namai › Įvairūs › Log 1 bazė 4. Logaritmo apibrėžimas ir jo savybės: teorija ir uždavinių sprendimas

Log 1 bazė 4. Logaritmo apibrėžimas ir jo savybės: teorija ir uždavinių sprendimas

Vienas iš primityvaus lygio algebros elementų yra logaritmas. Pavadinimas kilo iš graikų nuo žodžio „skaičius“ arba „galia“ ir reiškia galią, iki kurios reikia pakelti skaičių prie pagrindo, norint rasti galutinį skaičių.

Logaritmų tipai

log a b yra skaičiaus b logaritmas bazei a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
lg b - dešimtainis logaritmas (logaritmo bazė 10, a = 10);
ln b - natūralusis logaritmas (logaritmo bazė e, a = e).

Kaip išspręsti logaritmus?

Skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, kuris reikalauja, kad bazė a būtų padidinta iki skaičiaus b. Rezultatas tariamas taip: „b logaritmas iki a pagrindo“. Logaritminių uždavinių sprendimas yra tas, kad jums reikia nustatyti nurodytą laipsnį pagal skaičius pagal nurodytus skaičius. Yra keletas pagrindinių logaritmo nustatymo ar sprendimo taisyklių, taip pat paties žymėjimo transformavimo. Jais naudojant sprendžiamos logaritminės lygtys, randamos išvestinės, sprendžiami integralai, atliekama daug kitų operacijų. Iš esmės paties logaritmo sprendimas yra supaprastintas jo žymėjimas. Žemiau pateikiamos pagrindinės formulės ir savybės:

Bet kokiam a ; a > 0; a ≠ 1 ir bet kuriam x ; y > 0.

a log a b = b – pagrindinis logaritminė tapatybė
log a 1 = 0
log a a = 1
log a (x y ) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x , kai k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x \u003d log b x / log b a - perėjimo prie naujos bazės formulė
log a x = 1/log x a

Kaip išspręsti logaritmus - žingsnis po žingsnio sprendimo instrukcijos

Pirmiausia užrašykite reikiamą lygtį.

Atkreipkite dėmesį: jei bazinis logaritmas yra 10, tada įrašas sutrumpinamas, gaunamas dešimtainis logaritmas. Jei yra natūralusis skaičius e, tai užrašome, sumažindami iki natūraliojo logaritmo. Tai reiškia, kad visų logaritmų rezultatas yra laipsnis, iki kurio pakeliamas bazinis skaičius, norint gauti skaičių b.

Tiesiogiai sprendimas slypi apskaičiuojant šį laipsnį. Prieš sprendžiant išraišką logaritmu, ją reikia supaprastinti pagal taisyklę, tai yra, naudojant formules. Pagrindines tapatybes galite rasti šiek tiek grįžę į straipsnį.

Logaritmų sudėjimas ir atėmimas dviem įvairūs skaičiai, bet su tais pačiais pagrindais, pakeiskite vienu logaritmu skaičių b ir c sandauga arba padalijimu atitinkamai. Tokiu atveju perėjimo formulę galite pritaikyti kitai bazei (žr. aukščiau).

Jei naudojate išraiškas logaritmui supaprastinti, reikia žinoti kai kuriuos apribojimus. Ir tai yra: logaritmo a bazė yra tik teigiamas skaičius, bet ne lygus vienetui. Skaičius b, kaip ir a, turi būti didesnis už nulį.

Pasitaiko atvejų, kai supaprastinę išraišką negalėsite apskaičiuoti logaritmo skaitine forma. Pasitaiko, kad tokia išraiška neturi prasmės, nes daugelis laipsnių yra neracionalūs skaičiai. Esant šiai sąlygai, palikite skaičiaus laipsnį kaip logaritmą.

pagrindinės savybės.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

tuo pačiu pagrindu

log6 4 + log6 9.

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį.

Logaritmų sprendimo pavyzdžiai

Ką daryti, jei logaritmo bazėje arba argumente yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi ODZ logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x >

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Perėjimas prie naujo pagrindo

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Taip pat žiūrėkite:

Pagrindinės logaritmo savybės

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra 2,7 ir du kartus už Levo Tolstojaus gimimo metus.

