Pažodinės išraiškos. Išraiškų konvertavimas
Bet kokia kalba gali išreikšti tą pačią informaciją skirtingais žodžiais ir revoliucijos. Ne išimtis ir matematinė kalba. Tačiau tą pačią išraišką galima lygiaverčiai parašyti skirtingais būdais. Ir kai kuriose situacijose vienas iš įrašų yra paprastesnis. Šioje pamokoje kalbėsime apie posakių supaprastinimą.
Žmonės bendrauja toliau skirtingomis kalbomis. Mums svarbus palyginimas yra pora „rusų kalba - matematinė kalba“. Ta pati informacija gali būti perduodama skirtingomis kalbomis. Tačiau, be to, vienoje kalboje jis gali būti tariamas įvairiai.
Pavyzdžiui: „Petya draugauja su Vasya“, „Vasya draugauja su Petya“, „Petya ir Vasya yra draugai“. Sakė kitaip, bet tą patį. Iš bet kurios iš šių frazių suprastume, apie ką kalbame.
Pažiūrėkime į šią frazę: „Berniukas Petya ir berniukas Vasya yra draugai“. Mes suprantame, ką turime omenyje mes kalbame apie. Tačiau mums nepatinka šios frazės skambesys. Ar negalime supaprastinti, pasakyti tą patį, bet paprasčiau? „Berniukas ir berniukas“ - galite pasakyti vieną kartą: „Berniukai Petya ir Vasya yra draugai“.
„Berniukai“... Ar iš jų vardų neaišku, kad tai ne mergaitės? Mes pašaliname „berniukus“: „Petya ir Vasya yra draugai“. O žodį „draugai“ galima pakeisti „draugais“: „Petya ir Vasya yra draugai“. Dėl to pirmoji, ilga, negraži frazė buvo pakeista lygiaverčiu teiginiu, kurį lengviau pasakyti ir suprasti. Mes supaprastinome šią frazę. Supaprastinti reiškia pasakyti paprasčiau, bet neprarasti ar neiškreipti prasmės.
Matematinėje kalboje vyksta maždaug tas pats. Galima sakyti vieną ir tą patį, parašyti skirtingai. Ką reiškia supaprastinti išraišką? Tai reiškia, kad originaliai išraiškai yra daug lygiaverčių posakių, ty tų, kurie reiškia tą patį. Ir iš visos šios įvairovės turime pasirinkti patį paprasčiausią, mūsų nuomone, arba tinkamiausią mūsų tolimesniems tikslams.
Pavyzdžiui, apsvarstykite skaitinę išraišką . Jis bus lygiavertis.
Jis taip pat bus lygiavertis pirmiesiems dviem: 
.
Pasirodo, supaprastinome savo posakius ir radome trumpiausią ekvivalentinę išraišką.
Skaitmeninėms išraiškoms visada reikia padaryti viską ir gauti lygiavertę išraišką kaip vieną skaičių.
Pažvelkime į pažodinės išraiškos pavyzdį . Aišku, bus paprasčiau.
Supaprastinant pažodines išraiškas, būtina atlikti visus įmanomus veiksmus.
Ar visada reikia supaprastinti išraišką? Ne, kartais mums bus patogiau turėti lygiavertį, bet ilgesnį įrašą.
Pavyzdys: iš skaičiaus reikia atimti skaičių.
Skaičiuoti galima, bet jei pirmasis skaičius būtų pavaizduotas lygiaverčiu jo žymėjimu: , tada skaičiavimai būtų momentiniai: .
Tai yra, supaprastinta išraiška ne visada mums naudinga tolesniems skaičiavimams.
Nepaisant to, labai dažnai susiduriame su užduotimi, kuri skamba kaip „supaprastinti išraišką“.
Supaprastinkite posakį: .
Sprendimas
1) Atlikite veiksmus pirmajame ir antrame skliausteliuose: .
2) Apskaičiuokime produktus: .
Akivaizdu, kad paskutinė išraiška yra paprastesnė nei pradinė. Mes tai supaprastinome.
Siekiant supaprastinti išraišką, ji turi būti pakeista ekvivalentu (lygu).
Norėdami nustatyti lygiavertę išraišką, jums reikia:
1) atlikti visus įmanomus veiksmus,
2) skaičiavimams supaprastinti naudoti sudėties, atimties, daugybos ir dalybos savybes.
Sudėjimo ir atimties savybės:
1. Komutacinė sudėties savybė: terminų pertvarkymas nekeičia sumos.
2. Sudėties jungtinė savybė: norėdami prie dviejų skaičių sumos pridėti trečią skaičių, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių sumą.
3. Sumos atėmimo iš skaičiaus savybė: norėdami atimti sumą iš skaičiaus, galite atimti kiekvieną narį atskirai.
Daugybos ir dalybos savybės
1. Komutacinė daugybos savybė: perstačius veiksnius sandauga nekeičiama.
2. Kombinacinė savybė: norėdami skaičių padauginti iš dviejų skaičių sandaugos, pirmiausia galite jį padauginti iš pirmojo koeficiento, o tada gautą sandaugą padauginti iš antrojo koeficiento.
3. Daugybos skirstomoji savybė: norint skaičių padauginti iš sumos, reikia padauginti iš kiekvieno nario atskirai.
Pažiūrėkime, kaip iš tikrųjų atliekame protinius skaičiavimus.
