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로그는 간단한 설명입니다. 로그 공식

대수란 무엇입니까?

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대수란 무엇입니까? 대수를 푸는 방법? 이러한 질문은 많은 졸업생을 혼란스럽게 합니다. 전통적으로 로그의 주제는 복잡하고 이해하기 어렵고 무서운 것으로 간주됩니다. 특히 - 대수 방정식.

이것은 사실이 아닙니다. 전적으로! 믿을 수 없습니까? 괜찮은. 이제 약 10~20분 동안 다음을 수행합니다.

1. 이해 대수란 무엇인가.

2. 학급 전체를 푸는 방법 배우기 지수 방정식. 당신이 그들에 대해 들어 본 적이 없더라도.

3. 간단한 로그를 계산하는 방법을 배웁니다.

또한 이를 위해서는 구구단과 숫자의 거듭제곱 방법만 알면 됩니다.

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먼저 마음 속으로 다음 방정식을 풉니다.

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함수와 도함수에 대해 알 수 있습니다.

지침

주어진 대수식을 적으십시오. 식에서 10의 로그를 사용하는 경우 표기법이 단축되어 다음과 같이 표시됩니다. lg b는 십진수 로그입니다. 로그의 밑이 e인 경우 다음과 같이 표현됩니다. ln b는 자연 로그입니다. any의 결과는 숫자 b를 얻기 위해 기본 숫자를 올려야 하는 거듭제곱이라는 것을 이해합니다.

두 함수의 합을 찾을 때 하나씩 미분하고 결과를 더하면 됩니다: (u+v)" = u"+v";

두 함수의 곱의 도함수를 찾을 때 첫 번째 함수의 도함수에 두 번째 함수를 곱하고 두 번째 함수의 도함수에 첫 번째 함수를 곱한 값을 더해야 합니다: (u*v)" = u"* v+v"*u;

두 함수의 몫의 도함수를 구하기 위해서는 피제수의 도함수에 제수함수를 곱한 곱에서 제수의 도함수에 제수함수를 곱한 값을 빼서 나눗셈을 하여야 한다. 이 모든 것은 제수 함수의 제곱에 의해 이루어집니다. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

복잡한 함수가 주어지면 내부 함수의 도함수와 외부 함수의 도함수를 곱해야 합니다. y=u(v(x))라고 하면 y"(x)=y"(u)*v"(x)입니다.

위에서 얻은 것을 사용하면 거의 모든 기능을 구별할 수 있습니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *엑스));
한 지점에서 도함수를 계산하는 작업도 있습니다. 함수 y=e^(x^2+6x+5)가 주어지면 점 x=1에서 함수의 값을 찾아야 합니다.
1) 함수의 도함수를 찾습니다: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) 주어진 점 y"(1)=8*e^0=8에서 함수의 값을 계산합니다.

솔루션의 일반 원칙

명확한 적분인 수학적 분석 또는 고등 수학에 관한 교과서에서 반복합니다. 아시다시피 해결책은 정적분도함수가 피적분을 제공하는 함수가 있습니다. 이 기능프리미티브라고 합니다. 이 원리에 따라 기본 적분을 구성합니다.
피적분의 형태에 따라 테이블 적분 중 어느 것이 맞는지 결정하십시오. 이 경우. 이것을 즉시 결정하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 종종 표 형식은 피적분을 단순화하기 위해 몇 번의 변환 후에만 눈에 띄게 됩니다.

변수 대체 방법

피적분수가 삼각함수인수가 다항식인 경우 변수 대체 방법을 사용해 보십시오. 이렇게 하려면 피적분 함수의 인수에 있는 다항식을 새 변수로 바꿉니다. 새 변수와 이전 변수 간의 비율을 기준으로 새 적분 한계를 결정하십시오. 이 식을 미분하여 에서 새로운 미분을 찾으십시오. 따라서 이전 적분의 새로운 형식을 얻거나 테이블 형식에 해당하거나 닫을 수 있습니다.