Pagrindinės logaritmų savybės

Žinodami šią taisyklę žinosite ir tiksli vertė parodos dalyviai ir Levo Tolstojaus gimimo data.

Logaritmų pavyzdžiai

Paimkite išraiškų logaritmą

1 pavyzdys
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Pagal savybes 3,5 apskaičiuojame

4. Kur .

2 pavyzdys Raskite x if

3 pavyzdys. Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kurį skaičių, galima sudėti, atimti ir konvertuoti visais įmanomais būdais. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Privalote žinoti šias taisykles – be jų negalima išspręsti jokios rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – visko galima išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų sudėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su ta pačia baze: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Taigi, logaritmų suma yra lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas yra koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra tuo pačiu pagrindu. Jei bazės skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės jums apskaičiuoti logaritminė išraiška net kai neatsižvelgiama į atskiras jo dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Kadangi logaritmų pagrindai yra vienodi, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kaip matote, originalios išraiškos sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra nagrinėjami atskirai. Tačiau po transformacijų pasirodo visai normalūs skaičiai. Remiantis šiuo faktu, daugelis bandomieji darbai. Taip, kontrolė – egzamine siūlomi panašūs išsireiškimai visiškai rimtai (kartais – praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio pašalinimas iš logaritmo

Tai nesunku pastebėti paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti – kai kuriais atvejais tai gerokai sumažins skaičiavimų kiekį.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi ODZ logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai, t.y. prieš logaritmo ženklą esančius skaičius galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio pagal pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklis yra logaritmas, kurio bazė ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalingas paaiškinimas. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu.

Logaritmų formulės. Logaritmai yra sprendimų pavyzdžiai.

Jie pateikė ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą laipsnių pavidalu ir išėmė rodiklius - gavo „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklis ir vardiklis turi tą patį skaičių: log2 7. Kadangi log2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas yra atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. Ką daryti, jei pagrindai skiriasi? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo į naują bazę formulės. Suformuluojame juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei įdėsime c = x, gausime:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad galima sukeisti logaritmo bazę ir argumentą, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. logaritmas yra vardiklyje.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra užduočių, kurių niekaip nepavyks išspręsti, nebent pereinant prie naujo pagrindo. Panagrinėkime keletą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentai yra tikslūs eksponentai. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar apverskime antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia nuo faktorių permutacijos, ramiai padauginome keturis ir du, o tada išsiaiškinome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainis logaritmas, persikėlus į naują bazę:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendžiant skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikrai bazei. Šiuo atveju formulės mums padės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Jis vadinamas taip:

Iš tiesų, kas atsitiks, jei skaičius b bus padidintas iki tokio laipsnio, kad šio laipsnio skaičius b suteiktų skaičių a? Teisingai: tai tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą - daugelis žmonių ant jos „kabo“.

Kaip ir naujosios bazinės konvertavimo formulės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš pagrindo ir logaritmo argumento. Atsižvelgiant į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nors nežino, tai buvo tikra Vieningo valstybinio egzamino užduotis 🙂

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias sunku pavadinti savybėmis - tai greičiau logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat susiduria su problemomis ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

logaa = 1 yra. Atsiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a nuo pačios šios bazės yra lygus vienetui.
loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumentas yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Taip pat žiūrėkite:

Skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a reiškia išraišką. Apskaičiuoti logaritmą reiškia rasti tokią galią x (), kuriai esant lygybė yra teisinga

Pagrindinės logaritmo savybės

Aukščiau pateiktos savybės turi būti žinomos, nes jų pagrindu beveik visos problemos ir pavyzdžiai išsprendžiami remiantis logaritmais. Likusios egzotiškos savybės gali būti išvestos matematiškai manipuliuojant šiomis formulėmis

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Skaičiuojant logaritmų sumos ir skirtumo formules (3.4) tenka susidurti gana dažnai. Likusieji yra šiek tiek sudėtingi, tačiau atliekant daugybę užduočių jie yra būtini norint supaprastinti sudėtingas išraiškas ir apskaičiuoti jų reikšmes.

