cos'è effettivamente un'interazione (a corto raggio, a lungo raggio)? Perché il teoria generale interazione e manca ancora un modello teorico dell'interazione degli oggetti, portatori di proprietà commisurate nelle scienze naturali, dovremo creare(più su questo a).Ma dal momento che il lettore pensante vuole sapere sulla vera essenza fisica della derivata immediatamente e ora, allora riusciremo solo con conclusioni brevi, ma rigorose e necessarie da questo lavoro per comprendere l'essenza del derivato.

"Qualsiasi, anche la più complessa interazione di oggetti, può essere rappresentata su una tale scala di tempo e spazio (espansa nel tempo e visualizzata in un sistema di coordinate in modo tale) che in ogni momento del tempo, in un dato punto nello spazio , solo due oggetti, due portatori di proprietà proporzionate, interagiranno e in questo momento interagiranno solo con le loro due proprietà proporzionate.

« Qualsiasi cambiamento (lineare, non lineare) di qualsiasi proprietà (parametro) di una certa natura di qualsiasi oggetto può essere scomposto (rappresentato) come risultato (conseguenza) di eventi-interazioni della stessa natura, che seguono nello spazio e nel tempo formali, rispettivamente, in modo lineare o non lineare (uniforme o non uniforme). Allo stesso tempo, in ogni singola interazione evento elementare (interazione stretta), la proprietà cambia linearmente perché è dovuta all'unica ragione del cambiamento: un'interazione commisurata elementare (e quindi esiste una funzione di una variabile). ... Di conseguenza, qualsiasi cambiamento (lineare o non lineare), come risultato di interazioni, può essere rappresentato come la somma di cambiamenti lineari elementari che seguono nello spazio e nel tempo formali in modo lineare o non lineare.

« Per lo stesso motivo, qualsiasi interazione può essere scomposta in quanti di cambiamento (pezzi lineari indivisibili). Un quanto elementare di qualsiasi natura (dimensione) è il risultato di un evento-interazione elementare secondo una data natura (dimensione). La grandezza e la dimensione di un quanto è determinata dalla grandezza della proprietà interagente e dalla natura di questa proprietà. Ad esempio, con una collisione ideale e assolutamente elastica di sfere (senza tener conto delle perdite termiche e di altra energia), le sfere scambiano i loro momenti (proprietà proporzionali). Un cambiamento nella quantità di moto di una palla è una porzione di energia lineare (datale o tolta da essa) - c'è un quanto che ha la dimensione del momento angolare. Se le sfere con valori di momento fissi interagiscono, allora lo stato del valore del momento angolare di ciascuna sfera su qualsiasi intervallo di interazione osservato è il valore "consentito" (per analogia con le opinioni della meccanica quantistica).»

Nel formalismo fisico e matematico, è diventato generalmente accettato che qualsiasi proprietà in qualsiasi momento e in qualsiasi punto nello spazio (per semplicità, prendiamo una lineare, una coordinata) ha un valore che può essere espresso scrivendo

(1)

dov'è la dimensione

Questo record, tra le altre cose, è l'essenza e profondo significato fisico di un numero complesso, diverso dalla rappresentazione geometrica generalmente accettata (secondo Gauss), come un punto sul piano..( Nota. autore)

A sua volta, il modulo di variazione , indicato in (1) come , può essere espresso, tenendo conto degli eventi di interazione, come

(2)

significato fisico Questa base per un numero enorme delle relazioni più famose della scienza naturale, la formula radice, è che nell'intervallo di tempo e nell'intervallo di uno spazio lineare omogeneo (a coordinata singola), c'erano - eventi commisurati a corto raggio interazioni della stessa natura, che si susseguono nel tempo e nello spazio secondo le loro funzioni -distribuzioni di eventi nello spazio- e nel tempo. Ciascuno degli eventi è cambiato in alcuni file . Possiamo dire che in presenza di omogeneità di oggetti di interazione su un certo intervallo di spazio e tempo, stiamo parlando di su alcuni costante, lineare, valore medio della variazione elementare - valore derivato sull'entità del cambiamento , una funzione formalmente descritta che è caratteristica del mezzo di interazione e caratterizza l'ambiente e il processo di interazione di una certa natura (dimensione). Considerando che ci può essere diversi tipi funzioni di distribuzione degli eventi nello spazio e nel tempo , allora esistono dimensioni spazio-temporali variabili y come integrale delle funzioni di distribuzioneeventi nel tempo e spazio , vale a dire [tempo - t] e[ coordinata - x ] può essere alla potenza di k(k - diverso da zero).

