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직각 삼각형의 예각의 사인이라고 불리는 것. 정삼각형

지침

코사인을 찾아야 하는 경우 각도임의의 삼각형에서는 코사인 정리를 사용해야 합니다.
각도가 예리한 경우: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
if 각도 : cos? = (c2 - a2 - b2)/(2ab), 여기서 a, b는 모서리에 인접한 변의 길이이고 c는 모서리 반대쪽 변의 길이입니다.

유용한 조언

코사인의 수학적 표기법은 cos입니다.
코사인 값은 1보다 크고 -1보다 작을 수 없습니다.

출처:

각도의 코사인을 계산하는 방법
단위원의 삼각함수

코사인각도의 기본 삼각 함수입니다. 코사인을 결정하는 기능은 다양한 축에서 벡터의 투영을 결정할 때 벡터 대수학에서 유용합니다.

지침

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

변 a, b, c가 각각 3, 4, 5mm인 삼각형이 있습니다.

찾다 코사인큰 변 사이의 각도.

측면 a의 반대쪽 각도를 ?로 표시하면 위에서 얻은 공식에 따라 다음을 얻습니다.

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0.8

답: 0.8.

삼각형이 직각 삼각형이면 다음을 찾으려면 코사인각의 두 변의 길이를 아는 것으로 충분합니다( 코사인직각은 0입니다).

변 a, b, c가 있는 직각 삼각형이 있다고 하자. 여기서 c는 빗변이다.

모든 옵션을 고려하십시오.

(삼각형의) 변 a와 b의 길이를 알고 있는 경우 cos?를 구하십시오.

피타고라스의 정리를 추가로 사용해 봅시다.

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

결과 공식의 정확성을 위해 예제 1에서 이를 대체합니다.

기본 계산을 수행하면 다음을 얻습니다.

유사하게, 있다 코사인직사각형으로 삼각형다른 경우:

알려진 a와 c(빗변과 반대쪽 다리), cos를 찾으세요?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.

예제에서 a=3 및 c=5 값을 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

b와 c는 알려져 있습니다(빗변과 인접한 다리).

왜냐하면 찾기?

유사한 변환을 수행한 후(예제 2 및 3에 표시됨) 이 경우 다음을 얻습니다. 코사인 V 삼각형매우 간단한 공식을 사용하여 계산됩니다.

파생된 공식의 단순성은 기본적인 방식으로 설명됩니다. 사실, 모서리에 인접해 있습니까? 다리는 빗변의 투영이며 길이는 빗변의 길이에 cos?를 곱한 것과 같습니다.

첫 번째 예에서 b=4 및 c=5 값을 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

따라서 모든 공식이 정확합니다.

팁 5: 직각 삼각형에서 예각을 찾는 방법

곧장 탄소삼각형은 아마도 역사적 관점에서 가장 유명한 것 중 하나일 것입니다. 기하학적 모양. 피타고라스의 "바지"는 "유레카!"와만 경쟁할 수 있습니다. 아르키메데스.

필요할 것이예요

- 삼각형 그리기;
- 자;
- 각도기.

지침

삼각형 내각의 합은 180도입니다. 직사각형으로 삼각형한 각도(오른쪽)는 항상 90도이고 나머지 각도는 예각입니다. 각각 90도 미만. 직사각형의 각도를 결정하려면 삼각형직선이면 자로 삼각형의 변을 측정하고 가장 큰 것을 결정하십시오. 이것은 빗변(AB)이고 직각(C)과 반대입니다. 나머지 두 변은 직각과 다리(AC, BC)를 형성합니다.

어떤 각도가 예각인지 결정했으면 각도기를 사용하여 각도를 계산하거나 수학 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

각도기를 사용하여 각도 값을 결정하려면 각도기 중앙에있는 눈금자의 특수 표시와 상단 (문자 A로 표시)을 정렬하십시오. AC 다리는 상단 가장자리와 일치해야합니다. 각도기의 반원 부분에 빗변 AB가 통과하는 지점을 표시하십시오. 이 지점의 값은 도 단위의 각도 값에 해당합니다. 각도기에 2개의 양이 표시된 경우 예각어리석은 것을 위해 더 작은 것을 선택해야합니다-더 큰 것.

참조 Bradis에서 결과 값을 찾고 결과 수치 값에 해당하는 각도를 결정합니다. 우리 할머니는이 방법을 사용했습니다.

우리는 삼각 공식 계산 기능을 사용하는 것으로 충분합니다. 예를 들어 내장된 Windows 계산기입니다. "계산기" 애플리케이션을 실행하고 "보기" 메뉴 항목에서 "엔지니어링" 항목을 선택합니다. 원하는 각도의 사인을 계산합니다(예: sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0.5).

계산기 디스플레이의 INV 버튼을 클릭하여 계산기를 역함수 모드로 전환한 다음 아크사인 함수 버튼을 클릭합니다(디스플레이에 sin의 마이너스 1승이라고 표시됨). 다음 비문이 계산 창에 나타납니다: asind(0.5) = 30. 즉, 원하는 각도는 30도입니다.