Dažni logaritmų atvejai

Kai kurie įprasti logaritmai yra tie, kurių bazė yra net dešimt, eksponentinė arba dviženklė.
Dešimties bazinis logaritmas paprastai vadinamas baziniu dešimties logaritmu ir tiesiog žymimas lg(x).

Iš protokolo matyti, kad pagrindai protokole nėra surašyti. Pavyzdžiui

Natūralusis logaritmas yra logaritmas, kurio pagrindas yra eksponentas (žymimas ln(x)).

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra 2,7 ir du kartus už Levo Tolstojaus gimimo metus. Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.

Ir dar vienas svarbus bazinis dviejų logaritmas yra

Funkcijos logaritmo išvestinė lygi vienetui, padalytam iš kintamojo

Integralinis arba antiderivinis logaritmas nustatomas pagal priklausomybę

Aukščiau pateiktos medžiagos pakanka, kad galėtumėte išspręsti daugybę problemų, susijusių su logaritmais ir logaritmais. Kad būtų lengviau suprasti medžiagą, pateiksiu tik keletą bendrų pavyzdžių iš mokyklos mokymo programa ir universitetai.

Logaritmų pavyzdžiai

Paimkite išraiškų logaritmą

1 pavyzdys
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Pagal savybes 3,5 apskaičiuojame

2.
Pagal logaritmų skirtumų savybę turime

3.
Naudodami savybes 3.5 randame

4. Kur .

Iš pažiūros sudėtinga išraiška, naudojanti daugybę taisyklių, supaprastinama iki formos

Logaritmo verčių radimas

2 pavyzdys Raskite x if

Sprendimas. Skaičiavimui taikome 5 ir 13 savybes iki paskutinio termino

Pakeisti įraše ir apraudoti

Kadangi bazės yra lygios, išraiškas sulyginame

Logaritmai. Pirmas lygis.

Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Sprendimas: Paimkite kintamojo logaritmą, kad užrašytumėte logaritmą per terminų sumą

Tai tik pažinties su logaritmais ir jų savybėmis pradžia. Praktikuokite skaičiavimus, praturtinkite savo praktinius įgūdžius – greitai jums prireiks įgytų žinių sprendžiant logaritmines lygtis. Išstudijavę pagrindinius tokių lygčių sprendimo būdus, mes išplėsime jūsų žinias kitai ne mažiau svarbiai temai - logaritminėms nelygybėms ...

Pagrindinės logaritmų savybės

Privalote žinoti šias taisykles – be jų negalima išspręsti jokios rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – visko galima išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų sudėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su ta pačia baze: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log6 4 + log6 9.

Kadangi logaritmų pagrindai yra vienodi, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kaip matote, originalios išraiškos sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra nagrinėjami atskirai. Tačiau po transformacijų pasirodo visai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, kontrolė – egzamine siūlomi panašūs išsireiškimai visiškai rimtai (kartais – praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio pašalinimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo bazėje arba argumente yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti – kai kuriais atvejais tai gerokai sumažins skaičiavimų kiekį.

Kaip išspręsti logaritmus

Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio pagal pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklis yra logaritmas, kurio bazė ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinį pavyzdį reikia paaiškinti. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Jie pateikė ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą laipsnių pavidalu ir išėmė rodiklius - gavo „trijų aukštų“ trupmeną.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Į pagalbą ateina perėjimo į naują bazę formulės. Suformuluojame juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei įdėsime c = x, gausime:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad galima sukeisti logaritmo bazę ir argumentą, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. logaritmas yra vardiklyje.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra užduočių, kurių niekaip nepavyks išspręsti, nebent pereinant prie naujo pagrindo. Panagrinėkime keletą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentai yra tikslūs eksponentai. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar apverskime antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia nuo faktorių permutacijos, ramiai padauginome keturis ir du, o tada išsiaiškinome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendžiant skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikrai bazei. Šiuo atveju formulės mums padės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Jis vadinamas taip:

Kaip ir naujosios bazinės konvertavimo formulės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš pagrindo ir logaritmo argumento. Atsižvelgiant į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nors nežino, tai buvo tikra Vieningo valstybinio egzamino užduotis 🙂

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

logaa = 1 yra. Atsiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a nuo pačios šios bazės yra lygus vienetui.
loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumentas yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Pateikiamos pagrindinės natūraliojo logaritmo, grafiko, apibrėžimo srities, reikšmių aibės savybės, pagrindinės formulės, išvestinė, integralas, išplėtimas laipsnių eilutėje ir funkcijos ln x atvaizdavimas kompleksiniais skaičiais.