Apskaičiuoti:
Sprendimas
1) Įsivaizduokime, kaip
2) Įsivaizduokime pirmąjį veiksnį kaip bitų terminų sumą ir atliksime dauginimą:
3) galite įsivaizduoti, kaip ir atlikti daugybą:
4) Pakeiskite pirmąjį koeficientą lygiaverte suma:
Paskirstymo įstatymas taip pat gali būti naudojamas išvirkščia pusė: .
Atlikite šiuos veiksmus:
1) 
2) 
Sprendimas
1) Patogumo dėlei galite naudoti paskirstymo dėsnį, tik priešinga kryptimi – išimkite bendrą koeficientą iš skliaustų.
2) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų
Būtina nusipirkti linoleumą virtuvei ir prieškambariui. Virtuvės zona - , prieškambaris - . Yra trijų tipų linoleumai: už ir rubliai. Kiek kainuos kiekvienas? trijų tipų linoleumas? (1 pav.)
Ryžiai. 1. Problemos teiginio iliustracija
Sprendimas
1 būdas. Galite atskirai sužinoti, kiek pinigų reikės norint nusipirkti virtuvės linoleumą, tada padėkite jį į koridorių ir sudėkite gautus produktus.
Pamokos pradžioje apžvelgsime pagrindines kvadratinių šaknų savybes, o vėliau apžvelgsime keletą sudėtingų pavyzdžių Norėdami supaprastinti išraiškas, kuriose yra kvadratinių šaknų.
Tema:Funkcija. Savybės kvadratinė šaknis
Pamoka:Sudėtingesnių išraiškų su šaknimis konvertavimas ir supaprastinimas
1. Kvadratinių šaknų savybių apžvalga
Trumpai pakartokime teoriją ir prisiminkime pagrindines kvadratinių šaknų savybes.
Kvadratinių šaknų savybės:
1. todėl, ;
3. 
;
4. 
.
2. Posakių su šaknimis supaprastinimo pavyzdžiai
Pereikime prie šių savybių naudojimo pavyzdžių.
1 pavyzdys: supaprastinkite išraišką 
.
Sprendimas. Kad būtų paprasčiau, skaičius 120 turi būti padalytas į pirminius veiksnius:
Sumos kvadratą atskleisime naudodami atitinkamą formulę:
2 pavyzdys: supaprastinkite išraišką 
.
Sprendimas. Atsižvelkime į tai, kad ši išraiška neturi prasmės visoms galimoms kintamojo reikšmėms, nes šioje išraiškoje yra kvadratinių šaknų ir trupmenų, o tai lemia leistinų verčių diapazono „susiaurėjimą“. ODZ: 
().
Skliausteliuose esančią išraišką perkelkime į bendrą vardiklį ir paskutinės trupmenos skaitiklį parašykime kaip kvadratų skirtumą:
Atsakymas. adresu.
3 pavyzdys: supaprastinkite išraišką 
.
Sprendimas. Matyti, kad antrasis skaitiklio skliaustas atrodo nepatogiai ir jį reikia supaprastinti; pabandykime jį suskirstyti grupavimo metodu.
Kad galėtume išvesti bendrą veiksnį, supaprastinome šaknis, jas įvertindami. Pakeiskime gautą išraišką pradine trupmena:
Sumažinus trupmeną taikome kvadratų skirtumo formulę.
3. Iracionalumo atsikratymo pavyzdys
4 pavyzdys. Išsilaisvinkite nuo neracionalumo (šaknų) vardiklyje: a) ; b) .
Sprendimas. a) Siekiant atsikratyti neracionalumo vardiklyje, naudojamas standartinis trupmenos skaitiklio ir vardiklio dauginimo iš konjuguoto koeficiento su vardikliu metodas (ta pati išraiška, bet su priešingu ženklu). Tai daroma siekiant papildyti trupmenos vardiklį prie kvadratų skirtumo, o tai leidžia atsikratyti vardiklio šaknų. Padarykime tai mūsų atveju:
b) atlikti panašius veiksmus:
4. Pavyzdys, kaip įrodyti ir identifikuoti pilną kvadratą kompleksiniame radikale
5 pavyzdys. Įrodykite lygybę 
.
Įrodymas. Naudokime kvadratinės šaknies apibrėžimą, iš kurio išplaukia, kad dešiniosios išraiškos kvadratas turi būti lygus radikaliajai išraiškai:
. Atidarykime skliaustus naudodami sumos kvadrato formulę:
, gavome teisingą lygybę.
Įrodyta.
6 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką.
Sprendimas. Ši išraiška paprastai vadinama kompleksiniu radikalu (šaknis po šaknimi). IN šiame pavyzdyje jums reikia atspėti, kad atskirtumėte visą kvadratą nuo radikalios išraiškos. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį, kad iš dviejų terminų jis yra kandidatas į dvigubo produkto vaidmenį skirtumo kvadrato formulėje (skirtumas, nes yra minusas). Parašykime tai produkto forma: , tada vieno iš terminų vaidmuo pilna aikštė pretenzijų, o už antrojo vaidmenį – 1.
Pakeiskime šią išraišką šaknimi.
5 skyrius IŠRAIKOS IR LYGTYBĖS
Šiame skyriuje sužinosite:
ü o posakius ir jų supaprastinimus;
ü kokios yra lygybių savybės;
ü kaip spręsti lygtis remiantis lygybių savybėmis;
ü kokių tipų uždaviniai sprendžiami naudojant lygtis; kas yra statmenos linijos ir kaip jas statyti;
ü kokios linijos vadinamos lygiagrečiomis ir kaip jas nutiesti;
ü kas yra koordinačių plokštuma?
