Kvadratinės lygties reikšmė. Kvadratinių lygčių sprendimas, šaknų formulė, pavyzdžiai

Kvadratinės lygties šaknų formulės. Nagrinėjami realių, daugialypių ir sudėtingų šaknų atvejai. Kvadratinio trinalio faktorinavimas. Geometrinė interpretacija. Šaknų nustatymo ir faktorizavimo pavyzdžiai.

Pagrindinės formulės

Apsvarstykite kvadratinę lygtį:
(1) .
Kvadratinės lygties šaknys(1) nustatomi pagal formules:
; .
Šias formules galima derinti taip:
.
Kai yra žinomos kvadratinės lygties šaknys, antrojo laipsnio daugianarį galima pavaizduoti kaip faktorių sandaugą (faktoriuotą):
.

Be to, manome, kad tai yra tikrieji skaičiai.
Apsvarstykite kvadratinės lygties diskriminantas:
.
Jei diskriminantas yra teigiamas, tada kvadratinė lygtis (1) turi dvi skirtingas realias šaknis:
; .
Tada kvadratinio trinalio faktorizacija turi tokią formą:
.
Jei diskriminantas lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis (1) turi dvi daugkartines (lygias) realiąsias šaknis:
.
faktorizavimas:
.
Jei diskriminantas yra neigiamas, kvadratinė lygtis (1) turi dvi sudėtingas konjuguotas šaknis:
;
.
Čia yra įsivaizduojamas vienetas ;
ir yra tikrosios ir įsivaizduojamos šaknų dalys:
; .
Tada

.

Grafinis interpretavimas

Jei pastatyti funkcijų grafikas
,
kuri yra parabolė, tada grafiko susikirtimo su ašimi taškai bus lygties šaknys
.
Kai , grafikas kerta abscisių ašį (ašį) dviejuose taškuose.
Kai , grafikas paliečia x ašį viename taške.
Kai , grafikas nekerta x ašies.

Žemiau pateikiami tokių grafikų pavyzdžiai.

Naudingos formulės, susijusios su kvadratine lygtimi

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Atliekame transformacijas ir pritaikome (f.1) ir (f.3) formules:




,
Kur
; .

Taigi, antrojo laipsnio daugianario formulę gavome tokia forma:
.
Iš to matyti, kad lygtis

atliktas
Ir .
Tai yra ir yra kvadratinės lygties šaknys
.

Kvadratinės lygties šaknų nustatymo pavyzdžiai

1 pavyzdys

(1.1) .

Sprendimas

.
Palyginus su mūsų lygtimi (1.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra teigiamas, lygtis turi dvi realias šaknis:
;
;
.

Iš čia gauname kvadratinio trinalio skaidymą į veiksnius:

.

Funkcijos y = grafikas 2 x 2 + 7 x + 3 kerta x ašį dviejuose taškuose.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis kerta x ašį (ašį) dviejuose taškuose:
Ir .
Šie taškai yra pradinės lygties (1.1) šaknys.

Atsakymas

;
;
.

2 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(2.1) .

Sprendimas

Įrašome kvadratinę lygtį bendras vaizdas:
.
Palyginus su pradine lygtimi (2.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra nulis, lygtis turi dvi daugybines (lygias) šaknis:
;
.

Tada trinario faktorizacija turi tokią formą:
.

Funkcijos y = x grafikas 2–4 x + 4 paliečia x ašį viename taške.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis paliečia x ašį (ašį) viename taške:
.
Šis taškas yra pradinės lygties (2.1) šaknis. Kadangi ši šaknis koeficientas du kartus:
,
tada tokia šaknis vadinama kartotiniu. Tai yra, jie mano, kad yra dvi vienodos šaknys:
.

Atsakymas

;
.

3 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(3.1) .

Sprendimas

Kvadratinę lygtį užrašome bendra forma:
(1) .
Perrašykime pradinę lygtį (3.1):
.
Palyginus su (1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Diskriminantas yra neigiamas, . Todėl tikrų šaknų nėra.

Galite rasti sudėtingų šaknų:
;
;
.

Tada


.

Funkcijos grafikas nekerta x ašies. Tikrų šaknų nėra.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis nekerta abscisės (ašies). Todėl tikrų šaknų nėra.

Atsakymas

Tikrų šaknų nėra. Sudėtingos šaknys:
;
;
.

2 vaizdo pamoka: Kvadratinių lygčių sprendimas

Paskaita: Kvadratinės lygtys

Lygtis

Lygtis- tai savotiška lygybė, kurios išraiškose yra kintamasis.

išspręskite lygtį- reiškia rasti tokį skaičių, o ne kintamąjį, kuris nuves jį į teisingą lygybę.

Lygtyje gali būti vienas sprendinys, keli arba iš viso nėra.

Norėdami išspręsti bet kurią lygtį, ją reikia kiek įmanoma supaprastinti iki formos:

Linijinis: a*x = b;

Kvadratas: a*x 2 + b*x + c = 0.

Tai yra, bet kuri lygtis prieš sprendžiant turi būti konvertuota į standartinę formą.

Bet kurią lygtį galima išspręsti dviem būdais: analitiniu ir grafiniu.

Grafike lygties sprendiniu laikomi taškai, kuriuose grafikas kerta x ašį.

Kvadratinės lygtys

Lygtis gali būti vadinama kvadratine, jei supaprastinta ji yra tokia:

a*x 2 + b*x + c = 0.

Kuriame a, b, c yra lygties koeficientai, kurie skiriasi nuo nulio. A "X"- lygties šaknis. Manoma, kad kvadratinė lygtis turi dvi šaknis arba gali visai neturėti sprendimo. Gautos šaknys gali būti vienodos.

"A"- koeficientas, esantis aikštėje priešais šaknį.

"b"- stovi prieš nežinomybę pirmame laipsnyje.

"Su"- laisvas lygties narys.

Jei, pavyzdžiui, turime formos lygtį:

2x 2 -5x+3=0

Jame "2" yra koeficientas, esantis aukščiausiame lygties naryje, "-5" yra antrasis koeficientas, o "3" yra laisvasis narys.