Se designiamo, in un ambiente sufficientemente omogeneo, il valore dell'intervallo medio di tempo tra gli eventi - , e il valore dell'intervallo medio di distanza tra gli eventi - , allora possiamo scrivere che il numero totale di eventi nell'intervallo di tempo e spazio è uguale a

(3)

Questo registro fondamentale(3) è coerente con le identità spazio-temporali di base delle scienze naturali (elettrodinamica di Maxwell, idrodinamica, teoria delle onde, legge di Hooke, formula dell'energia di Planck, ecc.) ed è la vera causa principale della correttezza logica delle costruzioni fisiche e matematiche . Questa voce (3) è coerente con il noto "teorema della media" in matematica. Riscriviamo (2) tenendo conto di (3)

(4) - per rapporti di tempo;

(5) - per le relazioni spaziali.

Da queste equazioni (3-5) segue diritto comune interazioni:

il valore di ogni cambiamento di un oggetto (proprietà) è proporzionale al numero di eventi-interazioni (interazioni strette) ad esso commisurate che lo provocano. Allo stesso tempo, la natura del cambiamento (il tipo di dipendenza nel tempo e nello spazio) corrisponde alla natura della sequenza nel tempo e nello spazio di questi eventi.

Noi abbiamo rapporti di base generali delle scienze naturali per il caso dello spazio e del tempo lineari, sgomberati dal concetto di infinito, aspirazioni allo zero, velocità istantanea, ecc. Per lo stesso motivo, le designazioni di infinitamente piccoli dt e dx non sono usate per lo stesso motivo. Al loro posto, Δti e Δxi finiti . Da queste generalizzazioni (2-6) segue:

- il significato fisico generale della derivata (differenziale) (4) e del gradiente (5), nonché delle costanti "mondiali", come i valori del cambiamento lineare medio (medio) della funzione (oggetto) con un singolo evento -interazione dell'argomento (proprietà) avente una certa dimensione (natura) con proprietà proporzionate (della stessa natura) di altri oggetti. Il rapporto tra l'entità del cambiamento e il numero di eventi-interazioni che lo avviano è in realtà il valore della derivata della funzione, che riflette la dipendenza causale dell'oggetto dalla sua proprietà.

; (7) - derivata della funzione

; (8) - gradiente di funzione

- significato fisico dell'integrale, come somma dei valori della funzione cambia durante gli eventi per argomento

; (9)

- sostanziazione (dimostrazione e significato fisico comprensibile) del teorema di Lagrange per incrementi finiti(formule degli incrementi finiti), per molti aspetti fondamentali per il calcolo differenziale. Per con funzioni lineari e i valori dei loro integrali nelle espressioni (4)(5) e hanno luogo. Poi

(10)

(10.1)

La formula (10.1) è in realtà la formula di Lagrange per incrementi finiti [ 5].

Quando si specifica un oggetto con un insieme delle sue proprietà (parametri), otteniamo dipendenze simili per la variabilità dell'oggetto in funzione della variabilità delle sue proprietà (parametri) e chiariamo fisico il significato della derivata parziale di una funzione diversi parametri variabili.

(11)

Formula di Taylor per una funzione di una variabile, anch'essa diventata classica,

ha la forma

(12)

Rappresenta la scomposizione di una funzione (sistema causale formale) in una serie in cui il suo cambiamento è uguale a

è scomposto in componenti, secondo il principio di scomposizione del flusso generale di eventi della stessa natura in sottoflussi aventi differenti caratteristiche di inseguimento. Ogni sottoflusso caratterizza la linearità (non linearità) della sequenza di eventi nello spazio o nel tempo. Questo è significato fisico della formula di Taylor . Così, ad esempio, il primo termine della formula di Taylor identifica il cambiamento nel seguire linearmente gli eventi nel tempo (spazio).

A . Secondo A seguito non lineare visualizzare eventi, ecc.

- il significato fisico di un tasso di variazione costante (movimento)[m/s], che ha il significato di un unico spostamento lineare (variazione, incremento) di un valore (coordinate, traiettorie), con eventi che seguono linearmente.

(13)

Per questo motivo, la velocità non è una dipendenza causale da un sistema di coordinate o da un intervallo di tempo scelto formalmente. La velocità è una dipendenza informale dalla funzione di successione (distribuzione) nel tempo e nello spazio degli eventi che porta a un cambiamento di coordinate.

(14)

E qualsiasi movimento complesso può essere scomposto in componenti, in cui ogni componente dipende dai seguenti eventi lineari o non lineari. Per questo motivo, la cinematica puntuale (equazione puntuale) viene espansa secondo la formula di Lagrange o Taylor.

È quando la sequenza lineare degli eventi diventa non lineare che la velocità diventa accelerazione.