ü kaip nustatyti plokštumos taško koordinates;
ü kas yra dydžių santykio grafikas ir kaip jį sudaryti;
ü kaip pritaikyti studijuotą medžiagą praktikoje
§ 30. RAIŠKOS IR JŲ SUPAPRASTINIMAS
Jūs jau žinote, kas yra raidžių išraiškos, ir žinote, kaip jas supaprastinti naudodami sudėties ir daugybos dėsnius. Pavyzdžiui, 2a ∙ (-4 b ) = -8 ab . Gautoje išraiškoje skaičius -8 vadinamas išraiškos koeficientu.
Ar išraiška CD koeficientas? Taigi. Jis lygus 1, nes CD - 1 ∙ cd .
Prisiminkite, kad išraiškos su skliaustais konvertavimas į išraišką be skliaustų vadinamas skliaustų išplėtimu. Pavyzdžiui: 5(2x + 4) = 10x+ 20.
Šiame pavyzdyje atvirkštinis veiksmas yra skliausteliuose ištraukti bendrą veiksnį.
Terminai, turintys tuos pačius raidžių veiksnius, vadinami panašiais terminais. Iš skliaustų išbraukus bendrą veiksnį, iškeliami panašūs terminai:
5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =
= (5x - 2x) + (y + 6 m )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =
B x+ 7y - 5.
Skliaustų atidarymo taisyklės
1. Jei prieš skliaustus yra „+“ ženklas, tai atidarant skliaustus išsaugomi skliausteliuose esančių terminų ženklai;
2. Jei prieš skliaustus yra „-“ ženklas, tai atidarius skliaustus terminų ženklai skliausteliuose pasikeičia į priešingus.
1 užduotis. Supaprastinkite išraišką:
1) 4x+(-7x + 5);
2) 15 m. -(-8 + 7 m.).
Sprendimai. 1. Prieš skliaustus yra „+“ ženklas, todėl atidarant skliaustus išsaugomi visų terminų ženklai:
4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5 = -3x + 5.
2. Prieš skliaustus yra „-“ ženklas, todėl atidarant skliaustus: visų terminų ženklai apverčiami atvirkščiai:
15 – (– 8 + 7 m.) = 15 m. + 8–7 m. = 8 m. +8.
Norėdami atidaryti skliaustus, naudokite daugybos paskirstymo savybę: a( b + c ) = ab + ak. Jei a > 0, tai terminų ženklai b ir su nekeisk. Jeigu< 0, то знаки слагаемых b ir pakeisti į priešingą.
2 užduotis. Supaprastinkite posakį:
1) 2 (6 y -8) + 7 y ;
2)-5 (2-5x) + 12.
Sprendimai. 1. Koeficientas 2 prieš skliaustus yra teigiamas, todėl atidarydami skliaustus išsaugome visų terminų ženklus: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.
2. Koeficientas -5 prieš skliaustus yra neigiamas, todėl atidarydami skliaustus visų terminų ženklus keičiame į priešingus:
5 (2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.
Sužinoti daugiau
1. Žodis „suma“ kilęs iš lotynų kalbos suma , o tai reiškia „visa“, „bendra suma“.
2. Žodis "pliusas" kilęs iš lotynų kalbos pliusas kuris reiškia „daugiau“, o žodis „minusas“ yra iš lotynų kalbos minusas Ką reiškia "mažiau"? Ženklai „+“ ir „-“ naudojami sudėjimo ir atimties operacijoms nurodyti. Šiuos ženklus čekų mokslininkas J. Widmanas pristatė 1489 m. knygoje „Greita ir maloni sąskaita visiems pirkliams“(138 pav.).
Ryžiai. 138
ATMINKITE SVARBU
1. Kokie terminai vadinami panašiais? Kaip kuriami panašūs terminai?
2. Kaip atidaryti skliaustus, prieš kuriuos yra „+“ ženklas?
3. Kaip atidaryti skliaustus, prieš kuriuos yra „-“ ženklas?
4. Kaip atidarote skliaustus, prieš kuriuos yra teigiamas veiksnys?
5. Kaip atidarote skliaustus, prieš kuriuos yra neigiamas veiksnys?
1374". Pavadinkite išraiškos koeficientą:
1) 12 a; 3) -5,6 xy;
2) 4 6; 4)-s.
1375". Įvardykite terminus, kurie skiriasi tik koeficientu:
1) 10a + 76-26 + a; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;
2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4) 5x + 4y-x + y.
Kaip vadinami šie terminai?
1376". Ar išraiškoje yra panašių terminų:
1)11a+10a; 3) 6 n + 15 n ; 5) 25r - 10r + 15r;
2) 14s-12; 4)12 m + m ; 6)8 k +10 k - n ?
1377". Ar reikia keisti terminų ženklus skliausteliuose, skliaustus atidarant reiškinyje:
1) 4 + (a+ 3 b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?
1378°. Supaprastinkite išraišką ir pabraukite koeficientą:
1379°. Supaprastinkite išraišką ir pabraukite koeficientą:
1380°. Sujunkite panašius terminus:
1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10–4 d - 12 + 4 d ;
2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b ; 5) 5a - 12 b - 7a + 5 b;
3)-7 ang="LT-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.
1381°. Sujunkite panašius terminus:
1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3;
2)9 b +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.
1382°. Išimkite bendrą veiksnį iš skliaustų:
1)1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5)-5 p + 2,5 k -0,5 t ;
2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8r - 10k - 6t.
1383°. Išimkite bendrą veiksnį iš skliaustų:
1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;
2) -0,2 s + 1 4 d ; A) 3p - 0,9 k + 2,7 t.