출처:

Bradis 테이블(사인, 코사인)

수학에서 코사인 정리는 각도와 두면으로 세 번째 변을 찾아야 할 때 가장 자주 사용됩니다. 그러나 때로는 문제의 조건이 반대로 설정됩니다. 주어진 세 변에 대한 각도를 찾아야 합니다.

지침

두 변의 길이와 한 각의 값을 알고 있는 삼각형이 주어졌다고 상상해 보십시오. 이 삼각형의 모든 각도는 서로 같지 않으며 변의 크기도 다릅니다. 각도 γ는 이 그림인 AB로 지정된 삼각형의 변 반대편에 있습니다. 이 각도와 나머지 변 AC 및 BC를 통해 코사인 정리를 사용하여 삼각형의 알 수 없는 변을 찾을 수 있으며 이를 바탕으로 아래 공식을 유도합니다.
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, 여기서 a=BC, b=AB, c=AC
코사인 정리는 일반화된 피타고라스 정리라고도 합니다.

이제 그림의 세 변이 모두 주어졌지만 각도 γ를 알 수 없다고 상상해 보십시오. a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ 형식임을 알면 원하는 값이 각도 γ가 되도록 이 식을 변환합니다: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
그런 다음 위의 방정식을 약간 다른 형식으로 가져옵니다. b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
그러면 이 식은 cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc로 변환되어야 합니다.
수식의 숫자를 대체하고 계산을 수행하는 것이 남아 있습니다.

γ로 표시되는 코사인을 찾으려면 역코사인이라고 하는 역삼각법을 통해 표현해야 합니다. 숫자 m의 아크코사인은 각도 γ의 값이며 각도 γ의 코사인은 m과 같습니다. 함수 y=arccos m이 감소합니다. 예를 들어 각도 γ의 코사인이 1/2이라고 상상해보십시오. 그런 다음 각도 γ는 다음과 같이 아크 코사인으로 정의할 수 있습니다.
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, 여기서 m = 1/2.
마찬가지로, 다른 두 변이 있는 삼각형의 나머지 각도를 찾을 수 있습니다.

사인과 코사인은 "직선"이라고 하는 두 개의 삼각 함수입니다. 다른 사람들보다 더 자주 계산해야하는 것은 바로 그들이며 오늘날 우리 각자는이 문제를 해결할 수있는 상당한 옵션을 가지고 있습니다. 아래는 가장 많은 것 중 일부입니다. 간단한 방법.

지침

다른 계산 방법을 사용할 수 없는 경우 각도기, 연필 및 종이를 사용하십시오. 코사인의 정의 중 하나는 직각 삼각형의 예각을 통해 제공됩니다. 이 각도와 반대쪽 다리 길이의 비율과 같습니다. 각도 중 하나가 직각(90°)이고 다른 하나가 계산하려는 각도인 삼각형을 그립니다. 측면의 길이는 중요하지 않습니다. 측정하기 더 편리한 방식으로 그립니다. 원하는 다리와 빗변의 길이를 측정하고 편리한 방법으로 첫 번째를 두 번째로 나눕니다.

가치의 기회를 잡아라 삼각 함수인터넷에 접속할 수 있는 경우 Nigma 검색 엔진에 내장된 계산기를 사용합니다. 예를 들어 각도 20°의 코사인을 계산하려면 다음을 로드하여 홈페이지서비스 http://nigma.ru 검색어 "cosine 20"을 입력하고 "찾기!" 버튼을 클릭하십시오. "degrees"를 생략하고 "cosine"이라는 단어를 cos로 바꿀 수 있습니다. 어쨌든 검색 엔진은 소수점 이하 15자리(0.939692620785908)의 정확도로 결과를 표시합니다.

표준 프로그램 열기 - 운영 체제와 함께 설치됨 윈도우 시스템인터넷에 접속할 수 없는 경우. 예를 들어 win 키와 r 키를 동시에 누른 다음 calc 명령을 입력하고 확인 버튼을 클릭하면 됩니다. 삼각 함수를 계산하기 위해 "엔지니어링"또는 "과학적"(OS 버전에 따라 다름)이라는 인터페이스가 있습니다. 계산기 메뉴의 "보기"섹션에서 원하는 항목을 선택하십시오. 그런 다음 각도 값을 입력하고 프로그램 인터페이스에서 cos 버튼을 클릭하십시오.

팁 8: 직각 삼각형의 각도를 결정하는 방법

직사각형은 각도와 측면 사이의 특정 비율이 특징입니다. 그들 중 일부의 값을 알면 다른 값을 계산할 수 있습니다. 이를 위해 기하학의 공리와 정리를 기반으로 공식이 사용됩니다.

탄젠트(tg x) 및 코탄젠트(ctg x)에 대한 참조 데이터. 기하학적 정의, 속성, 그래프, 공식. 탄젠트 및 코탄젠트, 도함수, 적분, 급수 확장 표. 복잡한 변수를 통한 표현. 쌍곡선 함수와의 연결.

기하학적 정의

|BD| - 점 A를 중심으로 하는 원호의 길이.
α는 라디안으로 표시되는 각도입니다.

