Logaritmų dauginimo formulė. Logaritmo apibrėžimas, pagrindinė logaritminė tapatybė
Šiandien kalbėsime apie logaritminės formulės ir parodyk sprendimų pavyzdžiai.
Jie patys savaime reiškia sprendimų modelius pagal pagrindines logaritmų savybes. Prieš taikydami logaritmo formules sprendimui, pirmiausia primename visas savybes:
Dabar, remdamiesi šiomis formulėmis (savybėmis), parodome logaritmų sprendimo pavyzdžiai.
Logaritmų sprendimo pagal formules pavyzdžiai.
Logaritmas teigiamas skaičius b bazėje a (žymimas log a b) yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti a, kad gautume b, kai b > 0, a > 0 ir 1.
Pagal apibrėžimą log a b = x, kuris yra ekvivalentas a x = b, taigi log a a x = x.
Logaritmai, pavyzdžiai:
log 2 8 = 3, nes 2 3 = 8
žurnalas 7 49 = 2, nes 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, nes 5 -1 = 1/5
Dešimtainis logaritmas yra paprastasis logaritmas, kurio pagrindas yra 10. Žymima lg.
log 10 100 = 2, nes 10 2 = 100
natūralusis logaritmas- taip pat įprastas logaritmo logaritmas, bet su baze e (e \u003d 2,71828 ... - neracionalus skaičius). Vadinamas kaip ln.
Pageidautina atsiminti logaritmų formules ar savybes, nes jų prireiks vėliau sprendžiant logaritmus, logaritmines lygtis ir nelygybes. Dar kartą panagrinėkime kiekvieną formulę su pavyzdžiais.
- Pagrindinė logaritminė tapatybė
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Produkto logaritmas lygus logaritmų sumai
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Dalinio logaritmas lygus logaritmų skirtumui
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Logaritminio skaičiaus laipsnio ir logaritmo pagrindo savybės
Logaritmo skaičiaus eksponentas log a b m = mlog a b
Logaritmo pagrindo eksponentas log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
jei m = n, gauname log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Perėjimas prie naujo pagrindo
log a b = log c b / log c a,jei c = b, gauname log b b = 1
tada log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Kaip matote, logaritmų formulės nėra tokios sudėtingos, kaip atrodo. Dabar, apsvarstę logaritmų sprendimo pavyzdžius, galime pereiti prie logaritminių lygčių. Išsamiau apsvarstysime logaritminių lygčių sprendimo pavyzdžius straipsnyje: "". Nepraleisk!
Jei vis dar turite klausimų apie sprendimą, parašykite juos straipsnio komentaruose.
Pastaba: nusprendė įgyti kitos klasės išsilavinimą studijuoti užsienyje.
Pradėkime nuo vienybės logaritmo savybės. Jo formuluotė yra tokia: vienybės logaritmas lygus nuliui, tai yra, log a 1=0 bet kuriam a>0 , a≠1 . Įrodymas yra paprastas: kadangi a 0 =1 bet kuriai a, kuri tenkina aukščiau nurodytas sąlygas a>0 ir a≠1 , tai įrodyta lygybė log a 1=0 iš karto išplaukia iš logaritmo apibrėžimo.
Pateiksime nagrinėjamos savybės taikymo pavyzdžius: log 3 1=0 , lg1=0 ir .
Pereikime prie kitos nuosavybės: skaičiaus, lygaus bazei, logaritmas lygus vienetui, tai yra, log a a=1 jei a>0 , a≠1 . Iš tiesų, kadangi a 1 =a bet kuriam a , tai pagal logaritmo apibrėžimą log a a=1 .
Šios logaritmų savybės naudojimo pavyzdžiai yra log 5 5=1 , log 5.6 5.6 ir lne=1 .
Pavyzdžiui, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ir 
.
Dviejų teigiamų skaičių sandaugos logaritmas x ir y yra lygūs šių skaičių logaritmų sandaugai: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Įrodykime sandaugos logaritmo savybę. Dėl laipsnio savybių a log a x+log a y =a log a x a log a y, o kadangi pagal pagrindinę logaritminę tapatybę log a x =x ir log a y =y , tai log a x a log a y =x y . Taigi log a x+log a y =x y , iš kur logaritmo apibrėžimu seka reikiama lygybė.
Parodykime sandaugos logaritmo savybės panaudojimo pavyzdžius: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ir 
.
Produkto logaritmo savybė gali būti apibendrinta iki baigtinio skaičiaus n teigiamų skaičių x 1 , x 2 , …, x n sandauga kaip log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Ši lygybė lengvai įrodoma.
