Skliaustų daugyba. Skliaustų atidarymas: taisyklės ir pavyzdžiai (7 klasė)
Skliausteliuose nurodoma, kokia tvarka atliekamos operacijos skaitiniais ir pažodiniai posakiai, taip pat išraiškose su kintamaisiais. Patogu nuo išraiškos su skliaustais pereiti prie identiškos išraiškos be skliaustų. Ši technika vadinama skliaustų atidarymu.
Išplėsti skliaustus reiškia atsikratyti šių skliaustų išraiškos.
Ypatingo dėmesio nusipelno dar vienas dalykas, susijęs su rašymo sprendimų ypatumais atidarant skliaustus. Pradinę išraišką galime parašyti skliaustais, o rezultatą, gautą atidarius skliaustus, kaip lygybę. Pavyzdžiui, atidarius skliaustus, vietoj išraiškos
3−(5−7) gauname išraišką 3−5+7. Abi šias išraiškas galime parašyti kaip lygybę 3−(5−7)=3−5+7.
Ir dar vienas svarbus punktas. Matematikoje, norint sumažinti įrašus, įprasta nerašyti pliuso ženklo, jei jis yra pirmas reiškinyje arba skliausteliuose. Pavyzdžiui, jei pridedame du teigiamus skaičius, pavyzdžiui, septyni ir trys, tada rašome ne +7 + 3, o tiesiog 7 + 3, nepaisant to, kad septyni taip pat yra teigiamas skaičius. Panašiai, jei matote, pavyzdžiui, išraišką (5 + x) - žinokite, kad prieš skliaustą yra pliusas, kuris nėra parašytas, o priešais yra pliusas + (+5 + x). penkios.
Kronšteino išplėtimo taisyklė papildymui
Atidarant skliaustus, jei prieš skliaustus yra pliusas, tai šis pliusas praleidžiamas kartu su skliaustais.
Pavyzdys. Atidarykite skliaustus reiškinyje 2 + (7 + 3) Prieš skliaustus plius, tada simboliai, esantys prieš skaičius skliausteliuose, nesikeičia.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Skliaustų išplėtimo atėmimo metu taisyklė
Jei prieš skliaustus yra minusas, tada šis minusas praleidžiamas kartu su skliaustais, tačiau terminai, kurie buvo skliausteliuose, pakeičia savo ženklą į priešingą. Ženklo nebuvimas prieš pirmąjį terminą skliausteliuose reiškia + ženklą.
Pavyzdys. Atidaryti skliaustus 2 reiškinyje − (7 + 3)
Prieš skliaustus yra minusas, todėl reikia pakeisti ženklus prieš skaičius iš skliaustų. Prieš skaičių 7 skliausteliuose nėra ženklo, o tai reiškia, kad septyni yra teigiami, laikoma, kad prieš jį yra ženklas +.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Atidarydami skliaustus pašaliname pavyzdyje esantį minusą, kuris buvo prieš skliaustus, o pačius skliaustus 2 − (+ 7 + 3), o skliausteliuose buvusius ženklus pakeičiame į priešingus.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Išplečiami skliaustai dauginant
Jei prieš skliaustus yra daugybos ženklas, tada kiekvienas skliaustuose esantis skaičius padauginamas iš koeficiento, esančio prieš skliaustus. Tuo pačiu, padauginus minusą iš minuso, gaunamas pliusas, o padauginus minusą iš pliuso, kaip ir pliusą iš minuso, gaunamas minusas.
Taigi sandaugų skliaustai išplečiami atsižvelgiant į daugybos paskirstymo savybę.
Pavyzdys. 2 (9–7) = 2 9–2 7
Dauginant skliaustelį iš skliaustų, kiekvienas pirmojo skliaustas narys dauginamas iš kiekvieno antrojo skliausto nario.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
Tiesą sakant, nereikia atsiminti visų taisyklių, užtenka prisiminti tik vieną, šią: c(a−b)=ca−cb. Kodėl? Nes jei vietoj c pakeisime vieną, gausime taisyklę (a−b)=a−b. Ir jei pakeisime atėmus vieną, gausime taisyklę −(a−b)=−a+b. Na, jei vietoj c pakeisite kitą skliaustą, galite gauti paskutinę taisyklę.