탄젠트( tgα) 빗변과 직각 삼각형의 다리 사이의 각도 α에 따른 삼각 함수이며 반대쪽 다리의 길이 비율과 같습니다 |BC| 인접한 다리의 길이 |AB| .

코탄젠트( ctgα) 빗변과 직각 삼각형의 다리 사이의 각도 α에 따른 삼각 함수이며 인접한 다리의 길이의 비율 |AB| 반대쪽 다리 길이 |BC| .

접선

어디 N- 전체.

서양 문헌에서 접선은 다음과 같이 표시됩니다.
.
;
;
.

탄젠트 함수의 그래프, y = tg x

코탄젠트

어디 N- 전체.

서양 문헌에서 코탄젠트는 다음과 같이 표시됩니다.
.
다음 표기법도 채택되었습니다.
;
;
.

코탄젠트 함수의 그래프, y = ctg x

탄젠트 및 코탄젠트의 속성

주기성

함수 y= tg x그리고 y= ctg x주기 π로 주기적입니다.

동등

탄젠트와 코탄젠트 함수는 홀수입니다.

정의 및 값의 영역, 오름차순, 내림차순

탄젠트 및 코탄젠트 함수는 정의 영역에서 연속적입니다(연속성 증명 참조). 탄젠트와 코탄젠트의 주요 속성은 표에 나와 있습니다 ( N- 정수).

	y= tg x	y= ctg x
범위 및 연속성
값의 범위	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
오름차순		-
내림차순	-
과격한 수단	-	-
0, y= 0
y축과의 교차점, x = 0	y= 0	-

방식

사인과 코사인으로 표현

; ;
; ;
;

합과 차의 탄젠트와 코탄젠트 공식

나머지 공식은 예를 들어 쉽게 구할 수 있습니다.

접선의 곱

접선의 합과 차에 대한 공식

이 표는 인수의 일부 값에 대한 탄젠트 및 코탄젠트 값을 보여줍니다.

복소수 표현

쌍곡선 함수로 표현

;
;

파생상품

; .

.
함수의 변수 x에 대한 n차 도함수:
.
탄젠트 공식 유도 > > > ; 코탄젠트 > > >

적분

시리즈로의 확장

x의 거듭제곱으로 접선의 확장을 얻으려면 함수에 대한 거듭제곱 급수에서 확장의 여러 항을 취해야 합니다. 죄 x그리고 코사인 x이 다항식을 서로 나눕니다. 그 결과 다음 공식이 생성됩니다.

에 .

에 .
어디 비엔- 베르누이 수. 반복 관계에서 결정됩니다.
;
;
어디 .
또는 라플라스 공식에 따르면:

역함수

역함수접선과 코탄젠트는 각각 아크탄젠트와 아크코탄젠트입니다.

아크탄젠트, arctg

, 어디 N- 전체.

아크 탄젠트, arcctg

, 어디 N- 전체.

참조:
안에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 엔지니어 및 고등 교육 기관 학생을 위한 수학 핸드북, Lan, 2009.
G. Korn, 연구원 및 엔지니어를 위한 수학 핸드북, 2012.

사인은 기본 삼각 함수 중 하나이며 기하학에만 국한되지 않습니다. 공학 계산기와 같은 삼각 함수를 계산하기 위한 테이블이 항상 가까이 있는 것은 아니며 다양한 문제를 해결하기 위해 때때로 사인 계산이 필요합니다. 일반적으로 사인 계산은 그리기 기술과 삼각법의 지식을 통합하는 데 도움이 됩니다.

눈금자와 연필 게임

간단한 작업: 종이에 그려진 각도의 사인을 찾는 방법은 무엇입니까? 해결하려면 일반 눈금자, 삼각형(또는 나침반) 및 연필이 필요합니다. 각도의 사인을 계산하는 가장 간단한 방법은 직각이 있는 삼각형의 먼 다리를 긴 변인 빗변으로 나누는 것입니다. 따라서 먼저 각도 꼭지점에서 임의의 거리에 광선 중 하나에 수직인 선을 그려 직각 삼각형의 예각을 완성해야 합니다. 사무 삼각형이 필요한 정확히 90 °의 각도를 관찰해야합니다.

나침반을 사용하면 조금 더 정확하지만 시간이 더 오래 걸립니다. 광선 중 하나에서 특정 거리에 두 지점을 표시하고 지점 사이의 거리와 대략 같은 반경을 나침반에 설정하고 이 선이 교차할 때까지 이 지점을 중심으로 반원을 그려야 합니다. 원의 교차점을 서로 연결하면 각도의 광선에 엄격한 수직을 얻을 수 있으며 다른 광선과 교차 할 때까지 선을 확장하는 것만 남습니다.

결과 삼각형에서 눈금자가있는 광선 중 하나의 모서리와 긴면의 반대쪽을 측정해야합니다. 첫 번째 측정과 두 번째 측정의 비율은 원하는 예각의 사인 값이 됩니다.

90°보다 큰 각도에 대한 사인 찾기

둔각의 경우 작업이 훨씬 더 어렵지 않습니다. 관심있는 각도의 광선 중 하나와 직선을 형성하려면 눈금자를 사용하여 정점에서 반대 방향으로 광선을 그릴 필요가 있습니다. 결과 예각으로 위에서 설명한대로 진행해야하며 180 °의 전개 각도를 함께 형성하는 인접 각도의 사인은 동일합니다.