- significato fisico di accelerazione- , come valore numericamente uguale ad un singolo spostamento , con una successione non lineare di eventi-interazioni che provocano tale spostamento . In cui, O . Allo stesso tempo, lo spostamento totale nel caso di successione non lineare di eventi (con un cambiamento lineare nella velocità di successione di eventi) per equivale (15) - formula nota da banco di scuola

- il significato fisico dell'accelerazione in caduta libera di un oggetto- , come valore costante, numericamente uguale al rapporto della forza lineare agente sull'oggetto (appunto, il cosiddetto spostamento lineare "istantaneo"), correlato al numero non lineare di successivi eventi-interazioni con l'ambiente in tempo formale, causando questa forza.

Di conseguenza, un valore uguale al numero seguito non lineare eventi o relazione - ha ricevuto il nome peso corporeo , e il valore - peso corporeo , come le forze agenti sul corpo (sul supporto) in quiete.Spieghiamo quanto sopra, perché concetto fisico fondamentale di massa ampiamente utilizzato nella fisica moderna non è affatto strutturato causalmente da alcuna interazione. E la fisica conosce i fatti dei cambiamenti nella massa dei corpi durante il corso di certe reazioni (interazioni fisiche) al loro interno. Ad esempio, durante il decadimento radioattivo, la massa totale della materia diminuisce.Quando un corpo è a riposo rispetto alla superficie terrestre, il numero totale di eventi-interazioni di particelle di questo corpo con un mezzo disomogeneo con un gradiente (altrimenti chiamato campo gravitazionale) non cambia. E questo significa che la forza che agisce sul corpo non cambia e la massa inerziale è proporzionale al numero di eventi che si verificano oggetti del corpo e oggetti dell'ambiente, pari al rapporto tra la forza e la sua accelerazione costante .

Quando un corpo si muove in un campo gravitazionale (cade), anche il rapporto tra la forza variabile che agisce su di esso e il numero variabile di eventi rimane costante e il rapporto - corrisponde alla massa gravitazionale. ciò implica identità analitica di massa inerziale e gravitazionale. Quando un corpo si muove in modo non lineare, ma orizzontalmente rispetto alla superficie terrestre (lungo la superficie equipotenziale sferica del campo gravitazionale terrestre), allora il campo gravitazionale non ha gradiente in questa traiettoria. Ma qualsiasi forza che agisce sul corpo è proporzionale al numero di eventi che accelerano e decelerano il corpo. Cioè, nel caso movimento orizzontale, la ragione del movimento del corpo cambia semplicemente. E un numero di eventi che cambia in modo non lineare dà accelerazione al corpo e (seconda legge di Newton). Con una sequenza lineare di eventi (sia in accelerazione che in decelerazione), la velocità del corpo è costante e la quantità fisica, con una tale sequenza di eventi, in la fisica si chiama quantità di moto.

- Il significato fisico del momento angolare, come il movimento del corpo sotto l'influenza di eventi che si susseguono linearmente nel tempo.

(16)

- Il significato fisico della carica elettrica oggetto introdotto nel campo, come rapporto tra la forza agente sull'oggetto "carico" (forza di Lorentz) nel punto del campo e il valore della carica del punto del campo. Infatti la forza è il risultato dell'interazione delle proprietà proporzionali dell'oggetto introdotto nel campo e dell'oggetto del campo. L'interazione si esprime nel cambiamento di queste proprietà proporzionali di entrambi. Per effetto di ogni singola interazione, gli oggetti si scambiano i moduli dei loro mutamenti, mutandosi reciprocamente, che è il valore della forza “istantanea” che agisce su di essi, come derivata della forza agente su un intervallo di spazio. Ma nella fisica moderna, il campo, un tipo speciale di materia, purtroppo non ha una carica (non ha oggetti portatori di carica), ma ha una caratteristica diversa: la tensione sull'intervallo (la differenza di potenziali (cariche) in un certo vuoto). Così, carica nella sua grandezza mostra quante volte la forza che agisce su un oggetto carico differisce dall'intensità del campo in un dato punto (dalla forza "istantanea"). (17)

Poi la carica positiva dell'oggetto– è vista come una carica che supera in valore assoluto (maggiore) la carica del punto di campo, e negativa - inferiore alla carica del punto di campo. Ciò implica la differenza nei segni delle forze di repulsione e attrazione. Il che determina la presenza di una direzione per la forza agente di "repulsione - attrazione". Si scopre che la carica è quantitativamente uguale al numero di eventi-interazioni che la cambiano in ogni evento per l'entità dell'intensità del campo. L'entità della carica, secondo il concetto di numero (valore), è una relazione con un riferimento, unità, tassa di prova -. Da qui . Quando la carica si muove, quando gli eventi seguono linearmente (il campo è omogeneo), gli integrali , e quando il campo omogeneo si muove rispetto alla carica . Da qui le note relazioni della fisica ;

- Il significato fisico dell'intensità del campo elettrico, come il rapporto tra la forza che agisce sull'oggetto caricato e il numero di eventi-interazioni in corso dell'oggetto caricato con il mezzo caricato. C'è una caratteristica costante del campo elettrico. È anche la derivata rispetto alla coordinata della forza di Lorentz.Intensità del campo elettrico- questa è una quantità fisica numericamente uguale alla forza che agisce su una carica unitaria in una singola interazione di evento () di un corpo carico e un campo (mezzo caricato).