1384°. Atidarykite skliaustus ir sujunkite panašius terminus;
1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);
2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);
3) (76–4) – (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).
1385°. Atidarykite skliaustus ir sujunkite panašius terminus:
1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5c);
2) -(46-10) + (4-56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).
1386°. Atidarykite skliaustus ir suraskite posakio reikšmę:
1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);
2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).
1387°. Atidarykite skliaustus ir suraskite posakio reikšmę:
1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);
2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).
1388°. Atidaryti skliaustelį:
1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);
2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 t);
3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).
1389°. Atidaryti skliaustelį:
1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 m.);
2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t).
1390. Supaprastinkite posakį:
1391. Supaprastinkite posakį:
1392. Sumažinti panašių terminų skaičių:
1393. Sujunkite panašius terminus:
1394. Supaprastinkite posakį:
1) 2,8 – (0,5 a + 4) – 2,5 ∙ (2a – 6);
2) -12 ∙ (8 - 2, ) + 4,5 ∙ (-6 m - 3,2);
4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.
1395. Supaprastinkite posakį:
1396. Raskite posakio reikšmę;
1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), jei a = -5;
2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), jei = -0,8;
m = 0,25, n = 5,7.
1397. Raskite posakio reikšmę:
1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), jei x = -0,25;
1398*. Raskite klaidą sprendime:
1)5- (a-2,4)-7 ∙ (-a+ 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;
2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.
1399*. Atidarykite skliaustus ir supaprastinkite išraišką:
1) 2ab – 3(6(4a – 1) – 6(6 – 10a)) + 76;
1400*. Išdėstykite skliaustus, kad gautumėte teisingą lygybę:
1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .
1401*. Įrodykite, kad bet kokiems skaičiams a ir b, jei a > b , tada galioja lygybė:
1) (a + b) + (a-b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.
Ar ši lygybė bus teisinga, jei: a) a< b ; b) a = 6?
1402*. Įrodykite, kad bet kurio natūraliojo skaičiaus a aritmetinis vidurkis iš ankstesnių ir paskesnių skaičių yra lygus skaičiui a.
PRADĖKITE PRAKTIKAI
1403. Vaisiniam desertui trims žmonėms paruošti reikia: 2 obuolių, 1 apelsino, 2 bananų ir 1 kivio. Kaip sukurti raidės išraišką, kad būtų galima nustatyti vaisių kiekį, reikalingą ruošiant desertą svečiams? Padėkite Marin suskaičiuoti, kiek vaisių jai reikia nupirkti, jei: 1) jos aplankyti atvažiuoja 5 draugai; 2) 8 draugai.
1404. Padarykite raidžių išraišką, kad nustatytumėte, kiek laiko reikia atlikti matematikos namų darbams, jei:
1) problemų sprendimui buvo skirta minutė; 2) išraiškų supaprastinimas yra 2 kartus didesnis nei sprendžiant uždavinius. Kiek laiko prireikė užbaigti namų darbai Vasilko, jei jis praleistų 15 minučių spręsdamas problemas?
1405. Pietūs mokyklos valgykloje – salotos, barščiai, kopūstų suktinukai ir kompotas. Salotų kaina yra 20%, barščiai - 30%, kopūstų suktinukai - 45%, kompotas - 5% visų pietų kainos. Parašykite išraišką, kad surastumėte pietų kainą mokyklos valgykloje. Kiek kainuoja pietūs, jei salotų kaina 2 UAH?
PERŽIŪRĖTI PROBLEMAS
1406. Išspręskite lygtį:
1407. Tanya išleido ledamsvisi turimi pinigai, o už saldainius -likusieji. Kiek pinigų Tanyai liko?
jei saldainiai kainuoja 12 UAH?
§ 1 Pažodinės išraiškos supaprastinimo samprata
Šioje pamokoje susipažinsime su „panašių terminų“ sąvoka ir, pasitelkę pavyzdžius, išmoksime atlikti panašių terminų redukciją, taip supaprastinant pažodinius posakius.
Išsiaiškinkime sąvokos „supaprastinimas“ reikšmę. Žodis „supaprastinimas“ yra kilęs iš žodžio „supaprastinti“. Supaprastinti reiškia padaryti paprastą, paprastesnį. Todėl, norint supaprastinti raidžių išraišką, reikia ją sutrumpinti, atliekant minimalų veiksmų skaičių.
Apsvarstykite išraišką 9x + 4x. Tai pažodinė išraiška, kuri yra suma. Terminai čia pateikiami kaip skaičiaus ir raidės sandauga. Skaitinis tokių terminų koeficientas vadinamas koeficientu. Šioje išraiškoje koeficientai bus skaičiai 9 ir 4. Atkreipkite dėmesį, kad koeficientas, pavaizduotas raide, yra vienodas abiejose šios sumos sąlygose.
Prisiminkime daugybos paskirstymo dėsnį:
Norėdami padauginti sumą iš skaičiaus, galite padauginti kiekvieną terminą iš to skaičiaus ir pridėti gautus produktus.
IN bendras vaizdas parašyta taip: (a + b) ∙ c = ac + bc.
Šis dėsnis galioja abiem kryptimis ac + bc = (a + b) ∙ c
Taikykime tai savo pažodinei išraiškai: 9x ir 4x sandaugų suma yra lygi sandaugai, kurios pirmasis koeficientas yra lygus 9 ir 4 sumai, antrasis koeficientas yra x.
9 + 4 = 13, tai yra 13x.
9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.