Pavyzdžiui, sandaugos natūralusis logaritmas gali būti pakeistas trijų suma natūralūs logaritmai skaičiai 4 , e ir .
Dviejų teigiamų skaičių dalinio logaritmas x ir y yra lygus šių skaičių logaritmų skirtumui. Dalinio logaritmo savybė atitinka formulę formos , kur a>0 , a≠1 , x ir y yra kai kurie teigiami skaičiai. Šios formulės pagrįstumas įrodytas kaip ir sandaugos logaritmo formulė: kadangi 
, tada pagal logaritmo apibrėžimą.
Štai šios logaritmo savybės naudojimo pavyzdys: 
.
Pereikime prie laipsnio logaritmo savybė. Laipsnio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir šio laipsnio pagrindo modulio logaritmui. Šią laipsnio logaritmo savybę užrašome formulės forma: log a b p =p log a |b|, kur a>0, a≠1, b ir p yra tokie skaičiai, kad b p laipsnis turi prasmę, o b p >0.
Pirmiausia įrodome šią savybę teigiamam b . Pagrindinė logaritminė tapatybė leidžia pavaizduoti skaičių b kaip log a b , tada b p =(a log a b) p , o gauta išraiška dėl galios savybės yra lygi a p log a b . Taigi gauname lygybę b p =a p log a b , iš kurios pagal logaritmo apibrėžimą darome išvadą, kad log a b p =p log a b .
Belieka įrodyti šią savybę neigiamam b . Čia pažymime, kad reiškinys log a b p neigiamam b turi prasmę tik lyginiams eksponentams p (kadangi laipsnio b p reikšmė turi būti didesnė už nulį, antraip logaritmas neturės prasmės), o šiuo atveju b p =|b| p. Tada b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, iš kur log a b p =p log a |b| .
Pavyzdžiui, 
ir ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Tai išplaukia iš ankstesnio turto logaritmo savybė nuo šaknies: n-ojo laipsnio šaknies logaritmas yra lygus trupmenos 1/n sandaugai ir šaknies išraiškos logaritmui, tai yra, 
, kur a>0, a≠1, n yra natūralusis skaičius, didesnis už vienetą, b>0.
Įrodymas grindžiamas lygybe (žr. ), kuri galioja bet kokiam teigiamam b , ir laipsnio logaritmo savybe: 
.
Štai šios nuosavybės naudojimo pavyzdys: 
.
Dabar įrodykime konvertavimo formulę į naują logaritmo bazę malonus 
. Tam pakanka įrodyti lygybės log c b=log a b log c a pagrįstumą. Pagrindinė logaritminė tapatybė leidžia mums pavaizduoti skaičių b kaip log a b , tada log c b=log c a log a b . Belieka naudoti laipsnio logaritmo savybę: log c a log a b = log a b log c a. Taigi įrodyta lygybė log c b=log a b log c a, o tai reiškia, kad įrodyta ir perėjimo į naują logaritmo bazę formulė.
Parodykime keletą šios logaritmų savybės taikymo pavyzdžių: ir 
.
Perėjimo prie naujos bazės formulė leidžia pereiti prie darbo su logaritmais, kurie turi „patogų“ pagrindą. Pavyzdžiui, jis gali būti naudojamas perjungti prie natūraliųjų arba dešimtainių logaritmų, kad galėtumėte apskaičiuoti logaritmo reikšmę iš logaritmų lentelės. Perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė taip pat leidžia kai kuriais atvejais rasti tam tikro logaritmo reikšmę, kai žinomos kai kurių logaritmų su kitomis bazėmis reikšmės.
Naudotas dažnai ypatinga byla formų c=b perėjimo į naują logaritmo bazę formulės 
. Tai rodo, kad log a b ir log b a – . Pvz., 
.
Taip pat dažnai naudojama formulė 
, kuris naudingas ieškant logaritmų reikšmių. Norėdami patvirtinti savo žodžius, parodysime, kaip naudojant jį apskaičiuojama formos logaritmo reikšmė. Mes turime 
. Norėdami įrodyti formulę 
pakanka naudoti perėjimo formulę į naują logaritmo bazę a: 
.
Belieka įrodyti logaritmų palyginimo savybes.