(18)

-Il significato fisico di potenziale, corrente, tensione e resistenza (conduttività elettrica).

Per quanto riguarda la variazione dell'entità della carica

(19)

(20)

(21)

Dove è chiamato il potenziale del punto di campo ed è considerato l'energia caratteristica di un dato punto di campo, ma in realtà è la carica del punto di campo, che differisce di un fattore della carica di prova (di riferimento). O: . Durante l'interazione della carica introdotta nel campo e della carica del punto del campo, si verifica uno scambio di proprietà commisurate: le cariche. Lo scambio è un fenomeno descritto come "la forza di Lorentz agisce sulla carica immessa nel campo", pari in valore assoluto all'entità della variazione di carica, nonché all'entità della variazione relativa del potenziale del punto di campo . Quando una carica viene introdotta nel campo terrestre, ultima modifica può essere trascurato a causa della relativa piccolezza di questo cambiamento rispetto all'enorme valore della carica totale di un punto nel campo terrestre.

Da (20) è evidente che la corrente (I) è la derivata temporale dell'entità della variazione di carica in un intervallo di tempo, cambiando la carica in grandezza in un evento-interazione (interazione a corto raggio) con la carica del medio (punti di campo).

* Fino ad ora, in fisica, si credeva che se: un conduttore ha una sezione trasversale di area S, la carica di ciascuna particella è uguale a q 0, e il volume del conduttore, limitato dalle sezioni trasversali 1 e 2 e dalla lunghezza (), contiene particelle, dove n è la concentrazione di particelle. Questa è la carica totale. Se le particelle si muovono nella stessa direzione con una velocità media v, allora nel tempo tutte le particelle racchiuse nel volume in esame attraverseranno la sezione trasversale 2. Pertanto, l'intensità della corrente è

.

Lo stesso, possiamo dire nel caso della nostra generalizzazione metodologica (3-6), solo invece del numero di particelle, dovremmo dire il numero di eventi, che nel significato è più vero, perché ci sono molte più particelle cariche (eventi) in un conduttore rispetto, ad esempio, agli elettroni in un metallo. La dipendenza verrà riscritta nella forma , quindi, in Di nuovo si conferma la validità di (3-6) e di altre generalizzazioni di questo lavoro.

Due punti di un campo omogeneo, distanziati nello spazio, aventi diversi potenziali (cariche) hanno un'energia potenziale l'uno rispetto all'altro, che è numericamente uguale al lavoro per cambiare il potenziale da un valore a . È uguale alla loro differenza.

. (22)

Altrimenti, si può scrivere la legge di Ohm eguagliando correttamente

. (23)

Dove in questo caso è la resistenza, che mostra il numero di eventi necessari per modificare l'entità della carica, a condizione che in ogni evento la carica cambierà di un valore costante della cosiddetta corrente "istantanea", a seconda delle proprietà di il conduttore. Da ciò ne consegue che la corrente è una derivata temporale della quantità e del concetto di tensione. Va ricordato che in unità SI, la conduttività elettrica è espressa in Siemens con la dimensione: Cm \u003d 1 / Ohm \u003d Ampere / Volt \u003d kg -1 m -2 s ³A². La resistenza in fisica è il reciproco del prodotto della conducibilità elettrica (resistenza di una sezione unitaria del materiale) e la lunghezza del conduttore. Cosa si può scrivere (nel senso di generalizzazione (3-6)) come

(24)

- Significato fisico dell'induzione del campo magnetico. Empiricamente, è stato riscontrato che il rapporto tra il valore massimo del modulo di forza agente su un conduttore percorso da corrente (forza Ampère) e l'intensità della corrente - I rispetto alla lunghezza del conduttore - l, non dipende dall'intensità della corrente nel conduttore, né sulla lunghezza del conduttore. È stata assunta come caratteristica del campo magnetico nel luogo in cui si trova il conduttore - l'induzione del campo magnetico, valore dipendente dalla struttura del campo - , che corrisponde a

(25)

e da allora .