Apibrėžimas

natūralusis logaritmas yra funkcija y = ln x, atvirkštinis eksponentui, x \u003d e y , ir kuris yra logaritmas skaičiaus e pagrindui: ln x = log e x.

Natūralusis logaritmas plačiai naudojamas matematikoje, nes jo išvestinė yra paprasčiausia: (ln x)′ = 1/x.

Pagrįstas apibrėžimai, natūraliojo logaritmo pagrindas yra skaičius e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Funkcijos y = grafikas ln x.

Natūralaus logaritmo grafikas (funkcijos y = ln x) gaunamas iš eksponentinės diagramos veidrodinis atspindys tiesės atžvilgiu y = x .

Natūralusis logaritmas yra apibrėžtas teigiamoms x reikšmėms. Jis monotoniškai didėja savo apibrėžimo srityje.

Kaip x → 0 natūraliojo logaritmo riba yra minus begalybė ( - ∞ ).

Kaip x → + ∞, natūraliojo logaritmo riba yra plius begalybė ( + ∞ ). Didelio x logaritmas didėja gana lėtai. Bet kuri laipsnio funkcija x a su teigiamu eksponentu a auga greičiau nei logaritmas.

Natūralaus logaritmo savybės

Apibrėžimo sritis, reikšmių rinkinys, ekstremumai, padidėjimas, sumažėjimas

Natūralusis logaritmas yra monotoniškai didėjanti funkcija, todėl jis neturi ekstremalių. Pagrindinės natūraliojo logaritmo savybės pateiktos lentelėje.

ln x reikšmės

log 1 = 0

Pagrindinės natūraliųjų logaritmų formulės

Formulės, kylančios iš atvirkštinės funkcijos apibrėžimo:

Pagrindinė logaritmų savybė ir jos pasekmės

Bazės pakeitimo formulė

Bet koks logaritmas gali būti išreikštas natūraliais logaritmais naudojant bazės pokyčio formulę:

Šių formulių įrodymai pateikti skiltyje „Logaritmas“.

Atvirkštinė funkcija

Natūralaus logaritmo atvirkštinė vertė yra eksponentas.

Jei tada

Jei tada .

Išvestinė ln x

Natūralaus logaritmo išvestinė:
.
Modulio x natūraliojo logaritmo išvestinė:
.
n-osios eilės vedinys:
.
Formulių išvedimas >>>

Integralinis

Integralas apskaičiuojamas integruojant dalimis:
.
Taigi,

Išraiškos kompleksiniais skaičiais

Apsvarstykite sudėtingo kintamojo z funkciją:
.
Išreikškime kompleksinį kintamąjį z per modulį r ir argumentas φ :
.
Naudodami logaritmo savybes, turime:
.
Arba
.
Argumentas φ nėra vienareikšmiškai apibrėžtas. Jei įdėtume
, kur n yra sveikas skaičius,
tada jis bus tas pats skaičius skirtingiems n.

Todėl natūralusis logaritmas, kaip sudėtingo kintamojo funkcija, nėra vienareikšmė funkcija.

Galios serijos išplėtimas

Išplėtimas vyksta:

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir aukštųjų mokyklų studentams, Lan, 2009 m.

\(a^(b)=c\) \(\Rodyklė į kairę\) \(\log_(a)(c)=b\)

Paaiškinkime lengviau. Pavyzdžiui, \(\log_(2)(8)\) yra lygi galiai \(2\), kurią reikia padidinti iki, kad gautumėte \(8\). Iš to aišku, kad \(\log_(2)(8)=3\).

Pavyzdžiai:	\(\log_(5)(25)=2\)	nes \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	nes \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	nes \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumentas ir logaritmo pagrindas

Bet kuris logaritmas turi tokią „anatomiją“:

Logaritmo argumentas dažniausiai rašomas jo lygmenyje, o bazė rašoma apatiniu indeksu arčiau logaritmo ženklo. Ir šis įrašas skaitomas taip: „dvidešimt penkių logaritmas iki penkių bazės“.