Kvadratinės lygties sprendimas

Yra daug būdų, kaip išspręsti kvadratinę lygtį. Tačiau mokykliniame matematikos kurse sprendimas nagrinėjamas naudojant Vieta teoremą, taip pat naudojant diskriminantą.

Diskriminuojantis sprendimas:

Sprendžiant su šis metodas būtina apskaičiuoti diskriminantą pagal formulę:

Jei atlikdami skaičiavimus gavote, kad diskriminantas yra mažesnis už nulį, tai reiškia, kad ši lygtis neturi sprendinių.

Jei diskriminantas lygus nuliui, tai lygtis turi du vienodus sprendinius. Šiuo atveju daugianarį galima sutraukti pagal sutrumpintą daugybos formulę į sumos arba skirtumo kvadratą. Tada išspręskite kaip tiesinę lygtį. Arba naudokite formulę:

Jei diskriminantas yra didesnis už nulį, reikia naudoti šį metodą:

Vietos teorema

Jei lygtis sumažinama, tai yra, koeficientas didžiausiu terminu yra lygus vienetui, galite naudoti Vietos teorema.

Taigi, tarkime, lygtis yra tokia:

Lygties šaknys randamos taip:

Nebaigta kvadratinė lygtis

Yra keletas variantų, kaip gauti neišsamią kvadratinę lygtį, kurios forma priklauso nuo koeficientų buvimo.

1. Jei antrasis ir trečiasis koeficientai lygūs nuliui (b = 0, c = 0), tada kvadratinė lygtis atrodys taip:

Ši lygtis turės vienintelis sprendimas. Lygybė bus teisinga tik tuo atveju, jei lygties sprendinys bus lygus nuliui.

Tęsiant temą „Lygčių sprendimas“, šio straipsnio medžiaga supažindins su kvadratinėmis lygtimis.

Apsvarstykime viską išsamiai: kvadratinės lygties esmę ir žymėjimą, nustatykime susijusius terminus, išanalizuokime nepilnų ir pilnųjų lygčių sprendimo schemą, susipažinkime su šaknų formule ir diskriminantu, nustatysime ryšius tarp šaknų ir koeficientų ir, žinoma, pateiksime vaizdinį praktinių pavyzdžių sprendimą.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratinė lygtis, jos tipai

1 apibrėžimas

Kvadratinė lygtis lygtis parašyta kaip a x 2 + b x + c = 0, Kur x– kintamasis, a , b ir c yra keletas skaičių, o a nėra nulis.

Dažnai kvadratinės lygtys taip pat vadinamos antrojo laipsnio lygtimis, nes iš tikrųjų kvadratinė lygtis yra antrojo laipsnio algebrinė lygtis.

Pateikiame pavyzdį, iliustruojantį pateiktą apibrėžimą: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 ir kt. yra kvadratinės lygtys.

2 apibrėžimas

Skaičiai a , b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai a x 2 + b x + c = 0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba vyresniuoju, arba koeficientu x 2, b – antruoju koeficientu, arba koeficientu at x, A c vadinamas laisvuoju nariu.

Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje 6 x 2 – 2 x – 11 = 0 didžiausias koeficientas yra 6 , antrasis koeficientas yra − 2 , o laisvasis terminas lygus − 11 . Atkreipkime dėmesį į tai, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami Trumpa forma formos įrašai 6 x 2 – 2 x – 11 = 0, bet ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Išsiaiškinkime ir šį aspektą: jei koeficientai a ir/arba b lygus 1 arba − 1 , tada jie gali nedalyvauti rašant kvadratinę lygtį, o tai paaiškinama nurodytų skaitinių koeficientų rašymo ypatumais. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 − y + 7 = 0 senjorų koeficientas yra 1, o antrasis koeficientas yra − 1 .

Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys

Pagal pirmojo koeficiento reikšmę kvadratinės lygtys skirstomos į redukuotas ir neredukuotas.

3 apibrėžimas

Sumažinta kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurios pagrindinis koeficientas yra 1. Kitoms pirmaujančio koeficiento reikšmėms kvadratinė lygtis nesumažinama.

Štai keli pavyzdžiai: kvadratinės lygtys x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 sumažinamos, kiekvienoje iš jų pirmaujantis koeficientas yra 1 .

9 x 2 – x – 2 = 0- nesumažintą kvadratinę lygtį, kur pirmasis koeficientas skiriasi nuo 1 .

Bet kurią nesumažintą kvadratinę lygtį galima paversti redukuota lygtimi, padalijus abi jos dalis iš pirmojo koeficiento (ekvivalentinė transformacija). Transformuota lygtis turės tokias pačias šaknis kaip ir duota neredukuota lygtis arba neturės šaknų.

Svarstymas atvejo analizė leis vaizdžiai parodyti perėjimą nuo neredukuotos kvadratinės lygties prie redukuotos.

1 pavyzdys

Duota lygtis 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Būtina paversti pradinę lygtį į sumažintą formą.

Sprendimas

Pagal aukščiau pateiktą schemą abi pradinės lygties dalis padaliname iš pirmaujančio koeficiento 6 . Tada gauname: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0:3, ir tai yra tas pats, kas: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ir toliau: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Iš čia: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Taigi gaunama lygtis, lygiavertė duotajai.

Atsakymas: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys

Pereikime prie kvadratinės lygties apibrėžimo. Jame mes tai nurodėme a ≠ 0. Panaši sąlyga yra būtina lygčiai a x 2 + b x + c = 0 buvo tiksliai kvadratinis, nes a = 0 ji iš esmės virsta tiesine lygtimi b x + c = 0.

Tuo atveju, kai koeficientai b Ir c yra lygūs nuliui (tai įmanoma tiek atskirai, tiek kartu), kvadratinė lygtis vadinama nepilna.

4 apibrėžimas

Nebaigta kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis a x 2 + b x + c \u003d 0, kur bent vienas iš koeficientų b Ir c(arba abu) yra nulis.

Pilna kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurioje visi skaitiniai koeficientai nėra lygūs nuliui.

Aptarkime, kodėl kvadratinių lygčių tipams suteikiami būtent tokie pavadinimai.