Quando ruotiamo la cornice in un campo magnetico, prima di tutto aumentiamo il numero di eventi-interazioni di oggetti carichi della cornice e oggetti carichi del campo. Da ciò segue la dipendenza dell'EMF e della corrente nel frame dalla velocità di rotazione del frame e dall'intensità del campo vicino al frame. Fermiamo il frame - non ci sono interazioni - non c'è corrente. z vortice (cambiamento) campo: la corrente è andata nel frame.

- Il significato fisico della temperatura. Oggi in fisica il concetto - una misura della temperatura non è del tutto banale. Un kelvin è pari a 1/273,16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell'acqua. L'inizio della scala (0 K) coincide con lo zero assoluto. Conversione in gradi Celsius: ° С \u003d K -273,15 (la temperatura del punto triplo dell'acqua è 0,01 ° C).
Nel 2005 è stata perfezionata la definizione di kelvin. Nell'allegato tecnico obbligatorio al testo ITS-90, il comitato consultivo sulla termometria ha stabilito i requisiti per la composizione isotopica dell'acqua all'attuazione della temperatura del punto triplo dell'acqua.

Tuttavia, significato fisico ed essenza del concetto di temperatura molto più semplice e chiaro. La temperatura, nella sua essenza, è una conseguenza di eventi-interazioni che si verificano all'interno della sostanza che hanno cause sia "interne" che "esterne". Più eventi - più temperatura, meno eventi- temperatura più bassa. Da qui il fenomeno del cambiamento di temperatura in molte reazioni chimiche. Diceva anche P. L. Kapitsa "... la misura della temperatura non è il movimento stesso, ma la casualità di questo movimento. La casualità dello stato del corpo determina il suo stato di temperatura, e questa idea (sviluppata per la prima volta da Boltzmann) che un certo stato di temperatura del corpo non è affatto determinato dall'energia del movimento, ma dalla casualità di questo movimento, ed è quel nuovo concetto nella descrizione dei fenomeni di temperatura, che dobbiamo usare ... " (Rapporto del premio Nobel 1978 Petr Leonidovich Kapitsa "Proprietà dell'elio liquido", letto alla conferenza "Problemi scienza moderna"all'Università di Mosca il 21 dicembre 1944)
Sotto la misura del caos si dovrebbe comprendere la caratteristica quantitativa del numero interazioni evento per unità di tempo in un'unità di volume di materia - la sua temperatura. Non è un caso che nel 2011 il Comitato internazionale per i pesi e le misure modificherà la definizione di kelvin (misura di temperatura) per eliminare le condizioni difficilmente riproducibili del "punto triplo dell'acqua". Nella nuova definizione, il kelvin sarà espresso in termini di secondi e del valore della costante di Boltzmann. Che corrisponde esattamente alla generalizzazione di base (3-6) di questo lavoro. In questo caso, la costante di Boltzmann esprime il cambiamento di stato di una certa quantità di materia durante un singolo evento (vedi il significato fisico della derivata), e la grandezza e la dimensione del tempo caratterizzano il numero di eventi in un intervallo di tempo . Questo lo dimostra ancora una volta struttura causale della temperatura - eventi-interazioni. Come risultato di eventi-interazioni, gli oggetti in ogni evento si scambiano energia cinetica (momenti di impulso come nella collisione di palline), e il mezzo acquisisce infine l'equilibrio termodinamico (la prima legge della termodinamica).

- Il significato fisico di energia e forza.

Nella fisica moderna, l'energia E ha una dimensione diversa (natura). Quante nature, quante energie. Per esempio:

Forza moltiplicata per la lunghezza (E ≈ F l≈N*m);

Pressione per volume (E ≈ P V≈N*m 3 /m 2 ≈N*m);

L'impulso moltiplicato per la velocità (E ≈ p v≈kg * m / s * m / s ≈ (N * s 2) / m * (m / s * m / s) ≈ N * m);

Massa per il quadrato della velocità (E ≈ m v 2 ≈N*m);

Corrente moltiplicata per tensione (E ≈ I U ≈

Da queste relazioni deriva un raffinato concetto di energia e una connessione con un unico standard (unità di misura) di energia, eventi e cambiamento.

Energia, – è una caratteristica quantitativa di un cambiamento in qualsiasi parametro fisico della materia sotto l'influenza di eventi-interazioni della stessa dimensione, che causano questo cambiamento. Altrimenti, possiamo dire che l'energia è una caratteristica quantitativa applicata per qualche tempo (a una certa distanza) alla proprietà di una forza agente esterna. La grandezza dell'energia (numero) è il rapporto tra la grandezza di un cambiamento di una certa natura e lo standard formale, generalmente accettato, di energia di questa natura. La dimensione dell'energia è la dimensione dello standard energetico formale, generalmente accettato. Causalmente, la grandezza e la dimensione dell'energia, il suo cambiamento nel tempo e nello spazio, dipendono formalmente dalla grandezza totale del cambiamento in relazione allo standard e alla dimensione dello standard, e informalmente dipendono dalla natura della successione degli eventi.