Vietoj trijų išraiškos veiksmų liko tik vienas veiksmas – daugyba. Tai reiškia, kad savo pažodinę išraišką supaprastinome, t.y. jį supaprastino.
§ 2 Panašių terminų sumažinimas
Terminai 9x ir 4x skiriasi tik savo koeficientais – tokie terminai vadinami panašiais. Panašių terminų raidinė dalis yra ta pati. Panašūs terminai taip pat apima skaičius ir vienodus terminus.
Pavyzdžiui, reiškinyje 9a + 12 - 15 panašūs terminai bus skaičiai 12 ir -15, o sandaugų 12 ir 6a sumoje skaičius 14 ir sandauga 12 ir 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) lygūs dėmenys, pavaizduoti 12 ir 6a sandauga.
Svarbu pažymėti, kad nariai, kurių koeficientai yra lygūs, bet raidžių koeficientai skiriasi, nėra panašūs, nors kartais naudinga jiems pritaikyti daugybos skirstinį dėsnį, pavyzdžiui, sandaugų 5x ir 5y suma yra lygus skaičiaus 5 ir x bei y sumos sandaugai
5x + 5y = 5(x + y).
Supaprastinkime išraišką -9a + 15a - 4 + 10.
Panašūs terminai tokiu atveju yra terminai -9a ir 15a, nes jie skiriasi tik savo koeficientais. Jų raidžių daugiklis yra tas pats, o terminai -4 ir 10 taip pat yra panašūs, nes tai yra skaičiai. Pridėkite panašių terminų:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Gauname: 6a + 6.
Supaprastinę išraišką radome panašių dėmenų sumas, matematikoje tai vadinama panašių dėmenų redukcija.
Jei sunku pridėti tokius terminus, galite sugalvoti jiems žodžius ir pridėti objektų.
Pavyzdžiui, apsvarstykite išraišką:
Kiekvienai raidei paimame savo objektą: b-obuolių, c-kriaušių, tada gauname: 2 obuoliai minus 5 kriaušės plius 8 kriaušės.
Ar galima iš obuolių atimti kriaušes? Žinoma ne. Bet prie minus 5 kriaušių galime pridėti 8 kriaušes.
Pateiksime panašius terminus -5 kriaušės + 8 kriaušės. Panašūs terminai turi tą pačią raidės dalį, todėl vedant panašius terminus pakanka pridėti koeficientus ir prie rezultato pridėti raidės dalį:
(-5 + 8) kriaušės - gausite 3 kriaušes.
Grįžtant prie mūsų pažodinės išraiškos, turime -5 s + 8 s = 3 s. Taigi, atvedę panašius terminus, gauname išraišką 2b + 3c.
Taigi, šioje pamokoje susipažinote su „panašių terminų“ sąvoka ir išmokote supaprastinti raidžių išraiškas sumažinant panašius terminus.
Naudotos literatūros sąrašas:
- Matematika. 6 klasė: I.I. vadovėlio pamokų planai. Zubareva, A.G. Mordkovičius // autorius-sudarytojas L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
- Matematika. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovičius. - M.: Mnemosyne, 2013 m.
- Matematika. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms/G.V. Dorofejevas, I. F. Šaryginas, S.B. Suvorovas ir kiti / redagavo G.V. Dorofejeva, I.F. Šarygina; Rusijos mokslų akademija, Rusijos švietimo akademija. M.: „Švietimas“, 2010 m.
- Matematika. 6 klasė: studijos bendrojo ugdymo įstaigoms/N.Ya. Vilenkinas, V.I. Žokhovas, A.S. Česnokovas, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013 m.
- Matematika. 6 klasė: vadovėlis/G.K. Muravinas, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014 m.
Naudoti vaizdai:
Pirmas lygis
Išraiškų konvertavimas. Išsami teorija (2019 m.)
Išraiškų konvertavimas
Dažnai girdime šią nemalonią frazę: „supaprastink posakį“. Paprastai matome tokį pabaisą kaip ši:
„Tai daug paprasčiau“, – sakome, bet toks atsakymas dažniausiai nepasiteisina.
Dabar aš išmokysiu jus nebijoti tokių užduočių. Be to, pamokos pabaigoje jūs pats supaprastinsite šį pavyzdį iki (tiesiog!) įprasto skaičiaus (taip, po velnių su šiomis raidėmis).
Tačiau prieš pradėdami šią pamoką turite mokėti tvarkyti trupmenas ir koeficientų polinomus. Todėl pirmiausia, jei to dar nepadarėte, būtinai įsisavinkite temas „“ ir „“.
Ar perskaitėte? Jei taip, tuomet esate pasiruošę.
Pagrindinės supaprastinimo operacijos
Dabar pažvelkime į pagrindinius metodus, kurie naudojami posakiams supaprastinti.
Paprasčiausias yra
1. Panašių atnešimas
Kas yra panašūs? Jūs to ėmėtės 7 klasėje, kai matematikoje pirmą kartą pasirodė raidės, o ne skaičiai. Panašūs yra terminai (monomilai), turintys tą pačią raidžių dalį. Pavyzdžiui, sumoje panašūs terminai yra ir.
Ar prisimeni?
Panašus reiškia pridėti kelis panašius terminus ir gauti vieną terminą.
Kaip galime sujungti raides? - Jūs klausiate.
Tai labai lengva suprasti, jei įsivaizduojate, kad raidės yra kažkokie objektai. Pavyzdžiui, laiškas yra kėdė. Tada kam lygi išraiška? Dvi kėdės plius trys kėdės, kiek jų bus? Teisingai, kėdės: .
Dabar išbandykite šią išraišką: .