Dalindami išskleiskite skliaustus
Jei po skliaustų yra padalijimo ženklas, tai kiekvienas skliaustuose esantis skaičius dalijasi iš daliklio po skliaustų ir atvirkščiai.
Pavyzdys. (9 + 6) : 3 = 9: 3 + 6: 3
Kaip išplėsti įdėtus skliaustus
Jei išraiškoje yra įdėtų skliaustų, jie išplečiami eilės tvarka, pradedant išoriniu arba vidiniu.
Tuo pačiu metu, atidarant vieną iš skliaustų, svarbu neliesti kitų skliaustų, tiesiog perrašyti juos tokius, kokie jie yra.
Pavyzdys. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Tarp įvairių algebroje nagrinėjamų išraiškų svarbią vietą užima monomijų sumos. Štai tokių posakių pavyzdžiai:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Vienanarių suma vadinama daugianariu. Dauginamo terminai vadinami daugianario nariais. Mononomai taip pat vadinami daugianariais, o mononomas laikomas daugianariu, susidedančiu iš vieno nario.
Pavyzdžiui, daugianario
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
galima supaprastinti.
Mes atstovaujame visus terminus monomijų forma standartinis vaizdas:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Gautame polinome pateikiame panašius terminus:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Gaunamas daugianaris, kurio visi nariai yra standartinės formos mononomai, o tarp jų nėra panašių. Tokie daugianariai vadinami standartinės formos daugianariai.
Už nugaros daugianario laipsnis standartinė forma turi didžiausią iš jos narių galių. Taigi, dvinaris \(12a^2b - 7b \) turi trečiąjį laipsnį, o trinaris \(2b^2 -7b + 6 \) turi antrąjį.
Paprastai standartinės formos daugianario, turinčio vieną kintamąjį, terminai išdėstomi jo eksponentų mažėjimo tvarka. Pavyzdžiui:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Kelių daugianarių suma gali būti paversta (supaprastinta) į standartinės formos daugianarį.
Kartais daugianario narius reikia suskirstyti į grupes, kiekvieną grupę įrašant skliausteliuose. Kadangi skliaustai yra priešingi skliaustams, tai lengva suformuluoti skliaustų atidarymo taisyklės:
Jei + ženklas dedamas prieš skliaustus, tada skliausteliuose esantys terminai rašomi tais pačiais ženklais.
Jei prieš skliaustus dedamas ženklas „-“, tai terminai, esantys skliausteliuose, rašomi priešingais ženklais.
Vienanario ir daugianaro sandaugos transformacija (supaprastinimas).
Naudojant daugybos skirstomąją savybę, galima paversti (supaprastinti) vienanalio ir daugianaro sandaugą į daugianarį. Pavyzdžiui:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \ctaškas 7a^2 + 9a^2b \ctaškas (-5ab) + 9a^2b \ctaškas (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Vienanario ir daugianaro sandauga yra identiškai lygi šio vienanalio sandaugų ir kiekvieno daugianalio nario sandaugų sumai.
Šis rezultatas paprastai formuluojamas kaip taisyklė.
Norint padauginti vienanarį iš daugianario, reikia padauginti šį vienanarį iš kiekvieno daugianario nario.
Mes ne kartą naudojome šią taisyklę daugindami iš sumos.
Daugiavardžių sandauga. Dviejų daugianario sandaugos transformacija (supaprastinimas).
Paprastai dviejų daugianario sandauga yra identiškai lygi vieno daugianario kiekvieno nario sandaugos ir kiekvieno kito daugianario sandaugos sumai.
Paprastai naudokite šią taisyklę.
Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito nario ir pridėti gautas sandaugas.