제2종 적분의 해

적분이 피적분의 벡터 형식인 두 번째 종류의 적분이면 이러한 적분에서 스칼라 적분으로 이동하기 위한 규칙을 사용해야 합니다. 이러한 규칙 중 하나는 Ostrogradsky-Gauss 비율입니다. 이 법칙은 일부 벡터 함수의 회전자 흐름에서 주어진 벡터 필드의 발산에 대한 삼중 적분으로 전달하는 것을 가능하게 합니다.

통합 한계 대체

역도함수를 찾은 후에는 적분의 한계를 대체해야 합니다. 먼저 상한 값을 역도함수의 식에 대입합니다. 당신은 어떤 번호를 받게됩니다. 다음으로 결과 숫자에서 다른 숫자를 뺍니다. 결과로 나온 역도함수의 하한입니다. 적분 극한 중 하나가 무한대이면 이를 역도함수에 대입할 때 극한으로 가서 표현이 어떤 경향이 있는지 찾아야 합니다.
적분이 2차원 또는 3차원이면 적분을 계산하는 방법을 이해하기 위해 적분의 기하학적 한계를 나타내야 합니다. 실제로, 예를 들어 3차원 적분의 경우 적분의 한계는 적분할 부피를 제한하는 전체 평면이 될 수 있습니다.

아시다시피 식에 거듭제곱을 곱하면 지수가 항상 더해집니다(a b * a c = a b + c). 이 수학적 법칙은 아르키메데스에 의해 유도되었으며, 나중에 8세기에 수학자 Virasen이 정수 지표 표를 만들었습니다. 대수의 추가 발견을 위해 봉사 한 것은 바로 그들이었습니다. 이 함수를 사용하는 예는 번거로운 곱셈을 간단한 덧셈으로 단순화하는 데 필요한 거의 모든 곳에서 찾을 수 있습니다. 이 기사를 읽는 데 10분을 할애하면 로그가 무엇이며 로그를 사용하는 방법을 설명합니다. 간단하고 접근하기 쉬운 언어.

수학의 정의

로그는 다음 형식의 표현입니다. log a b=c, 즉 음수가 아닌 숫자(즉, 양수) "b"의 밑수 "a"에 따른 로그는 "c의 거듭제곱으로 간주됩니다. ", 기본 "a"를 올릴 필요가 있으므로 결국 "b"값을 얻습니다. 예를 사용하여 로그를 분석해 봅시다. log 2 8이라는 표현이 있다고 가정해 보겠습니다. 답을 찾는 방법은 무엇입니까? 그것은 매우 간단합니다. 2에서 필요한 정도까지 8을 얻는 정도를 찾아야합니다. 마음 속으로 몇 가지 계산을하면 숫자 3을 얻습니다! 그리고 2의 3제곱이 답에서 숫자 8을 제공하기 때문에 당연히 그렇습니다.

로그의 종류

많은 학생과 학생들에게이 주제는 복잡하고 이해하기 어려운 것처럼 보이지만 실제로 로그는 그렇게 무섭지 않으며 가장 중요한 것은 일반적인 의미를 이해하고 속성과 일부 규칙을 기억하는 것입니다. 세 가지가 있습니다 특정 유형대수 표현식:

밑이 오일러 수(e = 2.7)인 자연 로그 ln a입니다.
밑이 10인 십진법 a.
임의의 숫자 b의 밑수 a>1의 로그.

그들 각각은 로그 정리를 사용하여 단순화, 축소 및 후속 로그 축소를 포함하여 표준 방식으로 해결됩니다. 로그의 올바른 값을 얻으려면 결정의 속성과 작업 순서를 기억해야 합니다.

규칙 및 일부 제한 사항

수학에는 공리로 받아 들여지는 몇 가지 규칙 제한이 있습니다. 즉, 토론의 대상이 아니며 사실입니다. 예를 들어 숫자를 0으로 나누는 것은 불가능하며 음수에서 짝수 근을 추출하는 것도 불가능합니다. 로그에는 또한 고유한 규칙이 있으며, 이에 따라 길고 방대한 로그 표현식으로도 작업하는 방법을 쉽게 배울 수 있습니다.