Kad išvengtumėte painiavos, leiskite skirtingoms raidėms žymėti skirtingus objektus. Pavyzdžiui, - yra (kaip įprasta) kėdė ir - yra stalas. Tada:
kėdės stalai kėdės stalai kėdės kėdės stalai
Skaičiai, iš kurių dauginamos tokių terminų raidės, yra vadinami koeficientai. Pavyzdžiui, monomijoje koeficientas yra lygus. Ir jame yra lygus.
Taigi, panašių atsinešimo taisyklė yra tokia:
Pavyzdžiai:
Pateikite panašius:
Atsakymai:
2. (ir panašiai, nes todėl šie terminai turi tą pačią raidinę dalį).
2. Faktorizavimas
Paprastai tai yra daugiausia svarbi dalis supaprastinant posakius. Pateikus panašius, dažniausiai gautą išraišką reikia faktorizuoti, tai yra pateikti kaip produktą. Tai ypač svarbu trupmenoms: norint sumažinti trupmeną, skaitiklis ir vardiklis turi būti vaizduojami kaip sandauga.
Išsamiai išnagrinėjote faktoringo išraiškų metodus temoje „“, todėl čia tereikia prisiminti, ką išmokote. Norėdami tai padaryti, nuspręskite keletą pavyzdžių(reikia suskaidyti faktoriais):
Sprendimai:
3. Trupmenos mažinimas.
Na, o kas gali būti maloniau nei išbraukti dalį skaitiklio ir vardiklio ir išmesti juos iš savo gyvenimo?
Tai ir yra mažinimo grožis.
Tai paprasta:
Jei skaitiklyje ir vardiklyje yra tie patys veiksniai, juos galima sumažinti, tai yra, pašalinti iš trupmenos.
Ši taisyklė išplaukia iš pagrindinės trupmenos savybės:
Tai yra, redukcijos operacijos esmė yra ta Trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš to paties skaičiaus (arba iš tos pačios išraiškos).
Norėdami sumažinti dalį, jums reikia:
1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti
2) jeigu skaitiklyje ir vardiklyje yra bendri veiksniai, juos galima perbraukti.
Principas, manau, aiškus?
Norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į vieną tipišką klaidą trumpinant. Nors ši tema paprasta, daugelis žmonių viską daro ne taip, to nesuprasdami sumažinti- tai reiškia padalinti skaitiklis ir vardiklis yra tas pats skaičius.
Santrumpų nėra, jei skaitiklis arba vardiklis yra suma.
Pavyzdžiui: turime supaprastinti.
Kai kurie žmonės tai daro: tai visiškai neteisinga.
Kitas pavyzdys: sumažinti.
„Protingiausi“ padarys tai: .
Pasakyk man, kas čia negerai? Atrodytų: - tai daugiklis, o tai reiškia, kad jį galima sumažinti.
Bet ne: - tai yra tik vieno skaitiklio nario koeficientas, bet pats skaitiklis kaip visuma nėra koeficientas.
Štai dar vienas pavyzdys: .
Ši išraiška yra suskaidyta faktoriais, o tai reiškia, kad galite ją sumažinti, ty padalyti skaitiklį ir vardiklį iš, o tada iš:
Galite iš karto suskirstyti į:
Kad išvengtumėte tokių klaidų, atsiminkite lengvas kelias kaip nustatyti, ar išraiška yra faktorizuota:
Aritmetinė operacija, kuri atliekama paskutinė apskaičiuojant išraiškos reikšmę, yra „pagrindinė“ operacija. Tai yra, jei vietoj raidžių pakeičiate kai kuriuos (bet kokius) skaičius ir bandote apskaičiuoti išraiškos reikšmę, tada, jei paskutinis veiksmas yra daugyba, tada mes turime sandaugą (išreiškimas yra koeficientas). Jei paskutinis veiksmas yra sudėjimas arba atėmimas, tai reiškia, kad išraiška nėra faktorinuota (todėl negali būti sumažinta).
Norėdami konsoliduoti, keletą išspręskite patys pavyzdžių:
Atsakymai:
1. Tikiuosi iš karto nepuolei kirpti ir? Vis tiek nepakako „sumažinti“ vienetų, tokių kaip:
Pirmas žingsnis turėtų būti faktorizavimas:
4. Trupmenų sudėjimas ir atėmimas. Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio.
Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas yra pažįstama operacija: ieškome bendro vardiklio, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame/atimame skaitiklius. Prisiminkime:
Atsakymai:
1. Vardikliai ir yra santykinai pirminiai, tai yra, jie neturi bendrų veiksnių. Todėl šių skaičių LCM yra lygus jų sandaugai. Tai bus bendras vardiklis:
2. Čia yra bendras vardiklis:
3. Pirmas dalykas čia mišrios frakcijos paverčiame juos neteisingais ir laikomės įprasto modelio:
Visai kas kita, jei trupmenose yra raidžių, pavyzdžiui:
Pradėkime nuo kažko paprasto:
a) Vardikliuose nėra raidžių
Čia viskas taip pat, kaip ir su paprastomis skaitinėmis trupmenomis: randame bendrą vardiklį, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame/atimame skaitiklius:
Dabar skaitiklyje galite pateikti panašius, jei tokių yra, ir suskaičiuoti:
Išbandykite patys:
b) Vardikliuose yra raidės
Prisiminkime principą rasti bendrą vardiklį be raidžių:
· pirmiausia nustatome bendruosius veiksnius;
· tada po vieną išrašome visus bendrus veiksnius;
· ir padauginkite juos iš visų kitų neįprastų veiksnių.