Il valore totale del cambiamento - dipende dal numero di eventi-interazioni che modificano il valore del cambiamento totale in un evento da - la forza unitaria media - il valore derivato.

Lo standard di energia di una certa natura (dimensione) deve corrispondere al concetto generale standard (singolarità, comunanza, immutabilità), hanno la dimensione della funzione di sequenza di eventi nello spazio-tempo e il valore modificato.

Questi rapporti, infatti, sono comuni per l'energia di qualsiasi cambiamento nella materia.

A proposito di forza. e il valore o infatti c'è la stessa forza “istantanea” che cambia energia.

. (26)

Così, sotto concetto generale L'inerzia dovrebbe essere intesa come il valore di un cambiamento relativo elementare di energia sotto l'azione di un singolo evento-interazione (a differenza della forza, non correlata con l'ampiezza dell'intervallo, ma la presunta presenza di un intervallo di invarianza dell'azione), che ha un effettivo intervallo di tempo (intervallo di spazio) della sua invarianza fino all'evento successivo.

Un intervallo è la differenza tra due punti nel tempo dell'inizio di questa e delle successive interazioni di eventi comparabili, o due coordinate di punti di eventi nello spazio.

Inerzia ha la dimensione dell'energia, perché l'energia è la somma integrale dei valori di inerzia nel tempo sotto l'azione di eventi-interazioni. La quantità di cambiamento di energia è uguale alla somma dell'inerzia

(27)

Altrimenti, possiamo dire che l'inerzia impartita a una proprietà astratta dalla esima interazione di evento è l'energia del cambiamento di proprietà, che ha avuto un certo tempo di invarianza fino alla successiva interazione di evento;

- il significato fisico del tempo come modo formale di conoscere l'entità della durata del cambiamento (invarianza), come modo di misurare l'entità della durata rispetto allo standard formale della durata, come misura della durata del cambiamento (durata, durata

Ed è ora di porre fine alle numerose speculazioni sull'interpretazione di questo concetto di base della scienza naturale.

- significato fisico dello spazio delle coordinate , come valori (misure) di cambiamento (percorsi, distanze),

(32)

che ha la dimensione di uno standard formale unitario dello spazio (coordinate) e il valore della coordinata, come parte integrante della funzione della successione degli eventi nello spazio uguale a totale coordinare gli standard sull'intervallo . Quando si misura la coordinata, per comodità, cambia linearmente integrando una funzione, il cui integrale è uguale al numero di intervalli di riferimento formalmente scelti di coordinate unitarie;

- significato fisico di tutte le basi Proprietà fisiche(parametri) che caratterizzano le proprietà di un mezzo durante l'interazione elementare commisurata con esso (permeabilità dielettrica e magnetica, costante di Planck, coefficienti di attrito e tensione superficiale, calore specifico, costanti mondiali, ecc.).

Si ottengono così nuove dipendenze che hanno un'unica forma originaria di notazione e un unico significato causale metodologicamente uniforme. E questo significato causale viene acquisito con l'introduzione di un principio fisico globale - "interazione tra eventi" nella scienza naturale.

Ecco, caro lettore, cosa dovrebbe essere nei termini più generali una nuova matematica dotata di significato fisico e certezza E nuova fisica dell'interazione del 21° secolo , ripulito da uno sciame di concetti irrilevanti, privi di certezza, dimensione e dimensione, e quindi di buon senso. Tale, ad esempio, Come derivata classica e velocità istantanea - avere poco in comune con concetto fisico velocità. Come concetto di inerzia - una certa capacità dei corpi di mantenere la velocità ... Come sistema di riferimento inerziale (ISO) , che non ha nulla a che fare con il concetto di quadro di riferimento(CO). Per ISO, a differenza del solito quadro di riferimento di riferimento (CO) non è un sistema oggettivo di conoscenza della grandezza del movimento (cambiamento). Rispetto all'ISO, per sua definizione, i corpi riposano o si muovono solo in linea retta o uniformemente. E anche tante altre cose che sono state replicate stupidamente per molti secoli come verità incrollabili. Queste pseudo-verità, che sono diventate fondamentali, non sono più capaci di fondamentalmente, coerentemente e causalmente descrivere con dipendenze generali numerosi fenomeni dell'universo, esistenti e mutevoli secondo le leggi uniformi della natura.