Jei b = 0, kvadratinė lygtis įgauna formą a x 2 + 0 x + c = 0, kuris yra toks pat kaip a x 2 + c = 0. At c = 0 kvadratinė lygtis parašyta kaip a x 2 + b x + 0 = 0, kuris yra lygiavertis a x 2 + b x = 0. At b = 0 Ir c = 0 lygtis įgaus formą a x 2 = 0. Mūsų gautos lygtys skiriasi nuo pilnos kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo nario, nei abiejų iš karto. Tiesą sakant, šis faktas davė pavadinimą tokio tipo lygtims - neišsamios.

Pavyzdžiui, x 2 + 3 x + 4 = 0 ir − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 yra pilnos kvadratinės lygtys; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 yra nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Aukščiau pateiktas apibrėžimas leidžia atskirti šiuos nepilnų kvadratinių lygčių tipus:

• a x 2 = 0, koeficientai atitinka tokią lygtį b = 0 ir c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0, kai c = 0.

Paeiliui apsvarstykite kiekvieno tipo nepilnos kvadratinės lygties sprendimą.

Lygties a x 2 \u003d 0 sprendimas

Kaip jau minėta aukščiau, tokia lygtis atitinka koeficientus b Ir c, lygus nuliui. Lygtis a x 2 = 0 galima konvertuoti į lygiavertę lygtį x2 = 0, kurį gauname padalydami abi pradinės lygties puses iš skaičiaus a, nelygu nuliui. Akivaizdus faktas yra tai, kad lygties šaknis x2 = 0 yra nulis, nes 0 2 = 0 . Ši lygtis neturi kitų šaknų, o tai paaiškinama laipsnio savybėmis: bet kuriam skaičiui p , nelygus nuliui, nelygybė yra tiesa p2 > 0, iš ko išplaukia, kad kada p ≠ 0 lygybė p2 = 0 niekada nepasieks.

5 apibrėžimas

Taigi nepilnai kvadratinei lygčiai a x 2 = 0 yra viena šaknis x=0.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, išspręskime nepilną kvadratinę lygtį − 3 x 2 = 0. Tai yra lygiavertė lygčiai x2 = 0, vienintelė jo šaknis yra x=0, tada pradinė lygtis turi vieną šaknį – nulį.

Sprendimas apibendrinamas taip:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 = 0, x \u003d 0.

Lygties a x 2 + c \u003d 0 sprendimas

Toliau eilėje yra nepilnų kvadratinių lygčių sprendimas, kur b \u003d 0, c ≠ 0, tai yra, formos lygtys a x 2 + c = 0. Transformuokime šią lygtį, perkeldami terminą iš vienos lygties pusės į kitą, pakeisdami ženklą į priešingą ir padalydami abi lygties puses iš skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui:

• iškęsti cį dešinę pusę, kuri suteikia lygtį a x 2 = − c;
• padalykite abi lygties puses iš a, gauname kaip rezultatas x = - c a .

Mūsų transformacijos yra lygiavertės, atitinkamai gauta lygtis taip pat yra lygiavertė pradinei, ir šis faktas leidžia padaryti išvadą apie lygties šaknis. Iš kokių vertybių a Ir c priklauso nuo išraiškos reikšmės - c a: ji gali turėti minuso ženklą (pavyzdžiui, jei a = 1 Ir c = 2, tada - c a = - 2 1 = - 2) arba pliuso ženklas (pavyzdžiui, jei a = -2 Ir c=6, tada - c a = - 6 - 2 = 3); jis nelygus nuliui, nes c ≠ 0. Išsamiau pakalbėkime apie situacijas, kai - c a< 0 и - c a > 0 .

Tuo atveju, kai - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p lygybė p 2 = - c a negali būti teisinga.

Viskas skiriasi, kai - c a > 0: prisiminkite kvadratinę šaknį ir taps akivaizdu, kad lygties x 2 \u003d - c a šaknis bus skaičius - c a, nes - c a 2 \u003d - c a. Nesunku suprasti, kad skaičius - - c a - taip pat yra lygties x 2 = - c a šaknis: iš tikrųjų - - c a 2 = - c a .

Lygtis neturės kitų šaknų. Tai galime parodyti naudodami priešingą metodą. Pirmiausia nustatykime aukščiau rastų šaknų žymėjimą kaip x 1 Ir − x 1. Tarkime, kad lygtis x 2 = - c a taip pat turi šaknį x2, kuris skiriasi nuo šaknų x 1 Ir − x 1. Mes tai žinome pakeisdami į lygtį, o ne x jos šaknis, lygtį paverčiame teisinga skaitine lygybe.

Dėl x 1 Ir − x 1 parašykite: x 1 2 = - c a , ir už x2- x 2 2 \u003d - c a. Remdamiesi skaitinių lygybių savybėmis, vieną tikrąją lygybę atimame iš kitos kadencijos, kuri duos mums: x 1 2 − x 2 2 = 0. Naudokite skaičių operacijų savybes, kad perrašytumėte paskutinę lygybę kaip (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Yra žinoma, kad dviejų skaičių sandauga yra nulis tada ir tik tada, kai bent vienas iš skaičių yra lygus nuliui. Iš to, kas pasakyta, išplaukia x1 − x2 = 0 ir/arba x1 + x2 = 0, kuris yra tas pats x2 = x1 ir/arba x 2 = − x 1. Iškilo akivaizdus prieštaravimas, nes iš pradžių buvo sutarta, kad lygties šaknis x2 skiriasi nuo x 1 Ir − x 1. Taigi, mes įrodėme, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus x = - c a ir x = - - c a .

Mes apibendriname visus aukščiau pateiktus argumentus.

6 apibrėžimas

Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 + c = 0 yra lygiavertis lygčiai x 2 = - c a , kuri:

• neturės šaknų ties - c a< 0 ;
• turės dvi šaknis x = - c a ir x = - - c a, kai - c a > 0 .

Pateiksime lygčių sprendimo pavyzdžių a x 2 + c = 0.

3 pavyzdys

Duota kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0 . Būtina rasti jos sprendimą.

Sprendimas

Laisvąjį terminą perkeliame į dešinę lygties pusę, tada lygtis įgaus formą 9 x 2 \u003d - 7.
Abi gautos lygties puses padalijame iš 9 , gauname x 2 = - 7 9 . Dešinėje pusėje matome skaičių su minuso ženklu, o tai reiškia: duotoji lygtis neturi šaknų. Tada pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturės šaknų.