Sutrumpintos daugybos formulės. Sumos, skirtumo ir skirtumo kvadratai
Kai kurios algebrinių transformacijų išraiškos turi būti tvarkomos dažniau nei kitos. Bene dažniausiai pasitaikančios išraiškos yra \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ir \(a^2 - b^2 \), tai yra sumos kvadratas, skirtumo kvadratas ir kvadratinis skirtumas. Pastebėjote, kad šių posakių pavadinimai atrodo neišsamūs, todėl, pavyzdžiui, \((a + b)^2 \), žinoma, yra ne tik sumos kvadratas, bet ir sumos kvadratas. a ir b. Tačiau a ir b sumos kvadratas nėra toks įprastas, paprastai vietoj raidžių a ir b jame yra įvairios, kartais gana sudėtingos išraiškos.
Išraiškas \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) nesunku paversti (supaprastinti) į standartinės formos polinomus, tiesą sakant, jūs jau susidūrėte su tokia užduotimi daugindami daugianario :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Gautas tapatybes naudinga atsiminti ir taikyti be tarpinių skaičiavimų. Tam padeda trumpos žodinės formuluotės.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - sumos kvadratas yra lygus kvadratų ir dvigubos sandaugos sumai.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - skirtumo kvadratas yra kvadratų suma nepadvigubinant sandaugos.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kvadratų skirtumas lygus skirtumo ir sumos sandaugai.
Šios trys tapatybės leidžia transformacijose pakeisti kairiąsias dalis dešiniosiomis ir atvirkščiai – dešiniąsias dalis kairiosiomis. Sunkiausia šiuo atveju pamatyti atitinkamas išraiškas ir suprasti, kuo jose pakeisti kintamieji a ir b. Pažvelkime į keletą sutrumpintų daugybos formulių naudojimo pavyzdžių.
Ta lygties dalis yra išraiška skliausteliuose. Norėdami atidaryti skliaustus, pažiūrėkite į ženklą prieš skliaustus. Jei yra pliuso ženklas, niekas nepasikeis išplečiant skliaustus išraiškos įraše: tiesiog nuimkite skliaustus. Jei yra minuso ženklas, atidarant skliaustus reikia pakeisti visus iš pradžių skliausteliuose esančius ženklus į priešingus. Pavyzdžiui, -(2x-3)=-2x+3.
Dviejų skliaustų padauginimas.
Jei lygtyje yra dviejų skliaustų sandauga, išplėskite skliaustus pagal standartinę taisyklę. Kiekvienas pirmojo skliausto narys padauginamas iš kiekvieno antrojo skliausto termino. Gauti skaičiai sumuojami. Šiuo atveju dviejų „pliusų“ arba dviejų „minusų“ sandauga suteikia terminui „pliuso“ ženklą, o jei veiksniai turi skirtingi ženklai, tada jis gauna minuso ženklą.
Apsvarstykite.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Išplečiant skliaustus, kartais pakeliant išraišką į . Kvadratavimo ir pjaustymo kubeliais formules reikia žinoti mintinai ir atsiminti.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Didesnės nei trys išraiškos didinimo formules galima atlikti naudojant Paskalio trikampį.
Šaltiniai:
- skliaustų atidarymo formulė
Matematinėse operacijose, esančiose skliausteliuose, gali būti įvairaus sudėtingumo kintamųjų ir išraiškų. Norint padauginti tokių posakių, teks ieškoti sprendimo bendras vaizdas, išplečiant skliaustus ir supaprastinant rezultatą. Jei skliausteliuose yra operacijos be kintamųjų, tik su skaitinėmis reikšmėmis, tada skliaustų atidaryti nereikia, nes jei kompiuteris yra prieinamas jo vartotojui, yra prieinami labai reikšmingi skaičiavimo ištekliai - juos naudoti lengviau nei supaprastinti išraiška.
Instrukcija
Jei norite gauti bendrą rezultatą, padauginkite kiekvieną (arba sumažintą iš), esantį viename skliaustelyje, iš visų kitų skliaustų turinio. Pavyzdžiui, tegul pradinė išraiška užrašoma taip: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Tada nuoseklus dauginimas (ty skliaustų išplėtimas) duos tokį rezultatą: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 – 5∗x∗5∗x – 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x – x∗x∗x∗x - x∗x∗2∗x = 150∗x + 300 – 25∗x² – 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² – x∗x³ – 2∗x³.