Įrodykime, kad bet kurių teigiamų skaičių b 1 ir b 2 atveju b 1 log a b 2, o a>1 – nelygybė log a b 1 Galiausiai belieka įrodyti paskutinę iš išvardytų logaritmų savybių. Mes apsiribojame jo pirmosios dalies įrodymu, tai yra, įrodome, kad jei a 1 >1 , a 2 >1 ir 1 1 yra tiesa log a 1 b>log a 2 b . Likusieji šios logaritmų savybės teiginiai įrodomi panašiu principu. Naudokime priešingą metodą. Tarkime, kad 1 >1, 2 >1 ir 1 1 log a 1 b≤log a 2 b yra teisinga. Pagal logaritmų savybes šios nelygybės gali būti perrašytos kaip 
Ir 
atitinkamai, o iš jų išplaukia, kad atitinkamai log b a 1 ≤log b a 2 ir log b a 1 ≥log b a 2. Tada pagal laipsnių, turinčių tas pačias bazes, savybes turi būti tenkinamos lygybės b log b a 1 ≥b log b a 2 ir b log b a 1 ≥b log b a 2, tai yra, a 1 ≥a 2 . Taigi, mes priėjome prie prieštaravimo sąlygai a 1
Bibliografija.
- Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt.. Algebra ir analizės užuomazgos: vadovėlis bendrojo lavinimo įstaigų 10-11 klasei.
- Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas).
Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybinių institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Mes taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais viešojo intereso tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
b (b > 0) logaritmas iki a bazės (a > 0, a ≠ 1) yra eksponentas, iki kurio reikia padidinti skaičių a, kad gautumėte b.
10 bazinis b logaritmas gali būti parašytas kaip log(b), o logaritmas iki pagrindo e (natūralus logaritmas) - ln(b).
Dažnai naudojamas sprendžiant logaritmų problemas:
Logaritmų savybės
Yra keturi pagrindiniai logaritmų savybės.
Tegul a > 0, a ≠ 1, x > 0 ir y > 0.
Savybė 1. Produkto logaritmas
Produkto logaritmas yra lygus logaritmų sumai:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Savybė 2. Dalinio logaritmas
Dalinio logaritmas yra lygus logaritmų skirtumui:
log a (x / y) = log a x – log a y
Savybė 3. Laipsnio logaritmas
Laipsnio logaritmas yra lygus laipsnio ir logaritmo sandaugai:
Jei logaritmo bazė yra eksponente, taikoma kita formulė:
Savybė 4. Šaknies logaritmas
Šią savybę galima gauti iš laipsnio logaritmo savybės, nes n-ojo laipsnio šaknis yra lygi 1/n laipsniui:
Formulė, kaip pereiti nuo logaritmo vienoje bazėje prie logaritmo kitoje bazėje
Ši formulė taip pat dažnai naudojama sprendžiant įvairias logaritmų užduotis:
Ypatinga byla:
Logaritmų (nelygybių) palyginimas
Tarkime, kad turime 2 funkcijas f(x) ir g(x) pagal logaritmus su tais pačiais pagrindais ir tarp jų yra nelygybės ženklas:
Norėdami juos palyginti, pirmiausia turite pažvelgti į logaritmų bazę a:
- Jei a > 0, tada f(x) > g(x) > 0
- Jei 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Kaip spręsti uždavinius naudojant logaritmus: pavyzdžiai
Užduotys su logaritmaisįtrauktas į NAUDOJIMAS matematikoje 11 klasei 5 ir 7 užduotyje, užduotis su sprendimais galite rasti mūsų svetainėje atitinkamuose skyriuose. Taip pat matematikos užduočių banke yra užduotys su logaritmais. Visus pavyzdžius rasite ieškodami svetainėje.
Kas yra logaritmas
Logaritmai visada buvo laikomi sunkia tema mokykliniame matematikos kurse. Yra daug skirtingų logaritmo apibrėžimų, tačiau dėl tam tikrų priežasčių daugumoje vadovėlių naudojami patys sudėtingiausi ir apgailėtiniausi.
Logaritmą apibrėžsime paprastai ir aiškiai. Sukurkime tam lentelę:
Taigi, mes turime dviejų galių.
Logaritmai – savybės, formulės, kaip išspręsti
Jei paimsite skaičių iš apatinės eilutės, galite lengvai rasti galią, iki kurios turite pakelti du, kad gautumėte šį skaičių. Pavyzdžiui, norėdami gauti 16, turite pakelti du į ketvirtą laipsnį. O norint gauti 64, reikia pakelti du iki šeštos laipsnio. Tai matyti iš lentelės.