Atsakymas: lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturi šaknų.

4 pavyzdys

Būtina išspręsti lygtį − x2 + 36 = 0.

Sprendimas

Perkelkime 36 į dešinę pusę: − x 2 = − 36.
Padalinkime abi dalis į − 1 , mes gauname x2 = 36. Dešinėje pusėje - teigiamas skaičius, todėl galima daryti išvadą, kad x = 36 arba x = - 36 .
Ištraukiame šaknį ir užrašome galutinį rezultatą: nepilną kvadratinę lygtį − x2 + 36 = 0 turi dvi šaknis x=6 arba x = -6.

Atsakymas: x=6 arba x = -6.

Lygties a x 2 +b x=0 sprendimas

Panagrinėkime trečiosios rūšies nepilnas kvadratines lygtis, kai c = 0. Rasti nepilnos kvadratinės lygties sprendimą a x 2 + b x = 0, naudojame faktorizavimo metodą. Paskaičiuokime daugianarį, esantį kairėje lygties pusėje, iš skliaustų išimdami bendrą koeficientą x. Šis žingsnis leis originalią nepilną kvadratinę lygtį paversti jos ekvivalentu x (a x + b) = 0. Ir ši lygtis, savo ruožtu, yra lygiavertė lygčių rinkiniui x=0 Ir a x + b = 0. Lygtis a x + b = 0 linijinis, o jo šaknis: x = − b a.

7 apibrėžimas

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a x 2 + b x = 0 turės dvi šaknis x=0 Ir x = − b a.

Sutvirtinkime medžiagą pavyzdžiu.

5 pavyzdys

Reikia rasti lygties 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 sprendinį.

Sprendimas

Išimkime x už skliaustų ir gaukite lygtį x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ši lygtis yra lygiavertė lygtims x=0 ir 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Dabar turėtumėte išspręsti gautą tiesinę lygtį: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Trumpai parašome lygties sprendimą taip:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 arba 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 arba x = 3 3 7

Atsakymas: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Norėdami rasti kvadratinių lygčių sprendimą, yra šaknies formulė:

8 apibrėžimas

x = - b ± D 2 a, kur D = b 2 − 4 a c yra vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas.

Rašymas x \u003d - b ± D 2 a iš esmės reiškia, kad x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Bus naudinga suprasti, kaip buvo gauta nurodyta formulė ir kaip ją pritaikyti.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Tarkime, kad mes susiduriame su užduotimi išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0. Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

• padalykite abi lygties puses iš skaičiaus a, skiriasi nuo nulio, gauname sumažintą kvadratinę lygtį: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• išskirti pilna aikštė kairėje gautos lygties pusėje:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Po to lygtis bus tokia: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• dabar galima perkelti paskutinius du narius į dešinę pusę, keičiant ženklą į priešingą, po kurio gauname: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• galiausiai transformuojame paskutinės lygybės dešinėje parašytą išraišką:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Taigi, mes priėjome prie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , kuri yra lygiavertė pradinei lygčiai a x 2 + b x + c = 0.

Tokių lygčių sprendimą aptarėme ankstesnėse pastraipose (neišsamių kvadratinių lygčių sprendimas). Jau įgyta patirtis leidžia padaryti išvadą apie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 šaknis:

• b 2 – 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, lygtis yra x + b 2 · a 2 = 0, tada x + b 2 · a = 0.

Iš čia vienintelė šaknis x = - b 2 · a yra akivaizdi;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 teisingas yra: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 arba x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , kuris yra toks pat kaip x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 arba x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , t.y. lygtis turi dvi šaknis.

Galima daryti išvadą, kad lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (taigi ir pradinės lygties) šaknų buvimas ar nebuvimas priklauso nuo išraiškos b 2 - 4 a c ženklo. 4 · 2 parašytas dešinėje pusėje. O šios išraiškos ženklą suteikia skaitiklio ženklas (vardiklis 4 ir 2 visada bus teigiamas), tai yra išraiškos ženklas b 2 − 4 a c. Ši išraiška b 2 − 4 a c pateikiamas pavadinimas - kvadratinės lygties diskriminantas ir raidė D apibrėžiama kaip jo žymėjimas. Čia galite užrašyti diskriminanto esmę - pagal jo reikšmę ir ženklą jie daro išvadą, ar kvadratinė lygtis turės realias šaknis, o jei taip, tai kiek šaknų - vieną ar dvi.

Grįžkime prie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Perrašykime jį diskriminantiniu žymėjimu: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Pakartokime išvadas:

9 apibrėžimas

• adresu D< 0 lygtis neturi realių šaknų;
• adresu D=0 lygtis turi vieną šaknį x = - b 2 · a ;
• adresu D > 0 lygtis turi dvi šaknis: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 arba x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Remiantis radikalų savybėmis, šias šaknis galima užrašyti taip: x \u003d - b 2 a + D 2 a arba - b 2 a - D 2 a. O kai atidarome modulius ir sumažiname trupmenas iki bendro vardiklio, gauname: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Taigi, mūsų samprotavimų rezultatas buvo kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D = b 2 − 4 a c.

Šios formulės leidžia, kai diskriminantas yra didesnis už nulį, nustatyti abi tikrąsias šaknis. Kai diskriminantas lygus nuliui, taikant abi formules bus gauta ta pati šaknis kaip vienintelis kvadratinės lygties sprendimas. Tuo atveju, kai diskriminantas yra neigiamas, bandant naudoti kvadratinę šaknies formulę, susidursime su būtinybe išgauti Kvadratinė šaknis iš neigiamo skaičiaus, kuris nuves mus už realiųjų skaičių. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturės realių šaknų, tačiau yra įmanoma sudėtingų konjuguotų šaknų pora, nustatoma pagal tas pačias šaknų formules, kurias gavome.

Kvadratinių lygčių sprendimo naudojant šaknies formules algoritmas

Kvadratinę lygtį galima išspręsti iš karto naudojant šaknies formulę, tačiau iš esmės tai daroma, kai reikia rasti sudėtingas šaknis.

Daugeliu atvejų paieška paprastai skirta ne sudėtingoms, o realioms kvadratinės lygties šaknims. Tada optimalu, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, pirmiausia nustatyti diskriminantą ir įsitikinti, kad jis nėra neigiamas (kitaip padarysime išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), o tada pradėti skaičiuoti šaknų vertė.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia suformuluoti kvadratinės lygties sprendimo algoritmą.