다른 삼각 함수에서 사인 계산

또한 각도의 다른 삼각 함수 값 또는 적어도 삼각형 변의 길이를 알고 있으면 사인 계산이 가능합니다. 삼각함수가 도움이 될 것입니다. 일반적인 예를 살펴보겠습니다.

각도의 알려진 코사인으로 사인을 찾는 방법은 무엇입니까? 피타고라스의 정리에서 나온 첫 번째 삼각 항등식은 같은 각도의 사인과 코사인의 제곱의 합이 1과 같다는 것입니다.

알려진 탄젠트 각도로 사인을 찾는 방법은 무엇입니까? 접선은 먼 다리를 가까운 다리로 나누거나 사인을 코사인으로 나누어 얻습니다. 따라서 사인은 코사인과 탄젠트의 곱이 되고 사인의 제곱은 이 곱의 제곱이 됩니다. 첫 번째 삼각 항등식에 따라 제곱 코사인을 유니티와 제곱 사인의 차이로 대체하고, 간단한 조작을 통해 방정식을 가져 와서 탄젠트를 통해 각각 제곱 사인을 계산하여 사인을 계산해야합니다. 얻은 결과에서 루트를 추출합니다.

각도의 알려진 코탄젠트로 사인을 찾는 방법은 무엇입니까? 코탄젠트의 값은 다리 각도에서 가까운 길이를 먼 길이로 나누고 코사인을 사인으로 나눔으로써 계산할 수 있습니다. 즉, 코탄젠트는 탄젠트의 역함수입니다. 숫자 1과 관련하여 사인을 계산하려면 공식 tg α \u003d 1 / ctg α를 사용하여 탄젠트를 계산하고 두 번째 옵션의 공식을 사용할 수 있습니다. 탄젠트와 유추하여 다음과 같은 직접 공식을 유도할 수도 있습니다.

삼각형의 세 변의 사인을 찾는 방법

대향각의 코사인의 삼각 함수를 사용하여 알려진 두 변이 주어지면 직각 삼각형뿐만 아니라 모든 삼각형의 알려지지 않은 변의 길이를 찾는 공식이 있습니다. 그녀는 이렇게 생겼습니다.

사인은 위의 공식에 따라 코사인에서 추가로 계산할 수 있습니다.

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 개념은 수학의 한 분야인 삼각법의 주요 범주이며 각도의 정의와 불가분의 관계가 있습니다. 이 수학 과학을 소유하려면 공식과 정리에 대한 암기 및 이해뿐만 아니라 발전된 공간적 사고가 필요합니다. 그렇기 때문에 삼각법 계산은 종종 학생과 학생에게 어려움을 초래합니다. 이를 극복하기 위해서는 삼각함수와 공식에 좀 더 익숙해져야 합니다.

삼각법의 개념

삼각법의 기본 개념을 이해하려면 먼저 직각 삼각형과 원의 각도가 무엇인지, 그리고 모든 기본 삼각법 계산이 이들과 관련된 이유를 결정해야 합니다. 한 각이 90도인 삼각형은 직각 삼각형입니다. 역사적으로 이 수치는 건축, 항법, 예술, 천문학 분야의 사람들이 자주 사용했습니다. 따라서 이 그림의 속성을 연구하고 분석하여 사람들은 매개변수의 해당 비율을 계산하게 되었습니다.

직각 삼각형과 관련된 주요 범주는 빗변과 다리입니다. 빗변은 직각과 반대되는 삼각형의 변입니다. 다리는 각각 다른 두면입니다. 모든 삼각형 내각의 합은 항상 180도입니다.

구면삼각법은 삼각법의 한 분야로 학교에서는 배우지 않지만 천문학이나 측지학 같은 응용과학에서는 과학자들이 사용한다. 구면삼각법에서 삼각형의 특징은 내각의 합이 항상 180도보다 크다는 것입니다.

삼각형의 각도

직각 삼각형에서 각도의 사인은 삼각형의 빗변에 대한 원하는 각도의 반대쪽 다리의 비율입니다. 따라서 코사인은 인접한 다리와 빗변의 비율입니다. 빗변이 항상 다리보다 길기 때문에 이 두 값은 항상 1보다 작은 값을 갖습니다.

각도의 접선은 원하는 각도의 인접한 다리에 대한 반대쪽 다리의 비율 또는 사인 대 코사인과 같은 값입니다. 차례로 코탄젠트는 원하는 각도의 인접한 다리와 반대쪽 cactet의 비율입니다. 각도의 코탄젠트는 단위를 탄젠트 값으로 나누어 구할 수도 있습니다.