1. Letteratura.

1. Hegel GWF Enciclopedia delle scienze filosofiche: In 3 volumi Vol. 1: Scienza della Logica. M., 197 3

2. Hegel GWF , Soch., volume 5, M., 1937, pag. 691.

3. F. Engels. P.S.S. v.20, pag. 546.

1.1 Alcuni problemi di fisica 3

2. Derivato

2.1 Tasso di cambio di funzione 6

2.2 Funzione derivata 7

2.3 Derivata di una funzione potenza 8

2.4 Significato geometrico della derivata 10

2.5 Differenziazione delle funzioni

2.5.1 Differenziare i risultati delle operazioni aritmetiche 12

2.5.2 Differenziazione di complessi e funzioni inverse 13

2.6 Derivate di funzioni definite parametricamente 15

3. Differenziale

3.1 Differenziale e suo significato geometrico 18

3.2 Proprietà differenziali 21

4. Conclusione

4.1 Appendice 1. 26

4.2 Appendice 2. 29

5. Elenco della letteratura utilizzata 32

1. Introduzione

1.1 Alcuni problemi di fisica. Considera semplici fenomeni fisici: moto rettilineo e distribuzione lineare della massa. Per studiarli, vengono introdotte rispettivamente la velocità di movimento e la densità.

Analizziamo un fenomeno come la velocità di movimento e i concetti correlati.

Lascia che il corpo si muova in linea retta e conosciamo la distanza , passato dal corpo per ciascuno tempo a disposizione , cioè conosciamo la distanza in funzione del tempo:

L'equazione
chiamato l'equazione del moto e la linea che definisce nel sistema di assali
- programma di movimento.

Considera il moto del corpo durante l'intervallo di tempo
da qualche momento fino al momento
. Nel tempo il corpo ha percorso un sentiero, e nel tempo un sentiero
. Quindi, in unità di tempo ha percorso una distanza

.

Se il moto è uniforme, allora esiste una funzione lineare:

In questo caso
, e la relazione
mostra quante unità del percorso sono per unità di tempo; allo stesso tempo, rimane costante, indipendentemente da quale momento nel tempo viene preso, non su quale incremento di tempo viene preso . È un atteggiamento permanente chiamato velocità uniforme.

Ma se il moto è irregolare, allora il rapporto dipende

da , e da . Si chiama la velocità media di movimento nell'intervallo di tempo da a e denotato da :

Durante questo intervallo di tempo, a parità di distanza percorsa, il movimento può avvenire nei modi più diversi; graficamente, questo è illustrato dal fatto che tra due punti sul piano (punti
nella fig. 1) puoi disegnare una varietà di linee
- grafici di movimenti in un dato intervallo di tempo, e tutti questi vari movimenti corrispondono alla stessa velocità media.

In particolare, tra i punti percorre una linea retta
, che è il grafico dell'uniforme nell'intervallo
movimento. Quindi la velocità media mostra quanto velocemente devi muoverti uniformemente per passare nello stesso intervallo di tempo la stessa distanza
.

Lasciando lo stesso , diminuiamo. Velocità media calcolata per l'intervallo modificato
, che si trova all'interno dell'intervallo dato, può, ovviamente, essere diverso da in; per tutto l'intervallo . Ne consegue che la velocità media non può essere considerata una caratteristica soddisfacente del movimento: essa (velocità media) dipende dall'intervallo per il quale viene effettuato il calcolo. Basato sul fatto che la velocità media nell'intervallo dovrebbe essere considerato quanto meglio caratterizza il movimento, tanto meno , Facciamolo andare a zero. Se allo stesso tempo c'è un limite di velocità media, allora viene preso come velocità di movimento questo momento .

Definizione. velocità moto rettilineo in un dato istante è detto limite della velocità media corrispondente all'intervallo , in quanto tende a zero:

Esempio. Scriviamo la legge della caduta libera:

.

Per il tasso medio di caduta nell'intervallo di tempo, abbiamo

e per la velocità del momento

.

Ciò dimostra che la velocità di caduta libera è proporzionale al tempo di movimento (caduta).

2. Derivato

Il tasso di variazione della funzione. Funzione derivata. Derivata di una funzione di potenza.

2.1 Il tasso di variazione della funzione. Ciascuno dei quattro concetti speciali: velocità di movimento, densità, capacità termica,

velocità reazione chimica, nonostante la significativa differenza nel loro significato fisico, è, da un punto di vista matematico, come è facile vedere, uno e lo stesso caratteristico della funzione corrispondente. Tutti loro sono tipi particolari del cosiddetto tasso di variazione di una funzione, definito, così come i concetti speciali elencati, con l'aiuto del concetto di limite.

Analizziamo quindi vista generale Domanda sulla velocità di variazione di una funzione
, astraendo dal significato fisico delle variabili
.

Lascia prima
- funzione lineare:

.