10 apibrėžimas

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0, būtina:

• pagal formulę D = b 2 − 4 a c rasti diskriminanto vertę;
• pas D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• jei D = 0, raskite vienintelę lygties šaknį pagal formulę x = - b 2 · a ;
• jei D > 0, nustatykite dvi realiąsias kvadratinės lygties šaknis pagal formulę x = - b ± D 2 · a.

Atkreipkite dėmesį, kad kai diskriminantas lygus nuliui, galite naudoti formulę x = - b ± D 2 · a , ji duos tokį patį rezultatą kaip ir formulė x = - b 2 · a .

Apsvarstykite pavyzdžius.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Pateiksime sprendimo pavyzdį skirtingos vertybės diskriminuojantis.

6 pavyzdys

Būtina rasti lygties šaknis x 2 + 2 x - 6 = 0.

Sprendimas

Rašome kvadratinės lygties skaitinius koeficientus: a \u003d 1, b \u003d 2 ir c = – 6. Toliau veikiame pagal algoritmą, t.y. Pradėkime skaičiuoti diskriminantą, kurį pakeisime koeficientais a , b Ir cį diskriminanto formulę: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Taigi, mes gavome D > 0, o tai reiškia, kad pradinė lygtis turės dvi realias šaknis.
Norėdami juos rasti, naudojame šaknies formulę x \u003d - b ± D 2 · a ir, pakeisdami atitinkamas reikšmes, gauname: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Supaprastiname gautą išraišką, išimdami koeficientą iš šaknies ženklo, o po to sumažindami trupmeną:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 arba x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 arba x = - 1 - 7

Atsakymas: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

7 pavyzdys

Būtina išspręsti kvadratinę lygtį − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Sprendimas

Apibrėžkime diskriminantą: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0. Esant šiai diskriminanto reikšmei, pradinė lygtis turės tik vieną šaknį, nustatytą pagal formulę x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Atsakymas: x = 3, 5.

8 pavyzdys

Būtina išspręsti lygtį 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Sprendimas

Šios lygties skaitiniai koeficientai bus tokie: a = 5 , b = 6 ir c = 2 . Norėdami rasti diskriminantą, naudojame šias reikšmes: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Apskaičiuotas diskriminantas yra neigiamas, todėl pradinė kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.

Tuo atveju, kai užduotis yra nurodyti sudėtingas šaknis, taikome šaknies formulę atlikdami operacijas su kompleksiniais skaičiais:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 arba x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i arba x = - 3 5 - 1 5 i .

Atsakymas: nėra tikrų šaknų; kompleksinės šaknys yra: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

IN mokyklos mokymo programa pagal nutylėjimą nereikalaujama ieškoti kompleksinių šaknų, todėl sprendžiant diskriminantą nustačius neigiamą, iškart įrašomas atsakymas, kad tikrų šaknų nėra.

Net antrojo koeficiento šakninė formulė

Šakninė formulė x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) leidžia gauti kitą formulę, kompaktiškesnę, leidžiančią rasti kvadratinių lygčių sprendinius su lyginiu koeficientu x (arba su koeficientu 2 a n formos, pavyzdžiui, 2 3 arba 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Parodykime, kaip gaunama ši formulė.

Tarkime, kad mes susiduriame su užduotimi rasti kvadratinės lygties a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 sprendimą. Veikiame pagal algoritmą: nustatome diskriminantą D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , tada naudojame šaknies formulę:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Tegul išraiška n 2 − a c žymima kaip D 1 (kartais žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties su antruoju koeficientu 2 n šaknų formulė įgis tokią formą:

x \u003d - n ± D 1 a, kur D 1 \u003d n 2 - a c.

Nesunku pastebėti, kad D = 4 · D 1 arba D 1 = D 4 . Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtadalis diskriminanto. Akivaizdu, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas, o tai reiškia, kad D 1 ženklas taip pat gali būti kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.

11 apibrėžimas

Taigi, norint rasti kvadratinės lygties su antruoju 2 n koeficientu sprendimą, būtina:

• rasti D 1 = n 2 − a c ;
• ties D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• jei D 1 = 0, nustatykite vienintelę lygties šaknį pagal formulę x = - n a ;
• jei D 1 > 0, nustatykite dvi realiąsias šaknis naudodami formulę x = - n ± D 1 a.

9 pavyzdys

Būtina išspręsti kvadratinę lygtį 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Sprendimas

Antrasis duotosios lygties koeficientas gali būti pavaizduotas kaip 2 · (− 3) . Tada duotą kvadratinę lygtį perrašome į 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , kur a = 5, n = −3 ir c = −32.

Apskaičiuokime ketvirtąją diskriminanto dalį: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Gauta reikšmė yra teigiama, o tai reiškia, kad lygtis turi dvi realias šaknis. Mes juos apibrėžiame pagal atitinkamą šaknų formulę:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 arba x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 arba x = - 2

Galima būtų atlikti skaičiavimus naudojant įprastą kvadratinės lygties šaknų formulę, tačiau tokiu atveju sprendimas būtų sudėtingesnis.

Atsakymas: x = 3 1 5 arba x = - 2 .

Kvadratinių lygčių formos supaprastinimas

Kartais galima optimizuoti pradinės lygties formą, o tai supaprastins šaknų skaičiavimo procesą.

Pavyzdžiui, kvadratinė lygtis 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 yra aiškiai patogesnė sprendžiant nei 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Dažniau kvadratinės lygties formos supaprastinimas atliekamas abi jos dalis dauginant arba dalijant iš tam tikro skaičiaus. Pavyzdžiui, aukščiau parodėme supaprastintą lygties 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 vaizdavimą, gautą padalijus abi jos dalis iš 100.

Tokia transformacija galima, kai kvadratinės lygties koeficientai nėra tarpusavyje susiję pirminiai skaičiai. Tada įprasta padalyti abi lygties puses iš didžiausios bendras daliklis absoliučios jo koeficientų vertės.