Supaprastinkite po rezultato sutrumpindami išraiškas. Pavyzdžiui, ankstesniame žingsnyje gautą išraišką galima supaprastinti taip: 150∗x + 300 – 25∗x² – 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² – x∗x³ – 2∗x³ = 100∗x + 300–13∗ x² – 8∗x³ – x∗x³.
Naudokite skaičiuotuvą, jei reikia padauginti x lygus 4,75, tai yra (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Norėdami apskaičiuoti šią reikšmę, eikite į „Google“ arba „Nigma“ paieškos sistemos svetainę ir užklausos lauke įveskite reiškinį pradine forma (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google parodys 82.265625 iš karto, nepaspaudus mygtuko, o Nigma turi siųsti duomenis į serverį paspaudus mygtuką.
Šioje pamokoje sužinosite, kaip skliausteliuose esantį posakį paversti išraiška, kurioje nėra skliaustų. Sužinosite, kaip atidaryti skliaustus, prieš kuriuos rašomas pliuso ir minuso ženklas. Prisiminsime, kaip atidaryti skliaustus naudojant daugybos paskirstymo dėsnį. Nagrinėjami pavyzdžiai leis susieti naują ir anksčiau tyrinėtą medžiagą į vieną visumą.
Tema: lygčių sprendimas
Pamoka: skliaustų išplėtimas
Kaip atidaryti skliaustus, prieš kuriuos yra „+“ ženklas. Asociatyvinio sudėjimo dėsnio naudojimas.
Jei prie skaičiaus reikia pridėti dviejų skaičių sumą, prie šio skaičiaus galite pridėti pirmąjį, o paskui antrąjį.
Lygybės ženklo kairėje yra išraiška su skliaustais, o dešinėje - išraiška be skliaustų. Tai reiškia, kad pereinant iš kairės lygybės pusės į dešinę, skliausteliuose atsidarė.
Apsvarstykite pavyzdžius.
1 pavyzdys 
Išplėsdami skliaustus, pakeitėme operacijų tvarką. Skaičiavimas tapo patogesnis.
2 pavyzdys 
3 pavyzdys
Atminkite, kad visuose trijuose pavyzdžiuose tiesiog pašalinome skliaustus. Suformuluokime taisyklę:
komentuoti.
Jei pirmasis terminas skliausteliuose yra be ženklo, jis turi būti parašytas pliuso ženklu.
Galite sekti žingsnis po žingsnio pavyzdį. Pirmiausia prie 889 pridėkite 445. Šį protinį veiksmą galima atlikti, bet tai nėra labai lengva. Atidarykime skliaustus ir pamatysime, kad pasikeitusi operacijų tvarka labai supaprastins skaičiavimus.
Jei laikotės nurodytos veiksmų eilės, tuomet iš 512 pirmiausia turite atimti 345, o tada prie rezultato pridėti 1345. Išplėsdami skliaustus pakeisime veiksmų eiliškumą ir labai supaprastinsime skaičiavimus.
Iliustratyvus pavyzdys ir taisyklė.
Apsvarstykite pavyzdį: . Išraiškos reikšmę galite rasti pridėję 2 ir 5, o gautą skaičių paimdami su priešingu ženklu. Gauname -7.
Kita vertus, tą patį rezultatą galima gauti sudėjus priešingus skaičius.
Suformuluokime taisyklę:
1 pavyzdys 
2 pavyzdys
Taisyklė nesikeičia, jei skliausteliuose yra ne du, o trys ar daugiau terminų.
3 pavyzdys 
komentuoti. Ženklai apverčiami tik prieš terminus.
Norėdami atidaryti skliaustus, Ši byla prisiminti paskirstymo savybę.
Pirma, pirmąjį skliaustą padauginkite iš 2, o antrąjį - iš 3.
Prieš pirmąjį skliaustą yra „+“ ženklas, o tai reiškia, kad ženklai turi būti nepakeisti. Prieš antrąjį yra ženklas „-“, todėl visi ženklai turi būti pakeisti
Bibliografija
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012 m.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6 klasė. - Gimnazija, 2006 m.