Kaip apskaičiuoti logaritmą?

Norėdami apskaičiuoti logaritmą, turite atsakyti į klausimą: kokiu laipsniu reikia pakelti bazę, kad gautumėte argumentą?

Pavyzdžiui, apskaičiuokite logaritmą: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Kokia galia turi būti padidinta \(4\), kad gautume \(16\)? Akivaizdu, kad antrasis. Štai kodėl:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Kokia galia turi būti padidinta \(\sqrt(5)\), kad gautume \(1\)? O koks laipsnis bet kurį skaičių paverčia vienetu? Nulis, žinoma!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Kokia galia turi būti padidinta \(\sqrt(7)\), kad gautume \(\sqrt(7)\)? Pirmajame - bet koks skaičius pirmojo laipsnio yra lygus sau.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Kokia galia turi būti padidinta \(3\), kad gautume \(\sqrt(3)\)? Mes žinome, kad tai yra trupmeninė galia, o tai reiškia Kvadratinė šaknis yra laipsnis \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Pavyzdys : Apskaičiuokite logaritmą \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Sprendimas :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Turime rasti logaritmo reikšmę, pažymėkime ją x. Dabar naudokime logaritmo apibrėžimą: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Rodyklė į kairę\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Kas susieja \(4\sqrt(2)\) ir \(8\)? Du, nes abu skaičiai gali būti pavaizduoti dviem: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Kairėje pusėje naudojame laipsnio ypatybes: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ir \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Bazės yra lygios, pereiname prie rodiklių lygybės
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Padauginkite abi lygties puses iš \(\frac(2)(5)\)
		Gauta šaknis yra logaritmo reikšmė

Atsakymas : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Kodėl buvo išrastas logaritmas?

Norėdami tai suprasti, išspręskime lygtį: \(3^(x)=9\). Tiesiog suderinkite \(x\), kad lygybė veiktų. Žinoma, \(x=2\).

Dabar išspręskite lygtį: \(3^(x)=8\). Kam x lygus? Tai yra esmė.

Išradingiausi pasakys: „X yra šiek tiek mažiau nei du“. Kaip tiksliai turi būti parašytas šis skaičius? Norėdami atsakyti į šį klausimą, jie sugalvojo logaritmą. Jo dėka atsakymas čia gali būti parašytas kaip \(x=\log_(3)(8)\).

Noriu pabrėžti, kad \(\log_(3)(8)\), taip pat bet koks logaritmas yra tik skaičius. Taip, atrodo neįprastai, bet trumpas. Nes jei norėtume rašyti kaip dešimtainį skaičių, jis atrodytų taip: \(1.892789260714.....\)

Pavyzdys : išspręskite lygtį \(4^(5x-4)=10\)

Sprendimas :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) ir \(10\) negali būti redukuojami į tą pačią bazę. Taigi čia neapsieisite be logaritmo. Naudokime logaritmo apibrėžimą: \(a^(b)=c\) \(\Rodyklė į kairę\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Apverskite lygtį taip, kad x būtų kairėje
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Prieš mus. Perkelkite \(4\) į dešinę. Ir nebijokite logaritmo, traktuokite jį kaip įprastą skaičių.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Padalinkite lygtį iš 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Čia yra mūsų šaknis. Taip, atrodo neįprastai, bet atsakymas nepasirinktas.

Atsakymas : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dešimtainiai ir natūralūs logaritmai

Kaip nurodyta logaritmo apibrėžime, jo bazė gali būti bet koks teigiamas skaičius, išskyrus vieną \((a>0, a\neq1)\). Ir tarp visų galimų bazių yra du, kurie pasitaiko taip dažnai, kad logaritmams su jais buvo išrastas specialus trumpas žymėjimas:

Natūralusis logaritmas: logaritmas, kurio pagrindas yra Eulerio skaičius \(e\) (lygus apytiksliai \(2,7182818…\)), o logaritmas parašytas kaip \(\ln(a)\).

Tai yra, \(\ln(a)\) yra toks pat kaip \(\log_(e)(a)\)

Dešimtainis logaritmas: logaritmas, kurio bazė yra 10, rašoma \(\lg(a)\).