기본 "a"는 항상 0보다 커야 하며 동시에 1과 같지 않아야 합니다. 그렇지 않으면 "1"과 "0"이 항상 해당 값과 같기 때문에 표현식의 의미가 손실됩니다.
a > 0이면 a b > 0이면 "c"는 0보다 커야 합니다.

대수를 푸는 방법?

예를 들어 방정식 10 x \u003d 100에 대한 답을 찾는 작업이 주어졌습니다. 매우 쉽습니다. 그러한 힘을 선택하여 100을 얻는 숫자 10을 올려야합니다. 물론 이것은 10입니다. 2 \u003d 100.

이제 이 식을 대수 식으로 표현해 봅시다. 우리는 log 10 100 = 2를 얻습니다. 로그를 풀 때 모든 작업은 실제로 주어진 숫자를 얻기 위해 로그의 밑이 입력되어야 하는 정도를 찾는 것으로 수렴됩니다.

알 수 없는 학위의 가치를 정확하게 결정하려면 학위 표로 작업하는 방법을 배워야 합니다. 다음과 같습니다.

보시다시피 기술적 사고 방식과 구구단에 대한 지식이 있으면 일부 지수를 직관적으로 추측할 수 있습니다. 그러나 큰 값학위표가 필요합니다. 복잡한 수학적 주제에 대해 전혀 이해하지 못하는 사람들도 사용할 수 있습니다. 왼쪽 열에는 숫자(밑수 a)가 포함되어 있고 숫자의 맨 위 행은 숫자 a가 올라간 c의 거듭제곱 값입니다. 셀의 교차점에서 답인 숫자 값이 결정됩니다 (a c =b). 예를 들어 숫자가 10인 첫 번째 셀을 제곱하면 두 셀의 교차점에 표시되는 값 100을 얻습니다. 가장 진정한 인본주의자도 이해할 수 있도록 모든 것이 너무 간단하고 쉽습니다!

방정식과 부등식

특정 조건에서 지수는 로그임이 밝혀졌습니다. 따라서 모든 수학적 수치 표현은 대수 방정식으로 쓸 수 있습니다. 예를 들어, 3 4 =81은 밑이 3인 81의 로그로 쓸 수 있습니다(log 3 81 = 4). 음의 거듭제곱의 경우 규칙은 동일합니다. 2 -5 = 1/32 로그로 쓰면 log 2(1/32) = -5가 됩니다. 수학에서 가장 매력적인 부분 중 하나는 "로그"라는 주제입니다. 속성을 연구 한 직후 방정식의 예와 솔루션을 조금 더 낮게 고려할 것입니다. 이제 불평등이 어떻게 생겼는지, 방정식과 어떻게 구별하는지 살펴보겠습니다.

다음 형식의 표현이 제공됩니다. log 2 (x-1) > 3 - 대수 부등식, 알 수 없는 값 "x"가 로그의 부호 아래에 있기 때문입니다. 그리고 또한 표현에서 두 개의 양이 비교됩니다: 밑이 2인 원하는 숫자의 로그는 숫자 3보다 큽니다.

대수 방정식과 부등식의 가장 중요한 차이점은 로그가 있는 방정식(예: 2 x = √9의 로그)은 답에 하나 이상의 특정 수치를 의미하는 반면, 부등식을 풀 때 두 범위는 허용 가능한 값과 이 기능을 깨는 지점. 결과적으로 답은 방정식의 답에서와 같이 개별 숫자의 단순한 집합이 아니라 연속적인 시리즈 또는 숫자 집합입니다.

로그에 대한 기본 정리

로그 값을 찾는 기본 작업을 해결할 때 그 속성을 알 수 없습니다. 그러나 대수 방정식이나 부등식에 관해서는 우선 로그의 모든 기본 속성을 명확하게 이해하고 실제로 적용하는 것이 필요합니다. 나중에 방정식의 예에 대해 알게 될 것입니다. 먼저 각 속성을 더 자세히 분석해 보겠습니다.