단위원

기하학에서 단위원은 반지름이 1인 원입니다. 이러한 원은 데카르트 좌표계로 구성되며 원의 중심은 원점과 일치하고 반지름 벡터의 초기 위치는 X축의 양의 방향(가로축)에 의해 결정됩니다. 원의 각 점에는 XX와 YY, 즉 가로 좌표와 세로 좌표의 두 좌표가 있습니다. XX 평면에서 원의 임의의 점을 선택하고 가로축에 수직선을 떨어뜨리면 선택한 점에 대한 반지름으로 형성된 직각 삼각형을 얻습니다(문자 C로 표시). X축(교차점은 문자 G로 표시됨) 세그먼트 원점(점은 문자 A로 표시됨)과 교차점 G 사이의 가로축. 결과 삼각형 ACG는 다음에 내접하는 직각 삼각형입니다. 여기서 AG는 빗변이고 AC와 GC는 다리입니다. 원 AC의 반지름과 지정 AG가 있는 가로축 세그먼트 사이의 각도를 α(알파)로 정의합니다. 따라서 cos α = AG/AC입니다. AC가 단위원의 반지름이고 1과 같다고 하면 cos α=AG라는 것을 알 수 있습니다. 마찬가지로 sin α=CG입니다.

또한 이러한 데이터를 알면 cos α \u003d AG 및 sin α \u003d CG이므로 원에서 점 C의 좌표를 결정할 수 있습니다. 주어진 좌표(코사인 α, 사인 α). 탄젠트가 사인 대 코사인의 비율과 같다는 것을 알면 tg α \u003d y / x 및 ctg α \u003d x / y임을 결정할 수 있습니다. 음의 좌표계에서 각도를 고려하면 일부 각도의 사인 및 코사인 값이 음수가 될 수 있음을 계산할 수 있습니다.

계산 및 기본 공식

삼각 함수의 값

단위원을 통해 삼각함수의 본질을 고찰한 결과, 일부 각도에 대한 이들 함수의 값을 도출할 수 있다. 값은 아래 표에 나열되어 있습니다.

가장 간단한 삼각함수

삼각 함수의 부호 아래에 알 수 없는 값이 있는 방정식을 삼각법이라고 합니다. 값이 sin x = α인 항등식, k는 임의의 정수입니다.

죄 x = 0, x = πk.
2. 죄 x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
죄 x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
죄 x = a, |a| > 1, 솔루션이 없습니다.
죄 x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

값이 cos x = a인 항등식(여기서 k는 정수임):

cos x = 0, x = π/2 + πk.
cos x = 1, x = 2πk입니다.
cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
cos x = a, |a| > 1, 솔루션이 없습니다.
cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

값이 tg x = a인 항등식(여기서 k는 임의의 정수임):

tg x = 0, x = π/2 + πk.
tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

값이 ctg x = a인 ID(여기서 k는 정수임):

ctg x = 0, x = π/2 + πk.
ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

캐스트 포뮬러

이 상수 공식 범주는 형식의 삼각 함수에서 인수의 함수로 이동할 수 있는 방법을 나타냅니다. 즉, 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 각도의 해당 지표로 변환합니다. 계산의 편의를 위해 0도에서 90도 사이의 간격.

각도의 사인에 대한 함수를 줄이는 공식은 다음과 같습니다.

sin(900 - α) = α;
sin(900 + α) = cos α;
죄(1800 - α) = 죄 α;
sin(1800 + α) = -sin α;
sin(2700 - α) = -cos α;
sin(2700 + α) = -cos α;
sin(3600 - α) = -sin α;
죄(3600 + α) = 죄 α.

각도의 코사인:

cos(900 - α) = 죄 α;
cos(900 + α) = -sin α;
cos(1800 - α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 - α) = -sin α;
cos(2700 + α) = 죄 α;
cos(3600 - α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

위 공식의 사용은 두 가지 규칙에 따라 가능합니다. 먼저 각도를 (π/2 ± a) 또는 (3π/2 ± a) 값으로 나타낼 수 있는 경우 함수 값이 다음과 같이 변경됩니다.

죄에서 cos로;
cos에서 죄로;
tg에서 ctg로;
ctg에서 tg로.

각도를 (π ± a) 또는 (2π ± a)로 나타낼 수 있는 경우 함수 값은 변경되지 않습니다.

둘째, 감소된 함수의 부호는 변경되지 않습니다. 처음에 양수였다면 그대로 유지됩니다. 음수 함수도 마찬가지입니다.

추가 공식

이 공식은 두 회전 각도의 합과 차이의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값을 삼각 함수로 표현합니다. 각도는 일반적으로 α 및 β로 표시됩니다.

수식은 다음과 같습니다.

sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

이 공식은 모든 각도 α 및 β에 대해 유효합니다.

이중 및 삼중 각도 공식

이중 및 삼중 각도의 삼각법 공식은 각도 2α 및 3α 각각의 함수를 각도 α의 삼각 함수에 관련시키는 공식입니다. 추가 공식에서 파생:

sin2α = 2sinα*cosα.
cos2α = 1 - 2sin^2α.
tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

합계에서 제품으로 전환

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y)를 고려하여 이 공식을 단순화하면 항등식 sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2를 얻습니다. 유사하게, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

제품에서 합계로 전환

이 공식은 합계를 제품으로 전환하기 위한 ID에서 따릅니다.

sinα * sinβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
sinα * cosβ = 1/2*.