Tai yra, \(\lg(a)\) yra toks pat kaip \(\log_(10)(a)\), kur \(a\) yra koks nors skaičius.

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Logaritmai turi daug savybių. Vienas iš jų vadinamas „Pagrindinė logaritminė tapatybė“ ir atrodo taip:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ši savybė tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimo. Pažiūrėkime, kaip tiksliai atsirado ši formulė.

Prisiminkime trumpa pastaba logaritmų apibrėžimai:

jei \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)

Tai yra, \(b\) yra toks pat kaip \(\log_(a)(c)\). Tada galime parašyti \(\log_(a)(c)\) vietoj \(b\) formulėje \(a^(b)=c\) . Paaiškėjo, kad \(a^(\log_(a)(c))=c\) - pagrindinė logaritminė tapatybė.

Galite rasti likusias logaritmų savybes. Jų pagalba galite supaprastinti ir apskaičiuoti logaritmų išraiškų reikšmes, kurias sunku tiesiogiai apskaičiuoti.

Pavyzdys : Raskite išraiškos reikšmę \(36^(\log_(6)(5))\)

Sprendimas :

Atsakymas : \(25\)

Kaip parašyti skaičių kaip logaritmą?

Kaip minėta aukščiau, bet koks logaritmas yra tik skaičius. Taip pat yra atvirkščiai: bet kurį skaičių galima parašyti logaritmu. Pavyzdžiui, žinome, kad \(\log_(2)(4)\) yra lygus dviem. Tada vietoj dviejų galite parašyti \(\log_(2)(4)\).

Tačiau \(\log_(3)(9)\) taip pat yra lygus \(2\), todėl taip pat galite parašyti \(2=\log_(3)(9)\) . Panašiai ir su \(\log_(5)(25)\) ir su \(\log_(9)(81)\) ir kt. Tai yra, pasirodo

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Taigi, jei reikia, galime užrašyti du kaip logaritmą su bet kuria baze bet kurioje vietoje (net lygtyje, net išraiškoje, net nelygybėje) – tiesiog kvadratinę bazę rašome kaip argumentą.

Tas pats ir su trigubu – jis gali būti parašytas kaip \(\log_(2)(8)\), arba kaip \(\log_(3)(27)\), arba kaip \(\log_(4)( 64) \) ... Čia kaip argumentą įrašome bazę kube:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Ir su keturiais:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Ir su minusu vienu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\)\(...\)

Ir su trečdaliu:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bet koks skaičius \(a\) gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su baze \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Pavyzdys : Raskite išraiškos reikšmę \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Sprendimas :

Atsakymas : \(1\)

Palyginti su

galima nustatyti užduotį surasti bet kurį iš trijų skaičių iš kitų dviejų pateiktų. Duota a, o tada N randama eksponentiniu būdu. Jei duota N, o tada a randama ištraukus laipsnio x šaknį (arba eksponenciją). Dabar apsvarstykite atvejį, kai, esant a ir N, reikia rasti x.

Tegu skaičius N yra teigiamas: skaičius a yra teigiamas ir nelygus vienetui: .

Apibrėžimas. Skaičiaus N logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti a, kad gautumėte skaičių N; logaritmas žymimas

Taigi lygybėje (26.1) eksponentas randamas kaip N logaritmas bazei a. Įrašai

turi tą pačią reikšmę. Lygybė (26.1) kartais vadinama pagrindine logaritmų teorijos tapatybe; iš tikrųjų jis išreiškia logaritmo sąvokos apibrėžimą. Autorius šis apibrėžimas logaritmo a pagrindas visada yra teigiamas ir skiriasi nuo vienybės; logaritminis skaičius N yra teigiamas. Neigiami skaičiai ir nulis neturi logaritmų. Galima įrodyti, kad bet kuris skaičius, turintis tam tikrą bazę, turi tiksliai apibrėžtą logaritmą. Todėl lygybė reiškia. Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga čia yra esminė, kitaip išvada nebūtų pagrįsta, nes lygybė galioja bet kurioms x ir y reikšmėms.

1 pavyzdys. Rasti

Sprendimas. Norėdami gauti skaičių, turite padidinti bazę 2 iki galios Todėl.