기본 항등식은 다음과 같습니다: a logaB =B. a가 0보다 크고 1이 아니고 B가 0보다 큰 경우에만 적용됩니다.
곱의 로그는 다음 공식으로 나타낼 수 있습니다. log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. 이 경우 전제 조건은 d, s 1 및 s 2 > 0입니다. ≠1. 이 로그 공식에 대한 증명을 예제와 솔루션과 함께 제공할 수 있습니다. log a s 1 = f 1 및 log a s 2 = f 2 라고 하면 a f1 = s 1 , a f2 = s 2입니다. 우리는 s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2(도 속성 ), 정의에 따르면 log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, 이는 증명되어야 합니다.
몫의 로그는 다음과 같습니다: log a (s 1 / s 2) = log as 1 - log as 2.
공식 형식의 정리는 다음 형식을 취합니다: log a q b n = n/q log a b.

이 공식을 "대수 정도의 속성"이라고 합니다. 그것은 보통 정도의 속성과 비슷하며 모든 수학이 규칙적인 가정에 의존하기 때문에 놀라운 일이 아닙니다. 증거를 살펴보자.

log a b \u003d t라고 하면 a t \u003d b가 됩니다. 두 부분을 m의 거듭제곱으로 올리면: a tn = b n ;

그러나 a tn = (a q) nt/q = b n 이므로 log a q b n = (n*t)/t이면 log a q b n = n/q log a b입니다. 정리가 입증되었습니다.

문제와 불평등의 예

로그 문제의 가장 일반적인 유형은 방정식과 부등식의 예입니다. 거의 모든 문제집에서 찾을 수 있으며 수학 시험의 필수 부분에도 포함됩니다. 대학에 입학하거나 수학 입학 시험에 합격하려면 이러한 문제를 올바르게 해결하는 방법을 알아야 합니다.

불행하게도 로그의 알려지지 않은 값을 풀고 결정하기 위한 단일한 계획이나 체계는 없지만, 각각의 수학적 부등식이나 로그 방정식에 일정한 규칙이 적용될 수 있습니다. 우선, 표현을 단순화할 수 있는지 또는 다음과 같이 줄일 수 있는지 확인해야 합니다. 일반적인 견해. 긴 단순화 대수 표현식속성을 올바르게 사용하면 가능합니다. 곧 그들을 알게합시다.

로그 방정식을 풀 때 우리 앞에 어떤 종류의 로그가 있는지 결정해야 합니다. 표현식의 예에는 자연 로그 또는 십진수가 포함될 수 있습니다.

다음은 ln100, ln1026의 예입니다. 그들의 해결책은 기본 10이 각각 100과 1026이 되는 정도를 결정해야 한다는 사실로 귀결됩니다. 솔루션용 자연 로그로그 항등식 또는 그 속성을 적용해야 합니다. 다양한 유형의 대수 문제를 푸는 예를 살펴보겠습니다.

대수 공식을 사용하는 방법: 예제 및 솔루션 포함

따라서 대수에 주요 정리를 사용하는 예를 살펴보겠습니다.

곱의 로그 속성은 확장이 필요한 작업에 사용할 수 있습니다. 큰 중요성숫자 b를 더 간단한 인수로 바꿉니다. 예를 들어, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512입니다. 답은 9입니다.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - 보시다시피 대수 정도의 네 번째 속성을 사용하여 복잡하고 풀 수 없는 표현을 한 눈에 풀었습니다. 밑을 인수 분해 한 다음 로그 부호에서 지수 값을 취하면됩니다.

시험에서 과제

로그는 입학 시험에서 자주 발견되며, 특히 통합 상태 시험(모든 학교 졸업생을 위한 상태 시험)에서 많은 로그 문제가 발생합니다. 일반적으로 이러한 작업은 파트 A(가장 쉬운 테스트 부품시험)뿐만 아니라 파트 C(가장 어렵고 방대한 작업)에서도 마찬가지입니다. 시험은 "자연 로그" 주제에 대한 정확하고 완벽한 지식을 의미합니다.