Ir dabar - iš tikrųjų logaritmo apibrėžimas:
argumento x bazė a yra laipsnis, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautume skaičių x.
Žymėjimas: log a x \u003d b, kur a yra bazė, x yra argumentas, b iš tikrųjų yra logaritmas.
Pavyzdžiui, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (bazinis 2 logaritmas iš 8 yra trys, nes 2 3 = 8). Taip pat galėtų log 2 64 = 6, nes 2 6 = 64.
Skaičiaus logaritmo pagal duotąją bazę radimo operacija vadinama. Taigi į savo lentelę įtraukime naują eilutę:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Deja, ne visi logaritmai taip lengvai apmąstomi. Pavyzdžiui, pabandykite rasti log 2 5. Skaičiaus 5 lentelėje nėra, bet logika nurodo, kad logaritmas bus kažkur atkarpoje. Nes 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Tokie skaičiai vadinami neracionaliais: skaičiai po kablelio gali būti rašomi neribotą laiką ir jie niekada nesikartoja. Jei logaritmas pasirodo neracionalus, geriau palikti jį taip: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Svarbu suprasti, kad logaritmas yra išraiška su dviem kintamaisiais (bazė ir argumentas). Iš pradžių daugelis žmonių painioja, kur yra pagrindas, o kur argumentas. Kad išvengtumėte erzinančių nesusipratimų, tiesiog pažiūrėkite į paveikslėlį:
Prieš mus yra ne kas kita, kaip logaritmo apibrėžimas. Prisiminti: logaritmas yra galia, kuriai reikia pakelti bazę, kad gautumėte argumentą. Būtent pagrindas yra pakeltas iki galios – paveikslėlyje jis paryškintas raudonai. Pasirodo, pagrindas visada yra apačioje! Šią nuostabią taisyklę pasakoju savo mokiniams jau pirmoje pamokoje – ir nekyla painiavos.
Kaip skaičiuoti logaritmus
Išsiaiškinom apibrėžimą – belieka išmokti skaičiuoti logaritmus, t.y. atsikratyti „rąsto“ ženklo. Pirmiausia pažymime, kad iš apibrėžimo išplaukia du svarbūs faktai:
- Argumentas ir bazė visada turi būti didesni už nulį. Tai išplaukia iš laipsnio apibrėžimo racionaliuoju rodikliu, iki kurio logaritmo apibrėžimas sumažinamas.
- Pagrindas turi skirtis nuo vienybės, nes bet kurios galios vienetas vis tiek yra vienetas. Dėl šios priežasties klausimas „į kokią galią reikia pakelti, kad gautum du“ yra beprasmis. Tokio laipsnio nėra!
Tokie apribojimai vadinami galiojantis diapazonas(ODZ). Pasirodo, logaritmo ODZ atrodo taip: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Atkreipkite dėmesį, kad skaičiui b (logaritmo reikšmė) nėra jokių apribojimų. Pavyzdžiui, logaritmas gali būti neigiamas: log 2 0,5 = −1, nes 0,5 = 2 -1 .
Tačiau dabar mes svarstome tik skaitines išraiškas, kur nereikia žinoti logaritmo ODZ. Į visus apribojimus problemų rengėjai jau atsižvelgė. Tačiau kai įsigalios logaritminės lygtys ir nelygybės, DHS reikalavimai taps privalomi. Iš tiesų, pagrinde ir argumente gali būti labai stiprios konstrukcijos, kurios nebūtinai atitinka aukščiau nurodytus apribojimus.
Dabar apsvarstykite bendra schema logaritminiai skaičiavimai. Jį sudaro trys žingsniai:
- Išreikškite bazę a ir argumentą x kaip laipsnį, kurio mažiausia bazė yra didesnė už vienetą. Pakeliui geriau atsikratyti dešimtainių trupmenų;
- Išspręskite kintamojo b lygtį: x = a b ;
- Gautas skaičius b bus atsakymas.
Tai viskas! Jei logaritmas pasirodys neracionalus, tai bus matyti jau pirmame žingsnyje. Reikalavimas, kad bazė būtų didesnė už vieną, yra labai aktualus: tai sumažina klaidos tikimybę ir labai supaprastina skaičiavimus. Panašiai ir su dešimtainėmis trupmenomis: jei iš karto jas konvertuosite į paprastas, klaidų bus daug kartų mažiau.
Pažiūrėkime, kaip ši schema veikia su konkrečiais pavyzdžiais:
Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 5 25
- Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip penkių laipsnį: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Gavo atsakymą: 2.