환원 공식

이러한 항등식에서 사인과 코사인의 제곱 및 세제곱은 다중 각도의 첫 번째 거듭제곱의 사인과 코사인으로 표현될 수 있습니다.

sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
cos^2α = (1 + cos2α)/2;
sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

범용 대체

범용 삼각법 대체 공식은 반각의 탄젠트 측면에서 삼각법 함수를 표현합니다.

sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), x \u003d π + 2πn;
cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), 여기서 x = π + 2πn;
tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), 여기서 x \u003d π + 2πn;
ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), x \u003d π + 2πn.

특수한 상황들

가장 단순한 삼각법 방정식의 특별한 경우는 다음과 같습니다(k는 임의의 정수임).

사인에 대한 비공개:

죄 x 값	x 값
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk 또는 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk 또는 -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk 또는 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk 또는 -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk 또는 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk 또는 -2π/3 + 2πk

코사인 지수:

cos x 값	x 값
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

접선에 대해 비공개:

tg x 값	x 값
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

코탄젠트 지수:

ctg x 값	x 값
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

정리

사인 정리

정리에는 단순 및 확장의 두 가지 버전이 있습니다. 단순 사인 정리: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. 이 경우 a, b, c는 삼각형의 변이고 α, β, γ는 각각 대각입니다.

임의의 삼각형에 대한 확장 사인 정리: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. 이 항등식에서 R은 주어진 삼각형이 내접하는 원의 반지름을 나타낸다.

코사인 정리

항등식은 다음과 같이 표시됩니다. a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. 공식에서 a, b, c는 삼각형의 변이고 α는 a에 대향하는 각도입니다.

접선 정리

공식은 두 각도의 탄젠트와 마주보는 변의 길이 사이의 관계를 나타냅니다. 측면은 a, b, c로 표시되고 해당 반대 각도는 α, β, γ입니다. 접선 정리의 공식: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

코탄젠트 정리

삼각형에 내접하는 원의 반지름을 변의 길이와 연결합니다. a, b, c가 삼각형의 변이고 A, B, C가 각각 대향하는 각이고, r은 내접원의 반지름이고, p는 삼각형의 반둘레일 때, 다음과 같은 식입니다. 잡고 있다:

ctg A/2 = (p-a)/r;
ctg B/2 = (p-b)/r;
ctg C/2 = (p-c)/r.

애플리케이션

삼각함수 뿐만 아니라 이론 과학수학 공식과 관련된 그 속성, 정리 및 규칙은 다양한 산업 분야에서 실제로 사용됩니다. 인간 활동– 천문학, 항공 및 해상 항법, 음악 이론, 측지학, 화학, 음향학, 광학, 전자, 건축, 경제학, 기계 공학, 측정 작업, 컴퓨터 그래픽, 지도 제작, 해양학 및 기타 여러 가지가 있습니다.

사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 삼각법의 기본 개념으로 삼각형에서 각과 변의 길이 사이의 관계를 수학적으로 표현하고 항등식, 정리 및 규칙을 통해 원하는 양을 찾을 수 있습니다.

각도의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 직각 삼각형을 이해하는 데 도움이 됩니다.

직각 삼각형의 변은 무엇입니까? 맞습니다, 빗변과 다리: 빗변은 직각 반대편에 있는 측면입니다(이 예에서는 측면 \ (AC \) ). 다리는 나머지 두 변 \ (AB \) 및 \ (BC \) (직각에 인접한 것)입니다. 또한 각도 \ (BC \)에 대해 다리를 고려하면 다리 \(AB \)는 인접한 다리이고 \(BC \)는 반대쪽 다리입니다. 이제 질문에 답해 봅시다. 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트는 무엇입니까?

각도의 사인- 빗변에 대한 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.

삼각형에서:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

각도의 코사인- 빗변에 대한 인접(가까운) 다리의 비율입니다.

삼각형에서:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

각도 탄젠트- 반대쪽(먼) 다리와 인접한(가까운) 다리의 비율입니다.

삼각형에서:

\[ tg\베타 =\dfrac(BC)(AB) \]

각도의 코탄젠트- 인접한(가까운) 다리와 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.

삼각형에서:

\[ ctg\베타 =\dfrac(AB)(BC) \]

이러한 정의는 필요합니다 기억하다! 어떤 다리를 무엇으로 나눌지 쉽게 기억하려면 접선그리고 코탄젠트다리 만 앉고 빗변은 공동그리고 코사인. 그런 다음 협회 체인을 만들 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

코사인→터치→터치→인접;

코탄젠트→터치→터치→인접.

우선, 삼각형의 변의 비율인 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트는 이러한 변의 길이(한 각도에서)에 의존하지 않는다는 것을 기억해야 합니다. 믿을 수 없어? 그런 다음 사진을 보고 확인하십시오.

예를 들어 각도 \(\beta \) 의 코사인을 고려하십시오. 정의에 따라 삼각형 \(ABC \)에서: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), 그러나 삼각형 \(AHI \)에서 각도 \(\beta \)의 코사인을 계산할 수 있습니다. \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). 보시다시피 변의 길이는 다르지만 한 각도의 코사인 값은 같습니다. 따라서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값은 각도의 크기에만 의존합니다.