예 및 문제 해결 방법은 공식에서 가져옵니다. 사용 옵션. 그러한 작업이 어떻게 해결되는지 봅시다.

주어진 로그 2(2x-1) = 4. 솔루션:
식을 다시 작성하여 조금 단순화합니다. x = 8.5.

솔루션이 번거롭거나 혼란스럽지 않도록 모든 로그는 동일한 밑으로 가장 잘 축소됩니다.
로그 부호 아래의 모든 식은 양수로 나타내므로, 로그 부호 아래에 있는 식의 지수의 지수를 빼서 밑으로 할 때, 로그 아래에 남은 식이 양수여야 한다.

\(a^(b)=c\) \(\왼쪽 화살표\) \(\log_(a)(c)=b\)

쉽게 설명해보자. 예를 들어 \(\log_(2)(8)\)은 \(8\)을 얻기 위해 \(2\)를 올려야 하는 거듭제곱과 같습니다. 이것으로부터 \(\log_(2)(8)=3\)이 분명합니다.

예:	\(\log_(5)(25)=2\)	왜냐하면 \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	왜냐하면 \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	왜냐하면 \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

로그의 인수와 밑

모든 로그에는 다음과 같은 "해부학"이 있습니다.

로그의 인수는 일반적으로 해당 수준으로 작성되며 밑은 로그의 부호에 더 가까운 아래 첨자로 작성됩니다. 그리고 이 항목은 다음과 같이 읽힙니다. "25의 밑이 5인 로그."

로그를 계산하는 방법?

로그를 계산하려면 다음 질문에 답해야 합니다. 인수를 얻기 위해 밑을 어느 정도 올려야 합니까?

예를 들어, 로그를 계산합니다: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\)을 얻기 위해 \(4\)를 몇 제곱해야 합니까? 분명히 두 번째. 그 이유는 다음과 같습니다.

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\)을 얻기 위해 \(\sqrt(5)\)를 어떤 거듭제곱으로 올려야 합니까? 숫자를 단위로 만드는 정도는 얼마입니까? 물론 제로!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\)을 얻기 위해 \(\sqrt(7)\)를 어떤 거듭제곱으로 올려야 합니까? 첫 번째 - 첫 번째 정도의 숫자는 그 자체와 같습니다.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\)를 얻기 위해 \(3\)을 몇 제곱해야 합니까? 우리는 이것이 분수 거듭제곱임을 알고 있으므로 제곱근은 \(\frac(1)(2)\) 의 거듭제곱입니다.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

예 : 로그 계산 \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

해결책 :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		대수 값을 찾아야 합니다. x로 표시해 봅시다. 이제 로그의 정의를 사용합시다: \(\log_(a)(c)=b\) \(\왼쪽 화살표\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\)와 \(8\)을 연결하는 것은 무엇입니까? 둘, 두 숫자 모두 2로 나타낼 수 있기 때문입니다. \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		왼쪽에서 차수 속성을 사용합니다: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) 및 \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		기본이 동일합니다. 지표의 평등을 진행합니다.
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		방정식의 양변에 \(\frac(2)(5)\)를 곱합니다.
		결과 근은 로그 값입니다.

답변 : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

로그는 왜 발명되었을까?

이것을 이해하기 위해 방정식을 풀어봅시다: \(3^(x)=9\). 평등이 작동하도록 \(x\)를 일치시키기만 하면 됩니다. 물론 \(x=2\)입니다.

이제 방정식을 풉니다: \(3^(x)=8\). x는 무엇과 같습니까? 그게 요점입니다.

가장 독창적인 사람은 "X는 2보다 약간 작습니다."라고 말할 것입니다. 이 숫자는 정확히 어떻게 쓰여질까요? 이 질문에 답하기 위해 그들은 로그를 생각해 냈습니다. 그 덕분에 여기에 답은 \(x=\log_(3)(8)\)로 쓸 수 있습니다.