Sudarykime ir išspręskime lygtį:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą:
Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 4 64
- Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Sudarykime ir išspręskime lygtį:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - Gavau atsakymą: 3.
Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 16 1
- Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Sudarykime ir išspręskime lygtį:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - Gautas atsakymas: 0.
Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 7 14
- Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip septyneto laipsnį: 7 = 7 1 ; 14 nevaizduojamas kaip septynių laipsnis, nes 7 1< 14 < 7 2 ;
- Iš ankstesnės pastraipos matyti, kad į logaritmą neatsižvelgiama;
- Atsakymas nesikeičia: žurnalas 7 14.
Maža pastaba paskutinis pavyzdys. Kaip įsitikinti, kad skaičius nėra tiksli kito skaičiaus laipsnis? Labai paprasta – tiesiog išskaidykite jį į pirminius veiksnius. Jei yra bent du skirtingi plėtimosi veiksniai, skaičius nėra tiksli galia.
Užduotis. Išsiaiškinkite, ar tikslios skaičiaus laipsniai yra: 8; 48; 81; 35; 14.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tikslus laipsnis, nes yra tik vienas daugiklis;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nėra tiksli galia, nes yra du veiksniai: 3 ir 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tikslus laipsnis;
35 = 7 5 - vėlgi ne tikslus laipsnis;
14 \u003d 7 2 - vėlgi nėra tikslus laipsnis;
Taip pat pažymime, kad mes pirminiai skaičiai visada yra tikslios savo galios.
Dešimtainis logaritmas
Kai kurie logaritmai yra tokie įprasti, kad turi specialų pavadinimą ir pavadinimą.
argumento x yra 10 bazinis logaritmas, t.y. galia, iki kurios reikia padidinti 10, kad gautume x. Pavadinimas: lgx.
Pavyzdžiui, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 ir kt.
Nuo šiol vadovėlyje pasirodžius tokiai frazei kaip „Rasti lg 0,01“, žinokite, kad tai nėra rašybos klaida. Tai yra dešimtainis logaritmas. Tačiau jei nesate įpratę prie tokio pavadinimo, visada galite jį perrašyti:
log x = log 10 x
Viskas, kas tinka įprastiniams logaritmams, galioja ir dešimtainėms dalims.
natūralusis logaritmas
Yra dar vienas logaritmas, turintis savo žymėjimą. Tam tikra prasme tai net svarbesnė nei dešimtainė. Tai apie apie natūralųjį logaritmą.
argumento x yra logaritmas į bazę e, t.y. galia, iki kurios reikia pakelti skaičių e, kad gautume skaičių x. Pavadinimas: lnx.
Daugelis paklaus: koks yra skaičius e? Tai neracionalus skaičius tiksli vertė neįmanoma rasti ir įrašyti. Štai tik pirmieji skaičiai:
e = 2,718281828459…
Mes nesigilinsime, kas yra šis skaičius ir kodėl jis reikalingas. Tiesiog atminkite, kad e yra natūraliojo logaritmo pagrindas:
ln x = log e x
Taigi ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 ir kt. Kita vertus, ln 2 yra neracionalus skaičius. Apskritai bet kurio racionalaus skaičiaus natūralusis logaritmas yra neracionalus. Žinoma, išskyrus vienybę: ln 1 = 0.
Natūraliųjų logaritmų atveju galioja visos taisyklės, kurios galioja įprastiems logaritmams.
Taip pat žiūrėkite:
Logaritmas. Logaritmo savybės (logaritmo galia).
Kaip pavaizduoti skaičių kaip logaritmą?
Mes naudojame logaritmo apibrėžimą.
Logaritmas yra galios rodiklis, iki kurio reikia pakelti bazę, kad būtų gautas skaičius po logaritmo ženklu.
Taigi, norėdami pavaizduoti tam tikrą skaičių c kaip logaritmą bazei a, po logaritmo ženklu turite įdėti laipsnį su ta pačia baze kaip ir logaritmo pagrindas ir įrašyti šį skaičių c į eksponentą:
Logaritmo forma galite pavaizduoti absoliučiai bet kokį skaičių - teigiamą, neigiamą, sveikąjį, trupmeninį, racionalų, neracionalų:
Kad nepainiotumėte a ir c įtemptomis testo ar egzamino sąlygomis, galite prisiminti šią taisyklę:
tai, kas yra apačioje, nusileidžia, o kas aukščiau, kyla aukštyn.
Pavyzdžiui, skaičių 2 norite pateikti kaip logaritmą su 3 baze.