Se la variabile indipendente ottiene un incremento
, poi la funzione ottiene l'incremento qui
. Atteggiamento
rimane costante, indipendentemente da quale funzione viene considerata, né da quale viene assunta .

Questa relazione è chiamata tasso di cambio funzione lineare. Ma se la funzione non è lineare, allora la relazione

dipende anche da , e da . Questo rapporto caratterizza solo "in media" la funzione quando la variabile indipendente cambia da data a
; è uguale alla velocità di tale funzione lineare, che, data ha lo stesso incremento
.

Definizione.Atteggiamento chiamatovelocità media funzione cambia nell'intervallo
.

È chiaro che più piccolo è l'intervallo considerato, migliore è la velocità media che caratterizza il cambiamento nella funzione, quindi forziamo tendono a zero. Se allo stesso tempo c'è un limite alla velocità media, allora viene preso come misura il tasso di variazione della funzione per un dato , E si chiama tasso di variazione della funzione.

Definizione. Tasso di cambio di funzione vdato punto è chiamato il limite del tasso medio di variazione della funzione nell'intervallo quando si va a zero:

2.2 Funzione derivata. Tasso di cambio di funzione

determinato dalla seguente sequenza di azioni:

1) per incremento , assegnato a questo valore , trovare il corrispondente incremento della funzione

;

2) si redige una relazione;

3) trovare il limite di questo rapporto (se esiste)

con una tendenza arbitraria a zero.

Come già notato, se questa funzione non lineare

poi la relazione dipende anche da , e da . Il limite di questo rapporto dipende solo dal valore selezionato. ed è quindi una funzione di . Se la funzione lineare, allora il limite considerato non dipende da , cioè sarà un valore costante.

Questo limite è chiamato derivata di una funzione o semplicemente funzione derivata ed è contrassegnato in questo modo:
.Leggi: "ef colpo da » o "ef prim da".

Definizione. derivato di questa funzione è chiamato il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento della variabile indipendente con un'aspirazione arbitraria, questo incremento a zero:

.

Il valore della derivata di una funzione in un dato punto solitamente denotato
.

Usando la definizione introdotta della derivata, possiamo dire che:

1) La velocità del moto rettilineo è la derivata di

funzioni Di (derivata del cammino rispetto al tempo).

2.3 Derivata di una funzione potenza.

Troviamo le derivate di alcune semplici funzioni.

Permettere
. Abbiamo

,

cioè derivato
è un valore costante pari a 1. Questo è ovvio, perché - una funzione lineare e il tasso di variazione è costante.

Se
, Quello

Permettere
, Poi

È facile notare uno schema nelle espressioni per le derivate di una funzione di potenza
A
. Proviamo che, in generale, la derivata di per ogni esponente intero positivo è uguale a
.

.

L'espressione al numeratore è trasformata dalla formula binomiale di Newton :

Sul lato destro dell'ultima uguaglianza c'è la somma dei termini, il primo dei quali non dipende da , e il resto tende a zero insieme a . Ecco perché

.

Quindi, una funzione potenza con un numero intero positivo ha una derivata pari a:

.

A
le formule derivate sopra derivano dalla formula generale trovata.

Questo risultato è vero per qualsiasi indicatore, ad esempio:

.

Consideriamo ora separatamente la derivata della costante

.

Poiché questa funzione non cambia con un cambiamento nella variabile indipendente, allora
. Quindi,

,

T. e. la derivata della costante è nulla.

2.4 Significato geometrico della derivata.

Derivata di funzioni ha un significato geometrico molto semplice e chiaro, che è strettamente correlato al concetto di tangente a una linea.

Definizione. Tangente
alla linea
al suo punto
(figura 2). si chiama posizione limite della retta passante per il punto, e un altro punto
linee quando questo punto tende a fondersi con il punto dato.

.Esercitazione

C'è una media velocitài cambiamentifunzioni in direzione della retta. 1 si chiama derivata funzioni nella direzione ed è indicato. Quindi - (1) - velocitài cambiamentifunzioni al punto...

Limite e continuità di una funzione

Studio

Il significato fisico della derivata. La derivata caratterizza velocitài cambiamenti una grandezza fisica relativa a ... . A quale valore dell'argomento sono uguali velocitài cambiamentifunzioni e Decisione. , e e. Usando il significato fisico della derivata...

Il concetto di funzione di una variabile e metodi per specificare le funzioni

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Il concetto di calcolo differenziale caratterizzante velocitài cambiamentifunzioni; P. è funzione, definito per ogni x ... derivata continua (caratterizzazione del calcolo differenziale velocitài cambiamentifunzioni a questo punto). Poi e...

§ 5 Derivate parziali di funzioni complesse Differenziali di funzioni complesse 1 Derivate parziali di una funzione complessa

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