\(\log_(3)(8)\) 뿐만 아니라 모든 로그는 숫자일 뿐입니다. 예, 이상해 보이지만 짧습니다. 10진수로 나타내면 다음과 같을 것입니다. \(1.892789260714.....\)

예 : 방정식 풀기 \(4^(5x-4)=10\)

해결책 :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) 및 \(10\)은 같은 밑으로 줄일 수 없습니다. 그래서 여기서 로그 없이는 할 수 없습니다. 로그의 정의를 사용합시다: \(a^(b)=c\) \(\왼쪽 화살표\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		x가 왼쪽에 오도록 방정식을 뒤집습니다.
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		우리 앞에. \(4\)를 오른쪽으로 이동합니다. 로그를 두려워하지 말고 일반 숫자처럼 다루십시오.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		방정식을 5로 나눕니다.
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		여기 우리의 뿌리가 있습니다. 예, 비정상적으로 보이지만 답변이 선택되지 않았습니다.

답변 : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

십진수 및 자연 로그

로그의 정의에 명시된 바와 같이, 그 밑은 임의일 수 있습니다. 정수단, \((a>0, a\neq1)\) 단위는 예외입니다. 그리고 가능한 모든 밑수 중에서, 너무 자주 발생하는 두 가지가 있어서 그들과 함께 로그에 대해 특별한 짧은 표기법이 발명되었습니다:

자연 로그: 밑이 오일러 수 \(e\)(대략 \(2.7182818…\)와 같음)인 로그이고 로그는 \(\ln(a)\)로 표시됩니다.

그건, \(\ln(a)\)는 \(\log_(e)(a)\)와 같습니다.

십진수 로그: 밑이 10인 로그는 \(\lg(a)\)로 씁니다.

그건, \(\lg(a)\)는 \(\log_(10)(a)\)와 같습니다., 여기서 \(a\)는 숫자입니다.

기본 대수 항등식

로그에는 많은 속성이 있습니다. 그 중 하나는 "메인 대수 항등식' 그리고 다음과 같이 보입니다.

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

이 속성은 정의에서 직접 따릅니다. 이 공식이 어떻게 생겼는지 봅시다.

기억하자 짧은 메모로그 정의:

\(a^(b)=c\)이면 \(\log_(a)(c)=b\)

즉 \(b\)는 \(\log_(a)(c)\)와 같습니다. 그런 다음 공식 \(a^(b)=c\) 에서 \(b\) 대신 \(\log_(a)(c)\) 를 쓸 수 있습니다. 그것은 \(a^(\log_(a)(c))=c\) - 주요 대수 항등식으로 밝혀졌습니다.

로그의 나머지 속성을 찾을 수 있습니다. 도움을 받으면 직접 계산하기 어려운 로그를 사용하여 표현식 값을 단순화하고 계산할 수 있습니다.

예 : 식 \(36^(\log_(6)(5))\)의 값을 찾습니다.

해결책 :

답변 : \(25\)

숫자를 로그로 쓰는 방법?

위에서 언급했듯이 모든 로그는 숫자일 뿐입니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 모든 숫자는 로그로 쓸 수 있습니다. 예를 들어 \(\log_(2)(4)\)가 2라는 것을 알고 있습니다. 그런 다음 2개 대신 \(\log_(2)(4)\)를 쓸 수 있습니다.

그러나 \(\log_(3)(9)\) 도 \(2\) 와 같으므로 \(2=\log_(3)(9)\) 이라고 쓸 수도 있습니다. 마찬가지로 \(\log_(5)(25)\) 및 \(\log_(9)(81)\) 등이 있습니다. 즉, 밝혀졌습니다

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

따라서 필요한 경우 임의의 밑을 사용하여 둘을 로그로 작성할 수 있습니다(방정식, 표현식, 부등식에서도). 우리는 단지 제곱 밑을 인수로 씁니다.

삼중도 마찬가지입니다. \(\log_(2)(8)\) 또는 \(\log_(3)(27)\) 또는 \(\log_(4)( 64) \) ... 여기서 우리는 큐브의 밑을 인수로 씁니다.