Turime du skaičius – 2 ir 3. Šie skaičiai yra bazė ir rodiklis, kuriuos rašysime po logaritmo ženklu. Belieka nustatyti, kuris iš šių skaičių turi būti užrašomas laipsnio pagrindu, o kuris - aukštyn, eksponente.
Bazė 3 logaritmo įraše yra apačioje, o tai reiškia, kad pavaizduodami dvikovą kaip logaritmą su 3 pagrindu, 3 taip pat įrašysime į bazę.
2 yra didesnis nei 3. Ir laipsnio žymėjime rašome du virš trijų, tai yra, eksponente:
Logaritmai. Pirmas lygis.
Logaritmai
logaritmas teigiamas skaičius b dėl priežasties a, Kur a > 0, a ≠ 1, yra eksponentas, iki kurio skaičius turi būti padidintas. a, Gauti b.
Logaritmo apibrėžimas trumpai galima parašyti taip:
Ši lygybė galioja b > 0, a > 0, a ≠ 1. Paprastai jis vadinamas logaritminė tapatybė.
Skaičiaus logaritmo radimo veiksmas vadinamas logaritmas.
Logaritmų savybės:
Produkto logaritmas:
Dalinio logaritmas iš dalybos:
Logaritmo pagrindo pakeitimas:
Laipsnio logaritmas:
šaknies logaritmas:
Logaritmas su galios baze:
Dešimtainiai ir natūralūs logaritmai.
Dešimtainis logaritmas skaičiai vadina to skaičiaus bazinį 10 logaritmą ir rašo lg b
natūralusis logaritmas skaičiai vadina šio skaičiaus logaritmą baze e, Kur e yra neracionalus skaičius, maždaug lygus 2,7. Tuo pat metu jie rašo ln b.
Kitos pastabos apie algebrą ir geometriją
Pagrindinės logaritmų savybės
Pagrindinės logaritmų savybės
Logaritmus, kaip ir bet kurį skaičių, galima sudėti, atimti ir konvertuoti visais įmanomais būdais. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.
Šias taisykles reikia žinoti – be jų negalima išspręsti jokios rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – visko galima išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.
Logaritmų sudėjimas ir atėmimas
Apsvarstykite du logaritmus su ta pačia baze: log a x ir log a y. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x - log a y = log a (x: y).
Taigi, logaritmų suma yra lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas yra koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra tuo pačiu pagrindu. Jei bazės skiriasi, šios taisyklės neveikia!
Šios formulės padės jums apskaičiuoti logaritminė išraiška net kai neatsižvelgiama į atskiras jo dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:
rąstas 6 4 + rąstas 6 9.
Kadangi logaritmų pagrindai yra vienodi, naudojame sumos formulę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.
Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log 2 48 – log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.
Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Kaip matote, originalios išraiškos sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra nagrinėjami atskirai. Tačiau po transformacijų pasirodo visai normalūs skaičiai. Remiantis šiuo faktu, daugelis bandomieji darbai. Taip, kontrolė – egzamine siūlomi panašūs išsireiškimai visiškai rimtai (kartais – praktiškai be pakeitimų).
Rodiklio pašalinimas iš logaritmo
Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo bazėje arba argumente yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:
Tai nesunku pastebėti paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti – kai kuriais atvejais tai gerokai sumažins skaičiavimų kiekį.
Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi ODZ logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai, t.y. prieš logaritmo ženklą esančius skaičius galite įvesti į patį logaritmą.
Kaip išspręsti logaritmus
Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .
Atsikratykime argumento laipsnio pagal pirmąją formulę:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:
Atkreipkite dėmesį, kad vardiklis yra logaritmas, kurio bazė ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Mes turime:
Manau, kad paskutinį pavyzdį reikia paaiškinti. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Jie pateikė ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą laipsnių pavidalu ir išėmė rodiklius - gavo „trijų aukštų“ trupmeną.
Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklis ir vardiklis turi tą patį skaičių: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas yra atsakymas: 2.
Perėjimas prie naujo pagrindo
Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. Ką daryti, jei pagrindai skiriasi? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?
Į pagalbą ateina perėjimo į naują bazę formulės. Suformuluojame juos teoremos forma:
Tegul tai duota logaritmo žurnalas kirvis. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:
Konkrečiai, jei įdėsime c = x, gausime:
Iš antrosios formulės išplaukia, kad galima sukeisti logaritmo bazę ir argumentą, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. logaritmas yra vardiklyje.
Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.
Tačiau yra užduočių, kurių niekaip nepavyks išspręsti, nebent pereinant prie naujo pagrindo. Panagrinėkime keletą iš šių:
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.
Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentai yra tikslūs eksponentai. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Dabar apverskime antrąjį logaritmą:
Kadangi sandauga nesikeičia nuo faktorių permutacijos, ramiai padauginome keturis ir du, o tada išsiaiškinome logaritmus.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.
Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime ir atsikratykime rodiklių:
Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:
Pagrindinė logaritminė tapatybė
Dažnai sprendžiant skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikrai bazei.
Šiuo atveju formulės mums padės:
Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.
Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Jis vadinamas taip:
Iš tiesų, kas atsitiks, jei skaičius b bus padidintas iki tokio laipsnio, kad šio laipsnio skaičius b suteiktų skaičių a? Teisingai: tai tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą - daugelis žmonių ant jos „kabo“.
Kaip ir naujosios bazinės konvertavimo formulės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:
Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš pagrindo ir logaritmo argumento. Atsižvelgiant į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:
Jei kas nors nežino, tai buvo tikra užduotis iš Vieningo valstybinio egzamino 🙂
Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis
Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias sunku pavadinti savybėmis - tai greičiau logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat susiduria su problemomis ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.
- log a a = 1 yra. Atsiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a iš tos bazės yra lygus vienetui.
- log a 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumentas yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a 0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.
Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.
\(a^(b)=c\) \(\Rodyklė į kairę\) \(\log_(a)(c)=b\)
Paaiškinkime lengviau. Pavyzdžiui, \(\log_(2)(8)\) yra lygi galiai \(2\), kurią reikia padidinti iki, kad gautumėte \(8\). Iš to aišku, kad \(\log_(2)(8)=3\).
|
Pavyzdžiai: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
nes \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
nes \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
nes \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Argumentas ir logaritmo pagrindas
Bet kuris logaritmas turi tokią „anatomiją“:
Logaritmo argumentas dažniausiai rašomas jo lygmenyje, o bazė rašoma apatiniu indeksu arčiau logaritmo ženklo. Ir šis įrašas skaitomas taip: „dvidešimt penkių logaritmas iki penkių bazės“.
Kaip apskaičiuoti logaritmą?
Norėdami apskaičiuoti logaritmą, turite atsakyti į klausimą: kokiu laipsniu reikia pakelti bazę, kad gautumėte argumentą?
Pavyzdžiui, apskaičiuokite logaritmą: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) Kokia galia turi būti padidinta \(4\), kad gautume \(16\)? Akivaizdu, kad antrasis. Štai kodėl:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) Kokia galia turi būti padidinta \(\sqrt(5)\), kad gautume \(1\)? O koks laipsnis bet kurį skaičių paverčia vienetu? Nulis, žinoma!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) Kokia galia turi būti padidinta \(\sqrt(7)\), kad gautume \(\sqrt(7)\)? Pirmajame - bet koks skaičius pirmojo laipsnio yra lygus sau.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) Kokia galia turi būti padidinta \(3\), kad gautume \(\sqrt(3)\)? Mes žinome, kad tai yra trupmeninė galia, o tai reiškia Kvadratinė šaknis yra laipsnis \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Pavyzdys : Apskaičiuokite logaritmą \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Sprendimas :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Turime rasti logaritmo reikšmę, pažymėkime ją x. Dabar naudokime logaritmo apibrėžimą: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Kas susieja \(4\sqrt(2)\) ir \(8\)? Du, nes abu skaičiai gali būti pavaizduoti dviem: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Kairėje pusėje naudojame laipsnio ypatybes: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ir \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Bazės yra lygios, pereiname prie rodiklių lygybės |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Padauginkite abi lygties puses iš \(\frac(2)(5)\) |
|
|
Gauta šaknis yra logaritmo reikšmė |
Atsakymas : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Kodėl buvo išrastas logaritmas?
Norėdami tai suprasti, išspręskime lygtį: \(3^(x)=9\). Tiesiog suderinkite \(x\), kad lygybė veiktų. Žinoma, \(x=2\).
Dabar išspręskite lygtį: \(3^(x)=8\). Kam x lygus? Tai yra esmė.
Išradingiausi pasakys: „X yra šiek tiek mažiau nei du“. Kaip tiksliai turi būti parašytas šis skaičius? Norėdami atsakyti į šį klausimą, jie sugalvojo logaritmą. Jo dėka atsakymas čia gali būti parašytas kaip \(x=\log_(3)(8)\).