정의를 이해했다면 계속해서 수정하세요!

아래 그림에 표시된 삼각형 \(ABC \) 에 대해 다음을 찾습니다. \(\sin \ \alpha,\ \cos\ \alpha,\tg\ \alpha,\ctg\ \alpha\).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

글쎄, 당신은 그것을 얻었습니까? 그런 다음 직접 해보십시오. 각도 \(\beta \) 에 대해서도 동일하게 계산하십시오.

답변: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos\ \beta =0.8;\tg\ \beta =0.75;\ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

단위(삼각) 원

각도와 라디안의 개념을 이해하면서 반지름이 \ (1 \) 인 원을 고려했습니다. 그러한 원을 호출합니다. 하나의. 삼각법 연구에 매우 유용합니다. 따라서 우리는 그것에 대해 조금 더 자세히 설명합니다.

보시다시피 이 원은 데카르트 좌표계로 만들어집니다. 원의 반지름은 1이고 원의 중심은 원점에 있으며 반지름 벡터의 초기 위치는 \(x \) 축의 양의 방향을 따라 고정됩니다. 반지름 \(AB \) ).

원의 각 점은 두 개의 숫자에 해당합니다: 축 \(x \) 좌표와 축 \(y \) 좌표. 이 좌표 번호는 무엇입니까? 그리고 일반적으로 그들은 당면한 주제와 어떤 관련이 있습니까? 이렇게하려면 고려한 직각 삼각형에 대해 기억하십시오. 위의 그림에서 두 개의 전체 직각 삼각형을 볼 수 있습니다. 삼각형 \(ACG \) 를 고려하십시오. \(CG \)가 \(x \) 축에 수직이기 때문에 직사각형입니다.

삼각형 \(ACG \) 에서 \(\cos \ \alpha \)는 무엇입니까? 좋아요 \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). 게다가 우리는 \(AC \)가 단위원의 반지름이라는 것을 알고 있으므로 \(AC=1 \) 입니다. 이 값을 코사인 공식으로 대체하십시오. 결과는 다음과 같습니다.

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

그리고 삼각형 \(ACG \) 에서 \(\sin \ \alpha \) 는 무엇입니까? 물론, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! 이 공식에서 반지름 \(AC \) 값을 대체하고 다음을 얻습니다.

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

그렇다면 원에 속하는 점 \(C \) 의 좌표가 무엇인지 말씀해 주시겠습니까? 글쎄요? 그러나 \(\cos \ \alpha \)와 \(\sin \alpha \)가 단지 숫자라는 것을 알게 되면 어떻게 될까요? \(\cos \alpha \)는 어떤 좌표에 해당합니까? 음, 물론 좌표 \(x \) ! 그리고 \(\sin \alpha \)는 어떤 좌표에 해당합니까? 맞습니다, \(y \) 좌표입니다! 그래서 요점 \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

그러면 \(tg \alpha \) 및 \(ctg \alpha \)는 무엇입니까? 맞습니다. 탄젠트와 코탄젠트의 적절한 정의를 사용하고 \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), ㅏ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

각도가 더 크면? 예를 들어 다음 그림과 같이 여기 있습니다.

에서 변경된 사항 이 예? 알아 봅시다. 이를 위해 다시 직각 삼각형으로 전환합니다. 직각 삼각형 \(((A)_(1))((C)_(1))G \)를 고려하십시오. 각도(각 \(\beta \)에 인접) 각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 값은 무엇입니까 \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\베타 \ \)? 맞습니다. 우리는 삼각 함수의 해당 정의를 따릅니다.

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(배열) \)

보시다시피 각도의 사인 값은 여전히 좌표 \ (y \) 에 해당합니다. 각도의 코사인 값 - 좌표 \ (x \) ; 해당 비율에 대한 탄젠트 및 코탄젠트 값. 따라서 이러한 관계는 반지름 벡터의 모든 회전에 적용할 수 있습니다.

반지름 벡터의 초기 위치가 \(x \) 축의 양의 방향을 따른다는 것은 이미 언급한 바 있습니다. 지금까지 이 벡터를 시계 반대 방향으로 회전했지만 시계 방향으로 회전하면 어떻게 될까요? 특별한 것은 없으며 특정 크기의 각도도 얻을 수 있지만 음수입니다. 따라서 반지름 벡터를 시계 반대 방향으로 회전시키면 양의 각도, 시계 방향으로 회전할 때 - 부정적인.

따라서 우리는 원 주위의 반지름 벡터의 전체 회전이 \(360()^\circ \) 또는 \(2\pi \) 임을 압니다. 반지름 벡터를 \(390()^\circ \) 또는 \(-1140()^\circ \) 로 회전할 수 있습니까? 물론 가능합니다! 첫 번째 경우, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), 따라서 반지름 벡터는 한 바퀴 완전히 회전하고 \(30()^\circ \) 또는 \(\dfrac(\pi )(6) \) 에서 멈춥니다.

두 번째 경우, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)즉, 반지름 벡터는 세 번 완전히 회전하고 \(-60()^\circ \) 또는 \(-\dfrac(\pi )(3) \) 위치에서 멈춥니다.