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

그리고 4개:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

그리고 마이너스 1:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

그리고 1/3로:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

모든 숫자 \(a\)는 밑이 \(b\)인 로그로 나타낼 수 있습니다: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

예 : 표현식의 값 찾기 \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

해결책 :

답변 : \(1\)

사회의 발전, 생산의 복잡성과 함께 수학도 발전했습니다. 단순한 것에서 복잡한 것으로의 이동. 덧셈과 뺄셈의 일반적인 회계 방법에서 반복되는 반복으로 곱셈과 나눗셈의 개념에 도달했습니다. 곱셈 반복 연산의 감소는 지수화의 개념이 되었습니다. 기본에 대한 숫자의 의존성과 지수의 수에 대한 첫 번째 테이블은 8 세기에 인도 수학자 Varasena에 의해 편집되었습니다. 그들로부터 대수 발생 시간을 계산할 수 있습니다.

역사적 개요

16세기 유럽의 부흥 역시 역학의 발전을 자극했습니다. 티 많은 양의 계산이 필요함여러 자리 숫자의 곱셈 및 나눗셈과 관련이 있습니다. 고대 테이블은 훌륭한 서비스를 제공했습니다. 복잡한 연산을 덧셈과 뺄셈과 같은 더 간단한 연산으로 대체할 수 있게 만들었습니다. 큰 진전은 1544년에 출판된 수학자 Michael Stiefel의 작업으로 많은 수학자들의 아이디어를 실현했습니다. 이것은 소수 형태의 정도뿐만 아니라 임의의 유리수에 대해서도 테이블을 사용할 수 있게 했습니다.

1614년 스코틀랜드인 존 네이피어는 이러한 아이디어를 발전시키면서 "숫자의 대수"라는 새로운 용어를 처음 도입했습니다. 탄젠트뿐만 아니라 사인과 코사인의 로그를 계산하기 위해 새로운 복합 테이블이 작성되었습니다. 이것은 천문학자들의 작업을 크게 줄였습니다.

과학자들이 성공적으로 사용한 새로운 테이블이 나타나기 시작했습니다. 삼세기. 전에는 시간이 오래 걸렸습니다. 새로운 작업대수학에서 완성된 형태를 얻었습니다. 로그를 정의하고 그 속성을 연구했습니다.

20세기에 와서야 계산기와 컴퓨터가 등장하면서 인류는 13세기 내내 성공적으로 작동했던 고대 탁자를 버렸다.

오늘날 우리는 a의 거듭제곱인 숫자 x를 밑으로 하는 b의 로그를 호출하여 숫자 b를 얻습니다. 이것은 공식으로 쓰여집니다: x = log a(b).

예를 들어, log 3(9)는 2와 같습니다. 정의를 따른다면 이는 명백합니다. 3을 2제곱하면 9가 됩니다.

따라서 공식화된 정의는 숫자 a와 b가 실수여야 한다는 한 가지 제한만 둡니다.

로그의 종류

고전적인 정의는 실수 로그라고 하며 실제로 방정식 a x = b에 대한 해입니다. 옵션 a = 1은 경계선이며 관심이 없습니다. 참고: 1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

로그의 실제 값기준과 인수가 0보다 크고 기준이 1이 아니어야 하는 경우에만 정의됩니다.

수학 분야의 특별한 장소밑의 값에 따라 이름이 지정되는 대수를 재생합니다.

규칙 및 제한

로그의 기본 속성은 다음과 같은 규칙입니다. 곱의 로그는 로그 합과 같습니다. 로그 abp = 로그 a(b) + 로그 a(p).

이 진술의 변형으로 log c (b / p) \u003d log c (b)-log c (p), 몫 함수는 함수의 차이와 같습니다.

앞의 두 가지 규칙에서 쉽게 알 수 있습니다: log a(bp) = p * log a(b).

다른 속성은 다음과 같습니다.

논평. 일반적인 실수를 저 지르지 마십시오. 합계의 로그는 로그의 합계와 같지 않습니다.

수세기 동안 로그를 찾는 작업은 시간이 많이 걸리는 작업이었습니다. 수학자들은 다항식으로의 로그 확장 이론의 잘 알려진 공식을 사용했습니다.

ln(1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), 여기서 n은 계산의 정확도를 결정하는 1보다 큰 자연수입니다.