Spręsdami tokius pavyzdžius galite įrašyti tokia forma:

2 pavyzdys. Rasti .

Sprendimas. Mes turime

1 ir 2 pavyzdžiuose nesunkiai radome norimą logaritmą, pateikdami logaritminį skaičių kaip bazės laipsnį su racionaliuoju eksponentu. Bendruoju atveju, pavyzdžiui, ir pan., to padaryti negalima, nes logaritmas turi neracionalią reikšmę. Atkreipkime dėmesį į vieną su šiuo teiginiu susijusį klausimą. 12 skirsnyje pristatėme galimybę apibrėžti bet kokią realią duotybės galią teigiamas skaičius. Tai buvo būtina norint įvesti logaritmus, kurie apskritai gali būti neracionalūs skaičiai.

Apsvarstykite kai kurias logaritmų savybes.

Savybė 1. Jeigu skaičius ir bazė lygūs, tai logaritmas lygus vienetui, ir atvirkščiai, jei logaritmas lygus vienetui, tai skaičius ir bazė yra lygūs.

Įrodymas. Tegul Pagal logaritmo apibrėžimą, mes turime ir iš kur

Ir atvirkščiai, tegul Tada pagal apibrėžimą

Savybė 2. Vienybės logaritmas bet kuriam pagrindui lygus nuliui.

Įrodymas. Pagal logaritmo apibrėžimą (bet kurios teigiamos bazės nulinė galia lygi vienetui, žr. (10.1)). Iš čia

Q.E.D.

Taip pat teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei , tada N = 1. Iš tiesų, mes turime .

Prieš nurodydami tokią logaritmų savybę, sutikime teigti, kad du skaičiai a ir b yra toje pačioje trečiojo skaičiaus c pusėje, jei jie abu yra didesni už c arba mažesni už c. Jei vienas iš šių skaičių yra didesnis už c, o kitas yra mažesnis už c, tada sakome, kad jie yra priešingose c pusėse.

Savybė 3. Jei skaičius ir bazė yra toje pačioje vienybės pusėje, tada logaritmas yra teigiamas; jei skaičius ir bazė yra priešingose vienybės pusėse, tada logaritmas yra neigiamas.

3 savybės įrodymas grindžiamas tuo, kad a laipsnis yra didesnis už vienetą, jei bazė yra didesnė už vieną, o rodiklis yra teigiamas, arba bazė yra mažesnė už vieną, o rodiklis yra neigiamas. Laipsnis yra mažesnis už vieną, jei bazė yra didesnė už vieną, o rodiklis yra neigiamas, arba bazė yra mažesnė už vieną, o rodiklis yra teigiamas.

Yra keturi atvejai, į kuriuos reikia atsižvelgti:

Apsiribojame pirmojo iš jų analize, likusias skaitytojas apsvarstys pats.

Tegu tada lygybės rodiklis nėra nei neigiamas, nei lygus nuliui, todėl jis yra teigiamas, t.y., kurį reikėjo įrodyti.

3 pavyzdys. Sužinokite, kurie iš šių logaritmų yra teigiami, o kurie neigiami:

Sprendimas, a) kadangi skaičius 15 ir pagrindas 12 yra toje pačioje įrenginio pusėje;

b) , nes 1000 ir 2 yra toje pačioje įrenginio pusėje; tuo pačiu metu nebūtina, kad bazė būtų didesnė už logaritminį skaičių;

c), nes 3,1 ir 0,8 yra priešingose vienybės pusėse;

G); Kodėl?

e) ; Kodėl?

Tokios savybės 4-6 dažnai vadinamos logaritmo taisyklėmis: jos leidžia, žinant kai kurių skaičių logaritmus, rasti kiekvieno jų sandaugos, koeficiento, laipsnio logaritmus.

4 savybė (produkto logaritmo taisyklė). Kelių teigiamų skaičių sandaugos logaritmas tam tikroje bazėje yra lygus šių skaičių logaritmų sumai toje pačioje bazėje.

Įrodymas. Tegu pateikiami teigiami skaičiai.