- Depmanas I.Ya., Vilenkinas N.Ya. Už matematikos vadovėlio puslapių. – Švietimas, 1989 m.
- Rurukinas A.N., Čaikovskis I.V. Matematikos 5-6 klasės kurso užduotys - ZSH MEPhI, 2011 m.
- Rurukinas A.N., Sočilovas S.V., Čaikovskis K.G. Matematika 5-6. Vadovas MEPhI neakivaizdinės mokyklos 6 klasės mokiniams. – ZSH MEPhI, 2011 m.
- Ševrinas L.N., Geinas A.G., Koryakovas I.O., Volkovas M.V. Matematika: Pašnekovės vadovėlis 5-6 klasei vidurinė mokykla. Matematikos mokytojo biblioteka. – Švietimas, 1989 m.
- Internetiniai matematikos testai ().
- Galite atsisiųsti 1.2 punkte nurodytus. knygos ().
Namų darbai
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (žr. nuorodą 1.2)
- Namų darbai: Nr. 1254, Nr. 1255, Nr. 1256 (b, d)
- Kiti pavedimai: Nr.1258(c), Nr.1248
Šiame straipsnyje mes išsamiai apsvarstysime pagrindines tokios svarbios matematikos kurso temos, kaip skliausteliuose, taisykles. Norėdami teisingai išspręsti lygtis, kuriose jie naudojami, turite žinoti skliaustų atidarymo taisykles.
Kaip tinkamai atidaryti skliaustus pridedant
Išskleiskite skliaustus, prieš kuriuos yra „+“ ženklas
Tai yra paprasčiausias atvejis, nes jei prieš skliaustus yra papildymo ženklas, atidarius skliaustus, ženklai jų viduje nesikeičia. Pavyzdys:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Kaip atidaryti skliaustus, prieš kuriuos yra „-“ ženklas
Tokiu atveju reikia perrašyti visus terminus be skliaustų, bet tuo pačiu pakeisti visus jų viduje esančius ženklus į priešingus. Ženklai keičiasi tik terminams iš tų skliaustų, prieš kuriuos buvo „-“ ženklas. Pavyzdys:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Kaip atidaryti skliaustus dauginant
Prieš skliaustus rašomas daugiklis
Tokiu atveju kiekvieną terminą reikia padauginti iš koeficiento ir atidaryti skliaustus nekeičiant ženklų. Jei daugiklis turi ženklą „-“, tai dauginant terminų ženklai apverčiami atvirkščiai. Pavyzdys:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Kaip atidaryti du skliaustus su daugybos ženklu tarp jų
Tokiu atveju turite padauginti kiekvieną terminą iš pirmųjų skliaustų iš kiekvieno termino iš antrųjų skliaustų ir pridėti rezultatus. Pavyzdys:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Kaip atidaryti skliaustus kvadrate
Jei dviejų dėmenų suma arba skirtumas yra padalytas kvadratu, skliaustus reikia išplėsti pagal šią formulę:
(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.
Jei skliausteliuose yra minusas, formulė nesikeičia. Pavyzdys:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Kaip atidaryti skliaustus kitu laipsniu
Jei terminų suma arba skirtumas pakeliamas, pavyzdžiui, iki 3 ar 4 laipsnio, tuomet tereikia skliaustą padalyti į „kvadratus“. Tų pačių veiksnių laipsniai pridedami, o dalijant iš dividendo laipsnio atimamas daliklio laipsnis. Pavyzdys:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Kaip atidaryti 3 skliaustus
Yra lygčių, kuriose iš karto padauginami 3 skliaustai. Tokiu atveju pirmiausia turite padauginti pirmųjų dviejų skliaustų narius tarpusavyje, o tada padauginti šio daugybos sumą iš trečiojo skliausčio dalių. Pavyzdys:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Šios skliaustų atidarymo taisyklės vienodai taikomos tiek tiesinėms, tiek trigonometrinėms lygtims.