Norėdami nustatyti bendrus vardiklių veiksnius, pirmiausia juos suskirstome į pagrindinius veiksnius:
Pabrėžkime bendrus veiksnius:
Dabar po vieną išrašykime bendruosius veiksnius ir pridėkite prie jų visus neįprastus (nepabrauktus) veiksnius:
Tai yra bendras vardiklis.
Grįžkime prie raidžių. Vardikliai pateikiami lygiai taip pat:
· koeficientas vardiklius;
· nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius;
· vieną kartą užrašyti visus bendrus veiksnius;
· padauginkite juos iš visų kitų neįprastų veiksnių.
Taigi, eilės tvarka:
1) suskaičiuokite vardiklius:
2) nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius:
3) vieną kartą surašykite visus bendruosius veiksnius ir padauginkite iš visų kitų (nepabrauktų) koeficientų:
Taigi čia yra bendras vardiklis. Pirmoji trupmena turi būti padauginta iš, antroji - iš:
Beje, yra vienas triukas:
Pavyzdžiui: .
Vardikliuose matome tuos pačius veiksnius, tik visi su skirtingais rodikliais. Bendras vardiklis bus:
iki laipsnio
iki laipsnio
iki laipsnio
iki laipsnio.
Sudėtinkite užduotį:
Kaip padaryti, kad trupmenos turėtų tą patį vardiklį?
Prisiminkime pagrindinę trupmenos savybę:
Niekur neparašyta, kad tą patį skaičių galima atimti (arba pridėti) iš trupmenos skaitiklio ir vardiklio. Nes tai netiesa!
Pažiūrėkite patys: paimkite, pavyzdžiui, bet kurią trupmeną ir prie skaitiklio ir vardiklio pridėkite tam tikrą skaičių, pavyzdžiui, . Ką tu išmokai?
Taigi, dar viena nepalaužiama taisyklė:
Kai sumažinate trupmenas iki bendro vardiklio, naudokite tik daugybos operaciją!
Bet iš ko reikia padauginti, kad gautum?
Taigi padauginkite iš. Ir padauginkite iš:
Išraiškas, kurių negalima suskaidyti į faktorius, vadinsime elementariais veiksniais. Pavyzdžiui, - tai elementarus veiksnys. - Tas pats. Bet ne: jis gali būti faktorinuojamas.
O kaip su išraiška? Ar tai elementaru?
Ne, nes jis gali būti koeficientas:
(apie faktorizavimą jau skaitėte temoje "").
Taigi, elementarieji veiksniai, į kuriuos išskaidote išraišką raidėmis, yra paprastų veiksnių, į kuriuos skaidote skaičius, analogas. Ir su jais elgsimės lygiai taip pat.
Matome, kad abu vardikliai turi daugiklį. Jis eis į bendrą vardiklį iki laipsnio (prisimeni kodėl?).
Koeficientas yra elementarus ir jie neturi bendro koeficiento, o tai reiškia, kad pirmąją trupmeną tiesiog reikės padauginti iš jo:
Kitas pavyzdys:
Sprendimas:
Prieš padaugindami šiuos vardiklius paniškai, turite pagalvoti, kaip juos apskaičiuoti? Jie abu atstovauja:
Puiku! Tada:
Kitas pavyzdys:
Sprendimas:
Kaip įprasta, išskaidykime vardiklius. Pirmajame vardiklyje mes jį tiesiog ištraukiame iš skliaustų; antroje - kvadratų skirtumas:
Atrodytų, kad nėra bendrų veiksnių. Bet jei gerai pažvelgsi, jie panašūs... Ir tai tiesa:
Taigi rašykime:
Tai yra, viskas pasirodė taip: skliausteliuose sukeitėme terminus, o tuo pačiu metu ženklas prieš trupmeną pasikeitė į priešingą. Atminkite, kad turėsite tai daryti dažnai.
Dabar priveskime jį prie bendro vardiklio:
Supratau? Dabar patikrinkime.
Užduotys savarankiškam sprendimui:
Atsakymai:
Čia turime prisiminti dar vieną dalyką - kubelių skirtumą:
Atkreipkite dėmesį, kad antrosios trupmenos vardiklyje nėra formulės „sumos kvadratas“! Sumos kvadratas atrodytų taip: .
A yra vadinamasis nepilnas sumos kvadratas: antrasis narys jame yra pirmojo ir paskutinio sandauga, o ne jų dviguba sandauga. Dalinis sumos kvadratas yra vienas iš veiksnių, didinančių kubelių skirtumą:
Ką daryti, jei jau yra trys frakcijos?
Taip, tas pats! Pirmiausia įsitikinkime, kad maksimalus faktorių skaičius vardikliuose yra vienodas:
Atkreipkite dėmesį: jei pakeičiate ženklus viename skliaustelyje, ženklas prieš trupmeną pasikeičia į priešingą. Kai pakeičiame ženklus antrajame skliauste, ženklas prieš trupmeną vėl pasikeičia į priešingą. Dėl to jis (ženklas prieš trupmeną) nepasikeitė.
Išrašome visą pirmąjį vardiklį į bendrą vardiklį, o tada pridedame prie jo visus dar neparašytus veiksnius nuo antrojo, o po to iš trečiojo (ir taip toliau, jei yra daugiau trupmenų). Tai yra, viskas pasirodo taip:
Hmm... Aišku, ką daryti su trupmenomis. Bet kaip su dviem?