Jų sandaugos logaritmui rašome lygybę (26.1), apibrėžiančią logaritmą:

Iš čia randame

Palyginę pirmosios ir paskutinės išraiškos eksponentus, gauname reikiamą lygybę:

Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga yra būtina; dviejų neigiamų skaičių sandaugos logaritmas turi prasmę, bet šiuo atveju gauname

Apskritai, jei kelių veiksnių sandauga yra teigiama, tai jos logaritmas yra lygus šių veiksnių modulių logaritmų sumai.

5 savybė (datinio logaritmo taisyklė). Teigiamų skaičių dalinio logaritmas yra lygus skirtumui tarp dividendo ir daliklio logaritmų, paimtų toje pačioje bazėje. Įrodymas. Nuosekliai rasti

Q.E.D.

Savybė 6 (laipsnio logaritmo taisyklė). Bet kurio teigiamo skaičiaus laipsnio logaritmas yra lygus to skaičiaus logaritmui, padaugintam iš eksponento.

Įrodymas. Dar kartą įrašome pagrindinę numerio tapatybę (26.1):

Q.E.D.

Pasekmė. Teigiamo skaičiaus šaknies logaritmas yra lygus šaknies skaičiaus logaritmui, padalytam iš šaknies eksponento:

Šios išvados pagrįstumą galime įrodyti pateikdami kaip ir naudodami 6 savybę.

4 pavyzdys. Logaritmas a pagrindu:

a) (manoma, kad visos b, c, d, e reikšmės yra teigiamos);

b) (manoma, kad ).

Sprendimas, a) Šioje išraiškoje patogu perduoti trupmeninius laipsnius:

Remdamiesi lygybėmis (26.5)-(26.7) dabar galime parašyti:

Pastebime, kad su skaičių logaritmais atliekamos paprastesnės operacijos nei su pačiais skaičiais: dauginant skaičius jų logaritmai pridedami, dalijant – atimami ir t.t.

Štai kodėl skaičiavimo praktikoje buvo naudojami logaritmai (žr. 29 skyrių).

Veiksmas, atvirkštinis logaritmui, vadinamas potenciavimu, būtent: potencija yra veiksmas, kuriuo šis skaičius randamas pagal pateiktą skaičiaus logaritmą. Iš esmės, stiprinimas nėra joks ypatingas veiksmas: jis susijęs su bazės pakėlimu į galią ( lygus logaritmui skaičiai). Terminas „potencijavimas“ gali būti laikomas termino „eksponentavimas“ sinonimu.

Potencuojant būtina naudoti taisykles, kurios yra atvirkštinės logaritmo taisyklėms: logaritmų sumą pakeisti sandaugos logaritmu, logaritmų skirtumą – koeficiento logaritmu ir tt Ypač jei yra bet koks veiksnys prieš logaritmo ženklą, tada stiprinimo metu jis turi būti perkeltas į rodiklio laipsnius po logaritmo ženklu.

5 pavyzdys. Raskite N, jei žinoma, kad

Sprendimas. Atsižvelgiant į ką tik nurodytą potenciavimo taisyklę, koeficientai 2/3 ir 1/3, esantys prieš logaritmų ženklus dešinėje šios lygybės pusėje, bus perkelti į eksponentus, esančius šių logaritmų ženklais; mes gauname

Dabar logaritmų skirtumą pakeičiame koeficiento logaritmu:

norėdami gauti paskutinę šios lygybių grandinės trupmeną, išlaisvinome ankstesnę trupmeną nuo vardiklio neracionalumo (25 skyrius).

Savybė 7. Jei bazė didesnis už vieną, tai didesnio skaičiaus logaritmas didesnis (o mažesnio mažesnis), jei mažesnis už vienetą, tai didesnio skaičiaus logaritmas yra mažesnis (o mažesnio). vienas turi didesnį).

Ši savybė taip pat suformuluota kaip nelygybių logaritmo taisyklė, kurios abi dalys yra teigiamos:

Paimant nelygybių, kurių bazė yra didesnė už vienetą, logaritmas išsaugomas nelygybės ženklas, o imant logaritmą, kurio bazė mažesnė už vieną, nelygybės ženklas apverčiamas (taip pat žr. 80 punktą).

Įrodymas pagrįstas 5 ir 3 savybėmis. Apsvarstykite atvejį, kai If , tada ir, imant logaritmą, gauname

(a ir N/M yra toje pačioje vienybės pusėje). Iš čia