다른 밑을 가진 로그는 한 밑에서 다른 밑으로의 전이에 대한 정리와 곱의 로그 속성을 사용하여 계산되었습니다.

이 방법은 매우 힘들고 번거롭기 때문에 실전 문제를 풀 때구현하기 어려운 사전 컴파일된 로그 테이블을 사용하여 전체 작업을 크게 가속화했습니다.

어떤 경우에는 특별히 컴파일된 대수 그래프가 사용되어 정확도는 떨어졌지만 원하는 값을 찾는 속도는 크게 향상되었습니다. 함수 y = 로그 a(x)의 곡선은 여러 지점에 구축되어 일반 눈금자를 사용하여 다른 지점에서 함수 값을 찾을 수 있습니다. 엔지니어 장기이를 위해 소위 그래프 용지가 사용되었습니다.

17세기에 최초의 보조 아날로그 컴퓨팅 조건이 나타났습니다. XIX 세기완성된 모습을 얻었다. 가장 성공적인 장치는 슬라이드 룰이라고 불렸습니다. 장치의 단순성에도 불구하고 그 외관은 모든 엔지니어링 계산 프로세스를 크게 가속화했으며 이는 과대 평가하기 어렵습니다. 현재 이 장치에 익숙한 사람은 거의 없습니다.

계산기와 컴퓨터의 출현으로 다른 장치를 사용하는 것이 무의미해졌습니다.

방정식과 부등식

다음 공식은 로그를 사용하여 다양한 방정식과 부등식을 푸는 데 사용됩니다.

한 염기에서 다른 염기로 전이: log a(b) = log c(b) / log c(a);
이전 버전의 결과: log a(b) = 1 / log b(a).

불평등을 해결하려면 다음을 아는 것이 유용합니다.

로그 값은 밑과 인수가 둘 다 1보다 크거나 작은 경우에만 양수입니다. 하나 이상의 조건이 위반되면 로그 값은 음수가 됩니다.
부등식의 오른쪽과 왼쪽에 로그 함수를 적용하고 로그의 밑이 1보다 크면 부등식의 부호가 보존됩니다. 그렇지 않으면 변경됩니다.

작업 예시

로그와 그 속성을 사용하기 위한 몇 가지 옵션을 고려하십시오. 방정식 풀이의 예:

정도에 로그를 배치하는 옵션을 고려하십시오.

작업 3. 25^log 5(3)을 계산합니다. 솔루션: 문제의 조건에서 표기법은 다음 (5^2)^log5(3) 또는 5^(2 * log 5(3))과 유사합니다. 다르게 써봅시다: 5^log 5(3*2), 또는 함수 인수로서의 숫자의 제곱은 함수 자체의 제곱(5^log 5(3))^2으로 쓸 수 있습니다. 로그의 속성을 사용하면 이 식은 3^2입니다. 대답: 계산 결과 9를 얻습니다.

실용

순전히 수학적 도구이기 때문에 실생활로그가 물체를 설명하는 데 갑자기 큰 중요성을 갖게 되었다는 것 현실 세계. 사용되지 않는 과학을 찾기가 어렵습니다. 이것은 자연뿐만 아니라 지식의 인문학 분야에도 완전히 적용됩니다.

로그 종속성

다음은 수치 종속성의 몇 가지 예입니다.

역학과 물리학

역사적으로 역학과 물리학은 항상 다음을 사용하여 발전했습니다. 수학적 방법연구와 동시에 대수를 포함한 수학 발전에 대한 인센티브 역할을했습니다. 대부분의 물리 법칙 이론은 수학 언어로 작성됩니다. 우리는 대수를 사용하여 물리적 법칙을 설명하는 두 가지 예만 제공합니다.

우주 탐사 이론의 토대를 마련한 Tsiolkovsky 공식을 사용하여 로켓의 속도와 같은 복잡한 양을 계산하는 문제를 해결할 수 있습니다.

V = I * ln(M1/M2), 여기서