따라서 위의 예에서 우리는 각도가 \(360()^\circ \cdot m \) 또는 \(2\pi \cdot m \) (여기서 \(m \)는 정수임) 반경 벡터의 동일한 위치에 해당합니다.

아래 그림은 각도 \(\beta =-60()^\circ \) 를 보여줍니다. 동일한 이미지가 모서리에 해당합니다. \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)등. 이 목록은 무한정 계속될 수 있습니다. 이 모든 각도는 일반 공식으로 쓸 수 있습니다. \(\베타 +360()^\circ \cdot m\)또는 \(\beta +2\pi \cdot m \) (여기서 \(m \)는 임의의 정수임)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(배열) \)

이제 기본 삼각 함수의 정의를 알고 단위 원을 사용하여 값이 같은 값에 답하십시오.

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\텍스트(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(배열) \)

다음은 도움이 되는 단위 원입니다.

어려움이 있습니까? 그럼 알아 봅시다. 따라서 우리는 다음을 알고 있습니다.

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(배열) \)

여기에서 특정 각도 측정에 해당하는 점의 좌표를 결정합니다. 글쎄, 순서대로 시작하자 : 코너 \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)좌표가 \(\left(0;1 \right) \) 인 점에 해당하므로 다음과 같습니다.

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- 존재하지 않는다;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

또한 동일한 논리를 고수하면 모서리가 \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )좌표가 있는 점에 해당 \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \오른쪽) \), 각각. 이것을 알면 해당 지점에서 삼각 함수의 값을 쉽게 결정할 수 있습니다. 먼저 직접 시도한 다음 답을 확인하십시오.

답변:

\(\디스플레이스타일 \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\디스플레이스타일 \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- 존재하지 않는다

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\텍스트(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\오른쪽 화살표 \text(tg)\ 270()^\circ \)- 존재하지 않는다

\(\텍스트(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\텍스트(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\오른쪽 화살표 \텍스트(ctg)\ 2\pi \)- 존재하지 않는다

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- 존재하지 않는다

\(\텍스트(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

따라서 다음 표를 만들 수 있습니다.

이 값을 모두 기억할 필요는 없습니다. 단위 원의 점 좌표와 삼각 함수 값 사이의 대응 관계를 기억하는 것으로 충분합니다.

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(기억하거나 출력할 수 있어야 함!! \) !}

그리고 각도의 삼각 함수 값은 다음과 같습니다. \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)아래 표에 나와 있는 내용을 기억해야 합니다.

두려워할 필요가 없습니다. 이제 해당 값을 아주 간단하게 암기하는 예 중 하나를 보여드리겠습니다.

이 방법을 사용하려면 세 가지 각도 측정 모두에 대한 사인 값을 기억하는 것이 중요합니다 ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(삼) \)) 뿐만 아니라 \(30()^\circ \) 의 각도 탄젠트 값입니다. 이러한 \(4\) 값을 알면 전체 테이블을 복원하는 것이 매우 쉽습니다. 코사인 값은 화살표에 따라 전송됩니다. 즉,

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(배열) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), 이것을 알면 값을 복원하는 것이 가능합니다 \(\텍스트(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). 분자 "\(1 \) "는 \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) 와 일치하고 분모 "\(\sqrt(\text(3)) \) "는 \와 일치합니다. (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . 코탄젠트 값은 그림에 표시된 화살표에 따라 전송됩니다. 이것을 이해하고 화살표가 있는 구성표를 기억한다면 테이블에서 \(4 \) 값만 기억하면 됩니다.

원 위의 점 좌표

원의 중심 좌표, 반지름 및 회전 각도를 알고 원에서 점(그 좌표)을 찾을 수 있습니까? 물론 가능합니다! 점의 좌표를 찾는 일반 공식을 도출해 봅시다. 예를 들어 여기에는 다음과 같은 원이 있습니다.

우리는 그 점을 부여 \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)원의 중심입니다. 원의 반지름은 \(1,5 \) 입니다. 점 \(O \)를 \(\delta \)도 회전하여 얻은 점 \(P \)의 좌표를 찾아야 합니다.

그림에서 알 수 있듯이 점 \(P \)의 좌표 \(x \)는 세그먼트 \(TP=UQ=UK+KQ \)의 길이에 해당합니다. 세그먼트 \ (UK \)의 길이는 원 중심의 좌표 \ (x \)에 해당합니다. 즉 \ (3 \)과 같습니다. 세그먼트 \(KQ \)의 길이는 코사인 정의를 사용하여 표현할 수 있습니다.

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

그런 다음 점 \(P \) 좌표에 대해 \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

동일한 논리로 점 \(P\) 에 대한 y 좌표 값을 찾습니다. 따라서,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

그래서 안으로 일반적인 견해점 좌표는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

\(\begin(배열)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(배열) \), 어디

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - 원의 중심 좌표,

\(r\) - 원 반지름,

\(\delta \) - 벡터 반경의 회전 각도.

보시다시피, 우리가 고려하고 있는 단위 원의 경우 중심 좌표가 0이고 반지름이 1이기 때문에 이러한 공식이 크게 줄어듭니다.

\(\begin(배열)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

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