Noriu pabrėžti, kad \(\log_(3)(8)\), taip pat bet koks logaritmas yra tik skaičius. Taip, atrodo neįprastai, bet trumpas. Nes jei norėtume rašyti kaip dešimtainį skaičių, jis atrodytų taip: \(1.892789260714.....\)
Pavyzdys : išspręskite lygtį \(4^(5x-4)=10\)
Sprendimas :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) ir \(10\) negali būti redukuojami į tą pačią bazę. Taigi čia neapsieisite be logaritmo. Naudokime logaritmo apibrėžimą: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Apverskite lygtį taip, kad x būtų kairėje |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Prieš mus. Perkelkite \(4\) į dešinę. Ir nebijokite logaritmo, traktuokite jį kaip įprastą skaičių. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Padalinkite lygtį iš 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Čia yra mūsų šaknis. Taip, atrodo neįprastai, bet atsakymas nepasirinktas. |
Atsakymas : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Dešimtainiai ir natūralūs logaritmai
Kaip nurodyta logaritmo apibrėžime, jo bazė gali būti bet kokia teigiamas skaičius, išskyrus vienetą \((a>0, a\neq1)\). Ir tarp visų galimų bazių yra du, kurie pasitaiko taip dažnai, kad logaritmams su jais buvo išrastas specialus trumpas žymėjimas:
Natūralusis logaritmas: logaritmas, kurio pagrindas yra Eulerio skaičius \(e\) (lygus apytiksliai \(2,7182818…\)), o logaritmas parašytas kaip \(\ln(a)\).
Tai yra, \(\ln(a)\) yra toks pat kaip \(\log_(e)(a)\)
Dešimtainis logaritmas: logaritmas, kurio bazė yra 10, rašoma \(\lg(a)\).
Tai yra, \(\lg(a)\) yra toks pat kaip \(\log_(10)(a)\), kur \(a\) yra koks nors skaičius.
Pagrindinė logaritminė tapatybė
Logaritmai turi daug savybių. Vienas iš jų vadinamas „Pagrindinė logaritminė tapatybė“ ir atrodo taip:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Ši savybė tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimo. Pažiūrėkime, kaip tiksliai atsirado ši formulė.
Prisiminkime trumpa pastaba logaritmų apibrėžimai:
jei \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)
Tai reiškia, kad \(b\) yra toks pat kaip \(\log_(a)(c)\). Tada galime parašyti \(\log_(a)(c)\) vietoj \(b\) formulėje \(a^(b)=c\) . Paaiškėjo, kad \(a^(\log_(a)(c))=c\) - pagrindinė logaritminė tapatybė.
Galite rasti likusias logaritmų savybes. Jų pagalba galite supaprastinti ir apskaičiuoti logaritmų išraiškų reikšmes, kurias sunku tiesiogiai apskaičiuoti.
Pavyzdys : Raskite išraiškos reikšmę \(36^(\log_(6)(5))\)
Sprendimas :
Atsakymas : \(25\)
Kaip parašyti skaičių kaip logaritmą?
Kaip minėta aukščiau, bet koks logaritmas yra tik skaičius. Taip pat yra atvirkščiai: bet kurį skaičių galima parašyti logaritmu. Pavyzdžiui, žinome, kad \(\log_(2)(4)\) yra lygus dviem. Tada vietoj dviejų galite parašyti \(\log_(2)(4)\).
Tačiau \(\log_(3)(9)\) taip pat yra lygus \(2\), todėl taip pat galite parašyti \(2=\log_(3)(9)\) . Panašiai ir su \(\log_(5)(25)\) ir su \(\log_(9)(81)\) ir kt. Tai yra, pasirodo
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Taigi, jei reikia, galime užrašyti du kaip logaritmą su bet kuria baze bet kurioje vietoje (net lygtyje, net išraiškoje, net nelygybėje) – tiesiog kvadratinę bazę rašome kaip argumentą.
Tas pats ir su trigubu – jis gali būti parašytas kaip \(\log_(2)(8)\), arba kaip \(\log_(3)(27)\), arba kaip \(\log_(4)( 64) \) ... Čia kaip argumentą įrašome bazę kube:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
Ir su keturiais:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
Ir su minusu vienu:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\)\(...\)
Ir su trečdaliu:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Bet koks skaičius \(a\) gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su baze \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Pavyzdys : Raskite išraiškos reikšmę \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Sprendimas :
Atsakymas : \(1\)