Kaip pavyzdį naudojame kvadratinę lygtį 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Apibrėžkime jo koeficientų absoliučių verčių gcd: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Abi pradinės kvadratinės lygties dalis padalinkime iš 6 ir gausime ekvivalentinę kvadratinę lygtį 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Padauginus abi kvadratinės lygties puses, trupmeniniai koeficientai paprastai pašalinami. Šiuo atveju padauginkite iš mažiausio bendro jo koeficientų vardiklių kartotinio. Pavyzdžiui, jei kiekviena kvadratinės lygties dalis 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 padauginama iš LCM (6, 3, 1) \u003d 6, tada ji bus parašyta daugiau paprasta forma x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Galiausiai pažymime, kad beveik visada atsikratykite minuso ties pirmuoju kvadratinės lygties koeficientu, keisdami kiekvieno lygties nario ženklus, o tai pasiekiama padauginus (arba padalijus) abi dalis iš −1. Pavyzdžiui, iš kvadratinės lygties - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, galite pereiti prie jos supaprastintos versijos 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Ryšys tarp šaknų ir koeficientų

Jau žinoma kvadratinių lygčių šaknų formulė x = - b ± D 2 · a lygties šaknis išreiškia jos skaitiniais koeficientais. Remdamiesi šia formule, turime galimybę nustatyti kitas priklausomybes tarp šaknų ir koeficientų.

Garsiausios ir taikomos yra Vietos teoremos formulės:

x 1 + x 2 \u003d - b a ir x 2 \u003d c a.

Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra antrasis koeficientas su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Pavyzdžiui, pagal kvadratinės lygties 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 formą galima iš karto nustatyti, kad jos šaknų suma yra 7 3, o šaknų sandauga yra 22 3.

Taip pat galite rasti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų suma gali būti išreikšta koeficientais:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Ši tema iš pradžių gali atrodyti sudėtinga dėl daugybės paprastos formulės. Ne tik pačios kvadratinės lygtys turi ilgus įrašus, bet ir šaknys randamos per diskriminantą. Iš viso yra trys naujos formulės. Nelabai lengva prisiminti. Tai įmanoma tik dažnai sprendžiant tokias lygtis. Tada visos formulės įsimins pačios.

Bendras kvadratinės lygties vaizdas

Čia siūlomas jų aiškus žymėjimas, kai pirmiausia rašomas didžiausias laipsnis, o po to - mažėjančia tvarka. Dažnai būna situacijų, kai terminai skiriasi. Tada geriau perrašyti lygtį kintamojo laipsnio mažėjimo tvarka.

Pristatykime žymėjimą. Jie pateikiami toliau esančioje lentelėje.

Jei priimsime šiuos žymėjimus, visos kvadratinės lygtys bus sumažintos iki tokio žymėjimo.

Be to, koeficientas a ≠ 0. Ši formulė bus pažymėta skaičiumi vienu.

Pateikus lygtį neaišku, kiek šaknų bus atsakyme. Kadangi visada galimas vienas iš trijų variantų:

• tirpalas turės dvi šaknis;
• atsakymas bus vienas skaičius;
• Lygtis iš viso neturi šaknų.

Ir nors sprendimas nėra baigtas, sunku suprasti, kuris iš variantų konkrečiu atveju iškris.

Kvadratinių lygčių įrašų tipai

Užduotys gali turėti skirtingus įrašus. Jie ne visada atrodys kaip bendra kvadratinės lygties formulė. Kartais pritrūks kai kurių terminų. Tai, kas buvo parašyta aukščiau, yra visa lygtis. Jei pašalinsite antrą ar trečią terminą, gausite kažką kito. Šie įrašai dar vadinami kvadratinėmis lygtimis, tik nepilnais.

Be to, gali išnykti tik tie terminai, kurių koeficientai „b“ ir „c“. Skaičius „a“ jokiomis aplinkybėmis negali būti lygus nuliui. Nes tokiu atveju formulė virsta tiesine lygtimi. Neišsamios lygčių formos formulės bus tokios:

Taigi, yra tik dviejų tipų, be pilnųjų, yra ir nepilnų kvadratinių lygčių. Tegul pirmoji formulė yra numeris du, o antroji - trys.

Diskriminantas ir šaknų skaičiaus priklausomybė nuo jo vertės

Šis skaičius turi būti žinomas, kad būtų galima apskaičiuoti lygties šaknis. Jį visada galima apskaičiuoti, nesvarbu, kokia būtų kvadratinės lygties formulė. Norėdami apskaičiuoti diskriminantą, turite naudoti žemiau parašytą lygybę, kuri turės skaičių keturi.

Pakeitę koeficientų reikšmes į šią formulę, galite gauti skaičius skirtingi ženklai. Jei atsakymas yra teigiamas, atsakymas į lygtį bus dvi skirtingos šaknys. Esant neigiamam skaičiui, kvadratinės lygties šaknų nebus. Jei jis lygus nuliui, atsakymas bus vienas.

Kaip išsprendžiama visa kvadratinė lygtis?

Tiesą sakant, šis klausimas jau pradėtas svarstyti. Nes pirmiausia reikia rasti diskriminantą. Išaiškinus, kad yra kvadratinės lygties šaknys ir žinomas jų skaičius, reikia naudoti kintamųjų formules. Jei yra dvi šaknys, tuomet reikia taikyti tokią formulę.

Kadangi jame yra ženklas „±“, bus dvi reikšmės. Po kvadratinės šaknies ženklu esanti išraiška yra diskriminantas. Todėl formulę galima perrašyti kitaip.

Formulė penkta. Iš to paties įrašo matyti, kad jei diskriminantas yra nulis, tada abi šaknys įgis tokias pačias reikšmes.

Jei kvadratinių lygčių sprendimas dar nebuvo parengtas, prieš taikant diskriminacines ir kintamąsias formules geriau užsirašyti visų koeficientų reikšmes. Vėliau šis momentas nesukels sunkumų. Tačiau pačioje pradžioje kyla sumaištis.

Kaip sprendžiama nepilna kvadratinė lygtis?

Čia viskas daug paprasčiau. Net nereikia papildomų formulių. Ir nereikės tų, kurie jau parašyti diskriminantui ir nežinomam.