Tai paprasta: jūs žinote, kaip sudėti trupmenas, tiesa? Taigi, turime padaryti, kad du taptų trupmena! Prisiminkime: trupmena yra padalijimo operacija (skaitiklis dalijamas iš vardiklio, jei pamiršote). Ir nėra nieko lengviau, kaip padalyti skaičių iš. Tokiu atveju pats skaičius nepasikeis, o pavirs trupmena:
Būtent tai, ko reikia!
5. Trupmenų daugyba ir dalyba.
Na, dabar sunkiausia dalis baigėsi. O prieš mus yra paprasčiausias, bet kartu ir svarbiausias:
Procedūra
Kokia yra skaitinės išraiškos apskaičiavimo procedūra? Prisiminkite apskaičiuodami šios išraiškos reikšmę:
Ar skaičiavai?
Turėtų veikti.
Taigi, leiskite man jums priminti.
Pirmasis žingsnis yra apskaičiuoti laipsnį.
Antrasis yra daugyba ir padalijimas. Jei vienu metu yra keli daugybos ir dalybos darbai, juos galima atlikti bet kokia tvarka.
Ir galiausiai atliekame sudėjimą ir atimtį. Vėlgi, bet kokia tvarka.
Bet: išraiška skliausteliuose vertinama be eilės!
Jei kelis skliaustus padauginame arba padalijame vienas iš kito, pirmiausia apskaičiuojame kiekvieno skliausto išraišką, o tada padauginame arba padalijame.
Ką daryti, jei skliausteliuose yra daugiau skliaustų? Na, pagalvokime: skliaustuose įrašyta kokia nors išraiška. Ką pirmiausia reikia padaryti apskaičiuojant išraišką? Teisingai, apskaičiuokite skliaustus. Na, mes supratome: pirmiausia apskaičiuojame vidinius skliaustus, tada visa kita.
Taigi, aukščiau pateiktos išraiškos procedūra yra tokia (dabartinis veiksmas paryškintas raudonai, tai yra veiksmas, kurį dabar atlieku):
Gerai, viskas paprasta.
Bet tai ne tas pats, kas išraiška raidėmis?
Ne, tai tas pats! Tik vietoj aritmetinių operacijų reikia atlikti algebrines, tai yra, ankstesniame skyriuje aprašytus veiksmus: atneša panašius, frakcijų pridėjimas, frakcijų mažinimas ir pan. Vienintelis skirtumas bus faktoringo daugianario veiksmas (dažnai tai naudojame dirbdami su trupmenomis). Dažniausiai, norint suskirstyti faktorių, reikia naudoti I arba tiesiog iš skliaustų sudėti bendrą koeficientą.
Paprastai mūsų tikslas yra pateikti išraišką kaip produktą arba koeficientą.
Pavyzdžiui:
Supaprastinkime išraišką.
1) Pirma, supaprastiname išraišką skliausteliuose. Ten mes turime trupmenų skirtumą, o mūsų tikslas yra pateikti jį kaip sandaugą arba koeficientą. Taigi, sujungiame trupmenas į bendrą vardiklį ir pridedame:
Neįmanoma dar labiau supaprastinti šios išraiškos, visi veiksniai čia yra elementarūs (ar vis dar prisimenate, ką tai reiškia?).
2) Mes gauname:
Trupmenų dauginimas: kas gali būti paprasčiau.
3) Dabar galite sutrumpinti:
Gerai, dabar viskas baigta. Nieko sudėtingo, tiesa?
Kitas pavyzdys:
Supaprastinkite išraišką.
Pirmiausia pabandykite tai išspręsti patys, o tik tada žiūrėkite į sprendimą.
Pirmiausia nustatykime veiksmų tvarką. Pirmiausia sudėkime trupmenas skliausteliuose, kad vietoj dviejų trupmenų gautume vieną. Tada padalysime trupmenas. Na, pridėkime rezultatą su paskutine trupmena. Sunumeruosiu veiksmus schematiškai:
Dabar parodysiu procesą, nuspalvindamas dabartinį veiksmą raudonai:
Galiausiai pateiksiu du naudingus patarimus:
1. Jei yra panašių, reikia nedelsiant atvežti. Kad ir kur panašių atsirastų mūsų šalyje, patartina nedelsiant juos iškelti.
2. Tas pats galioja ir mažinant trupmenas: kai tik atsiranda galimybė sumažinti, reikia ja pasinaudoti. Išimtis taikoma trupmenoms, kurias pridedate arba atimate: jei dabar jų vardikliai yra tokie patys, sumažinimas turėtų būti paliktas vėlesniam laikui.
Štai keletas užduočių, kurias galite išspręsti patys:
Ir kas buvo pažadėta pačioje pradžioje:
Sprendimai (trumpai):
Jei susidorojote su bent trimis pirmaisiais pavyzdžiais, vadinasi, temą įvaldėte.
Dabar į mokymąsi!
IŠRAIŠKŲ KONVERTAVIMAS. SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS
Pagrindinės supaprastinimo operacijos:
- Atneša panašiai: norint pridėti (sumažinti) panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir priskirti raidės dalį.
- faktorizavimas: bendro veiksnio iškėlimas iš skliaustų, jo pritaikymas ir pan.
- Dalies sumažinimas: trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padauginti arba padalyti iš to paties ne nulio skaičiaus, kuris nekeičia trupmenos reikšmės.
1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti
2) jei skaitiklis ir vardiklis turi bendrus veiksnius, juos galima perbraukti.SVARBU: galima sumažinti tik daugiklius!
- Trupmenų pridėjimas ir atėmimas:
; - Trupmenų dauginimas ir dalijimas:
;