Pirma, apsvarstykite nepilną lygtį numeris du. Šioje lygybėje iš skliaustų reikia išimti nežinomą reikšmę ir išspręsti tiesinę lygtį, kuri liks skliausteliuose. Atsakymas turės dvi šaknis. Pirmasis būtinai lygus nuliui, nes yra faktorius, susidedantis iš paties kintamojo. Antrasis gaunamas sprendžiant tiesinę lygtį.

Neišsami lygtis, esanti skaičiumi trys, išsprendžiama perkeliant skaičių iš kairės lygties pusės į dešinę. Tada reikia padalyti iš koeficiento prieš nežinomąjį. Belieka tik ištraukti kvadratinę šaknį ir nepamiršti jos du kartus užsirašyti priešingais ženklais.

Toliau pateikiami keli veiksmai, padedantys išmokti išspręsti visų rūšių lygybes, kurios virsta kvadratinėmis lygtimis. Jie padės mokiniui išvengti klaidų dėl neatidumo. Šie trūkumai yra prastų pažymių priežastis studijuojant plačią temą „Kvadratinės lygtys (8 klasė)“. Vėliau šių veiksmų nereikės nuolat atlikti. Nes bus stabilus įprotis.

• Pirmiausia turite parašyti lygtį standartine forma. Tai yra, pirmiausia terminas su didžiausiu kintamojo laipsniu, o tada - be laipsnio, o paskutinis - tik skaičius.

• Jei prieš koeficientą „a“ atsiranda minusas, tai gali apsunkinti pradedančiajam studijuoti kvadratines lygtis. Geriau jo atsikratyti. Šiuo tikslu visa lygybė turi būti padauginta iš „-1“. Tai reiškia, kad visi terminai pakeis ženklą į priešingą.

• Lygiai taip pat rekomenduojama atsikratyti frakcijų. Tiesiog padauginkite lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad vardikliai panaikintų.

Pavyzdžiai

Būtina išspręsti šias kvadratines lygtis:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmoji lygtis: x 2 - 7x \u003d 0. Ji neišsami, todėl išspręsta taip, kaip aprašyta formulėje numeris antroji.

Po skliaustų pasirodo: x (x - 7) \u003d 0.

Pirmoji šaknis įgauna reikšmę: x 1 = 0. Antroji bus rasta iš tiesinė lygtis: x - 7 = 0. Nesunku pastebėti, kad x 2 = 7.

Antroji lygtis: 5x2 + 30 = 0. Vėl nebaigta. Tik ji išspręsta taip, kaip aprašyta trečiojoje formulėje.

Perkėlus 30 į dešinę lygties pusę: 5x 2 = 30. Dabar reikia padalyti iš 5. Pasirodo: x 2 = 6. Atsakymai bus skaičiai: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Trečioji lygtis: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Čia ir žemiau kvadratinių lygčių sprendimas prasidės jas perrašant standartinis vaizdas: - x 2 - 2x + 15 = 0. Dabar laikas naudoti antrą naudingų patarimų ir padauginkite viską iš minus vieno. Pasirodo x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Pagal ketvirtąją formulę reikia apskaičiuoti diskriminantą: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. teigiamas skaičius. Iš to, kas pasakyta aukščiau, paaiškėja, kad lygtis turi dvi šaknis. Juos reikia skaičiuoti pagal penktąją formulę. Pagal jį paaiškėja, kad x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Tada x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Ketvirtoji lygtis x 2 + 8 + 3x \u003d 0 paverčiama taip: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Jos diskriminantas yra lygus šiai reikšmei: -23. Kadangi šis skaičius yra neigiamas, atsakymas į šią užduotį bus toks: „Šaknų nėra“.

Penktąją lygtį 12x + x 2 + 36 = 0 reikia perrašyti taip: x 2 + 12x + 36 = 0. Pritaikius diskriminanto formulę, gaunamas skaičius nulis. Tai reiškia, kad jis turės vieną šaknį, būtent: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šeštoji lygtis (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) reikalauja transformacijų, kurios susideda iš to, kad prieš atidarant skliaustus reikia pateikti panašius terminus. Vietoj pirmojo bus tokia išraiška: x 2 + 2x + 1. Po lygybės pasirodys šis įrašas: x 2 + 3x + 2. Suskaičiavus panašius narius, lygtis bus tokia forma: x 2 - x \u003d 0. Jis tapo neužbaigtas . Panašus į jį jau buvo laikomas šiek tiek aukštesnis. To šaknys bus skaičiai 0 ir 1.

Su šia matematikos programa galite išspręsti kvadratinę lygtį.

Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo procesą dviem būdais:
- naudojant diskriminantą
- naudojant Vieta teoremą (jei įmanoma).

Be to, atsakymas rodomas tikslus, o ne apytikslis.
Pavyzdžiui, lygties \(81x^2-16x-1=0\) atsakymas rodomas tokia forma:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ vietoj šio: \(x_1 = 0,247; \ keturkampis x_2 = -0,05 \)

Ši programa gali būti naudinga aukštųjų mokyklų studentams bendrojo lavinimo mokyklose ruošiantis kontrolinis darbas ir egzaminus, tikrindami žinias prieš egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite tai padaryti kuo greičiau? namų darbai matematika ar algebra? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiu sprendimu.

Taigi, jūs galite atlikti savo savo mokymą ir (arba) savo jaunesniųjų brolių ar seserų mokymą, tuo pačiu didinant išsilavinimo lygį sprendžiamų užduočių srityje.

Jei nesate susipažinę su kvadratinio daugianario įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.

Kvadratinio daugianario įvedimo taisyklės

Bet kuri lotyniška raidė gali veikti kaip kintamasis.
Pavyzdžiui: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) ir kt.

Skaičius galima įvesti kaip sveikuosius skaičius arba trupmenas.
Be to, trupmeninius skaičius galima įvesti ne tik kablelio, bet ir paprastosios trupmenos pavidalu.

Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Dešimtainėse trupmenose trupmeninė dalis nuo sveikojo skaičiaus gali būti atskirta tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, dešimtainius skaičius galite įvesti taip: 2,5x - 3,5x^2

Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas.

Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: /
Sveikoji dalis nuo trupmenos atskiriama ampersandu: &
Įvestis: 3 ir 1/3 – 5 ir 6/5z +1/7z^2
Rezultatas: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Įvedant išraišką galite naudoti skliaustus. Šiuo atveju, sprendžiant kvadratinę lygtį, įvesta išraiška pirmiausia supaprastinama.
Pavyzdžiui: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Nuspręskite

Nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai užduočiai išspręsti, nebuvo įkelti, todėl programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Jūsų naršyklėje išjungtas „JavaScript“.
Kad sprendimas būtų rodomas, JavaScript turi būti įjungtas.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.

Nes Yra daug žmonių, kurie nori išspręsti problemą, jūsų prašymas yra eilėje.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...

Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite rašyti Atsiliepimų formoje .
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Kvadratinė lygtis ir jos šaknys. Nebaigtos kvadratinės lygtys

Kiekviena iš lygčių
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
turi formą
\(ax^2+bx+c=0, \)
kur x yra kintamasis, a, b ir c yra skaičiai.
Pirmoje lygtyje a = -1, b = 6 ir c = 1,4, antrojoje a = 8, b = -7 ir c = 0, trečiojoje a = 1, b = 0 ir c = 4/9. Tokios lygtys vadinamos kvadratines lygtis.

Apibrėžimas.
kvadratinė lygtis vadinama ax 2 +bx+c=0 formos lygtis, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai ir \(a \neq 0 \).

Skaičiai a, b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai. Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficientu, skaičius b yra antrasis koeficientas, o skaičius c yra pertrauka.

Kiekvienoje iš ax 2 +bx+c=0 formos lygčių, kur \(a \neq 0 \), didžiausia kintamojo x laipsnis yra kvadratas. Iš čia ir kilo pavadinimas: kvadratinė lygtis.

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinė lygtis taip pat vadinama antrojo laipsnio lygtimi, nes jos kairioji pusė yra antrojo laipsnio daugianario.

Vadinama kvadratinė lygtis, kurioje koeficientas ties x 2 yra 1 redukuota kvadratinė lygtis. Pavyzdžiui, pateiktos kvadratinės lygtys yra lygtys
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jeigu kvadratinėje lygtyje ax 2 +bx+c=0 bent vienas iš koeficientų b arba c yra lygus nuliui, tai tokia lygtis vadinama nepilna kvadratinė lygtis. Taigi, lygtys -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 yra nepilnos kvadratinės lygtys. Pirmajame iš jų b=0, antrajame c=0, trečiame b=0 ir c=0.

Neišsamios kvadratinės lygtys yra trijų tipų:
1) ax 2 +c=0, kur \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kur \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Apsvarstykite kiekvieno iš šių tipų lygčių sprendimą.

Norint išspręsti nepilną ax 2 +c=0 formos kvadratinę lygtį \(c \neq 0 \), jos laisvasis narys perkeliamas į dešinę pusę ir abi lygties dalys dalijamos iš a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rodyklė dešinėn x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Kadangi \(c \neq 0 \), tada \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jei \(-\frac(c)(a)>0 \), tada lygtis turi dvi šaknis.

Jei \(-\frac(c)(a) Norėdami išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, kurios forma ax 2 +bx=0, kai \(b \neq 0 \), padalinkite jos kairę pusę ir gaukite lygtį
\(x(ax+b)=0 \RightArrow \left\( \begin(masyvas)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(masyvas) \right. \Rightarrow \left\( \begin (masyvas)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(masyvas) \right. \)

Vadinasi, nepilna kvadratinė lygtis, kurios formos ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \), visada turi dvi šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis, kurios forma yra ax 2 \u003d 0, yra lygi lygčiai x 2 \u003d 0, todėl turi vieną šaknį 0.

Kvadratinės lygties šaknų formulė

Dabar panagrinėkime, kaip sprendžiamos kvadratinės lygtys, kuriose tiek nežinomųjų, tiek laisvojo nario koeficientai yra nuliniai.

Kvadratinę lygtį išsprendžiame bendra forma ir gauname šaknų formulę. Tada šią formulę galima pritaikyti bet kuriai kvadratinei lygčiai išspręsti.

Išspręskite kvadratinę lygtį ax 2 +bx+c=0

Abi jos dalis padalijus iš a, gauname ekvivalentinę sumažintą kvadratinę lygtį
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Šią lygtį transformuojame paryškindami dvinario kvadratą:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \rodyklė dešinėn \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 – \frac(c)(a) \Rodyklė dešinėn \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rodyklė dešinėn \kairė(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rodyklė dešinėn \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rodyklė dešinėn x = -\frac(b)(2a) + \frac(\pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rodyklė dešinėn \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Šaknies išraiška vadinama kvadratinės lygties diskriminantas ax 2 +bx+c=0 („diskriminantas“ lotyniškai – skirtis). Ji žymima raide D, t.y.
\(D = b^2-4ac\)

Dabar, naudodami diskriminanto žymėjimą, perrašome kvadratinės lygties šaknų formulę:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kur \(D= b^2-4ac \)

Akivaizdu, kad:
1) Jei D>0, tai kvadratinė lygtis turi dvi šaknis.
2) Jei D=0, tai kvadratinė lygtis turi vieną šaknį \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jei D Taigi, priklausomai nuo diskriminanto reikšmės, kvadratinė lygtis gali turėti dvi šaknis (kai D > 0), vieną šaknį (kai D = 0) arba be šaknų (kai D Sprendžiant kvadratinę lygtį pagal šią formulę , patartina daryti taip:
1) apskaičiuokite diskriminantą ir palyginkite jį su nuliu;
2) jei diskriminantas yra teigiamas arba lygus nuliui, tada naudokite šaknies formulę, jei diskriminantas yra neigiamas, tada užrašykite, kad šaknų nėra.

Vietos teorema

Duota kvadratinė lygtis ax 2 -7x+10=0 turi šaknis 2 ir 5. Šaknų suma yra 7, o sandauga yra 10. Matome, kad šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingas ženklas, o šaknų sandauga lygi laisvajam terminui. Bet kuri sumažinta kvadratinė lygtis, turinti šaknis, turi šią savybę.

Duotos kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui.

Tie. Vietos teorema teigia, kad redukuotos kvadratinės lygties x 2 +px+q=0 šaknys x 1 ir x 2 turi savybę:
\(\left\( \begin(masyvas)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(masyvas) \right. \)